Deformação em Barras por Cargas Axial e Por Temperatura

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Resistência dos 
Materiais
Material Teórico
Responsável pelo Conteúdo:
Prof. Dr.Antônio Carlos F. Bragança Pinheiro
Revisão Textual:
Profa. Esp. Vera Lídia de Sá Cicaroni
Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
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• Introdução
• Características Mecânicas dos Materiais
• Deformação por Carga Axial
• Deformação por Temperatura
 · O objetivo desta unidade é conceituar materiais dúcteis e frágeis. Apresentar o 
ensaio de tensão deformação para materiais dúcteis e caracterização das principais 
propriedades mecânicas; calcular as deformações por carga axial em elementos 
estruturais; conceituar e calcular tensão normal em barras; conceituar e calcular as 
deformações e as tensões por variação de temperatura.
Iniciaremos nossos estudos conceituando e apresentando as deformações em barras e por 
temperatura e a sua importância no cálculo estrutural. A partir de então, veremos a classificação 
dos materiais em dúcteis e frágeis. 
Em seguida, aprenderemos o ensaio tensão deformação e a caracterização das principais 
propriedades mecânicas.
Aprenderemos, também, o cálculo da deformação de barras por carga axial e os principais 
parâmetros intervenientes. Também aprenderemos o significado do Módulo de Elasticidade e da 
Rigidez Axial, que são propriedades mecânicas úteis para o cálculo das deformações em barras por 
carga axial.
Por fim, serão apresentados e conceituados a deformação em barras por temperatura e os 
parâmetros intervenientes no fenômeno.
É interessante que você reveja alguns conceitos de matemática e de física para facilitar o 
entendimento desses conceitos.
Para ajudá-lo, realize a leitura dos textos indicados, acompanhe e refaça os exemplos resolvidos.
Não deixe de assistir, também, à apresentação narrada do conteúdo e de alguns exercícios resolvidos.
Finalmente, e o mais importante, fique atento às atividades avaliativas propostas e ao prazo de 
realização e envio dessas atividades.
Deformações em Barras por Carga Axial e 
por Temperatura
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Unidade: Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
Contextualização
No dimensionamento estrutural é muito importante a determinação das deformações 
dos elementos estruturais. Essas características irão determinar a rigidez necessária dos 
elementos estruturais.
Assim, a determinação das deformações das barras é importante para a determinação do 
funcionamento dos mecanismos estruturais. Para cada tipo de solicitação estrutural existem 
parâmetros associados que conduzem à deformação bem como parâmetros a ela resistentes. 
Aspectos do dia a dia de nossa vida pessoal ocorrem também nas atividades profissionais. 
Exemplo disso é o nosso trabalho diário. Nele, realizamos a escolha de elementos simples, 
como no caso da escolha da seção transversal de um pendural para a fixação de um suporte 
de um projetor multimídia. É possível perceber que, para uma determinada seção transversal 
do pendural, ele poderá se deformar, podendo até atingir a deformação plástica. Isso ocorre 
também nas peças estruturais de grandes dimensões. Em nossa vida pessoal e nas grandes 
estruturas é necessário prever as deformações das peças estruturais. 
Exemplificando com fatos do cotidiano, como podemos avaliar as dimensões da seção 
transversal do pendural para que a deformação do pendural esteja dentro de limites toleráveis? 
Tendo essa informação, é possível determinar previamente as deformações atuantes no 
pendural e fazer as adequações necessárias em seu comprimento original. 
O cálculo de sistemas estruturais mais complexos tem muita similaridade com o cálculo 
do pendural de um projetor multimídia, sendo a grande diferença entre eles a magnitude da 
ordem de grandeza das cargas atuantes. 
Para cada tipo de estrutura, existem questões estabelecidas e eventualidades que devem ser 
consideradas no cálculo estrutural.
