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Aula 06 Estatística p/ SEFAZ/PE Professor: Jeronymo Marcondes . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 1 de 47 AULA 06 ± Inferência e Estimação SUMÁRIO PÁGINA Introdução à inferência estatística 2 Amostragem e estimador 2 Variância de estimadores 9 Consistência e distribuição amostral 13 Estimador de Máxima Verossimilhança 15 Lista de Exercícios resolvidos em aula 38 Gabarito 47 Bem vindos de volta! O que vamos estudar nesta aula é saber se nossa amostra traz evidência de que uma determinada hipótese seja verdadeira. Complicado? Não é não! Você só vai ter que se lembrar de alguns conceitos de nossa aula 00 e estudar um pouquinho sobre inferência primeiro. Dica de um concurseiro O que fazer alguns dias antes da prova? Essa pergunta aflige todo concurseiro! Minha opinião? Revisão! Não adianta ficar enfiando um monte de coisa nova na cabeça, é melhor consolidar o que você já sabe. Devido à tensão, será muito difícil estudar matéria nova. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 2 de 47 1. Introdução à inferência estatística 1.1 Amostragem e estimador Inferência é o processo através do qual uma pessoa tira conclusões sobre a população com base em uma amostra. Só para lembrar: O exemplo mais clássico é o da cozinheira que prova uma colher do seu preparo a fim de determinar se o mesmo está muito salgado. Ora, a colher que ela experimentou é só uma parte de seu cozido, mas, com base nesta amostra, ela irá inferir como está toda a panela. Entendeu? Ela não precisa provar a panela toda para tirar suas conclusões, ela irá se basear somente em parte dela, isso é inferência! Na estatística é a mesma coisa, muitas vezes não temos dados sobre toda uma população, mas precisamos tirar conclusões a respeito da mesma, assim necessitaremos de inferência estatística. Isso é comum no dia a dia de um pesquisador! A primeira pergunta que um pesquisador faria é: como obter uma determinada amostra? Ou seja, como realizar uma amostragem. Quando se realiza uma pesquisa com todos os elementos de uma população, chama-se a tal pesquisa de Censo. A amostragem pode ser realizada de duas formas diferentes: População = conjunto de todos os elementos que possuem determinada característica. Amostra = parte não nula da população, mas menor do que esta última. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 3 de 47 Amostragem probabilística ou casual: é uma técnica puramente científica com uma seleção puramente aleatória, na qual podemos calcular a probabilidade de que um determinado elemento vá fazer parte da amostra. A título de exemplo, podemos citar a Amostragem Aleatória Simples, a Amostragem Estratificada, a Amostragem por Conglomerados e a Amostragem Sistemática. Amostragem não probabilística ou não casual: Escolha deliberada de elementos da amostra, dependendo de julgamento de valor. A título de exemplo, podemos citar a amostragem por cotas, a amostragem intencional e a amostragem por conveniência. Há diversas formas de obter uma amostra com base em uma extração de elementos de uma população. Tais métodos têm muitas particularidades e formalismos que vão além do escopo deste curso. Porém, precisamos saber alguns dos métodos mais conhecidos em amostragem. Vamos a eles! Amostragem Aleatória Simples (AAS) Este é o tipo mais famoso de amostragem e o mais utilizado na demonstração de Teoremas. Neste tipo de amostragem, dada uma população, todas as amostras possíveis de um determinado tamanho têm a mesma probabilidade de serem obtidas. Não entendeu? Suponha que queiramos encontrar uma amostra de 10 elementos GH� SHVVRDV� FRP� R� VREUHQRPH� ³6,/9$´� GD� SRSXODomR� GH� SHVVRDV� UHVLGHQWHV� QR� Brasil. Realizar uma AAS seria semelhante a escrever o nome completo de todas essas pessoas em um papel e sortearmos 10 nomes deste total. Perceba que, neste caso, todas as amostras têm a mesma chance de ocorrência. Uma AAS pode ser realizada com e sem reposição. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 4 de 47 Amostragem Aleatória Estratificada (AAE) Neste caso, a população seria dividida em estratos, seguindo-se a aplicação de uma AAS em cada um destes. (VWHV� ³HVWUDWRV´� VHULDP� VXEFRQMXQWRV� GD� SRSXODomR� bastante semelhantes entre si. Quer um exemplo? Suponha que tenhamos uma população com a renda de diveUVRV� LQGLYtGXRV� HP� XPD� HFRQRPLD�� 3RGHPRV� GLYLGLU� D� SRSXODomR� HP� ³FODVVH� EDL[D´��³FODVVH�PpGLD´�H�³FODVVH�DOWD´��$�SDUWLU�GDt��DSOLFDUtDPRV�XPD�$$6�HP�FDGD� um destes estratos para obtermos nossa amostra. A ideia deste procedimento é diminuir a variância dentro das amostras para cada estrato. Perceba que qualquer estatística a ser aplicada à amostra deve ser ponderada pelo tamanho do estrato. Atenção, a amostra de cada estrato será proporcional ao tamanho de cada uma de suas populações no caso de uma AAE proporcional. Porém, este não é o único tipo de AAE, pois poderíamos ter o caso de uma AAE uniforme, na qual as amostra de cada estrato tenham o mesmo tamanho. Amostragem Aleatória por Conglomerado Agora, vamos tratar de um caso muito parecido com o anterior. Neste caso, a AAS será aplicada sobre os subgrupos e não mais sobre os indivíduos da população. Por exemplo, suponha que há diversos bairros em uma cidade com variabilidade LQWHUQD�VLJQLILFDWLYD��PDV�EDVWDQWH�VHPHOKDQWHV�HQWUH�VL��1HVWH�FDVR��³VRUWHDUtDPRV´� DOJXQV�GHVWHV�EDLUURV�FRPR�³DPRVWUDV´�GD�SRSXODomR�WRWDO��9RFr�HVWi�UHDOL]DQGR�D� amostragem sobre conglomerados, entende? Segue-se, então, uma análise de todos os indivíduos nos conglomerados escolhidos. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 5 de 47 Amostragem Sistemática Nessa técnica supõe-se que temos uma listagem das unidades populacionais. Para um valor ݇ fixado, sorteamos um elemento entre os ݇ primeiros da listagem. Depois observamos, sistematicamente, indivíduos separados por ݇ unidades. Por exemplo, se ݇ ൌ ? ? e sorteamos o oitavo elemento,observamos depois o décimo oitavo, o vigésimo oitavo, etc. Amostragem por Conveniência Neste caso, o pesquisador só realiza amostragem com os casos que ele tem a sua disposição. Assim, acaba-se por realizar uma pesquisa com somente uma parcela da população, o que pode, inclusive, gerar vieses em sua conclusão. Não é possível generalizar os resultados encontrados para a população, contudo este tipo de amostragem pode ser útil no início de uma pesquisa, testar questionários, por exemplo. Amostragem por quotas A participação de uma determinada característica na população é utilizada para fins de geração da amostra. Por exemplo, suponha que esteja sendo feita uma pesquisa com os usuários de drogas e sabe-se que, na população, 60% dos indivíduos do que usam drogas são homens e 40% são mulheres. Assim, em uma amostra de 1000 indivíduos, a amostra será feita de tal forma que 60% dela (600) sejam homens e 40% (400) sejam mulheres. Amostragem Intencional O pesquisador seleciona intencionalmente os elementos que irão compor sua amostra por acreditar que estes são os que melhor representam o fenômeno que se quer estudar. Por exemplo, qual a aprovação de um partido entre os seus afiliados, isso pode ser feito em bairros ou domicílios eleitorais ligados ao mesmo. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 6 de 47 -³7XGR�EHP�SURIHVVRU��PDV�R�TXH�ID]HU�FRP�HVWD�DPRVWUD´" Um exemplo bacana seria se estivéssemos analisando a altura média de uma população com base em uma amostra. O que estamos fazendo é avaliar uma estimativa de um parâmetro populacional. Não entendeu? Veja, se nós tivéssemos toda a população de elementos e quiséssemos calcular a média seria fácil, pois bastaria somar todas estas observações e dividir pelo total: ܯ±݀݅ܽ ൌ ߠ ൌ ȭݔ݊ Sendo (ȭݔ) o somatório de todos os elementos da população (݊). No caso, a média seria um parâmetro populacional, no nosso exemplo, chamado de ߠ. Porém, raramente isso ocorre, pois quase nunca temos toda a população, mas somente uma amostra. Nesse caso, a média calculada com base na amostra seria um estimador do parâmetro populacional. Assim: ܯ±݀݅ܽ ൌ ߠ ൌ ȭݔܽ Sendo (ܽ) o tamanho da amostra e o chapéu sobre ߠ (ߠ) um indicativo de que estaríamos trabalhando com um estimador do parâmetro populacional correspondente. -³(QWHQGL�SURIHVVRU��R�HVWLPDGRU�GR�SDUkPHWUR�SRSXODFLRQDO�VHULD�HTXLYDOHQWH� DR�FiOFXOR�GD�HVWDWtVWLFD�SRSXODFLRQDO��PDV�DSOLFDGD�j�DPRVWUD´� 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 7 de 47 Isso está aproximadamente correto, mas nem sempre a mesma ³fórmula´ que utilizamos para o cálculo de uma estatística na população é a que devemos usar na amostra. Isso deriva do fato de que o estimador que iremos utilizar na amostra deve ser não viesado. Se eu digo para vocês que um estimador não é viesado, eu estou dizendo que, na PpGLD��HOH�³DFHUWD´, ou seja, dá o valor ³real´ do parâmetro. Ou seja: ܧሺ݁ݏݐ݅݉ܽ݀ݎሻ ൌ ܽݎ݉݁ݐݎ Sendo ܧሺ ?ሻ o operador esperança. Entendeu? A esperança do estimador de um parâmetro populacional é igual ao seu YDORU�³UHDO´� O que você quer é que sua estimativa esteja certa, na média! ܧሺܺሻ ൌ ܺଵ ڄ ଵ݂ ܺଶ ڄ ଶ݂ ǥܺ ڄ ݂ Esperança matemática é um conceito intimamente relacionado com a média aritmética. No caso, para um dado conjunto de valores (ܺ) que vai de ܺଵ a ܺ, sua esperança é dada por: Sendo ݂ a frequência relativa de ܺ. PercebeX"� $� DSOLFDomR� GR� RSHUDGRU� ³HVSHUDQoD´� D� XPD� VpULH� GH� GDGRV� QRV� diz, em termos bem simples, a média do que pode acontecer com esta variável. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 8 de 47 Vou ressaltar uma coisa que confunde muita gente. Você consegue perceber que se você realizar o experimento de cálculo da média amostral para diferentes amostras dentro de uma população, você terá estimativas diferentes? Olhe, os valores que estarão contidos em sua amostra provavelmente serão diferentes para cada vez que você realizar uma amostragem diferente, mesmo sabendo que estes valores pertencem à mesma população. Então, com certeza, sua média amostral será diferente. O que você quer é que, na média destas estatísticas calculadas, você acerte o valor populacional. Ou seja, a média amostral pode ser considerada como uma variável aleatória. Esta variável, como é um estimador não viesado da média populacional, significa que a média das médias amostrais é igual à média populacional. Pode-se provar que: ࡱ൫ࣂ൯ ൌ ࣂ Ou seja, a esperança do estimador da média amostral é igual à média populacional. (vamos mostrar isso no exercício 18) Portanto, se um exercício de concurso te pedir a média de uma determinada amostra, basta calcular a média como sempre fizemos para a população ( ஊ௫ ), pois este é um estimador não viesado para a média populacional. Outra estatística que é comumente cobrada em concursos é a variância (por consequência, o desvio padrão também). Só que agora o buraco é mais embaixo! A estatística que aprendemos para calcular a variância de uma população é dada por: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 9 de 47 ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ߪଶ ൌ ȭሺݔ െ ݔҧሻଶ݊ E, por consequência: ܦ݁ݏݒ݅�ܲܽ݀ݎ ൌ ߪ ൌ ඨȭሺݔ െ ݔҧሻଶ݊ Entretanto, pode-se provar que: ܧሺߪො ?ሻ ് ߪ ? E: ܧሺߪොሻ ് ߪ -³,VVR�TXHU�GL]HU�TXH�DTXHOD�IyUPXOD�QmR�QRV�Gi�XPD�HVWDWtVWLFD�QmR�YLHVDGD� TXDQGR�DSOLFDGD�j�DPRVWUD´" Precisamente! Olha pessoal, não vou ficar fazendo demonstração de cada uma destas afirmações porque isso não é importante para seu concurso! Se vocês quiserem saber como se faz, a título de curiosidade, eu indico bibliografias para vocês. Voltando ao problema em questão, a nossa estatística para cálculo da variância populacional (bem como no caso do desvio padrão) gera um estimador viesado para a variância amostral. Assim, pode-se provar que, para obtermos estimadores não viesados para a variância e desvio padrão amostrais, devemos nos utilizar das seguintes estatísticas: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br10 de 47 ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ܵଶ ൌ ȭሺݔ െ ݔҧሻଶ݊ െ ? ܦ݁ݏݒ݅�ܲܽ݀ݎ ൌ ܵ ൌ ඨȭሺݔ െ ݔҧሻଶ݊ െ ? -³$�~QLFD�GLIHUHQoD�p�TXH�R�GHQRPLQDGRU�GHL[D�GH�VHU� �) e passa a ser ( െ�´" Exato! Portanto, se um exercício de concurso te pedir a variância ou desvio padrão de uma determinada amostra, calcule o numerador como sempre, mas divida este valor por (݊ െ ?)! Apesar de estas não serem as únicas estatísticas que podem ser avaliadas em termos da comparação parâmetro\estimador, para fins de concurso, estas são as mais cobradas. 