Lista 7 no LateX Isadora Cassador UFJF

Prévia do material em texto

Lista 7 de Exerc´ıcios de Controle Estat´ıstico de
Qualidade
Isadora Cassador Coˆnsoli Silva
1
1 Lista 7 Gra´ficos de controle por varia´veis
Nu´mero 1: Um processo e´ controlado com um gra´fico de controle para a frac¸a˜o
na˜o-conforme com limites treˆs-sigma, n = 100, LSC = 0,161, linha central =
0,080 e LIC = 0.
a. Ache o gra´fico de controle equivalente para o nu´mero de na˜o conformes.
Note que da forma como o problema esta´ descrito, podemos perceber que ele
se trata de um gra´fico p (Gra´fico de controle do nu´mero de defeituosos) e um
gra´fico equivalente que poder´ıamos utilizar e´ o gra´fico np (Gra´fico de controle
da frac¸a˜o de delituosos). Mostraremos enta˜o os limites de controle para cada
um dos casos:
n = 100
LSCp = 0, 161
LMp = 0, 080 = p
LICp = 0
np = 100 (0, 080) = 8
LSCnp = np+ 3
√
np (1− p) = 8 + 3√8 (0, 92) ∼= 16, 14
LMnp = np = 8
LICnp = np− 3
√
np (1− p) = 8− 3√8 (0, 92) ∼= −1, 380⇒ 0
b. Use a aproximac¸a˜o de Poisson para a binomial para encontrar a proba-
bilidade de um erro tipo I.
Como p=0,0080 ¡ 0,1 e n=100 e´ grande, podemos aproximar a Poisson pela
Normal;
P (erroT ipo1) = α
P (erroT ipo1) = P (D < LIC|p) + P (D > LSC|p)
P (erroT ipo1) = P (D < LIC|p) + [1− P (D ≤ LSC|p)] = P (D < 0|p = 8) + [1− P (D ≤ 16|p = 8)]
P (erroT ipo1) = 0 + [1− POI (16, 8)] = 0 + (1− 0, 996) = 0, 004
Informac¸a˜o importante sobre o ca´lculo acima: a sigla POI significa a acu-
mulada da distribuic¸a˜o Poisson.
c. Use a aproximac¸a˜o correta para encontrar a probabilidade de um erro
tipo II, se a frac¸a˜o na˜o-conforme do processo muda para 0,2.
2
Se agora p, = 0, 20 e np, = 100 (0, 20) = 20 > 15, enta˜o podemos usar uma
aproximac¸a˜o da normal para a normal.
P (erroT ipo2) = β
P (erroT ipo2) = P (pˆ < LSC|p,)− P (pˆ ≤ LIC|p,)
P (erroT ipo2) = φ
(
LSC−p,√
p(1−p)
n
)
− φ
(
LIC−p,√
p(1−p)
n
)
= φ
(
0,161−0,20√
0,08(1−0,08)
100
)
− φ
(
0−0,20√
0,08(1−0,08)
100
)
P (erroT ipo2) = φ (−1, 44)− φ (−7, 37) = 0, 07494− 0 = 0, 07494
d. Qual e´ a probabilidade de detectar a mudanc¸a do item (c), no ma´ximo
ate´ a quarta amostra apo´s a mudanc¸a?
P (DetectarAte´aQuartaAmostra) = 1 − P (NaoDetectarAte4amostra) =
1− 0, 074944 = 0, 99997
2. Um gra´fico de controle para a frac¸a˜o na˜o-conforme, com linha central
0,10, LSC = 0,19 e LIC = 0,01 e´ usado para controlar um processo.
a. Se sa˜o usados limites treˆs-sigma, ache o tamanho da amostra para o
gra´fico de controle.
p = 0, 10 = LM
LSC = 0, 19
LIC = 0, 01
n =?
LSC = p+ 3
√
p(1−p)
n ⇒ 0, 19 = 0, 10 + 3
√
0,10(0,90)
n ⇒ n = 100
b. Use a aproximac¸a˜o de Poisson para a binomial para achar a probabilidade
de erro tipo I.
λ = np = 100 (0, 10) = 10
P (erroT ipo1) = α
P (erroT ipo1) = P (pˆ < LIC|p) + P (pˆ > LSC|p)
P (erroT ipo1) = P (D < n× LIC|λ) + [1− P (D ≤ n× LSC|λ)] = P (D < 100 (0, 01) |λ = 10) + [1− P (D ≤ 100 (0, 19) |λ = 10)]
P (erroT ipo1) = POI (1; 10) + [1− POI (19; 10)] = 0, 0005 + (1− 0, 9965) = 0, 004
Informac¸a˜o importante sobre o ca´lculo acima: a sigla POI significa a acu-
mulada da distribuic¸a˜o Poisson.
c. Use a aproximac¸a˜o de Poisson para a binomial para achar a probabilidade
de um erro tipo II, se a frac¸a˜o de defeituosos do processo e´, na verdade, p =
0,20.
