PROPRIEDADES GEOMETRICAS DE AREA

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19/09/2023, 14:52 Estácio: Alunos
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Exercício
 avalie sua aprendizagem
Um eixo circular maciço apresenta diâmetro D = 2R será utilizado em uma estrutura como elemento estrutural.
Como parte do dimensionamento da estrutura, o engenheiro necessita determina o momento estático ( ) da
seção reta (ver figura) em relação ao eixo horizontal x. Dessa forma, a expressão que calcula esse momento
estático ou de primeira ordem é:
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
RESISTÊNCIA DOS MATERIAIS EM ESTRUTURAS Lupa 
ARA1405_202303299125_TEMAS
Aluno: ARIANNA DOS SANTOS ANTUNES Matr.: 202303299125
Disc.: RES MAT EM ESTRU 2023.2 SEMI (G) / EX
Prezado (a) Aluno(a),
Você fará agora seu EXERCÍCIO! Lembre-se que este exercício é opcional, mas não valerá ponto para sua
avaliação. O mesmo será composto de questões de múltipla escolha.
Após responde cada questão, você terá acesso ao gabarito comentado e/ou à explicação da mesma. Aproveite
para se familiarizar com este modelo de questões que será usado na sua AV e AVS.
02756PROPRIEDADES GEOMÉTRICAS DE ÁREA
 
1.
Sx
Sx =
π.R3
4
Sx = 0
Sx = 2.π. R3
Sx = π.R
3
2
javascript:voltar();
javascript:diminui();
javascript:aumenta();
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Considere uma estrutura que possui uma viga com seção reta retangular tal que a base b tem o dobro do
comprimento da altura h. Considerando os eixos x' e y' que passam pelo centroide da figura, é correto afirmar
que o produto de inércia da área em relação aos eixos x'y'
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
(EBSERH / 2016) Em um período de montagem de uma estrutura metálica, são realizadas diversas
movimentações de cargas. Foi solicitado que o engenheiro mecânico elaborasse um plano de rigging para a
elevação de uma estrutura com a geometria mostrada na figura a seguir, com espessura uniforme. Qual ponto
(x, y) deverá ser o ponto de içamento da peça para que a sua carga esteja igualmente distribuída? Considere
que o material possui densidade uniforme.
Data Resp.: 19/09/2023 11:29:10
Explicação:
Solução: 
 
2.
0
Data Resp.: 19/09/2023 11:31:35
Explicação:
Solução: Os eixos centroidais da seção retangular também são eixos de simetria. Assim, pelo teorema da
simetria, o produto de inércia da seção em relação a esses eixos é nulo.
 
3.
(5,00; 5,00)
(5,25; 4,24)
Sx = π. R3
Sx = ¯̄̄y. A → Sx = (2.R). pR2 = 2.π. R3
b2.h2
72
b2.h2
48
−b2.h2
36
b2.h2
24
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(UFLA / 2016 - adaptada) Um parâmetro fundamental para o dimensionamento de uma peça sujeita a esforços
de flexão é denominado momento de inércia.
Considerando que a seção transversal de uma viga apoiada em suas extremidades (bi apoiada) possui as
dimensões mostradas na figura (sem escala, em centímetros) e que o esforço que provoca flexão está
representado pelo vetor F, o momento de inércia da seção (em relação ao eixo centroidal horizontal) a ser
empregado na determinação da tensão atuante na peça, devido a F, tem valor inteiro de:
(5,00; 4,00)
(4,00; 5,00)
(4,24; 5,25)
Data Resp.: 19/09/2023 11:34:39
Explicação:
Solução:
 
