Apostila Probabilidade & Estatística

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Probabilidade & Estatística - 1 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
 
 
 
PROBABILIDADE 
E ESTATÍSTICA 
para o curso de Engenharia de 
Produção 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
UNESA - Resende, 2014 
Uanderson Rebula de Oliveira
uanderson.rebula@yahoo.com.br 
 
PROBABILIDADE
E ESTATISTICA
para o curso de Engenharia de 
Produção 
 
Probabilidade & Estatística - 2 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
 
 
EMENTA 
Conceitos Preliminares. Séries Estatísticas, gráficos e distribuição de frequências. 
Medidas de posição e Medidas de Variação. Probabilidade. Eventos de 
probabilidades. Distribuição Binomial e Normal. 
 
OBJETIVO 
Refletir a partir da Estatística Básica sobre as ferramentas consolidadas pelo uso e 
pela ciência, disponíveis a todos, que auxiliam na tomada de decisão. 
 
Playlists Youtube: https://www.youtube.com/playlist?list=PLMq2o4TOsym4yeZYxjVArCSROkXEqMG0x 
 
 
 Curso de Engenharia de Produção
 
 UANDERSON REBULA DE OLIVEIRA 
Mestrando em Engenharia de Produção pela Universidade Estadual Paulista - UNESP 
Pós-graduado em Controladoria e Finanças-Universidade Federal de Lavras-UFLA 
Pós-graduado em Logística Empresarial-Universidade Estácio de Sá-UNESA 
Graduado em Ciências Contábeis-Universidade Barra Mansa-UBM 
Técnico em Metalurgia-Escola Técnica Pandiá Calógeras-ETPC 
 Técnico em Segurança do Trabalho-ETPC 
Operador Siderúrgico e Industrial-ETPC 
 
Atividades presentes 
Pesquisador na área de Logística Reversa e Sustentabilidade. Professor na UNIFOA no curso de Pós graduação 
em Engenharia de Segurança do Trabalho. Professor da Universidade Estácio de Sá nas disciplinas de Gestão 
Financeira de Empresas, Fundamentos da Contabilidade e Matemática Financeira, Probabilidade e Estatística 
para o curso de Engenharia de Produção, Análise Estatística para o curso de Administração, Ergonomia, 
Higiene e Segurança do Trabalho, Gestão de Segurança e Análise de Processos Industriais no curso de 
Engenharia de Produção. Professor na Associação Educacional Dom Bosco para os cursos de Administração, 
Logística, Engenharia de Produção e Engenharia Metalúrgica e Gestão da Produção. 
 
Atividades passadas 
Ex-Professor na Universidade Barra Mansa (2010-2012) nos cursos de Engenharia de Produção e de Petróleo. 
Ex-professor conteudista na UNESA (elaboração de Planos de Ensino e de Aula, a nível nacional). 
Ex-professor em escolas técnicas (2006-2010) nas disciplinas de Estatística Aplicada, Estatística de Acidentes 
do Trabalho, Probabilidades, Contabilidade Básica de Custos, Metodologia de Pesquisa Científica, Segurança na 
Engenharia de Construção Civil e Higiene do Trabalho. Ex-professor do SENAI (2007). 
Ex funcionário da CSN por 20 anos (1993-2014), onde atuou por 10 anos como Operador e Líder de Produção 
em vários setores e por 10 anos no setor de Segurança do Trabalho. Ex-membro do IBS–Instituto Brasileiro de 
Siderurgia em grupo de trabalho em assuntos pertinentes a Segurança do Trabalho. 
 
Currículo completo: http://lattes.cnpq.br/1039175956271626 
br.linkedin.com/in/uandersonrebula/ 
Probabilidade & Estatística - 3 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
 
 APRESENTAÇÃO 
DA DISCIPLINA 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Uma das ferramentas mais utilizadas hoje em dia 
pelos cientistas, analistas financeiros, médicos, engenheiros, 
jornalistas etc. é a Estatística, que descreve os dados observados e 
desenvolve a metodologia para a tomada de decisão em presença 
da incerteza. O verbete estatística foi introduzido no século XVIII, 
tendo origem na palavra latina status (Estado), e serviu 
inicialmente a objetivos ligados à organização político-social, como 
o fornecimento de dados ao sistema de poder vigente. Hoje em dia, 
os modelos de aplicação da Teoria Estatística se estendem por todas 
as áreas do conhecimento, como testes educacionais, pesquisas 
eleitorais, análise de riscos ambientais, finanças, controle de 
qualidade, análises clínicas, índices de desenvolvimento, 
modelagem de fenômenos atmosféricos etc. Podemos 
informalmente dizer que a Teoria Estatística é uma ferramenta que 
ajuda a tomar decisões com base na evidência disponível, decisões 
essas afetadas por margens de erro, calculadas através de modelos 
de probabilidade. 
 
No entanto, a probabilidade se desenvolveu muito 
antes de ser usada em aplicações da Teoria Estatística. Um dos 
marcos consagrados na literatura probabilística foi a 
correspondência entre B. Pascal (1623-1662) e P. Fermat (1601-
1665), onde o tema era a probabilidade de ganhar em um jogo 
com dois jogadores, sob determinadas condições. Isso mostra que o 
desenvolvimento da teoria de probabilidades começou com uma 
paixão humana, que são os jogos de azar, mas evoluiu para uma 
área fortemente teórica, em uma perspectiva de modelar a 
incerteza, derivando probabilidades a partir de modelos 
matemáticos. 
 
A análise combinatória deve grande parte de seu 
desenvolvimento à necessidade de resolver problemas 
probabilísticos ligados à contagem, mas hoje há diversas áreas em 
que seus resultados são fundamentais para o desenvolvimento de 
teorias, como, por exemplo, a área de sistemas de informação. 
 
Nesta apostila encontraremos as definições de 
Estatística, vocabulário básico, população e amostra, séries 
estatísticas, medidas de tendência central e medidas de 
variabilidade, além de conteúdo de probabilidades. 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade & Estatística - 4 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Falou mais o Senhor a Moisés, no deserto de Sinai, na tenda da 
congregação, no primeiro dia do mês segundo, no segundo ano da sua 
saída da terra do Egito, dizendo: 
Tomai a soma de toda a congregação dos filhos de Israel, segundo as 
suas gerações, segundo a casa dos seus pais, conforme o número dos 
nomes de todo o varão, cabeça por cabeça; 
Da idade de vinte anos e para cima, todos os que saem à guerra em 
Israel; a estes contareis segundo os seus exércitos, tu e Aarão. 
Estará convosco, de cada tribo, um homem que seja cabeça da casa dos 
seus pais. 
Todos os contados, pois, foram seiscentos e três mil, quinhentos e 
cinquenta. 
 
Números 1: 1-4; 46 
 
O texto acima indica que na Bíblia já encontrávamos informações sobre estatística... 
 
 
 
 
 
Probabilidade & Estatística - 5 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
Sumário 
 
 
 
 
1 – CONCEITOS PRELIMINARES 
 
1.1 CONCEITO E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA, 7 
1.2 FASES DO ESTUDO ESTATÍSTICO, 11 
1.3 VOCABULÁRIO BÁSICO DE ESTATÍSTICA, 12 
1.4 POPULAÇÃO E AMOSTRA, 14 
1.5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E INFERENCIAL , 16 
 
2 – SÉRIES ESTATÍSTICAS 
 
2.1 CONCEITOS E TIPOS DE SÉRIES ESTATÍSTICAS, 18 
Tabelas, 18 
Gráficos, 19 
 
2.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA, 22 
Freqüência absoluta e histograma, 22 
Freqüência relativa, absoluta acumulada e 
relativa acumulada, 23 
Agrupamento em classes, 24 
Polígono de frequência e ogiva, 25 
 
 3 – MEDIDAS RESUMO 
 
3.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO, 27 
MÉDIA, 27 
Média simples, 27 
Média ponderada, 27 
Média de distribuição de frequência, 28 
MEDIANA, 29 
MODA, 30 
RELAÇÃO ENTRE MÉDIA, MEDIANA E MODA, 323.2 MEDIDAS DE VARIAÇÃO (OU DISPERSÃO), 33 
Variância e Desvio Padrão, 34 
Coeficiente de Variação, 36 
Desvio padrão de Distribuição de frequência, 37 
 
4 –PROBABILIDADE 
 
4.1 CONCEITOS BÁSICOS DE PROBABILIDADES, 39 
Experimento aleatório, 39 
Espaço amostral, 39 
Princípio Fundamental da Contagem, 40 
Eventos, 42 
Probabilidade básica , 42 
 
 4.2 PROBABILIDADE BINOMIAL, 43 
 4.3 PROBABILIDADE DE POISSON, 43 
 4.4 PROBABILIDADE NORMAL, 44 
 
REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS, 47 
 
ANEXO I – LIVROS RECOMENDADOS, 48 
ANEXO II – SOFTWARE BIOESTAT , 49 
ANEXO III – ESTATÍSTICA NO EXCEL, 50 
ANEXO IV – EXEMPLOS DE APLICAÇÃO DE GRÁFICOS, 51 
 ANEXO V – EXEMPLOS DE APLICAÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO 
 DE FREQUÊNCIA, 53 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade & Estatística - 6 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como coletar e organizar dados de forma a 
tornar 
possível e fácil a sua interpretação? 
 
 
 
 
 
1 
 
CONCEITOS PRELIMINARES 
 
 
 
Probabilidade & Estatística - 7 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
1.1 CONCEITO E IMPORTÂNCIA DA ESTATÍSTICA 
 
ESTATÍSTICA NA PRÁTICA 
Analise as informações abaixo para melhor compreensão do conceito de Estatística. 
 
 ACIDENTES DO TRABALHO NO BRASIL – 1970 a 2005 
Conceito de Acidente: Lesão corporal ou doença, relacionada com o exercício do trabalho. (Lei 8.213/91 – art. 19 a 21) 
INSS: Órgão público responsável pela coleta, organização e representação dos dados. 
 
