Exercícios Resolvidos - Campo Vetorial

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29/03/2015 Licenciatura em Matemática
http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_08­1236/01.html#retratil 1/8
VERSÃO TEXTUAL
O objetivo deste tópico é usar derivadas parciais para definir três
operadores,  que  aparecem  em  várias  aplicações  em  Física  e  nos
teoremas  principais  do  Cálculo  Integral  de  Funções  Vetoriais  (a  ser
visto no curso posterior de Cálculo). O primeiro desses operadores é
chamado de gradiente e usa uma  função real para definir um campo
vetorial, os outros são denominados de divergente e rotacional, ambos
utilizam  campos  vetoriais  para  definir  uma  função  real  e  um  outro
campo vetorial, respectivamente.
Seja  uma  função  real    de  variáveis  ,  se
todas as derivadas parciais   existem num subconjunto  ,  o
CAMPO GRADIENTE   de    f    (ou simplesmente, o gradiente de    f)    é  indicado e
definido num ponto   por:
Em particular, se  f é uma função real de variáveis x e y, o grad  f é  um
campo vetorial dado por:
E  se  f  é  uma  função  real  de  variáveis  x,  y  e  z,  o  grad  f  é  um  campo
vetorial dado por:
EXEMPLO RESOLVIDO 1
Calcular o gradiente da função  .
SOLUÇÃO
Da definição de gradiente, tem­se
gradf (x,y) = 
EXEMPLO PROPOSTO 1
Calcular o gradiente da função 
Se    um  campo  vetorial  tal  que  existe  uma  função 
  onde  F  =  grad  f  num  subconjunto    diz­se  que  F  é  um
campo  gradiente  ((ou  um  campo  conservativo))  em  B  e  a  função  f  é  um
CÁLCULO DIFERENCIAL II
AULA 08: GRADIENTE, DIVERGENTE E ROTACIONAL
29/03/2015 Licenciatura em Matemática
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potencial  real  ((ou  potencial  escalar))  do  campo  F  em  B.  Em  geral,  o
potencial  real  de  um  dado  campo  gradiente,  não  é  único;  entretanto,  é
possível  mostrar  que  dois  potenciais  quaisquer  diferem  apenas  de  uma
constante  (isto  será  tratado  no  curso  posterior  de  Cálculo).  Outra  questão
que surge é sobre a existência de um potencial real para um campo vetorial
dado, a resposta desta questão será estabelecida  futuramente (isto  também
será tratado no curso posterior de Cálculo). O exemplo seguinte, ilustra um
método par achar um potencial de um campo gradiente.
EXEMPLO RESOLVIDO 2
Sabendo­se  que      é  um  campo
gradiente, encontrar o potencial real de  f  que satisfaz f(­1,0,2) = 3.
SOLUÇÃO
Como F = grad f, tem­se o
sistema seguinte: 
Da primeira equação (por exemplo), obtém­se
f(x,y,z) = x2 cosy ­ xz2 + g(y,z).
Resta  determinar  g(y,z)  para  que  f(x,y,z)  satisfaça  também  as  duas
últimas equações do sistema. Derivando f em relação a y e  igualando
com a segunda equação do sistema, tem­se ­x2 sen y + gy(y,z) = ­x2 sen
y, daí gy(y,z) = 0,  isto  é,  g só  depende de  z, seja  então  g(y,z)  =  h(z).
Substituindo g(y,z) em f(x,y,z) = x2 cos y ­ xz2 + g(y,x), fica f(x,y,z) = x2
cos  y  ­  xz2  +  h(z),  que  derivando  em  relação  a  z  e  igualando  com  a
terceira equação do sistema, tem­se ­2xz + h'(z) = ­2xz, daí h'(z) = 0,
ou seja, h(z) = c onde c é uma constante. Logo, f(x,y,z) = x2 cos y ­ xz2
+  c  é  a  solução  geral  do  sistema.  Como  3  =  f(­1,0,­2)  =  5  +  c,  o
potencial real procurado é:
f(x,y,z) = x2 cos y ­ xz2 ­ 2.
EXEMPLO PROPOSTO 2
Sabendo­se  que    é  um  campo  gradiente,
encontrar o potencial real de  f  que satisfaz 
O OPERADOR DIFERENCIAL VETORIAL   (lê­se, nabla) é definido por:
Para uma função  , define­se  NABLA APLICADO  a   f   por:
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Assim,  da  definição  de  campo  gradiente,  tem­se 
  Doravante  será  usada  a  notação    para  indicar  o  gradiente  de    uma
função  f.
