4a lista de exercícios

Prévia do material em texto

Ca´lculo I - 2016
Lista de Exerc´ıcios IV
1) Encontre a derivada de primeira ordem das seguinte func¸o˜es:
a) f(x) =
3x− 1
2x + 1
b) g(x) = (x3 − 3)(2x4 + x)
c) h(y) = (y−2 + y−3)(y5 − 2y2)
d) r(u) =
1
s + keu
e) f(ω) = ω
3
2 (ω + ceω)
f) v(t) =
t−√t
t
1
3
g) w(t) =
1− tet
t + et
h) f(x) =
a
bex + c
i) g(x) =
x
x +
k
x
j) h(x) =
ax + b
cx + d
, sendo ad− bc 6= 0
k) r(t) = u2(t), sendo u uma func¸a˜o diferencia´vel qualquer
l) g(t) = u3(t), sendo u uma func¸a˜o diferencia´vel qualquer (dica: utilize o resultado do seu item (k))
m) f(t) =
1
u(t)
, sendo u uma func¸a˜o diferencia´vel qualquer
n) h(t) =
1
u2(t)
, sendo u uma func¸a˜o diferencia´vel qualquer (dica: utilize o resultado do seu item (m))
o) y(t) = (Ct)n
2) Encontre a derivada de segunda ordem das func¸o˜es dos itens (a), (d), (g), (j) e (o) do exerc´ıcio
(1).
3) Prove as seguinte generalizac¸o˜es por induc¸a˜o finita: se
a) f(x) = (x− a)n, onde n ∈ N e a ∈ R, enta˜o f ′(x) = n(x− a)n−1
b) g(x) = enx, onde n ∈ N, enta˜o g′(x) = nenx
c) h(t) = tet, enta˜o h(n)(t) = (t + n)et
4) Analise o conjunto onde f e´ diferencia´vel e, num mesmo plano cartesiano, esboce os gra´ficos de f
e f
′
:
a) f(x) =
{
2− x, se x ≤ 1
x2 − 2x + 2, se x > 1 .
b) f(x) =
 1− 2x, se x ≤ −1x2, se − 1 ≤ x ≤ 1
x, se x > 1
.
c) f(x) = |x2 − 4|
d) f(x) =
∣∣∣|x| − 1∣∣∣
5) Determine os valores de a e b que tornam diferencia´veis as seguintes func¸o˜es e, posteriormente,
esboce seus gra´ficos:
a) g(x) =
{ √
1− x2, se − 1 < x ≤ 0
ax + b, se x > 0
.
b) h(x) =
{
x3 − x, se x ≤ 1
ax + b, se x > 1
.
c) v(t) =
{
at + b, se t ≤ 0
et, se t > 0
.
d) w(x) =
{
1
x
, se 0 < x ≤ 2
ax + b, se x > 2
.
6) Encontre a reta tangente ao gra´fico das seguintes func¸o˜es no ponto P especificado:
a) f(t) =
1
t2 + 1
, P (−1, 12 )
b) g(x) =
2x
x + 1
, P (1, 1)
c) h(t) =
et
t
, P (1, e)
d) r(t) = x3 − x, P (1, 0)
e) f(x) =
1
x
, P (2, 12 )
7) Se f(x) = x2−2x, encontre a reta r(x) tangente ao gra´fico de f que seja paralela a` reta de equac¸a˜o
y = 4x− 12. Determine tambe´m o ponto P no qual r(x) tangencia o gra´fico de f .
8) Utilize a regra da cadeia para encontrar a derivada das seguintes func¸o˜es:
a) f(x) =
√
4x− x2
b) g(x) = (x3 − 3)6
c) h(t) = e2t
2+1
d) r(u) =
1
(u2 + e2u)4
e) f(t) = t
√
2− t2
f) v(ω) = ee
ω
g) h(x) =
1(
w(x)
)n , sendo w uma func¸a˜o diferencia´vel qualquer
h) g(t) =
√
t +
√
t
i) r(x) = f
(
g
(
h(x)
))
, sendo f, g e h func¸o˜es diferencia´veis quaisquer
j) h(t) = (2kakt + n)p
9) Ao inve´s de induc¸a˜o finita, utilize a regra da cadeia para provar os itens (a) e (b) do exerc´ıcio
(3), mas com n ∈ R.