Controle Estatistico da Qualidade

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Controle Estatístico da Qualidade 
1 Introdução 
O controle permanente dos processos é a condição básica para manutenção da “qualidade” 
de bens e serviços, ou seja, a condição básica para que estes bens e serviços: sejam 
adequados ao uso; atendam as especificações; atendam e, se possível, excedam às 
expectativas do consumidor etc. 
O objetivo do controle estatístico de qualidade é aplicar técnicas estatísticas para o 
controle de processos industriais que geram bens de consumo e de processos de empresas 
que prestam serviços. 
O início formal do controle estatístico de processos (CEP) deu-se por volta de 1924, 
quando o Dr. Walter A. Shewhart desenvolveu e aplicou os gráficos de controle em análises 
no Bell Telephone Laboratories. Ele analisou muitos processos diferentes e concluiu: todos 
os processos de manufatura exibem variação. Shewhart atribuiu variação inerente, 
normalmente chamada variação aleatória, às causas acidentais e às causas indetermináveis, 
e a variação intermitente às causas determináveis. Concluiu que as causas determináveis 
podiam ser economicamente descobertas e eliminadas com um tenaz programa de 
diagnóstico, mas que as causas aleatórias não podiam ser economicamente descobertas e 
não podiam ser removidas sem que se fizessem mudanças básicas no processo. 
A variação de qualquer característica de qualidade pode ser quantificada pela 
amostragem do resultado do processo e pelas estimativas dos parâmetros da sua 
distribuição estatística. Mudanças na distribuição podem ser reveladas pelos gráficos 
destes parâmetros no tempo. A eficácia de um gráfico de controle é medida pela rapidez 
com que esse dispositivo detecta alterações no processo. 
2 Fundamentos do Controle Estatístico de Processos 
2.1 Variabilidade dos Processos 
A expressão variabilidade do processo está relacionada com as diferenças existentes entre 
as unidades produzidas. 
2.2 O Conceito de Variação 
Para que se possa controlar a qualidade de um produto é necessário ter habilidade para se 
medir as variações que ocorrem no mesmo. Existem três tipos de variações que podem 
ocorrer em um item produzido: 
2 
1. Variação interna: É aquela que ocorre dentro do mesmo item. Por exemplo, o 
acabamento superficial é diferente em faces opostas da mesma peça, ou o diâmetro 
de eixo varia ao longo do seu comprimento. 
2. Variação item a item: É aquela que ocorre entre itens produzidos em tempos 
próximos. Por exemplo, a intensidade luminosa de quatro lâmpadas produzidas 
consecutivamente por uma máquina será diferente. 
3. Variação tempo a tempo: É aquela que ocorre entre itens produzidos em 
diferentesperíodos durante o dia. Por exemplo, a peça produzida pela manhã será 
diferente daquela produzida à noite, devido ao desgaste da ferramenta de corte. 
Existem seis fatores que contribuem para essas variações, são eles: Máquinas, 
Métodos, Materiais, Meio ambiente, Mão de obra e Medidas. Quando estes seis fatores de 
variação estão presentes nos processos de uma forma normal ou esperada, dizemos que 
um padrão de causas comuns ou causas aleatórias está se desenvolvendo. Causas comuns 
ou causas aleatórias de variação são inevitáveis e são difíceis de serem identificadas, pois 
são de pequena significância. As causas de variação de grande significância e, portanto, 
facilmente identificáveis, são classificadas como causas especiais de variação. 
Quando apenas causas comuns estão presentes no processo, dizemos que o mesmo 
está sob controle. Contudo, quando causas especiais de variação também estão presentes, 
a variação se torna excessiva, e o processo é classificado como estando fora de controle ou 
além da expectativa normal de variação. 
Observação: As causas especiais têm o efeito de deslocar a distribuição da variável 
aleatória X (tirando sua média do valor alvo) e ou aumentar sua dispersão. As causas 
especiais, ao contrário das naturais, são sempre possíveis de eliminar. 
3 Monitoramento dos Processos por Gráficos de Controle 
Os processos devem ser permanentemente monitorados, para que se possa detectar 
possíveis causas especiais de variação. Uma vez detectadas, estas causas devem ser 
investigadas e eliminadas. A principal ferramenta utilizada para monitorar os processos e 
sinalizar a presença de causas especiais de variação são os gráficos de controle. 
Um gráfico de controle de uma característica de um processo consiste em valores 
grafados sequencialmente ao longo do tempo, uma linha central, um limite inferior de 
controle (LIC) e um limite superior de controle (LSC). A linha do centro representa um valor 
central das medidas da característica, e os limites de controle são fronteiras para separar e 
identificar quaisquer pontos considerados excepcionais. Em geral utiliza-se gráficos de 
controle 3σ, cujos limites de controle são estabelecidos a ± 3 desvios padrões do valor 
central. Abordaremos aqui os gráficos de controle por variáveis e os gráficos de controle 
por atributos. 
3 
3.1 Gráficos de Controle por Variáveis 
Estes gráficos representam o estado de controle de variáveis quantitativas, como por 
exemplo, a resistência média de um material, o peso médio de um item produzido, etc. Os 
principais tipos de gráficos de controle para variáveis são: 
• Gráficos de Controle X e R, com tamanho de amostra (n) fixo; 
• Gráficos de Controle X e S, com tamanho de amostra (n) fixo; 
• Gráficos de Controle X e S, com tamanho de amostra (ni) variável (i = 1,2,...,m). 
Exemplo 1. A carga axial de uma lata de alumínio é o peso máximo que seus lados podem 
suportar. É importante termos uma carga axial bastante elevada a fim de que a lata não 
sofra deformação quando a tampa é colocada no lugar sob pressão. Os dados amostrais da 
Tabela 1 provêm de uma população de latas com 0,0277 cm de espessura. Durante este 
estágio analisaremos o processo de fabricação, focalizando o padrão de cargas axiais ao 
longo do tempo. 
4 
Tabela 1: Cargas Axiais (libras) de latas de alumínio 
Subgrupo Carga Axial (libras) x¯ R s 
1 270 273 258 204 254 228 282 252,7143 78 27,6328 
2 278 201 264 265 223 274 230 247,8571 77 29,6616 
3 250 275 281 271 263 277 275 270,2857 31 10,5627 
4 278 260 262 273 274 286 236 16,3401 
5 290 286 278 283 262 277 295 281,5714 33 10,7216 
6 274 272 265 275 263 251 289 269,8571 38 11,8382 
7 242 284 241 276 200 278 283 257,7143 84 31,4469 
8 269 282 267 282 272 277 261 272,8571 21 
9 257 278 295 270 268 286 262 273,7143 38 13,4501 
10 272 268 283 256 206 277 252 259,1429 25,8742 
11 265 263 281 268 280 289 283 275,5714 26 10,0971 
12 263 273 209 259 287 269 277 262,4286 78 25,2907 
13 234 282 276 272 257 267 204 256 78 27,8149 
14 270 285 273 269 284 276 286 277,5714 17 7,3225 
15 273 289 263 270 279 206 270 264,2857 83 26,9797 
16 270 268 218 251 252 284 278 260,1429 66 22,2593 
17 277 208 271 208 280 269 270 254,7143 72 32,1544 
18 294 292 289 290 215 284 283 278,1429 79 28,1273 
19 279 275 223 220 281 268 272 259,7143 61 26,4683 
20 268 279 217 259 291 291 281 269,4286 74 25,8706 
21 230 276 225 282 276 289 288 266,5714 64 27,2143 
22 268 242 283 277 285 293 248 270,8571 51 19,3169 
23 278 285 292 282 287 277 266 26 
24 268 273 270 256 297 280 256 271,4286 41 14,2578 
25 262 268 262 293 290 274 292 277,2857 31 14,0797 
 T O T A L 6677,8571 1374 501,0922 
 
3.1.1 Gráfico de Controle X e R 
 
O gráfico de controle X é projetado, principalmente, para descobrir mudanças na média do 
processo. Suponha que os ítens de um processo de produção possuem valores mensuráveis 
que são independentes e se distribuem normalmente com média µ e variância σ2. 
Sejam os valores produzidos pelo sistema denotados por X1,X2,...,Xn, em que n é o 
tamanho comum de todos os subgrupos. 
5 
 
Seja Xi, i = 1,2,...,m, denotando a média do i-ésimo subgrupo. Os Xi são normalmente 
distribuídos com média e variância dadas por 
 
Consequentemente, segue-se que 
. 
Logo, se o processo permaneceem controle, então tem distribuição 
normal padrão. Sendo Z ∼ N (0,1), mostra-se que Z quase sempre estará entre -3 e 3, pois 
P [−3 < Z < 3] = 0.9973, e esta informação está ilustrada na Figura 1. 
 
