Análise de Estruturas - Diagramas de Esforços

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UNIVERSIDADE DO ALGARVE 
 
ESCOLA SUPERIOR DE TECNOLOGIA 
 
 
Área Departamental de Engenharia Civil 
ANÁLISE DE ESTRUTURAS I 
DIAGRAMAS DE ESFORÇOS 
JOÃO MANUEL CARVALHO ESTÊVÃO 
FARO 
2005/06 
 
 
 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 2 - 
1. Conceitos básicos 
 
 
Estrutura - Corpo ou conjunto de corpos adequados a resistir a acções. 
 
Estrutura reticulada - Estrutura constituída por peças lineares. 
 
Peça linear - Corpo gerado por uma figura plana, de forma e dimensões não 
necessariamente constantes, durante o deslocamento do seu centro de 
gravidade ao longo de uma linha de grande raio de curvatura, à qual a figura se 
mantém perpendicular. O deslocamento é largamente superior às dimensões da 
figura. 
 
Acção - Causa exterior capaz de produzir ou de alterar o estado de tensão ou de 
deformação de um corpo. 
 
Deformação - Transformação que se traduz por uma variação da distância entre 
pontos de um corpo. 
 
 
2. Ligações 
 
2.1. Ligações exteriores (apoios) 
 
 
Designação 
usual 
Representação 
esquemática 
Reacções 
associadas 
Deslocamentos 
permitidos 
 
Apoio simples 
 
 
 
 
Apoio fixo 
 
 
 
Encastramento 
deslizante 
 
 
 
Encastramento 
 
 
 
Nenhum 
 
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 3 - 
2.2. Ligações interiores 
 
 
Designação 
usual 
Representação 
esquemática 
Esforços 
transmitidos 
Deslocamentos 
permitidos 
Rótula 
 N e V 
 
 
 
Encastramento 
deslizante 
 
 
 
 
 
N e M 
 
Pistão 
 V e M 
Continuidade 
 N, V e M Nenhum 
 
3. Equações de equilíbrio estático 
 
Momentos =∑ 0 (qualquer ponto) 
 
Forças =∑ 0 (resultante nula) 
 
 
4. Diagramas de esforços 
 
Esforço numa secção - Conjunto de forças estaticamente equivalentes às 
acções exercidas por uma parte dum corpo sobre a outra parte, através da 
secção que os separa. 
 
Esforço axial (N) Esforço transverso (V) Momento flector (M) 
NN
x
 
VV
x
 
MM
x
 
 
 
 
 V p dx= − ⋅∫ M V dx= ⋅∫ 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 4 - 
Diagramas de esforços para cargas usuais 
 
Tipo de carga 
(p) 
Esforço Transverso 
(V) 
Momento Flector 
(M) 
 
p = 0 
 
V = constante 
 
Linear 
V = 0
V > 0
V < 0
 
 
Linear 
 
Parábola 
 
 
Parábola 
 
Eq. do 3º grau 
 
 
Parábola 
 
Eq. do 3º grau 
 
 
 
Linear 
 
Parábola 
 
 
Parábola 
 
Eq. do 3º grau 
 
 
Parábola 
 
Eq. do 3º grau 
 
Casos particulares: 
- O diagrama de esforços transversos apresenta uma descontinuidade quando existe uma força concentrada. 
- O diagrama de esforços transversos tem um extremo quando o carregamento p(x) se anula. 
- O diagrama de momentos flectores tem uma descontinuidade quando existe um momento concentrado. 
- O diagrama de momentos flectores tem um extremo quando o esforço transverso V(x) se anula. 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 5 - 
Equilíbrio de uma barra uniformemente carregada 
 
MA 
VB 
p 
VA 
MB 
A B 
x 
L 
 
V V p xx A( ) = − ⋅ 
M M V x
p x
x A A( ) = + ⋅ −
⋅
2
2 
M M L V p L L MB A A B∑ = → + ⋅ = ⋅ ⋅ +0 2 V L M M
p L
A B A= − +
⋅






1
2
2
 
F V p L VV A B∑ = → = ⋅ +0 V V p LB A= − ⋅ 
M V V p xx A= → = = − ⋅max. ( ) 0 M x
V
p
A
= → =max. max 
( )M M M V
V
p
p V
px A A
A A
max
max
= = + ⋅ − ⋅