; Coleta: Por meio de um formulário eletrônico denominado “CAT – Comunicação de Acidente do Trabalho”, enviado 
pelas empresas quando da ocorrência, conforme determina o art. 22 da Lei 8.213/91. 
; Organização: Através de um grande banco de dados do INSS. 
; Representação: Através de um documento denominado “Anuário Estatístico de Acidentes do Trabalho”, contendo 
tabelas, gráficos e diversas análises. Disponível no site www.previdencia.gov.br, na seção “Estatística”. 
 
Motivo: Quando o trabalhador se afasta por motivo de acidente, o INSS concede benefícios acidentários, como auxílio 
doença acidentário, auxílio acidente, aposentadoria por invalidez, pensão por morte, reabilitação entre outros. 
 
COMPILAÇÃO E ANÁLISE DE DADOS (INFORMAÇÕES) sobre acidentes do trabalho, de 1970 a 2005: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se ao longo dos anos o aumento gradativo da quantidade de trabalhadores no Brasil, de 7.284.022 chegando a 33.238.617, 
reflexo do crescimento econômico do País. Essas informações (dados) são importantes para fins de comparação com a evolução da 
quantidade de acidentes do trabalho no mesmo período, como segue abaixo: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
No período de 1970 a 1976 a quantidade de acidentes foi alta, comparando-se com a pequena quantidade de trabalhadores no 
mesmo período. Somente a partir de 1978 os acidentes começaram a reduzir, em razão da aprovação das Normas 
Regulamentadoras – NR’s (disponível no www.mte.gov.br), tornando-se de aplicação obrigatória em todo o País. Esta redução pode 
ser vista como positiva, entretanto, não podemos comemorar esses números, pois a quantidade de acidentes ainda é alarmante e 
está praticamente estagnada, desde 1994. 
7.284.022
8.148.987
11.537.024
14.945.489
16.638.799
18.686.355
19.476.36219.673.915
22.163.827
23.661.57923.198.656
22.272.843
23.667.24123.830.312
24.491.635
26.228.629
27.189.614
28.683.91329.544.927
31.407.576
33.238.617
0
5.000.000
10.000.000
15.000.000
20.000.000
25.000.000
30.000.000
35.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Evolução da QUANTIDADE de TRABALHADORES 
no Brasil - 1970 a 2005. 
FONTE: Revista Proteção Anos 
 
1.220.111
1.504.723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178.472
961.575
1.207.859
991.581
693.572
532.514
388.304 395.455
414.341
363.868340.251393.071 399.077
465.700 491.711
0
250.000
500.000
750.000
1.000.000
1.250.000
1.500.000
1.750.000
2.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES DO 
TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005. 
Anos 
FONTE: Revista Proteção 
Aprovação das NR’s 
Probabilidade & Estatística - 8 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
E as regiões? Como esses acidentes estão distribuídos nas regiões do país? Qual a pior região? Vejamos abaixo em um 
Cartograma (mapa com dados), REFERENTE AO ANO DE 2005 (491.711 acidentes): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observa-se que a região em 1° lugar em número de acidentes é a Sudeste, em 2° está a região Sul, em 3° a região Nordeste, em 4° a região 
Centro-Oeste e por último a Norte. Ao analisarmos este gráfico podemos tomar diversas conclusões, porém, tais conclusões somente são 
possíveis através de um estudo, o que demanda tempo. Todavia, observa-se que a quantidade de acidentes acompanha a porcentagem da 
participação do PIB da região. Esta correlação pode ser resultado do reflexo da economia da região. Ora, a região Sudeste, por exemplo, 
corresponde a 56,5% do PIB do País. Logicamente esta região possui um maior número de empresas e, consequentemente, maior número de 
mão-de-obra e atividades produtivas, fato que pode justificar a enorme quantidade de acidentes comparada com as demais regiões. Esses 
dados também podem estar relacionados com as políticas dos estados e das empresas, a atuação das fiscalizações do Ministério do Trabalho, 
as culturas das regiões, os investimentos empresariais, a capacitação de mão de obra (treinamentos) entre outros fatores. Entende-se por 
Produto Interno Bruto (PIB) a soma, em valores monetários, de todos os bens e serviços finais produzidos em uma determinada região. 
 
Tradicionalmente, no Brasil, as políticas de desenvolvimento têm se restringido aos aspectos econômicos e vêm sendo traçadas 
de maneira paralela ou pouco articuladas com as políticas sociais, cabendo a estas últimas arcarem com os ônus dos possíveis 
danos gerados sobre a saúde da população, dos trabalhadores em particular e a degradação ambiental. Para que o Estado 
cumpra seu papel para a garantia desses direitos, é mister a formulação e implementação de políticas e ações de governo. 
 
POSSÍVEIS SOLUÇÕES PARA REDUZIR OS ACIDENTES 
 
A partir da análise dos dados podemos concluir que a política de segurança do trabalho adotada no País está estagnada. A 
simples aplicação da norma regulamentadora não está sendo suficiente para reduzir o índice de acidentes. Os dados nos 
mostram que não haverá mudanças significativas se não forem feitas alterações nessa política. 
 
Para contornar a situação, os Ministérios do Trabalho, da Saúde e da Previdência Social publicaram, para consulta pública, em 
29.12.2004 a PNSST - POLÍTICA NACIONAL DE SEGURANÇA E SAÚDE DO TRABALHADOR, com a finalidade de promover a 
melhoria da qualidade de vida e da saúde do trabalhador. 
 
Os Ministérios reconheceram a deficiência da segurança do trabalho no país, carecendo de mecanismos que: 
 
• Incentivem medidasde prevenção; 
• Responsabilizem os empregadores; 
• Propiciem o efetivo reconhecimento dos direitos do trabalhador; 
• Diminuam a existência de conflitos institucionais; 
• Tarifem de maneira mais adequada as empresas e 
• Possibilite um melhor gerenciamento dos fatores de riscos ocupacionais. 
Distribuição da quantidade e porcentagem de acidentes de trabalho no Brasil por Regiões, 
correlacionados com o Produto Interno Bruto - PIB - ano 2005. 
FONTE: Adaptado da Revista Proteção e do IBGE (www.ibge.gov.br) 
NORDESTE 
• Acidentes: 49.010 (10% do total) 
• PIB: 13,1% de participação 
SUDESTE 
• Acidentes: 279.689 (57% do total) 
• PIB: 56,5% de participação 
NORTE 
• Acidentes: 19.117 (4% do total) 
• PIB: 5% de participação 
CENTRO-OESTE 
• Acidentes: 31.470 (6% do total) 
• PIB: 8,9% de participação 
SUL 
• Acidentes: 112.425 (23% do total) 
• PIB: 16,6% de participação 
Espírito Santo - 11.039 acidentes 
Minas Gerais - 52.335 acidentes 
Rio de Janeiro - 34.610 acidentes 
São Paulo - 181.705 acidentes 
É campeão de acidentes no Brasil, participando com 
181.705, o que corresponde a 37% do total; por conseguinte 
o seu PIB também é o maior do País, com 33,9% de 
participação.
Probabilidade & Estatística - 9 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
Face ao exposto, a PNSST propõe, dentre outras, as seguintes ações a serem desenvolvidas pelos três Ministérios: 
 
Área Ações 
 
 
 
Tributos1, 
financiamentos 
e licitações. 
) Estabelecer política tributária que privilegie empresas com menores índices de acidentes e que 
invistam na melhoria das condições de trabalho; 
) Criar linhas de financiamento para a melhoria das condições de trabalho, incluindo máquinas e 
equipamentos, em especial para as pequenas e médias empresas; 
) Incluir requisitos de SST para concessão de financiamentos públicos e privados; 
) Incluir requisitos de SST nos processos de licitação dos órgãos públicos; 
) Instituir a obrigatoriedade de publicação de balanço de SST para as empresas, a exemplo do que já 
ocorre com os dados contábeis; 
 
 
 
Educação e 
pesquisa 
) Incluir conhecimentos básicos em SST no currículo do ensino fundamental e médio; 
) Incluir disciplinas em SST no currículo de ensino superior, em especial nas carreiras de profissionais 
de saúde, engenharia e administração; 
) Estimular a produção de estudos e pesquisas na área de interesse desta Política; 
) Articular instituições de pesquisa e universidades para a execução de estudos e pesquisas em SST, 
integrando uma rede de colaboradores para o desenvolvimento técnico - cientifico na área; 
) Desenvolver um amplo programa de capacitação dos profissionais, para o desenvolvimento das 
ações em segurança e saúde do trabalhador; 
Ambientes 
nocivos 
) Eliminar as políticas de monetarização dos riscos (adicionais de riscos). 
) Outras ações 
Coleta de dados 
) Compatibilizar os instrumentos de coleta de dados e fluxos de informações. 
) Incluir nos Sistemas e Bancos de Dados as informações contidas nos relatórios de intervenções e 
análises dos ambientes de trabalho, elaborados pelos órgãos de governo envolvidos nesta Política. 
 
CONSIDERAÇÕES FINAIS SOBRE O ESTUDO DE ACIDENTES. 
 
O que acabamos de ver é um estudo estatístico. Como vimos, os dados sobre acidentes do trabalho no Brasil são controladas 
pelo INSS. A comunicação de acidentes permite ao INSS estimar e acompanhar o real impacto do trabalho sobre a saúde e a 
segurança da população brasileira. O INSS coleta, organiza, apresenta e publica as estatísticas de acidentes do trabalho no 
Brasil. Conforme observado, quando ocorre um acidente, a empresa, por força de lei, é obrigada a 
enviar a CAT ao INSS, alimentando, assim, o seu grande banco de dados. 
 
É importante ressaltar que os dados de acidentes de trabalho não se constituem, tão somente, num 
importante registro histórico, mas sim numa ferramenta inestimável para os profissionais que 
desempenham atividades nas áreas de saúde e segurança do trabalhador, assim como 
pesquisadores e demais pessoas interessadas no tema. A análise desses dados possibilita a 
construção de um diagnóstico mais preciso acerca da epidemiologia dos acidentes, propiciando, 
assim, a elaboração de políticas mais eficazes para as áreas relacionadas com o tema. 
 
