Caracteristica Geométrica de Superfícies Planas

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Resistência dos 
Materiais
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr. Antônio Carlos F. Bragança Pinheiro
Revisão Textual:
Profa. Esp. Vera Lídia de Sá Cicaroni
Características Geométricas de Superfícies Planas
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• Introdução
• Características Geométricas de Superfícies Planas
• Tabela de Características Geométricas de Superfícies Planas
 · O objetivo desta unidade é conceituar o que são características geométricas de 
superfícies planas; conceituar e calcular áreas de superfícies planas; conceituar 
e calcular o centro de gravidade de superfícies planas; conceituar e calcular o 
momento de inércia de superfícies planas; conceituar e calcular o raio de giração 
de superfícies planas.
Iniciaremos nossos estudos conceituando e apresentando as características geométricas de 
superfícies planas e sua importância para o cálculo estrutural. A partir de então, veremos o cálculo 
de áreas e a sua aplicação na determinação de superfícies compostas por figuras primitivas. 
Em seguida, aprenderemos a calcular o centro de gravidade das superfícies planas, por meio 
da utilização de eixos referenciais e do cálculo do momento estático de áreas.
Aprenderemos, também, o conceito de momento de inércia e a sua determinação para as 
figuras primitivas. Também aprenderemos o Teorema dos Eixos Paralelos, que é útil para o 
cálculo de momento de inércia de figuras compostas.
Por fim, será apresentado e conceituado o raio de giração para superfícies planas.
É interessante que você reveja alguns conceitos de matemática e de física, para facilitar o 
entendimento desses conceitos.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos.
Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns 
exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de 
realização e envio dessas atividades. 
Características Geométricas de Superfícies 
Planas
6
Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
Contextualização
No dimensionamento estrutural, são muito importantes as características geométricas 
dos elementos estruturais. Essas caractetrísticas irão determinar a resistência e a rigidez dos 
elementos estruturais.
Assim como o cálculo dos esforços internos solicitantes, a determinação das características 
geométricas das superfícies planas que compõem a seção transversal tem a mesma importância 
no dimensionamento estrutural. Para cada tipo de solicitação existe uma característica 
geométrica que é a mais adequada do ponto de vista estrutural e econômico. 
Aspectos do dia a dia de nossa vida pessoal ocorrem também nas atividades profissionais. 
Exemplo disso é o nosso trabalho diário. Nele, realizamos a escolha de elementos simples, 
como no caso da escolha da seção transversal de uma tábua para se construir uma prateleira 
para guardar livros. É possível perceber que uma determinada seção transversal da tábua 
curva-se intensamente, podendo até chegar ao colapso, dependendo da carga atuante sobre 
ela. Isso ocorre também nas peças estruturais. Em nossa vida pessoal e nas grandes estruturas, 
é necessário prever as cargas atuantes nas peças bem como a forma e dimensões da seção 
transversal dos elementos estruturais. 
Exemplificando com fatos do cotidiano, como podemos avaliar as dimensões da seção 
transversal da tábua constituinte de uma prateleira? Tendo essa informação, é possível 
determinar as tensões e as deformações atuantes na tábua constituinte da prateleira. 
O cálculo de sistemas estruturais mais complexos tem muita similaridade com o cálculo 
da tábua de uma prateleira, sendo a grande diferença entre elas a magnitude da ordem de 
grandeza das cargas atuantes. 
Para cada tipo de estrutura, existem questões estabelecidas e eventualidades que devem ser 
consideradas no cálculo estrutural.
As normas técnicas indicam as boas práticas para o cálculo estrutural. Assim, com esse 
exemplo simples de nosso cotidiano, como a determinação das características geométricas de 
uma tábua de prateleira, é possível ver a semelhança existente no cálculo de estruturas mais 
complexas presentes em seu dia a dia. 
 
7
Introdução
Os carregamentos que atuam nas estruturas geram esforços internos solicitantes nos 
elementos estruturais. Esses esforços internos geram tensões e deformações nos componentes 
das estruturas. A resistência de um elemento estrutural é avaliada quando as tensões que nele 
atuam são iguais ou menores que as tensões máximas admissíveis. A rigidez de um elemento 
estrutural é avaliada quando as deformações que nele existirem forem iguais ou menores que 
as deformações máximas permitidas.