1.2 Variância de estimadores -³&RPR�DVVLP��YDULkQFLD�GH�XP�HVWLPDGRU´" Pense comigo, não basta que um estimador acerte na média, mas também é desejável que os seus resultados apresentem baixa variância ao redor do valor populacional que se esta tentando estimar. Veja um exemplo gráfico: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 11 de 47 Os pontinhos vermelhos seriam estimativas do valor populacional, pontinho preto, para dois estimadores diferentes. Perceba que o segundo gráfico tem alguns valores que praticamenWH� ³DFHUWDP´�R� valor populacional, mas o mesmo apresenta grande variabilidade. Ou seja, o segundo estimador tem maior variância. O ideal seria que nosso estimador não viesado tivesse a menor variância dentre todos os estimadores não viesados. Este é o conceito de estimador absolutamente eficiente. Estimador absolutamente eficiente é aquele que é não viesado e que apresenta a menor variância dentre todos os estimadores não viesados possíveis para um determinado parâmetro populacional. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 12 de 47 Veja, não precisamos abordar necessariamente o conceito de eficiência absoluta. Suponha dois estimadores não viesados para um determinado parâmetro, a saber, ܺ e ܺԢ, ܺ é dito mais eficiente que ܺԢ se: ܸܽݎሺܺሻ ൏ ܸܽݎሺܺᇱሻ Entendeu? Isso é muito importante na hora de decidirmos qual estimador usar. Você não precisa conhecer a variância de todos os tipos de estimadores possíveis (até porque são infinitos), mas esta é uma forma importante de avaliarmos o quanto um HVWLPDGRU� p� ³ERP´�� 3RGHPRV� FRPSDUDU� D� HILFLrQFLD� GH� DOJXQV� HVWLPDGRUHV� QmR� viesados por meio de análise de suas variâncias. Um ponto importante! Como foi dito, vocês não precisam conhecer as propriedades de uma infinidade de estimadores, podendo compará-los no caso concreto diante de vocês. Entretanto, há um estimador importante em termos de prova: o estimador da média amostral. Com base neste estimador, vocês vão ver, podemos chegar a várias conclusões importantes que podem ser estendidas a qualquer distribuição de probabilidade. Então, vamos aprofundar nosso estudo sobre o estimador da média amostral. Pode- se provar que: ࢂࢇ࢘൫ࣂ൯ ൌ ࣌ ? Sendo o tamanho da amostra. Ou seja, o a variância do estimador da média amostral é dado pela variância populacional dividida pelo tamanho da amostra. Se você só tiver a variância amostral, substitua ࣌ ? por este valor, essa estatística é chamada de erro padrão. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 13 de 47 Então, você consegue perceber que, conforme a amostra aumenta (݊ aumenta de valor), o valor da variância da média amostral tende para zero! Claro, pois, neste caso, a média amostral irá coincidir com a média populacional. Bom, a pergunta natural seria: então o estimador ࣂ é um estimador eficiente? Não é possível responder isso a não ser se comparamos a variância deste último com a variância de todos os estimadores não viesados possíveis da média populacional. Pode-se demonstrar, entretanto, que, quando a variável para a qual está sendo calculada a média seguir uma distribuição normal, a média amostral é um estimador eficiente da média populacional. Porém, se quisermos comparar este estimador com qualquer outro estimador possível, viesado ou não, podemos fazê-lo por meio do conceito de erro quadrático médio (ࡱࡽࡹ). Para o caso do estimador ߠ, o seu erro quadrático médio seria dado por: ܧܳܯሺߠሻ ൌ ܸܽݎ൫ߠ൯ ൣܧ൫ߠ൯ െ ߠ൧ ? ൌ ܸܽݎ൫ߠ൯ ൣܸ݅±ݏሺߠሻ൧ଶ Perceba que o primeiro membro é a variância do estimador e o segundo é a diferença entre seu valor esperado e o seu valor populacional, que é conhecida como o valor do viés do estimador (o valor do viés é considerado ao quadrado, pois o viés pode ser negativo, assim, com este ajuste, seria possível comparar o viés de estimDGRUHV�FRP�WHQGrQFLD�³SDUD�FLPD´�H�³SDUD�EDL[R´). Isso é intuitivo, pois quanto menor o valor combinado da variância e do viés de um HVWLPDGRU��³PDLV�HILFLHQWH�HOH�VHUi´�� 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 14 de 47 1.3 Consistência e distribuição amostral Muitas vezes não conseguiremos encontrar estimadores que tenham propriedades desejáveis, tais como eficiência e inexistência de viés. Porém, muitos deles apresentam propriedades assintóticas desejáveis. -³2�TXH�p�LVVR´" Em termos bem simples, trata-se do comportamento do estimador conforme a amostra tende para o infinito. Um estimador assintoticamente não viesado é aquele que, conforme a amostra tende ao infinito, o viés tende a zero. Este tipo de estimador é dito com propriedades desejáveis em grandes amostras! Veja, em termos bem simples, conforme a sua amostra aproxima-se do tamanho da população, o estimador teria o seu viés diminuído até chegar a zero. É fácil perceber que o nosso estimador ߠ�é assintoticamente não viesado, pois ele não é viesado! Entretanto, a recíproca não é verdadeira, pois há vários estimadores que são viesados e assintoticamente não viesados. Assim: ݈݅݉՜ஶܧ൫ߠ�൯ ൌ ߠ Para quem não é da área de exatas, o que esta simbologia está dizendo é que, no limite, quando a amostra tende ao infinito (݊ ՜ ?), a esperança da média amostral é igual à média populacional. O mesmo raciocínio pode ser estendido para o caso da variância do estimador. Podemos avaliar como seria o comportamento assintótico da variância de um estimador, isso é, como se dá sua variância conforme sua amostra cresce. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br15 de 47 Com base neste conceito, define-se um estimador consistente como aquele em que: ݈݅݉՜ஶܧ൫ߠ�൯ ൌ ߠ ݈݅݉՜ஶܸܽݎ൫ߠ�൯ ൌ ? Essa é uma propriedade desejável de um estimador em grandes amostras. Veja, o estimador da média amostral é consistente, pois: ݈݅݉՜ஶܧ൫ߠ�൯ ൌ ߠ ݈݅݉՜ஶܸܽݎ൫ߠ�൯ ൌ ݈݅݉՜ஶ ቆߪ ?݊ ቇ ൌ ? Isso é verdade, pois, conforme o tamanho da amostra vai aumentando, a variância deste estimador tende a zero (o denominador,݊, fica com valor muito grande). O que também é interessante é avaliar como é o comportamento da distribuição amostral do estimador conforme a amostra aumenta de tamanho. Um teorema importante que trata sobre o nosso caso concreto da média amostral define que, dada uma variável ܺ, é possível demonstrar que a sua média amostral, തܺ, assumirá uma distribuição normal conforme a amostra aumenta. Este é o famoso Teorema do Limite Central (TLC). Teorema do Limite Central: Para uma amostra aleatória simples (ܺଵǡ ܺଶǡ ǥܺ), retirada de uma população com média ߤ e variância ߪ ? finita, a distribuição da média amostral ( തܺ) aproxima-se, para ݊ grande, de uma distribuição normal, com média ߤ e variância ఙమ . Se a variável ܺ tiver distribuição normal, തܺ terá distribuição exata normal! 