EXECICIOS RESOLVIDOS

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EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO 
 
 CCAAPPÍÍTTUULLOO 0088
 
 –– FFOORRÇÇAASS EE CCIIRRCCUUIITTOOSS MMAAGGNNÉÉTTIICCOOSS,, MMAATTEERRIIAAIISS EE IINNDDUUTTÂÂNNCCIIAA 
CAPÍTUO 08 
 
FORÇAS E CIRCUITOS MAGNÉTICOS, MATERIAIS E INDUTÂNCIA 
 
 
8.1) No circuito magnético abaixo, construído com uma liga de ferro-níquel, calcular a fmm 
para que o fluxo no entreferro g seja de 300 [µWb]. Desprezar o espraiamento de fluxo 
no entreferro. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
� Circuito elétrico análogo: 
 Dados:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]










=
=
==
=
==⇒−==
 Wb 300
cm 6S
cm 4SS
cm 6
cm 951505016
1
2
3
2
21
3
2121
µφ
�
���� ,,
 
 
 Analisando o circuito magnético acima, nota-se a existência de simetria entre seus braços 
direito e esquerdo. Portanto, ℜ1 = ℜ2 ⇒ φ1 = φ2. 
 
 Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações: 
 
 




+=−≈ℜ+ℜ=ℜ−
=⇒+=
ggg ��� HHH 113311133
13213
NINI
2
φφφ
φφφφφ
 (01) 
 
� Cálculo de 1H : 
 
 [ ]T 750
104
10300
SS 14
6
1
1
1
1
1 ,BBBBBB ==⇒
⋅
⋅
==⇒===
−
−
gg
g
g
φφ
 
 
 
 
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 Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel em anexo, encontra-se: 
 
 Para [ ] [ ]
m
Ae
 15T 750 11 =⇒= H,B (02) 
 
� Cálculo de gH : 
 
[ ]
m
Ae
 10975
104
750 5
7
o
⋅=⇒
⋅
=⇒=
−
,H
,
H
B
H gg
g
g
piµ
 (03) 
 
� Cálculo de 3H : 
 De (01): φ3 = 2φ1 ⇒ φ3 =600 [µ Wb] 
 
 
[ ]T 01
106
10600
S 34
6
3
3
3
3 ,BBB =⇒
⋅
⋅
=⇒=
−
−φ
 
 
 Consultando a curva de magnetização do ferro-níquel em anexo, encontra-se: 
 
 Para [ ] [ ]
m
Ae
 50T 01 33 =⇒= H,B (04) 
 
 Substituindo (02), (03) e (04) em (01), temos: 
 
 [ ]Ae 9303NI 52983923NI
10050109751095151510650NI 2522
,,,
,,,
=⇒++=
⋅⋅⋅+⋅⋅=⋅⋅− −−−
 
 
8.2) Dois circuitos condutores são constituídos por um fio reto bastante longo e uma espira 
retangular de dimensões h e d. A espira pertence a um plano que passa pelo fio, sendo os 
lados de comprimento h paralelos ao fio e distantes de r e r+d deste. Determinar a 
expressão que fornece a indutância mútua entre os dois circuitos. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
1
122
12 I
N
M
φ
= (01) 
 
 
 
 
� Cálculo de φ12: 
 
 Para o fio infinito de corrente, temos: 
 
 φφ ρpi
µµ
piρ
aBHBaH
 2
I
2
I 1o1212o12
112 =⇒=⇒= 
 
 
 
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 ( )∫∫ +
=
•





=⇒•=
dr
r
h
ρ
φφ ρρpi
µφφ aadSB d 
 2
I1o
12
S
1212 
 
[ ]