A determinação prévia das tensões atuantes e das deformações que irão acontecer nos 
elementos estruturais é muito importante para que se possa dimensionar adequadamente 
esses elementos estruturais.
O conhecimento prévio das características geométricas de superfícies planas é fundamental 
para que seja possível calcular as tensões e deformações nos materiais.
Características Geométricas de Superfícies Planas
Para efeito do cálculo estrutural, a seção transversal dos elementos estruturais é considerada uma 
superfície plana. A forma como a matéria é distribuída na seção transversal influencia diretamente 
no dimensionamento, consequentemente na resistência e na rigidez dos elementos estruturais.
As principais características geométricas das superfícies planas utilizadas no cálculo estrutural são:
 » Área;
 » Posição do Centro de Gravidade;
 » Momento de Inércia;
 » Raio de Giração.
Área de Superfícies Planas
Área é uma grandeza física que representa a quantidade de superfície de uma região fechada. 
Sua dimensão é a unidade de comprimento elevada ao quadrado. Seu símbolo é a letra latina 
maiúscula (A). 
A área de uma superfície plana pode ser obtida através da somatória de todas as áreas de 
figuras primitivas de sua composição. A Figura 1 é uma seção em Tê, cuja área pode ser obtida 
da somatória de dois retângulos obtidos de sua segmentação em figuras primitivas. Os eixos Y 
e Z são eixos de referência da seção transversal e o eixo X é o eixo longitudinal. 
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Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
As figuras primitivas são as figuras conceituais, isto é, são aquelas cujas características 
geométricas fazem parte das definições básicas das construções geométricas, como, por 
exemplo, o quadrado, retângulo, triângulo, trapézio e o círculo. 
Os eixos de referência permitem a parametrização das grandezas físicas que estão 
sendo estudadas.
Figura 1 - Superfície plana na forma de Tê, segmentada em duas figuras primitivas.
A expressão matemática representativa da área é dada pela expressão (1).
iA = A ... (1)∆∑
 Exemplo1 
Determinar o valor da área da superfície plana na forma de Tê apresentada na Figura 1.
Solução:
A Figura 1 é uma superfície plana na forma de Tê que foi segmentada em duas figuras 
primitivas: um retângulo (1) e outro retângulo (2). 
Utilizando a expressão (1) para obtenção da área da Figura 1, através da somatória das 
áreas de figuras primitivas, tem-se a área da superfície plana na forma de Tê:
 » A = A1 + A2
 » A = [(25 + 10 + 25) x 10] + (10 x 70)
 » A = 600 + 700 = 1.300 cm2.
9
 Exemplo 2 
Determinar o valor da área da superfície plana na forma de retângulo vazado apresentada 
na Figura 2.
Figura 2 – Superfície plana na forma de retângulo vazado, segmentada em duas figuras primitivas.
Solução:
A Figura 2 é uma superfície plana na forma de retângulo vazado que foi segmentada em 
duas figuras primitivas: um retângulo maciço (1) e outro retângulo vazado (2). 
Utilizando a expressão (1) para obtenção da área da Figura 2, através da somatória das áreas de 
figuras primitivas, tem-se a áreada superfície plana na forma de retângulo vazado. Na somatória, 
como a área do retângulo vazado não existe, ela entrará com o sinal algébrico negativo:
 » A = A1 - A2
 » A = [(10 + 40 + 10) x (30 + 60 + 30)] - (40 x 60)
 » A = [60 x 120] - (2.400)
 » A = 7.200 – 2.400 = 4.800 mm2.
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Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
 Exemplo 3 
Determinar o valor da área da superfície plana na forma de retângulo vazado apresentada 
na Figura 3
Figura 3 – Superfície plana na forma de retângulo vazado, segmentada em três figuras primitivas.
Solução:
A Figura 3 é uma superfície plana na forma de retângulo vazado que foi segmentada em 
duas figuras primitivas: um retângulo maciço (1), retângulo vazado (2) e outro retângulo 
vazado (3). 
Utilizando a expressão (1) para obtenção da área da Figura 3, através da somatória das 
áreas de figuras primitivas, tem-se a área da superfície plana na forma de retângulo vazado. 