As normas técnicas indicam as boas práticas para o cálculo estrutural. Assim, com esse 
exemplo simples de nosso cotidiano, como a determinação das características geométricas de 
um pendural, é possível ver a semelhança existente no cálculo de estruturas mais complexas 
presentes em seu dia a dia.
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Introdução
Os carregamentos que atuam nas estruturas geram esforços internos solicitantes 
nos elementos estruturais. Esses esforços internos geram tensões e deformações nos 
componentes das estruturas. A resistência de um elemento estrutural é adequada quando 
as tensões que nele atuam são iguais ou menores que as tensões máximas admissíveis. A 
rigidez de um elemento estrutural é adequada quando as deformações que nele existirem 
forem iguais ou menores que as deformações máximas permitidas. As deformações nos 
elementos estruturais, dentre outras solicitações, podem ser causadas por forças axiais e 
por variação de temperatura.
Características Mecânicas dos Materiais
Forças axiais são as forças normais que são aplicadas no eixo longitudinal das barras, 
isto é, são forças normais que são aplicadas no centro de gravidade das seções transversais 
das barras. 
As deformações em barras causadas por força axial são as alterações causadas em seus 
comprimentos originais e são denominadas deformações unitárias (∆L). 
As deformações causadas em barras por força axial podem ser de dois tipos:
 » Deformação de alongamento, que ocorre quando a barra aumenta de tamanho 
pela ação de uma força axial de tração.
 » Deformação de retração, que ocorre quando a barra diminui de tamanho pela 
ação de uma força axial de compressão.
Propriedade Mecânica São as respostas características dos materiais componentes das peças estruturais para as condições mecânicas externas.
As propriedades mecânicas dos materiais são as respostas características de cada 
material para determinadas solicitações mecânicas. 
Essas características são obtidas por meio de ensaios laboratoriais, realizados através de 
procedimentos de testes padronizados que são indicados em normas técnicas. O objetivo 
da normalização de procedimentos laboratoriais é garantir que os resultados obtidos em 
quaisquer ensaios sejam comparáveis.
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Unidade: Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
Classificação dos Ensaios Mecânicos
1 Quanto à Integridade do Material Ensaiado
 » Ensaios Destrutivos são os ensaios mecânicos que 
provocam a inutilização parcial, ou total, da peça ensaiada. 
Como exemplo, tem-se os ensaios de dureza, fadiga, 
flexão, fluência, tenacidade à fratura, torção e tração.
 » Ensaios Não Destrutivos são os ensaios mecânicos que 
não comprometem a integridade da peça ensaiada. Como 
exemplo, tem-se os ensaios de líquidos penetrantes, 
microdureza, partículas magnéticas, raios-x, raios-γ, 
tomografia e ultrassom
2 Quanto à Velocidade de Ensaio » Ensaios Estáticos são os ensaios em que a carga é aplicada lentamente. Como exemplo, tem-se os ensaios de 
compressão, dureza, flexão, tração e torção.
 » Ensaios Dinâmicos são os ensaios em que a carga á 
aplicada rapidamente ou ciclicamente. Como exemplo, 
tem-se os ensaios dinâmicos: ensaios de fadiga e impacto.
 » Ensaios de Carga Constante são os ensaios em que a carga 
é aplicada durante um longo período. Como exemplo, tem-
se os ensaios de carga constante, como o ensaio de fluência.
Glossário: Reologia é o campo da Mecânica que estuda como os materiais sob tensões se deformam.
Os materiais, por sua constituição intrínseca, podem ser classificados em homogêneos 
ou heterogêneos. Os materiais homogêneos são os materiais de aspecto uniforme, 
compostos da mesma matéria (aço, madeira, alumínio, cobre etc.). Os materiais 
heterogêneos são os materiais de aspecto variado, compostos de matérias diferentes 
(concreto armado, compósitos etc.).
Os materiais, por suas características de resistência mecânica, podem ser classificados 
em isotrópicos ou anisotrópicos. Os materiais isotrópicossão os materiais que possuem 
as mesmas características mecânicas em todas as direções (aço, alumínio, cobre etc.). 