TÓPICO PARA REFLEXÃO Acidente do Trabalho: o problema do Brasil. 
Os acidentes de trabalho afetam a produtividade econômica, são responsáveis por um impacto substancial sobre o sistema de proteção 
social e influenciam o nível de satisfação do trabalhador e o bem estar geral da população. 
 
Estima-se que a ausência de segurança nos ambientes de trabalho no Brasil tenha gerado, no ano de 2003, um custo de cerca de R$32,8 
bilhões para o país. Deste total, R$ 8,2 bilhões correspondem a gastos com benefícios acidentários e aposentadorias especiais, equivalente a 
30% da necessidade de financiamento do Regime Geral de Previdência Social - RGPS verificado em 2003, que foi de R$ 27 bilhões. O restante 
da despesa corresponde à assistência à saúde do acidentado, indenizações, retreinamento, reinserção no mercado de trabalho e horas de 
trabalho perdidas. 
 
Isso sem levar em consideração o sub-dimensionamento na apuração das contas da Previdência Social, que desembolsa e contabiliza como 
despesas não acidentárias os benefícios por incapacidade, cujas CAT não foram emitidas. Ou seja, sob a categoria do auxílio doença não 
ocupacional, encontra-se encoberto um grande contingente de acidentes que não compõem as contas acidentárias. 
 
Parte deste “custo segurança no trabalho” afeta negativamente a competitividade das empresas, pois ele aumenta o preço da mão-de-obra, 
o que se reflete no preço dos produtos. Por outro lado, o incremento das despesas públicas com previdência, reabilitação profissional e 
saúde reduz a disponibilidade de recursos orçamentários para outras áreas ou induz o aumento da carga tributária sobre a sociedade. 
 
De outro lado, algumas empresas afastam trabalhadores, e muitas vezes os despedem logo após a concessão do beneficio. Com isso, o 
trabalhador se afasta, já sendo portador de doença crônica contraída no labor, e o desemprego poderá se prolongar na medida em que, para 
obter o novo emprego, será necessária a realização do exame admissional, no qual serão eleitos apenas aqueles considerados como “aptos” 
e, portanto, não portadores de enfermidades. 
 
Fonte: RESOLUÇÃO CNPS Nº 1.269, DE 15 DE FEVEREIRO DE 2006 
_________________ 
1. Tributo: Impostos; taxas e contribuições de melhoria, devida ao poder público. 
Probabilidade & Estatística - 10 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
CONCEITO DE ESTATÍSTICA 
 
É A CIÊNCIA QUE SE DEDICA EM COLETAR, ORGANIZAR, APRESENTAR, ANALISAR E INTERPRETAR DADOS 
(INFORMAÇÕES) PARA TOMADA DE DECISÃO. 
 
; Estatística é a ciência dos dados. A Estatística lida com a coleta, o 
processamento e disposição de dados (informações), atuando como 
ferramenta crucial nos processos de soluções de problemas. A Estatística 
facilita o estabelecimento de conclusões confiáveis sobre algum fenômeno 
que esteja sendo estudado (WERKEMA, 1995). 
 
; É por meio da análise e interpretação dos dados estatísticos que é possível o 
conhecimento de uma realidade, de seus problemas, bem como, a 
formulação de soluções apropriadas por meio de um planejamento objetivo 
da ação, para além dos “achismos” e “casuismos” comuns. 
 
; No uso diário o termo “estatística” refere-se a fatos numéricos. Tenha em 
mente, entretanto, que estatística é bem diferente de matemática. Estatística 
é, antes de qualquer coisa, um método científico que determina questõesde 
pesquisa; projeta estudos e experimentos; coleta, organiza, resume e analisa dados; interpreta resultados e esboça 
conclusões. Ou seja, utiliza-se dados como evidências para responder a interessantes questões sobre o mundo. A 
matemática só é utilizada para calcular a estatística e realizar algumas das análises, mais isso é apenas uma pequena parte 
do que realmente é a estatística. Portanto, a estatística mantém com a matemática uma relação de dependência, 
solicitando-lhe auxílio, sem o qual não poderia desenvolver-se. 
 
; A Estatística é uma ciência interdisciplinar, ou seja, é comum a duas ou mais disciplinas ou ramos de conhecimento. 
Assim, a Estatística é aplicada na Medicina, Administração, Engenharias, Economia, Contabilidade, Direito, Segurança do 
Trabalho, Qualidade, Marketing entre outras áreas. Veja abaixo. 
 
 
 
Medicina. Estudos de epidemiologia, 
inter-relações dos determinantes da 
freqüência e distribuição de doenças 
populacionais 
*Engenharia de Produção. Estudos de 
um conjunto de dados de todas as 
fases de um processo produtivo. 
Segurança do Trabalho. Estudos de 
acidentes e doenças, suas causas, 
quantidade, parte atingida, setores, % 
de afastamentos etc. 
Contabilidade. Estudos das 
informações financeiras das empresas 
públicas e privadas. 
Finanças. Estudos de uma série de 
informações estatísticas para orientar 
investimentos. 
Economia. Estudos de taxas de 
inflação, índice de preços, taxa de 
desemprego, futuro da economia. 
 
*Engenharia de Produção – A aplicação da Estatística na produção merece especial atenção. A atual ênfase na qualidade 
torna o controle da qualidade uma importante aplicação da estatística na área da produção. Usa-se uma série de mapas 
estatísticos de controle de qualidade para monitorar o resultado (output) de um processo de produção. Suponha, por 
exemplo, que uma máquina preencha recipientes com 2 litros de determinado refrigerante. Periodicamente, um operador 
do setor de produção seleciona uma quantidade de recipientes e verifica a exatidão, ou seja, se não há desvios. A 
Estatística também é usada na Engenharia de Produção para Estratificação, que consiste no agrupamento da informação 
(dados) sob vários pontos de vista, de modo a focalizar a ação, considerando os fatores equipamento, tempo entre outros. 
Exemplo: 
 
Tipo de dano: Operador: Máquina de lavar: Roupas danificadas 
em uma lavanderia Tipo de roupa: Marca do sabão: Máquina de secar: 
 
 
 
 
Probabilidade & Estatística - 11 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
1.2 FASES DO ESTUDO ESTATÍSTICO 
 
Um estudo estatístico confiável depende do planejamento e da correta execução das seguintes etapas: 
 
1. Definir o que será estudado e a natureza dos dados, como exemplo: 
 
ESTUDO NATUREZA DOS DADOS 
Acidentes do 
Trabalho no Brasil 
; Quantidade e período 
; Por regiões, estados ou municípios 
; Por atividade econômica 
; Por idade dos acidentados 
; Por parte do corpo atingida 
; Por causas dos acidentes etc. 
Peças danificadas na 
linha A 
; Tipo de peça | Tipo de defeito 
; Quantidade 
; Período e Turnos 
; Máquinas e Operadores 
; Matéria prima etc. 
 
 
 
Defina com clareza os objetivos da 
pesquisa, ou seja, o que se pretende 
apurar, que tipo de problema 
buscará detectar. 
 
 
 
2. Coletar dados 
 
Após definir o que será estudado e o estabelecimento do planejamento do trabalho (forma de coleta dos dados, 
cronograma das atividades, custos envolvidos, levantamento das informações disponíveis), o passo seguinte é o 
da coleta de dados, que consiste na busca ou compilação dos dados, componentes do fenômeno a ser 
estudado. Nessa etapa recolhem-se os dados tendo o cuidado de controlar a qualidade da informação. 
O sucesso de uma pesquisa depende muito da qualidade dos dados recolhidos. Podem ser por meio 
de Criação de Softwares, a exemplo da CAT; Uso de Softwares da empresa; Dados históricos 
da empresa (físicos); Pesquisas com questionários etc. 
 
3. Organizar e contar dados 
 
À procura de falhas e imperfeições, os dados devem ser cuidadosamente organizados e contados, a fim de não incorrermos 
em erros grosseiros que possam influenciar nos resultados. No exemplo da “Estatística na prática”, após a coleta da quantidade 
de acidentes por meio da CAT, organiza-os por período, regiões etc. Da mesma maneira, se você usa um questionário para 
coletar dados na empresa, organiza-os da forma necessária à pesquisa, além da contagem a ser feita. 
 
4. Apresentação de dados 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5. Análise dos dados e tomada de decisão 
 
Chegamos à fase mais complexa do processo estatístico, que consiste na análise dos dados. Por fim, a 
partir da análise realizada, poderemos chegar a uma tomada de decisão. Observe o estudo 
“Estatística na prática”. O que resultou a análise dos acidentes no Brasil, no período de 1970 a 
2005? Veja que os Ministérios do Trabalho, Previdência Social e da Saúde se mobilizaram para 
resolverem essa questão de saúde pública, com diversas ações a serem implementadas no país. A 
partir dessa discussão, fica claro que um profissional com conhecimentos de Estatística terá maior 
facilidade em identificar um problema em sua área de atuação, determinar os tipos de dados que 
irão contribuir para sua análise, coletar esses dados e a seguir estabelecer conclusões e determinar 
um plano de ação para a solução do problema detectado. 
Os dados devem ser 
apresentados sob a 
forma de tabelas ou 
gráficos, a fim de 
tornar mais fácil e 
rápido o exame 
daquilo que está 
sendo estudado. 
1.220. 111
1.504. 723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178. 472
961. 575
1. 207.859
991.581
693. 572
532.514
388.304 395. 455
414.341
363. 868 340.251 393.071 399.077
465.700 491.711
0
250 .000
500 .000
750 .000
1.000 .000
1.250 .000
1.500 .000
1.750 .000
2.000 .000
1970 1972 1974 19 76 1978 19 80 1982 1 984 1986 1 988 1990 1992 1994 1996 199 8 2000 20 01 2002 20 03 2004 2 005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES DO 
TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005. 
Anos 
FONTE: Revista Proteção 
Aprovação das NR’s 
Probabilidade & Estatística - 12 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
1.3 VOCABULÁRIO BÁSICO DE ESTATÍSTICA 
 
O vocabulário utilizado em estudos estatísticos teve sua origem nos primeiros estudos feitos pela humanidade e que eram 
relativos à demografia (estudo estatístico das populações). Por isso a Estatística emprega termos próprios dessa área de 
conhecimento, mas com um sentido diferenciado. Assim, para dar prosseguimento, é de extrema importância destacar alguns 
termos utilizados no jargão estatístico. 
 