Na somatória, os retângulos vazados entrarão com o sinal negativo:
 » A = A1 - A2 - A3
 » A = [(10 + 40 + 10) x (10 + 30 + 40 + 30 + 10)] - (40 x 30) - (40 x 30) 
 » A = [60 x 120] – (1.200) – (1.200) 
 » A = 7.200 – 1.200 – 1.200 = 4.800 mm2.
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Centro de Gravidade de Superfícies Planas
Centro de Gravidade de Superfície Plana é uma grandeza física definida pelo encontro de 
todos os eixos de gravidade da superfície plana. Essa posição em um plano parametrizado por 
dois eixos ortogonais é dada por um par ordenado. Sua dimensão é a unidade de comprimento.
O centro de gravidade será representado pelas letras latinas maiúsculas CG. Sendo os eixos 
de referência dos planos denominados Y e Z, a posição do centro de gravidade da figura plana 
é dada pelo par ordenado ZCG e YCG. O valor ZCG é medido a partir do eixo de referência Y. O 
valor YCG é medido a partir do eixo de referência Z. O centro de gravidade é apresentado na 
expressão matemática (2).
CG CGCG = (Z ; Y ) ... (2)
A posição do centro de gravidade de uma superfície plana é definida como a somatória de 
todos os momentos 
Momento Estático de Superfície Plana ou Momento Estático de Área ou Momento Primeiro 
de Área é uma grandeza física que representa o produto da área pela distância de seu centro de 
gravidade até o eixo de referência. Sua dimensão é a unidade de comprimento elevada ao cubo.
O momento estático será representado pelas letras latinas maiúscula e minúscula (Ms). 
Observando a Figura 4, o momento estático da área elementar (∆a) em relação ao eixo Z (MsZ) 
é dado pelo produto da área elementar (∆a) pela sua distância (Y) até o eixo Z (Expressão 3).
M aY ...(3)sZ = ∆
Figura 4 – Superfície plana na forma de 
retângulo, segmentada em áreas elementares (∆a)
Também observando a Figura 4, o momento estático 
da área elementar (∆a) em relação ao eixo Y (MsY) é dado 
pelo produto da área elementar (∆a) pela sua distância (Z) 
até o eixo Y (Expressão 4).
sYM = aZ ... (4)∆
O momento estático da área de uma superfície plana é 
definido como a somatória de todos os momentos estáticos 
das áreas das figuras elementares de sua composição.
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Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
A expressão matemática (5) representa o momento estático de uma área em relação ao eixo Z.
s s iZ ZM = M ...(5)∑
A expressão matemática (6) representa o momento estático de uma área em relação ao eixo Y.
sY sYiM = M ...(6)∑
As expressões matemáticas representativas da posição do centro de gravidade da superfície 
plana referendada por eixos ortogonais Y e Z são as expressões (7) e (8). 
s i i
s i i
CG Z
CG Y
Y = M / A ... (7)
Z = M / A ... (8)
∆
∆
∑
∑
 Exemplo 4 
Determinar a posição do centro de gravidade da área da seção Tê apresentada na Figura 1.
Solução:
A posição do centro de gravidade é determinada pelas expressões (7) e (8):
YCG = ∑ MsZi / ∑ ∆Ai 
YCG = 
( ) ( ) [ ]
( ) ( ) [ ]
10 7025 10 25 10 70 10 70
69.5002 2 53,46
1.30025 10 25 10 10 70
cm
   
+ + × × + + × ×         
= =
+ + × + ×  
 
ZCG = ∑ MsYi/ ∑ ∆Ai 
ZCG = 
( ) ( ) [ ] [ ] [ ]
( ) ( ) [ ]
25 10 25 10 0 10 70 0
0
25 10 25 10 10 70
+ + × × + × ×  
=
+ + × + ×  
Então o centro de gravidade da seção Tê da Figura 1, em relação aos eixos referenciais Y 
e Z, é dado pelo par ordenado, na unidade de centímetros:
CG (0; 53,46) (Figura 5). Os eixos Y1 e Z1 passam pelo centro de gravidade da figura Tê e 
são paralelos aos eixos referenciais, respectivamente, Y e Z. 
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Figura 5 – Posição do centro de gravidade da figura do exemplo 1.
Observação O centro de gravidade estará sobre o eixo cujo momento estático resultante da figura em relação a esse eixo for igual a zero. Esse, também, é o caso dos exemplos 2 e 3.