Figura 1: Gráfico da Distribuição Normal 
Consequentemente, 
 √ √ 
, ou equivalentemente, µ − 3σ/ n < Xi < µ + 3σ/ n. 
Portanto, os limites de controle do gráfico x são dados por 
 e 
 
Desta forma, o processo é considerado fora de controle se algum valor de Xi estiver 
acima de LSC ou abaixo de LIC. 
Considere, agora, que a média µ e o desvio padrão σ não sejam conhecidos 
inicialmente; logo, eles terão que ser estimados a partir dos dados. 
Sejam x1,x2,...,xm as médias de cada uma das amostras, então o melhor estimador de µ, 
a média do processo, é a média geral 
. 
6 
A amplitude (range) é simplesmente a diferença entre o maior e o menor valor de um 
conjunto de dados: 
R = x(n) − x(1). 
Sejam R1,R2,...,Rm as amplitudes das m amostras. A amplitude média é 
. 
 
Um estimador para σ é R/d2, onde d2 é uma constante. Valores de d2 para diversos 
 
tamanhos de amostra se encontram tabulados. Assim, se R é a amplitude média das m 
amostras preliminares, podemos usar 
 
para estimar σX. 
Desta forma, os limites de controle do gráfico x são dados por 
 e . 
Se definirmos 
 
então, os limites de controle para o gráfico x serão dados por 
 LIC = x − A2R, LC = x e LSC = x + A2R. (2) 
A constante A2 encontra-se tabulada para vários tamanhos de amostra. 
Exemplo 2. Considerando os dados do Exemplo 1, para obtermos o gráfico X para a carga 
axial média das latas de alumínio precisamos calcular a média de cada subgrupo (xi), a 
amplitude de cada subgrupo (Ri), a média geral de todos os subgrupos (x) e a 
 
amplitude média todos os subgrupos (R), e substituir estes valores na expressão (2). Este 
gráfico se encontra na Figura 2 e observamos que todos os pontos estão dentro dos limites 
de controle, embora a média do segundo subgrupo esteja bem próxima do limite inferior de 
controle. 
7 
 
Figura 2: Gráfico X para a resistência média das latas 
Observação: Em muitas situações é importante observar algumas características a mais 
no gráfico de controle do que simplesmente o fato de os pontos estarem entre os limites 
de controle. O gráfico de controle nos dá várias informações adicionais, como a tendência 
da média do processo, a variação, uma sequência de pontos abaixo ou acima da linha 
central, ou muitos pontos próximos aos limites de controle. 
A variabilidade do processo pode ser monitorada plotando-se os valores das 
amplitudes amostrais R em um gráfico de controle. 
Sob a hipótese de normalidade dos dados, com média µX e variância σX2 , então as 
variáveis aleatórias 
Zi = (Xi − µX)/σX, i = 1,...,n 
são independentes e têm distribuição normal padrão. Adicionando uma constante em cada 
termo do subgrupo não alteramos o valor da amplitude, logo 
R = max(σXZ1 + µX,...,σXZn + µX) − min(σXZ1 + µX,...,σXZn + µX) 
= max(σXZ1,...,σXZn) − min(σXZ1,...,σXZn) 
= σX [max(Z1,...,Zn) − min(Z1,...,Zn)] = σXRz, onde Rz = 
max(Z1,...,Zn) − min(Z1,...,Zn). 
Portanto, 
E [R] = σXd2 e pV ar [R] = σXd3, onde d2 = E [Rz] e d3 = pV ar [Rz]. Assim, os limites 
de controle para o gráfico R são dados por: 
 LIC = µR − 3σR, LC = µR e LSC = µR + 3σR. 
Como σ é desconhecido, devemos estimar σR por 
8 
. 
Logo, os limites de controle do gráfico R se reduzem a 
 e . 
Definindo 
e 
, 
os limites de controle para o gráfico R ficam determinados por 
 
 LIC = D3R, LC = R e LSC = D4R. (3) 
As constantes D3 e D4 encontram-se tabuladas para vários valores de n. 
Exemplo 3. Considerando o exemplo da carga axial das latas de alumínio, para construirmos 
o gráfico R para monitorar a varição do processo, precisamos inicialmente 
 
calcular a amplitude (Ri) de cada subgrupo e a média de todos os subgrupos (R). Em seguida, 
substituimos estes valores nas expressões (3) para obter os limites de controle do gráfico R. 
O gráfico R para estes dados se encontram na Figura 3. Observe que nenhum ponto ficou 
fora dos limites de controle, indicando assim, que a variação do processo está sob controle. 
 
Figura 3: Gráfico R para a carga axial das latas de alumínio 
9 
Observação: Em geral, analisa-se os gráficos x e R conjuntamente. Se o gráfico R não 
apresentar nenhuma evidência de que a variação do processo está fora de controle, então 
analisa-se o gráfico x, caso contrário interrompe-se o processo para ajustes. 
 
3.1.2 Gráfico de Controle X e S 
Embora os gráficos x e R sejam bastante usados, algumas vezes torna-se desejável estimar 
diretamente o desvio padrão do processo em vez de indiretamente através do uso da 
amplitude R. 
Se σ2 é a variância desconhecida de uma distribuição de probabilidade, então um 
estimador não-viesado para σ2 é a variância amostral 
. 
No entanto, o desvio padrão SX não é um estimador não-viesado para σX, S na verdade 
estima c4σX, onde c4 é uma constante que depende do tamanho da amostra n. Além disso, 
o desvio padrão de , onde σX é o desvio padrão de Xi, em que 
Xi ∼ N(µX,σX2 ). Os limites de controle três-sigma são então 
, 
e 
. 
Definindo as duas constantes 
e 
, 
podemos escrever os limites de controle para o gráfico S como 
 LIC = B5σX, LC = c4σX e LSC = B6σX. (4) 
Valores de c4, B5 e B6 se encontram tabulados para diversos valores de n. 
Se nenhum valor de referência é dado para σX, então temos que estimá-lo através de 
dados passados. Suponha que m amostras preliminares estejam disponíveis, cada uma com 
tamanho n, e seja Si o desvio padrão da i-ésima amostra. A média dos m desvios padrão é 
. 
10 
 
A estatística S/c4 é um estimador não-viesado de σX. Então, os parâmetros para o 
gráfico S são 
 e . 
Definindo as constantes 
e 
, 
podemos escrever os limites de controle para o gráfico S como 
 
 LIC = B3S, LC = S e LSC = B4S. (5) 
Note que, B3 = B5/c4 e B4 = B6/c4. 
Quando S/c4 é usado para estimar σX, podemos definir os limites de controle para o 
gráfico x correspondente como 
 e 
. 
Definindo a constante 
 
, os parâmetros do gráfico x se tornam 
 LIC = x − A3S LC = x e LSC = x + A3S. (6) 
As constantes B3, B4 e A3 para a construção dos gráficos x e S encontram-se tabuladas 
para diversos valores de n. 
Observação: Tradicionalmente, os engenheiros da qualidade preferiam o gráfico R ao 
gráfico S por causa da simplicidade do cálculo de R para cada amostra. A disponibilidade 
atual de máquinas de calcular com cálculo automático de S e a crescente disponibilidade 
de microcomputadores na implementação on-line dos gráficos de controle na estação de 
trabalho vêm eliminando qualquer dificuldade computacional. 
Exemplo 4. Vamos construir o gráfico S para os dados do Exemplo 1. Para isto, precisamos 
calcular o desvio padrão (Si) de cada subgrupo e a média dos desvios de todos 
 
11 
os subgrupos (S). Substituindo estes valores nas expressões (5), obtemos os limites de 
controle do gráfico S. Este gráfico de controle se encontra na Figura 4. Observe que nenhum 
ponto ficou fora dos limites de controle, indicando assim, que o desvio padrão do processo 
está sob controle. 
 
Figura 4: Gráfico S para a carga axial das latas 
3.1.3 Gráficos de Controle x e S com tamanho de amostra variável 
Os gráficos de controle x e S são relativamente simples de usar nos casos onde os tamanhos 
das amostras são variáveis. Nesse caso, devemos aplicar a abordagem da média ponderada 
no cálculo de x e S. Se ni é o tamanho do i-ésimo subgrupo, então usamos 
 
e como linhas centrais nos gráficos x e S respectivamente. 
Os limites de controle são calculados a partir das 
expressões (5) e (6), respectivamente, mas as 
constantes A3, B3 e B4 vão depender do tamanho da amostra usado em cada subgrupo 
individual. Ou seja, cada subgrupo terá seus próprios limites de controle individualmente. 
Exemplo 5. Um resumo dos dados sobre medidas de diâmetro internos (mm) de anéis depistão de motores de automóveis se encontram na Tabela 2 abaixo. 
12 
Tabela 2: Medidas resumo para os dados dos diâmetros de anéis de pistão 
 Amostra ni xi Si2 A3 B3 B4 
 