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 16 de 47 O que isso está dizendo é que, conforme a amostra aumenta, a distribuição da média amostral converge para uma distribuição normal! Percebe a importância disso? A distribuição normal é uma antiga conhecida nossa e nós sabemos muita coisa sobre ela (já aprendemos algumas em aulas anteriores e iremos aprender ainda mais em aulas futuras). Isso é muito útil em várias ocasiões, pois como sabemos do TLC, podemos nos basear nisso para entendermos o comportamento assintótico da média amostral de qualquer variável! Bom, chega de um papo tão teórico, vamos estudar alguns estimadores importantes! O principal é o Estimador de Mínimos Quadrados Ordinários (MQO), mas ele é tão importante que teremos uma aula inteiramente dedicada a ele ± ³&RUUHODomR�H�5HJUHVVmR´� A estimação por intervalo será dada na aula GH� ³,QWHUYDOR� GH� &RQILDQoD� H� 7HVWHV� GH� +LSyWHVHV´� Nesta aula, vamos conhecer o estimador de Máxima Verossimilhança. 2. Estimador de Máxima Verossimilhança Este é um assunto muito pouco cobrado em provas, exceto no caso do concurso do IPEA, que é mais específico. Além disso, é bem difícil! Porém, vai saber, se cair você estará pronto. Antes de começarmos, preciso ensinar mais uma coisinha sobre cálculo diferencial. OBS. Conceito de derivada ± ponto extremo Bom, o porquê de tudo isso é ensinar a vocês como encontrar o ponto máximo ou mínimo de uma função, isso é, um ponto extremo.1 Como você encontra um ponto extremo de uma função? Simples! Derive a função (você já aprendeu) e iguale a zero. Por exemplo, suponha a função: ݂ሺݔሻ ൌ ݔଶ ݔ 1 Para quem entende de matemática, saiba que estamos tratando de pontos extremos locais e não globais. É só uma introdução mesmo. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 17 de 47 Neste caso, é fácil chegar à derivada (é só derivar cada membro separadamente): ݂݀ሺݔሻ ൌ ?ݔ ? Agora, é só igualar a zero e resolver em função de ݔ: ݂݀ሺݔሻ ൌ ? ՜ ?ݔ ? ൌ ? ฺ ݔ ൌ െ ? ? Assim, este ponto é o extremo local da função, ou seja, um ponto de mínimo ou máximo. Pode-se provar que se trata de um ponto de mínimo, mas não precisam se preocupar, pois, na prova de Estatística, o ponto extremo sempre será o que o enunciado pede. Daqui a pouco vocês vão entender. Além disso, há outras formas mais complexas de derivada, mas a única necessária, isso se for necessária, será esta. Chega disso, vamos voltar ao estimador de máxima verossimilhança! Retornando. Gente, o estimador de Máxima Verossimilhança (MLE) é aquele que maximiza a probabilidade de que os valores obtidos de uma amostra sigam, de fato, uma determinada distribuição de probabilidade. Hora de lembrar-se das aulas de Estatística! Lembrem-se das funções densidade de probabilidade, tais como a distribuição normal, a binomial, etc. Então, como funciona? Você tem uma amostra de valores obtidos de uma população que, por hipótese, você conhece a distribuição de probabilidade (ou pelo menos supõe que seja desta forma). Com base nestas informações, o estimador MLE irá lhe fornecer os parâmetros desta distribuição de probabilidade que maximizam a chance de que esta amostra realmente siga esta distribuição! 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 18 de 47 Isso é feito pela maximização da função de verossimilhança. Suponha que uma amostra seja dada por: ܺ ൌ ݔଵǡ ݔଶ ǥݔ Assim, a função de verossimilhança (FV) será dada por: ܨܸ ൌ ܮሺߠǢ ܺሻ Ou seja, a FV busca estimar o valor do parâmetro (ou parâmetros, já que pode ser mais de um) em função dos valores da amostra. E qual o formato da função ܮሺ ?ሻ? Aí é que entra o conhecimento que você deve ter da distribuição de probabilidade que a amostra segue, esta determinará a forma desta função! Fica difícil visualizar sem um exemplo. Vamos supor que uma amostra ܺ (ܺ ൌݔଵǡ ݔଶǥݔ) siga uma distribuição normal, com média e variância desconhecidas. Vamos determinar os estimadores MLE para a média e variância desta amostra. Olha, a média (ߤ) e a variância (ߪଶ) são os parâmetros que compõem a forma funcional desta distribuição, dada por: ܮሺߤǡ ߪଶǢ ݔሻ ൌ ?ሺ ?ߨߪଶሻଶ כ ݁ି ଵଶఙమஊሺ௫ିఓሻమ Como resolver? Primeira coisa, tire o logaritmo da função: ܮ݊ሾܮሺߤǡ ߪଶǢ ݔሻሿ ൌ െ ? ?ߪଶ ȭሺݔ െ ߤሻଶ݈݊ ൭ ?ሺ ?ߨߪଶሻଶ൱ Rearranjando a expressão: ܮ݊ሾܮሺߤǡ ߪଶǢ ݔሻሿ ൌ െ ? ?ߪଶ ȭሺݔ െ ߤሻଶ െ ቀ ݊?ቁ �ሺ ?ߨߪଶሻ Pronto! Agora é mais fácil resolver. -³5HVROYHU�R�TXH��SURIHVVRU"�1mR�HVWRX�HQWHQGHQGR´� 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 19 de 47 É assim, lembram-se do conceito de derivada? E de como este instrumento permite que você encontre um ponto máximo, ou seja, que maximize uma função? É isso aí! Você tem uma amostra e uma função de distribuição, no nosso exemplo a Normal. O que nós vamos fazer é, para dados valores de ࢞, vamos encontrar os valores de média e variância que maximizam a probabilidade que tal amostra siga esta distribuição! Como se faz isso? Derive em função dos parâmetros e iguale o resultado a zero! Não se preocupe, você não precisa saber se o ponto é de máximo ou mínimo, a bancafará a questão de forma a sempre ser um ponto extremo de máximo local! Esta derivação é um pouco mais complicada, pois exige um conhecimento de derivada maior do que o já ensinado. Porém, isso não será cobrado, portanto, não mostrado! Mas, pode-se demonstrar que, ao maximizar a função nos parâmetros média e variância, encontraremos: ߤƸ ൌ ȭݔ݊ O conceito de média amostral Ou seja, o estimador da média de uma distribuição normal é a própria média amostral. E a variância? ߪଶ ൌ ሺݔ െ ߤƸሻ݊ Opa! Mas, este não é o estimador de variância amostral já conhecido por vocês da aula de Estatística. O denominador deve ser ݊ െ ?, caso contrário o mesmo será viesado! Portanto, o estimador MLE para a variância é viesado! Viram? O estimador MLE nem sempre é não viesado! Mas, o mesmo tem propriedades úteis, como: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 20 de 47 1) É consistente 2) Sua distribuição converge para a normal