VARIÁVEL – É o termo usado para aquilo que você está pesquisando, estudando, analisando. 
, 
; No estudo representado no gráfico abaixo a variável é o acidente do trabalho. Utilizada como um adjetivo do 
vocabulário do dia-a-dia, variável sugere que alguma coisa se modifica ou varia. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
São exemplos de Variáveis 
Doenças, Sexo, Estaturas, Peso, Idade, Renda, Natalidade, Mortalidade, PIB, Inflação, Exportações brasileiras, 
Produção de café, Alimentação, Peças produzidas por hora, Paradas de produção no mês, Rotatividade de 
estoque por ano, Poluição, Clima na região sudeste, Consumo de energia no mês, Vendas mensais de uma 
empresa, Produção diária de automóveis etc. 
 
 
EXEMPLO DE APLICAÇÃO: 
A associação dos moradores de um bairro queria traçar um perfil dos frequentadores de um parque ali situado. Uma equipe 
de pesquisa elaborou questões a fim de reunir as informações procuradas.Numa manhã de quarta-feira, 6 pessoas foram 
entrevistadas e cada uma respondeu a questões para identificar idade, número de vezes que freqüenta o parque por semana, 
estado civil, meio de transporte utilizado para chegar ao parque, tempo de permanência no parque e renda familiar mensal. Os 
resultados são mostrados na tabela a seguir: 
 
 
 
 
Cada um dos aspectos investigados — os quais permitirão fazer a análise desejada — é denominado variável. 
 
 
1.220.111
1.504.723
1.796.671
1.743.825
1.551.461
1.464.211
1.178.472
961.575
1.207.859
991.581
693.572
532.514
388.304 395.455
414.341
363.868340.251393.071 399.077
465.700 491.711
0
250.000
500.000
750.000
1.000.000
1.250.000
1.500.000
1.750.000
2.000.000
1970 1972 1974 1976 1978 1980 1982 1984 1986 1988 1990 1992 1994 1996 1998 2000 2001 2002 2003 2004 2005
Involução da QUANTIDADE de ACIDENTES 
DO TRABALHO no Brasil - 1970 a 2005. 
FONTE: Revista Proteção Anos 
VARIÁVEL 
Variáveis 
Probabilidade & Estatística - 13 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
TIPOS DE VARIÁVEIS 
 
Há, pois, uma divisão principal para as variáveis estatísticas, que consiste em considerá-las como Variáveis Quantitativas 
(discretas ou contínuas) e Variáveis Qualitativas (nominal ou ordinal). Esta divisão é de facílima compreensão! 
 
 
Então, os tipos de Variáveis da pesquisa do parque serão: 
 
 
 
 
 
 
PARA LEITURA 
Se a dúvida persiste, você pode observar no quadro abaixo mais esclarecimentos sobre esses conceitos. 
 
Tipo de VARIÁVEL Resposta fornecida à pesquisa 
Quantitativa 
(Em números) 
Será Quantitativa a variável para a qual se possa atribuir um valor numérico. Se a resposta fornecida à pesquisa estiver expressa 
por um número, então a variável é quantitativa. Por exemplo: quantos livros você lê por ano? A resposta é um número? Então, 
variável quantitativa. Quantas pessoas moram em sua casa? A resposta é um número? Então, novamente, variável quantitativa. 
No caso do estudo “ACIDENTE DO TRABALHO, é uma variável quantitativa, pois estudamos a quantidade de acidentes no período 
de 1970 a 2005 
; Discreta 
(números inteiros) 
(contagem) 
Variável Quantitativa Discreta é a variável quantitativa que assume somente números inteiros. Resulta, geralmente, de 
contagem. Esta variável não pode assumir qualquer valor, dentro de um intervalo de valores de resultados possíveis. Por 
exemplo, se eu pergunto quantos irmãos você tem, a resposta jamais poderia ser “tenho 3,75 irmãos”, ou “tenho 4,8 irmãos”, ou 
seja, a resposta não poderia assumir todos os valores de um intervalo! Este acima é o conceito formal de variável discreta! O 
conceito para memorizar é o seguinte: aquela variável obtida por meio de uma contagem. Em outras palavras: a variável 
discreta você conta!. Exemplos: quantas pessoas moram na sua casa? Quantos livros você tem? Quantos carros você tem? Se, 
para responder à pergunta, você faz uma contagem, então está diante de uma variável quantitativa discreta. 
; Contínua 
(Números não inteiros) 
(medição) 
Variável Quantitativa Contínua é aquela que pode assumir qualquer valor dentro de um intervalo de resultados possíveis. Se eu 
pergunto quantos quilos você pesa, a resposta pode ser 65,35kg. Se eu pergunto qual a temperatura na cidade hoje, a resposta 
pode ser 27,35°C. Para facilitar a memorização, basta lembrar que a variável quantitativa contínua pode ser obtida por uma 
medição, ou seja, a variável contínua você mede! Exemplos: peso, altura, duração de tempo para resolução de uma prova, 
pressão, temperatura etc. 
Qualitativa 
(nomes, atributos) 
Se a pergunta é “qual a sua cor preferida?”, logicamente a resposta não será um número, daí estaremos tratando de uma 
variável qualitativa, ou seja, aquela para a qual não se atribui um valor numérico. Exemplos: Sexo: masculino ou feminino 
 
ÁVARI VEL 
QUANTITATIVA 
QUALITATIVA 
DISCRETA
ÍCONT NUA
Quando não é possível ordenar as categorias. 
Ex.: sexo (masculino ou feminino), Cor dos olhos (preto ou verde), 
campo de estudo (Engenharia, Direito etc) 
Não é possível estabelecer uma ordem, uma gradação, o mais ou 
menos importante, prioritário etc. 
ORDINAL 
NOMINAL
Quando as variáveis forem em números 
inteiros, obtido por contagem: 
0 1 2 3 4 55 77 987 etc. 
 
Ex.: Idade (anos), gols de futebol, etc 
Quando as variáveis forem em números 
não inteiros, assumem qualquer valor: 
0,2 1,12 3,77 4,768 etc. 
 
Ex.: Altura (cm), peso (kg), tempo (hh:mm) 
Núme r o
o meN
 
n tI e i
 
Não 
Quando é possível ordenas as categorias. 
Pesquisa de alimentação: 
 [1] Ótimo [2] Bom [3] Regular [4] ruim 
Grau de instrução de funcionários de uma empresa 
 1º grau 2º grau Superior Mestrado Doutorado 
r d e nO áv
l 
Não é 
Qualitativa nominal
Quantitativa discreta Quantitativa contínua 
Probabilidade & Estatística - 14 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
1.4 POPULAÇÃO E AMOSTRA 
 
Quando você quer saber se a sopa ficou boa, o que você faz? Mexe a panela, retira um pouco com uma colher 
e prova. Depois tira uma conclusão sobre todo o conteúdo da panela sem, na verdade, ter provado tudo. 
Portanto, é possível ter uma idéia de como a sopa está sem ter que comer tudo. Isso é o que se faz em 
estatística. 
 
A estatística deixou de ser a simples catalogação de dados numéricos e se tornou o estudo de como chegar a 
conclusões sobre o todo (população), partindo da observação e análise de partes desse todo (amostra). Essa é 
sua maior riqueza. Assim, podemos conceituar população e amostra como: 
 
POPULAÇÃO É UM CONJUNTO DE TODOS OS ELEMENTOS EM ESTUDO. 
AMOSTRA É UMA PARTE DA POPULAÇÃO (ou subconjunto). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
; Muitas vezes quando queremos fazer um estudo estatístico, não é possível analisar toda a população envolvida com o 
fato que pretendemos investigar, como exemplo o sangue de uma pessoa ou a poluição de um rio. É impossível o 
teste do todo. Há situações também em que é inviável o estudo da população, por exemplo, a pesquisa com todos os 
torcedores em um estádio de futebol durante uma partida. Nesses casos, o estatístico recorre a uma amostra que, 
basicamente, constitui uma redução da população a dimensões menores, sem perda das características essenciais. 
 
; Os resultados fundamentados em uma amostra não serão exatamente os mesmos que você encontraria se estudasse 
toda a população, pois, quando você retira uma amostra, você não obtém informações a respeito de todos em uma 
dada população. Portanto, é importante entender que os resultados da amostra fornecem somente estimativas dos 
valores das características populacionais. Com métodos de amostragens apropriados, os resultados da amostra 
produzirão “boas” estimativas da população, ou seja, um estudo bem feito não elimina o erro, mas limita-o a uma 
margem, procurando torná-la o menor possível. Quando aprendemos estatística inferencial, também aprendemos 
técnicas para controlar esses erros de amostragem. 
 
4 razões para selecionar uma amostra 
 O número de elementos em uma população é muito grande; 
 Demanda menos tempo do que selecionar todos os itens de uma população; 
 É menos dispendioso (caro) do que selecionar todos os itens de uma população; 
 Uma análise amostral é menos cansativa e mais prática do que uma análise da população inteira. 
 
São exemplos de População e Amostra: 
MEDICINA. Pretende-se estudar o efeito de um novo medicamento para curar determinada doença. É selecionadoum grupo 
de 50 doentes, administrando-se o novo medicamento a 10 desses doentes escolhidos ao acaso e o medicamento habitual 
aos restantes. 
População: Todos os 50 doentes com a doença que o medicamento a estudar pretende tratar. 
Amostra: Os 10 doentes selecionados. 
CONTROLE DE QUALIDADE. O Gerente de Produção de uma fábrica de parafusos pretende assegurar-se de que a 
porcentagem de peças defeituosas não excede um determinado valor, a partir do qual determinada encomenda poderia ser 
rejeitada. 
População: Todos os parafusos fabricados ou a fabricar, utilizando o mesmo processo. 
Amostra: Parafusos escolhidos ao acaso entre os lotes produzidos. 
Podemos visualizar o conceito 
de população e amostra na 
figura ao lado. 
 