 
Calcular os limites de controle dos gráficos x e S para os dados da Tabela 2. 
3.2 Gráficos de Controle por Atributos 
Muitas características da qualidade não podem ser representadas numericamente de modo 
conveniente. Em tais casos, usualmente classificamos cada item inspecionado como 
conforme ou não-conforme em relação às especificações para aquela característica da 
qualidade. As características de qualidade desse tipo são chamadas atributos. Os gráficos 
de atributos não são, em geral tão informativos quanto os gráficos de variáveis porque há, 
tipicamente, mais informação em uma medida numérica do que em uma mera classificação 
como conforme ou não-conforme. No entanto, os gráficos de atributos tem, sim, aplicações 
importantes. Eles são particulamente úteis nas indústrias de serviços e nos esforços de 
melhoria da qualidade não-industrial, porque muitas das características da qualidade 
encontradas nesses ambientes não são facilmente mensuráveis em uma escala numérica. 
3.2.1 Gráfico de Controle para a Fração Não-Conforme (p) 
A fração não-conforme é definida como a razão entre o número de itens não-conformes 
em uma população e o total de itens naquela população. 
Suponha que o processo de produção esteja operando de maneira estável, de tal modo 
que a probabilidade de que uma unidade não esteja de acordo com as especificações seja 
p, e que as sucessivas unidades produzidas sejam independentes. Então, cada unidade 
produzida é uma realização de uma variável aleatória de Bernoulli com parâmetro p. Se 
uma amostra aleatória de n unidades do produto é selecionada, e se D é o número de 
unidades não-conformes, então D tem uma distribuição Binomial com parâmetros n e p, 
isto é, 
 
13 
A fração amostral não-conforme é definida como a razão entre o número de unidades 
não-conformes na amostra D e o tamanho n da amostra, isto é, 
. 
Sabemos que a média e a variância de pˆ são 
 E(ˆp) = p e . 
Suponha que a verdadeira fração não-conforme, p seja conhecida ou é um valor 
padrão especificado pela gerência. Assim, os limites de controle 3-sigma para o gráfico de 
controle da fração não-conforme devem ser 
 e . 
A operação real desse gráfico consistiria na tomada de amostras subsequentes de n 
unidades, no cálculo da fração amostral não-conforme pˆ, e na marcação da estatística pˆ 
no gráfico. Enquanto pˆ permanece dentro dos limites de controle e a sequência de pontos 
plotados não exibe qualquer padrão não-aleatório sistemático, podemos concluir que o 
processo está sob controle. Se um ponto se localiza fora dos limites de controle, ou caso se 
observe um padrão não-aleatório nos pontos plotados podemos concluir que a fração não-
conforme do processo provavelmente passou para um novo nível e que o processo está 
fora de controle. 
Quando a fração não-conforme do processo, p, não é conhecida, deve, então ser 
estimada a partir dos dados observados. O procedimento usual é a seleção de m amostras 
preliminares, cada uma de tamanho n. Então, se há Di unidades não-conformes na amostra 
i, calculamos a fração não-conforme na i-ésima amostra como 
 
e a média dessas frações não-conformes das amostras individuais é 
. 
A estatística p estima a fração não-conforme desconhecida, p. Assim, os limites de 
controle para o gráfico da fração não-conforme com p desconhecido são dados por 
 e . 
Os limites de controle definidos nas expressões (8) devem ser encarados como limites 
de controle tentativos. Os valores amostrais de pˆi devem ser plotados versus os limites 
tentativos para testar se o processo estava sob controle quando os dados preliminares 
14 
foram coletados. Quaisquer pontos que excedam os limites de controle tentativos devem 
ser investigados. Se forem descobertas causas atribuíveis para esses pontos, eles deverão 
ser descartados e novos limites de controle tentativos deverão ser determinados. 
Observação: Para que se considere que os limites de controle tentativos são 
apropriados para controle atual ou futuro, é altamente recomendável que se tenha, pelo 
menos, entre 20 e 25 amostras ou subgrupos de tamanho n (tipicamente, n deve estar entre 
3 e 5). Naturalmente, é possível trabalhar com menos dados, mas os limites de controle já 
não serão tão confiáveis. 
Exemplo 6. O suco de laranja concentrado e congelado é embalado em latas de papelão. 
Essas embalagens são feitas enrolando-se o papelão e colocando-se um fundo de metal. 
Pela inspeção de uma dessas embalagens, pode-se determinar se, quando cheia, poderá 
vazar ao longo da junta lateral do papelão ou em volta da junção do fundo. Tal embalagem 
não-conforme tem uma vedação imprópria ou na junção lateral ou na junção do fundo. 
Desejamos estabelecer um gráfico de controle para reduzir a fração de embalagens não-
conformes produzidas por esta máquina. 
Para estabelecer o gráfico de controle, selecionaram-se 30 amostras com 50 
embalagens cada, a intervalos de meia hora, por um período de três turnos, no qual a 
máquina operou continuamente. Os dados estão mostrados na Tabela 3. 
Tabela 3: Dados para os limites de controle tentativos. Exemplo 6. 
Amostra Di pˆi Amostra Di pˆi Amostra Di pˆi 
1 12 0,24 11 5 0,10 21 20 0,40 
2 15 0,30 12 6 0,12 22 18 0,36 
3 8 0,16 13 17 0,34 23 24 0,48 
4 10 0,20 14 12 0,24 24 15 0,30 
5 4 0,08 15 22 0,44 25 9 0,18 
6 7 0,14 16 8 0,16 26 12 0,24 
7 16 0,32 17 10 0,20 27 7 0,14 
8 9 0,18 18 5 0,10 28 13 0,26 
9 14 0,28 19 13 0,26 29 9 0,18 
10 10 0,20 20 11 0,22 30 6 0,12 
Total 105 2,1 Total 109 2,18 Total 133 2,66 
A Figura 5 mostra o gráfico de controle para estes dados. 
15 
 
Figura 5: Gráfico p para a fração não-conforme das embalagens de sucos 
Observe que existem dois pontos fora dos limites de controle, os das amostras 15 e 23. 
Estes pontos devem ser investigados para ver se uma causa atribuível pode, ou não, ser 
determinada. A análise dos dados da amostra 15 indica que um novo fardo de papelão foi 
colocado na produção naquela meia hora. Além disso, duarante a meia hora durante a qual 
a amostra 23 foi extraída, um operador relativamente inexperiente foi temporariamente 
designado para aquela máquina. Consequentemente, eliminando-se as amostras 15 e 23 e 
calculando-se os novos limites de controle, obtemos 
 p = 0,2150; LIC = 0,0407 e LSC = 0,3893. 
A Figura 6 mostra a linha central e os limites de controle revistos. Note, que agora a 
fração não-conforme da amostra 21 excede o limite superior de controle. No entanto, a 
análise dos dados não fornece qualquer causa atribuível razoável ou lógica para isso, e 
decidimos conservar o ponto. Concluímos portanto, que os novos limites de controle da 
Figura 6 podem ser usados para futuras amostras. 
 
Figura 6: Gráfico p para a fração não-conforme das embalagens de sucos excluindo as 
amostras 15 e 23 
16 
Suponha que baseado nestes dados a empresa tome diretivas que visem melhorar o 
desempenho da máquina que embala os sucos. Durante os próximos três turnos que se 
seguiram aos ajustes da máquina e à introdução do gráfico de controle, foram coletadas 24 
amostras adicionais, com 50 observações cada. A Tabela 4 mostra esses dados e as frações 
não-conformes estão plotadas Figura 7. 
Tabela 4: Dados das embalagens de suco de laranja concentrado (amostras 31 a 54). 
Amostra Di pˆi Amostra Di pˆi Amostra Di pˆi 
31 9 0,18 39 7 0,14 47 8 0,16 
32 6 0,12 40 6 0,12 48 5 0,10 
33 12 0,24 41 2 0,04 49 6 0,12 
34 5 0,10 42 4 0,08 50 7 0,14 
35 6 0,12 43 3 0,06 51 5 0,10 
36 4 0,08 44 6 0,12 52 6 0,12 
37 6 0,12 45 5 0,10 53 3 0,06 
38 3 0,06 46 4 0,08 54 5 0,10 
Total 51 1,02 Total 37 0,74 Total 45 0,9 
 