conforme a amostra tende ao infinito (assintoticamente normal) 3) O estimador tende a ser eficiente conforme a amostra tende ao infinito (assintoticamente eficiente) -³3URIHVVRU��PDV�SRUTXH�YRFr�HQVLQRX�RV�FRQFHitos básicos de derivada se não é tão simples aplicá-los no caso do exemplo que você mostrou? Boa! Pelo seguinte, vai saber o que dá na cabeça da banca! É praticamente impossível que eles peçam que vocês derivem uma função normal convencional. Mas, de repente, eles já te dão uma versão simplificada, que permite o cálculo dos parâmetros maximizadores da função de forma simples. Foi só para prevenir mesmo. Não precisa se preocupar muito com isso! Só para finalizarmos, como seria o estimador MLE para a probabilidade de sucesso de um evento em uma distribuição binomial. Lembram-se da distribuição binomial? É aquela em que há dois eventos possíveis, XP� FRQVLGHUDGR� ³VXFHVVR´�� FRP� SUREDELOLGDGH� , e outro, mutuamente exclusivo, FRQVLGHUDGR�³IUDFDVVR´��FRP�SUREDELOLGDGH� ? െ . Então suponha que em uma amostra com ݊ elementos, ݔ apresentam o atributo sucesso. Você consegue adivinhar qual o estimador MLE para�? ൌ ݊ݔ Ou seja, é a própria proporção deste elemento na amostra como um todo, tal como no caso da média! Simples não? É claro que não! Esta aula é muito complexa. Faça um favor a você, releia o conteúdo mais de uma vez! Vamos aos exercícios. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 21 de 47 Exercício 1 (ATRFB ± 2013/ESAF) A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 é igual a a) 3. b) 2. c) 1. d) 4. e) 5. Resolução Ora, veja que o exercício fala em amostra! Portanto, nosso estimador é: ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ܵଶ ൌ ȭሺݔ െ ݔҧሻଶ݊ െ ? A média do processo é de: ܯ±݀݅ܽ ൌ ? ? ? ? ? ? ? ൌ ? ? ? ൌ ? plicando: ܵଶ ൌ ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻଶ ሺ ? െ ?ሻଶ ? ൌ ? ? ? ൌ ? Alternativa (b). 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 22 de 47 Exercício 2 (PETROBRÁS ± 2010/CESGRANRIO) Em um conjunto de N elementos extraídos de uma população, foi utilizada o seguinte estimador para avaliar a dispersão: ࡿ ൌ ඨሺ࢞ െ ࢞ഥሻ Onde ࢞ഥ é a média aritmética dos dados. Qual o significado desta expressão? a) Desvio padrão não tendencioso da população b) Estimativa não tendenciosa do desvio padrão populacional c) Estimativa tendenciosa do desvio padrão populacional d) Estimativa tendenciosa da variância populacional e) Estimativa não tendenciosa da variância populacional Resolução Ora pessoal, esta fórmula é um estimador tendencioso do desvio padrão populacional, tal como vimos na aula. Alternativa (c). 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 23 de 47 Exercício 3 (CGU ± 2008/ESAF) Qual o estimador de máxima verossimilhança da variância de uma variável X normalmente distribuída obtido a partir de uma amostra aleatória simples X1, 2, ...,Xn��GHVWD�YDULiYHO��VHQGR�P� �Ȉi Xi / n o estimador de máxima verossimilhança da média? D��Ȉi (Xi - m)2 /(n-1) E��Ȉi (Xi - m)2 /(n-2) F��>�Ȉi (Xi - m)2 /(n-1)] 0,5 G��Ȉi (Xi - m)2 ��Ȉi (Xi - m)2 e) Ȉi (Xi - m)2 /n Resolução Nós já estudamos isso, o estimador de Máxima Verossimilhança para a variância é o valor viesado da variância: ࡿ ൌ ඨሺ࢞ െ ࢞ഥሻ Alternativa (e). (SEFAZ\RJ ± FGV/2010 - alterada) Com base em uma variável (ࢄ) que segue uma distribuição normal de média 15 e desvio padrão (࣌) 2, com uma amostra de 36 elementos, julgue as afirmativas. Exercício 4 Dado que ࢄ é normal, sua média aritmética também é. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 24 de 47 Resolução Quando uma variável tem distribuição normal, sua média aritmética tem distribuição exata normal. Alternativa correta. Exercício 5 A média amostral é um estimador tendencioso da média populacional. Resolução Errada. A média amostral, conforme nós vimo, é um estimador não tendencioso da média populacional. Exercício 6 A média aritmética de ࢄ tem desvio padrão de 1/3. Resolução Nós já conhecemos o estimador não tendencioso para a variância da média amostral, que é dado por: ܸܽݎ݅݊ܿ݅ܽ ൌ ߪଶ݊ Portanto: ܦ݁ݏݒ݅�ܲܽ݀ݎ ൌ ߪ ?݊ Substituindo os valores: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 25 de 47 ܦ݁ݏݒ݅�ܲܽ݀ݎ ൌ ߪ ?݊ ൌ ? ? ? ?� ൌ ? ?ൌ ? ? Alternativa verdadeira. Exercício 7 (PETROBRAS ± 2010/CESGRANRIO) Quando se lança uma certa moeda, a probabilidade de o resultado ser cara é p. A moeda foi lançada dez vezes, sucessivas e independentes, e o resultado foi de 2 caras e 8 coroas. Tendo em vista este experimento, a estimativa de máxima verossimilhançade p é: a)0,2 b0,25 c)0,3 d)0,35 e) 0,4 Resolução A proporção amostral é um estimador de verossimilhança da proporção populacional, assim: ൌ ? ? ?ൌ ?ǡ ? Alternativa (a). 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 26 de 47 Exercício 8 (CGU ± 2008/ESAF) Seja ࢀ um estimador do parâmetro ࣂ de uma população. Se ࡱሺࢀሻ ൌ ࣂ, diz-se que ࢀ é um estimador: a) Eficiente b) Não viesado c) Consistente d) De Mínimos Quadrados e) De Máxima Verossimilhança Resolução Outra questão tranquila, se o estimador acerta na média, ele é não viesado. Alternativa (b). (ANPEC ± 2010) Julgue as afirmativas. Exercício 9 Considere dois estimadores não tendenciosos, ࣂ e ࣂ de um parâmetro ࣂ, ࣂ é dito eficiente relativamente a ࣂ se ࢂࢇ࢘ሺࣂሻ ൏ ࢂࢇ࢘ሺࣂሻ Resolução Alternativa correta, pois, dado que ambos são não tendenciosos, o que tiver menor YDULkQFLD�VHUi�³PDLV�HILFLHQWH´� 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 27 de 47 Exercício 10 Um estimador ࣂ é um estimador consistente de ࣂ se ࣂ converge para ࣂ conforme a amostra tende ao infinito. Resolução Perfeito! Esta é a própria definição de estimador consistente. Alternativa verdadeira. Exercício 11 Um estimador ࣂ é um estimador consistente de ࣂ se, e somente se, ࣂ for não viesado. Resolução Como nós vimos na aula, um estimador não viesado é consistente, mas a recíproca não é verdadeira. Alternativa falsa. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 28 de 47 Exercício 12 (CEB ± 2009/UNIVERSA) Para saber as condições dos animais de uma fazenda, será realizada uma pesquisa por amostragem estratificada, a partir de uma amostra de 15 animais. A tabela seguinte apresenta o efetivo de animais desta fazenda: Animal Efetivo Asininos 80 Bovinos 300 Caprinos 120 Equinos 150 Suínos 250 A quantidade de bovinos e suínos a serem utilizados na pesquisa são: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 Resolução A questão não disse se trata-se de uma amostragem proporcional ou uniforme. Quando for assim, use proporcional! Do total de 900 animais, 550 são bovinos ou suínos, portanto: ? ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ? Assim, aplicando tal proporcionalidade aos 15 animais da pesquisa: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 29 de 47 ? ? ? ?ൈ ? ?ൌ ?ǡ ? Aproximadamente 9. Alternativa (e). Exercício 13 (TRT 3ª região ± 2009/FCC) O objetivo de uma pesquisa era o de se obter, relativamente aos moradores de um bairro, informações sobre duas variáveis: nível educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, todos os moradores foram entrevistados e arguídos quanto ao nível educacional, e, dentre todos os domicílios do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 moradores para informar a renda familiar. As abordagens utilizadas para as variáveis nível educacional e renda familiar foram, respectivamente, a) censo e amostragem por conglomerados. b) amostragem aleatória e amostragem sistemática. c) censo e amostragem aleatória simples. d) amostragem estratificada e amostragem sistemática. e) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios. Resolução Questão puramente teórica. Na primeira foram entrevistados todos os moradores do bairro, portanto é um Censo. No segundo caso, foram escolhidos tais indivíduos de forma aleatória, portanto é uma AAS. Alternativa (c). 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 30 de 47 (SEDUC-AM ± 2011\CESPE) Turma Média Aritmética Variância Amostral A 7,2 4 B 6,8 3,6 Um estudo foi realizado em determinada escola para se avaliar o efeito, no desempenho dos estudantes, do uso de computadores em sala de aula. Para esse estudo, foram selecionados aleatoriamente 60 alunos de determinado ano escolar, separando-os em duas turmas A e B, cada uma com 30 alunos. Ao longo de um semestre letivo, um método de ensino com auxílio de computadores foi aplicado na turma A, enquanto, nesse mesmo período, outro método sem auxílio de computadores foi aplicado na turma B. Ao final desse semestre, o mesmo teste foi aplicado para os 60 alunos participantes desse estudo. O quadro acima mostra algumas estatísticas acerca das notas obtidas pelos alunos de ambas as turmas. Considerando essas informações, acerca de probabilidade, inferência e amostragem, julgue os itens a seguir. Exercício 14 A variância amostral das notas da turma B utilizou um denominador igual a 29. Resolução Alternativa correta. Pois, o número de elementos de cada uma das turmas é de 30 alunos, assim, o denominador da variância amostral (݊ െ ?) é igual à 29. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 31 de 47 Exercício 15 Considerando que as notas da turma A estão ordenadas da menor nota para a maior nota, então a mediana dessas notas ocupa a 15.ª posição nesse rol de dados ordenados. Resolução Alternativa errada. Como há um número par de elementos em cada uma das turmas (30 alunos), a mediana será uma média aritmética entre a 15ª e 16ª nota. Exercício 16 Os alunos da turma B apresentaram desempenho mais homogêneo que os alunos da turma A, pois a variância amostral da turma B foi inferior a 4,0. Resolução Alternativa errada. Tal como vimos na aula 01, nestes casos é útil usarmos o conceito de coeficiente de variação, pois a variância é afetada pelos valores absolutos dos dados analisados. Com base no coeficiente de variação aí sim poderíamos usar o valor do desvio padrão para afirmarque uma turma tem notas mais homogêneas do que a outra. Exercício 17 O erro padrão da média das notas dos alunos da turma A foi superior a 0,40. Resolução Bom pessoal, vocês conhecem o estimador do desvio padrão da média amostral (ݏ): 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 32 de 47 ݏ ൌ ߪ ?݊ 4XDQGR�YRFr�RXYLU�³HUUR�SDGUmR´��SHQVH�HP�GHVYLR�SDGUão. A diferença é que HUUR� SDGUmR´� p� R� FDVR� QR� TXDO� QmR� WHPRV� R� YDORU� GR� GHVYLR� SDGUmR� populacional, assim, usamos o desvio padrão amostral. Assim: ݏ ൌ ? ? ? ? ?ൌ ? ? ? ?؆ ?ǡ ? ? Alternativa errada. Bom, vamos pegar mais pesado? Vamos estudar um pouquinho como se acha a esperança de um determinado estimador, pois aí poderemos provar se um determinado é ou não viesado. Isso não costuma cair em provas que não são mais específicas, mas vale a pena saber por cima. Acompanhem a questão seguinte comigo. (ANPEC ± 2003) Julgue as afirmativas Exercício 18 A média aritmética é um estimador viesado da média populacional. Resolução Bom, para provarmos isso precisamos conhecer a seguinte propriedade: ܧݏ݁ݎܽ݊ܽ�݀ܽ�ݏ݉ܽ ൌ ݏ݉ܽ�݀ܽݏ�݁ݏ݁ݎܽ݊ܽݏ Então, vamos ver a nossa fórmula de média aritmética amostral para estimarmos uma média populacional (ߤ): 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 33 de 47 ܯ±݀݅ܽ ൌ തܺ ൌ ଵܺ ܺଶ ڮ ܺ݊ Vamos tirar a esperança desta fórmula: തܺ ൌ ܧ ൬ܺଵ ܺଶ ڮ ܺ݊ ൰ O valor ݊ é constante, portanto sua esperança é igual ao seu próprio valor. Portanto, vamos tirá-lo do parêntese e aplicar nossa propriedade: തܺ ൌ ?݊ܧሺܺଵ ܺଶ ڮ ܺሻ ൌ ?݊ሾܧሺ ଵܺሻ ܧሺܺଶሻ ڮ ܧሺܺሻሿ Qual é a esperança de cada observação ܺ? Ora, é a própria média do processo! Assim: തܺ ൌ ?݊ሾߤ ߤ ڮ ߤሿ ൌ ݊݊ߤ ൌ ࣆ Ou seja, a média amostral é um estimador não viesado da média populacional. Alternativa errada. Exercício 19 Um estimador é dito não tendencioso se a sua variância é igual à variância do parâmetro estimado. Resolução Alternativa errada. Um estimador é dito não tendencioso, que é a mesma coisa que ³QmR�YLHVDGR´��VH�VXD�PpGLD�IRU�LJXDO�DR�SDUkPHWro populacional. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 34 de 47 Exercício 20 Um estimador consistente pode não ser eficiente. Resolução Alternativa verdadeira. Pois, este pode não apresentar a menor variância possível na classe de estimadores que está sendo comparado. Exercício 21 (TRT 12ª ± 2013\FCC-alterada) Julgue a afirmativa: ³Na amostragem por conglomerados, a população é dividida em grupos distintos, mutuamente exclusivos, denominados conglomerados. Usa-se a amostragem aleatória simples para selecionar uma amostra de conglomerados e depois todos os elementos dos conglomerados selecionados são analisados.