3
p, = 0, 20
λ = np, = 100 (0, 20) = 20
P (erroT ipo2) = β
P (erroT ipo2) = P (D < n× LSC|λ)− P (D ≤ n× LIC|λ)
P (erroT ipo2) = P (D < 100× 0, 19|λ = 20)− P (D ≤ 100× 0, 01|λ = 20)
P (erroT ipo2) = POI (19; 20)− POI (1; 20) = 0, 4703− 0 = 0, 4703
d. Ache o comprimento me´dio da sequeˆncia para detectar uma mudanc¸a
para uma frac¸a˜o na˜o-conforme de 0,15.
e. Ache o comprimento me´dio da sequeˆncia se a frac¸a˜o na˜o-conforme muda
para 0,20.
3. Um grupo de manutenc¸a˜o melhora a efica´cia de seu trabalho de reparo,
monitorando o nu´mero de requisic¸o˜es de manutenc¸a˜o que exigem uma segunda
chamada para reparo completo.
a. Ache os limites de controle tentativos para esse processo.
Podemos ver pelos dados que o tamanho amostral e´ varia´vel (total de req-
uisic¸o˜es)e ale´m disso se trata de uma varia´vel aleato´ria discreta,por isso devemos
utilizar o gra´fico de u (Gra´fico de Controle do nu´mero me´dio de na˜o conformi-
dade na amostra).
u¯ =
m∑
i=1
Ci
m∑
i=1
ni
= 833750 = 0, 02213
LSCui = u¯+ 3
√
u¯
ni
LMui = u¯
LICui = u¯− 3
√
u¯
ni
Dessa forma, os limites de controle tentativos para este processo sera˜o:
4
Figure 1:
b. Elabore um gra´fico de controle para controlar a produc¸a˜o futura.
Figure 2:
Se a investigac¸a˜o foi feita e nenhuma causa especial foi detectada durante o
processo de coleta da amostra, enta˜o o gra´fico apresentado acima e´ o recomen-
dado para controlar a produc¸a˜o futura;
c. Analise os dados, usando um tamanho me´dio de amostra.
O tamanho me´dio da amostra sera´ dado pela seguinte expressa˜o:
n¯ =
m∑
i=1
ni
m =
200+250+...+250
20 = 187, 5
Com um tamanho de amostra fixo (n¯), podemos utilizar o gra´fico de C de
na˜o conformidades na amostra. Veja a figura abaixo:
5
Figure 3:
Pela figura acima, parece que o processo esta´ sob controle, pois todos os
pontos ficaram dentro dos limites. No entanto, ha´ ind´ıcios de ter havido alguma
causa especial durante o processo, pois as amostras 5 a 14 ficaram abaixo da
linha central. Uma investigac¸a˜o neste per´ıodo deveria ser feito.
d. Construa um gra´fico de controle padronizado para os dados.
A padronizac¸a˜o e´ feita da seguinte forma:
Zi =
ui − u¯√
u¯
ni
6
Figure 4:
Veja abaixo o gra´fico de u padronizado:
7
Figure 5:
Assim como no gra´fico da questa˜o c), o processo parece estar sob controle.
Tambe´m observamos que ha´ ind´ıcios de ter havido alguma causa especial durante
o processo, pois as amostras de 5 a 14 ficaram todas abaixo da linha central.
e. Prepare um gra´fico de controle que tenha um conjunto de limites para
cada tamanho de amostra poss´ıvel (n = 100, 150, 200 e 250) e mostre como
ele poderia ser usado como alternativa ao me´todo de limites de controle largura
varia´vel [itens (a) e (b)]. Qua˜o fa´cil seria o uso desse me´todo na pra´tica?
Para o gra´fico de p com tamanho de amostras varia´vel, temos:
p¯ =
∑
Di∑
ni
= 833750 = 0, 0221 eos limites sa˜o dados por:
p¯± 3
√
p¯(1−p¯)
ni
8
Figure 6:
Figure 7:
Como esperado, todas as amostras ficaram dentro dos limites de controle,
pois elas ja´ haviam ficado entre os limites na situac¸a˜o de largura fixa. A
aplicac¸a˜o do gra´fico de u de largura varia´vel, em termos pra´ticos, seria fa´cil,
uma vez que esse me´todo ja´ esta´ implementado em diversos softwares.
4. Uma fa´brica de papel usa um gra´fico de controle para monitorar imper-
feic¸o˜es nos rolos de papel acabado. O resultado da produc¸a˜o e´ inspecionado
durante 20 dias.
a. Use esses dados para estabelecer um gra´fico de controle para na˜o con-
formidades por rolo de papel. O processo parece estar em controle estat´ıstico?
Qual linha central e quais limites de controle voceˆ recomendaria para controlar
9
a produc¸a˜o corrente?
Os dados apresentam tamanho de amostras diferentes, dessa forma, devemos
utilizar o gra´fico de u (Gra´fico de controle do nu´mero de na˜o conformidade na
amostra).
