Apostila de Trigonometria (7 páginas, 30 questões)

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PROF. GILBERTO SANTOS JR
 TRIGONOMETRIA
 
1 . TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
 
2 . CONCEITO DE SENO, COSSENO E 
TANGENTE NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
Dado o triângulo retângulo ABC, 
 
 
 
O seno do ângulo B̂ é a razão entre a medi-
da do cateto oposto ao ângulo B̂ e a medida da 
hipotenusa, isto é, 
 
 
sen B̂ =
cateto oposto ao ângulo B̂
hipotenusa
 
 
 
O cosseno do ângulo B̂ é a razão entre a 
medida do cateto adjacente ao ângulo B̂ e a medi-
da da hipotenusa, isto é, 
 
 
cos B̂ =
cateto adjacente ao ângulo B̂
hipotenusa
 
 
 
 A tangente do ângulo B̂ é a razão entre a 
medida do cateto oposto ao ângulo B̂ e a medida 
do cateto adjacente ao ângulo B̂, isto é, 
 
 
tg B̂ =
cateto oposto ao ângulo B̂
cateto adjacente ao ângulo B̂
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
1) Sabendo que o sen 36° = 0,58; cos 36° = 0,80 e 
tg 36° = 0,72, calcule o valor de x em cada figura. 
a) 
 
b) 
 
c) 
 
R: a) x = 5,8 cm; b) x = 14,4 cm; c) x = 4 cm 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Um engenheiro deve medir a largura de um rio. 
Para isso, fixa um ponto A na margem em que se 
encontra e um ponto B na margem oposta (con-
forme a figura). A seguir 
desloca-se 40 m perpendi-
cularmente à reta AB ⃡ até o 
ponto C e mede o ângulo 
AĈB, obtendo 44°. Qual é 
a largura do rio? (Dados: 
sen 44° = 0,69; cos 44° = 
0,71 e tg 44° = 0,96) R: x = 38,4 m 
 
3 . RELAÇÃO ENTRE SENO, COSSENO E 
TANGENTE NO TRIÂNGULO RETÂNGULO 
 
 
Teorema: Dado um ângulo agudo de medida ∝ 
de um triângulo retângulo, tem-se que: 
 
tg ∝ =
sen ∝
cos ∝
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
3) Dados sen 40° = 0,64 e cos 40° 
= 0,76. Determine o valor de x na 
figura. R: x = 8,4 cm 
 
 
4) Um alpinista deseja calcular a altura de uma 
encosta que vai escalar. 
Para isso, afasta-se, hori-
zontalmente, 80 m do pé 
da encosta e visualiza o 
topo sob um ângulo de 55° 
com o plano horizontal. 
Calcule a altura da encosta 
(Dado: sen 55° = 0,81, 
cos 55° = 0,57). 
R: h = 113,68 m 
 
4 . ÂNGULOS NOTÁVEIS 
Os ângulos notáveis são 30°, 45° e 60°. 
 
4.1 Tabela dos ângulos notáveis 
 30° 45° 60° 
sen 
1
2
 
√2
2
 
√3
2
 
cos √
3
2
 
√2
2
 
1
2
 
tg √3
3
 1 √3 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
5) Calcule o valor da expressão: 
 
 
E =
cos 60° + cos230°
sen330° + tg545°
 R: E = 
10
9
 
 
2 
6) Observe a figura, 
 
 
 
Sabendo que a escada tem 4 m de comprimento e 
forma um ângulo de 60° com o chão. Determine: 
a) o comprimento da sombra da escada no chão. 
b) a altura da sombra da escada na parede. (use 
√3 = 1,73) R: a) 2 m; b) h = 3,46 m 
 
7) Uma rampa lisa de 10 m de comprimento faz 
ângulo de 30° com o plano horizontal. Uma pessoa 
sobe essa rampa inteira, eleva-se quantos metros 
verticalmente? R: h = 5 m 
 
8) Um avião levanta voo e sobe fazendo um ân-
gulo constante de 15° com a horizontal. Quando 
sobrevoar uma torre situada a 2 000 m do ponto 
de partida, (Dados: sen 15° = 0,26; cos 15° = 0,97; 
tg 15° = 0,27) 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
a) A que altura estará o avião? 
b) Qual a distância percorrida quando sobrevoar a 
torre? R: a) h = 540 m; b) d ≅ 2 061,8 m 
 
9) Uma escada rolante liga dois andares de loja e 
tem uma inclinação de 30°. Sabendo que a escada 
rolante tem 10 m de comprimento, qual é a altura 
entre os dois andares? R: h = 5 m 
 
