Exercícios Viscosidade Resouvido

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Disciplina: 
Fenômenos de Transporte (FT) 
3º/4º. semestres 
Exercícios Resolvidos 
Capítulo 1 – Viscosidade e Força de Atrito Viscoso 
Curso: Engenharia/Básico 
prof. Gilberto F. de Lima 
Roteiro para resolução dos exercícios deste tópico: 
 
1) Levantamento dos dados fornecidos no enunciado e nas figuras. 
 
2) Padronização das unidades desses dados. Recomendo converter todas para o SI. 
 
3) Identificação precisa dos resultados pedidos no exercício. 
 
4) Mapeamento de todas as forças relevantes atuantes no sistema. 
 
5) Levantamento das expressões matemáticas (fórmulas) que relacionam os parâmetros 
fornecidos e os solicitados. 
 
6) Elaborar uma sequência de passos para, partindo dos dados fornecidos e usando as 
expressões conhecidas, chegar aos resultados pedidos. Ou seja, preparar uma estratégia 
para a resolução do problema. Quer dizer, raciocinar. 
 
7) Realização dos cálculos matemáticos necessários. 
 Atenção especial à compatibilidade das unidades de medida e à obtenção das 
unidades finais corretas. 
 Recomendo fazer todos os cálculos no SI e converter apenas o resultado final para 
algum outro sistema de unidades, se o exercício solicitar. 
(a partir da pág. 25) 
Dados: 
ε = 2 mm = 2 × 10 –3 m; 
μ = 9,8 cP = 9,8 × 10 –3 N.s/m2; 
vo = 2 m/s; 
A = 3 m2 
 
Questões: 
τ = ? 
Fpropulsora = ? 
vo 
𝜏 = 
𝜇. v𝑜
𝜀
 ⟹ 𝜏 = 
(9,8 × 10−3 𝑁.
𝑠
𝑚2
) ∙ (2
𝑚
𝑠 )
2 × 10−3 𝑚
 ⟹ 𝜏 = 9,8 𝑁/𝑚2 
Resolução: 
 
 A Tensão de Cisalhamento (τ ) já pode ser determinada: 
 E, como: 1 kgf = 9,8 N ⟹ τ = 1 kgf/m2 
 Sabemos que: 𝜏 = 
𝐹𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜
𝐴
 ⟹ 𝐹𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 𝜏. 𝐴, 
𝐹𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 1 kgf/𝑚
2 . 3 𝑚2 ⟹ 𝐹𝑐𝑖𝑠𝑎𝑙ℎ𝑎𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜 = 3 kgf 
portanto: 
Fpropulsora 
Fcisalhamento 
Fviscosa 
vo 
vo 
v = 0 
Como vo = constante ⟹ a = 0, portanto: 
 𝑭𝒊,𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂 = 𝟎 ⟹ 𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐𝒓𝒂 − 𝑭𝐯𝐢𝐬𝐜𝐨𝐬𝐚 = 𝟎 ⟹ 𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐𝒓𝒂 = 𝑭𝐯𝐢𝐬𝐜𝐨𝐬𝐚 
Mas, Fviscosa = Fcisalhamento = 3 kgf Portanto, 𝑭𝒑𝒓𝒐𝒑𝒖𝒍𝒔𝒐𝒓𝒂 = 3 kgf 
 Identificando as forças atuantes no sistema: 
 De agora em diante representaremos: 
 
 
 Fpropulsora = Fprop (é a força que movimenta o objeto); 
 
 
 
 
 Fcisalhamento = Ft (é a força sobre o fluido produzida pelo objeto 
 em movimento); 
 
 
 
 Fviscosa = Fv (é a força aplicada ao objeto pelo fluido; corresponde 
 à resistência do fluido ao movimento do objeto) 
Dados: 
ε = 0,5 cm = 5 × 10 –3 m; 
μ = 0,008 Pa.s = 8 × 10 –3 N.s/m2; 
𝜏 = 0,08 kgf/m2 ≅ 0,8 N/m2 
 
Questão: 
vo = ? 
𝜏 = 
𝜇v𝑜
𝜀
 
Resolução: 
 
