AP1 Geometria Espacial

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Fundação Centro de C iências e Educação Sup erior a D istância do Estado do R io de Janeiro
Centro de Educação Sup erior a D istância do Estado do R io de Janeiro
Gabarito da AP1 - Geometria Espacial - 1/2015
Questão 1 [2,0 pts]: Classi…que as sentenças a seguir como VERDADEIRO ou FALSO e dê um exemplo
(ou um contraexemplo se a a…rmação for falsa).
(a) Se r==� e s==� então r==s:
(b) Se num plano existem duas retas distintas paralelas a um outro plano então esses planos são sempre paralelos.
(c) Se dois planos são perpendiculares a um outro plano então esses dois planos não podem ser paralelos.
(d) A projeção ortogonal de um quadrado pode ser um segmento de reta.
Solução:
Pela cubo da …gura 1 temos os seguintes exemplos ou contraexemplos.
(a) FALSO. Contraexemplo: r =
 !
AB, s =
 !
BC, � = EFG
(b) FALSO. As retas HG e AB são distintas e paralelas ao plano ABCD e estão contidas no plano ABGH. No
entanto o plano ABGH é secante (logo não paralelo) ao plano ABCD:
(c) FALSO. Contraexemplo: Os planos ABFE e CDHG são paralelos entre si e são perpendiculares ao plano
ABCD.
(d) VERDADEIRO. A projeção ortogonal do quadrado AEFB no plano ABCD é o segmento de reta AB.
Questão 2 [2,0 pts]: Duas pessoas partem de uma mesma posição no primeiro andar de um prédio. Uma
delas sobe uma escada vertical de 3m para o segundo andar do prédio e depois caminha 4m para o norte, sempre
no segundo andar do prédio. A outra pessoa caminha 2m para o sul e depois 2m para o leste, sempre no primeiro
andar do prédio. Qual a nova distância entre essas pessoas?
Solução:
As pessoas partem do ponto O e após a movimentação elas se encontram nos pontos A e B, como ilustrado
na …gura 2.
O �BCD é retângulo logo BC2 = CD2 +BD2 = (2 + 4)2 + 32 = 36 + 9 = 45
O �ABC é retângulo logo AB2 = AC2 +BC2 = 22 + 45 = 49 logo AB = 7m:
Figura 1: Cubo de exemplo da questão 1. Figura 2: Questão 2.
1
Questão 3 [2,0 pts]: Sejam a; b; c as medidas dos lados de um paralelepípedo retângulo. Calcule a diagonal
desse paralelepípedo em função somente de A, sua área total e de S = a+ b+ c, a soma de suas dimensões.
Solução:
� Cálculo de A e S em função de a; b; c:
A = 2:(a:b+ a:c+ b:c) e S = a+ b+ c:
� Cálculo da diagonal D do paralelepípedo em função de a; b; c:
D =
p
a2 + b2 + c2.
� Cálculo da diagonal D do paralelepípedo em função de A e S:
S2 = (a+ b+ c)2 = a2 + b2 + c2 + 2:(a:b+ a:c+ b:c):
Como D2 = a2 + b2 + c2 e A = 2:(a:b+ a:c+ b:c); temos:
S2 = D2 +A: Logo D =
p
S2 �A:
Questão 4 [2,0 pts]: Um tetraedro regular é uma pirâmide de base triângular e com todas as arestas
congruentes. Sabendo-se que a aresta do tetraedro regular mede x, calcule a distância entre duas arestas reversas
desse tetraedro.
Solução:
� Identi…car que a distância entre as arestas reversas é igual a MN e cálculo de MD e ND (…g. 3):
Na …gura 3 vemos que a distância entre duas arestas reversas é igual a MN , onde M é ponto médio de BC e
N é ponto médio de AD:
O �MND é retângulo logo MN2 = MD2 � ND2, onde ND = x2 e MD é a altura do triângulo equilátero
BCD, logo MD = x:
p
3
2 :
� Cálculo da distância entre duas arestas reversas:
Logo MN2 = MD2 �ND2 = 34x2 � 14 :x2 = 24x2: Daí temos que MN =
p
2
2 :x:
Figura 3: Questão 4.
2
Questão 5 [2,0 pts]: Sejam h a altura, r o raio da base e g a geratriz de um cone reto. Sabendo que
r + 2 = h = g � 2; determine a geratriz do cone.
Solução:
� Uso do triângulo retângulo do cone para cálculo da geratriz:
Na …gura 4 temos que V A é a geratriz do cone, V O é a altura e OA é o raio da base do cone.
Como o triângulo V OA é retângulo temos que:
g2 = h2 + r2 =) (h+ 2)2 = h2 + (h� 2)2
� Resolução da equação do segundo grau e obtenção da geratriz do cone:
