Nota_de_Aula_1_Equilibrio_Geral_Producao

Prévia do material em texto

Exemplo de Exercício de Equilíbrio Geral com Produção 
 
Calcular o equilíbrio geral com produção em uma economia com dois bens finais, 
dois bens intermediários (insumos), um consumidor típico e uma firma típica. Os 
dados e hipóteses estão abaixo explicitadas. 
 
Hipóteses: 
 
- dois bens finais : Coco (C) e Peixe (F) ; 
- dois insumos: Capital (K) e Trabalho (L) ; 
- um consumidor que maximiza a sua utilidade ; e 
- uma firma que maximiza o seu lucro. 
 
 
- Funções de Produção � 
 
 
- Função de Utilidade do Consumidor: U = CF (Função do Tipo Cobb-Douglas) 
 
- Restrição da disponibilidade de fatores: 
 
 
 
Das funções de produções podemos calcular as TMSTC L,K e TMST
F L,K 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Sabemos que as alocações eficientes em uma caixa de Edgeworth são obtidas 
quando as isoquantas de produção (cuja inclinação é dada pela TMST) são 
tangentes. 
( ) ( )2121 CC LKC =
( ) ( )21212 FF LKF =
FC KKK +== 100
_
FC LLL +== 400
_
C
C
CC
CC
C
K
C
LC
KL L
K
LK
LK
PMG
PMGTMST ===
−
−
2/12/1
2/12/1
, )()(2/1
)()(2/1
F
F
FF
FF
F
K
F
LF
KL L
K
LK
LK
PMG
PMGTMST ===
−
−
2/12/1
2/12/1
, )())(2/1.(2
)())(2/1.(2
 
Da curva de contrato podemos, obter a Fronteira de Possibilidades de Produção 
(FPP). Fazendo corresponder a cada ponto eficiente da curva de contrato, um 
ponto da FPP, como os pontos 1, 2 e 3. 
 
 
 A condição de tangência implica que: TMSTC L,K = TMST
F L,K ou ainda que 
 
 
Mas, lembrando-se das restrições de fatores: 
 
 
 
 
 
 
Substituindo-se essas restrições na condição de tangência, podemos escrever: 
 
C 
 
A tangência implica: 
TMSTCL,K = TMST
F 
L,K 
1 
2 
3 
2 
3 
F 
F 
C 
Fronteira de Possibilidades de Produção 
1 
F
F
C
C
L
K
L
K
=
CFFC LLondedeLL −==+ 400,400
CFFC KKondedeKK −==+ 100,100
 
 
 
 
Desenvolvendo-se essa relação, temos que: 
 
400KC – LCKC = 10LC – KCLC , de onde obtemos LC = 4KC 
 
 
Igualmente: 
 
 
Substituindo-se essas relações nas funções de produção nós teríamos: 
 
 
 
 
De onde podemos escrever que KC = C/2 e 
KF = F/4. Mas a restrição de fatores implica 
que KC + KF = 100 e assim: 
 
 
 
 
 
A relação F = 400 – 2C vem a ser precisamente a Fronteira de Possibilidades de 
Produção. Todos os pontos são eficientes ! 
 
Por outro lado, o consumidor deseja maximizar a sua utilidade que é dada pela 
função U = CF 
 
Problema do consumidor: Max U = CF 
 
 sujeito à: F = 400 – 2C (FPP) 
 
Escrevendo o Lagrangeano: 
 
£ = CF + µ(F – 400 + 2C) 
 
Escrevendo as condições de Primeira Ordem: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
C
C
C
C
L
K
L
K
−
−
=
400
100
FF
C
C
C
C
CF
F KLondede
K
K
L
K
L
K 4,
4
===
( ) ( ) ( ) ( ) CCCCC KKKLKC 24 2
1
2
1
2
1
2
1
===
( ) ( ) ( ) ( ) FFFFF KKKLKF 4422 2
1
2
1
2
1
2
1
===
CFFCFC 2400100
4
2100
42
−=→=
+
→=+
)1(
2
02 FF
C
L
−=→=+=
∂
∂ λλ
)2(0 CC
F
L
−=→=+=
∂
∂ λλ
)3(02400 =+−=
∂
∂ CFLλ
Igualando-se (1) a (2) temos que F = 2C e substituindo-se essa relação em (3), 
podemos obter: 
 
2C – 400 + 2C = 0, de onde obtemos C* = 100 e por conseguinte F* = 200 
 
Para calcular o equilíbrio no mercado de bens (produção e consumo) devemos ter 
que a Taxa Marginal de Transformação (TMT), que é a inclinação da FPP deve ser 
igual à Taxa Marginal de Substituição entre os bens (TMS) que é a inclinação da 
curva de indiferença. 
 