Na determinação da posição do centro de gravidade, os valores das cotas Y e Z devem ser 
observados os sinais algébricos, isto é, esses valores devem ser tomados em relação aos eixos 
referenciais. Por exemplo, na Figura 6 os eixos referenciais são Z e Y. O eixo referencial Y 
é positivo crescente para cima. Assim, a distância YCG da posição do centro de gravidade da 
figura retangular em relação ao eixo referencial Z será positiva, porque é medida no sentido 
crescente do eixo Y.
Figura 6 – Exemplo de distância positiva do centro de gravidade em relação ao eixo referencial Z.
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Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
Também, por exemplo, na Figura 7 os eixos referenciais são Z e Y. O eixo referencial Y 
é positivo crescente para cima. Assim, a distância YCG da posição do centro de gravidade da 
figura retangular em relação ao eixo referencial Z será negativa, porque é medida no sentido 
decrescente do eixo Y.
Figura 7 – Exemplo de distância negativa do centro de gravidade em relação ao eixo referencial Z.
Como visto nos dois exemplos (Figuras 6 e 7), para determinação do sinal doa posição do centro 
de gravidade das figuras, deve ser observado o sentido crescente positivo dos eixos referenciais, 
porque eles podem ser colocados em qualquer sentido, isto é, para cima ou para baixo.
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Momento de Inércia de Superfícies Planas
Momento de Inércia de Superfície Plana ou Momento Segundo de Área é uma grandeza 
física definida pelo produto da área pelo quadrado da distância até o referencial. O momento de 
inércia avalia a distribuição da massa de um corpo. Sua dimensão é a unidade de comprimento 
elevada à quarta.
O momento de inércia da área será representado pela letra latina maiúscula (I). Sendo os 
eixos de referência do plano denominados Y e Z, os momentos de inércia em relação aos 
eixos são, respectivamente, IY e IZ. Se for em relação a um polo, será representado como I0. 
Segmentando a área da Figura 8 em pequenas áreas (∆a), os momentos de inércia em 
relação aos eixos ortogonais podem ser escritos como as expressões (9) e (10).
Figura 8 – Figura retangular segmentada em pequenas áreas (∆a).
2
Z
2
Y
I = a y ... (9)
I = a z ... (10)
∆
∆
∑
∑
O momento de inércia polar (I0) pode ser escrito como a expressão (11).
2
0I = a R ... (11)∆∑
Vendo a Figura 8, do Teorema de Pitágoras obtêm-se a expressão (12). 
2 2 2R = y z ... (12)+
Com (12) em (11):
I0 = Σ ∆a (y
2 + z2) = Σ ∆a y2 + Σ ∆a z2
0 z YI = I I ... (13)+
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Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
Assim, o momento de inércia polar de uma superfície plana é igual à somatória dos 
momentos de inércia em relação aos eixos ortogonais que passam pelo polo.
Cada superfície plana tem seu momento de inércia. Por exemplo, o momento de inércia de 
uma superfície plana retangular em relação aos eixos Y1 e Z1, que passam pelo seu centro de 
gravidade, bem como seu momento de inércia polar, são apresentados na Figura 9 (expressões 
14, 15 e 16).
Figura 9 – Momentos deInércia do Retângulo em relação aos eixos que passam pelo seu centro de gravidade.
 Teorema dos Eixos Paralelos
Na figura 10, foi traçado um eixo (Z) paralelo ao eixo (Z1), que passa pelo centro de gravidade 
da área (A). A distância entre esses dois eixos é dy. O momento de inércia da área (A) em 
relação ao eixo (Z) é dado pela expressão (17).
2
Z Z1 yI = I + A (d ) ... (17)
Figura10 – Momento de Inércia em relação a um eixo paralelo ao eixo que passa pelo centro de gravidade.
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Exemplo 5
Determinar o momento de inércia da superfície plana na forma de seção Tê apresentada na 
Figura 1, em relação aos eixos Z1 e Y1, que passam pelo seu centro de gravidade.
Solução:
Para calcular o momento de inércia da Figura1, foram posicionados os centros de gravidade 
das figuras primitivas componentes da superfície plana na forma de seção Tê (Figura 11). 
Figura 11 – Superfície plana na forma de seção Tê com a posição de seu centro de gravidade.