Quando pesquisamos toda a 
população, damos o nome de 
censo. 
 
A precisão depende do 
tamanho da amostra, e 
quanto maior é o tamanho 
amostral, maior será a 
precisão das informações. 
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
N é designado para População 
n é designado para Amostra 
“N”
“n”
Probabilidade & Estatística - 15 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
ESTUDOS DE MERCADO. O gerente de uma fábrica de produtos desportivos pretende lançar uma nova linha de esquis, pelo 
que encarrega uma empresa especialista em estudos de mercado de “estimar“ a porcentagem de potenciais compradores 
desse produto. 
População: conjunto de todos os praticantes de desportos de neve. 
Amostra: conjunto de alguns praticantes inquiridos pela empresa. 
SISTEMAS DE PRODUÇÃO. Um fabricante de pneus desenvolveu um novo tipo de pneu e quer saber o aumento da 
durabilidade em termos de kilometragem em relação à atual linha da empresa. Produz diariamente 1000 pneus e selecionou 
120 para testes. 
População: 1000 pneus. 
Amostra: 120 pneus. 
 
OUTROS EXEMPLOS DE AMOSTRAGEM: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Probabilidade & Estatística - 16 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
1.5 ESTATÍSTICA DESCRITIVA E ESTATÍSTICA INFERENCIAL 
 
Estatística Descritiva – É o ramo da estatística que envolve a 
organização, o resumo e a representação dos dados para tomada de 
decisão. 
 
Estatística Inferencial – É o ramo da estatística que envolve o uso da 
amostra para chegar a conclusões sobre a população. É o caso das 
pesquisas eleitorais feita pelo IBOPE. Entrevistam uma parte da 
população para tirar conclusões sobre o eleitorado brasileiro. Uma 
ferramenta básica no estudo da estatística inferencial é a 
probabilidade. 
 
 
 
Algumas ferramentas aplicadas à Estatística Inferencial: 
 
Probabilidades 
Uma Probabilidade é uma medida numérica que representa a chance de um evento ocorrer. Ex.: Ao lançar um dado, qual a 
probabilidade de obter o valor 4? R = 1/6 = 16% 
 
Estimação, margem de erro e intervalo de confiança 
Suponha que o tempo médio que você leva para chegar ao trabalho de carro é de 35’, com uma margem de erro de 5’ para 
mais ou para menos. A estimativa é de que o tempo médio gasto até chegar ao trabalho fica em algum ponto entre 30’ e 40’. 
Esta estimativa é um intervalo de confiança, pois leva em consideração o fato de que os resultados da amostra irão variar e dá 
uma indicação de uma variação esperada. 
 
 
A margem de erro é uma medida de quão próximo você espera que seus resultados representem toda a população que está sendo estudada. 
Vários fatores influenciam a amplitude de um intervalo de confiança, tais como o tamanho amostral, a variabilidade da população e o quanto 
você espera obter de precisão. A maioria dos pesquisadores contenta-se com 95% de confiança em seus resultados. Estar 95% confiante indica 
que se você coletar muitas, mas muitas amostras e calcular o intervalo de confiança para todas, 95% dessas amostras terão intervalos de 
confiança que abrangerão o alvo. 
 
Teste de hipótese 
Teste de hipótese é um procedimento estatístico em que os dados são coletados e medidos para comprovar uma alegação feita 
sobre uma população. Por exemplo, se uma pizzaria alega entregar as pizzas dentro de 30’ a partir do pedido, você pode 
testar se essa alegação é verdadeira, coletando uma amostra aleatória do tempo de entrega durante um determinado 
período de tempo e observar o tempo médio de entrega para essa amostra. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
AMOSTRA
(uma parte da população)
POPULAÇÃO
(todos os elementos em estudo)
 
Inferência 
Probabilidade & Estatística - 17 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Como organizar dados de maneira adequada de 
forma a facilitar a interpretação de dados? 
 
 
 
2 
 
SÉRIES ESTATÍSTICAS 
Probabilidade & Estatística - 18 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
2.1 CONCEITOS E TIPOS DE SÉRIES 
 
As tabelas e gráficos constituem um importante instrumento de análise e interpretação de um conjunto de dados. 
Diariamente é possível encontrar tabelas e gráficos nos mais variados veículos de comunicação (jornais, revistas, televisão, 
Internet), associadas a assuntos diversos do nosso dia-a-dia, como resultados de pesquisas de opinião, saúde e 
desenvolvimento humano, economia, esportes, cidadania, etc. A importância das tabelas e dos gráficos está ligada sobretudo à 
facilidade e rapidez na absorção e interpretação das informações por parte do leitor e também às inúmeras possibilidades de 
ilustração e resumo dos dados apresentados. 
 
TABELAS 
 
São quadros que resumem um conjunto de dados. 
 
 
 
Tipos de Tabelas 
 
SÉRIE HISTÓRICA 
Descreve os valores da variável, 
discriminados por TEMPO (anos, 
meses, dias, horas, etc. 
 
 
 
SÉRIE GEOGRÁFICA 
Descreve os valores da variável, 
discriminados por REGIÕES (países, 
cidades, bairros, ruas, layout, etc) 
 
 
SÉRIE ESPECÍFICA 
Descreve os valores da variável, 
discriminados por temas 
ESPECIFICOS. 
 
 
 
 
SÉRIE CONJUGADA 
É utilizado quando temos a necessidade de apresentar em uma única 
tabela a variação de valores DE MAIS DE UMA VARIÁVEL, isto é, 
fazer de forma conjugada de duas ou mais séries. 
 
Esta série, por exemplo, é GEOGRÁFICA – HISTÓRICA 
 
 
 
 
 
Título – conjunto de informações sobre o estudo. 
Cabeçalho –especifica o conteúdo das colunas 
Coluna indicadora –especifica o conteúdo das linhas 
Coluna numérica -–especifica a quantidade das linhas 
Linhas – retas imaginárias de dados 
Célula – espaço destinado a um só número 
Rodapé – simplesmente a fonte dos dados 
Probabilidade & Estatística - 19 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
GRÁFICOS 
 
A importância dos gráficos está ligada à facilidade e rapidez na absorção e interpretação das informações e 
também às inúmeras possibilidades de ilustração e resumo dos dados apresentados. Eis os mais usados: 
 
Gráfico em Linha 
É a representação dos valores por meio de linhas. Usamos quando precisamos de uma informação rápida de um 
valor ao longo do tempo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico em Colunas 
É a representaçãodos valores por meio de retângulos, dispostos verticalmente. Utiliza-se muito quando 
necessitamos saber a quantidade de valor. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
ACIDENTES DO TRABALHO EM 
SÃO PAULO: 1989 - 1991
0
500
1000
1500
2000
2500
1989 1990 1991
anos
Q
ua
nt
id
ad
e
São Paulo
Guarulhos
Campinas
Osasco
Santos
FONTE: Dados fictícios
 QUANTIDADE DE ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO: 1989 - 1994
6254
7265
6325
5458
8658
9578
0
2000
4000
6000
8000
10000
12000
1989 1990 1991 1992 1993 1994
Anos
Q
ua
nt
id
ad
e
FONTE: Dados fictícios 
 ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO: 1989 - 1994
6254
7265
6325
5458
8658 9578
0
2000
4000
6000
8000
10000
1989 1990 1991 1992 1993 1994
Anos
Q
ua
nt
id
ad
e
FONTE: Dados fictícios 
Probabilidade & Estatística - 20 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
Gráfico em Barras 
É o mesmo conceito que o de Colunas, porém utiliza-se sempre que os dizeres a serem inscritos são extensos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico em Setores 
Este gráfico é construído com base em um círculo, e é empregado sempre que desejamos ressaltar a participação 
de um dado no total, geralmente na forma de porcentagem. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Gráfico de Pareto 
É um gráfico de colunas na qual a altura de cada barra representa os dados, porém na ordem de altura 
decrescente, com a coluna mais alta posicionada à esquerda. Tal posicionamento ajuda a enfatizar dados 
importantes e é frequentemente usado nos negócios. 
 
Os cinco veículos mais vendidos 
no Brasil em janeiro de 1995 
 
Veículo 
Quantidade 
(milhões) 
m 34 
Monza 30 
Gol 25 
Corsa 22 
Fusca 15 
FONTE: dados fictícios 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 QUANTIDADE DE ACIDENTES DO TRABALHO
EM SÃO PAULO - POR TIPO - 1989
55
1396
698
3578
598
0 1000 2000 3000 4000
Impacto
Perfuração
Atrito
Queda
Corte
Ti
po
Quantidade
FONTE: Dados fictícios 
ACIDENTES DO TRABALHO
SÃO PAULO - 1989 
 FONTE: Dados fictícios 
Os cinco veículos mais vendidos 
no Brasil em janeiro de 1995
15
2225
30
34
0
10
20
30
40
Ômega Monza Gol Corsa Fusca
Veículos
Q
ua
nt
id
ad
e 
(m
ilh
õe
s)
FONTE: Dados fictícios 
Probabilidade & Estatística - 21 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
Número de cada 
Delegacia 
Gráfico Cartograma 
Este gráfico é empregado quando o objetivo é o de demonstrar os dados estatísticos diretamente relacionados 
com áreas geográficas ou políticas (mapas), corpo humano entre outras figuras aplicáveis. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DE APOIO - VÍDEO – VARIÁVEIS E ELABORAÇÃO DE GRÁFICOS 
https://www.youtube.com/watch?v=hHkYlMIEBFU&list=PLMq2o4TOsym4yeZYxjVArCSROkXEqMG0x&index=2 
FONTE: SSP/SP 
Probabilidade & Estatística - 22 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
2.2 DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
Frequência absoluta e Histograma 
 
 Ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados, em geral é útil organizá-los e resumi-los em uma tabela, chamada Distribuição de frequência. 
 