(h+ 2)2 = h2 + (h� 2)2 =) h2 + 4h+ 1 = h2 + h2 � 4h+ 1 =) h2 � 8h = 0.
Como h > 2 temos que a única solução possível é h = 8.
Como g, a geratriz do cone, vale h+ 2 temos que g = h+ 2 = 8 + 2 = 10:
Figura 4: Questão 5.
3
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Gabarito da AP 1 - Geometria Espacial - 2014-2
Questão 1 [2.0]: A diferença entre as áreas totais de dois cubos é de 96 cm2. Calcule a diferença entre suas
diagonais sabendo que a aresta do cubo menor mede 3 cm :
Solução:
� Cálculo da aresta do cubo maior:
Seja D a diferença entre as áreas totais dos dois cubos e chamando de x a aresta do cubo maior temos que:
D = 96 = 6:(x2 � 32) =) x2 � 9 = 966 = 16 =) x =
p
16 + 9 = 5 cm :
� Cálculo da diferença entre a diagonal do cubo maior e a diagonal do cubo menor:
A diferença entre as diagonais é igual a
p
3(x� 3) = 2p3 cm :
Questão 2 [2.0]: Um tetraedro regular é uma pirâmide de base triângular e com todas as arestas congruentes.
Sabendo-se que a aresta do tetraedro regular mede x, calcule a distância entre duas arestas reversas desse tetraedro.
Solução:
� Identi…car que a distância entre as arestas reversas é igual a MN e cálculo de MD e ND (…g. 1):
Na …gura 1 vemos que a distância entre duas arestas reversas é igual a MN , onde M é ponto médio de BC e
N é ponto médio de AD:
O �MND é retângulo logo MN2 = MD2 � ND2, onde ND = x2 e MD é a altura do triângulo equilátero
BCD, logo MD = x:
p
3
2 :
� Cálculo da distância entre duas arestas reversas:
Logo MN2 = MD2 �ND2 = 34x2 � 14 :x2 = 24x2: Daí temos que MN =
p
2
2 :x:
Questão 3 [2.0]: Classi…que as sentenças a seguir como VERDADEIRO ou FALSO e dê um exemplo (ou um
contraexemplo se a a…rmação for falsa).
(a) Se r==� e s==� então r==s:
(b) Se r==� e s � � então r==s:
(c) Se r==t e s==t então r==s:
(d) Dada duas retas reversas existem dois planos paralelos, cada um contendo uma das retas.
Solução:
Pela cubo da …gura 2 temos os seguintes exemplos ou contraexemplos.
(a) FALSO. Contraexemplo: r =
 !
AB, s =
 !
BC, � = EFG
(b) FALSO. Contraexemplo: r =
 !
AB, s =
 !
FG, � = EFG
(c) VERDADEIRO. Exemplo: r =
 !
AB, s =
 !
CD, t =
 !
EF
(d) VERDADEIRO. Exemplo: as retas reversas
 !
AB e
 !
FG estão contidas nos planos paralelos ABC e EFG,
respectivamente.
1
Figura 1: Questão 2 Figura 2: Cubo de exemplo da questão 3.
Questão 4 [2.0]: Uma empresa utiliza recipientes cônicos de papel para colocar sorvete. Para cada folha de
papel circular de raio R são feitos 6(seis) recipientes cônicos. Calcule, em função de R, a altura do cone.
Solução:
� Cálculo de r, o raio da base do cone:
O comprimento da circunferência de cada folha de papel é 2�R.
Como para cada folha de papel fazemos 6 cones temos que o comprimento da circunferência da base do cone
é de 2�R6 =
�R
3 : Logo: 2�r =
�R
3 =) r = R6 :
� Cálculo da altura do cone:
O recipiente cônico tem geratriz R, raio da base r = R6 e altura h, (Na …gura 3, R = V A; r = OA; h = V O).
No triângulo retângulo V OA da …gura 3 temos:
R2 = h2 + r2 =) h2 = R2 � R236 = 35R
2
36 =) h =
p
35
6 R:
Questão 5 [2.0]: Um aparelho transmissor de rádio, cujas ondas atingem no máximo uma distância r, está
situado no alto de uma torre vertical de altura h. As ondas do transmissor atingem uma estrada retilínea e
horizontal que está a uma distância d do pé da torre. Determine, em função de r; h e d, o comprimento do trecho
da estrada no qual se pode captar a transmissão.
Solução:
Na …gura 4 o segmento ED representa a torre e devemos calcular o segmento AB, o trecho da estrada no qual
se pode captar a transmissão.
� Cálculo de BD na …gura 4
O segmento ED é perpendicular ao plano ABD.
No
triângulo retângulo BDE temos BD2 = r2 � h2:
� Cálculo de AB na …gura 4
No triângulo retângulo BCD temos BC2 = BD2 � d2 = r2 � h2 � d2 ) BC = pr2 � h2 � d2
Logo AB = 2
p
r2 � h2 � d2:
2
Figura 3: Questão 4 Figura 4: Questao 5.
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Gabarito da AP1 - Geometria Espacial - 2/2015
Questão 1 [2,0 pts]: Classi…que as sentenças a seguir como VERDADEIRO ou FALSO e dê um exemplo
(ou um contraexemplo se a a…rmação for falsa).
(a) Se r==� e s==r então s==�:
(b) Se num plano existem duas retas distintas paralelas a um outro plano então esses planos são sempre paralelos.
(c) Se dois planos são perpendiculares a um outro plano então esses dois planos são sempre perpendiculares.
(d) A projeção ortogonal de um quadrado é sempre um outro quadrado.
Solução:
No cubo da …gura 1 temos os seguintes exemplos ou contraexemplos.
(a) VERDADEIRO. Exemplo: r = EF , s = GH, � = ABCD
(b) FALSO. Contraexemplo: As retas GH e AB são distintas e paralelas ao plano ABCD e estão contidas no
plano ABGH. No entanto o plano ABGH é secante (logo não paralelo) ao plano ABCD:
(c) FALSO. Contraexemplo: Os planos ABFE e CDHG são perpendiculares ao plano ABCD, mas os planos
ABFE e CDHG são paralelos (não são perpendiculares) entre si.
(d) FALSO. Contraexemplo: A projeção ortogonal do quadrado AEFB no plano ABCD é o segmento de reta
AB.
Questão 2 [2,0 pts]: Sejam os pontos A;B;C;D, onde AB = 3; BC = 4; CD = 5;
 !
AB ? !BC e !CD é
perpendicular ao plano formado pelos pontos A;B;C. Calcule a distância entre os pontos A e D:
Solução:
� Cálculo da distância entre A e C:
Como o triângulo ABC é retângulo temos AC
2
= AB
2
+BC
2
= 9 + 16 = 25) AC = 5:
� Cálculo da distância entre A e D:
Como o triângulo ACD é retângulo temos AD
2
= AC
2
+ CD
2
= 25 + 25 = 50) AD = 5p2:
1
Questão 3 [2,0 pts]: Determine a geratriz de um cone reto, cujo raio da base mede 3 cm, sabendo que a
área da seção meridiana é igual à área da base.
Solução:
� Cálculo da altura do cone:
A área da base do cone é �r2, onde r (OA na …gura 2) é o raio da base do cone.
A área da seção meridiana é 2rh=2 = rh, onde h (V O na …gura 2) é a altura do cone.
Logo: �r2 = rh =) h = �r = 3� cm:
� Cálculo da geratriz do cone:
Seja g (V A na …gura 2) a geratriz do cone. Temos g2 = r2 + h2 = 9 + 9�2 =) g = 3p1 + �2 cm
Figura 1: Cubo de exemplo da questão 1. Figura 2: Questão 3.
Questão 4 [2,0 pts]: Calcule a altura de um tetraedro regular, sabendo que a sua superfície total mede 6
p
3
cm2:
Solução:
� Cálculo do lado do tetraedro regular:
A superfície total S é igual a quatro vezes a área do triângulo equilátero de aresta x e altura CM = x
p
3=2,
onde M é o ponto médio do lado AB (ver …gura 3), logo:
S = 6
p
3 = 4:(x:x
p
3=2)=2 = x2:
p
3 =) x = p6 cm:
� Cálculo da altura do tetraedro regular:
Observa-se que o ponto O é o baricentro do triângulo equilátero ABC, então:
CO = 23CM =
2
3x
p
3=2 = x
p
3
3 :
O triângulo V OC da …gura 3 é retângulo logo a altura h do tetraedro regular pode ser calculada da forma:
V C2 = V O2 +OC2 =) h2 = V O2 = V C2 �OC2 = x2 � 13x2 = 23x2 =) h =
p
2p
3
x =
p
6
3 x =
p
6
3
p
6 = 2 cm:
2
Questão 5 [2,0 pts]: Um cubo está inscrito num cilindro cujo raio da base mede 2 cm. Qual é a área total
do cubo?
Solução:
� Cálculo o lado do cubo:
Na …gura 4 temos a base do cilindro e do seu cubo inscrito. Temos que o diâmetro da base do cilindro (AC na
…gura 4) é uma diagonal da face do cubo, logo é a hipotenusa de um triângulo retângulo isósceles cujos catetos
são lados do cubo.
Sendo x o lado do cubo, temos: x2 + x2 = 42 =) x = p8 = 2p2 cm:
� Cálculo da área total do cubo:
A = 6x2 = 6
�
2
p
2
�2
= 48 cm2:
Figura 3: Questão 4.
Figura 4: Base do Cilindro e do Cubo inscrito
da questão 5.
3
AP1/AP1-GE-2012.2-Gabarito.pdf
1 
 