 
 A Tensão de Cisalhamento (τ ) é dada por: 
⟹ v𝑜= 
𝜏. 𝜀
𝜇
 ⟹ v𝑜= 
(0,8 𝑁/𝑚2). (5 × 10−3 𝑚)
8 × 10−3𝑁. 𝑠/𝑚2
 
⟹ v𝑜 = 0,5 𝑚/𝑠 
VO 
Dados: 
L = 1,0 m; 
d = 0,8 m; 
m = 4 kg; 
ε = 1 mm = 1 × 10 –3 m; 
vo = 1 m/s; 
φ = 20o; 
g = 10 m/s2 
 
Questões: 
μ = ? 
Ft = ? 
FLUIDO μ 
Resolução: 
 
 Inicialmente determinaremos as forças que atuam no sistema: 
G.sen 𝛗 
Ft 
Fv 
VO 
Como vo = constante ⟹ a = 0, portanto: 
⟹ 𝑮. 𝒔𝒆𝒏 𝝋 − 𝑭𝐯 = 𝟎 
⟹ 𝑭𝐯 = 𝑮. 𝒔𝒆𝒏 𝝋 
 𝑭𝒊,𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂 = 𝟎 
Mas, Fv = Ft , então 
 𝑭𝒕 = 𝑮. 𝒔𝒆𝒏 𝝋 ⟹ 𝑭𝒕 = 𝒎. 𝐠. 𝒔𝒆𝒏 𝝋 
⟹ 𝑭𝒕 = 𝟒 𝐤𝐠 𝟏𝟎 𝒎/𝒔
𝟐 . 𝒔𝒆𝒏 𝟐𝟎𝒐 
⟹ 𝑭𝒕= 𝟏𝟑, 𝟕 𝐍 
N 
⟹ 𝝁 =
𝜺 ∙ 𝑭𝒕
𝐯𝒐 ∙ 𝑨
 
onde usamos o fato que a placa é retangular, portanto: A = L∙d 
Finalmente: 
𝝁 =
𝟏 × 𝟏𝟎−𝟑 𝒎 . (𝟏𝟑, 𝟕 𝑵)
𝟏
𝒎
𝒔 . 𝟏, 𝟎 𝒎 . (𝟎, 𝟖 𝒎) 
 ⟹ 𝝁 = 𝟎, 𝟎𝟏𝟕 𝑵. 𝒔/𝒎𝟐 
m2 
Mas sabemos que: 
 𝑭𝒕 =
𝝁 ∙ 𝐯𝒐 ∙ 𝑨
𝜺
 ⟹ 𝝁 =
𝜺 ∙ 𝑭𝒕
𝐯𝒐 ∙ 𝑳 ∙ 𝒅
 
FLUIDO 
VO 
Dados: 
L = 0,8 m 
A = L2 = (0,8 m)2 = 0,64 m2 (placa quadrada) 
μ = 0,01 Pa.s = 0,01 N.s/m2; 
m = 2 kg; 
ε = 3 mm = 3 × 10 –3 m; 
 
Questão: 
vo = ? 
 
Resolução: 
 
 Inicialmente determinaremos as forças que atuam no sistema: 
VO 
G.sen 45o 
Ft1 
Ft2 
Fv1 
Fv2 
 Como os parâmetros das 
duas camadas de óleo são 
idênticos (mesma viscosidade e 
mesma espessura), e como as 
áreas da placa em contato com 
essas camadas também 
são iguais, então as duas 
forças de cisalhamento são 
iguais, assim como as 
duas forças de atrito viscoso: 
Ft1 = Ft2 = Ft 
e Fv1 = Fv2 = Fv 
𝐯𝒐 =
(𝟑 × 𝟏𝟎−𝟑 𝒎). (𝟐 𝒌𝒈). (𝟏𝟎
𝒎
𝒔𝟐
). (𝟎, 𝟕)
𝟐(𝟎, 𝟎𝟏 𝑵.
𝒔
𝒎𝟐
). (𝟎, 𝟔𝟒 𝒎𝟐) 
 