Os materiais anisotrópicos são os materiais que possuem diferentes características 
mecânicas em diferentes direções (concreto armado, madeira etc.).
Os materiais, por suas características de deformação e ruptura, podem ser dúcteis 
ou frágeis. Os materiais dúcteis são os materiais que sofrem grandes deformações 
permanentes antes da ruptura. Neles, a tensão máxima suportada (tensão última) é 
maior que sua tensão de ruptura (aço estrutural, alumínio, bronze, chumbo, cobre, latão, 
magnésio, molibdênio, náilon, níquel, teflon etc.). Os materiais frágeis são os materiais 
que rompem com valores muito baixos de deformação. Nesses materiais, a redução da 
área da seção transversal durante o ensaio de tração é insignificante e a tensão máxima 
suportada coincide com a tensão de ruptura (cerâmica, concreto, ferro fundido, pedra, 
vidro etc.).
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A deformação específica (ε) é a relação entre a deformação unitária (∆L) e o comprimento 
original da barra (L). Ela é uma propriedade mecânica adimensional (Expressão 1).
 L / L . .( ).ε = ∆ 1
A elasticidade dos corpos deformáveis é descrita pela “Lei de Hooke”, que foi postulada 
por Robert Hooke (físico inglês, 1635 – 1703). Ela afirma que a tensão (σ) é proporcional 
à deformação dos materiais (ε) (Expressão 2).
 ~     ( )...σ ε 2
A lei de Hooke é comprovada através de ensaios laboratoriais de tração em corpos de 
prova. A figura 1 apresenta o diagrama de ensaio de tração em um corpo de prova de aço 
estrutural, que é um material dúctil, homogêneo e isotrópico. 
Figura 1 – Diagrama de ensaio tensão versus deformação do aço estrutural.
No diagrama da Figura 1, existem três zonas distintas: elástica, plástica e de ruptura.
 » Zona Elástica é a região na qual é válida a Lei de Hooke. Nela, as tensões são 
proporcionais às deformações. Nela, quando é retirada a força que gerou a 
deformação, o material volta a ter o comprimento inicial.
 » Zona Plástica é a região na qual o corpo de prova é deformado plasticamente. 
Nela, quando é retirada a força axial que gerou a deformação, o material não volta 
ao seu comprimento original. Ele fica com tamanho maior que seu tamanho original. 
Essa deformação resultante é permanente e é chamada de deformação residual.
 » Zona de Ruptura é a região na qual o material sofre uma importante redução em 
sua seção transversal que conduz o material à sua ruptura.
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Unidade: Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
 No diagrama tensão versus deformação (Figura 1), existem pontos significativos. São eles: 
Tensão de 
proporcionalidade (σP)
É a tensão abaixo da qual os materiais se comportam elasticamente, seguindo a Lei 
de Hooke. Esse valor de tensão marca a fronteira entre a zona elástica e a zona 
plástica. Para os aços com baixo teor de carbono, por exemplo, ela varia entre 
210 MPa ≤ σP ≤ 350 MPa e, para os aços de alta resistência, a tensão de 
proporcionalidade poderá ser maior que 550 MPa.
Tensão de escoamento 
(σY)
É a tensão a partir da qual as deformações ocorrem sem haver um aumento da força 
aplicada. Para os aços com baixo teor de carbono, por exemplo, ela varia entre 
210 MPa ≤ σY ≤ 420 MPa.
Tensão última (σu) É a máxima tensão normal suportada por um material. Para os aços com baixo teor de carbono, por exemplo, ela varia entre 350 MPa ≤ σY ≤ 700 MPa.
Tensão de ruptura (σr) É a tensão com a qual o material irá romper. Para os aços com baixo teor de carbono, por exemplo, ela ocorre em torno de 380 MPa.
 » Patamar de escoamento - é uma região na zona plástica em que o material se 
deforma continuamente sob a ação da mesma tensão de tração.