; Na distribuição de frequência listamos todos os valores coletados, um em cada linha, marcam-se as vezes em que eles 
aparecem, incluindo as repetições, e conta-se a quantidade de ocorrências de cada valor. Por este motivo, tabelas 
que apresentam valores e suas ocorrências denominam-se distribuição de freqüências. 
; O termo “freqüência” indica o número de vezes que um dado aparece numa observação estatística. 
 
EXEMPLO 
 
Um professor organizou os resultados obtidos em uma prova com 25 alunos da seguinte forma: 
 
 Notas dos 25 alunos Comentário 
4,0 5,0 7,0 9,0 9,0 
4,0 5,0 7,0 9,0 9,0 
4,0 5,0 7,0 9,0 9,0 
4,0 6,0 8,0 9,0 9,0 
4,0 6,0 8,0 9,0 9,0 
 Agora ele pode fazer uma representação gráfica para analisar o 
desempenho da turma. Em primeiro lugar, o professor pode fazer uma 
tabulação dos dados, ou seja, organizá-los de modo que a consulta a eles 
seja simplificada. Então, faremos a distribuição de freqüência destas 
notas, por meio da contagem de dados. 
 
 Distribuição de freqüência Comentário 
Nota Freqüência, f 
(nº de alunos) 
4,0 5 
5,0 3 
6,0 2 
7,0 3 
8,0 2 
9,0 10 
 ∑f=25 
 Esta forma de organizar dados é conhecida como distribuição de 
frequência, e o número de vezes que um dado aparece é chamado de 
frequência absoluta, representado por f. Exemplos: 
 
; A frequência absoluta da nota 4,0 é 5. 
; A freqüência absoluta da nota 9,0 é 10. 
 
O símbolo grego ∑ “sigma” significa “somatório”, muito usado em 
Estatística. Portanto, ∑f=25 significa a soma de 5+3+2+3+2+10. 
 
Representamos a freqüência por um gráfico, chamado Histograma. 
 
 
 HISTOGRAMA Comentário 
 
 
ESTA FREQUÊNCIA QUE ACABAMOS DE ESTUDAR É DENOMINADA FREQUENCIA 
ABSOLUTA (f), QUE É SIMPLESMENTE A CONTAGEM DOS DADOS. 
 
; Em Estatística não trabalhamos somente com frequência absoluta (f), mas também com outros tipos de freqüências, 
que são: freqüência relativa (fr), frequência absoluta acumulada (Fa) e frequência relativa acumulada (FRa). 
 
; Estudaremos agora cada uma delas. 
 
Quando os dados numéricos são organizados, eles geralmente são 
ordenados do menor para o maior, divididos em grupos de tamanho 
razoável e, depois, são colocados em gráficos para que se examine sua 
forma, ou distribuição (no exemplo: 4,0 – 5,0 – 6,0 – 7,0 – 8,0 – 9,0). Este 
gráfico é chamado de Histograma. 
 
Um histograma é um gráfico de colunas juntas. Em um histograma não 
existem espaços entre as colunas adjacentes, como ocorre em um gráfico 
de colunas. No exemplo, a escala horizontal (→) representa as notas e a 
escala vertical (↑) as freqüências. 
 
O histograma ao lado indica que cinco alunos tiraram a nota 4,0; três alunos tiraram 
a nota 5,0; dois alunos tiraram a nota 6,0; três alunos tiraram a nota 7,0; dois alunos 
tiraram 8,0 e dez alunos tiraram 9,0. 
5
3
2
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o 
d
e 
al
un
os
4,0 5,0 6,0 7,0 8,0 9,0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
Probabilidade & Estatística - 23 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
Frequência Relativa fr (%) 
 
Conceito. Representado por fr(%), significa a relação existente entre a frequência absoluta f e a soma das freqüências ∑f. É a 
porcentagem (%) do número de vezes que cada dado aparece em relação ao total. 
 
EXEMPLO 
 5/25 * 100 = 20%. 
 freqüência relativa fr (%) Comentários aos cálculos 
Notaf fr(%) 
4,0 5 20% 
5,0 3 12% 
6,0 2 8% 
7,0 3 12% 
8,0 2 8% 
9,0 10 40% 
 ∑f=25 100% 
 A frequência relativa fr(%) é obtida por f/∑f * 100, conforme abaixo: 
 
; A fr(%) da nota 4,0 é 5/25 * 100 = 20%. 
; A fr(%) da nota 5,0 é 3/25 * 100 = 12% 
; A fr(%) da nota 6,0 é 2/25 * 100 = 8% 
; A fr(%) da nota 7,0 é 3/25 * 100 = 12% 
; A fr(%) da nota 8,0 é 2/25 * 100 = 8% 
; A fr(%) da nota 9,0 é 10/25 * 100 = 40%. 
 
Frequência Absoluta Acumulada Fa 
 
Conceito. Representado por Fa, significa a soma das freqüências absolutas até o elemento analisado. 
 
EXEMPLO 
 Fa2=5+3 = 8 
 frequência absoluta acumulada (Fa) Comentários aos cálculos 
Nota f fr(%) Fa 
4,0 5 20% 5 
5,0 3 12% 8 
6,0 2 8% 10 
7,0 3 12% 13 
8,0 2 8% 15 
9,0 10 40% 25 
 ∑f=25 100% - 
 A frequência absoluta acumulada Fa é obtida conforme abaixo: 
 
; A Fa da nota 4,0 é 5 (sempre repete a primeira). 
; A Fa das notas 4,0 e 5,0 é 5+3=8. 
; A Fa das notas 4,0, 5,0 e 6,0 é 5+3+2=10. 
; A Fa das notas 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 é 5+3+2+3=13. 
; A Fa das notas 4,0, 5,0, 6,0, 7,0 e 8,0 é 5+3+2+3+2=15. 
; A Fa das notas 4,0, 5,0, 6,0, 7,0, 8,0 e 9,0 é 5+3+2+3+2+10=25 
 
 
Frequência Relativa Acumulada FRa (%) 
 
Conceito. Representado por FRa (%), significa a soma das freqüências relativas fr(%) até o elemento analisado. 
 
EXEMPLO 
 20% + 12% = 32% 
 frequência relativa acumulada (FRa) Comentários aos cálculos 
Nota f fr(%) Fa FRa(%) 
4,0 5 20% 5 20% 
5,0 3 12% 8 32% 
6,0 2 8% 10 40% 
7,0 3 12% 13 52% 
8,0 2 8% 15 60% 
9,0 10 40% 25 100% 
 ∑f=25 100% - - 
 A frequência relativa acumulada FRa(%) é obtida conforme abaixo: 
 
; A FRa(%) de 4,0 é 20% (sempre repete a primeira). 
; A FRa(%) de 4,0 e 5,0 é 20+12 = 32% 
; A FRa(%) de 4,0, 5,0 e 6,0 é 20+12+8 = 40% 
; A FRa(%) de 4,0, 5,0, 6,0 e 7,0 é 20+12+8+12 = 52% 
; A FRa(%) de 4,0, 5,0, 6,0, 7,0 e 8,0 é 20+12+8+12+8 = 60% 
; A FRa(%) de 4,0, 5,0, 6,0, 7,0, 8,0 e 9,0 é 20+12+8+12+8+40=100% 
 
 
NOTA IMPORTANTE SOBRE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA: 
 
Nota f fr(%) Fa FRa(%) 
 25 100% 
 ∑f=25 100% - - 
 Para saber se o desenvolvimento da distribuição de freqüência por completo está 
correto, os valores ao lado, em vermelho, deverão coincidir. 
 
 
MATERIAL DE APOIO - VÍDEO – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
https://www.youtube.com/watch?v=BagqMrComVg&list=PLMq2o4TOsym4yeZYxjVArCSROkXEqMG0x&index=5 
Probabilidade & Estatística - 24 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
Agrupamento em Classes 
 
 Em uma distribuição de frequência, ao se trabalhar com grandes conjuntos de dados e com valores 
dispersos, podemos agrupá-los em classes. 
 
; Se um conjunto de dados for muito disperso, uma representação melhor seria através do agrupamento dos dados 
com a construção de classes de frequência. Caso isso não ocorresse, a tabela ficaria muito extensa. Veja abaixo: 
 
EXEMPLO 
 
Um radar instalado na Dutra registrou a velocidade (em Km/h) de 40 veículos, indicadas abaixo: 
 
 Velocidade de 40 veículos (Km/h) 
 
Distribuição de frequência 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
É fácil ver que a distribuição de frequências 
diretamente obtida a partir desses dados é 
dada uma tabela razoavelmente extensa. 
 
 
70 90 100 110 123 
71 93 102 115 123 
73 95 103 115 123 
76 97 105 115 123 
80 97 105 117 124 
81 97 109 117 124 
83 99 109 121 128 
86 99 109 121 128 
Nota f 
70 1 
71 1 
73 1 
76 1 
80 1 
81 1 
83 1 
86 1 
90 1 
93 1 
95 1 
97 3 
99 2 
100 1 
102 1 
103 1 
105 2 
109 3 
110 1 
115 3 
117 2 
121 2 
123 4 
124 2 
128 2 
 ∑f=40 
 Distribuição de frequência com classes 
i Velocidade (Km/h) f 
1 70 |⎯ 80 4 
2 80 |⎯ 90 4 
3 90 |⎯ 100 8 
4 100 |⎯ 110 8 
5 110 |⎯ 120 6 
6 120 |⎯ 130 10 
 ∑f=40 
 
A distribuição em ”classes” é como se fosse uma compressão dos dados. Imagine se 
fizéssemos uma distribuição de frequência de todas velocidades (de 70 a 128). A tabela 
ficaria imensa! Por este motivo existe a distribuição de frequência com classes. 
 