´ Resolução Alternativa correta. Na amostragem por conglomerados, aplicamos a AAS para escolher os subgrupos e depois analisamos cada elemento do subgrupo escolhido. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 35 de 47 (TRT 2ª ± 2013\FCC-alterada) Julgue a afirmativa. Exercício 22 Se as unidades de estudo formam grupos naturais, a amostragem por conglomerados pode ser considerada, o que envolve selecionar uma amostra aleatória de grupos ou conglomerados e depois selecionar, de cada grupo, uma amostra aleatória simples. Resolução Alternativa errada. A ordem está invertida. No caso da amostragem por conglomerados, primeiro aplica-se a AAS para os subgrupos e depois são investigados todos os elementos de cada um. Exercício 23 Quando a amostragem estratificada é usada, a média da população é estimada como a média ponderada das médias das amostras específicas dos estratos. Resolução Correto. Dado que cada estrato escolhido é uma parte da amostra total, a média da população deve ser calculada de forma a ser uma média ponderada, levando-se em conta o ³tamanho´ de cada parcela desta amostra. Porém, caso a amostragem seja uniforme, uma média aritmética simples funciona, dado que todas tem o mesmo tamanho. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 36 de 47 Exercício 24 (MTUR ± ESAF\2014) Com relação à amostragem, pode-se afirmar que: a) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra não probabilística na qual divide-se a população em subgrupos e determina-se uma quota (proporcional) a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais obedece o critério de uma amostra sistemática. b) na amostragem estratificada, divide-se a população em grupos (ou classes, ou estratos), de modo que os elementos pertencentes ao mesmo estrato sejam o mais heterogêneos possível com respeito à característica em estudo. Para cada grupo toma-se uma subamostra pelo procedimento a.a.s., e a amostra global é o resultado da combinação das subamostras de todos os estratos. c) na amostragem por conglomerados, seleciona-se primeiro, ao acaso, grupos (conglomerados) de elementos individuais da população. A seguir, toma-se ou todos os elementos ou uma subamostra de cada conglomerado. Nos conglomerados, as diferenças entre eles devem ser tão grandes quanto possível, enquanto as diferenças dentro devem ser tão pequenas quanto possível. d) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra probabilística na qual divide-se a população em subgrupos e determina-se uma quota (proporcional) a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais é por sorteio. e) na amostragem sistemática, toma-se cada k-ésima unidade da população previamente ordenada, em que k é a razão de amostragem. O procedimento deve começar ao acaso, sorteando-se um número entre 1 e k. Resolução Vamos avaliar uma por uma: 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br37 de 47 a)Realmente é uma amostra não probabilística e que determina-se uma quota proporcional a cada subgrupo da população. Mas, a seleção não é feita com basem em amostragem sistemática, método que é probabilístico. b)Os estratos devem ser dividos de forma que sejam o mais homogêneos possível, isso permite inferir o que queremos saber de cada uma desta divisões. c)Ao escolher um conglomerado, todos os elementos dentro dele devem ser observados. d)A amostragem por quotas não é probabilística. e)Definição correta. Alternativa (e). 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 38 de 47 Lista de exercícios resolvidos Exercício 1 (ATRFB ± 2013/ESAF) A variância da amostra formada pelos valores 2, 3, 1, 4, 5 e 3 é igual a a) 3. b) 2. c) 1. d) 4. e) 5. Exercício 2 (PETROBRÁS ± 2010/CESGRANRIO) Em um conjunto de N elementos extraídos de uma população, foi utilizada o seguinte estimador para avaliar a dispersão: ࡿ ൌ ඨሺ࢞ െ ࢞ഥሻ Onde ࢞ഥ é a média aritmética dos dados. Qual o significado desta expressão? a) Desvio padrão não tendencioso da população b) Estimativa não tendenciosa do desvio padrão populacional c) Estimativa tendenciosa do desvio padrão populacional d) Estimativa tendenciosa da variância populacional e) Estimativa não tendenciosa da variância populacional 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 39 de 47 Exercício 3 (CGU ± 2008/ESAF) Qual o estimador de máxima verossimilhança da variância de uma variável X normalmente distribuída obtido a partir de uma amostra aleatória simples X1, 2, ...,Xn��GHVWD�YDULiYHO��VHQGR�P� �Ȉi Xi / n o estimador de máxima verossimilhança da média? D��Ȉi (Xi - m)2 /(n-1) E��Ȉi (Xi - m)2 /(n-2) F��>�Ȉi (Xi - m)2 /(n-1)] 0,5 G��Ȉi (Xi - m)2 ��Ȉi (Xi - m)2 e) Ȉi (Xi - m)2 /n (SEFAZ\RJ ± FGV/2010 - alterada) Com base em uma variável (ࢄ) que segue uma distribuição normal de média 15 e desvio padrão (࣌) 2, com uma amostra de 36 elementos, julgue as afirmativas. Exercício 4 Dado que ࢄ é normal, sua média aritmética também é. Exercício 5 A média amostral é um estimador tendencioso da média populacional. Exercício 6 A média aritmética de ࢄ tem desvio padrão de 1/3. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 40 de 47 Exercício 7 (PETROBRAS ± 2010/CESGRANRIO) Quando se lança uma certa moeda, a probabilidade de o resultado ser cara é p. A moeda foi lançada dez vezes, sucessivas e independentes, e o resultado foi de 2 caras e 8 coroas. Tendo em vista este experimento, a estimativa de máxima verossimilhança de p é: a)0,2 b0,25 c)0,3 d)0,35 e) 0,4 Exercício 8 (CGU ± 2008/ESAF) Seja ࢀ um estimador do parâmetro ࣂ de uma população. Se ࡱሺࢀሻ ൌ ࣂ, diz-se que ࢀ é um estimador: a) Eficiente b) Não viesado c) Consistente d) De Mínimos Quadrados e) De Máxima Verossimilhança (ANPEC ± 2010) Julgue as afirmativas. Exercício 9 Considere dois estimadores não tendenciosos, ࣂ e ࣂ de um parâmetro ࣂ, ࣂ é dito eficiente relativamente a ࣂ se ࢂࢇ࢘ሺࣂሻ ൏ ࢂࢇ࢘ሺࣂሻ 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 41 de 47 Exercício 10 Um estimador ࣂ é um estimador consistente de ࣂ se ࣂ converge para ࣂ conforme a amostra tende ao infinito. Exercício 11 Um estimador ࣂ é um estimador consistente de ࣂ se, e somente se, ࣂ for não viesado. Exercício 12 (CEB ± 2009/UNIVERSA) Para saber as condições dos animais de uma fazenda, será realizada uma pesquisa por amostragem estratificada, a partir de uma