Figura 7: Gráfico p para a fração não-conforme das embalagens de sucos amostras 31 
a 54 
3.2.2 Gráfico de Controle u 
Um item não-conforme é uma unidadedo produto que não satisfaz uma ou mais das 
especificações para aquele produto. Cada ponto particular em que uma especificação não 
é satisfeita, resulta em um defeito ou não-conformidade. Consequentemente, um item 
não-conforme conterá pelo menos uma não-conformidade. No entanto, dependendo de 
sua natureza e gravidade, é bem possível que um item contenha várias não-conformidades 
e não seja classificado como não-conforme. Como exemplo, suponha que estamos 
fabricando microcomputadores. Cada unidade poderia ter uma ou mais falhas no 
acabamento do gabinete, mas como essas falhas não afetam a operação funcional da 
17 
unidade, essa unidade poderia ser classificada como conforme. No entanto, se há muitas 
dessas falhas, o computador seria classificado como não-conforme, uma vez que as falhas 
seriam muito visíveis para o comprador, o que dificultaria sua venda. Há várias situações 
práticas nas quais preferimos trabalhar diretamente com o número de defeitos ou não-
conformidades do que com a fração não-conforme. Por exemplo: 
• Na fabricação de produtos como geladeiras e automóveis, que são constituídos por 
uma série de equipamentos (componentes), sendo normal que alguns deles 
apresentem um ou outro componente danificado ou mesmo faltante; 
• Nos processos contínuos como de produção de tecidos em que, digamos, ocorram 
um ou mais pequenos defeitos em um rolo de 100 metros de tecido, tais defeitos não 
o inutilizam, mas a frequência média de ocorrência de defeitos é uma medida de 
qualidade; 
• Na produção de tubulações com 100 metros para oleoduto, quando o interesse é 
analisar o número de soldas defeituosas; 
• Na fabricação de asas de aviões, quando se quer analisar o número de rebites 
quebrados; etc. 
Se o processo estiver sob controle, é de se esperar que as não-conformidades ocorram 
de maneira aleatória e com baixa frequência. 
Seja yi o número total de defeitos no processo de inspeção, numa amostra de tamanho 
n de um certo produto e λ o número médio de defeitos por unidade inspecionada neste 
processo, i = 1,2,...m. Considere que yi segue (aproximadamente) uma distribuição de 
Poisson de média igual a nλ. Sendo λ conhecido, o processo pode ser monitorado 
considerando ui = yi/n, i = 1,2,...,m o número médio de defeitos por unidade de inspeção na 
amostra. Desta forma, os limites de controle da carta u são obtidos por 
 e 
Se λ é desconhecido, podemos estimá-lo por u o número médio de não-conformidades 
por unidade de inspeção em uma amostra de n itens. Assim, os limites de controle do 
Gráfico u para λ desconhecido são dados por 
 e 
em que 
. 
18 
Exemplo 7. Um fabricante de microcomputadores deseja estabelecer um gráfico de controle 
para não-conformidades por unidade na linha de montagem final. O tamanho da amostra 
é escolhido como 5 computadores. A Tabela 5 mostra dados sobre o número de não-
conformidades em 20 amostras de 5 computadores cada. 
Tabela 5: Dados sobre o número de defeitos em computadores pessoais. 
Amostra yi ui Amostra yi ui 
1 10 2,0 11 9 1,8 
2 12 2,4 12 5 1,0 
3 8 1,6 13 7 1,4 
4 14 2,8 14 11 2,2 
5 10 2,0 15 12 2,4 
6 16 3,2 16 6 1,2 
7 11 2,2 17 8 1,6 
8 7 1,4 18 10 2,0 
9 10 2,0 19 7 1,4 
10 15 3,0 20 5 1,0 
Total 113 22,6 20 80 16 
Por esses dados, estimamos o número médio de não-conformidades por unidade como 
. 
Portanto, os limites de controle do gráfico u são dados pela expressão (10) 
 e . 
O gráfico de controle u para estes dados está representado na Figura 8. 
 
19 
Figura 8: Gráfico u para o número de não-conformidades por computador produzido 
Exemplo 8. O gerente de uma linha de montagem de placas de circuitos quer controlar 
estatisticamente seu processo, usando como característica de qualidade o número de 
componentes montados erroneamente. Definiu-se a unidade de inspeção como consistindo 
de 5 placas. A tabela a seguir fornece o número de não conformidades encontradas nas 20 
primeiras amostras: 
Tabela 6: Dados sobre o número de componentes montados erroneamente nas placas de 
circuito. Exemplo 8. 
Amostra yi Amostra yi 
1 1 11 0 
2 2 12 2 
3 0 13 0 
4 3 14 2 
5 1 15 1 
6 1 16 1 
7 5 17 2 
8 1 18 3 
9 0 19 0 
10 3 20 2 
Encontre os limites de controle para o número médio de não conformidades por item. 
3.2.3 Tamanho de Amostra Variável 
Em algumas aplicações do gráfico de controle tanto para a fração não-conforme como para 
o número de não-conformidades por item, a amostra pode ter tamanhos diferentes. Uma 
das abordagens para tratar este problema é considerar um gráfico de controle padronizado. 
Tal gráfico de controle tem linha central em zero e limite de controle superior e inferior em 
+3 e −3, respectivamente. 
Para o gráfico da fração não-conforme, a variável plotada é 
 (11) 
onde ni é o tamanho do i-ésimo subgrupo e p (ou p, se não for dado qualquer padrão) é a 
fração não-conforme do processo sob controle. Quando não for dado nenhum padrão para 
a fração não-conforme, esta pode ser estimada através de 
 
20 
onde Di é o número de unidades não conformes da i-ésima amostra de tamanho ni. 
Para o gráfico do número de não-conformidades por item (u), a variável plotada é 
 ,
 (12) 
sendo 
em que ni é o tamanho da i-ésima amostra e yi é o número total de defeitos na i-ésima 
amostra de tamanho ni, para i = 1,2,...,m. 
Exemplo 9. Em uma fábrica de acabamento de tecido, pano tingido é inspecionado 
procurando-se a ocorrência de defeitos por 50 metros quadrados. Os dados relativos a dez 
rolos de tecido são exibidos na Tabela 7. Usaremos estes dados para estabelecer um gráfico 
de controle para não-conformidades por unidade. Para estes dados temos 
. 
O gráfico de controle para a variável padronizada está representado na Figura 9. 
Tabela 7: Ocorrência de não-conformidades em tecido tingido 
 
 Amostra Número de m2 yi ni ui zi 
 
21 
 
Figura 9: Gráfico para o número padronizado de não-conformidades por m2 de tecido 
4 Análise de Desempenho dos Gráficos de Controle 
Os gráficos de controle podem ser comparados com os testes de hipóteses, sendo que no 
caso dos gráficos de controle, estamos realizando vários testes simultaneamente. Assim, 
como podemos cometer erros nos testes de hipóteses, também estamos sujeitos a 
cometêlos quando usamos gráficos de controle. Um dos erros mais comuns é o alarme falso, 
ou seja, considerar o processo fora de controle quando, na verdade, o processo está sob 
controle. Este erro é semelhante ao erro tipo-I do teste de hipótese. Assim, uma das formas 
de analisar o desempenho de um gráfico de controle é através da probabilidade de um 
gráfico emitir um alarme falso. Uma outra forma de analisar o desempenho de um gráfico 
de controle é através da avaliação da sua habilidade em detectar mudanças nos parâmetros 
do processo. Esta habilidade é descrita pelas suas curvas características de operação (CO). 
Existem ainda outras maneiras de verificar a eficácia de um gráfico de controle como, 
por exemplo, através do cálculo de alguns índices de capacidade do processo, cuja 
interpretação deve ser bastante cautelosa. 
4.1 Especificações 
Nesse momento é importante discutir os conceitos de limites de controle e limites de 
especificação, a fim de evitar confusões futuras. Os limites de controle são estabelecidos 
em função da média e do desvio padrão do processo, e são calculados para as médias dos 
subgrupos. Por outro lado, especificações são tolerâncias permitidas em cada produto e, 
portanto, são definidas para valores individuais e são estabelecidas pela engenharia de 
produto, em função das necessidades do projeto. As especificações são definidas 
independente de outras características do processo, enquanto que os limites de controle, 
a distribuição das médias, a variabilidade do processo e a distribuição dos valores 
individuais são dependentes. 
O estabelecimento das especificações é feito pela engenharia do produto, 
independentemente da variabilidade doprocesso. Assim, existem três situações que 
22 
podem ocorrer quando se comparam as especificações do produto com a variabilidade do 
processo: caso I - quando a variabilidade do processo é menor que a diferença entre as 
especificações; caso II - quando a variabilidade do processo é igual à diferença entre as 
epecificações; e caso III - quando a variabilidade do processo é maior que a diferença entre 
as especificações. 
• Caso I (6σ < LSE − LIE): Esta situação, onde a variabilidade do processo é menor do 
que a diferença entre as especificações, é a mais desejada. Uma vez que a diferença 
entre as especificações é apreciavelmente maior do que a variabilidade do processo, 
nenhuma dificuldade é encontrada na produção, mesmo quando ocorre algum 
deslocamento na média do processo ou algum aumento na sua dispersão. O caso I é 
mais vantajoso do ponto de vista econômico, uma vez que, mesmo quando o 
processo sai de controle, não ocorre produção de itens defeituosos. Outra vantagem 
desta situação é que não são necessários ajustes frequentes e busca de causas 
especiais de variação no processo. Esta situação permite que a utilização de gráficos 
de controle seja descontinuada ou a frequência de inspeção diminuída. 
• Caso II (6σ = LSE −LIE): Neste caso, quando ocorre um deslocamento na média do 
processo ou um aumento na sua dispersão, valores individuais ficarão fora das 
especificações, acarretando retrabalho ou refugo de itens produzidos. Por outro lado, 
se o processo for mantido sob controle, não haverá produção de itens defeituosos. 
Esta é a situação em que os gráficos de controle devem ser continuamente aplicados, 
de forma que as causas especiais de variação possam ser imediatamente 
identificadas e eliminadas do processo. 
• Caso III (6σ > LSE − LIE): Quando a variabilidade do processo é maior do que a 
diferença entre as epecificações, ocorre uma situação indesejada. Nesta situação, 
mesmo com o processo sob controle, alguns valores individuais ficarão fora das 
especificações, acarretando retrabalho ou refugo de itens produzidos. Em outras 
palavras, o processo não é capaz de produzir conforme as especificações. Uma 
solução para este caso é alterar as especificações, tornando-as compatíveis com a 
variabilidade do processo. A segunda solução é manter as especificações e realizar 
inspeção 100% nos itens produzidos, para separar aqueles fora das especificações. A 
terceira solução é atuar no processo de forma a reduzir a sua dispersão, através de 
mudança no material, treinamento do operador ou aperfeiçoamento da máquina. 
Uma outra solução 
é deslocar a média do processo, de forma que todos os itens fora das especificações 
possam ser retrabalhados. 
4.2 Capacidade do processo 
A verdadeira capacidade do processo só deve ser determinada após o mesmo ter sido 
otimizado e estabilizado. A capacidade do processo é a sua própria variabilidade, depois 
23 
que este foi otimizado e está sob controle. Esta otimização, aqui referida, é aquela realizada 
sem investimentos significativos. 
A fórmula mais conhecida para a capacidade básica do processo é: 
Capacidade básica do processo = 6σ, 
onde σ é o desvio padrão do processo otimizado e estável (sob controle). 
A melhor forma de se verificar a adequação de um processo às necessidades da 
engenharia de produto é através do estudo de capacidade do processo ou da relação entre 
a capacidade básica do processo e a diferença entre os limites de especificação (tolerância 
do produto). Esta relação, também conhecida como índice de capacidade ou razão de 
capacidade, é dada pela expressão (13): 
 . (13) 
Observação: Note que a extensão 6σ do processo é a definição básica da capacidade 
do processo, e como σ em geral é desconhecido, temos que estimá-lo. Por exemplo, no 
caso 
 