Figure 8:
10
Figure 9:
b. Estabelec¸a um gra´fico de u, com base no tamanho me´dio da amostra,
para controlar esse processo. O tamanho amostral me´dio e´ dado por:
n¯ =
m∑
i=1
ni
m =
18+18+...+21
20 = 20, 55 No gra´fico constru´ıdo, vemos que todos
os pontos ficaram bem pro´ximos da linha central e temos que os limite superior
esta´ bem afastado da linha central. Apesar de todos os pontos estarem dentro
dos limites,percebemos que parece haver uma sazonalidade nos dados.
Figure 10:
Pelo gra´fico de controle, podemos ver que todos os pontos observados ficaram
entre os limites de controle, mas parece haver uma sazonalidade no nu´mero de
imperfeic¸o˜es nos rolos de papel acabados.
11
c. Estabelec¸a um gra´fico de u padronizado para esse processo.
Figure 11:
Figure 12:
O comportamento do gra´fico de controle para os dados padronizados foi o
mesmo do gra´fico de u baseado no tamanho me´dio da amostra. Todos os pontos
observados ficaram entre os limites de controle e parece haver uma sazonalidade
no nu´mero de imperfeic¸o˜es nos rolos de papel acabados;
5. Kittlitz (1999) apresenta dados de homic´ıdios em Waco, Texas, para os
anos 1980-1989 (dados extra´ıdos de Waco Tribune-Herald). Houve 29 homic´ıdios
12
em 1989. O conjunto de dados encontra-se dispon´ıvel na planilha: BD cep listas.xls/guia :
homicidios, contendo os dados dos homic´ıdios de 1989 e o nu´mero de dias entre
eles. Salienta-se que ocorreram dois homic´ıdios em 16 de junho, separados por
um intervalo de 12 horas.
a. Plote os dados dos dias entre homic´ıdios em um gra´fico de probabilidade
normal. A hipo´tese de uma distribuic¸a˜o normal parece razoa´vel para esses
dados?
Figure 13:
Na Figura acima apresentamos o gra´fico de probabilidades. Podemos ver
suposic¸a˜o de normalidade na˜o parece adequada, os pontos na˜o esta˜o alinhados
com a reta.
b. Transforme os dados, usando a raiz 0,277 para eles. Plotes os dados
transformados em um gra´fico de probabilidade normal. O gra´fico indica que
a transformac¸a˜o foi bem-sucedida em tornar os dados mais parecidos com os
dados de uma distribuic¸a˜o normal?
13
Figure 14:
Como podemos ver pela Figura acima, a transformac¸a˜o dos dados pela raiz
0,277 deixou os dados um pouco mais pro´ximos de dados normais.
c. Transforme os dados usando a raiz quarta (0,25) para os dados. Plotes os
dados transformados em um gra´fico de probabilidade normal. O gra´fico indica
que a transformac¸a˜o foi bem-sucedida em tornar os dados mais parecidos com
os dados de uma distribuic¸a˜o normal? Esse gra´fico e´ muito diferente daquele
obtido em (b)?
Figure 15:
Podemos perceber que esta segunda transformac¸a˜o (0,25) foi bem mais suce-
dida, pois os dados se ajustaram bem a` reta. Ale´m disso, note que na˜o rejeita-
14
mos H0 (em que H0: os dados seguem uma distribuic¸a˜o normal). No entanto,
a transformac¸a˜o pela raiz 0,25 na˜o pareceu ter um efeito melhor que a trans-
formac¸a˜o pela raiz 0,277, vemos que os dois gra´ficos de probabilidades parecem
ser o mesmo.
d. Construa um gra´fico de controle para unidades individuais usando os
dados transformados de (b).
Figure 16:
O processo parece estar sob controle, pois todos os pontos esta˜o dentro dos
limites e esta˜o distribu´ıdos de forma aleato´ria.
e. Construa um gra´fico de controle para unidades individuais usando os
dados transformados de (c). Qua˜o semelhante e´ esse gra´fico em relac¸a˜o ao
constru´ıdo em (d)?
15
Figure 17:
Assim como aconteceu para os dados transformados pela raiz 0,2777, os
dados transformados pela raiz 0,25 parecem estar sob controle, podemos ver pela
Figura acima que todos os pontos esta˜o dentro dos limites e esta˜o distribu´ıdos
de forma aleato´ria.
f. O processo e´ “esta´vel”? Deˆ uma interpretac¸a˜o pra´tica do gra´fico de
controle. Sim, o processo parece estar sob controle, pois vimos que todos os
pontos ficaram dentro dos limites de controle e estavam distribu´ıdos de forma
aleato´ria no gra´fico. Em termos pra´ticos, o nu´mero de homic´ıdios em Waco,
Texas, se manteve “constante” em torno de uma me´dia. Na houve um aumento
ou uma diminuic¸a˜o significativa no nu´mero de homic´ıdios durante o per´ıodo de
coleta dos dados.
g. Que dificuldades pra´ticas podem ser encontradas no monitoramento de
dados de tempo entre eventos?
Dentre as dificuldades do monitoramento que podem acontecer podemos
citar a omissa˜o de informac¸o˜es, na˜o registro de casos, dificuldade de acesso,
”maquiagem” nos dados, questo˜es pol´ıticas e culturais.
16