 +
⋅=
⋅=⇒⋅= +
=
+
=
∫
r
drh
hh dr
r
dr
r
 
 
 2
I
 2
Id
 2
I
1o
12
1o
12
1o
12
ln
ln
pi
µφ
ρ
pi
µφ
ρ
ρ
pi
µφ ρ
ρ
 
 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 





 +
⋅=





 +
⋅
⋅
=⇒




 +
⋅=⇒=
r
drh
r
drh
r
drh
ln
lnln
pi
µ
pi
µ
pi
µφ
2
 
M
2
 1
M
I 2
 IN
M
I
N
M
o
12
o
12
1
1o2
12
1
122
12
 
 
8.3) Um filamento infinito estende-se sobre o eixo z, no espaço livre, e uma bobina quadrada 
de N espiras é colocada na plano y = 0 com vértices em (b; 0; 0), (b+a; 0; 0), (b+a; 0; a) e 
(b; 0; a). 
Determinar a indutância mútua entre o filamento e a bobina em termos de a, b, N e µo. 
 
Resolução: 
 
 
 
 
1
122
12 I
N
M
φ
= (01) 
 
 
 
� Cálculo de φ12: 
 
 Para o filamento infinito de corrente, temos: 
 
 
( )
[ ] [ ]





 +
⋅=
⋅⋅=⇒⋅=
•





=⇒•=
=⇒=⇒=
=
+
=
+
= =
+
= =
∫ ∫
∫ ∫∫
b
aba
aab
b
ab
b
a
ab
b
a
 
 
 2
 I
zx
 2
I
x 
dxdz
 2
I
dxdz
x 2
I
x 2
I
2
I
o
12
0zx
o
12
x 0z
o
12
x 0z
yy
o
12
S
12
y
o
o
ln
ln
pi
µφ
pi
µφ
pi
µφ
pi
µφφ
pi
µµ
piρ φ
aadSB
aBHBaH
 
(02) 
(02) 
 
 
 
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 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 




 +
⋅=⇒




 +
⋅=⇒=
b
aba
b
aba
lnln
pi
µ
pi
µφ
2
 N
M 
I 2
 IN
M
I
N
M o12
o
12
1
122
12 
 
8.4) Dado o circuito magnético da figura abaixo, assumir [ ]T 60,B = através da seção reta 
da perna esquerda e determinar: 
a) A queda de potencial magnético no ar ( armV ); 
b) A queda de potencial magnético no aço-silício ( acomV ); 
c) A corrente que circula em uma bobina com 1250 espiras enroladas em volta da perna 
esquerda. 
 Circuito elétrico análogo 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 Dados:
[ ]
[ ] [ ] [ ]
[ ] [ ]






==
===
=
2
2
2
1
21
1
cm 4S cm 6S
cm 60 cm 15 cm 10
T 60
;
,,;
,B
g��� 
 
 Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações: 
 
 





++=
ℜ+ℜ+ℜ=
gg
g
��� HHH 2211
21
2NI
ou 
2NI φφφ
 (01) 
 
 
a) De (01): 
 
 
[ ]Ae 184297V
104104
106010660V
S
S
V
S
VVV
arm
74
24
arm
o
11
arm
o
arm
o
armarm
,
,,B
B
H
=
⋅⋅⋅
⋅⋅⋅⋅
=⇒⋅=
⋅=⇒=⇒=
−−
−−
piµ
µ
φ
µ
g
g
g
g
g
g
gg
�
�
��
 
acomV armV 
(02) 
 
 
 
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b) De (01): 
 
 2211acom 2V �� HH += (03) 
 
� Cálculo de 1H : 
 
 Consultando a curva de magnetização do aço-silício em anexo, encontra-se: 
 
 Para [ ] [ ]
m
Ae
 100T 60 11 =⇒= H,B (04) 
 
� Cálculo de 2H : 
 
[ ]T 90
104
10660
S
S
S 24
4
2
2
11
2
2
2 ,B
,
B
B
BB =⇒
⋅
⋅⋅
=⇒=⇒=
−
−φ
 
 
 Consultando a curva de magnetização do aço-silício em anexo, encontra-se: 
 
 Para [ ] [ ]
m
Ae
 160T 90 22 =⇒= H,B (05) 
 