Como criar uma Distribuição de Freqüência com classes 
 
1. Calcule a quantidade de classes (i), pela raiz da quantidade de dados. São 
40 veículos. Então, 40 = 6,3 ≅ i = 6 classes. 
 
2. Calcule a amplitude de classe (h) que é o tamanho da classe, sendo: 
 
 Maior valor – Menor valor = 128 – 70 = 9,6 ≅ h=10 
 quantidade de classes (i) 6 
 
Nota: o Maior valor (128) e o Menor valor (70) são obtidos da lista dos registros das 
velocidades dos 40 veículos. 
 
3. Montar as classes a partir do Menor valor (70), somando com a 
amplitude de classe (10) até que se chegue na 6ª classe, assim: 
 
 
 
 
 
 
TIPOS DE INTERVALOS DE CLASSE 
 
 
 
 
 
 
No Brasil usa-se o intervalo |⎯ (Resolução 866/66 do IBGE). Já na literatura estrangeira 
utiliza-se comumente com intervalo fechado. 
 
CONCEITOS IMPORTANTES 
LIMITES DE CLASSE - São os valores extremos de cada classe. No exemplo 70 |⎯ 80, 
temos que o limite inferior é 70 e o limite superior 80. 
 
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO (AT) – É a diferença entre o limite superior da 
última classe e o limite inferior da primeira classe, no exemplo 130 – 70 = 60. 
 
AMPLITUDE AMOSTRAL (AA) – É a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo 
da amostra, no exemplo 128 – 70 = 58. 
 
i Velocidade (Km/h) 
 1 70 +10 80 
2... 80 +10 90 
...6 120 +10 130 
Tipo Representação Dados do intervalo 
Aberto 70 ⎯ 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 
Fechado à esquerda 70 |⎯ 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 
Fechado 70 |⎯| 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 
Fechado à direita 70 ⎯| 80 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 80 
Classes
Limite 
inferior 
Limite 
superior 
Probabilidade & Estatística - 25 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
 70 75 80 85 90 95 100 105 110 115 120 125 130 
 
Velocidade (Km/h) 
Abaixo vemos as distribuições de frequências absoluta f, relativa fr(%), absoluta acumulada Fa e relativa acumulada FRa(%), 
bem como o Histograma desta distribuição. 
 
 Distribuição de freqüência com classes f, fr(%), Fa e FRa (%) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
OUTRAS REPRESENTAÇÕES GRÁFICAS DE UMA DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
 
Polígono de frequência – É um gráfico em linha que representa os pontos centrais dos intervalos de classe. 
 
Para construir este gráfico, você deve calcular o ponto central de classe (xi), que é o ponto que divide o intervalo de classe em 
duas partes iguais. Por exemplo, a velocidade dos veículos da 1ª classe pode ser representada por 70 + 80 = 75Km/h 
 2A construção de um polígono de frequências é muito simples. Primeiro, 
construímos um histograma; depois marcamos no “telhado” de cada 
coluna o ponto central e unimos sequencialmente esses pontos. 
 
 Ogiva – (pronuncia-se o’jiva). Conhecida também por polígono de frequência acumulada. É um gráfico em linha que 
representa as freqüências acumuladas (Fa), levantada nos pontos correspondentes aos limites superiores dos intervalos de 
classe. Para construí-la, você deve elaborar o histograma de freqüência f em uma escala menor, considerando o último valor a 
freqüência acumulada da última classe, no caso, 40. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
MATERIAL DE APOIO - VÍDEO – DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA 
https://www.youtube.com/watch?v=zWGi05rsvNw&list=PLMq2o4TOsym4yeZYxjVArCSROkXEqMG0x&index=4 
i Velocidade (Km/h) f Fr(%) Fa FRa(%) 
1 70 |⎯ 80 4 10% 4 10% 
2 80 |⎯ 90 4 10% 8 20% 
3 90 |⎯ 100 8 20% 16 40% 
4 100 |⎯ 110 8 20% 24 60% 
5 110 |⎯ 120 6 15% 30 75% 
6 120 |⎯ 130 10 25% 40 100% 
 ∑f=40 100% 
i Velocidade (Km/h) f xi 
1 70 |⎯ 80 4 75 
2 80 |⎯ 90 4 85 
3 90 |⎯ 100 8 95 
4 100 |⎯ 110 8 105 
5 110 |⎯ 120 6 115 
6 120 |⎯ 130 10 125 
 ∑f=40 
i Velocidade (Km/h) f Fa 
1 70 |⎯ 80 4 4 
2 80 |⎯ 90 4 8 
3 90 |⎯ 100 8 16 
4 100 |⎯ 110 8 24 
5 110 |⎯ 120 6 30 
6 120 |⎯ 130 10 40 
 ∑f=40 
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
70 80 90 100 110 120 130 
 
Velocidade (Km/h) 
70 |⎯ 80
Ponto central
 75Km/h 
Velocidade (Km/h) 
4 4
8 8 6
10
0
5
10
15
20
25
30
35
40
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
70 80 90 100 110 120 130 
4 
8 
16 
24 
30 
40 
Probabilidade & Estatística - 26 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
 
 
3 
 
MEDIDAS RESUMO 
 
O que dizer se um professor quer saber sobre as notas dos 110 alunos de uma disciplina? Poderíamos, talvez, 
utilizar para resposta uma tabela com as frequências das notas. Porém, o professor gostaria de uma resposta 
rápida, que sintetize a informação que se tem, e não uma distribuição de frequência das notas coletadas. 
 
Para resumir a quantidade de informação contida em um conjunto de dados, utilizamos, em estatística, medidas 
que descrevem, POR MEIO DE UM SÓ NÚMERO, características desses dados. Veja exemplo abaixo. 
 
NOTAS DE ESTATÍSTICA DE 110 ALUNOS DA ESCOLA A 
5.6 8.3 4.5 8.7 3.9 9 5.5 7.9 9.5 10 
9.6 6.6 5.3 3 9.5 3.9 9 5.6 7 5.9 
7 8.9 2 8.7 9 3 8 6.7 4.2 6.5 
6.5 4.6 9.5 5.3 3.9 9 3 8.8 9 8.9 
7.1 6.5 3.9 4.9 9.4 5.3 9.5 2 5.3 7.5 
9.2 9.8 9.5 5.9 5.5 5 7 8.3 5.6 9 
6.1 5.6 4.9 6.5 9 9.6 7.5 7 9 4.5 
4.2 8.9 9.6 9.8 8 6.5 7.9 2 5 5.3 
7.3 8 9 5.6 1 9.8 4 9.5 3.6 5 
8.6 4.2 9.6 8.9 5.9 4.2 6 5.3 8 2.8 
9.2 9 9.8 3.9 8 9.5 3.3 8.4 5.3 4.5 
 
Para uma conclusão rápida, qual foi o desempenho desses alunos? Isto pode ser respondido com as medidas abaixo. 
 
Medidas resumo Valor Interpretação 
Média 6,5 Valor que representa o ponto de equilíbrio das notas (como uma gangorra). 
Mediana 7,0 50% dos alunos tiraram abaixo de 7,0. 
Moda 9,0 Nota que mais se repetiu. 
Desvio padrão - DP 2,3 A maioria das notas está variando entre ±2,3 em torno da média 6,5 (4,2----8,8) 
Coeficiente variação 34% Há variação de 34% das notas em torno da média (complementa o DP). 
1º Quartil 5,0 25% dos alunos tiraram abaixo de 5,0. 
3º Quartil 9,0 75% dos alunos tiraram abaixo de 9,0. 
 
Através dessas informações é possível analisar o desempenho desses alunos. 
 
 
 
MATERIAL DE APOIO - VÍDEO – ENTENDENDO MEDIDAS RESUMO 
https://www.youtube.com/watch?v=NafuRFU7fwM&list=PLMq2o4TOsym4yeZYxjVArCSROkXEqMG0x&index=6 
 
 
Probabilidade & Estatística - 27 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
3.1 MEDIDAS DE POSIÇÃO 
 
Agora você vai trabalhar com medidas de posição que, como o próprio nome indica, são medidas que indicam a localização dos 
dados. O objetivo não é o cálculo das medidas, mas, sim, explorar propriedades e relações entre três das principais medidas de 
posição: Média, Mediana e Moda. 
 
MÉDIA 
 
MÉDIA SIMPLES - É uma medida que representa o ponto de equilíbrio num conjunto de dados. 
 
; A média simples é uma medida considerada como um valor normal ou típico em um conjunto de dados. Cada dado tem 
igual importância e peso. A média sofre a influência de todos os dados, inclusive dos outliers (valores extremos). 
 
 A Média simples é obtida pela seguinte equação: 
x = ∑x → soma dos valores dos dados 
 n → quantidade de dados 
 
 
A Média é representada por x 
(lê-se “x barra”) 
 
 
EXEMPLO. Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a Média 7,0 e, considerando as quatro 
notas de João e Maria durante o ano, informe se foram aprovados. 
 
 
Notas de João: 3,5 | 6,0 | 9,5 | 9,0 | 
 
 x = ∑x 3,5 + 6,0 + 9,5 + 9,0 
 n 4 
 
 x = 7,0 → aprovado 
 
 
 
 
 
MÉDIA PONDERADA. Semelhante a Média simples, porém, atribuindo-se a cada dado um peso que 
retrate a sua importância. 
 
; O termo “ponderação” é sinônimo de peso, importância, relevância. Sugere, então, a atribuição de um peso a um determinado dado. 
Em alguns casos, os valores variam em grau de importância, de modo que podemos querer ponderá-los apropriadamente. É calculada 
multiplicando-se um peso por cada valor, fazendo com que alguns valores influenciem mais fortemente a média do que outros. 
 
A Média ponderada é obtida pela seguinte equação: 
 
px = ∑(x . p) → soma dos valores . pesos 
 ∑ p → soma dos pesos 
Vamos representar a 
Média ponderada por 
px 
 
 
EXEMPLO Supondo que uma escola adote como critério de aprovação a Média 7,0, sendo que as provas bimestrais 
são ponderadas com pesos 1, 2, 3 e 4, respectivamente para o 1º bim, 2º bim, 3º bim e 4º bim. Considerando as 
notas de João (na ordem bimestral crescente), informe se foi aprovado. 
 