10) O ângulo de elevação do pé de uma árvore a 
50 m da base de uma encosta ao topo da encosta 
é e 60°. Que medida deve ter um cabo para ligar o 
pé da árvore ao topo da encosta? R: 100 m 
 
11) Ao soltar uma pipa um garoto libera 90 m de 
linha. Supondo que a linha fique esticada e forme 
um ângulo de 30° com a horizontal, desprezando a 
altura do garoto a que altura a pipa se encontrará 
do solo? R: 45 m 
 
12) Um navio situado exatamente a Leste de um 
ponto A, está distante 10 milhas desse ponto. Um 
observador situado exatamente ao Sul do navio, 
vê o ponto A sobre o ângulo de 40°. Calcule dis-
tância do observador para o navio? (Dados: 
sen 40° = 0,64; cos 40° = 0,76; tg 40° = 0,83). R: d ≅ 12,05 
milhas 
 
 
 
 
 
 
 
13) Determine o valor de x na figura: 
 
 R: x = 10√3 cm 
 
14) Uma escada de 4,5 m de comprimento está 
apoiada sobre uma parede vertical e forma um 
ângulo de 60° com o plano do chão. Então, o afas-
tamento do pé da escada em relação à parede é: 
 
(a) 4,5√3 m (c) 2,25√3 m (e) 2,0 m 
 
(b) 4,5 m (d) 2,25 m R: (d) 
 
15) Um teleférico deve unir um ponto A de um 
terreno plano e horizontal ao topo D de um morro 
cuja base se apoia sobre esse terreno. Para calcu-
lar a quantidade de cabos de aço necessária para 
unir A e D, um engenheiro marcou, no terreno, um 
ponto B entre o ponto A e o ponto C da base do 
morro, tal que CD̅̅̅̅ é vertical. A seguir obteve as 
medidas: m(DÂC) = 30°, m(DB̂C) = 60° e AB̅̅̅̅ = 200 
m. (use √3 = 1,73) 
a) A altura do morro; R: h = 173 m 
b) A distância entre A e D. R: AD̅̅ ̅̅ = 346 m 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
16)(Enem-2015) O tampo de vidro de uma me-
sa quebrou-se e deverá ser substituído por outro 
que tenha a forma de um círculo. O suporte de 
apoio da mesa tem o formato de um prisma reto, 
de base em forma de triângulo equilátero com 
lados medindo 30 cm. 
Uma loja comercializa cinco tipos de tam-
pos de vidro circulares com cortes já padroniza-
dos, cujos raios medem 18 cm, 26 cm, 30 cm, 35 
cm e 60 cm. O proprietário da mesa deseja adquirir 
nessa loja o tampo de menor diâmetro que seja 
suficiente para cobrir a base superior do suporte 
da mesa. 
Considere 1,7 como aproximação para √3. 
O tampo a ser escolhido será aquele cujo raio, em 
centímetros, é igual a 
 
(a) 18 (b) 26 (c) 30 (d) 35 (e) 60 
R: (a) 
17)(Cesupa-2010) Um dos monumentos mais 
famosos do mundo é a torre inclinada na cidade 
de Pisa, na Itália. Sabe-se que atualmente sua 
inclinação chega a cinco graus, fazendo, então, 
com o solo um ângulo de 85°. 
Considerando que a torre mede 56 
metros, qual é o comprimento da 
sombra que ela lança sobre o solo 
quando o Sol está no zênite 
(momento em que os raios solares 
são perpendiculares ao solo)? (use: 
sen 85° = 0,99; cos 85° = 0,08 e tg 85° 
= 11,43) 
Fonte de informação: www.suapesquisa.com, acesso em 14/10/2009 
 
(a) 640,08 m (b) 64 m (c) 55,44 m (d) 4,48 m 
R: (d) 
 
3 
18)(UEPA-2008) Em benefício do bem comum, 
prefeituras municipais enfrentam interesses priva-
dos e começam a combater a poluição visual, pro-
ibindo cartazes de propaganda nas ruas e prédios 
que vão de encontro à ordem, à estética e limpe-
za, além de perigo causado aos motoristas que 
trafegam essas ruas, ao desviar a atenção dos 
mesmos. Dois motoristas, dirigindo na mesma 
direção e sentido, avistam, num prédio localizado 
a frente, um outdoor. O motorista localizado no 
ponto A avista o outdoor sob um ângulo de 30°, e 
o motorista localizado no ponto B avista-o sob um 
ângulo de 60°, conforme figura abaixo. A distância 
AB em metros, é um número compreendido entre: 
 
 
 
(a) 10 e 20. (c) 30 e 40. (e) 50 e 60. 
 