 
 
 
 
 
Fundação CECIERJ – Vice Presidência de Educação Superior a Distância 
 
Curso de Licenciatura em Matemática – UFF/CEDERJ/UAB 
 
Gabarito - Geometria Espacial – AP1 – 2012.2 
 
Questão 1 [2,0pts]: Calcule a diagonal de um paralelepípedo retângulo de dimensões x, 
x+1 e x-1. 
Solução: 
d2=x2+(x+1)2 = x2+ x2+2x+1=2x2+2x+1 
D2=d2+(x-1)2=2x2+2x+1+x2-2x+1=3x2+2 
D=(3x2+2)1/2 
 
Questão 2 [2,5pts]: Em uma pirâmide regular de base triangular, a medida do seu 
apótema é igual à medida do lado da base. Se sua área total vale 10 unidades de área, 
determine a sua altura. 
Solução: h= 31/2. x/2 
Área total=Área da base + 3.Área da face lateral 
Área da base = 31/2. x2/4 
Área da face lateral = x2/2 
Área total=31/2. x2/4+3. x2/2 = 10 
(31/2+6)x2=40 
x2=40(6-31/2)/33 
 
 
H2=x2-x2/12=x2.11/12 
H2=40.(6-31/2)/36 
H=(40.(6-31/2))1/2/6 
2 
 
 
Questão 3 [2,5pts]: Uma empresa vai fabricar recipientes cônicos de papel para colocar 
sorvete. Os cones (circulares retos) terão geratriz e raio da base de comprimentos 3R e 
R, respectivamente. Qual o número máximo de recipientes que poderão ser feitos a partir 
de uma folha de papel circular de raio 3R? 
Solução: O comprimento da circunferência da base do cone é: 2πR 
 
Planificando a superfície lateral do cone teremos um setor circular de raio 3R e 
comprimento igual ao da circunferência da base do cone, isto é, 2πR. Resta saber que 
fração da folha de papel representa este setor. 
Como o comprimento da circunferência da folha de papel é: 2π.3R = 6πR, podemos fazer 
três recipientes cônicos em cada folha de papel, cada setor circular com ângulo de 120○ e 
comprimento 2πR. 
 