2
2
 M M
V
pA
A
max = +
⋅
2
2 
 
M M V x p xx A A( ) = + ⋅ −
⋅
=
2
2 0 
x
x
1
2
 
x
V V p M
p
A A A
1
2 2
=
− + ⋅ ⋅
 , 0 1≤ ≤x L 
x
V V p M
p
A A A
2
2 2
=
+ + ⋅ ⋅
 , 0 2≤ ≤x L 
se V p M x x
x x
A A
2
1 2
1 2
2
0
0
0
+ ⋅ ⋅
< →
= → =
> → ≠
 
sem zeros
 
xmax
M(x)
x2
x1 Mmax
V(x)
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 6 - 
PROBLEMAS PROPOSTOS 
Considerando as estruturas seguintes, calcule as reacções de apoio e desenhe 
os diagramas de esforços. 
1) 
A B
C30 kN/m
50 kNm
D
20 kN
2.50 m 2.50
1.50
0.50
 
2) 
4.00 m 2.00 2.00
3.00
1.00
1.00 1.00
A
B C
40 kN/m 50 kN
D
E
F
20 kN
60 kN/m
 
3) 
A
B C D E
F
50 kN
40 kN/m
3.00 m 1.00 2.00 1.50 1.50
10 kNm
 
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 7 - 
4) 
A
B
C D
E
F
50 kN
36 kN/m
23 kN
2.00 m 2.00 1.00 1.00 2.001.00 1.00
1.00
1.00
60 kN/m
G H
 
5) 
A
B
C
D
E
F
90 kN
125 kN
50 kN/m
G
H
1.00 3.00 m 2.00 2.00 1.00 1.00 1.00 1.00
1.50
1.50
80 kN
30 kNm
 
6) 
A
B
C
D E F
60 kN
10 kN/m
G
70 kN
1.50 2.00 2.00 1.00 3.00 m 1.50
2.00
2.00
30 kN/m
 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 8 - 
7) 
 
A B
C
D E
F
94 kN
G
10 kN/m
2.00 2.00 2.00 m 2.00 2.00
1.50
1.50
40 kN
 
 
 
8) 
 
A
B
C
D E
F
140 kN
G
23 kN/m
2.00 1.50 1.50 2.00 m 1.50 1.50 2.00
2.00
2.00
H
I J
15 kN/m
20 kN/m
100 kN
35 kN
30 kN
50 kNm
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 9 - 
9) 
 
A
B C D
E
5 kN
48 kN/m
4.00 m 3.00
3.00
3.00
250 kN
 
 
10) 
 
A B
C
D
E
F
60 kN/m
4.00 m
2.00
3.00
6 kN/m
30 kN/m
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 10 - 
11) 
 
A
B C D E
F
63 kN
50.2 kN/m
1.50 3.00 4.00 m 1.50 3.00
4.00 30 kN/m
 
 
12) 
A
B
C D
E F
60 kN
20 kN/m
2.00 4.00 m 3.00
3.00
3.00
14 kN/m
30 kN/m
132 kN
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 11 - 
13) 
A B
C
D E F
70 kN
40 kN/m
50 kN
1.50 1.50 3.00 m 3.00
2.00
2.00
30 kN/m
 
 
14) 
A
B
C
D
E
F
40 kN
G
10 kN/m
H I
35 kN
2.00 m 2.00 2.00 2.00
3.00
2.00
1.00
40 kN/m
 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 12 - 
15) 
A
B
C
D
E
F
10 kN
G
20 kN/m
3.00 4.00 m 3.00 2.00
2.00
4.00
30 kN/m
 
16) 
A
B
C D E
F
60 kN
G
H I
J
2.00 2.00 2.00 3.00 m
2.00
4.00
3.00
L
60 kN
75 kN
100 kN
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 13 - 
17) 
A
B
C
D
E F
G
25 kN/m
H
I
40 kNm
4.00 m 2.00 2.00
1.50
1.50
1.50
40 kN/m
 
 
 
 
18) 
A
B
C
D
E
F
40 kN
G
14 kN/m
H I
25 kNm
2.00 1.50 1.50 4.00 m
2.00
2.00
1.00
5 kN/m
20 kN/m
90 kN
 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 14 - 
19) 
A
B
C D
E F
119 kN
G
30 kN/m
H I
J
2.00 4.00 m 2.25 1.75
2.00
2.00
3.00
10 kN/m
18 kN/m
30 kN 63 kN
 
 
 
20) 
A B
C D E
8 kN/m42 kNm
1.50 m 1.50 1.50 1.50
2.00
72 kN/m
 
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 15 - 
Soluções dos problemas propostos 
 
1) 
 
Em primeiro lugar vamos calcular as reacções de apoio, pois só existem três 
ligações ao exterior. 
 