Alguns materiais dúcteis, como o 
alumínio, não apresentam patamar de 
escoamento no diagrama tensão versus 
deformação. Nesse caso, é utilizado o 
Método da Equivalência, em que é 
adotada a deformação específica 0,2 
% para determinar o valor da tensão de 
escoamento (Figura 2).
Figura 2 - Diagrama tensão versus deformação do alumínio.
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 » Estricção - é o fenômeno da redução percentual da área da seção transversal 
do corpo sob força axial de tração, sendo essa a região em que irá ocorrer a 
ruptura (Figura 3).
A estricção mede a ductilidade do 
material. Os materiais dúcteis sofrem 
grande redução da área da seção 
transversal antes de sua ruptura. A 
estricção pode ser avaliada pela redução 
percentual da área da seção transversal 
(Expressão 3) ou pelo seu alongamento 
percentual no comprimento da peça 
(Expressão 4).
Figura 3 – Estricção.
A - A
 % = x 100 ... (3)
A
f
Estricção    
Em que:
A – área original seção transversal da barra
Af – área final da seção transversal da barra
L
 % = x 100 ... (4)
L
f L
Estricção
−   
Em que:
L – comprimento inicial da barra
Lf – comprimento final da barra
O diagrama tensões versus deformações para os materiais frágeis é apresentado na 
Figura 4. 
Figura 4 – Diagrama tensão versus deformação de materiais frágeis.
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Unidade: Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
Robert Thomas Young (físico inglês, 1773 – 1829) estudou a relação de proporcionalidade 
nos materiais proposta, inicialmente, por Robert Hooke. Ele observou que, para cada 
material, existe uma relação única de proporcionalidade entre tensão e deformação. Essa 
relação foi denominada Módulo de Elasticidade (E), também chamada de Módulo de Young. 
Alguns valores do módulo de elasticidade são apresentados no quadro 1.
Quadro 1 – Valores de Módulo de Elasticidade
Material E (GPa)
Aço 205
Alumínio 70
Cobre 110
Concreto (compressão) 14 a 28
Latão 97
Madeira (compressão) 7 a 14
Magnésio 45
Níquel 204
Titânio 107
Tungstênio 407
Utilizando o conceito de Young, a Lei de Hooke (expressão 2) fica escrita desta forma:
   ... ( )Eσ ε= 5
Assim, com (5), o módulo de elasticidade é:
 / . ( ).. E tgσ ε α= = 6
Observação: ver o ângulo (α) no diagrama tensões versus deformações (Figura 1).
As principais propriedades mecânicas dos materiais são:
Ductilidade é a capacidade mecânica do material de se deformar plasticamente antes de se romper.
Fragilidade é a capacidade mecânica do material de, rapidamente, perder seu estado original. É o oposto da capacidade mecânica de ductilidade.
Resiliência
é a capacidade mecânica do material de absorver energia mecânica em regime 
elástico. Assim, é a habilidade de um material em absorver energia sem danos 
permanentes ao material.
Tenacidade é a capacidade mecânica do material de absorver energia mecânica até a sua ruptura.
Fadiga é a capacidade mecânica do material de oferecer resistência a esforços cíclicos.
Elasticidade é a capacidade mecânica de um material de retornar ao estado inicial após a retirada da tensão.
Plasticidade é a capacidade mecânica de um material em se deformar por tensão igual ou superior ao limite de escoamento.
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Deformação por Carga Axial
Em uma barra com comprimento (L) e área (A), quando é aplicada uma força axial de 
tração (N), surge uma deformação unitária (∆L) conforme a Figura 5.
Figura 5 – Alongamento (∆L) em barra causado por força axial
Como: N / A.. ( ).σ = 7
e: E  ...( )σ ε= 5
e: L / L...( )ε = ∆ 1
Com (1) em (5) e igualando com (7): 
E ∆L/ L = N / A
L = ...(8)
NL
EA
∆
O produto no denominador (EA) é denominado Rigidez Axial.