Para calcular os momentos de inércia da figura, deve-se utilizar o teorema dos eixos paralelos:
IZ1 = [IZ1 (figura 1) + IZ1 (figura 2)] + [A(figura 1) (dy (figura 1))
2 + A(figura 2) (dy (figura 2))
2]
IZ1 = [(60 x 10
3/12) + (10 x 703/12)] + [(60 x 10) x (53,46 - 75)2 + (10 x 70) x (53,46 - 35)2] 
IZ1 = [5.000 + 285.833,33] + [278.382,96 + 238.540,12] = 807.756.41 cm
4
IY1 = [IY1 (figura 1) + IY1 (figura 2)] + [A (figura 1) (dZ (figura 1))
2 + A (figura 2) (dZ (figura 2))
2]
IY1 = [(10 x 60
3/12) + (70x103/12)] + [(60 x 10) x (02) + (10 x 70) x (02)] 
IY1 = [180.000 + 5.833,33] = 185.833,33 cm
4
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Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
Exemplo 6
Determinar o momento de inércia da superfície plana da seção retangular vazada apresentada 
na Figura 2, em relação aos eixos Z1 e Y1, que passam pelo seu centro de gravidade.
Solução:
Para calcular o momento de inércia da Figura 2, os centros de gravidade das figuras 
primitivas coincidem com o centro de gravidade da superfície plana na forma de seção 
retangular vazada (Figura 12). 
Figura 12 – Superfície plana na forma de seção retangular vazada com a posição de seu centro de gravidade.
Para calcular os momentos de inércia, deve-se utilizar o teorema dos eixos paralelos:
IZ1 = [IZ1 (figura 1) - IZ1 (figura 2)] + [A(figura 1) (dy (figura 1))
2 - A(figura 2) (dy (figura 2))
2]
IZ1 = [(60 x 120
3/12) - (40 x 603/12)] + [(60 x 120) x (02) - (40 x 60) x (02)] 
IZ1 = [8.640.000 – 720.000] = 7.920.000 mm
4
IY1 = [IY1 (figura 1) - IY1 (figura 2)] + [A(figura 1) (dZ (figura 1))
2 - A(figura 2) (dZ (figura 2))
2]
IY1 = [(120 x 60
3/12) - (60 x 403/12)] + [(60 x 120) x (02) - (40 x 60) x (02)] 
IY1 = [2.160.000 – 320.000] = 1.840.000 mm
4
19
Exemplo 7
Determinar o momento de inércia da superfície plana da seção retangular vazada apresentada 
na Figura 3, em relação aos eixos Z1 e Y1, que passam pelo seu centro de gravidade.
Solução:
Para calcular o momento de inércia da Figura 3, os centros de gravidade das figuras 
primitivas coincidem com o centro de gravidade da superfície plana na forma de seção 
retangular vazada (Figura 13). 
Figura 13 – Superfície plana na forma de seção retangular vazada com a posição de seu centro de gravidade.
Para calcular os momentos de inércia, deve-se utilizar o teorema dos eixos paralelos:
IZ1 = [IZ1 (figura 1) - IZ1 (figura 2) - IZ1 (figura 3)] + [A(figura 1) (dy (figura 1))
2 - A(figura 2) (dy (figura 2))
2 - A(figura 3) (dy (figura 3))
2]
IZ1 = [(60 x 120
3/12) - (40 x 303/12) - (40 x 303/12)] + [(60 x 120) x (02) - (40 x 30) x 
(352) - (40 x 30) x (352)] 
IZ1 = [8.640.000 – 90.000 – 90.000] + [– 1.470.000 – 1.470.000] 
IZ1 = 8.460.000 – 2.940.000
IZ1 = 5.520.000 mm
4
IY1 = [IY1 (figura 1) - IY1 (figura 2) - IZ1 (figura 3)] + [A(figura 1) (dZ (figura 1))
2 - A(figura 2) (dZ (figura 2))
2 - A(figura 3) (dy (figura 3))
2]
IY1 = [(120 x 60
3/12) - (30 x 403/12) - (30 x 403/12)] + [(60 x 120) x (02) - (40 x 30) x 
(02) - (40 x 30) x (02)] 
IY1 = [2.160.000 – 160.000 – 160.000] = 1.840.000 mm
4
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Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
Raio de Giração de Superfícies Planas
Raio de Giração é grandeza física definida pela raiz quadrada da divisão do momento de 
inércia pela área da superfície plana. Para obter o raio de giração de uma superfície em relação 
a um eixo referencial, deve-se transformar essa área original em uma linha imaginária paralela 
a esse eixo, que tenha a mesma área que a figura original. A distância dessa linha imaginária 
em relação a esse eixo deve estabelecer para essa linha o mesmo momento de inércia que o 
obtido para a figura original. Sua dimensão é a unidade de comprimento.