 Como vo = constante ⟹ a = 0, portanto: 
 𝑭𝒊,𝒑𝒍𝒂𝒄𝒂 = 𝟎 𝑮. 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓° − 𝟐. 𝑭𝐯 = 𝟎 
Mas, 𝑭𝐯 = Ft , 
⟹ 
⟹ 
𝝁. 𝑨. 𝐯𝒐
𝜺
=
𝑮. 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓°
𝟐
 portanto: 
𝐯𝒐 =
𝜺.𝑮. 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓°
𝟐𝝁. 𝑨
 ou seja: 𝐯𝒐 =
𝜺.𝒎. 𝐠. 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓°
𝟐𝝁. 𝑨
 ⟹ 
Finalmente: 
𝐯𝒐 = 𝟑, 𝟑 𝒎/𝒔 ⟹ 
N 
 𝑭𝒕=
𝑮. 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓°
𝟐
 
⟹ 𝑭𝐯=
𝑮. 𝒔𝒆𝒏 𝟒𝟓°
𝟐
 
∅ 
L 
ε 
Dados: 
m = 5 kg; 
∅ = 300 mm = 0,3 m; 
L = 400 mm = 0,4 m; 
ε = 0,2 mm = 2 × 10 –4 m; 
μ = 0,8 N.s/m2; 
g = 10 m/s2 
 
Questão: 
vo = ? 
Resolução: 
 
 Inicialmente determinaremos as forças que atuam no sistema 
G Ft 
Fv Como vo = constante ⟹ a = 0, portanto: 
 𝑭𝒊,ê𝒎𝒃𝒐𝒍𝒐 = 𝟎 ⟹ 𝑭𝐯 − 𝑮 = 𝟎 
 ⟹ 𝑭𝐯 = 𝑮 
Mas, 𝑭𝐯 = Ft , 
𝝁. 𝑨. 𝐯𝒐
𝜺
= 𝒎. 𝐠 
portanto: 𝑭𝒕 = 𝑮 
⟹ 𝐯𝒐 =
𝜺.𝒎. 𝐠
𝝁. 𝑨
 
ou seja: 
 A área que deve ser usada neste cálculo é a da lateral do cilindro, pois esta é a única 
superfície do êmbolo em contato com o óleo (a base e o topo do êmbolo não são 
banhados pelo fluido neste exercício). 
 
 Se planificamos a superfície externa de um cilindro obtemos a seguinte figura: 
R 
L 
2πR = π∅ 
A área lateral de um cilindro 
corresponde portanto à área de um 
retângulo: 
 
 Alat.cil. = 2πRL 
 
 ou 
 
 Alat.cil. = π∅L 
 
⟹ 𝐯𝒐=
𝜺.𝒎. 𝐠 
𝝁. 𝝅. ∅. 𝑳 
 
Finalmente: 𝐯𝒐 =
𝟐 × 𝟏𝟎−𝟒 𝒎 . 𝟓 𝒌𝒈 . 𝟏𝟎 𝒎/𝒔𝟐 
𝟎, 𝟖 𝑵.
𝒔
𝒎𝟐
(𝟑, 𝟏𝟒) 𝟎, 𝟑 𝒎 (𝟎, 𝟒 𝒎) 
 
⟹ 𝐯𝒐= 𝟎, 𝟎𝟑𝟑𝟐 𝒎/𝒔 
N 
⟹ 𝐯𝒐= 𝟑, 𝟑𝟐 𝒄𝒎/𝒔 
m2 
Portanto, na expressão da velocidade teremos: 
𝐯𝒐 =
𝜺.𝒎. 𝐠
𝝁. 𝑨
 
Dados: 
∅ = 300 mm = 0,3 m; 
L = 100 mm = 0,1 m; 
ε = 0,06 mm = 6 × 10 –5 m; 
μ = 0,25 × 10–2 N.s/m2; 
f = 2800 rpm = 46,7 Hz 
 
Questões: 
Mv = ? 
τ = ? 
Resolução: 
 
 Inicialmente converteremos o valor da frequência (f ) dada para sua unidade SI que é o 
hertz (Hz): 
 