A rigidez axial é o fator que restringe o alongamento de uma barra sujeita a uma força 
axial. Portanto, quanto maior for a rigidez axial, menor será a deformação de uma barra 
sujeita à carga axial. 
 Exemplo 1 
O conjunto da Figura 6 é composto por 
uma barra de aço de secção circular (1) 
com área de seção transversal de 100 
cm2 e por uma barra de aço de secção 
circular (2) com área de seção transversalde 250 cm2. O peso próprio das duas 
barras é desprezado, sendo aplicadas as 
cargas concentradas de 20 kN e 50 kN. 
Determinar o deslocamento do ponto A 
localizado na extremidade superior da 
barra 1. Dado: Eaço = 200 GPa.
Figura 6 – Representação gráfica conceitual do exemplo 1
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Unidade: Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
Solução
O conjunto estrutural apresentado na 
figura 6 está apoiado no ponto (C). Ela está 
sujeita a duas cargas concentradas em dois 
pontos em seu comprimento (A) e (B). 
Inicialmente será feito o diagrama de 
corpo livre e inserido um eixo referencial 
(Y) (Figura 7).
Figura 7 – 
Diagrama de Corpo Livre da Estrutura do exemplo 1.
Reações de Apoio
 (+) 
V 0= ↑∑
VC 
VC = 
R - 20 - 50 = 0
R 70 kN ... (1) - resultado da reação vertical do apoio (C)
+
↑
Força Normal (Axial)
O deslocamento vertical do ponto (A) está relacionado com a deformação de cada trecho 
da barra. Assim, será feito o cálculo e diagramas da força normal em cada trecho da barra.
0 < Y < 0,40 m (Figura 8)
Figura 8 – Trecho 0 < Y < 0,40 m – Estrutura do 
exemplo 1.
N = - 20 kN (compressão) ... (2) – força 
normal constante (valor constante de 
força normal no trecho 0 < Y < 0,40 m)
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0,40 m < Y < 1,00 m (Figura 9)
Figura 9 – Trecho 0,40 m < Y < 1,00 m – Estrutura do 
exemplo 1.
N = - 20 - 50 = - 70 kN (compressão) ... 
(3) – força normal constante (valor 
constante de força normal no trecho 
0,40 m < Y < 1,00 m)
O diagrama de forças normais é apresentado na figura 10.
Figura 10 – Gráfico de Forças Normais do exemplo 1. Deformações por Força Axial
Trecho AB
∆LAB = - (NAB x LAB) / (Eaço x AAB)
∆LAB =- (20 x10
3 x0,4) / (200 x109 x100 x10-4)
∆LAB = - 8.000 / 2,0 x 10
9
∆LAB = - 4,000 x 10
-6 m
∆LAB = - 0,00400 mm (encurtamento)
∆LBC = - (NBC x LBC) / (Eaço x ABC)
∆LBC = - (70 x10
3 x0,6) / (200 x109 x250 x10-4)
∆LBC = - 42.000 / 5,0 x 10
9
∆LBC = - 8,400 x 10
-6 m
∆LBC = - 0,00840 mm (encurtamento)
∆LAC = ∆LAB + ∆LBC
∆LAC = (- 0,00400) + (- 0,00840)
∆LAC = - 0,01240 mm (encurtamento)
Assim, ∆A = │∆LAC │ = 0,01240 mm ↓ 
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Unidade: Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
Exemplo 2
A barra rígida (indeformável) AB da figura 11 tem peso próprio desprezível. Ela é 
articulada no ponto (A) e suspensa por dois cabos em (B) e (D). Na aplicação da força 
P = 80 kN na posição (F), calcular:
a. A tensão normal nos cabos (1) e (2);
b. A reação vertical no apoio (A).