F R RH HA HA∑ = ⇒ + = × ⇒ =0 20 30 2 40 kN 
M R R
A VB VB∑ = ⇒
×
+ × = + × ⇒ =0
30 2
2
5 50 15 20 4
2
. kN 
F R RV VA VB∑ = ⇒ = =0 4 kN 
 
Reacções de apoio e orientação das barras 
 
A B
C D
4 kN 4 kN
40 kN
 
 
Conhecidas as reacções de apoio podemos desenhar os diagramas de 
esforços. Dado que a estrutura contém uma malha, o conhecimento das 
reacções de apoio não possibilita,com facilidade, o traçado dos diagramas de 
esforços. Desta forma vamos separar a estrutura em quatro corpos (AC, BD, AB 
e CD) e isolar os nós com forças concentradas (nós “A” e “B”), representando 
todas as forças internas e externas (reacções de apoio) em jogo. 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 16 - 
A
B
C30 kN/m
20 kN
D
C
R
VA
R
VB
50 kNm
D
R
HA
F
1
F
1
F
2
F
2
F
3F
5
F
6F
4
F
7
F
8
F
9
M
1
M
1
M
2
A
A
F
9
F
10
F
10
F
11
F
11
F
12
F
12
M
2
F
5
F
3
F
4
F
6
B
B
 
 
Dado que todos os corpos estão em equilíbrio estático, podemos estabelecer 
um conjunto de equações de equilíbrio que nos permitem obter as forças 
internas. 
 
 
M F F
D
CD∑ = ⇒ × = ⇒ =0 5 50 101 1 kN 
F F FV
CD∑ = ⇒ = =0 102 1 kN 
F F FV
BD∑ = ⇒ = =0 103 2 kN 
F F FV
AC∑ = ⇒ = =0 104 1 kN 
F F FV
nó B
 kN∑ = ⇒ + = ⇒ =0 4 10 65 5 
F F FV
AB∑ = ⇒ = =0 66 5 kN 
M F F
B
BD∑ = ⇒ × = × ⇒ =0 2 15 20 157 7. kN 
F F FH
CD∑ = ⇒ = =0 158 7 kN 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 17 - 
F F FH
BD∑ = ⇒ + = ⇒ =0 15 20 59 9 kN 
F F FH
nó B
 kN∑ = ⇒ = =0 510 9 
F F FH
AB∑ = ⇒ = =0 511 10 kN 
F F FH
AC∑ = ⇒ + = × ⇒ =0 15 30 2 4512 12 kN 
M M F
A
AB∑ = ⇒ = × = × =0 5 5 6 301 5 kNm 
M M M
A
AC∑ = ⇒ + × =
×
⇒ =0 2 15
30 2
2
30
2
2
2
 kNm 
 
 
Valores finais: 
 
A
B
C
30
20
D
C
4 4
50
D
10
10
10
10
10
66
10
1515
5
30
30
30
A
A
5
5
5
5
5
45
45
30
6 10
10 6
B
B
40
 
 
Com os valores das forças internas conhecidos torna-se imediato o traçado dos 
diagramas de esforços. 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 18 - 
• Esforços axiais 
N F F
AB
= − = − = −
10 11
5 kN 
N F F
BC
= − = − = −
7 8
15 kN 
N F F
AC
= − = − = −
1 4
10 kN 
N F F
BD
= = =
2 3
10 kN 
 
• Esforços transversos 
V F V FA
AB
B
AB
= − = = − = −
6 5
6 kN 
V F V FC
CD
D
CD
= = = =
1 2
10 kN 
V FA
AC
= =
12
45 kN 
V FC
AC
= − = − × = −
8
45 2 30 15 kN 
V FB
BD
= − = −
9
5 kN 
V FD
BD
= = − + =
7
5 20 15 kN 
V xx
AC
( ) = − ⋅45 30 
0 45 30 15= − ⋅ ⇒ =x x m. 
 