𝑓 = 2800 𝑟𝑝𝑚 = 2800
𝑟𝑜𝑡.
𝑚𝑖𝑛
=
2800 𝑟𝑜𝑡.
60 𝑠
= 46,7 𝑟𝑜𝑡/𝑠 
⟹ 𝑓 = 46,7 𝐻𝑧 
Podemos então determinar a velocidade angular (ω ) de rotação através da relação: 
𝜔 = 2𝜋𝑓 ⟹ 𝜔 = 2(3,14)(46,7 𝐻𝑧) 
⟹ 𝜔 = 293,3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Esta velocidade angular é constante neste movimento (ω = ωo ). 
 Agora podemos determinar as forças e os torques atuantes no cilindro em rotação: 
⨀ Fprop 
⨂ Fv 
⨀ Ft 
Mprop 
Mt 
Mat 
 Como sempre: Fv = Ft, ou seja: 𝐹v = 𝐹𝑡=
𝜇. 𝐴. v𝑜 
𝜀
 
 Aqui devemos observar que: 
 
a) vo é a velocidade tangencial da superfície do cilindro 
(velocidade periférica). 
𝜔𝑜 =
v𝑜
𝑅
 ⟹ v𝑜= 𝜔𝑜 . 𝑅 ⟹v𝑜= 𝜔𝑜 .
∅
2
 
⟹ v𝑜=
(293,3 𝑟𝑎𝑑/𝑠)(0,3 𝑚)
2 
 ⟹ v𝑜= 44 𝑚/𝑠 
∅ 
vo Não sabemos o seu valor, mas podemos obtê-lo 
lembrando que: 
 Esta é a velocidade usada porque é a superfície 
externa do cilindro que tem contato com o fluido. 
vo vo 
vo 
𝐴 = 𝐴𝑙𝑎𝑡.𝑐𝑖𝑙. = 2𝜋𝑅𝐿 ⟹ 𝐴 = 𝜋∅𝐿 
⟹ 𝐴 = (3,14)(0,3 𝑚)(0,1 𝑚) ⟹ 𝐴 = 0,094 𝑚2 
b) A área é novamente a da lateral de um cilindro: 
Portanto: 
⟹ 𝐹𝑡=
(0,25 × 10−2 𝑁. 𝑠/𝑚2)(0,094 𝑚2)( 44 𝑚/𝑠)
6 × 10−5 𝑚
 𝐹𝑡=
𝜇. 𝐴. v𝑜 
𝜀
 
⟹ 𝐹𝑡= 172,3 𝑁 
𝜏 =
𝐹𝑡
𝐴
 ⟹ 𝜏 =
172,3 𝑁
0,094 𝑚2
 ⟹ 𝜏 = 1833,3 𝑁/𝑚
2 
 Daqui já podemos obter a tensão de cisalhamento: 
 Lembremos agora que o torque é calculado como: 
 
 M = F∙b 
 
onde b é o “braço de alavanca”, a menor distância entre o ponto de aplicação da força 
e o centro de rotação (pivô ou eixo). 
 Neste caso, o cilindro gira em torno do seu eixo de simetria longitudinal (axial), 
portanto, o braço de alavanca é o próprio raio (R ) desse cilindro: 
∅ 
Fprop 
R 
Fat 
𝑏 = 𝑅 =
∅
2
 
 Portanto, o torque resistente (torque da força viscosa) será obtido através da 
relação: 
 𝑀v= 𝐹v ∙ 𝑅 ⟹ 𝑀v= 𝐹v ∙
∅
2
 
⟹ 𝑀v=
(172,3 𝑁) ∙ (0,3 𝑚)
2
 
⟹ 𝑀v= 25,85 𝑁.𝑚 
Mas como Fv = Ft , então: 
𝑀v = 𝐹𝑡 ∙
∅
2
 
Dados: 
f = 1300 rpm = 21,7 Hz 
𝜈 = 0,003m2/s; 
ρ = 850 kg/m3; 
∅ = 70 mm = 0,07 m; 
L = 500 mm = 0,5 m; 
ε = 0,1 mm = 1 × 10 –4 m; 
 