(b) 20 e 30. (d) 40 e 50. R: (e) 
 
19)(UEPA-2011) Na Amazônia, está sendo 
construído um observatório no alto de uma torre, 
com a finalidade de compreender e modelar as 
trocas gasosas que ocorrem na atmosfera. Um 
engenheiro de 1,80 m de altura responsável pela 
execução do projeto, observa o topo dessa torre 
segundo o ângulo de 30°. Se o engenheiro está 
posicionado a 120 m de distância da torre, então a 
altura dessa torre é, em metros, de: (Dado: √3 = 
1,73) 
 
(a) 86 (b) 83 (c) 71 (d) 44 (e) 32 
R: (c) 
20)(UFMG, modificada) Uma caixa d’água está 
localizada num ponto P de um terreno plano, con-
forme representado a baixo. A mesma é avistada 
do ponto A sob um ângulo de 30° e do ponto B sob 
um ângulo de 45°. Sabendo que a medida do ân-
gulo AP̂B é 90° e a distância entre os pontos A e P 
é 50√3 m, calcule, em metros, a altura da caixa 
d’água. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
R: 50 m 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
5 . ARCOS E ÂNGULOS 
 
 
 Consideramos arco de uma circunferência 
uma parte da circunferência determinada por doisde seus pontos. Representamos por AB̂ o arco de 
extremidade A e B, tomando A como origem e 
considerando o sentido anti-horário. 
 
 Como a cada arco de uma circunferência 
corresponde um ângulo central, temos: 
 
Arco: AB̂ 
Ângulo central: AÔB 
 
Propriedade: AB̂ ≡ AÔB1 
 
5.1 Unidade para medir arcos (ou ângu-
los) de circunferência 
 As unidades mais usadas para medir arcos 
(ou ângulos) de circunferência são o grau e o radi-
ano. 
 
5.1.1 Grau 
Quando dividimos uma circunferência em 
360 partes de tamanhos iguais, cada uma dessas 
partes é um arco de um grau (1°). 
 
arco AB̂ de 90° arco AB̂ de 180° 
 
 
 
arco AB̂ de 270° arco AB̂ de 360° ou O° 
 
 
1 Lê-se “AB̂ é côngruo a AÔB”, ou seja, AB̂ tem a mesma 
medida de AÔB. 
 
4 
5.1.2 Radiano 
Um arco de um radiano (1 rad) é um arco 
cujo comprimento é igual ao do raio r da circunfe-
rência que o contém. 
 
 
1 rad ≡ 1r 
 
5.2 O número Pi () 
 
 
 
 
 Observe as circunferências 
feitas por Camila e as medidas de 
seus diâmetros: 
 
 
Vamos designar os diâmetros das circunfe-
rências acima de D1, D2 e D3, respectivamente. 
A medida aproximada dos comprimentos 
dessas circunferências é: 
C1: 
 
 
 
C2: 
 
 
 
C3: 
 
 
 
Camila calculou os quocientes entre a me-
dida aproximada do comprimento e a medida do 
diâmetro de cada circunferência: 
 
C1
D1
=
3,15
1
= 3,15 
 
C2
D2
=
6,27
2
= 3,135 
 
C3
D3
=
9,425
3
= 3,141666 … 
 
Como é possível perceber, os valores obti-
dos nesses quocientes estão próximos de 3,14. 
 
Conclusão: Para quaisquer circunferências o quoci-
ente (razão) entre o seu comprimento e o seu di-
âmetro é de aproximadamente 3,14. 
De outra forma, 
 
 
O número obtido ao dividir a medida do com-
primento de uma circunferência qualquer pela 
medida de seu diâmetro, na mesma unidade de 
medida, é o número 3,14159265…, chamado de 
número irracional pi (representado pela letra 
grega ). 
 
 
Simbolicamente, de um modo geral, 
 
C
D
 = 3,14159265… 
 
ou 
 
C
D
 =  
 
sendo C o comprimento e D o diâmetro de uma 
circunferência qualquer. Segue que 
 
C
D
 =  ⟹ 
C
2R
 =  ⟹ C = 2R 
 
Daí, o comprimento C de uma circunferên-
cia de raio r é escrito pela expressão: 
 
 
C = 2r 
 
 
Exemplo: Vamos calcular a medida do compri-
mento de uma circunferência cujo raio mede 7 cm, 
considere  = 3,14. 
 
