Análise Vetorial em Eletromagnetismo

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Análise Vetorial
Otoniel da Cunha Mendes
otoniel.mendes@fucapi.br
Eletricidade e 
Magnetismo
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Os slides desta aula foram 
adaptados de notas de 
aulas encontrados na 
internet, livros e apostilas.
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Linha do Tempo – Histórico
A história do eletromagnetismo pode ser dividida em
duas eras que se sobrepõem.
1. Na era clássica, as leis fundamentais da eletricidade e do
magnetismo foram descobertas e formuladas. Produzindo
resultados a partir dessas formulações fundamentais
2. A era moderna nos últimos 100 anos tem se caracterizado
pela introdução de uma ampla gama de aplicações de
engenharia.
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Introdução
Os fenômenos físicos podem ser discutidos de forma
elegante e condensada usando métodos vetoriais.
1. As leis físicas aplicadas à situações particulares devem
apresentar resultados que independem do sistema de
coordenadas escolhido.
2. Os resultados também podem ser independentes da escolha da
origem das coordenadas.
3. O uso de vetores nos dá essa independência, além de nos
fornecer um método bastante compacto.
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A análise vetorial é uma ferramenta matemática pela
qual os conceitos do eletromagnetismo são mais
convenientemente explicados e melhor compreendidos.
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Grandezas Físicas
Quantidades que são invariantes sob transformação
de coordenadas são chamados de escalares.
Assim, podemos descrever a massa de uma partícula
(ou a temperatura, etc) relativo a qualquer sistema de
coordenadas por um mesmo número.
Entretanto, algumas propriedades físicas associadas a
partículas não podem ser especificadas dessas maneira
simples.
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Grandezas Físicas
Grandeza vetorial é aquela que não fica
perfeitamente determinada só pelo significado físico
e um valor numérico, porque possui, além desses dois
elementos, uma direção e um sentido.
Grandezas vetoriais tem regras 
próprias e específicas para se combinar 
(regras de soma e multiplicação entre 
vetores)
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Vetores
Um vetor 𝐴 tem um módulo (ou intensidade) A= |A| e 
uma direção especificada por um vetor unitário 𝑎:
A  aA  a|A|
O vetor unitário 𝑎 tem um módulo unitário ( 𝑎 = 1) e direção 
dada por: 
|

a |  A
|A|
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Para efetuarmos somas e subtrações vetoriais podemos
utilizar duas regras, a do polígono e a do paralelogramo.
(i) A regra do polígono é muito útil quando precisamos
somar três ou mais vetores;
(ii) A regra do paralelogramo deve ser aplicada com
grupo(s) de dois vetores.
Soma e subtração de vetores – Casos Gerais
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No sistema de coordenadas cartesianas (ou retangular)
mostrado na Figura, as direções das coordenadas 𝑥, 𝑦 𝑒 𝑧 são
indicadas por três vetores unitários perpendiculares entre si
( 𝑧, 𝑦 e 𝑧), denominados de vetores de base. O vetor A na Figura
pode ser representado como:
A  xAx 

yAy 

zAz
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Componentes de um vetor
iˆ
A

iAx
ˆ
Um vetor pode ser decomposto em uma soma da 
forma:
jAy
ˆ
A

jAiAA yx
ˆˆ 

iˆ
jˆ jˆ
x
y
xA
é a componente do vetor
na direção do eixo x
yA
A

é a componente do vetor
na direção do eixo y
A

Vetor unitário que “marca” 
direção do eixo x
Vetor unitário que “marca”
direção do eixo y
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Componentes de um vetor
O uso do teorema de Pitágoras, primeiro no triângulo
retângulo que está no plano 𝑥 – 𝑦 para obter a hipotenusa 𝐴𝑟 em
termos de 𝐴𝑥 e 𝐴𝑦, e depois no triângulo retângulo vertical com
lados 𝐴𝑟 e 𝐴𝑧 e hipotenusa 𝐴, nos dá a seguinte expressão para
o módulo de A:
A  Ax2  Ay2  Az2
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Soma de vetores usando suas componentes cartesianas
Se
o vetor será 
dado em componentes 
cartesianas por:
jAiAA yx
ˆˆ