Questão: 
Mprop = ? 
Resolução: 
 
 Inicialmente converteremos o valor da frequência (f ) dada para sua unidade SI que 
é o hertz (Hz): 
 
𝑓 = 1300 𝑟𝑝𝑚 = 1300
𝑟𝑜𝑡.
𝑚𝑖𝑛
=
1300 𝑟𝑜𝑡.
60 𝑠
= 21,7 𝑟𝑜𝑡/𝑠 
⟹ 𝑓 = 21,7 𝐻𝑧 
 Podemos então agora determinar a velocidade angular (ω ) de rotação através da 
relação: 
𝜔 = 2𝜋𝑓 ⟹ 𝜔 = 2(3,14)(21,7 𝐻𝑧) 
⟹ 𝜔 = 136,3 𝑟𝑎𝑑/𝑠 
Esta velocidade angular é constante neste movimento (ω = ωo ). 
 Agora podemos determinar as forças e os torques atuantes no cilindro em rotação: 
⨀Fprop ⨂ Fv 
⨀ Ft 
Mt 
Mv 
Mprop 
 Como temos uma rotação com velocidade angular constante, isto significa que a 
aceleração angular (α ) é nula: 
 
 ω = ωo = constante ⟹ α = 0 
 
 
 Portanto, o torque resultante sobre o cilindro deve ser nulo: 
⟹ 𝑀𝑝𝑟𝑜𝑝 −𝑀v = 0 𝑀𝑖,𝑐𝑖𝑙𝑖𝑛𝑑𝑟𝑜 = 0 ⟹ 𝑀𝑝𝑟𝑜𝑝 = 𝑀v 
 Mas, Mv = Mt , já que Fv = Ft , e o braço de alavanca é o mesmo para estas 
duas forças, no caso, o raio (R ) do cilindro: 
 𝑀v = 𝑀𝑡 = 𝐹𝑡 ∙ 𝑅 ⟹ 𝑀v = 𝐹𝑡 ∙
∅
2
 
 Portanto, 
𝑀𝑝𝑟𝑜𝑝 = 𝑀v ⟹ 𝑀𝑝𝑟𝑜𝑝= 𝐹𝑡 ∙
∅
2
 ⟹ 𝑀𝑝𝑟𝑜𝑝=
𝜇. 𝐴. v𝑜 
𝜀
∙
∅
2
 
 Novamente, a área a ser utilizada é a da lateral do cilindro: 
𝐴 = 𝐴𝑙𝑎𝑡.𝑐𝑖𝑙. = 2𝜋𝑅𝐿 ⟹ 𝐴 = 𝜋∅𝐿 
⟹ 𝐴 = (3,14)(0,07 𝑚)(0,5 𝑚) ⟹ 𝐴 = 0,11 𝑚2 
E a velocidade vo é a da superfície externa do cilindro: 
v𝑜 = 𝜔𝑜 ∙ 𝑅 ⟹ v𝑜= 𝜔𝑜 ∙
∅
2
 
⟹ v𝑜=
(136,3 𝑟𝑎𝑑/𝑠)(0,07 𝑚)
2 
 ⟹ v𝑜= 4,77 𝑚/𝑠 
 Neste exercício foi fornecido ainda a viscosidade cinemática (ν ) do fluido, ou seja: 
𝜈 =
𝜇
𝜌
 ⟹ 𝜇 = 𝜈. 𝜌 
⟹ 𝜇 = (0,003 𝑚2/𝑠)(850 𝑘𝑔/𝑚3) ⟹ 𝜇 = 2,55 𝑁. 𝑠/𝑚2 
 Finalmente: 𝑀𝑝𝑟𝑜𝑝 =
𝜇. 𝐴. v𝑜 
𝜀
∙
∅
2
 
⟹ 𝑀𝑝𝑟𝑜𝑝=
(2,55 𝑁. 𝑠/𝑚2)(0,11 𝑚2)(4,77 𝑚/𝑠)(0,07 𝑚)
2(1 × 10−4 𝑚)
 
⟹ 𝑀𝑝𝑟𝑜𝑝= 468,3 𝑁.𝑚