Para tanto: 
 
 
 
Da mesma forma: 
 
Mas, a FPP é uma reta: F = 400 – 2C e assim a TMT será igual a 2 ! E portanto, 
vemos que TMSF,C = TMT ! Mas, lembre-se que no equilíbrio devemos ter a 
condição algébrica: 
 
Essa situação pode ser representada graficamente 
como segue: 
 
Portanto, no equilíbrio a razão dos preços também deve ser igual a 2. Lembre-se 
que obtivemos que KC = C/2 e KF = F/4. Como C
* = 100 e F* = 200, obtemos que 
KC = 100/2 = 50 e KF = 200/4 =50. 
 
Mas LC = 4KC = 4.50 = 200 e LF = 4KF = 4.50 = 200 
 
Portanto: 
 
 
 
Sabemos igualmente que: 
 
 
F 
C 
Reta de Preços – pc/pF 
Curva de Indiferença 
Fronteira de 
Possibilidades 
de Produção 
2
100
200
,
====
C
F
UMG
UMGTMS
F
C
CF
dF
dCTMT −=
F
C
CFCF p
pTMTTMS −==
,,
)(50,100 okKKondedeKK CFFC ===+
)(200,400 okLLondedeLL CFFC ===+
4
1
200
50
)()(2/1
)()(2/1
2/12/1
2/12/1
,
=====
−
−
C
C
CC
CC
C
K
C
LC
KL L
K
LK
LK
PMG
PMGTMST
 
 
 
 
 
 
 
O equilíbrio da produção implica que as isoquantas de produção de coco e de 
peixe sejam tangentes entre si e iguais a relação entre o preço dos insumos, ou 
seja: 
 
 
 
 
Portanto, supondo r = 1 (numerário), daí segue-se que w = ¼. Em equilíbrio 
sabemos que a condição de equilíbrio impõe que a produtividade de cada fator 
seja igual ao salário real e a taxa de juros real, ou seja: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Substituindo-se todos os valores conhecidos KC e LC, teremos: 
 
 
 
 
 
 
 
 
Similarmente: 
Reta de Preços: - w/r 
Isoquanta de Coco 
Isoquanta 
de Peixe 
C 
4
1
200
50
)())(2/1.(2
)())(2/1.(2
2/12/1
2/12/1
,
=====
−
−
F
F
FF
FF
F
K
F
LF
KL L
K
LK
LK
PMG
PMGTMST
r
wTMSTTMST FLK
C
LK −== ,,
F 










=→=
2
1
2/1
)(
)(2/14/1
C
C
c
C
Lc
L
KpPMGpw
1
200
502/14/1
)(
)(2/14/1
2/1
2
1
2/1
=→














==










=→= Cc
C
C
c
C
Lc pp
L
KpPMGpw
 
Da mesma forma, poderíamos ter fixado w = 1 e usado as condições de equilíbrio 
que impõe: 
 
 
 
 
O resultado seria o mesmo ! 
 
Note que em função das funções de produção terem rendimentos constantes de 
escala, o lucro é igual a zero. Com efeito: 
 
RT (Receita Total) = pcC + pFF = 1.100 + (1/2).200 = 200 
CT (Custo Total) = w.LC + w.LF + r.KC + r.KF = (1/4).200 + (1/4).200 + 1.50 + 1.50 = 200 
 
RT = CT -� Lucro = 0 
 
Conclusão: 
 
r = 1 ; w = 1/4 ; pC = 1 ; pF = ½ ; C
* = 100 ; F* = 200 ; LC = LF = 200 e KC = KF = 50 
 
Como podemos ver a questão não é difícil de ser resolvida. Entretanto, ela é laboriosa. 
Imagine se aumentássemos a quantidade de consumidores e firmas, a questão se tornaria 
rapidamente difícil senão impossível de ser resolvida manualmente. 
2/12/1.4/1)200(
)50(
.4/1
)(
)(2/1
.24/1 2/1
2/1
2
1
2/1
=→=→





=→










=→= FFF
F
F
F
F
LF ppp
L
KpPMGpw
C
Kc PMGpr .=
F
KF PMGpr .=