do gráfico X podemos usar como estimativa para σ a quantidade σˆ = R/d2, daí podemos 
obter uma estimativa Cˆp de Cp. 
A análise do índice de capacidade é muito útil na tomada de decisões sobre a 
adequação do processo às especificações. Uma regra prática para esta análise é descrita a 
seguir: 
• Processo Vermelho: (Cp < 1) A capacidade do processo é inadequada à tolerância 
exigida. Nesta situação, o ideal é realizar o trabalho com outro processo mais 
adequado às especificações. Não sendo possível mudar o processo, deve-se tentar 
diminuir a sua variabilidade. Por último, resta a possibilidade de se alterar as 
especificações do produto. 
• Processo Amarelo: (1 ≤ Cp ≤ 1,33) a capacidade do processo está em torno da 
diferença entre as especificações. O tratamento deve ser semelhante àquele dado ao 
processo vermelho. Neste caso, gráficos de controle são muito úteis para manter o 
processo sob controle e evitar a produção de itens fora das especificações. 
• Processo Verde: (Cp > 1,33) A capacidade do processo é adequada à tolerância 
exigida. Se a capacidade do processo está entre três quartos e dois terços da 
tolerância, é aconselhável coletar amostras periódicas para acompanhamento do 
processo. Se a capacidade do processo é menor do que a metade da tolerância, não 
é preciso tomar maiores cuidados com o processo, a menos que se queira reduzir a 
tolerância para aumentar a qualidade do produto. 
Exemplo 10. Anéis de pistão para motores de automóveis são produzidos por um processo 
de forja. Vinte e cinco amostras de tamanho 5 foram selecionadas neste 
24 
se e . processo, obtendo-
Sabendo-se que os limites 
i=1 
de especificação para os anéis de pistão são 74,000±0,05 mm, estime a capacidade do 
processo (Cp). 
Solução: 
Temos que 
 . 
Daí, 
. 
Isto significa que os limites de tolerância naturais estão dentro dos limites de 
especificação. Consequentemente, um número relativamente baixo de anéis de pistão não-
conformes será produzido. 
O índice Cp pode ser interpretado da seguinte forma: a quantidade 100% 
representa a porcentagem da faixa de especificação usada pelo sistema. Para o processo 
de produção de anéis de pistão, uma estimativa de P é 
. 
Isto é, o processo usa aproximadamente 60% da faixa de especificação. 
A fórmula do índice de Capacidade (expressão (13)), considera que o processo está 
sempre centrado na média. Na prática, entretanto, isto nem sempre ocorre, e a utilização 
da fórmula anterior pode conduzir a conclusões erradas. Para levar em conta a 
possibilidade de o processo não estar centrado na média, Kane (1986) propôs a utilização 
do índice de Performance, Cpk, cuja fórmula é: 
 . (14) 
Exemplo 11. Uma máquina de embalar açúcar produz pacotes cujo peso segue uma 
distribuição normal com média de 1010 gramas e desvio padrão de 6 gramas. Sendo a 
especificação para o peso 1020 ± 20 gramas, calcule o índice de capacidade e o índice de 
performance deste processo e compare-os. 
Solução: . 
. 
Este resultado ilustra o fato de que quando o processo não está centrado na média das 
especificações, o índice de performance difere do índice de capacidade do processo. 
25 
4.3 Probabilidade de Alarme Falso 
Toda vez que um ponto está fora dos limites de controle, emite-se um sinal informando que 
algo está errado no processo. Porém o simples fato de um ponto estar fora dos limites de 
controle não quer dizer necessariamente que o processo está fora de controle. Quando 
acontece de um ponto estar fora dos limites de controle estando o processo sob controle, 
nós dizemos que ocorreu um alarme falso. Em geral, para os gráficos 3-sigma, espera-se 
que a probabilidade de ocorrer um alarme falso, seja de 0,27%. O problema é que na 
construção dos gráficos de controle, utilizamos fortemente o fato de os dados seguirem 
distribuição normal, o que nem sempre é verdade. Desta forma, teoricamente, a 
probabilidade de alarme falso seria 0,27%; mas se a distribuição verdadeira dos dados não 
for normal, este valor pode estar bastante fora da realidade. Portanto, espera-se que um 
gráfico de controle 3-sigma tenha probabilidade de alarme falsoem torno do valor nominal 
0,27%. Se a probabilidade de alarme falso estiver muito abaixo do valor nominal, isto quer 
dizer que o gráfico tende a aceitar que o processo está sob controle mais do que deveria. 
Se esta probabilidade é muito elevada, então o gráfico tende a ser muito restritivo, no 
sentido de rejeitar mais do que deveria. Note que tanto uma situação como a outra não 
são interessantes, o ideal é que o valor da probabilidade de alarme falso esteja em torno 
do valor nominal 0,27%. 
4.4 Tamanho da Amostra e Frequência de Amostragem 
No planejamento de um gráfico de controle, devemos especificar tanto o tamanho da 
amostra a ser usada, quanto a frequência de amostragem. Em geral, amostras maiores 
tornarão mais fácil detectar pequenas mudanças no processo. Uma maneira de avaliar as 
decisões relativas ao tamanho da amostra e frequência de amostragem é através do 
comprimento médio da sequência (CMS) do gráfico de controle. Essencialmente, o CMS é 
o número médio de pontos que devem ser marcados antes que um ponto indique uma 
condição de fora de controle. Supondo que as observações no processo são 
nãocorrelacionadas, o CMS pode ser calculado facilmente por 
 , (15) 
onde p é a probabilidade de que qualquer ponto exceda os limites de controle. 
Para um processo sob controle, temos que o CMS, chamado aqui de CMS0, é dado por 
CMS , 
onde α é a probabilidade de um ponto se situar abaixo de LIC ou acima de LSC. Em geral, 
se o processo está realmente sob controle, então é desejável um alto valor de CMS0. 
No caso do processo estar fora de controle, o CMS é denotado por CMS1, e temos que 
CMS , 
26 
em que β é a probabilidade de que a próxima amostra seja plotada entre LIC e LSC quando, 
na realidade, o processo se encontra fora de controle. Daí, (1−β) é a probabilidade de que 
uma mudança no processo seja detectada na primeira amostra após a ocorrência da 
mudança. Isto é, o processo mudou e um ponto excede LSC ou é inferior a LIC, sinalizando 
que o processo está fora de controle. Assim, o CMS1 é o número esperado de amostras 
observadas antes que seja detectada uma mudança no processo. 
 
Exemplo 12. Para o gráfico X com os limites 3-sigma, p = 0,0027 é a probabilidade de que 
um único ponto caia fora dos limites, quando o processo está sob controle. 
 