Dados: 
L1 = L2; 
Ε1 = 70 GPa; 
Ε2 = 210 GPa; 
Α1 = Α2 = 8 x 10
−4 m2
Figura 11 – Estrutura do exemplo 2.
Solução
A estrutura apresentada na figura 2 
é uma barra apoiada no ponto (A) e 
suportada por cabos no ponto (B) e 
no ponto (D). Ela está sujeita a uma 
carga concentrada no ponto (F). 
Inicialmente será feito o diagrama 
de corpo livre da barra AB (Figura 12).
Figura 12 – Diagrama de Corpo Livre da Estrutura do exemplo 2.
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Equilíbrio Estático
(+) 
V 0= ↑∑
( )1 2 – 0 ... VAR F F P+ + + = −1 equação
Efetuando a somatória dos momentos em relação ao apoio fixo (A): 
F1 x 2d – P x 3d + F2 x 4d = 0
1 22F + 4F = 3P ... (2) - equação
Este problema é hiperestático, porque tem-se duas equações e três incógnitas. Para obter 
mais uma equação, é necessário fazer a compatibilidade de deslocamentos (Figura 13).
Figura 13 – Deslocamentos da Estrutura do exemplo 2. Teorema de Tales de Mileto:
∆L1 - 2d }∆L2 - 4d
∆L1 / 2d = ∆L2 / 4d
2∆L1 = ∆L2 
2 (F1 L1 / E1 A1) = (F2 L2 / E2 A2); 
sendo L1 = L2 e A1 = A2 
2 (F1 / E1) = (F2 / E2)
No problema:
2 (F1 / 70.10
9) = (F2 / 210.10
9)
2 F1 = F2 / 3
F1 = F2 / 6
F2 = 6 F1 ... (3) - equação
Com (3) em (2):
2F1 + 4 (6 F1) = 3P 
26 F1 = 3P
F1 = 3 P/26 ↑ ... (4) – resultado 
(tração no cabo 1)
Com (4) em (3):
F2 = 6 (3 P/26)
F2 = 9 P/13 ↑ ... (5) – resultado 
(tração no cabo 2)
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Unidade: Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
a. Tensão Normal nos Cabos
Com (4): F1 = 3 x (80 / 26) = 9,23 kN
Com (5): F2 = 9 x (80 / 13) = 55,38 kN
σ1 = F1 / A1 = 9,23 x 10
3 / 8 x 10-4 = + 11,54 MPa
σ2 = F2 / A2 = 55,38 x 10
3 / 8 x 10-4 = + 69,23 MPa
b. Reação vertical no apoio (A)
Com (1):
+ RVA + 9,23 x 103 + 55,38 x 103 – 100 x 103 = 0
+ RVA = + 35,39 x 103
RVA = 35,39 kN ↑ ... (6) - resultado da reação vertical do apoio (A)
 
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Deformação por Temperatura
Deformação em barras causada por variação de temperatura é a deformação causada 
nas barras devido a efeitos térmicos, isto é, à variação de temperatura.
As deformações em barras causadas por variação de temperatura podem ser:
 » Deformação de expansão, que é causada por aumento de temperatura.
 » Deformação de contração, que é causada por redução de temperatura.
Coeficiente de Dilatação Térmica (α) 
Coeficiente de Expansão Térmica
ou é uma propriedade relacionada à dilatação de cada material 
em função da variação de temperatura. Essa propriedade é 
inerente a e única para cada material.
Deformação Térmica Específica (εT)
é um valor adimensional que relaciona o coeficiente de dilatação 
térmica com uma variação de temperatura. 
A deformação Térmica Específica (εT) é dada pela expressão (9).
( )T  = 9( )T ...ε α ∆
Em que: ∆T – variação de temperatura
Os valores do coeficiente de dilatação térmica de alguns materiais são apresentados no 
quadro 2.
Quadro 2 – Valores do Coeficiente de Dilatação Térmica de alguns materiais.