O raio de giração será representado pela letra latina minúscula (r). Sendo os eixos de 
referência do plano denominados Y e Z, os raios de giração em relação aos eixos são, 
respectivamente, rY e rZ. Se for em relação a um polo, será representado como r0. 
Assim, para a Figura 14, tem-se para o eixo Z:
2
Z zI = a r∆∑
Como (rZ) é constante, não depende da área unitária (∆a), então pode sair da somatória:
Z
2
Z z
2
Z z
I
z ...(18)
A
I = r a
I = r A
r =
∆∑
Figura14 – Área da figura retangular transformada em uma linha.
 
21
Exemplo 8 
Determinar o raio de giração da superfície plana da seção em Tê da Figura 1, em relação 
aos eixos Z1 e Y1, que passam pelo seu centro de gravidade.
Solução:
Para calcular o raio de giração da Figura 1, é necessário conhecer os momentos de inércia 
em relação aos eixos Z1 e Y1 (obtidos no exemplo 5) e a sua área (obtida no exemplo 1). 
 » IZ1 = 807.756,41 cm
4
 » IY1 = 185.833,33 cm
4
 » A = 1.300 cm2
Z
1
Y1
Y1
I 807.756,41
z = 24, 93
A 1.300
I 185.833,33
 = 11, 96
A 1.300
r
r
cm
cm
= =
= =
Exemplo 9
Determinar o raio de giração da superfície plana da seção retangular vazada apresentada na 
Figura 2, em relação aos eixos Z1 e Y1, que passam pelo seu centro de gravidade.
Solução:
Para calcular o raio de giração da Figura 2, é necessário conhecer os momentos de inércia 
em relação aos eixos Z1 e Y1 (obtidos no exemplo 6) e a sua área (obtida no exemplo 2). 
 » IZ1 = 7.920.000 mm
4
 » IY1 = 1.840.000 mm
4
 » A = 4.800 mm2
1
1
7.920.000 40,62
4.800
Z
Z
Ir mm
A
= = =
1
1
1.840.000 19,58
4.800
Y
Y
Ir mm
A
= = =
22
Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
Exemplo 10
Determinar o raio de giração da superfície plana da seção retangular vazada apresentada na 
Figura 3, em relação aos eixos Z1 e Y1, que passam pelo seu centro de gravidade.
Solução:
Para calcular o raio de giração da Figura 3, é necessário conhecer os momentos de inércia 
em relação aos eixos Z1 e Y1 (obtidos no exemplo 7) e a sua área (obtida no exemplo 3). 
 » IZ1 = 5.520.000 mm
4
 » IY1 = 1.840.000 mm
4
 » A = 4.800 mm2
1
1
5.520.000 33,91
4.800
Z
Z
Ir mm
A
= = =
1
1
1.840.000 19,58
4.800
Y
Y
Ir mm
A
= = =
Tabela de Características Geométricas de Superfícies Planas
As tabelas de características geométricas de superfícies planas são úteis para o cálculo 
dessas grandezas físicas. A Tabela 1 apresenta as características geométricas para algumas 
figuras primitivas.
Tabela 1 – Características Geométricas de Superfícies Planas.
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Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
Material Complementar
Livros:
Nash, William A.; Potter Merle C. – Resistência dos Materiais – 5a. Edição – Coleção 
Schaum – ebook: Ed. Bookman.
Sites:
ABPE – Associação Brasileira de Pontes e Estruturas – Revista Engenharia Estudo e 
Pesquisa. Disponível em: <http://www.revistaeep.com/> Acesso em: 25/abril/2015
ABCEM – Associação Brasileira de ConstruçãoMetálica - artigos diversos. Disponível 
em: <http://www.abcem.org.br/artigos-tecnicos.php> Acesso em: 25/abril/2015.
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Referências
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Unidade: Características Geométricas de Superfícies Planas
Anotações