Aula 8 - Cálculo Diferencial e Integral II

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CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 8 – Integral de linha
 Operadores diferenciais
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Conteúdo Programático desta aula
Campo vetorial;
Campo vetorial: Representação geométrica;
Integral de Linha de Campo Vetorial;
Gradiente;
Campo Gradiente;
Função Potencial.
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Campo Vetorial
Definição. Seja F uma função vetorial definida de uma região D do espaço-2D ou espaço-3D no próprio espaço. A região D juntamente com as grandezas vetoriais, imagem de cada ponto de D pela F, é chamada um campo vetorial. Dizemos também, que F define um campo vetorial sobre D.
Exemplo:
Consideremos a função vetorial V que associa a cada ponto da atmosfera terrestre D a velocidade do vento neste ponto. V define um campo vetorial em D, chamado campo de velocidade.
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Campo Vetorial: Representação gráfica
A função vetorial dada por F(x, y) = ( M(x,y), N(x, y) ) define um campo vetorial no espaço-2D. Para representá-lo, introduzimos um sistema de coordenadas no plano XOY e selecionamos alguns pontos (x, y) do plano e desenhamos os vetores a eles associados preferencialmente com a origem do vetor no próprio ponto. 
Exemplo: Consideremos o campo vetorial F dado por F(x, y) = (-y, x) e selecionado alguns pontos temos
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Campo Vetorial: Representação gráfica
Exemplo: Consideremos o campo vetorial F dado por F(x, y) = (-y, x) e selecionado alguns pontos temos
Logo, graficamente temos
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Campo Vetorial: Representação gráfica
Os vetores deste campo vetorial representam um campo de velocidade de uma roda em movimento.
Sendo r(x, y) = (x, y) a função vetorial que nos dá o vetor posição do ponto (x, y) do espaço-2D, temos r(x, y) e F(x, y) são ortogonais em cada ponto (x, y), pois (x, y) . (-y, x) = x (-y) + y x = 0.
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Integração de linha de um campo vetorial
Sejam F : R3 −> R3, F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo vetorial e C uma curva em R3, definida por 
 α(t) = (x(t), y(t), z(t)), 
 t ∈ [a, b].
Para motivar a definição de integral de linha de F ao longo de C, suponhamos que F representa um campo de forças e calculemos o trabalho realizado pela força F ao deslocar uma partícula ao longo de C.
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Integração de linha de um campo vetorial
Considerando C um segmento de reta ligando o ponto A ao ponto B e F uma força a constante, sabemos que o trabalho realizado pela força F ao deslocar uma partícula ao longo de C é dado por
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Integração de linha de um campo vetorial
Quando C não é um segmento de reta, podemos aproximá-la por uma linha poligonal com vértices em C, de modo que para n grande △ti = ti+1 − ti seja pequeno.
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Integração de linha de um campo vetorial
Quando C não é um segmento de reta, podemos aproximá-la por uma linha poligonal com vértices em C, de modo que para n grande △ti = ti+1 − ti seja pequeno.
O deslocamento da partícula de α(ti) a α(ti+1) é aproximado pelo vetor △si = α(ti+1) − α(ti), logo F pode ser considerado constante e igual a F(α(ti)) no intervalo [ti, ti+1].
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Integração de linha de um campo vetorial
Supondo que α′(t) existe para todo t ∈ [a, b], então pela definição de derivada, temos que △si ≈ α′(ti) △ti.
Portanto, o trabalho realizado para deslocar uma partícula de α(ti) até α(ti+1) é aproximadamente
 
 F(α(ti))△si ≈ F(α(ti)) α′(ti) △ti.
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Integração de linha de um campo vetorial
Assim sendo, o trabalho W realizado pela força F ao deslocar uma partícula ao longo de C é:
Logo,
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Integração de linha de um campo vetorial
Definição. Seja C ⊂ R3 uma curva parametrizada por α(t) = (x(t), y(t), z(t)) com t ∈ [a, b], onde α é de classe C1, e F(x, y, z) = (F1(x, y, z), F2(x, y, z), F3(x, y, z)) um campo vetorial contínuo definido em C. Definimos a integral de linha de F ao longo de C por
Se a curva C é fechada, isto é α(a) = α(b) a integral de linha é denotada por
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Integração de linha de um campo vetorial
Note que ao usarmos as componentes de F e de α, a equação
 se escreve
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Integração de linha de um campo vetorial
Observação. Se C é uma curva no plano xy parametrizada por α(t) = (x(t), y(t)) com t ∈ [a, b], a integral de linha de F(x, y) = (F1(x, y), F2(x, y)) ao longo de C é dada por Z
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Integração de linha de um campo vetorial
Exemplo. Calcule
onde F(x, y, z) = (x, y, z) e C é a curva parametrizada por
 α(t) = (sen t, cos t, t), t ∈ [0, 2π].
Solução. Uma vez que F é contínua em R3 e α′(t) = (cos t,−sen t, 1), temos
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Integração de linha de um campo vetorial
Propriedades. 
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Gradiente
Define-se o gradiente de uma função escalar f(x,y,z), e representa-se por grad f ou ∇f, a expressão: 
O gradiente é um vetor e i, j, k são os vetores unitários. 
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Gradiente: Resumo
O Gradiente de uma função escalar é um vetor com módulo, direção e sentido que representa a máxima taxa de crescimento desta função escalar. (ou seja aponta para o máximo crescimento da função e é perpendicular à superfície no ponto)
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Propriedades Algébricas do Vetor Gradiente
Vejamos algumas propriedades relacionadas ao cálculo do gradiente: 
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Campo Gradiente
Se f é uma função escalar (de duas ou mais varáveis), então o gradiente, f ,de f é um campo vetorial chamado campo gradiente de f.
F(x, y) = f(x, y) = ( fx (x, y), fy (x, y) ).
F(x, y, z) = f(x, y, z) = ( fx(x, y, z), fy(x, y, z), fz(x, y,z) ).
Exemplo: Dada a função f(x, y) = x e y + y 2 e x, o campo gradiente de f é dado por  
 f(x,y) = ( fx (x, y), fy (x, y) ) = ( e y + y 2 e x, x e y + 2y e x )
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Função Potencial
Definição:
 Um campo vetorial F é conservativo numa região D do espaço-2D ou do espaço-3D se F = f para alguma função escalar f definida em D. Nesse caso, a função f é chamada função potencial de F na região D e a imagem de um ponto de D pela f é o potencial neste ponto.
Exemplo: O campo vetorial dado por F(x, y, z) = (4x + 5yz, 5xz, 5xy) é um campo conservativo pois a função escalar f (x, y, z ) = 2x 2 + +5xyz é tal que 
 f (x, y, z ) = ( 4x + 5yz, 5xz, 5xy ) = F(x, y, z).
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Integral de linha 
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