Portanto, o comprimento médio da sequência do gráfico X, quando o processo está sob 
controle (chamado CMS0) é 
CMS . 
Isto é, mesmo que o processo permaneça sob controle, um sinal de fora de controle, 
será emitido a cada 370 amostras, em média. 
Ocasionalmente, é conveniente expressar o desempenho do gráfico de controle em 
termos de seu tempo médio para alerta (TMA). Se as amostras são tomadas a intervalos 
fixos de tempo de h horas, então 
 TMA = CMSh. (16) 
 
Exemplo 13. Estamos usando um gráfico de controle X para monitorar o diâmetro médio 
dos anéis de pistão de um motor, que sob controle é igual a 74 mm (σ = 0,01 mm), cujos 
limites de controle 3-sigma são dados por LIC = 73,9865 e LSC = 74,0135. Suponha que 
estejamos usando uma amostra de tamanho 5 e que, quando o processo sai de controle, a 
média mude para 74,015 mm. Neste caso, a probabilidade 
 
de X estar dentro dos limites de controle é de 0,367 (exercício). Assim, p na expressão 
(15) é igual a 0,633, e o CMS fora de controle (chamado CMS1) é dado por 
CMS . 
Isto é, o gráfico de controle exigirá, em média, duas amostras para detectar a mudança no 
processo. Se utilizarmos um intervalo de uma hora entre as amostras, o tempo médio 
exigido para detectar essa mudança é 
TMA = CMS1h = 2(1) = 2horas. 
Suponha que isso seja inaceitável, porque a produção de anéis de pistão com diâmetro 
médio de 74,015 mm resulta em um custo excessivo de sucata e retarda a montagem final 
do motor. Como poderíamos reduzir o tempo necessário para detectar uma condição fora 
de controle? Um método é extrair amostras mais frequentemente. Por exemplo, se a cada 
27 
meia hora extraímos uma amostra, então o tempo médio de sinalização para esse esquema 
é 
TMA = CMS1h = 2(0,5) = 1hora. 
Isto é, apenas 1 hora se passará entre a mudança e sua detecção. A segunda possibilidade 
é aumentar o tamanho da amostra. Por exemplo, se aumentarmos para 10 itens cada 
amostra, então a probabilidade p = 0,68082 (exercício) e da expressão (15) temos 
CMS . 
e, se extraírmos amostras a cada hora, o tempo médio para alerta será 
TMA = CMS1h = 2(1) = 2horas. 
Assim, aumentar o tamanho da amostra não necessariamente permitirá a detecção da 
mudança mais rápido. 
4.5 A Função Característica de Operação 
A curva característica de operação serve para medir a capacidade de um gráfico de controle 
em detectar mudanças nos parâmetros (do processo) que estão sendo monitorados, em 
função do tamanho da amostra. Vamos considerar alguns gráficos de controle e para cada 
um deles iremos construir sua curva de operação (CO). 
 
4.5.1 Gráfico X 
 
Considere a curva CO para um gráfico X com desvio padrão σ conhecido e constante. Se a 
média se desloca do valor sob controle – digamos, µ0 – para um outro valor µ1 = µ0 +kσ, a 
probabilidade de não se detectar esse deslocamento na primeira amostra subsequente ou 
risco β é 
. 
√Como X ∼ N(µ;σ2/n)√e os limites de controle superior e inferior são LSC = µ0 + 
 
Lσ/ n e LIC = µ0 − Lσ/ n, podemos escrever a expressão anterior como 
28 
 
onde Φ denota a distribuição acumulada da normal padrão. 
Desta forma, temos que 
 . (17) 
Exemplo 14. Para ilustrar o uso da expressão (17), suponha que estamos usando 
 
o gráfico X com L = 3 (os limites 3-sigma usuais), tamanho amostral n = 5 e que queremos 
determinar a probabilidade de detectar um deslocamento para µ1 = µ0 + 2σ na primeira 
amostra depois do deslocamento. Então, da expressão (17) temos 
√ √ β = P h−3 − 2 5 ≤ Z ≤ 3 − 2 5i = P 
[−7,47 ≤ Z ≤ −1,47] ∼= 0,07078. 
Este é o risco β, ou a probabilidade de não se detectar tal deslocamento. A 
probabilidade de esse deslocamento ser detectado na primeira amostra subsequente é 
1 − β = 1 − 0,0708 = 0,92922. 
A quantidade Pd = 1 − β é chamada de poder do teste, e representa o poder de um 
alarme verdadeiro. Portanto, o número médio de amostras até um alarme verdadeiro é 
dado pela expressão 
. 
Para analisar o desempenho dos gráficos, queremos verificar quão eficientes eles são 
em detectar mudanças nos parâmetros. Temos que β é a probabilidade de não detectar as 
mudanças; então, (1 − β) é a probabilidade de que tais mudanças sejam detectadas. 
Portanto, o ideal é que tenhamos valores pequenos para β, o que resulta em valores 
maiores de Pd = 1 − β. 
 
Para construir a curva CO para o gráfico X, devemos plotar o risco β versus a magnitude 
do deslocamento que queremos detectar, expressa em unidades de desvio padrão, para 
vários tamanhos de amostra n. A curva CO está ilustrada na Figura 10 para o caso dos limites 
3-sigma (L = 3). Esta figura indica que para tamanhos típicos de amostra de 
29 
 
quatro, cinco ou seis, o gráfico X não é particulamente eficiente para detectar pequenos 
deslocamentos – digamos, da ordem de 1,5σ ou menos – na primeira amostra depois do 
deslocamento. Por exemplo, se o deslocamento é de 1,0σ e n = 5, temos que 
 
Este valor pode ser confirmado na Figura 10. Além disso, a probabilidade de se detectar 
o deslocamento na primeira amostra é de apenas 1 − β = 0,22363. Entretanto, a 
probabilidade de que o deslocamento seja detectado na segunda amostra é β(1 − β) = 
0,77637(0,22363) = 0,17362. Enquanto a probabilidade de detecção na terceira amostra 
é β2(1−β) = (0,77637)2(0,22363) = 0,13479. Assim, a probabilidade que um determinado 
deslocamento seja detectado na r-ésima amostra é simplesmente 1−β vezes a 
probabilidade de não detectá-lo em cada uma das r − 1 amostras iniciais, ou 
(1 − β)βr−1. 
 
Figura 10: Curvas características de operação para o gráfico x com limites 3-sigma 
Em geral o número esperado de amostras necessárias para sedetectar um 
deslocamento é simplesmente o comprimento médio da sequência ou 
CMS = . 
30 
Assim, no nosso exemplo, temos que 
CMS = . 
Em outras palavras, o número esperado de amostras necessárias para detectar um 
deslocamento de 1σ com n = 5 é de 4 amostras. Esta discussão fornece um argumento que 
 
suporta o uso de pequenas amostras no gráfico X. Ainda que pequenos tamanhos de 
amostra resultem em valores relativamente grandes do risco β, como as amostras são 
coletadas e testadas periodicamente, há uma chance muito boa de que o deslocamento 
seja detectado rapidamente, embora, talvez, não na primeira amostra subsequente ao 
deslocamento. 
4.5.2 Gráfico p 
A função característica de operação (CO) do gráfico de controle para a fração não-conforme 
(p) é uma visualização gráfica da probabilidade de aceitação incorreta da hipótese de 
controle estatístico (i. é, um erro tipo-II ou β) versus a fração não-conforme do processo. A 
curva CO fornece uma medida da sensitividade do gráfico de controle – isto é, sua 
capacidade de detectar mudança na fração não-conforme do processo, do valor nominal p 
para qualquer outro valor p. A probabilidade do erro tipo-II para o gráfico de controle para 
a fração não-conforme pode ser calculada por 
, 
em que D é o número de unidades não conformes dentre as n selecionadas, ou seja, D é 
uma variável aleatória binomial com parâmetros n e p. Dependendo dos valores de nLIC e 
nLSC, o cálculo acima pode se tornar trabalhoso. Uma alternativa é usar a aproximação da 
distribuição binomial pela distribuição normal, resultado do Teorema Central do Limite: 
 . 
Exemplo 15. A curva CO para um gráfico de controle para a fração não-conforme com 
parâmetros n = 50, LIC = 0,0303 e LSC = 0,3697 é dada por 
31 
 
ou 
 . 
A Figura 11 esboça a curva CO obtida pela expressão acima. 
Para p1 = 0,1, por exemplo, temos que 
 
 = P [−1,64 ≤ Z ≤ 6,36] 
 = 0,44950 + 0,5 = 0,9495. 
Por outro lado, se p1 = 0,35, por exemplo, temos que 
 
32 
 
Figura 11: Curva CO para o gráfico p com LIC = 0,0303 e LSC = 0,3697 
Podemos também calcular os comprimentos médios de sequências (CMS) para o 
gráfico de controle para a fração não-conforme. Assim, se o processo está sob controle, o 
CMS0 é 
CMS 
e se está fora de controle, então 
CMS . 
Estas probabilidades (α,β) podem ser calculdas diretamente da distribuição binomial 
ou lidas na curva CO. 
4.5.3 Gráficos de controle c e u 
As curvas características de operação (CO), tanto para o gráfico c quanto para o gráfico u 
podem ser obtidas da distribuição de Poisson. Para o gráfico c, a curva CO plota a 
probabilidade β de um erro tipo-II versus o verdadeiro número médio de defeitos por 
unidade, c. A expressão para β é 
 β = P{LIC ≤ Y ≤ LSC|c = c1}, (18) 
onde Y é o número médio de defeitos por unidade, ou seja, Y é uma variável aleatória de 
Poisson com parâmetro c. 
33 
Exemplo 16. Suponha que em um procedimento de qualidade para o numero de defeitos 
obtemos os limites 
 LIC = 6,48, LC = 19,85 e LSC = 33,22. 
Substituindo esses valores na expressão (18), obtemos 
β = P{6,48 ≤ Y ≤ 33,22|c = c1}. 
Como o número de não-conformidades deve ser inteiro, isso é equivalente a 
 