• Momentos flectores 
M MA
AB
= =
1
30 kNm 
M Fm x esq
CD
a . .
 kNm= × =2 5 25
1
. 
M F Fdir
CD
max. . . .= − × = × − = −25 25 50 252 1 kNm 
M MA
AC
= − = × −
×
= −
2
2
2 15
30 2
2
30 kNm 
M
AB
max. .
.
.= − + × −
×
=30 15 45
30 15
2
375
2
 kNm 
M F FBDmax. . . .= − × = − × = −15 05 759 7 kNm 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 19 - 
Diagrama de esforços axiais (kN) 
 
 
-15
-10 10
-5
 
 
 
 
Diagrama de esforços transversos (kN) 
 
45
-15
10
-6
-5
15
 
 
 
 
Diagrama de momentos flectores (kNm) 
 
30
25
-30
3.75 -7.5
-25
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 20 - 
2) 
 
Neste problema o número de reacções é superior a três, logo será necessário 
estabelecer equações de equilíbrio interno de modo a que seja possível 
determinarmos o valor das reacções. Desta forma vamos dividir a estrutura em 
quatro corpos distintos (ABC, CD, DE e EF). Sobre esses corpos actuam um 
conjunto de forças internas que correspondem às acções que uns corpos 
exercem sobre os outros, de forma a que se mantenha o equilíbrio estável. 
 
A
B C
40 kN/m 50 kN
D
C
R
VA
F
1
F
1
F
2
F
3
R
HB
R
VB
E
F
20 kN
60 kN/m
E
D
F
4
F
3
F
5
F
5
F
6
R
HF
R
VF
R
MF
 
Atendendo a que cada corpo está em equilíbrio estático, podemos estabelecer 
as seguintes equações: 
 
M F FE
ED∑ = ⇒ × + × = ⇒ = −0 4 20 3 0 154 4 kN (mudar o sentido do vector) 
F F FH
ED∑ = ⇒ + − = ⇒ = −0 20 15 0 55 5 kN (mudar o sentido do vector) 
F RH
EF
HF∑ = ⇒ =0 5 kN 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 21 - 
F FH
CD∑ = ⇒ = −0 152 kN (mudar o sentido do vector) 
F RH
ABC
HB∑ = ⇒ = −0 15 kN (mudar o sentido do vector) 
M F FC
CD∑ = ⇒ × − × = ⇒ =0 2 1 50 0 253 3 kN 
F FV
CD∑ = ⇒ = − =0 50 25 251 kN 
F F FV
ED∑ = ⇒ = =0 256 3 kN 
F RV
EF
VF∑ = ⇒ = +
×
=0 25
60 2
2
85 kN 
M RF
EF
MF∑ = ⇒ = × +
×
× × =0 2 25
60 2
2
2
3
2 130 kNm 
M R RA
ABC
VB VB∑ = ⇒ × − × × − × = ⇒ =0 4 40 6
6
2
6 25 0 2175. kN 
F RV
ABC
VA∑ = ⇒ = × + − =0 6 40 25 2175 475. . kN 
 
Valores finais: 
 
A
B C
40 50
D
C
47.5
25
25
15
2515
217.5
E
F
20
60
E
D
15
25
5
5
25
5
85
130
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 22 - 
Reacções de apoio e orientação das barras 
A
B C
D
E
F
47.5 kN 217.5 kN
85 kN
5 kN
130 kNm
15 kN
 
Cálculo dos esforços: 
 
• Esforços axiais 
N
AB
= 0 kN 
N R F
BC HB
= = =
2
15 kN 
N F F
CD
= = =
4 2
15 kN 
N F F
DE
= − = − = −
3 6
25 kN 
N R F
EF HF
= − = − = −
5
5 kN 
 
• Esforços transversos 
V RA
dir
VA
.
.= = 475 kN 
VB
esq .
. .= − × = −475 40 4 1125 kN 
VB
dir .
. .= − + =1125 2175 105 kN 
V FC
esq .
= = − × =
1
105 2 40 25 kN 
V FC
dir .
= =
1
25 kN 
V FD
CD
= − = − = −
3
25 50 25 kN 
V FE
ED
= =
5
5 kN 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 23 - 
V FD
ED
= − = − = −
4
5 20 15 kN 
V FE
EF
= − = −
6
25 kN 
VF
esq .
= − −
×
= −25
60 2
2
85 kN 
V xx
AB
( ) .= − ⋅475 40 
0 475 40 11875= − ⋅ ⇒ =. .x x m 
 