Questão 4 [3,0pts]: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F): 
Solução: 
a) Duas retas que tem um único ponto em comum são concorrentes. 
V. Duas retas paralelas ou duas retas reversas não tem nenhum ponto em comum. 
b) Duas retas distintas e não paralelas são reversas. 
F. Também podem ser concorrentes. 
c) Duas retas que não tem ponto comum são paralelas. 
F. Também podem ser reversas. 
d) Duas retas distintas determinam um plano. 
F. Apenas se forem paralelas ou concorrentes. Se as retas forem reversas não 
determinam nenhum plano, isto é, são não coplanares. 
e) Se dois planos distintos tem um ponto comum, então eles tem uma reta comum que 
passa pelo ponto e são ditos secantes. 
V. De acordo com o postulado da interseção, se dois planos distintos tem um ponto em 
comum, então eles tem pelo menos um outro ponto comum. 
f) Se dois planos são paralelos a um terceiro, então eles são paralelos entre si. 
V. De acordo com a transitividade do paralelismo entre planos, mostrada na figura abaixo. 
3 
 
 
g) Se uma reta é paralela a dois planos secantes, então ela é paralela à interseção entre 
eles. 
V. De acordo com a figura abaixo. 
 
h) Se a, b e c são três retas distintas no espaço tais que a ┴ b e c ┴ a, então b e c são 
retas paralelas ou reversas. 
F. Conforme mostrado na figura abaixo, as retas b e c também podem ser concorrentes. 
 
i) Se duas retas são reversas, qualquer plano que passa por uma encontra a outra. 
F. Podemos ter dois planos paralelos passando por duas retas reversas, conforme 
desenho abaixo. 
4 
 