Sejam  f   e   g    funções reais com derivadas parciais de primeira ordem
em  relação  a  todas  as  suas  variáveis,  então  o  gradiente  tem  as  seguintes
propriedades: Clique aqui para ver.
PARADA OBRIGATÓRIA
As  demonstrações  destas  propriedades,  decorrem  diretamente  da
definição de gradiente e estão sugeridas no exercício   31   do exercitando
deste tópico.
Seja um campo vetorial  , em que cada função coordenada
fi  (i=1,...m)  possui  derivada  parcial  em  relação  a  variável    xi    num
subconjunto  , então a DIVERGENTE  de  F  é a função indicada e definida
num ponto  P  de  B  por: 
Em  particular,  se  o  campo  vetorial    é  definido  por 
, então:
E  se  o  campo  vetorial    é  definido  por 
, então:
O  operador    é  também  usado  para  representar  o  divergente  de  um
campo vetorial.  Se   é dado por  , define­
se NABLA ESCALAR F  por:
Logo, da definição de divergente,  tem­se   A  partir  deste
momento será usada a notação   invés de div F.
EXEMPLO RESOLVIDO 3
Encontrar  o  divergente  do  campo  vetorial    num
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ponto qualquer.
SOLUÇÃO
Da definição de divergente, tem­se ∇⋅ F(x,y) = 
assim
∇⋅ F(x,y) = y sec2 x + 
EXEMPLO PROPOSTO 3
Achar  o  divergente  do  campo  vetorial    num
ponto qualquer.
Se F é um campo vetorial tal que   tem derivadas parciais de
segunda ordem em relação a cada variável  , o LAPLACIANO  de  f 
é definido por   e a equação   é dita a EQUAÇÃO DE LAPLACE.
Uma  função que é solução da equação de Laplace num subconjunto   B   do
seu domínio é chamada uma  FUNÇÃO HARMÔNICA  em  B.
EXEMPLO RESOLVIDO 4
Sendo   onde      provar que    f    é  harmônica
exceto na origem.
SOLUÇÃO
Como ∇2f(x,y,z) = ∇.∇|r|­1, tem­se
logo f é solução da equação de Laplace exceto na origem, ou seja,  f é
harmônica em qualquer conjunto que não contém a origem.
EXEMPLO PROPOSTO 4
Se    onde  ,  verificar  se    f    é  harmônica  em
algum subconjunto do seu domínio.
Se  F  e  G  são campos vetoriais e  f  é uma função real, o divergente tem
das seguintes propriedades:
As  demonstrações  destas  propriedades  são  consequência  direta  da
definição e estão sugeridas no exercício  31  do exercitando deste tópico.
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Seja    um  campo  vetorial  definido  por 
,  tal  que    existem  num
subconjunto  , então o ROTACIONAL   de   F    é o  campo vetorial definido
num ponto  (x,y,z)  de  B  por:  
Se    é  definido  por    tal  que  fy  e 
gx  existem num subconjunto  , a função real dada por gx­ fy  também é
chamada de ROTACIONAL  de  F.
É possível encontrar a expressão para rot F usando o operador  ,  sendo
assim, define­se  NABLA VETORIAL   F  por:
onde  os  produtos  nos  cálculos  dos  determinantes  de  segunda  ordem,
indicam derivadas parciais. Assim:
ou  seja    A  partir  deste  momento  será  usada  a
notação   invés de  rot F.
EXEMPLO RESOLVIDO 5
Calcular  o  rotacional  do  campo  vetorial 
 
SOLUÇÃO
Por definição, tem­se
EXEMPLO PROPOSTO 5
Calcular o rotacional do campo vetorial 
Se F é um campo vetorial  tal que    em  todo ponto   P   de  um
subconjunto    B    do  seu  domínio,  diz­se  que    F    é  um  campo  vetorial
IRROTACIONAL em B. É possível mostrar que sob certas restrições, um campo
vetorial é conservativo se, e somente se, ele é  irrotacional (isto será tratado
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no curso posterior de Cálculo).
Dado um campo vetorial  ,  se existe outro campo vetorial 
 tal que   num subconjunto  , o campo  G  é dito um
POTENCIAL  VETORIAL    do  campo    F    em    B.  A  existência  de  um  potencial
vetorial  para  um  campo  vetorial  dado,  está  relacionada  com  campos
solenoidais,  assim  como  os  campos  conservativos  estão  relacionados  com
campos  irrotacionais.É  possível  mostrar  que  sob  certas  restrições,  um
campo vetorial tem um potencial vetorial se, e somente se, ele é solenoidal;
tais restrições, referem­se ao campo vetorial e ao conjunto onde é desejado
que o campo tenha o potencial vetorial. O exemplo 6 a seguir, estabelece um
tipo  de  conjunto  (que  constitui  um  grupo  de  conjuntos  amplamente
utilizados),  onde  a  equivalência  se  verifica.  No  curso  posterior  de  Cálculo,
será visto um tipo de conjunto onde um campo é solenoidal, mas que ele não
possui um potencial vetorial nesse conjunto. 