• Momentos flectores 
M
AB
max. . .
.
.= × −
×
=11875 47 5
40 11875
2
28 2
2
 kNm 
M B = × −
×
= −4 475
40 4
2
130
2
. kNm 
M FCDmax. = × =1 251 kNm 
M FEDmax. = × =1 154 kNm 
M RF MF= − = −130 kNm 
 
 
Diagrama de esforços axiais (kN) 
15
-5
-25
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 24 - 
Diagrama de esforços transversos (kN) 
 
 
47.5
-112.5
105
25
-25
-15
5
-25
-85
 
 
 
 
Diagrama de momentos flectores (kNm) 
 
28.2
-130
25
15
-130
 
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 25 - 
3) 
D
E
F
50
40
A
B
C
10 40
150
30
5010
40 40 40 40
 
Equações de equilíbrio: 
 
F RH HF∑ = ⇒ =0 0 
M F FC
CD∑ = ⇒ × =
×
⇒ =0 2
40 2
2
40
1
2
1
 kN 
F F FV
CD∑ = ⇒ + = × ⇒ =0 40 40 2 402 2 kN 
M R RA
ABC
VB VB∑ = ⇒ + × = × ⇒ =0 10 3 40 4 50 kN 
F R RV
ABC
VA VA∑ = ⇒ + = ⇒ =0 40 50 10 kN 
F R RV VE VE∑ = ⇒ × + + = + ⇒ =0 40 35 50 10 50 150. kN 
M R RD
DEF
MF MF∑ = ⇒
×
+ × + = × ⇒ =0
40 15
2
50 3 150 15 30
2
.
. kNm 
M
CD
max. =
×
=
40 2
8
20
2
 kNm 
 
 
Reacções de apoio e orientação das barras 
A
B C D E
F
150 kN
30 kNm
50 kN10 kN
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 26 - 
Diagrama de esforços axiais (kN) 
 
 
 
 
 
 
 
 
Diagrama de esforços transversos (kN) 
 
 
-10
-100
40
50
-40
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos flectores (kNm) 
 
 
-30
-105
-40
20
-30
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 27 - 
4) 
 
C
E
F
50
36
23
60
161
25
70
21
25
100
A
B
C
D E
F
G
H
C
40
40
25
47
25
25
25
25
25
40
47
40
25
47
17.6833.23 17.68
33.23
 
 
 
Equações de equilíbrio: 
 
M R RF
FGH
VG VG∑ = ⇒ × =
×
× + ×




 ⇒ =0 1
60 2
2
1
1
3
2 100 kN 
F F FV
FGH∑ = ⇒ +
×
= ⇒ =0
60 2
2
100 40
1 1
 kN 
F F FV
EF∑ = ⇒ = =0 403 1 kN 
M F FE
EF∑ = ⇒ × = × ⇒ =0 2 1 50 252 2 kN 
F F FH
EF∑ = ⇒ = =0 254 2 kN 
M R RC
CDE
VD VD∑ = ⇒ × + × =
×
⇒ =0 2 3 40
36 3
2
21
2
 kN 
F F FV
CDE∑ = ⇒ × = + + ⇒ =0 36 3 40 21 475 5 kN 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 28 - 
F F FH
CDE∑ = ⇒ = =0 256 4 kN 
F R FH
ABC
HA∑ = ⇒ = =0 256 kN 
F RV
ABC
VA∑ = ⇒ = + =0 23 47 70 kN 
M R RA
ABC
MA MA∑ = ⇒ + × = × + × ⇒ =0 2 25 1 23 4 47 161 kNm 
F R RH HG HG∑ = ⇒ + = ⇒ =0 25 50 25 kN 
 
V xx
CD
( ) = − ⋅47 36 
0 47 36 130556= − ⋅ ⇒ =x x m. 
M
CD
max. .
.
.= × −
×
=130556 47
36 130556
2
30 68
2
 kNm 
 
Corpo ABC, ponto C: 
47 45 47 45 3323× = × =cos º sen º . kN 
25 45 25 45 17 68× = × =cos º sen º . kN 
 
 
Reacções de apoio e orientação das barras 
 
161 kNm
25 kN
70 kN
21 kN
25 kN
100 kN
A B
C D
E
F G H
 
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 29 - 
 
Diagrama de esforços axiais (kN) 
 
