Aula 10 - Cálculo Diferencial e Integral II

Esta é uma pré-visualização de arquivo. Entre para ver o arquivo original

CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
Aula 10 – Independência de Caminho
 Teorema de Green
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Conteúdo Programático desta aula
Independência de Caminho;
Teorema de Green;
Teorema de Green: Resultados;
Teorema de Green: Relação com integral dupla.
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Independência de Caminho
Teorema. Sejam M e N funções escalares contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região simplesmente conexa D do espaço 2D. Então, F(x, y) = (M(x, y), N(x, y) é um campo conservativo em D se, e somente se, 
 
 em cada ponto de D.
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Independência de Caminho: Exemplo
Exemplo. Verifique se F . dr é independente do caminho, para
F(x, y) = (e3y – y2sen x, 3xe3y + 2y cos x)
Temos que
 e 
 Logo, por teorema, temos que F é um campo conservativo e portanto a integral é independente do caminho.
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Independência de Caminho
O teorema pode ser estendido para campos vetoriais no espaço 3D sendo que nas condições do teorema,
 F(x, y, z) = ( M(x, y, z), N(x, y, z), P(x, y, z) )
 é um campo conservativo se, e somente se, 
 ou
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Independência de Caminho
Como resultado imediato de
Temos
Isto é,
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green
O Teorema de Green relaciona integral de linha de campos vetoriais com integrais duplas, o que pode facilitar o cálculo de integrais de um tipo usando a outra integral.
Teorema. Seja R uma região plana simplesmente conexa, cuja fronteira é uma curva C suave por partes, fechada, simples e orientada no sentido anti-horário. Sejam M e N funções escalares de duas variáveis contínuas e com derivadas parciais de primeira ordem contínuas em uma região plana D contendo R. Então,
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green
Notas.
1. Uma região D é dita conexa quando quaisquer dois pontos de D são unidos por uma curva suave ou parcialmente suave, essa curva esta totalmente contida em D.
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green
2. Uma região D é simplesmente conexa quando nenhuma curva fechada contida em D envolve pontos não pertencentes à D.
3. Também se pode indicar a orientação da curva C através de flecha no círculo colocado sobre o sinal de integral.
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green
4. Costuma-se denotar integrais de linha ao longo de uma curva fechada simples sobrepondo um círculo ao sinal de integral. Assim, a integral do Teorema de Green pode ser escrita 
5. Como o trabalho realizado por um campo vetorial F para deslocar uma partícula ao longo de uma curva C é dado por uma integral de linha de um campo vetorial, podemos usar o Teorema de Green para determinar esse trabalho.
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green
6. Também podemos usar o Teorema de Green para determinar a área de uma região R do plano desde que satisfaça as condições do teorema. Lembramos que é possível obter a área de uma região usando integrais duplas , bastando tomar o integrando como a função constante 1. Daí, a área de R é dada por 
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green
7. O Teorema foi enunciado para regiões simplesmente conexas, mas pode ser aplicado para regiões multiplamente conexas. Para isso, unimos as curvas dos “buracos” na região entre si e com a fronteira dessa região de modo a obtê-la como a união de regiões simplesmente conexas (conforme figura), sempre cuidando para manter a orientação positiva (anti-horária).
Atenção para a orientação das curvas C1 e C2 que são as fronteiras das regiões R1 e R2, respectivamente.
 
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green: Exemplo
Exemplo. Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral de linha: 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2, no
sentido anti-horário.
Solução: Temos que 
Logo, 
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green: Exemplo
Exemplo. Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral de linha: 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2, no
sentido anti-horário.
Solução: (CONTINUAÇÃO) Então
onde D é a região de tipo I:
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green: Exemplo
Exemplo. Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral de linha: 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2, no
sentido anti-horário.
Solução: (CONTINUAÇÃO)
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Teorema de Green: Exemplo
Exemplo. Utilizando o teorema de Green, calcule a seguinte integral de linha: 
 
 , onde  é a curva formada pelas retas x = 1, y = 0 e a parábola y = x2, no
sentido anti-horário.
Solução: (CONTINUAÇÃO)
Logo,
Tema da Apresentação
NOME DA AULA – AULA1
NOME DA DISCIPLINA
Independência de caminho 
Teorema de Green
Tema da Apresentação