Material α (10-6 / 0C)
Aço 12
Alumínio 26
Bronze 18 – 21
Cobre 16,6 – 17,6
Concreto 7 - 14
Ferro Fundido 9,9 – 12
Latão 19,1 – 21,2
Tungstênio 4,3
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Unidade: Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
Deformação Térmica Absoluta (∆LT) 
é o valor da deformação de uma barra sujeita a uma variação 
de temperatura. 
Para um corpo elástico, a deformação térmica absoluta (∆LT) é dada pela expressão (10).
( ) T L...( )LT α∆ = ∆ 10
Onde: L – comprimento original da barra.
Tensão Térmica (σ) são as tensões provenientes de variação de temperatura causadas em barras.
A tensão causada por variação de temperatura em barras fixas é dada pela expressão (11).
( ) E .....( )Tσ α= ∆ 11
Exemplo 3
Um tubo de alumínio mede 72 m à temperatura de 24oC. Um tubo de aço, à mesma 
temperatura, é 20 mm mais longo. Calcular em qual temperatura esses tubos terão o 
mesmo comprimento.
Dados: αALUMÍNIO = 21,6 x 10
−6 / oC; αAÇO = 11,7 x 10
−6 / ºC
Solução
A figura 14 representa, para a 
temperatura de 24oC, no esquema 
(a), o tubo de alumínio e, no esquema 
(b), o tubo de aço. Na figura 14, os 
desenhos (c) e (d) representam os 
tubos alongados de alumínio e de 
aço, respectivamente. Os tubos são 
alongados diferentemente, devido à 
ação da variação de temperatura.
Figura 14 – Barras do exemplo 3.
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Sendo: 
Deformação térmica absoluta → ∆LT = α(∆T) L ... (1) - equação
Para atender ao enunciado do exemplo: 
LALUMÍNIO + ∆LT(ALUMÍNIO) = LAÇO + ∆LT(AÇO) ... (2) - equação
Com (1) em (2) e substituindo os dados do exemplo:
72.000 + (21,6 x 10–6 x 72.000 x ∆T) = 72.020 + (11,7 x 10−6 x 72.020 x ∆T)
+ 21,6 x 10–6 x 72.000 x ∆T - 11,7 x 10−6 x 72.020 x ∆T = 72.020 – 72.000
∆T = 20 / (+21,6 x 10−6 x 72.000 - 11,7 x 10−6 x 72.020)
∆T = 20 / (1,5552 - 0,8426)
∆T = 20 / 0,7126 = 28,07oC
T = 24 + 28,07 = 52,07oC
Assim, à temperatura T = 52,07oC, as barras teriam os seguintes comprimentos:
LALUMÍNIO = 72.000 + (21,6 x 10
−6 x 72.000 x 28,07) = 72.000 + 43,65 ≈ 72.043 mm
LAÇO = 72.020 + (11,7 x 10
−6 x 72.020 x 28,07) = 72.020 + 23,65 ≈ 72.043 mm
Exemplo 4
Uma barra de aço de 1.500 mm e área de 400 mm2, foi ajustada em suas extremidades 
a anteparos fixos à temperatura de 25oC.Determinar a tensão atuante na barra quando 
sua temperatura for 38oC.
Dados: αAÇO = 11,7 x 10
-6 /oC; E AÇO = 200 GPa.
Solução
O aumento de temperatura 
irá gerar um aumento no 
comprimento da barra de aço 
(Figura 15). Como isso não será 
possível, devido à existência dos 
anteparos nas extremidades, 
surgirá uma tensão normal de 
compressão devido ao surgimento 
de uma força normal interna.
Figura 15 – Situações do exemplo 4.
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Unidade: Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
Se a barra fosse livre na extremidade (B), a barra poderia alongar e atingir a posição 
(B1) (Figura 15-b):
∆T = TFINAL – TINICIAL = 38 – 25 = 13
oC.