-50.91
-25
-40
-25
25
 
 
 
 
Diagrama de esforços transversos (kN) 
 
 
-40
-25
60
-40
-4
-25
25
47
15.56
47
70
 
 
 
Diagrama de momentos flectores (kNm) 
 
-161
-44
-91
22
-40
25
30.68
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 30 - 
5) 
E
F
50
125
137.5
D
G
H
C
125
87.5
88.39
61.87 88.39
61.87
125
137.5
A
B
C
125
87.5
87.5
125 125
C
C
125
37.5
151
247
30
80
90
9072
54
37.5
37.5
125
75
3022.5
100
C
71
109.5
71
109.5
D
 
4 3 5
2 2+ = m 
α =





 =arctan .
3
4
36869898
o
 
90 72× =cos kNα 
90 54× =sen kNα 
 
Equações de equilíbrio: 
M R RD
ABCD
VA VA∑ = ⇒ × = +





 × × + × + × ⇒ =0 8 7
1
2
1 50 4 125
5
2
90 1375. kN 
M R RC
ABC
HA HA∑ = ⇒ × + × × +





 = × ⇒ =0 3 50 1 3
1
2
4 1375 125. kN 
F F RH
ABC
HA∑ = ⇒ = =0 1251 kN 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 31 - 
F F FV
ABC∑ = ⇒ + × = ⇒ =0 50 1 137 5 8752 2. . kN 
F F FH
Cnó 
 kN∑ = ⇒ = =0 1253 1 
F F FV
Cnó 
 kN∑ = ⇒ + = ⇒ =0 87 5 125 37 54 4. . 
F F F
H
CD∑ = ⇒ + = ⇒ =0 54 125 715 5 kN 
F FV
CD∑ = ⇒ = + =0 72 375 10956 . . kN 
F RH
DFGH
HH∑ = ⇒ = + =0 71 80 151 kN 
M R RE
DFGH
VH VH∑ = ⇒ × + × + = × + × ⇒ =0 3 15 80 30 3 151 1 1095 1375. . . kN 
F R RV VE VE∑ = ⇒ + = + + + × ⇒ =0 1375 1375 72 125 50 1 247. . kN 
Corpo ABC, ponto C: 
87 5 45 87 5 45 6187. cos º . sen º .× = × = kN 
125 45 125 45 88 39× = × =cos º sen º . kN 
Corpo CD, ponto C: 
375 30. cos× = kNα e 375 225. s .× =en kNα 
125 100× =cos kNα e 125 75× =sen kNα 
 
Reacções de apoio e orientação das barras 
 
A
B
C
D
E
F
G
H
125 kN
137.5 kN 247 kN
151 kN
137.5 kN
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 32 - 
Diagrama de esforços axiais (kN) 
-150.26
-125
-71
-122.5
-137.5
-151
 
Diagrama de esforços transversos (kN) 
-45
-26.5287.5
-71
-151
-109.5
137.5137.5
45
137.5
 
Diagrama de momentos flectores (kNm) 
-305
112.5
-78.5
-137.5
-109.5
28
-167.5
112.5
112.5
28
-305
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 33 - 
6) 
 
E F
30
G
C
120
90
42.43
60
A
B
90
D
90
120
60
42.43
90
120
150
120
150
375
63.64
63.64
84.85
84.85
C C
D
10
120
180 70
70
120
 
60 45 60 45 42 43× = × =cos º sen º . kN 
 
 
Equações de equilíbrio: 
 
F FH
ABC∑ = ⇒ = × =0 30 4 1201 kN 
F F FH
CD∑ = ⇒ = =0 1203 1 kN 
M F FD
CD∑ = ⇒ × + × = × ⇒ =0 4 2 60 4 120 902 2 kN 
F R FV
ABC
VA∑ = ⇒ = =0 902 kN 
M R RC
ABC
MA MA∑ = ⇒ = × +
×
⇒ =0 15 90
30 4
2
375
2
. kNm 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 34 - 
F FV
CD∑ = ⇒ = + =0 90 60 1504 kN 
M R RD
DEFG
VE VE∑ = ⇒ × + × = × +
×
⇒ =0 3 1 150 4 5 70
10 3
2
70
2
. kN 
F R RV VE VE∑ = ⇒ + = + + × + ⇒ =0 70 90 60 10 3 70 180 kN 
 