,ˆˆ jBiBB yx 

BAC


onde:
,ˆˆ
ˆ)(ˆ)(
jCiC
jBAiBA
yx
yyxx


 )ˆˆ()ˆˆ( jBiBjAiAC yxyx

xxx BAC 
B

C

A

xA x
B
yA
yB
x
y
yyy BAC 
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Vetores e o Sistema de Coordenadas Retangulares
O sistema de coordenadas cartesianas ortogonais também é
conhecido por sistema de coordenadas retangulares. Ele é um dos mais
importantes sistemas de coordenadas utilizado em Física. Inicialmente,
vamos concentrar nossa atenções nele, mas outros sistemas existem, e
oportunamente introduziremos tais sistemas durantes nossas aulas.
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Vetores e o Sistema de Coordenadas Retangulares
Existe um modo bastante útil de obter a posição de um 
ponto P de coordenadas cartesianas (x, y, z) num dado sistema 
de coordenadas cartesianas ou retangulares. Note que a origem 
O do sistema de coordenadas está localizada em (0, 0, 0), e sua 
posição é dada por
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Vetores e o Sistema de Coordenadas Retangulares
Como podemos encontrar o vetor posição na figura abaixo.
A soma de vetores é 
comutativa
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Produto escalar
 O produto entre os vetores 𝑎 e 𝑏 tem como
resultado um escalar.
 O produto escalar é escrito como 𝑎. 𝑏 e descrito
pela equação:
a.b= a b cosθ
 Propriedades:
 a.b = b.a  comutativa
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Produto escalar usando componentes
kkBAjkBAikBA
kjBAjjBAijBA
kiBAjiBAiiBA
kBjBiBkAjAiABA
zzyzxz
zyyyxy
zxyxxx
zyxzyx
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
ˆˆˆˆˆˆ
)ˆˆˆ()ˆˆˆ(





Podemos escrever o produto escalar de dois 
vetores em termos das suas componentes 
cartesianas:
Mas como
,0ˆˆˆˆˆˆe1ˆˆˆˆˆˆ  jkkijikkjjii
Zzyyxx BABABABA 

teremos:
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Produto Vetorial
 O produto entre os vetores 𝑎 e 𝑏 tem como
resultado um vetor.
 O produto vetorial é escrito como 𝑎 × 𝑏 e descrito
pela equação:
 𝑐 = 𝑎 × 𝑏
“ 𝑎 vetor 𝑏”
Características do vetor 𝑐:
 Módulo determinado pela equação:
 c = a b senθ
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Produto Vetorial
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Produto Vetorial
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Produto Vetorial
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Sistema e Transformação de 
Coordenadas
No eletromagnetismo, para descrevermos as variações 
espaciais dessas quantidades, sejam elas elétricas ou magnéticas, 
devemos ser capazes de definir todos os pontos de maneira 
unívoca no espaço de forma adequada. 
Um sistema ortogonal é aquele que as coordenadas são 
mutuamente perpendiculares. Sistemas não-ortogonais são 
difíceis de trabalhar.
 Coordenadas Retangulares
 Coordenadas Cilíndricas
 Coordenadas Esféricas
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Coordenadas Retangulares
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Coordenadas Retangulares
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Coordenadas Cilíndricas
As coordenadas cilíndricas são particularmente úteis na 
abordagem de problemas que envolvam simetria de rotação em 
torno de um eixo.
Por exemplo;
1. O campo elétrico devido a uma distribuição retilínea de carga 
tem esse tipo de simetria. 
2. O cálculo do momento de inércia de um objeto cilíndrico 
relativamente a um eixo que passa pelo centro das suas bases 
constitui um outro exemplo, etc. 
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Um ponto P, em coordenadas cilíndricas, é representado por: 
Os intervalos de variáveis são:
),,( zr 
0    
0    2
   z  
x
y
z



r
z
P   , ,r z
 , ,0r 
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Um ponto P, em coordenadas cilíndricas, é representado por: 
),,( z
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Coordenadas Cilíndricas
x  rcos
y  rsin
z  z

r 

i cos 

j sin

  

i sin 

i cos
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Coordenadas Cilíndricas
dV  rdrddz
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Coordenadas Esféricas
Por sua vez, as coordenadas esféricas são particularmente úteis 
na abordagem de problemas que envolvam simetria de rotação 
em torno de um ponto. Nestas condições, todos os pontos 
colocados à mesma distância do ponto de referência são 
indistinguíveis. 
Por exemplo;
1. O campo elétrico devido a uma carga pontual
2. O momento deinércia de uma distribuição esférica homogênea 
de massa são exemplos de problemas em que há uma clara 
vantagem em considerar a sua resolução em coordenadas 
esféricas. 
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Um ponto P, em coordenadas esféricas, é representado por: 
Os intervalos de variáveis são:
r,,


P   , ,  



x
y
z
O
P   , ,x y z
x
y


'P   , ,0x y
r
z

Q 
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Coordenadas Esféricas
 dddrrdV sin2
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Coordenadas Esféricas
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Coordenadas Esféricas