Notas de João: | 9,0 | 8,0 | 6,0 | 5,0 
 Pesos 1 2 3 4 
 
px = ∑(x . p) 
 ∑ p 
 
 px = (9,0 . 1) + (8,0 . 2) + (6,0 . 3) + (5,0 . 4) 
1+2+3+4 
 
 px = 6,3 → reprovado 
 
Nota. Em uma média simples ele seria aprovado por 7,0. 
 
 
Importante: Os pesos são representados pela quantidade (frequência). A atribuição de pesos visa fazer com que certos valores 
tenham mais influência no resultado do que outros. 
Média de João
3.5
6.0
7,0
9.5 9.0
0.0
2.0
4.0
6.0
8.0
10.0
N
ot
as
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média das notas de João 
9,0
1
8,0
2
6,3
6,0
3
5,0
4
0,0
2,0
4,0
6,0
8,0
10,0
N
ot
as
 e
 p
es
os
1º Bim 2º Bim Média 3º Bim 4º Bim
Bimestres
Média ponderada das notas de João 
Média ponderada 
Probabilidade & Estatística - 28 - 
 
 
Uanderson Rebula deOliveira 
MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA – aplica-se quando não se tem a lista original dos dados 
 
Quando trabalhamos com uma distribuição de frequência, não sabemos os valores exatos que caem em 
determinada classe. Para tornar possíveis os cálculos, consideramos que, em cada classe, todos os valores 
amostrais sejam iguais ao ponto central de classe. Por exemplo, considere o intervalo de classe 70 |⎯ 80, com 
uma frequência de 4. Admitimos que todos os 4 valores sejam iguais a 75 (o ponto central de classe). Com o total 
de 75 repetido 4 vezes, temos um total de 75 x 4 = 300. Podemos, então, somar esses produtos obtidos de cada 
classe para encontrar o total de todos os valores, os quais, então, dividimos pela quantidade de dados. 
 
 
É importante salientar que a distribuição de frequência resulta em uma aproximação da média 
porque não se baseia na lista original exata dos valores amostrais. 
 
CALCULANDO A MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA COM INTERVALO DE CLASSE 
 
 
 
i Velocidade (Km/h) f x f . x 
1 70 |⎯ 80 4 75 300 
2 80 |⎯ 90 4 85 340 
3 90 |⎯ 100 8 95 760 
4 100 |⎯ 110 8 105 840 
5 110 |⎯ 120 6 115 690 
6 120 |⎯ 130 10 125 1250 
 ∑f=40 - ∑(f.x) = 4180 
Procedimento: 
1. Multiplicar as frequências f pelos pontos centrais 
de classe x e adicionar os produtos. 
2. Somar as frequências f; 
3. Somar os produtos (f.x); 
4. Aplicar a fórmula abaixo: 
 
x = ∑(f.x) → 4180 = 104,5 Km/h 
 ∑f 40 
Média a partir de um HISTOGRAMA COM INTERVALOS DE CLASSE: 
 
 Não é necessário montar tabela. Veja na figura ao lado 
que basta multiplicar a frequência pelo ponto médio e 
adicionar os produtos. Depois, divida pela soma das 
freqüências. 
 
(4*75)+(4*85)+(8*95)+(8*105)+(6*115)+(10*125) 
 4+4+8+8+6+10 
 
x = ∑(f.x) → 4180 = 104,5 Km/h 
 ∑f 40 
 
 
CALCULANDO A MÉDIA DE DISTRIBUIÇÃO DE FREQUÊNCIA SEM INTERVALO DE CLASSE 
 
Nota 
(x) 
 f 
(nº de alunos) f . x 
4,0 5 20 
5,0 3 15 
6,0 2 12 
7,0 3 21 
8,0 2 16 
9,0 10 90 
 ∑f=25 ∑(f.x) = 174 
Quando a distribuição não tem agrupamento de classes, 
consideraremos as frequências como sendo os pesos 
dos elementos correspondentes: 
 
(5*4,0)+(3*5,0)+(2*6,0)+(3*7,0)+(2*8,0)+(10*9,0) 
 5+3+2+3+2+10 
 
x =∑(f.x) → 174 = 6,96 
 ∑f 25 
 
Média a partir de um HISTOGRAMA SEM INTERVALO DE CLASSE 
 
Multiplique a freqüência por “x” (notas) e adicione os 
produtos. Depois, divida pela soma das freqüências. 
 
(5*4,0)+(3*5,0)+(2*6,0)+(3*7,0)+(2*8,0)+(10*9,0) 
 5+3+2+3+2+10 
 
x =∑(f.x) → 174 = 6,96 
 ∑f 25 
 
 
Ponto central de classe 
 
x = 
4 4
8 8
6
1 0
0
2
4
6
8
1 0
1 2
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 v
eí
cu
lo
s
R e su lta d o s d o s re g istro s d e u m ra d a r
70 80 90 100 110 120 130 
 
Velocidade (Km/h) 
 
 X = 
5
3
2
3
2
10
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o 
de
 
al
un
os
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
x 
 
 75 85 95 105 115 125 
 
x x 
+ 
(4*75)+(4*85) ... 
Probabilidade & Estatística - 29 - 
 
 
Uanderson Rebula de Oliveira 
MEDIANA 
 
 Medida que representa o valor que está no MEIO de um conjunto de dados. 
 
Uma desvantagem da média simples é que ela é sensível a qualquer valor, de modo que um valor 
excepcional pode afetar drasticamente a média. A Mediana supera grandemente essa 
desvantagem, pois não é afetada por valores extremos, de tal modo que você pode utilizar a 
mediana quando estão presentes valores extremos. 
 
Como achar a mediana de um conjunto de dados 
Para quantidade ÍMPAR de valores 
 
A Posição do termo central é dada por: 2
1nP += 
 
Ex.: 12, 78, 69, 75, 80, 71, 82, 73, 785. n=9 
 
2
19P += = 5 → 5ª posição 
 
A Md é o valor da 5º posição. Ordenando os dados, temos: 
 
 12, 69, 71, 73, 75 ,78, 80, 82, 785 
 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 
 Mediana 
 
 
Para quantidade PAR de valores 
 
As posições dos termos 
centrais são dadas por: 2
nP1= e P2 = a que sucede P1 
 
 
Ex.: 12, 78, 69, 75, 80, 71, 82, 73, 785, 995. n=10 
 
 2
10P1= = 5ª posição e P2 = 6ª posição 
 
A Md é o valor entre a 5º e 6ª posição. Ordenando os dados, temos: 
 
 12, 69, 71, 73, 75, 78 80, 82, 785, 995 
 1ª 2ª 3ª 4ª 5ª 6ª 7ª 8ª 9ª 10ª 
 Mediana 
A Md é a Média dos dois termos centrais. 2
7875Md += = 76,5 
 
MEDIANA de uma distribuição de freqüência e Histograma SEM INTERVALOS DE CLASSE 
 
 
 Nota f 
 
Fa Observações 
4,0 4 4 Da 1ª até a 4ª 
5,0 3 7 Da 5ª até a 7ª 
6,0 2 9 Da 8ª até a 9ª 
7,0 3 12 Da 10ª até a 12ª 
8,0 2 14 Da 13ª até a 14ª 
9,0 11 25 Da 15ª até a 25ª 
∑f = n = 25 → ímpar 
 
2
1nP += → 2
125+ = 13ª 
 
Os dados já estão ordenados. Então a 
Md é o valor da 13ª posição. Através da 
Fa fica fácil identificar a posição central: 
 
 Então, a nota Md = 8,0 
 ∑f=25 
 
 
MEDIANA de uma distribuição de freqüência e Histograma COM INTERVALOS DE CLASSE 
 
Acumule Fa e ache a posição da Md 
i Velocidades f Fa 
1 70 |⎯ 80 4 4 
2 80 |⎯ 90 4 8 
3 90 |⎯ 100 8 16 
4 100 |⎯ 110 8 24 
5 110 |⎯ 120 6 30 
6 120 |⎯ 130 10 40 
 ∑f=40 
Independente se n é ímpar ou par usa-se a equação 
n/2. Então, 
40/2 = 20 
A Md está na 20ª posição e será algum valor da classe mediana 100 |⎯ 110. A 
partir da equação abaixo podemos achar uma aproximação da Md. 
 
f
h* Fa - 
2
n
 lMd
ant
inf 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= 
 
l inf = limite inferior da classe mediana 
Faant = Fa da classe anterior 
h = amplitude do intervalo de classe 
f = freqüência da classe mediana 
Resolvendo a equação, temos: 
 
 
8
10*16 - 
2
40
Md 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= 100 
 
Md = 105 Km/h, aproximadamente 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
O total das freqüências é 40. Então, a Md será 40/2 = 20ª posição. Observe 
pelo Fa que a classe mediana é 100 |⎯ 110. Também é possível 
determinar l inf, Fa ant, h e f. Então, aplicando a equação, temos: 
 
8
10*16 - 
2
40
Md 
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡
+= 100 = 105 km/h, aproximadamente 
 
 
0% 50% 100%
Mediana 
4 4
8 8
6
10
0
2
4
6
8
10
12
Q
ua
nt
id
ad
e 
de
 v
eí
cu
lo
s
Resultados dos registros 
de um radar
70 80 90 100 110 120 130 
 
Velocidade (Km/h) 
Fa 
20ª Fa ant = 16 
(4+4+8) 
 ← h →
 10 
 f = 8
l inf 
 
 
 20ª 
 Md = 8,0
4
3
2 3 2
11
0
2
4
6
8
10
12
N
úm
er
o 
de
 a
lu
no
s
4.0 5.0 6.0 7.0 8.0 9.0
Nota
Desempenho dos alunos na prova
 Fa 13ª
Probabilidade & Estatística