EXEMPLO RESOLVIDO 6
Seja  B  um conjunto aberto do R3, onde dois pontos quaisquer de  B 
podem ser ligados através de segmentos paralelos aos eixos coordenados.
Se    é  de  classe  C1    em      ,  mostrar  que  F  tem    um
potencial vetorial em  B  se, e somente se,  F  é solenoidal em  B.
SOLUÇÃO
Se F tem um potencial vetorial G num subconjunto B do domínio
de F, decorre facilmente da definição de divergente que ∇⋅F = 0 em B.
A verificação está sugerida no exercício 34 do exercitando deste tópico.
Para mostrar que F tem um potencial vetorial em B, suponha que
F seja solenoidal em B. Sendo F(x,y,z) = (f1(x,y,z),f2(x,y,z),f3(x,y,z)), a
existência  do  potencial  vetorial  G(x,y,z)  =  (g1,(x,y,z),g2,(x,y,z),g3,
(x,y,z))  significa  que  F  =  ∇  x  G,  ou  equivalente,  que  existe  uma
solução G(x,y,z) = (g1,(x,y,z),g2,(x,y,z),g3(x,y,z)) para o sistema
Considerando   (isto é, g3 dependendo apenas de z),
tem­se
assim (por integração)
onde  z0  é  constante,  f  e  g  são  funções  que  independem  de  z.  Resta
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determinar  as  funções  f  e  g.  Substituindo  g1(x,y,z)  e  g2(x,y,z)  f3  na
equação de f3, obtém­se
Como F é solenoidal em B, isto é,   em B,  tem­
se   em B, assim
ou  seja,  f  e  g  devem  ser  soluções  da  equação  fx(x,y)  ­  gy(x,y)  =
f3(x,y,z0). Tomando f(x,y) =   onde x0 é constante e g(x,y)
=  , a última equação se verifica. Portanto, se F é solenoidal em B,
definindo o campo vetorial   por
tem­se F(x,y,z) = ∇ x G(x,y,z) para (x,y,z) € B.
EXEMPLO PROPOSTO 6
Resolva o exemplo anterior fazendo   
Se F e G são campos vetoriais e f é uma função real, o rotacional tem as
seguintes propriedades:
As  demonstrações  destas  propriedades  decorrem  diretamente  da
definição e estão sugeridas no exercício 31 do exercitando deste tópico.
ATIVIDADE DE PORTFÓLIO
Vá ao exercitando (Visite a aula online para realizar download deste
arquivo.)  e  resolva  a  quantidade  máxima  de  exercícios  que  puder,
individualmente ou em grupo. Os exercícios   5,    11,  15, 22    e    35    são as
respectivas QUESTÕES    1   ATÉ  5   do trabalho  desta  aula  a  ser  postado  no
PORTFÓLIO INDIVIDUAL do ambiente SOLAR. É exigido que o trabalho desta
aula seja postado no Portfólio num único arquivo com extensão DOC ou
manuscrito  e  escaneado,  no  período  indicado  na  AGENDA  do  ambiente
SOLAR.
LEITURA COMPLEMENTAR
No texto “Mudança de Coordenadas (Visite a aula online para realizar
http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_08-1236/imagens/01/exercitando8unico.doc
http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_08-1236/imagens/01/mudanca_coordenadas.doc
29/03/2015 Licenciatura em Matemática
http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_08­1236/01.html#retratil 8/8
download  deste  arquivo.)”;  inicialmente,  apresentamos  as  coordenadas
cilíndricas  e  esféricas;  posteriormente,  estudaremos  os  operadores
gradiente,  divergente  e  rotacional  em  outros  tipos  de  coordenadas  além
das coordenadas cartesianas. O tema é aplicado principalmente em Física,
é recomendável uma leitura.
Responsável:  Professor  Jonatan  Floriano  da  Silva
Universidade  Federal  do  Ceará  ­  Instituto  UFC  Virtual
http://www.ufc.br/
http://www.virtual.ufc.br/
http://www.virtual.ufc.br/solar/aula_link/lmat/A_a_H/calculo_diferencial_II/aula_08-1236/imagens/01/mudanca_coordenadas.doc