∆ LT = α(∆T) L = 11,7 x 10–6 x 13 x 1.500 x 10–3 = 0,228 x 10–3 m ... (1) – 
resultado do alongamento da barra se fosse livre em (B).
Como a barra é fixa na extremidade (B), o alongamento devido à variação de temperatura 
não existirá. Assim, o apoio em (B) apresenta uma reação (RHB) para manter a barra na 
posição inicial e a deformação resultante será (Figura 15-c):
∆LAB = - (NAB x LAB ) / (Eaço x AAB) 
∆LAB = - (RHB x 1.500 x 10
–3) / (200 x 109 x 400 x 10-6)
∆LAB = - RHB x 18,75 x 10
–9 ... (2) – resultado da retração necessária para voltar 
a extremidade (B) para a posição inicial.
A deformação devido à temperatura provocaria um alongamento (∆LT) e a deformação 
devido à carga normal provocaria uma retração (∆LAB). A deformação final da barra seria 
nula, porque ela está fixa e ajustada em suas extremidades (A) e (B). Assim:
∆LT + ∆LAB = 0 ... (3) – expressão de equilíbrio de deformações.
Então, com (1) e (2) em (3):
0,228 x 10–3 - RHB x 18,75 x 10
-9 = 0
RHB = 12,16 kN ← ...(4) - resultado da reação horizontal na extremidade (B).
Para equilíbrio de corpo:
RHA = 12,16 kN → ...(5) - resultado da reação horizontal na extremidade (A).
A tesão atuante na barra devido à variação de temperatura será:
σ = N / A = 12,16 x 103 / 400 x 10-6 = 30,40 MPa ...(6) - tensão normal na barra.
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Material Complementar
Livros:
Nash, William A.; Potter Merle C. – Resistência dos Materiais – 5a. Edição – Coleção 
Schaum – ebook: Ed. Bookman.
Sites:
ABCEM – Associação Brasileira de Construção Metálica - artigos diversos. Disponível 
em: <http://www.abcem.org.br/artigos-tecnicos.php>. Acesso em: 25/abril/2015.
ABPE – Associação Brasileira de Pontes e Estruturas – Revista Engenharia Estudo e 
Pesquisa. Disponível em: <http://www.revistaeep.com/>. Acesso em: 25/abril/2015.
24
Unidade: Deformações em Barras por Carga Axial e por Temperatura
Referências
ASSAN, Aloisio Ernesto. Resistência dos Materiais – Vol. 1 – 1ª. ed. – Campinas, SP: 
Editora da UNICAMP, 2010. 
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr. E. R.; EISENBERG, E. R.; CLAUSEN, W. E. Mecânica 
Vetorial para Engenheiros – Estática – 7ª. ed. Porto Alegre: Bookman – Artmed, 2006.
BEER, F. P.; JOHNSTON Jr., E. R.; DEWOLFE, J. T. Resistência dos Materiais – 4ª. 
ed. Porto Alegre: Bookman – Artmed, 2006.
CRAIG Jr., R. R. Mecânica dos Materiais – 2ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 2003. 
GERE, James M. Mecânica dos Materiais – 1ª. ed. São Paulo: Pioneira Thomson 
Learning, 2003.
HIBBELER, R. C. Estática – 8ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999.
______. Resistência dos Materiais – 3ª. ed. Rio de Janeiro: LTC, 1999. 
MERIAM, J. L.; KRAIGE, L. G. Mecânica para Engenharia – 5ª. ed. Rio de Janeiro: 
LTC, 2009.
RILEY, W. F.; STURGES, L. P.; MORRIS, D. H. Mecânica dos Materiais – 5ª. ed. Rio 
de Janeiro: LTC, 2003.
SHEPPARD, S. D.; TONGUE, B. H. Análise e Projeto de sistemas em Equilíbrio – 
Estática – Rio de Janeiro: LTC, 2007.
UGURAL, Ansel C. Mecânica dos Materiais – 1ª ed. Rio de Janeiro: LTC, 2009.
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Anotações