 
j) Se um plano contém duas retas distintas, paralelas a um outro plano, então esses 
planos são paralelos. 
F. Somente se as retas distintas
forem concorrentes, se as retas distintas forem paralelas 
a afirmativa não é correta, conforme mostrado na figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
AP1/AP1-GE-2016.1-Gabarito.pdf
Gabarito da AP1 - Geometria Espacial - 1/2016
Questa˜o 1 [2,0 pts]: Uma piraˆmide tem todas as suas arestas iguais a x e sua base e´ um quadrado
(de lado x). Calcule a altura da piraˆmide em func¸a˜o de x.
Soluc¸a˜o:
• Representac¸a˜o da piraˆmide:
A piraˆmide e´ reta e e´ representada segundo a figura 2.
• Ca´lculo de AO, onde A e´ um ve´rtice da base e O e´ o centro do quadrado:
AO e´ meia diagonal do quadrado da base, logo AO = x
√
2
2 .
• Ca´lculo da altura da piraˆmide:
No triaˆngulo retaˆngulo AOV da figura 2 temos que h, a altura da piraˆmide, e´ a distaˆncia entre O e
V .
AV 2 = AO2 +OV 2 ⇒ x2 =
(
x
√
2
2
)2
+ h2 ⇒ h2 = 1
2
x2 ⇒ h = x
√
2
2
.
Fig. 2: Piraˆmide de base quadrada
1
Questa˜o 2 [2,0 pts]: Um prisma reto de altura 2cm tem como base um hexa´gono regular de lado
4cm. Calcule a a´rea total (bases + faces laterais) do prisma.
Soluc¸a˜o:
• Ca´lculo da a´rea de uma base:
Como vemos na figura 3, a a´rea de uma base e´ a soma da a´rea de 6 triaˆngulos equila´teros de lado 4cm.
AB = 6×A∆ = 6× 1
2
× 4× 4
√
3
2
= 24
√
3cm2.
• Ca´lculo da a´rea de uma face lateral:
As faces laterais do prisma sa˜o retaˆngulos de lados 4cm e 2cm: AL = 4× 2 = 8cm2.
• Ca´lculo da a´rea total:
Como o prisma tem 2 bases iguais e 6 faces laterais iguais, temos que a a´rea total e´:
AT = 2AB + 6AL = 2× 24
√
3 + 6× 8 = 48
√
3 + 48 = 48
(
1 +
√
3
)
≈ 131, 14cm2.
Fig. 3: Prisma hexagonal da questa˜o 2
2
Questa˜o 3 [2,0 pts]: Determine a distaˆncia entre o centro da base e uma geratriz de um cone
reto, cujo raio da base mede 30cm e a altura do cone mede 40cm.
Soluc¸a˜o:
• Ca´lculo da geratriz do cone:
Da figura 4 vemos que o o triaˆngulo V OA e´ retaˆngulo, logo:
V A2 = V O2 +OA2 = 402 + 302 = 502 ⇒ V A = 50cm.
• Ca´lculo de h, a distaˆncia entre o centro da base e uma geratriz do cone:
Temos que h e´ a altura relativa a` hipotenusa do triaˆngulo retaˆngulo AOV . Na figura 4 vemos que h
e´ a distaˆncia entre O e a geratriz V A, e´ o comprimento do segmento OH, onde OH e´ perpendicular
a V A.
A a´rea de um triaˆngulo retaˆngulo de hipotenusa a e lados b e c pode ser calculada como S = 12bc =
1
2ah. Da´ı temos que:
h =
bc
a
=
30× 40
50
=
1200
50
= 24cm
Fig. 4: Cone da questa˜o 3
3
Questa˜o 4 [2,0 pts]: Um drone, inicialmente junto ao seu controlador, foi acionado e subiu 6m
na vertical. Depois o drone percorreu 8m na direc¸a˜o leste (mantendo a altura de 6m). Depois o drone
se moveu x metros na direc¸a˜o norte (mantendo sua altura de 6m) ate´ que o drone perdeu o controle.
Calcule x sabendo que o drone perde o controle quando a distaˆncia entre o drone e seu controlador e´
de 10
√
10m. O paralelep´ıpedo da figura 1 pode ser u´til para representar a trajeto´ria percorrida pelo
drone.
Soluc¸a˜o:
• Posicionamento dos pontos percorridos pelo drone:
O drone parte de A, e apo´s toda movimentac¸a˜o, chega a D, onde o drone perde o controle. O drone
percorre o caminho A−B − C −D descrito na figura 5.
• Ca´lculo da distaˆncia entre A e C na figura 5:
Como o triaˆngulo ABC da figura 5 e´ retaˆngulo temos AC
2
= AB
2
+ BC
2
= 36 + 64 = 100⇒ AC =
10m.
• Ca´lculo de x:
Como o triaˆngulo ACD da figura 5 e´ retaˆngulo temos:
AD
2
= AC
2
+ CD
2 ⇒
(
10
√
10
)2
= 102 + x2 ⇒ x2 = 1000− 100 = 900⇒ x = 30m.
Fig. 1: Paralelep´ıpedo auxiliar
Fig. 5: Percurso do drone
4
Questa˜o 5 [2,0 pts]: A projec¸a˜o ortogonal de um quadrado de a´rea 32cm2 e´ um losango de
diagonais (perpendiculares) de 4cm e de 8cm. Qual o aˆngulo entre o plano do quadrado e o plano de
projec¸a˜o?
Soluc¸a˜o:
• Ca´lculo do lado e diagonal do quadrado:
O lado do quadrado e´
√
32 = 4
√
2cm. As suas duas diagonais medem 4
√
2
√
2 = 8cm.
• Posicionamento das diagonais do quadrado e do losango (plano de projec¸a˜o):
Como uma diagonal de 8cm do quadrado se projeta com o mesmo tamanho, temos que essa diagonal
do quadrado deve ser paralela ao plano de projec¸a˜o, resultando numa projec¸a˜o como da figura 6, onde
OA e´ uma diagonal do quadrado e OB e´ a diagonal de 4cm do losango.
• Ca´lculo do aˆngulo entre os planos:
Da figura 7 vemos que o cosseno de α, aˆngulo entre os planos, e´ a divisa˜o entre a diagonal menor do
losango e a diagonal do quadrado:
cos(α) =
4
8
=
1
2
⇒ α = arccos(1
2
) = 600
Fig. 6: Projec¸a˜o do quadrado Fig. 7: Vista de perfil
5
AP1/AP1-GE-2013.1-Gabarito.pdf
1 
 
 
 
 
 
 
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Curso de Licenciatura em Matemática – UFF/CEDERJ/UAB 
 
