Inferência e Regressão Linear

Prévia do material em texto

Inferência e Regressão Linear Flávio Tambellini 
 
 1 
Amostragem 
É a maneira pela qual se escolhe os elementos da 
população para formar a amostra. 
 
 Aleatória Simples: todos os elementos da 
população tem a mesma probabilidade de serem 
escolhidos, constituindo uma amostra. 
 Sistemática: é escolhido um elementos inicial e 
sabendo o tamanho do passo (quantidade ou 
tempo), acrescenta-se este passo e os outros 
elementos serão escolhidos. 
 Estratificada: é de acordo com o número de 
estratos, sendo o número de elementos em cada 
estrato proporcional ao tamanho do estrato. 
 Por Conglomerado: é retirada uma amostra que 
será uma população em miniatura. 
 
Estimativa 
É uma forma de tirar conclusão da população 
através dos dados da amostra. 
A estimativa pode ser pontual ou intervalar. 
A estimativa pode ser da média ou da proporção. 
 
Estimativa da Média 
• Estimativa Pontual da Média 
 ̅ 
 
• Estimativa Intervalar da Média 
 
 ̅ 
 
 ̅ ̅ 
 
 
 
 
- Estimativa Intervalar da Média quando o desvio 
padrão populacional não é conhecido e quando o 
tamanho da amostra é pequeno. 
 
 
 
√ 
 
 
- Estimativa Intervalar da Média quando o desvio 
padrão populacional é conhecido. 
 
 
 
√ 
 
 
Estimativa da Proporção 
• Estimativa Pontual da Proporção 
 
 ̅ 
 
• Estimativa Intervalar da Proporção 
 
 ̅ 
 
 ̅ ̅ 
 
 √
 ̅ ̅ 
 
 
 
Testes de Hipóteses 
Fazer um teste de hipótese é testar uma alegação, 
verificando se ela é verdadeira ou falsa. Existem 
duas hipóteses: a hipótese nula e a hipótese 
alternativa. 
 
Tipos de testes de hipóteses 
 
• Teste unilateral (ou unicaudal) à esquerda 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
 
Inferência e Regressão Linear Flávio Tambellini 
 
 2 
• Teste unilateral (ou unicaudal) à direita 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ou 
 
 
 
 
 
 
 
• Teste bilateral (ou bicaudal) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Procedimento para fazer um teste de hipótese. 
 
1 – Formular a hipótese nula e alternativa. 
2 – Escolher o nível de significância (α) e calcular os 
valores críticos ( zα ou zα/2 ou tα ou tα/2 ). 
3 – Calcular a estatística teste e comparar com os 
valores críticos. 
4 – Tirar a conclusão: rejeitar a hipótese nula se a 
estatística teste excede o valor crítico; caso 
contrário, não aceita-la. 
 
Cálculo da estatística teste 
 
• Estatística teste para a média quando não se 
conhece o desvio padrão populacional. 
 
 
 ̅ 
 
√ 
⁄
 
 
• Estatística teste para a média quando se 
conhece o desvio padrão populacional. 
 
 
 ̅ 
 
√ 
⁄
 
 
• Estatística teste para a proporção. 
 
 
 ̅ 
 
 
 
 √
 
 
 
 
 
Conclusão 
Se |Valor Teste| > |Valor Crítico| rejeita-se a 
hipótese nula para uma amostra de tamanho n a 
um nível de significância α. 
 
Erros do Tipo I e Tipo II 
 
 
 Se H0 é 
 Verdadeira Falsa 
A Ç Ã O 
Aceitar 
H0 
Decisão 
Correta 
Erro 
Tipo II 
Rejeitar 
H0 
Erro 
Tipo I 
Decisão 
Correta 
 
 
Erro do Tipo I: rejeitar a hipótese nula quando ela 
é verdadeira. 
 
Erro do Tipo II: aceitar a hipótese nula quando ela 
é falsa. 
 
Inferência e Regressão Linear Flávio Tambellini 
 
 3 
 é a probabilidade de se cometer o erro do Tipo I. 
 
 é a probabilidade de se cometer o erro do Tipo II. 
 
 
Regressão Linear 
A regressão linear é uma maneira de correlacionar 
duas variáveis, uma independente (x) e a outra 
dependente (y) através de uma função 
matemática, que pode ser do primeiro grau ou 
não. 
 
Modelo de regressão linear simples (população). 
 
Equação de regressão (população). 
 
 
Parâmetros desconhecidos: 
Dados da amostra 
X Y 
X1 Y1 
X2 Y2 
. . 
. . 
. . 
Xn Yn 
 
Calcular a equação de regressão estimada com os 
dados da amostra. 
 ̂ 
Estatística da amostra: a e b. 
Os valores a e b são as estimativas de α e β. 
 
Método dos Mínimos Quadrados 
Este método diz que a soma dos desvios dos 
valores de y das observações em relação aos 
valores de ̂ estimados ao quadrado é mínimo. 
 
∑ ̂ 
 
 
 
 
 
Aplicando o método dos mínimos quadrados a uma 
função do primeiro grau, teremos: 
 
 
∑ ∑ ∑ 
∑ ∑ 
 
 
 
∑ ∑ 
 
 
 
Os valores de a e b também podem ser 
determinados de acordo a análise de variância. 
 
 
 
∑ ∑ 
 
 
 
 
 
∑ ∑ 
 
 
 
 
∑ ∑ ∑ 
 
 
 
A primeira equação é a variância da variável x, a 
segunda equação é a variância da variável y e a 
terceira equação é a covariância que mede quão 
forte é a relação entre x e y. 
 
 
 
 
 
 
Coeficiente de Correlação (r) 
Mede o grau de ajuste dos pontos com a reta de 
regressão. A variação do coeficiente de correlação 
é: 
 
 
 
|r| = 1 ajuste linear perfeito 
|r| = 0,9 ajuste forte 
|r| = 0,7 ajuste moderado 
|r| = 0,5 ajuste fraco 
|r| = 0 ausência de ajuste linear 
 
 
 
 
 
 
 
∑ ∑ ∑ 
√∑ ∑ √∑ ∑ 
 
 
 
Coeficiente de Determinação (r2) 
 
Mede a porcentagem de explicação da variação de 
y com relação à variação de x. 
 
 
 
 
Inferência e Regressão Linear Flávio Tambellini 
 
 4 
 
Análise ANOVA para regressão linear 
 
 Soma dos 
Quadrados 
Graus de 
Liberdade 
Média dos 
Quadrados 
Estatística F 
Regressão ∑ ̂ ̅ 1 
∑ ̂ ̅ 
 
 
 
 
 
 
Resíduo ∑ ̂ n – 2 
∑ ̂ 
 
 
Total ∑ ̅ n – 1 
∑ ̅ 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Ajuste linear perfeito ( r = 1 ). Ajuste linear perfeito ( r = -1 ). 
 
 
 
 
Funções linearizáveis 
 
 
 
 
 
 
 
Lembrando que: 
 
 
 
 
Regressão linear com r = 0,937 e r2 = 0,8782 (87,82%) 
 
 
 
0
2
4
6
8
10
12
0 2 4 6 8 10
-1
4
9
14
0 2 4 6 8 10
0
2
4
6
8
10
12
14
0 2 4 6 8 10