Corpo CD, ponto C: 
 
90 45 90 45 63 64× = × =cos º sen º . kN 
120 45 120 45 84 85× = × =cos º sen º . kN 
 
 
Reacções de apoio e orientação das barras 
 
 
A
B
C
D
E
G
375 kNm
90 kN
70 kN
120 kN
180 kN
F
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 35 - 
Diagrama de esforços axiais (kN) 
-120
90
-190.92
-148.49
-120
 
 
Diagrama de esforços transversos (kN) 
21.21
-150
30
-21.21
-120
70
-90
 
Diagrama de momentos flectores (kNm) 
375
-150
-105
135
135
60
 
 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 36 - 
7) 
Reacções de apoio e orientação das barras 
 
114 kNm
15 kN
151 kN
24 kN
A B
C
D
E
F
G
 
 
Diagrama de esforços axiais (kN) 
-60
36
-60
-24
-20
-5
 
 
Diagrama de esforços transversos (kN) 
60
-20
20
36
-52
-15
99
20
-20
5
 
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 37 - 
Diagrama de momentos flectores (kNm) 
-208
114
20
54
-10
50
-90
144
 
 
8) 
Reacções de apoio e orientação das barras 
46 kNm
70 kN400 kN
194.5 kN
47.5 kN
A
B
C
D E
F
G
H
I J
 
 
Diagrama de esforços axiais (kN) 
-194.5
-153.5
200 -70
-82.5
100
 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 38 - 
Diagrama de esforços transversos (kN) 
-200
-46
10
138
200
-82.5
110
-12
70
-47.5
-130
-160
 
Diagrama de momentos flectores (kNm) 
-300
65
290
15
80
46
260
320
290
260
95
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 39 - 
9) 
Reacções de apoio e orientação das barras 
C
A
D
E
336 kN
B
309 kNm
245 kN
 
 
 
Diagrama de esforços axiais (kN) 
−392
490
−294
−336
 
 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 40 - 
 
Diagrama de esforços transversos (kN) 
−150
142
−245
144
42
 
 
 
 
 
Diagrama de momentos flectores (kNm) 
 
−216 
309 
−426 
18.375 
 
 
 
 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 41 - 
10) 
 
 
E 
A B 
D C 
F 
120 kN 
195 kN 45 kN 
 
 
 
Diagrama de esforços axiais (kN) 
 
 
75 
−120 
−45 
−125 
−195 
−125 
 
 
 
 
João M. C. Estêvão - EST - UAlg 
 
 
 - 42 - 
 
Diagrama de esforços transversos (kN) 
 
 
60 
−120 
−65 
−132 
25 
120 
−120 
75 
93 
 
 
 
Diagrama de momentos flectores (kNm) 
 
 
120 
60 −252 
−10.42 
 
 
11) 
RVA HF VF= ↑ = → = ↑434 60 25 4 kN ; R kN ; R kN . ; RMF = 66 2. kNm 
Diagramas de esforços 
 
 
 - 43 - 
12) 
RHA VA VB= → = ↑ = ↑117 208 66 kN ; R kN ; R kN 
RHE ME= ← =27 40 kN ; R kNm 
13) 
RHA VA HB= → = ↑ = ←27 5 100 17 5. . kN ; R kN ; R kN 
RVB VC= ↑ = ↑85 30 kN ; R kN 
14) 
RHA VA HB= → = ↑ = ←58 43 5 81 kN ; R kN ; R kN . 
RVB MB= ↑ =76 5 351. kN ; R kNm ; R kN HI = →28 
15) 
RHA VA VB= ← = ↑ = ↓120 285 5 kN ; R kN ; R kN 
16) 
RHA VA HB= → = ↑ = →60 340 115 kN; R kN ; R kN 
RVB MB= ↓ =220 690 kN ; R kNm 
17) 
RHD VD HI VI= → = ↑ = = ↑60 40 0 60 kN ; R kN ; R ; R kN 
18) 
RVA HE VE HI= ↑ = ← = ↓ = →179 13 83 128 kN ; R kN ; R kN ; R kN 
19) 
kNm 67R ; kN 75.12R MAVA =↓= ; R kN VE = ↑68 
↑=←= kN 75.137R ; kN 83R VJHJ 
20) 
RHA VA HB VB= ← = ↑ = ← = ↑45 22 27 48 kN ; R kN ; R kN ; R kN