Fundamentos de Matemática Elementar: Funções Trigonométricas e Gráficos

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Fundamentos de Matema´tica Elementar
Lista 7: Func¸o˜es trigonome´tricas e movimentos de gra´ficos
1. Considere a tabela referente a` func¸a˜o f(x):
x −2 −1 0 1 2
f(x) −3 0 2 1 −1
Complete as tabelas das func¸o˜es dadas abaixo:
(a)
x −1 0 1 2 3
g(x) = f(x− 1)
(b)
x −3 −2 −1 0 1
h(x) = f(x+ 1)
(c)
x −2 −1 0 1 2
k(x) = f(x) + 3
(d)
x −1 0 1 2 3
m(x) = f(x− 1) + 3
2. O domı´nio da func¸a˜o g(x) e´ −2 < x < 7. Determine o domı´nio de g(x− 2).
3. A imagem da func¸a˜o g(x) e´ −1 6 g(x) 6 1. Determine a imagem de 4g(x), g(x) − 2,
| g(x) |,
1
3
g(x)
1
4. Usando translac¸o˜es de gra´ficos, escreva a fo´rmula para cada func¸a˜o f(x), cujo gra´fico e´ dado
a seguir:
−2 2 4 6
−6
−4
−2
2
4
0
Func¸a˜o quadra´tica
−5 −4 −3 −2 −1 1 2
1
2
3
4
5
0
Func¸a˜o quadra´tica
Func¸a˜o modular
−2 −1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
1
2
3
4
5
0
Func¸a˜o definida por partes
5. Seja f(x) =
√
x. Esboce o gra´fico de f(x), f(x) − 3, f(x+ 2) e −f(x).
6. Seja f(x) = x2 − 2x+ 1. Esboce o gra´fico de f(x+ 1) − 3.
7. Considere a tabela de f(x) abaixo e complete as tabelas para as demais func¸o˜es:
x −2 −1 0 1 2
f(x) −3 0 2 1 −1
x −1 0 1 2 3
g(x) = f(x− 1)
x −3 −2 −1 0 1
h(x) = f(x+ 1)
2
x −2 −1 0 1 2
k(x) = f(x) + 3
x −1 0 1 2 3
m(x) = f(x− 1) + 3
8. Observe nos exemplos que seguem os gra´ficos de f(x) e −f(x):
−1 1 2 3 4
−3
−2
−1
1
2
3
0
f(x)
−f(x)
−2 −1 1 2
−1
1
0
f(x)
−f(x)
−1 1 2
−2
−1
1
2
0
f(x)
−f(x)
−4 −3 −2 −1 1 2 3
−1
1
0
f(x)
−f(x)
(a) Qual e´ a relac¸a˜o entre f(x) e −f(x)?
(b) Use as suas observac¸o˜es para esboc¸ar o gra´fico de:
i. f(x) = −2x ii. f(x) = −x2 iii. f(x) = −sen x
9. Para cada func¸a˜o f(x) do exerc´ıcio 4, esboce o gra´fico de:
(a) α(x) = f(x− 1) + 2 (b) β(x) = −f(x+ 1) (c) γ(x) = 2f(x) − 3
10. Se um avia˜o levanta voˆo mantendo uma inclinac¸a˜o de 10◦, a que distaˆncia ele estara´ do
ponto de onde partiu quando alcanc¸ar uma altura de 4km?
11. Numa fazenda, ha´ uma esteira agr´ıcola para gra˜os inclinada em 45◦. Determine a altura
ma´xima que ela pode atingir, sabendo que o seu comprimento e´ igual a 5 m.
3
12. A pipa de uma crianc¸a faz um aˆngulo de 45◦ com a horizontal. A que altura ele esta´ do
cha˜o, sabendo que a linha tem 100 metros de comprimento?
13. Paula observa da rua a sua amiga que esta´ na janela de um apartamento sob um aˆngulo
de 60◦. Afastando 10 metros, ela veˆ a sua amiga sob um aˆngulo de 45◦. Determine a que
altura o apartamento da amiga de Paula esta´ do cha˜o.
14. Ao construir uma casa, um pedreiro a`s vezes usa termos como “o caimento do telhado e´ de
30%”. Isto significa que para cada metro que se avanc¸a horizontalmente, deve-se subir 30%
(de 1 metro) na vertical, isto e´ 0,30 cm. Se a inclinac¸a˜o do telhado em relac¸a˜o a` horizontal
for x = 30◦, de quanto sera´ o caimento do telhado?
15. Ao construir uma rua, um engenheiro percebe que “ha´ uma rampa de 25%”. Isto quer
dizer que, na medida em que o motorista avanc¸a 1 m, a estrada eleva em 25% (de 1 metro)
= 25cm. Uma inclinac¸a˜o de 10◦ na estrada equivale a qual porcentagem?
16. Calcule, em radianos, a medida do aˆngulo central correspondente a um arco de comprimento
15 cm contido numa circunfereˆncia de raio 3 cm.
17. O ponteiro dos minutos de um relo´gio de parede mede 12 cm. Quantos cent´ımetros sua
extremidade percorre durante 25 minutos?
18. Um peˆndulo tem 15 cm de comprimento e, no seu movimento, suas posic¸o˜es externas
formam um aˆngulo de 60◦. Qual e´ o comprimento do arco que a extremidade do peˆndulo
descreve?
19. Descubra a 1a determinac¸a˜o, ou seja, o menor valor na˜o negativo coˆngruo ao arco de:
(a) 685◦
(b) 780◦
(c) 1.140◦
(d) 850◦
(e) 400◦
(f) 1.310◦
(g) −560◦
(h) −340◦
(i) −3.000◦
(j)
15pi
2
rad
(k)
10pi
3
rad
(l)
23pi
6
rad
(m)
9pi
2
rad
(n)
17pi
4
rad
(o)
55pi
6
rad
20. Em que quadrante esta˜o os aˆngulos:
(a) 2 rad (b) 3 rad (c) −2, 5 rad
21. Considere as fo´rmulas que seguem:
ˆ sen (a+ b) = sena · cosb+ senb · cosa
ˆ sen (a− b) = sena · cosb− senb · cosa
ˆ cos(a+ b) = cosa · cosb− sena · senb
ˆ cos(a− b) = cosa · cosb+ sena · senb
Use-as para determinar o valor de:
(a) cos 75◦ (b) sen 15◦ (c) sen 105◦ (d) cos 285◦
4
22. Use movimentos de gra´ficos para esboc¸ar os gra´ficos de:
(a) f(x) = sen (x+ pi)
(b) f(x) = cos(x+ pi/2) + 1
(c) f(x) = 2sen (x− pi)
(d) f(x) = 1 − sen x
23. Determine o per´ıodo e a amplitude (variac¸a˜o da imagem) de cada gra´fico do exerc´ıcio
anterior.
24. Da relac¸a˜o sen 2x+ cos2 x = 1, deduza cos x, sendo:
(a) sen x = 1/2; e pi/2 < x < pi
(b) sen x = −
√
2/2 e 3pi/2 < x < 2pi
(c) sen x = −
√
3/2 e pi < x < 3pi/2
5