 Substituindo (04) e (05) em (03), temos: 
 
 
[ ]Ae 58V 150160210100V acomacom =⇒⋅⋅+⋅= ,, (06) 
 
 
c) Substituindo (05) e (06) em (01), temos: 
 
 [ ]A 483I 
1250
184355I18429758NI ,,, =⇒=⇒+= 
 
8.5) Uma espira filamentar quadrada de corrente tem vértices nos pontos (0; 1; 0), (0; 1; 1), 
(0; 2; 1) e (0; 2; 0). A corrente é de 10 [A] e flui no sentido horário quando a espira é 
vista do eixo +x. Calcule o torque na espira quando esta é submetida : 
a) a uma densidade de fluxo magnético y5aB = ; 
b) ao campo produzido por uma corrente filamentar de 10 [A] que flui ao longo do eixo 
z no sentido za+ . 
 
Resolução: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) ( ) zyx 50 5 10 I IaTaaTBSTBdSdT −=⇒×−=⇒×=⇒×= 
 
 
 
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b) xdxdy onde I adSBdSdT −=×= ; (01) 
 
� Cálculo de B : 
 
 ( ) xx 2 I2 I2 I aBaBaB piρpiρpiρ φ −=⇒−=⇒= (02) 
 Substituindo (02) em (01), temos: 
 
 
( ) 0 0
2
Idxdy I xx =⇒=⇒




 −
×−= TdTaadT
piρ
 
 
8.6) Suponha que o núcleo do material magnético da figura abaixo possui uma 
permeabilidade relativa de 5000. O fluxo 1φ do braço esquerdo circula de a para b com 
um comprimento médio de 1 m. O comprimento médio do braço direito é igual ao do 
braço esquerdo. O braço central possui um comprimento médio de 0,4 m. Adotar a área 
da seção reta de cada caminho igual a 0,01 m2 e o fluxo de dispersão desprezível. 
Calcular a indutância própria da bobina 01 e a indutância mútua entre as bobinas 01 e 
02. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
 Analisando o circuito magnético acima, nota-se a existência de simetria entre seus braços 
direito e esquerdo. Portanto, ℜ1 = ℜ3. 
 
� Circuito elétrico análogo: 
 
 
 
 
1
11
1 I
N
L
φ
= (01) 
 
 
1
22
1
122
12 I
N
I
N
M
φφ
== (02) 
 
 Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações: 
 
 




ℜ+ℜ=ℜ+ℜ=
+=
33112211
321
NI φφφφ
φφφ
 (03) 
 
 
 
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� Cálculo de ℜ1e de ℜ3: 
 
 [ ]WbAe 15915
0101045000
1
S S 
31
7313
3
1
1
31
=ℜ=ℜ
⋅⋅⋅
=ℜ=ℜ⇒==ℜ=ℜ
− ,piµµ
��
 
 
� Cálculo de ℜ2: 
 
 
[ ]WbAe 63660101045000 40S 272222 =ℜ⇒⋅⋅⋅=ℜ⇒=ℜ − ,,piµ
�
 (05) 
 
 De (03), conclui-se que: 3322 φφ ℜ=ℜ (06) 
 
 Substituindo (04) e (05) em (06), temos: 
 
 3232 52159156366 φφφφ ,=⇒= (07) 
 
 Substituindo (07) em (03), temos: 
 
 31331 5352 φφφφφ ,,` =⇒+= (08) 
 
 Substituindo (07) e (08) em (03), temos: 
 
 
1
3
331
3313311
I10792571617I200
159155755702I2005263665315915IN
−
⋅=⇒=
+=⇒⋅+⋅=
,,
,,,
φφ
φφφφ
 
 
 Substituindo (09) em (07) e em (08), temos: 
 
 1
3
1 I10779 −⋅= ,φ (10) 
e 
 1
3
2 I10986 −⋅= ,φ (11) 
 
 Substituindo (10) em (01), temos: 
 