amostra de 15 animais. A tabela seguinte apresenta o efetivo de animais desta fazenda: Animal Efetivo Asininos 80 Bovinos 300 Caprinos 120 Equinos 150 Suínos 250 A quantidade de bovinos e suínos a serem utilizados na pesquisa são: a) 5 b) 6 c) 7 d) 8 e) 9 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 42 de 47 Exercício 13 (TRT 3ª região ± 2009/FCC) O objetivo de uma pesquisa era o de se obter, relativamente aos moradores de um bairro, informações sobre duas variáveis: nível educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, todos os moradores foram entrevistados e arguídos quanto ao nível educacional, e, dentre todos os domicílios do bairro, foram selecionados aleatoriamente 300 moradores para informar a renda familiar. As abordagens utilizadas para as variáveis nível educacional e renda familiar foram, respectivamente, a) censo e amostragem por conglomerados. b) amostragem aleatória e amostragem sistemática. c) censo e amostragem aleatória simples. d) amostragem estratificada e amostragem sistemática. e) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios. (SEDUC-AM ± 2011\CESPE) Turma Média Aritmética Variância Amostral A 7,2 4 B 6,8 3,6 Um estudo foi realizado em determinada escola para se avaliar o efeito, no desempenho dos estudantes, do uso de computadores em sala de aula. Para esse estudo, foram selecionados aleatoriamente 60 alunos de determinado ano escolar, separando-os em duas turmas A e B, cada uma com 30 alunos. Ao longo de um semestre letivo, um método de ensino com auxílio de computadores foi aplicado na turma A, enquanto, nesse mesmo período, outro método sem auxílio de computadores foi aplicado na turma B. Ao final desse semestre, o mesmo teste foi aplicado para os 60 alunos participantes desse 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 43 de 47 estudo. O quadro acima mostra algumas estatísticas acerca das notas obtidas pelos alunos de ambas as turmas. Considerando essas informações,acerca de probabilidade, inferência e amostragem, julgue os itens a seguir. Exercício 14 A variância amostral das notas da turma B utilizou um denominador igual a 29. Exercício 15 Considerando que as notas da turma A estão ordenadas da menor nota para a maior nota, então a mediana dessas notas ocupa a 15.ª posição nesse rol de dados ordenados. Exercício 16 Os alunos da turma B apresentaram desempenho mais homogêneo que os alunos da turma A, pois a variância amostral da turma B foi inferior a 4,0. Exercício 17 O erro padrão da média das notas dos alunos da turma A foi superior a 0,40. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 44 de 47 Bom, vamos pegar mais pesado? Vamos estudar um pouquinho como se acha a esperança de um determinado estimador, pois aí poderemos provar se um determinado é ou não viesado. Isso não costuma cair em provas que não são mais específicas, mas vale a pena saber por cima. Acompanhem a questão seguinte comigo. (ANPEC ± 2003) Julgue as afirmativas Exercício 18 A média aritmética é um estimador viesado da média populacional. Exercício 19 Um estimador é dito não tendencioso se a sua variância é igual à variância do parâmetro estimado. Exercício 20 Um estimador consistente pode não ser eficiente. Exercício 21 (TRT 12ª ± 2013\FCC-alterada) Julgue a afirmativa: ³Na amostragem por conglomerados, a população é dividida em grupos distintos, mutuamente exclusivos, denominados conglomerados. Usa-se a amostragem aleatória simples para selecionar uma amostra de conglomerados e depois todos os elementos dos conglomerados selecionados são analisados.´ 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 45 de 47 (TRT 2ª ± 2013\FCC-alterada) Julgue as afirmativas. Exercício 22 Se as unidades de estudo formam grupos naturais, a amostragem por conglomerados pode ser considerada, o que envolve selecionar uma amostra aleatória de grupos ou conglomerados e depois selecionar, de cada grupo, uma amostra aleatória simples. Exercício 23 Quando a amostragem estratificada é usada, a média da população é estimada como a média ponderada das médias das amostras específicas dos estratos. Exercício 24 (MTUR ± ESAF\2014) Com relação à amostragem, pode-se afirmar que: a) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra não probabilística na qual divide-se a população em subgrupos e determina-se uma quota (proporcional) a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais obedece o critério de uma amostra sistemática. b) na amostragem estratificada, divide-se a população em grupos (ou classes, ou estratos), de modo que os elementos pertencentes ao mesmo estrato sejam o mais heterogêneos possível com respeito à característica em estudo. Para cada grupo toma-se uma subamostra pelo procedimento a.a.s., e a amostra global é o resultado da combinação das subamostras de todos os estratos. c) na amostragem por conglomerados, seleciona-se primeiro, ao acaso, grupos (conglomerados) de elementos individuais da população. A seguir, toma-se ou todos os elementos ou uma subamostra de cada conglomerado. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 46 de 47 Nos conglomerados, as diferenças entre eles devem ser tão grandes quanto possível, enquanto as diferenças dentro devem ser tão pequenas quanto possível. d) na amostragem por quotas, tem-se uma amostra probabilística na qual divide-se a população em subgrupos e determina-se uma quota (proporcional) a cada subgrupo. A seleção dos objetos individuais é por sorteio. e) na amostragem sistemática, toma-se cada k-ésima unidade da população previamente ordenada, em que k é a razão de amostragem. O procedimento deve começar ao acaso, sorteando-se um número entre 1 e k. 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping Estatística p/ ICMS-PE Teoria e exercícios comentados Prof. Jeronymo Marcondes ʹ Aula 06 Prof. Jeronymo Marcondes www.estrategiaconcursos.com.br 47 de 47 1-b 2-c 3-e 4-V 5-F 6-V 7-a 8-b 9-V 10-V 11-F 12-e 13-c 14-V 15-F 16-F 17-F 18-F 19-F 20-V 21-V 22-F 23-V 24-e É isso aí pessoal! Mandem dúvidas. Um abraço e bons estudos jeronymo@estrategiaconcursos.com.br 83395105172 . Edited with the trial version of Foxit Advanced PDF Editor To remove this notice, visit: www.foxitsoftware.com/shopping
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