A curva CO para esses dados está plotada na Figura 12. 
Para o gráfico u, podemos gerar a curva CO a partir de 
 (19) 
onde hnLICi denota o menor inteiro maior do que ou igual a nLIC e [nLSC] denota o maior 
inteiro menor do que ou igual a nLSC. Os limites na expressão (19) decorrem do fato de 
que o número total de não-conformidades observadas em uma amostra de n unidades de 
inspeção deve ser um inteiro. Note que n não precisa ser necessariamente um inteiro. 
34 
 
Figura 12: Curva CO para o gráfico c com LIC = 6,48 e LSC = 33,22 
35 
Lista de Exercícios 
1. O gêiser Old Faithful vem sendo monitorado nos últimos 25 anos consecutivos. 
Emcada ano registram-se seis intervalos (em minutos) entre erupções, com os 
resultados constando na tabela a seguir. 
Ano Intervalo (min) 
1 65 72 60 69 65 67 
2 74 65 60 69 68 59 
3 68 66 69 64 70 73 
4 73 65 71 77 63 77 
5 79 67 64 61 81 77 
6 74 76 65 69 76 64 
7 70 73 74 77 65 73 
8 71 68 70 79 75 82 
9 62 63 61 48 59 77 
10 60 74 77 57 52 78 
11 67 73 47 81 92 57 
12 79 84 79 72 61 80 
13 83 78 83 74 61 68 
14 57 68 72 75 56 79 
15 59 76 78 86 64 72 
16 63 63 71 77 81 65 
17 67 84 72 75 70 70 
18 93 83 85 79 90 74 
19 81 74 80 65 70 84 
20 83 67 71 67 97 88 
21 62 61 57 86 70 77 
22 67 75 67 89 93 81 
23 86 65 70 74 83 74 
24 74 67 99 75 41 83 
25 97 93 73 81 85 90 
 
a) Construa um gráfico X para o intervalo médio entre erupções usando a amplitude 
 
amostral na estimação da variância de X e determine se a média do processo está 
sob controle. Como uma média fora de controle afetaria os turistas? Resp.: LIC = 
61,58; LC = 72,48; LSC = 83,38; Processo fora de controle (amostras 18 e 25). 
36 
b) Construa um gráfico R e determine se a variação do processo está sob controle. 
Como uma variação fora de controle afetaria os turistas? Resp.: LIC = 0; LC = 
22,56; LSC = 45,21; Processo fora de controle (amostra 24). 
c) Construa um gráfico S e verifique se o desvio padrão do processo está sob controle. 
Resp.: LIC = 0,2565; LC = 8,55; LSC = 16,8435; Processo sob controle. 
d) Compare os limites de controle obtidos no item (a) com os limites obtidos a 
partirdas expressões (6). Resp.: LIC = 61,48; LC = 72,48; LSC = 83,48; Processo 
fora de controle (amostras 18 e 25). 
2. Um gerente da linha de produção utiliza limites de controle de dois desvios-
padrão,contrariando a sugestão do professor dele que sempre insiste em limites a 
três desviospadrão da média. O gerente fica muito frustrado porque muitas vezes 
não encontra causas especiais correspondentes aos pontos fora dos limites de 
controle. O que está acontecendo? 
3. Gráficos de controle x e S devem ser mantidos para as leituras de torque do 
rolamento usado na montagem do atuador de flap da asa. Amostras de tamanho n = 
10 devem ser usadas e sabemos que quando o processo está sob controle, o torque 
do rolamento tem distribuição normal com média µ = 80 polegadas-libra e desvio 
padrão σ = 10 polegadas-libra. Ache a linha central e os limites de controle para esses 
gráficos de 
 
controle. Resp.: Gráfico X: LIC = 70,513; LC = 80; LSC = 89,49; Gráfico S: LIC = 2,76; 
LC = 9,727; LSC = 16,69. 
4. Amostras de 8 itens são retiradas de um processo de manufatura em intervalos 
regulares. Uma característica da qualidade é medida e valores de x e R são calculados 
para cada amostra. Depois de 50 amostras, obtemos 
. 
Suponha que a característica da qualidade seja normalmente distribuída. Calcule os 
 
limites de controle para os gráficos de controle x e R. Resp.: Gráfico X: LIC = 2,135; 
LC = 4; LSC = 5,865; Gráfico R: LIC = 0,68; LC = 5; LSC = 9,32. 
5. Um gráfico x com limites 3σ tem os seguintes parâmetros: LSC = 104, LC = 100, LIC 
= 96 e n = 5. Suponha que a característica da qualidade do processo sendo controlada 
seja normalmente distribuída com média verdadeira 98 e desvio padrão 8. Qual é a 
probabilidade de que o gráfico de controle exiba falta de controle exatamente no 
terceiro ponto plotado? Resp.: 0,1481. 
6. Um gráfico x para uma característica normalmente distribuída deve ser construído 
com valores de referência µ = 100, σ = 8 e n = 4. Determine: 
a) Os limites de controle dois-sigma. Resp.: LIC = 92; LC = 100; LSC = 108. 
37 
b) Os limites de probabilidade 0,005. Resp.: LIC = 88,76; LC = 100; LSC = 
111,24. 
7. Os dados que seguem dão o número de montagens não-conformes em amostras 
detamanho 100. Construa um gráfico de controle para a fração não-conforme para 
esses dados. Se algum ponto for plotado fora de controle, suponha que causas 
atribuíveis possam ser encontradas e determine os limites de controle revisados. 
Amostra Di Amostra Di 
1 7 11 6 
2 4 12 15 
3 1 13 0 
4 3 14 9 
5 6 15 5 
6 8 16 1 
710 17 4 
8 5 18 5 
9 2 19 7 
10 7 20 12 
Resp.: LIC = 0; LC = 0,0585; LSC = 0,1289; Retirando a 12a amostra: LIC = 0; LC = 
0,0537; LSC = 0,1213. 
8. Os dados que seguem apresentam os resultados da inspeção de todas as unidadesde 
computadores pessoais produzidas durante os últimos 10 dias. O processo parece 
estar sob controle? 
Dia Unidades inspecionadas Di pˆi 
1 80 4 0,050 
2 110 7 0,064 
3 90 5 0,056 
4 75 8 0,107 
5 130 6 0,038 
6 120 6 0,050 
7 70 4 0,057 
8 125 5 0,040 
9 105 8 0,076 
10 95 7 0,074 
Resp.: Sim. 
9. Uma companhia compra pequenas braçadeiras de metal em contêineres de 5000 
cada.Dez contêineres chegaram para ser descarregados, e 250 braçadeiras foram 
selecionadas de cada um. As frações não-conformes em cada amostra são: 0; 0; 0; 
38 
0,004; 0,008; 0,020; 0,004; 0; 0 e 0,008. Os dados deste carregamento indicam 
controle estatístico? 
Resp.: LIC = 0; LC = 0,0044; LSC = 0,0170. 
10. Um gráfico de controle para a fração não-conforme indica que a média corrente 
doprocesso é 0,03. O tamanho da amostra é constante, de 200 unidades. Encontre 
os limites 3-sigma para este gráfico de controle. 
Resp.: LIC = 0; LC = 0,03; LSC = 0,0662. 
11. Um gráfico de controle para a fração não-conforme, com linha central 0,10, LSC = 
0,19 e LIC = 0,01 é usado para controlar um processo. Se são usados limites 3-sigma, 
ache o tamanho comum da amostra de cada subgrupo para o gráfico de controle. 
Resp.: n = 100. 
12. Um gráfico de controle para não-conformidades por unidade de inspeção usa 
limitesde probabilidade de 0,95. A linha central está em λ = 1,4. Determine os limites 
de controle se o tamanho da amostra é 10. 
Resp.: LIC = 0,67; LC = 1,4; LSC = 2,13. 
13. O número de não-conformidades de acabamento observado na inspeção final na 
montagem de unidades de disco para computador foi tabulado como se mostra aqui. 
O processo parece está sob controle? 
Dia ni yi 
1 2 10 
2 4 30 
3 2 18 
4 1 10 
5 3 20 
6 4 24 
7 2 15 
8 4 26 
9 3 21 
10 1 8 
Resp.: Sim. 
14. A produção de computadores pessoais pode ser monitorada através de cartas 
decontrole para atributos. O tamanho da amostra selecionada é de cinco 
computadores. Iremos considerar o número de não-conformidades por tamanho 
amostral. 
39 
a) Com base nos dados, verifique se o processo está sob controle. Resp.: LIC = 0,066; 
LC = 1,93; LSC = 3,794 (processo sob controle). 
b) Construa o gráfico de controle para o numero de não-conformidades por 
unidadede inspeção, supondo que o valor de referência é λ = 2,5. Resp.: LIC = 
0,38; LC = 2,5; LSC = 4,62. 
Amostra yi ui Amostra yi ui 
1 10 2,0 11 9 1,8 
2 12 2,4 12 5 1,0 
3 8 1,6 13 7 1,4 
4 14 2,8 14 11 2,2 
5 10 2,0 15 12 2,4 
6 16 3,2 16 6 1,2 
7 11 2,2 17 8 1,6 
8 7 1,4 18 10 2,0 
9 10 2,0 19 7 1,4 
10 15 3,0 20 5 1,0 
Total 113 22,6 20 80 16 
15. Um caso particular do gráfico u é quando inspecionamos apenas o número de 
nãoconformidades em uma única unidade de inspeção. Este gráfico é conhecido 
como gráfico c onde c é o número médio de não-conformidades encontrado na 
unidade inspecionada. Suponha que defeitos ou não-conformidades ocorram nessa 
unidade de inspeção de acordo com a distribuição de Poisson de parâmetro c, ou seja 
 
