Teorema de stokes

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UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIENCIAS EXATAS E NATURAIS
FACULDADE DE QUÍMICA
LEANDRO SANTOS QUEIROZ
“Teorema de Stokes”.
BELÉM – PA
2013
LEANDRO SANTOS QUEIROZ
“Teorema de Stokes”.
Trabalho apresentado como requisito para obtenção de aprovação na disciplina Cálculo IV, no Curso de Química Bacharelado, na Universidade Federal do Pará.
 Professor (a). Brígida
BELÉM – PA
2013
RESUMO
Este trabalho visa apresentar um teorema, que na geometria diferencial, é uma afirmação sobre a integração de formas diferenciais que generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial. Este teorema é conhecido como, Teorema de Stokes, algumas vezes chamado também de teorema fundamental do cálculo multivariado.
Palavras-chave: Teorema de Stokes, teorema fundamental do cálculo multivariado. 
 
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SUMÁRIO
1- INTRODUÇÃO.........................................................................................................4
2 - DESENVOLVIMENTO............................................................................................5
2.1 - OBJETIVOS GERAIS....................................................................................5
2.1.1 - OBJETIVO ESPECÍFICO...........................................................................5
2.2 – PROCEDIMENTOS EXPERIMENTAIS........................................................5
2.2.1 – MATERIAIS.........................................................................................5
2.2.2 – MÉTODOS..........................................................................................6
2.3 - RESULTADOS............................................................................................10
3 - RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES........................................................................11
4 - CONCLUSÃO.......................................................................................................12
5 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS.....................................................................13
1 – INTRODUÇÃO
 
2.1 OBJETIVOS GERAIS.
2.1.1 OBJETIVO ESPECÍFICO.
2 - DESENVOLVIMENTO 
O teorema de Stokes pode ser visto como uma versão em dimensão maior do teorema de Green. Enquanto o Teorema de Green relaciona uma integral dupla sobre uma região plana D com uma integral de linha ao redor de sua curva fronteira plana, o Teorema de Stokes relaciona uma integral de superfície sobre uma superfície S com uma integral ao redor da curva fronteira S (que é uma curva no espaço). A figura mostra uma superfície orientada com seu versor normal n. A orientação de S induz a orientação positiva da curva fronteira C mostrada na figura. Isso significa que, se andarmos na direção positiva ao redor da curva C com a cabeça na direção e sentido n, então a superfície estará sempre a nossa esquerda.
Teorema de Stokes: Seja S uma superfície orientada, lisa por trechos, cuja fronteira é formada por uma curva C simples, fechada, lisa por trechos, com orientação positiva. Seja F um campo vetorial cujos componentes tem derivadas parciais contínuas na região aberta de R3 que contém S. Então.
 
Como 
 
O Teorema de Stokes nos diz que integral de linha ao redor da curva fronteira de S do componente tangencial de F é igual á integral de superfície do componente normal do rotacional de F.
A curva fronteira orientada positivamente da superfície orientada S é com frequência denotada por ∂S, de modo que o Teorema de Stokes possa ser escrito como:
 Eq. 1
Existe uma analogia entre o Teorema de Stokes, o de Green e o Teorema Fundamental do Cálculo. Como anteriormente, existe uma integral envolvendo as derivadas do lado esquerdo da equação 1 (lembre-se de que rot F é uma espécie de derivada de F) e do lado direito , envolvendo valores de F, calculamos somente na fronteira de S. 
 De fato, no caso especial em que a superfície S é plana e pertence ao plano xy com orientação pra cima, o versor normal é k, a integral de superfície se transforma em uma integral dupla, e o Teorema de Stokes fica:
Esta é precisamente a forma vetorial do Teorema de Green. Então vemos que o Teorema de Green é, realmente, um caso especial do Teorema de Stokes.
 Apesar de o teorema de Stokes ser muito difícil de provar no caso geral, podemos fazer uma prova quando S for um gráfico e F, S e c forem bem comportados.
2.1 - Prova de um caso especial do Teorema de Stokes.
Admitindo que a equação de S seja z = g(x,y),(x,y), ∈ D, onde g tem derivadas parciais de segunda ordem contínuas, e que d seja uma região simples cuja fronteira C1 corresponde a C. Se a orientação de S for para cima, então a orientação positiva de C corresponde à orientação positiva de C1, ver a figura . Dado que F = P i + Q j + R k, onde as derivadas parciais de P, Q e R são contínuas.
Como S é um gráfico de uma função, podemos aplicar a fórmula da equação 2 com F substituído por rot F. O resultado é. 
 
 Eq. 2
Eq. 3
Onde as derivadas parciais de P, Q e R são calculadas em (x, y, g (x, y)). Se 
x = x(t) y = y(t) a ≤ t ≤ b
é a representação paramétrica de C, então a representação paramétrica de C é 
x = x(t) y = y(t) z = g(x(t), y(t)) a ≤ t ≤ b
Isso permite, com ajuda da regra da cadeia, calcular a integral de linha como se segue:
Onde usamos o Teorema de Green no último passo. Então, utilizando novamente a Regra da cadeia e lembrando que P, Q, R são funções de x, y e z é que z é, por sua vez, função de x e y, obtemos. 
Quatro dos termos da integral dupla se cancelam, e o seis restantes podem se arrumados para coincidir com o lado direito da Equação 3. Portanto.
 
2.3 RESULTADOS
Não podemos relatar dados quantitativos, pois não pesamos no inicio do experimento o material botânico, em função da balança analítica não está funcionado, apenas podemos visualizar aspectos qualitativos. 
3 - RESOLUÇÕES DAS QUESTÕES
4 - CONCLUSÃO .
Neste trabalho pode-se mostrar um dos grandes teoremas do cálculo, em generaliza diversos teoremas do cálculo vetorial, o teorema de Stokes, que relaciona a circulação de um campo de vetores tridimensional ao longo da borda de uma superfície no espaço com a integral de superfície da componente normal do rotacional do campo vetorial. 
5 - REFERÊNCIAS BIBLIOGRAFICAS
SWOKOWSKI, Earl E., Cálculo com Geometria Analítica, Volume 2, 2ª edição, Makron Books do Brasil SP, 1994.
STEWART, James, Cálculo. Volume 3, 5ª edição, Editora CENGAGE Learning, 2009.
THOMAS, George B., Cálculo, Volume 2, 10a, Addilson Wesley, 2003.