 [ ]H 951L 10779200L
I
I10779N
L 1
3
1
1
1
3
1
1 ,,
,
=⇒⋅⋅=⇒
⋅⋅
=
−
−
 
e 
 Substituindo (11) em (02), temos: 
 
 [ ]H 092M 10986300M
I
I10986N
M 12
3
12
1
1
3
2
12 ,,
,
=⇒⋅⋅=⇒
⋅⋅
=
−
−
 
 
(04) 
(09) 
 
 
 
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8.7) Determinar a densidade de fluxo magnético ( B ) em cada uma das três pernas do 
circuito magnético da figura abaixo. Assumir que, dentro do material ferromagnético do 
núcleo, B é relacionado diretamente com H , através da expressão HB 200= . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Resolução: 
 
� Circuito elétrico análogo: 
 Dados:
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]
[ ]











=
===
===
==
==
mm 1
cm 5 ; 10 ; 12
 cm 10S ; 8S ; 6S
espiras 1000N ; 500N
mA 70II
321
2
321
21
21
g�
���
 
 Se HBHB 200 e == µ , então, µ = 200. 
 
 Analisando o circuito elétrico análogo, extrai-se o seguinte conjunto de equações: 
 
 








+=−=−
ℜ+ℜ=ℜ−=ℜ−
+=
gg
g
���� HHHH 3322221111
33322221111
213
ININ
ou 
ININ φφφφ
φφφ
 (01) 
 
� Cálculo de ℜ1: 
 
 
[ ]WbAe 01106200 1012S 14
2
1
1
1
1 ,=ℜ⇒
⋅⋅
⋅
=ℜ⇒=ℜ
−
−
µ
�
 (02) 
 
� Cálculo de ℜ2: 
 
 
[ ]WbAe 6250108200 1010S 24
2
2
2
2
2 ,=ℜ⇒
⋅⋅
⋅
=ℜ⇒=ℜ
−
−
µ
�
 (03) 
 
 
 
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� Cálculo de ℜ3: 
 
 
[ ]WbAe 2501010200 105S 34
2
3
3
3
3 ,=ℜ⇒
⋅⋅
⋅
=ℜ⇒=ℜ
−
−
µ
�
 (04) 
 
� Cálculo de ℜg: 
 
 
[ ]WbAe 1095771010104 101S 547
3
⋅=ℜ⇒
⋅⋅⋅
⋅
=ℜ⇒=ℜ
−−
−
,gg
g
g
g
piµ
�
 (05) 
 
 Substituindo (02), (03), (04) e (05) em (01), temos: 
 
 
( )



+⋅=−
−=
⇒⋅=−=−
⋅+=−=−
21
5
2
21
3
5
21
3
5
3222111
109577625070
356250
10957762507035
1095772506250IN01IN
φφφ
φφ
φφφ
φφφφ
,,
,
,,
,,,,
 
 
 Substituindo (07) em (06), temos: 
 
 
( )
[ ]Wb 54211085271093512625070
6250109577625070
2
7
2
6
2
22
5
2
,,,,
,,,
=⇒⋅−⋅=−
+⋅=−
φφφ
φφφ
 
 
 Substituindo (08) em (06), temos: 
 
 [ ]Wb 54213554216250 11 ,,, −=⇒−⋅= φφ (09) 
 
 Substituindo (08) e (09) em (01), temos: 
 
 054215421 33 =⇒+−= φφ ,, 
 
� Cálculo de 1B : 
 
 
[ ]Wb 10593 
106
5421 4
1411
1
1 ⋅−=⇒
⋅
−
=⇒=
−
,B
,
BB
S
φ
 
 
� Cálculo de 2B : 
 
 
[ ]Wb 10692 
108
5421 4
2422
2
2 ⋅=⇒
⋅
=⇒=
−
,B
,
BB
S
φ
 
 
� Cálculo de 3B : 
 
 0 3
3
3
3 =⇒= BB S
φ
 
(06) 
(08) 
(07)