a) Escreva como seriam os limites de controle 3-sigma para este gráfico supondo o 
 √ √ 
 valor c conhecido. Resp.: LIC = c − 3 c; LC = c; LSC = c + 3 c. 
b) Reescreva os limites do item anterior supondo que o valor c é desconhecido. 
 √ √ 
 Resp.: LIC = ¯c − 3 c¯; LC = ¯c; LSC = ¯c + 3 c¯. 
16. Um fabricante de automóveis deseja controlar o número de não-conformidades 
emuma área de submontagem que produz transmissões manuais. A unidade de 
inspeção é definida como quatro transmissões, e os dados para 16 amostras (cada 
uma de tamanho 4) são mostrados aqui. 
Amostra 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 
ci 1 3 2 1 0 2 1 5 2 1 0 2 1 1 2 3 
a) Estabeleça um gráfico de controle para não-conformidades por unidade. 
Resp.:LIC = 0; LC = 1,6875; LSC = 5,5846. 
40 
b) Esses dados provêm de um processo sob controle? Se não, suponha que 
causasatribuíveis possam ser encontradas para todos os pontos fora de controle, 
e calcule os novos limites de controle revisados. Resp.: Processo sob controle. 
17. Ache os limites 3-sigma para 
a) Um gráfico c com média do processo igual a 4 não-conformidades. 
Resp.: LIC = 0; LC = 4; LSC = 10. 
b) Um gráfico u, com c = 4 e n = 4. Resp.: LIC = 0; LC = 1; LSC = 2,5. 
18. Deve-se estabelecer um gráfico de controle para não-conformidades junto com 
ainspeção final de um rádio. A unidade de inspeção deve ser um grupo de dez rádios. 
O número médio de não-conformidades tem sido, no passado, de 0,5 por rádio. Ache 
os limites de controle 3-sigma para um gráfico c com base nesse tamanho de unidade 
de inspeção. 
Resp.: LIC = 0; LC = 5; LSC = 11,71. 
19. A viscosidade do CMC (Carboxi-Metil-Celulose) para uso em fluidos de perfuraçãode 
poços tem especificação mínima de 150 cp. A análise da produção do CMC durante 
vários dias revelou que o processo é estatisticamente estável e que os valores 
individuais apresentam uma distribuição normal com média igual a 216 cp e desvio 
padrão 16,5 cp. Este processo é capaz de atender à especificação? 
 
20. Considere o gráfico X para o Exemplo 13 do anel de pistão. Considere que o diâmetro 
do anel é normalmente distribuído e que o tamanho da amostra é igual a 5. 
a) Ache os limites de controle 2-sigma para esse gráfico. Resp.: LIC = 73,9911; LC = 
74; LSC = 74,0089. 
b) Suponha que tenha sido sugerido o uso dos limites 2-sigma, em vez dos 
limtestípicos 3-sigma. Que efeito isso teria na ocorrência de alarmes falsos? Resp.: 
A probabilidade de alarme falso aumenta de 0,27% para 4,55%. 
c) Que efeito o uso dos limites 2-sigma teriam sobre o CMS0 e o CMS1 (µ = 74,015)? 
Qual o tempo médio de detecção de mudança na média no processo, para cada 
caso, supondo que a cada meia hora será retirada uma amostra? Resp.: Usando 
limites 2-sigma: CMS0 ' 1; CMS1 ' 2; TMA0 ' 11 horas; TMA1 ' 2h minutos. Usando 
limites 3-sigma: CMS0 ' 371; CMS1 = 2. 
21. Gráficos de conrtole x e R devem ser mantidos para controlar a força de resistência 
de uma peça metálica. Suponha que a força de resistência seja normalmente 
 
1 . Um gráfico X é usado para controlar a média de uma carcterística da qualidade 
normalmente distribuída. Sabe-se que σ = 6,0 e n = 4. Os limites de controle são LC 
= 200, LSC = 209 e LIC = 191. Se a média do processo se desloca para 188, 
41 
distribuída. Trinta amostras de tamanho 6 são coletadas durante um período com os 
seguintes resultados: 
 e . 
a) Calcule os limites para os gráficos x e R. Resp.: Gráfico x: LIC = 197,585; LC = 200; 
LSC = 202,415. Gráfico R: LIC = 0; LC = 5; LSC = 10,02. 
b) Ambos os gráficos exibem controle. As especificações para a força de 
resistênciasão 200 ± 5. Quais são as suas conclusões sobre a capacidade do 
processo? Resp.: Cˆp = 0,8447. 
c) Para os gráficos x e R acima, ache o risco β quando a verdadeira média do processo 
é 199. Resp.: 0,96079. 
ache a probabilidade de que esse deslocamento seja detectado na primeira amostra 
subsequente. Resp.: 0,84134. 
23. Gráficos de controle x e R com n = 4 são usados para monitorar uma característica 
da qualidade normalmente distribuída. Os parâmetros dos gráficos de controle são: 
Gráfico x Gráfico R 
LSC = 815 LSC = 46,98 
LC = 800 LC = 20,59 
LIC = 785 LIC = 0 
Ambos os gráficos exibem controle. Qual é a probabilidade de um deslocamento na 
média do processo para 790 ser detectado na primeira amostra subsequente ao 
deslocamento? Resp.: 0,15866. 
24. Um gráfico de controle para a fração não-conforme, com n = 400, tem os seguintes 
parâmetros: 
 LIC = 0,0191, LC = 0,0500 e LSC = 0,0809. 
a) Ache a largura dos limites de controle em unidades de desvio padrão. Resp.: 
L = 2,8356 
b) Quais seriam os limites correspondentes para um gráfico de controle 
equivalentecombase no número de itens não-conformes? Resp.: LIC = 7,64, LC = 
20 e LSC = 32,36. 
c) Qual é a probabilidade de uma mudança para 0,03 na fração não-conforme 
doprocesso ser detectada na primeira amostra após a mudança? Resp.: 0,10027. 
25. Um gráfico de controle para a fração não-conforme deve ser estabelecido, com 
linhacentral de 0,01 e limites de controle 2-sigma. 
a) Qual deve ser o tamanho da amostra, se o limite inferior de controle deve sernão-
nulo? Resp.: n ≥ 397. 
42 
b) Qual a probabilidade de que uma mudança para 0,04 seja detectada na 
segundaamostra, considerando o tamanho de amostra mínimo obtido no item 
anterior? Resp.: 0,0207. 
26. Deve-se estabelecer um gráfico de controle para um processo que produz 
geladeiras.A unidade de inspeção é uma geladeira, e vai ser usado um gráfico comum 
para não-conformidades. Como dados preliminares, foram contadas 16 não-
conformidades na inspeção de 30 geladeiras. 
a) Quais são os limites de controle 3-sigma? Resp.: LIC = 0, LC = 0,533 e LSC = 
2,7242. 
b) Qual é o risco α para esse gráfico de controle? Resp.: α = 0,017. 
c) Qual é o risco β, se o número médio de defeitos é, realmente, dois (i. é, c = 2,0)? 
Resp.: β = 0,6767. 
d) Ache o comprimento médio da sequência se o número médio de defeitos é 
realmentedois. Resp.: CMS1 = 3,093. 
27. Um processo está sendo monitorado por um gráfico de controle para a fração 
nãoconforme. A média apresentada no processo foi de 0,07. Os limites de controle 
3-sigma são usados, e o procedimento exige que se tomem amostras diárias de 400 
itens. 
a) Calcule os limites de controle superior e inferior. Resp.: LIC = 0,0317, LC = 0,07 e 
LSC = 0,1083. 
b) Se a média do processo mudasse repentinamente para 0,10, qual a 
probabilidadede que a mudança fosse detectada na primeira amostra 
subsequente? Resp.: 0,29116. 
c) Qual é a probabilidade de que a mudança da parte (b) fosse detectada na 
primeiraou segunda amostra tomada após a mudança? Resp.: 0,49755. 
28. No planejamento de um gráfico de controle para a fração não-conforme com 
linhacentral em p = 0,20 e limites de controle 3-sigma, qual é o tamanho da amostra 
exigido para resultar em um limite inferior de controle positivo? Resp.: n ≥ 37.