Geometria Espacial

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Geometria Espacial
Conceitos Básicos
O QUE É UM POLÍGONO?
Polígono é uma figura geométrica plana cujo contorno é fechado e 
formado por segmentos de retas que são seus lados.
O QUE É VÉRTICE?
Ponto comum a dois lados de um ângulo, a dois lados de um 
polígono, ou a três, ou mais arestas de uma figura geométrica 
espacial.
O QUE É ARESTA?
Linha reta comum a duas faces de uma figura espacial.
O QUE É PARALELOGRAMO?
Quadrilátero que tem dois pares de lados paralelos. 
OS PRISMAS E SEUS ELEMENTOS
Região espacial dada pela união de dois polígonos paralelos 
(BASES) e congruentes através de segmentos de reta.
a
b
c
aresta lateral
Face lateral
aresta da baseBase
Obs: a, b e c são as 
dimensões do prisma.
Tipos de prismas retos 
Prisma 
triangular
Prisma 
Quadrangular
Prisma 
Hexagonal
Nos prismas retos as faces laterais são retângulos.
Não importa como sejam os prismas, as faces sempre são 
paralelogramos, todo retângulo é um paralelogramo.
Prisma 
Pentagonal
Área da base (Ab): é a área de um dos polígonos das bases.
Área lateral (Al): é a soma das áreas de todas as faces laterais.
Área total (At): é a soma da área lateral e das áreas das base.
ÁREAS DA SUPERFÍCIE DE UM PRISMA
 
hAV
AAA
aaA
ab
A
b
lbt
lbl
b
.
.




2
3
4
32
ba
hal 
3lA
Área da face
 
hAV
AAA
aaA
abA
b
lbt
lbl
b
.
.




2
4
2
OBS: num prisma regular, se o 
polígono da base possui n
lados, a área lateral pode ser 
calculada por: 
Al = n.Af
Fórmulas dos Prismas
face) cada de (Áreafaces) de (nºA lateral 
baselateraltotal A.AA 2
.hAV base
Área Lateral
Área Total
Volume
a
g
g
b
eixo
a 90ºBase
Base
O*
O*
R
h
A Fig. mostra um 
Cilindro Oblíquo.
R é raio da base
h é altura
g é geratriz
Cilindro Circular Reto
O*
g gh
1) o eixo é perpendicular 
aos planos das bases.
R DC
ou Cilindro de Revolução
R
BA
O’*
2) g = h
A B
D C
A B
D C
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um 
retângulo em torno de um dos seus lados.
Cilindro de Revolução:
Um Cilindro reto pode ser obtido ao girar um 
retângulo em torno de um dos seus lados.
A B
D C
Planificação :
R
h
x
R
R
2pR
Áreas e Volumes
AL = 2p Rh
At = AL+ 2 Ab
V = p R2. h
Área Lateral
( AL )
Área Total
( At )
Volume
( V )
Ab = p R2Área Base
( Ab )
Cones
Elementos de um cone:
-Altura (h)
- base 
- geratriz (g)
- eixo
O cone reto que apresenta g=2r é denominado 
de cone equilátero.
No cone reto podemos destacar a seguinte 
relação:
g2 = h2 + r2
Áreas do cone
Quando planificamos um cone obtemos 
a seguinte figura:
Área da base: Ab = pr2
Área lateral: é a área de um setor circular de raio 
R=g de comprimento L. Assim:
Alateral = prg
Volume do cone
O volume de qualquer cone, é igual a um terço do 
volume de um cilindro de mesma área da base e 
altura.
Elementos da Pirâmide 
•base: o polígono convexo R 
•arestas da base: os lados do polígono 
•arestas laterais: os segmentos VA, VB, VC, VD e VE 
•faces laterais: os triângulos VAB, VBC, VCD, VDE, VEA 
•altura: distância h do ponto V ao plano 
Classificação:
De acordo com o polígono da base, as pirâmides 
podem ser:
Triangular quadrangular pentagonal hexagonal
base:triângulo base:quadrado base:pentágono base:hexágono
E assim por diante.
A figura apresenta uma pirâmide 
quadrangular regular:
OA = raio da base (r)
OE = apótema da base (m) 
VO = altura da pirâmide (h)
VE = apótema da pirâmide (g)
Exemplo:
Observações importantes:
No triângulo VOE: (VE)2 = (OE)2 + (VO)2
No triângulo VEB: (VB)2 = (VE)2 + (EB)2
Áreas da Pirâmide:
Área da base: é a área do polígono da base.
Área lateral: é a soma das áreas de todas as faces laterais.
Área total: é a soma da área da base e da área lateral.
(At = Ab + Al)
Volume da Pirâmide:
O volume V de uma pirâmide é 1/3 do volume de 
um prisma de mesma base e mesma altura.
Exemplo:
Calcule:
• A área da base.
• O apótema da base.
• O apótema da pirâmide.
• A altura da pirâmide
• A área lateral.
• A área total.
• O volume. 
A esfera é um sólido de revolução gerado pela rotação de 
um semicírculo em torno de um eixo que contém o 
diâmetro.
Área da superfície esférica
A superfície esférica tem uma massa igual à massa de quatro círculos 
máximos
admitindo que a espessura da superfície esférica é a mesma dos 
círculos máximos
Desta forma, então:
A s.e. = 4pr2
A altura de cada uma das pirâmides é o raio r da esfera
Desta forma, teremos que o volume da esfera é igual ao volume 
destas n pirâmides
O que nos permite concluir que o volume da esfera pode 
ser obtido por:
V=(4/3)pr3
Exemplos:
1. Determinar a área total e o volume de uma esfera de raio 6cm.
2. É dada uma esfera de raio 10cm. Um plano a secciona essa 
esfera a uma distância de 6 cm do centro da mesma. Calcule o 
raio da secção.
Exemplos:
1. Determinar a área de um fuso esférico de 300, contido numa 
superfície esférica de raio 4cm.
2. Determinar o volume da cunha esférica obtida a partir da 
situação anterior.