4.
Data Resp.: 19/09/2023 11:38:00
Explicação:
Solução: Pela simetria, o eixo centroidal horizontal passa pelo ponto médio da altura do perfil, ou seja, 15,5
cm.
Momento de inércia do retângulo em relação ao eixo centroidal: 
¯̄x̄ = e ¯̄̄y =∑
¯̄̄x i.Ai
∑Ai
∑ ȳi.Ai
∑Ai
¯̄x̄ = = 5, 25m(2,5).50+(7,5).(25)+(7,12).(19,625)−(1,6667).(12,5)50+25+19,625−12,5
¯̄̄y = = 4, 24m(5).50+(2,5).(25)+(7,12).(19,625)−(8,333).(12,5)
50+25+19,625−12,5
25.003cm4
26.873cm4
2.370cm4
40.203cm4
20.230cm4
Ix = b.h
3
12
Ix = + + = 25.002, 9cm45.31
3
12
17.53
12
5.313
12
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No dimensionamento de estruturas, várias propriedades geométricas de uma superfície devem ser
determinadas. Os momentos de inércia principais são propriedades importantes. Supondo que para
determinada seção reta esses momentos valem e . Nessa situação, o produto de inércia
valerá:
Considere uma seção reta de um componente estrutural, conforme a figura a seguir.
Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
O momento estático da seção triangular em relação ao eixo y ( ) é:
Uma viga de seção reta constante é apresentada na figura. Considere que as dimensões estão em milímetros.
Sejam os eixos centroidais ( e ), em destaque na figura. Determine o produto de inércia da seção em relação
a esses eixos.
 
5.
Data Resp.: 19/09/2023 11:46:12
Explicação:
Solução: Quando os momentos de inércia são extremos (máximo / mínimo) são denominados de momentos
principais. Nessa situação, o produto de inércia é nulo.
 
6.
Data Resp.: 19/09/2023 11:54:05
Explicação:
Solução: 
 
7.
15, 65cm4 2, 31cm4
Ixy = 0
Ixy = 13, 34cm4
Ixy = −6, 67cm4
Ixy = 6, 67cm4
Ixy = −13, 34cm4
Sy
Sy = 12.000cm3
Sy = 9.000cm3
Sy = 20.000cm3
Sy = 15.000cm3
Sy = 18.000cm3
Sy = ¯̄x̄ . A → Sy = 10.900 = 9.000cm3
¯̄x̄ ¯̄̄y
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Imagem: Julio Cesar José Rodrigues Junior
(MEC / 2009) A relação entre os momentos principais de inércia das seções transversais de dois elementos
estruturais com mesma área vale 4. A relação entre os raios de giração destas seções transversais vale:
Uma estrutura em equilíbrio em que parte dela é mostrada na figura. Suas dimensões estão descritas na figura.
Tomando-se como base um eixo horizontal eixo x passando pela base da estrutura, determine o momento
estático ( ) da seção reta em relação a esse eixo.
Data Resp.: 19/09/2023 11:55:54
Explicação:
Solução: O produto de inércia do triângulo retângulo, em relação aos eixos centroidais ( e ), é igual a 
. Substituindo os valores:
 
8.
8
4
2
1
16
Data Resp.: 19/09/2023 12:00:57
Explicação:
Solução:
Raio de giração: 
 
9.
−6.10−4m4
+6.10−4m4
+12.10−4m4
+2.10−4m4
−2.10−4m4
¯̄x̄ ¯̄̄y
¯̄̄I xy =
−b2.h2
72
¯̄̄I xy = = −2.10−4m4
−(0,3)2.(0,4)2
72
kx = √ IxA
= = √4 = 2kx1kx2
√
Ix1
A
√ Ix1
A
Sx
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Imagem: Resistência dos Materiais, HIBBELER, R.C, 2010, p. 210.
(DEMAE - GO / 2017 - adaptada) Para determinação das tensões máximas atuantes em seções transversais,
são necessários cálculos de características geométricas da seção, como o momento de inércia e o centro
geométrico da seção. A coordenada vertical do centro geométrico da seção pode ser expressa como:
onde A é a área da seção transversal e y é distância medida na vertical. Isto posto, considere a seção ilustrada
na figura.
Para esta seção transversal, a coordenada vertical do centro geométrico da seção (ycg), em relação à base da
seção, vale:
Data Resp.: 19/09/2023 12:07:48
Explicação:
Solução: 
 
10.
12,5 cm
7,5 cm
10 cm
17,5 cm
15 cm
Data Resp.: 19/09/2023 12:10:05
Explicação:
Solução:
Sx = 30.000cm3
Sx = 40.000cm3
Sx = 52.000cm3
Sx = 60.000cm3
Sx = 45.000cm3
Sx = ∑ ¯̄̄y. A → Sx = 20.(400) + 45.(800) + 20.(400) = 52.000cm3
ycg = ∫A ydA
1
A
¯
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¯̄̄y =
∑ ȳi.Ai
∑Ai
¯̄̄y = = 12, 5cm(7,5).75+(17,5).(75)75+75