Gabarito - Geometria Espacial – AP1 – 2013.1 
 
Questão 1 [2,0pts]: Calcule a aresta de um cubo, sabendo que a soma dos 
comprimentos de todas as arestas, com todas as diagonais e com as diagonais das suas 
faces, é 32cm. 
Solução: O cubo possui 12 arestas, 4 diagonais e 12 diagonais das faces (cada quadrado 
possui 2 diagonais, multiplicada por 6 faces). 
12a+4d+12a =32 
Diagonal do cubo: d=a 
12a+4a +12a =32 
3a+ a +3a =8 
a=8/(3+ +3 ) cm 
 
Questão 2 [2,0pts]: Calcule a aresta da base de uma pirâmide regular, sabendo que o 
apótema da pirâmide mede 8cm e sua aresta lateral 10cm. Calcule também a altura da 
pirâmide para o caso da sua base ser quadrada e para o caso da sua base ser triangular. 
Solução: 
 
Aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo acima: 102 = 82 + x2; x2 = 100-64; x2 = 36; 
x = 6 cm; aresta da base = 12cm 
Se a pirâmide tem a base quadrada: Utilizando o teorema de Pitágoras, no triângulo 
vermelho: 82 = 62 + h2; h2 = 64-36; h = = 2 cm 
 
2 
 
Se a pirâmide tem a base triangular, a altura da base é x = 6 
 
Como a pirâmide é regular, sabemos que a sua altura se projeta no centro da base do 
triângulo equilátero, que divide a mediana do triângulo em segmentos que medem 1/3 e 
2/3 de seu valor. Assim, aplicando o teorema de Pitágoras no triângulo abaixo, temos: 
82 = H2 + (2 2; H2 = 64 – 12; H = ; H = 2 cm. 
 
 
 
Questão 3 [2,0pts]: Um pedaço de papel na forma de um setor circular de 90 ْ e raio igual 
a 10cm é dobrado, como mostrado na figura abaixo, até ser obtido um cone. Determine a 
altura do cone. 
 
Solução: 
A medida do arco AB = Ângulo do setor . raio do setor 
Arco AB = 10.π/2 = 5π 
Arco AB = Comprimento da circunferência da base do cone = 2π.raio da circunferência 
3 
 
5π = 2πr; r = 5/2 = 2,5 cm. Encontrando o valor do raio r da circunferência, aplicamos o 
teorema de Pitágoras no triângulo abaixo para encontrar a altura do cone h: 
102 = h2 +(5/2)2; h2 = 100-25/4; h2 = (400-25)/4; h = ; h = 2,5 cm 
 
 
Questão 4 [2,0pts]: Três canos de forma cilíndrica e de mesmo raio r, dispostos como 
indica a figura, devem ser colocados dentro de outro cano cilíndrico de raio R, de modo a 
ficarem presos sem folga. Expresse o valor de R em função de r, para que isso seja 
possível. 
Solução: 
 
 
 
O raio do cano maior R é igual ao raio do cano menor mais 2/3 do valor da mediana ou 
altura do triângulo equilátero de lados 2r, conforme pode ser visto na figura. h = r . 
R = r + 2r ; 
R = r(2 
 
Questão 5 [2,0pts]: Classifique em verdadeiro (V) ou falso (F), justificando:
a) Se dois planos distintos tem um ponto em comum, então eles são secantes. 
b) Uma reta e um plano que tem um ponto em comum são concorrentes. 
c) Dadas duas retas reversas, qualquer reta que corta uma também corta a outra. 
4 
 
d) Uma reta não está contida num plano e é paralela a uma reta desse plano, então ela é 
paralela ao plano. 
e) Considere dois planos distintos, secantes, não perpendiculares e um ponto P fora 
deles, existe um plano que contém P e é perpendicular aos dois outros. 
f) Duas retas perpendiculares a uma terceira são paralelas entre si. 
g) Uma reta perpendicular a um plano faz ângulo reto com qualquer reta do plano. 
h) A distância entre uma reta e um plano paralelos é a distância entre um ponto qualquer 
do plano e a reta. 
i) A projeção ortogonal de uma reta sobre um plano é uma reta. 
j) Se dois planos são perpendiculares, então uma reta paralela a um deles pode ser 
paralela ao outro. 
Solução: 
a)V. 
b)F. A reta pode também estar contida no plano. 
c)F. Por exemplo, se a reta estiver coplanar com uma das retas reversas e em um plano 
paralelo à outra, corta somente uma das retas reversas. 
d)V. 
e)V. 
f)F. Também podem ser concorrentes ou reversas entre si. 
g)V. 
h)F. É a distância entre um ponto qualquer da reta e o plano. 
i)F. Também pode ser um ponto, se a reta for perpendicular ao plano de projeção. 
j)V. 
 