Resolução: 
 
 C = 2r 
C = 2 ∙ 3,14 ∙ 7 
C = 43,96 
 
 
 
 
 Portanto, o comprimento da circunferência 
mede 43,96 cm. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
21) Seja 20 cm o raio de uma circunferência. Cal-
cule seu comprimento (Considere  = 3,1). R: 124 cm 
 
22) Se a corda pela qual o cavalo está amarrado 
mede 4,3 m, quantos metros tem o cercado? (Con-
sidere  = 3) R: aproximadamente 25,8 m 
 
 
EXERCÍCIO DE VESTIBULAR 
23)(Enem-2017) Pivô é um sistema de irrigação 
muito usado na agricultura, em que uma área cir-
cular é projetada para receber uma estrutura sus-
pensa. No centro dessa área, há uma tubulação 
vertical que transmite água através de um cano 
 
5 
horizontal longo, apoiado em torres de sustenta-
ção, as quais giram, sobre rodas, em torno do 
centro do pivô, também chamado de base, con-
forme mostram as figuras. Cada torre move-se 
com velocidade constante. 
 
 
 
 
 
Um pivô de três torres (T1, T2 e T3) será ins-
talado em uma fazenda, sendo que as distâncias 
entre torres consecutivas bem como da base a 
torre T1 são iguais a 50 m. O fazendeiro pretende 
ajustar as velocidades das torres, de tal forma que 
o pivô efetue uma volta completa em 25 horas. 
Use 3 como aproximação para . 
Para atingir seu objetivo, as velocidades 
das torres T1, T2 e T3 devem ser, em metros por 
hora, de 
 
(a) 12, 24 e 36 (d) 300, 1 200 e 2 700 
 
(b) 6, 12 e 18 (e) 600, 2 400 e 5 400 
 
(c) 2, 4 e 6 
 
5.3 Relação entre as unidades de medi-
das de arcos 
Uma unidade de radiano (ou simplesmente, 
1 rad) de unidade de medida de arco de um cir-
cunferência corresponde a medida de seu raio (ou 
simplesmente, 1 r), como na figura abaixo: 
 
 
 
1 rad ≡ 1r 
 
Podemos afirmar que o arco corresponde à 
uma circunferência inteira mede 2r, logo 
 
2r = 2 ∙ 1 rad = 2 rad 
 
Portanto, uma volta completa numa circun-
ferência mede 360° ou 2 rad, 
 
 
 rad é equivalente a 180° 
 
 
 Essa equivalência nos permite transformar 
unidades, usando regra de três simples. 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
24) Transforme as medidas abaixo para radiano: 
a) 30° R: /6 d) 90° R: /2 g) 210° R: 7/6 
 
b) 45° R: /4 e) 120° R: 2/3 h) 270° R: 3/2 
 
c) 60° R: /3 f) 150° R: 5/6 i) 300° R: 5π/3 
 
25) Transforme para graus: 
a) 

5
 rad R: 36° d) 
2
3
 rad R: 120° g) 
5
9
 rad R: 100° 
 
b) 
5
6
 rad R: 150° e) 

2
 rad R: 90° h) 1 rad R: 57,3° 
 
c) 
7
4
 rad R: 315° f) 
4
3
 rad R: 240° 
 
6 . ARCOS TRIGONOMÉTRICOS 
Partindo do ponto 0° ou 0 radiano e girando 
uma volta completa no sentido anti-horário, asso-
ciamos as seguintes medidas: 
 
 
 
 
 
7 . SENO E COSSENO DE ARCO TRIGO-
NOMÉTRICO 
 
 
Definição: Dado um arco trigonométrico AM̂ de 
medida ∝, chamam se cosseno e seno de ∝ a 
abscissa e a ordenada do ponto M, respectiva-
mente. 
 
 
 
 
6 
cos ∝ = abscissa de M = xM 
sen ∝ = ordenada de M = yM 
 
8 . REDUÇÃO AO 1° QUADRANTE 
8.1 Redução do 2º para o 1º quadrante 
Exemplos: Calcular 
a) sen 150° 
b) cos 150° 
 
Resolução: 
 
 
a) sen 150° = sen 30° =
1
2
 
 
b) cos 150° = − cos 30° = −
√3
2
 
 
8.2 Redução do 3º para o 1º quadrante 
Exemplos: Calcular 
a) sen 240° 
b) cos 240° 
 
Resolução: 
 
 
a) sen 240° = ‒ sen 60° = ‒ 
√3
2
 
 
b) cos 240°= ‒ cos 60° = ‒ 
1
2
 
 
Mais senos de arcos abaixo: 
 
 
 
9 . VARIAÇÃO DE SINAL DO SENO E 
COSSENO 
O seno é positivo no 1º e no 2º quadrantes 
e o cosseno é positivo no 1º e 4º quadrantes. Veja 
o quadro abaixo: 
 
 
 
EXERCÍCIOS PROPOSTOS 
26) Calcule o valor da expressão: 
 
