CALCULO VETORIAL - AOL04 (10 - 10)

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Calculo Vetorial – AOL 04 
 
1) Os teoremas de Green, Stokes e Gauss são extremamente relevantes para o Cálculo 
Vetorial. Eles possibilitam o trabalho com integrais seja mais simples, em vez de se realizar 
o trabalho direto com integrais de superfícies e curvas. Entender o que enunciam esses 
teoremas é fundamental para o aperfeiçoamento das habilidades técnicas em Cálculo 
Vetorial. 
Considerando essas informações e os estudos sobre os teoremas de Green, Gauss e 
Stokes, analise as afirmativas a seguir e assinale V para a(s) verdadeira(s) e F para a(s) 
falsa(s). 
 
I) ( V ) O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre 
uma região R. 
II) ( F ) O Teorema de Green possibilita o cálculo da integral através do gradiente de uma 
função. 
III) ( V ) O Teorema de Gauss relaciona uma integral de superfície com uma integral tripla 
de um sólido. 
IV) ( V ) O Teorema de Stokes relaciona uma integral de linha com uma integral de 
superfície. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
( ) V, V, F, F 
( ) F, F, V, V 
( ) F, F, V, F 
( ) V, F, F, V 
( x ) V, F, V, V 
 
2) considere o exemplo a seguir da aplicação do teorema da divergência. Dado F(x,y,z) = zi + 
yj + xk, integre sobre a esfera unitária x² + y² + z² = 1. O divergente de F é 𝛻 * F = 
( )
 + 
( )
 
+ 
( )
 = 1, integrado sobre ∫ ∫ ∫ dV que é o próprio volume da esfera, resultando 
em ∬𝐹 * dS = . 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, 
pode-se dizer que o cálculo da integral foi facilitado porque: 
 
( ) a superfície S é orientada para fora. 
( x ) o integrando 𝛻 * F é mais simples de integrar. 
( ) o lado direito é uma integral tripla de um campo vetorial 
( ) a superfície S é fechada 
( ) só é possível resolver o lado direito do teorema da divergência. 
 
3) O campo conservativo é extremamente relevante para a integral de linha do trabalho (W). 
Caso o campo seja conservativo, qualquer curva que une dois pontos pré-fixados no 
campo vetorial tem o mesmo valor numérico do trabalho. Esse campo é definido em 
termos de um gradiente de uma função escalar: F(x,y) = 𝛻f(x,y) = (A,B,C). 
Em algumas situações não se sabe sobre a função f, mas, mesmo assim, é possível 
descobrir se um campo é ou não conservativo caso ele respeite as igualdades a seguir: 
= = = . Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre 
Cálculo Vetorial, pode-se dizer que F(x,y,z) = xi + yj + zk é um campo conservativo porque: 
 
( ) as igualdades serem válidas é uma condição necessária, mas não suficiente. 
( ) o divergente dessa função é nulo. 
( ) o gradiente dessa função é nulo. 
( ) as igualdades supracitadas possuem diferenças entre seus termos. 
( x ) se verificou todas as igualdades supracitadas e todas verdadeiras. 
 
4) O teorema da divergência é bastante útil, pois consegue relacionar a integral de um campo 
vetorial sobre uma superfície com a integral de volume do divergente do campo vetorial. A 
princípio, pode não ser clara sua utilidade, porém, há diversos casos em que o problema é 
simplificado. Mas para utilizá-lo, há certos requisitos a serem atendidos. A definição é: ∬𝐹 
* dS = ∭ 𝛻 * FdV. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema da divergência, 
analise as afirmativas a seguir. 
 
I) A superfície S deve ser fechada. 
II) A superfície S deve ser orientada para dentro. 
III) O campo vetorial F deve possuir derivadas parciais contínuas. 
IV) O volume V deve ser maior que o definido pela superfície S. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) I e II 
( x ) I e III 
( ) I, II e IV 
( ) I e IV 
( ) II e IV 
 
5) O teorema de Stokes pode ser dito que é uma versão de uma dimensão maior que o de 
Green. Lembrando que ambos relacionam uma integral de caminho com uma integral 
sobre uma superfície. Porém, eles não o fazem da mesma maneira. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, pode-
se dizer que o teorema de Green e de Stokes são diferentes porque: 
 
( ) o teorema de Green usa o operador rotacional e de Stokes o operador divergente. 
( x ) a superfície do teorema de Stokes é uma superfície cuja projeção no plano do caminho é a 
superfície do teorema de Green. 
( ) o teorema de Stokes é usado para campos escalares e o de Green campos vetoriais. 
( ) o integrando da integral sobre a mesma superfície é diferente em cada um dos teoremas. 
( ) as superfícies de integração possuem orientações diferentes. 
 