AP1/AP1-GE-2014.1-Gabarito.pdf
Gabarito da AP 1 - Geometria Espacial - 2014-1
Questão 1 [2.0]: Duas pessoas se encontram na mesma posição. Uma delas sobe uma escada vertical de 3m
e depois caminha 4m para o norte num plano horizontal. A outra pessoa caminha 2m para o sul e depois 2m para
o leste, sempre num plano horizontal. Qual a nova distância entre essas pessoas?
Solução da Questão 1:
As pessoas partem do ponto O e após a movimentação elas se encontram nos pontos A e B, como ilustrado
na …gura 1.
O �BCD é retângulo logo BC2 = CD2 +BD2 = (2 + 4)2 + 32 = 36 + 9 = 45
O �ABC é retângulo logo AB2 = AC2 +BC2 = 22 + 45 = 49 logo AB = 7m:
Figura 1: Questão 1
Questão 2 [2.0]: Seja D a diferença entre as áreas totais de dois cubos (cujas arestas medem b e a) e seja
S = a+ b. Calcule a diferença entre as diagonais dos dois cubos em função somente de D e S.
Solução da Questão 2:
Temos que D = 6:b2 � 6:a2 = 6:(b2 � a2) = 6:(b+ a):(b� a) = 6:S:(b� a), logo b� a = D6:S
A diferença entre as diagonais dos dois cubos é igual a
p
3:(b� a) = p3: D6:S =
p
3
6
D
S :
1
Questão 3 [3.0]: Um tetraedro regular é uma pirâmide regular de base triângular com todas as arestas
congruentes. Sabendo-se que a aresta do tetraedro regular mede x, calcule:
(a) A altura desse tetraedro regular.
(b) A distância entre duas arestas reversas desse tetraedro regular.
Solução da Questão 3:
(a) Na …gura 3 vemos que a altura desse tetraedro regular é igual a AO.
O �AOD é retângulo logo AD2 = AO2+OD2. Temos ainda que OD mede 23 da altura do triângulo equilátero
BCD, logo OD = 23 :x:
p
3
2 =
x:
p
3
3 :
Logo AO2 = AD2 �OD2 = x2 � x2:39 = x2:69 : Daí temos que AO = x:
p
6
3 :
(b) Na …gura 3 vemos que a distância entre duas arestas reversas é igual a MN , onde M é ponto médio de BC
e N é ponto médio de AD:
O �MND é retângulo logo MD2 = MN2 +ND2. Temos também que MD é a altura do triângulo equilátero
BCD, logo MD = x:
p
3
2 :
Logo MN2 = MD2 �ND2 = 34x2 � 14 :x2 = 24x2: Daí temos que MN =
p
2
2 :x:
Questão 4 [3.0]: Uma empresa utiliza recipientes cônicos de papel para colocar sorvete. Para cada folha de
papel circular de raio R são feitos 6(seis) recipientes cônicos. Sabendo-se que a área da superfície lateral do cone
é 6:� cm2, calcule:
(a) O raio R da folha de papel.
(b) A altura do cone.
Solução da Questão 4:
(a) Cada folha de papel tem área �R2. Como para cada folha de papel fazemos 6 cones temos que a área da
superfície lateral do cone é �R
2
6 = 6:� logo R = 6cm:
(b) Temos que o raio da base do cone r = 16R = 1cm pois o comprimento da circunferência da base do cone é
igual a 2�r = 16 do comprimento da circunferência da folha de papel, isto é: 2�r =
1
6 :2�R:
O �V OA da …gura 4 é retângulo logo AV 2 = V O2 + OA2. Chamando a altura do cone de h temos que
R2 = h2 + r2 então h2 = R2 � r2 = 62 � 12 = 35 logo h = p35:
Figura 3: Questão 3 Figura 4: Questão 4
2