 E =
cos 0° sen 270° + sen 90° cos180°
sen 90°+cos2 180°
 R: ‒ 1 
 
27) Calcule: 
a) sen 120° e) sen 300° i) sen 225° 
 b) cos 120° f) cos300° j) cos 225° 
 c) sen 210° g) sen 135° k) sen 315° 
 d) cos 210° h) cos 135° l) cos 315° 
 
EXERCÍCIOS DE VESTIBULARES 
28)(Enem-2017) Raios de luz solar estão atin-
gindo a superfície de um lago formando um ângulo 
x com a sua superfície, conforme indica a figura. 
Em determinadas condições, pode-se supor que a 
intensidade luminosa desses raios, na superfície 
do lago, seja dada aproximadamente por l(x) = k ∙ 
sen(x) sendo k uma constante, e supondo-se que x 
está entre 0° e 90°. 
 
 
Quando x = 30º, a intensidade luminosa se reduz a 
qual percentual de seu valor máximo? 
 
(a) 33% (b) 50% (c) 57% (d) 70% (e) 86% 
R: (b) 
29)(UEPA-2009) Preocupado com a falta de 
área verde em sua cidade, um prefeito resolveu 
aproveitar um terreno triangular, localizado no 
cruzamento de 
duas ruas, para 
construir uma 
praça, conforme 
representado na 
figura ao lado. A 
área da praça a 
ser construída, em m2, é: 
 
(a) 250 (c) 300 (e) 500 
 
(b) 250√3 (d) 300√3 R: (c) 
 
 
 
 
 
7 
10 . AS FUNÇÕES SENO E COSSENO 
10.1 Função seno 
 
 
Definição: Define-se como a função seno f que 
associa cada número real x, associado à circun-
ferência trigonométrica, um único número real 
seno f(x). Indica-se assim f: ℝ ⟶ ℝ, definida 
por f(x) = sen x. 
 
 
 Em diagramas 
 
 
D
f
 = ℝ 
CD
f
 = ℝ 
 
10.2 Gráfico da função y = sen x 
 
 
 
Im
f
 = {f(x) ∈ ℝ/ ‒ 1 ≤ f(x) ≤ 1} 
 
Período = 2 
 
Exemplo: Esboçar o gráfico da função y = 2sen x. 
 
Resolução: 
 
Para um esboço do gráfico, basta atribuir-
mos ao arco x os valores 0, 

2
, 
3
2
 e 2 e calcular-
mos os correspondentes valores de y: 
 
x y 
0 0 

2
 2 
 0 
3
2
 ‒ 2 
2 0 
 
Marcando no plano cartesiano os pontos (0, 
0), (

2
, 2), (, 0), (
3
2
, −2) e (2, 0); e ligando os 
pontos temos: 
 
 
 
D
f
 = ℝ 
 
Im
f
 = {f(x) ∈ ℝ/‒ 2 ≤ f(x)≤ 2} 
 
Período = 2 
 
Observação: Construímos apenas um período do 
gráfico, porém não perca de vista que essa figura se 
repete tanto até o +∞ como até o ‒∞ na direção do 
eixo das abscissas. 
 
EXERCÍCIO PROPOSTO 
30) Esboce o gráfico de cada uma das funções: 
 
a) y = 3sen x d) y = ‒ 2sen x 
 
b) y = 2 + sen x e) y = sen 2x 
 
c) y = 2 + 3sen x f) y = sen
x
2
 
 
10.3 Função cosseno 
 
 
Definição: Define-se como a função cosseno f 
que associa cada número real x, associado à 
circunferência trigonométrica, um único número 
real cosseno f(x). Indica-se assim f: ℝ ⟶ ℝ, 
definida por f(x) = cos x. 
 
Em diagramas 
 
 
D
f
 = ℝ 
CD
f
 = ℝ 
 
10.4 Gráfico da função y = cos x 
 
 
 
Im
f
 = {f(x) ∈ ℝ/ ‒ 1 ≤ f(x) ≤ 1} 
 
Período = 2 
 
“Por que nos torna tão pouco felizes esta maravilhosa ciência 
aplicada que economiza trabalho e torna a vida mais fácil? A 
resposta é simples: porque ainda não aprendemos a nos servir 
dela com bom senso”. 
Albert Einstein. 
 
Atualizada em 30/10/2019 
 
 
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Referências 
 
DANTE, L.R. Matemática: Contexto & Aplicações. 1. Ed. São 
Paulo: Ática, 2000, v.2. 
 
http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilas-de-matematica
http://gilsilva10.wixsite.com/inicio/apostilas-de-matematica