6) O teorema de Stokes ϕcF * dr = ∬ 𝛻 x F * dS é bastante utilizado para simplificar o 
problema da integral de um campo vetorial sobre uma superfície para uma integral de 
linha. Ou seja, é utilizado no sentido contrário (da direita para a esquerda) de como temos 
escrito ele. Para tanto, é necessário que o campo vetorial em questão possa ser escrito 
como o rotacional de um outro campo. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Stokes, ordene 
as etapas a seguir de acordo com a sequência em que devem ser efetuados os passos 
para a utilização do teorema no sentido ∬ 𝛻 x F * dS = ϕcF * dr. 
 
( 1 ) Verificar se campo vetorial pode ser escrito como um rotacional e se ele e a superfície 
satisfazem os requisitos do teorema. 
( 5 ) Executar a integral de linha. 
( 3 ) Parametrizar o caminho. 
( 4 ) Fazer a mudança de sistema de coordenadas convenientes. 
( 2 ) Projetar a superfície no plano XY para definir o caminho de integração. 
 
Agora, assinale a alternativa que apresenta a sequência correta: 
 
( ) 2, 1, 3, 4, 5 
( ) 5, 4, 1, 3, 2 
( ) 4, 3, 5, 2, 1 
( x ) 1, 5, 3, 4, 2 
( ) 3, 4, 1, 2, 5 
 
7) O teorema de Green, em sua forma vetorial, é utilizado para simplificar a resolução de 
integrais de linha em caminhos fechado. O teorema relaciona a borda do caminho com a 
área formado pelo caminho fechado, que deve ter orientação anti-horária. O teorema de 
Green possui mais de uma forma de ser escrito. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre teorema de Green, analise 
as afirmativas a seguir. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) I, II e III 
( ) I e IV 
( x ) I, II e IV 
( ) I e II 
( ) II e IV 
 
8) O Teorema de Green relaciona uma integral de linha com uma integral dupla sobre uma 
região R. Para que seja válido o teorema, a curva C deve ser simples, ou seja r(c) ≠ r(d) 
para todos os valores contidos no intervalo aberto da variação do parâmetro t. Somado a 
isso, a região R deve ser simplesmente conexa, ou seja, a curva C que delimita a região 
deve ser simples, e delimitar apenas pontos que pertencem a R. 
Figura 6 – Regiões R2 e R3 
 
Fonte: (LARSON; EDWARDS, 2009) 
Considerando essas informações e os conteúdos estudados sobre Cálculo Vetorial, afirma-
se que as regiões R2 e R3 são regiões não contempladas pelo teorema porque: 
 
( ) são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário e anti-horário. 
( x ) são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos 
e R3 por sua fronteira cruzar ela mesma. 
( ) são regiões que se adéquam à definição de simplesmente conexas: R2 por conter furos e R3 
por sua fronteira cruzar ela mesma. 
( ) são regiões que não se adéquam à definição de simplesmente conexas: R3 por conter furos 
e R2 por sua fronteira cruzar ela mesma. 
( ) são regiões delimitadas por uma curva C no sentido horário. 
 
9) Um campo conservativo (F) é definido com base na existência de uma função escalar f que 
pode ter seu gradiente calculado. Em outras palavras, define-se um campo conservativo F 
da seguinte forma: F(x,y) = 𝛻f(x,y). 
Portanto, pode-se dizer que uma função f(x,y)=xy pode gerar um campo conservativo F, 
porque: 
 
( x ) é possível calcular o campo gradiente dessa função, e seu resultado é (y,x) 
( ) é possível calcular o campo divergente dessa função, e seu resultado é (x,y) 
( ) é possívelcalcular o campo gradiente dessa função, e seu resultado é (x,y) 
( ) é possível calcular o campo rotacional dessa função, e seu resultado é (y,x) 
( ) é possível calcular o campo divergente dessa função, e seu resultado é (y,x) 
 
10) Uma das integrais de linhas mais importantes no Cálculo Vetorial é a integral de linha do 
trabalho (W) de uma partícula que se desloca ao longo de um campo vetorial (F). Essa 
integral é definida da seguinte forma: W = ∫𝐹 * dr = ∫ 𝐹(x(t),y(t)| |, z(t)) * r|(t)dt. 
Existem, porém, inúmeras outras formas de se escrever essa integral, que podem variar 
conforma o contexto algébrico em que forem calculadas as integrais. 
Considerando essas informações e o conteúdo estudado sobre a integral de linha do 
trabalho, analise as afirmativas a seguir. 
 
I) W = ∫𝑀dx + Ndy é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
II) W = ∫ 𝐹 * dt é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
III) W = ∫ 𝐹 * dA é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
IV) W = ∫𝑀dx + Ndy + Pdz é uma possível forma de se escrever essa igualdade. 
 
Está correto apenas o que se afirma em: 
 
( ) II e IV 
( ) I e II 
( ) I e III 
( ) I, II e IV 
( x ) I e IV 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
RESPOSTAS 
1-E / 2-B / 3-E / 4-B / 5-B / 6-D / 7-C / 8-B / 9-A / 10-E