Notas de aula de Cálculo I - Profa Dra Joseane

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Universidade Federal Rural do Semi-árido
Centro de Ciências Exatas e Naturais
Professora: Maria Joseane F. G. Macêdo
Disciplina: Cálculo I
Notas de aula de Cálculo I
Mossoró, novembro de 2017.
ii
Sumário
1 Números Reais 1
1.1 Conjuntos Numéricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2 Desigualdades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
1.3 Valor absoluto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.4 Intervalos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2 Funções 7
2.1 Funções de uma variável real a valores reais . . . . . . . . . . . . . . . . . 7
2.2 Operações com funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
2.3 Alguns tipos de funções . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.4 Funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Funções seno e cosseno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.2 Funções tangente, cotangente, secante e cossecante . . . . . . . . . 17
3 Limite e Continuidade 19
3.1 Noção intuitiva de limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
3.2 Limite . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
3.2.1 Limites laterais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
3.3 Expressões indeterminadas no cálculo de limites . . . . . . . . . . . . . . . 23
3.4 Limites no Infinito . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.5 Limites Infinitos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
3.6 Asśıntotas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
3.7 Continuidade e Teorema do confronto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.7.1 Propriedades das funções cont́ınuas . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.7.2 Outras propriedades de limites . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.8 Limites fundamentais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
iii
iv SUMÁRIO
4 Derivada 33
4.1 A reta tangente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.2 A derivada de uma função . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
4.3 Regras de derivação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
4.4 Derivadas de ex e lnx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
4.5 Derivadas das funções trigonométricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
4.6 Continuidade de funções deriváveis . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4.7 A derivada de uma função composta - Regra da Cadeia . . . . . . . . . . . 39
4.7.1 A derivada da função exponencial composta . . . . . . . . . . . . . 40
4.8 Função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.9 A derivada da função inversa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
4.9.1 Derivada das funções trigonométricas inversas . . . . . . . . . . . . 42
4.9.2 Derivada das funções hiperbólicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
4.10 Derivadas de ordem superior . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
4.11 Derivação de uma função dada implicitamente . . . . . . . . . . . . . . . . 45
5 Aplicações das Derivadas 47
5.1 Velocidade e Aceleração. Taxa de Variação . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
5.2 Máximos e Mı́nimos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
5.3 Teoremas sobre Derivadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
5.4 Funções Crescentes e decrescentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
5.5 Critérios para determinar os extremos de uma função . . . . . . . . . . . . 54
5.6 Concavidade e pontos de inflexão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
5.7 Construção e análise de gráficos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
5.8 Problemas de maximização e minimização . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
5.9 Regras de L’Hospital . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
5.10 Introdução à Integração . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
Caṕıtulo 1
Números Reais
Caro estudante, essas notas de aula não tem a intenção de ser original, são apenas
um guia e direcionamento para o estudo da nossa disciplina de Cálculo I no decorrer
desse semestre. A escrita está baseada em alguns livros de Cálculo I bastante conhecidos
(Cálculo A da Diva Maŕılia e Cálculo volume 1 do Guidorizzi, serão apresentados em
sala de aula). Os exemplos e exerćıcios estão apenas enunciados, alguns exemplos serão
resolvidos em sala de aula. Os teoremas, lemas e proposições também serão apenas
enunciados, alguns demonstrações pertinentes à disciplina serão feitas em sala de aula.
Esse material está em constante edição e revisão, então se identificarem algum erro por
favor me avise, ficarei grata. Estarei à disposição para ajudá-los no decorrer do semestre.
O objetivo deste caṕıtulo de revisão sobre números reais é apresentar uma re-
visão sobre algumas das principais propriedades dos números reais, não nos preocupando
com a definição de número real. Esse estudo é extremamente importante para toda a
disciplina. Um aluno que não souber trabalhar as propriedades básicas dos números reais
terá dificuldade em assimilar bem os conteúdos de Cálculo I. Desse modo, que não estiver
seguro nesse tópico, sugiro que estuda muito bem as propriedades básicas dos números
reais em outras referências bibliográficas (estudadas nos ensinos fundamentais e médios).
Boa sorte e bons estudos!
1.1 Conjuntos Numéricos
Os primeiros números conhecidos pela humanidade são os chamados inteiros po-
sitivos ou naturais, dados por N = {1, 2, 3, . . .}. A união dos números naturais com os
inteiros negativos (−1,−2,−3, . . .) e o zero define o conjunto dos números inteiros que
1
2
denotamos por Z = {. . . ,−3,−2,−1, 0, 1, 2, 3, . . .}.
Os números racionais são da forma
a
b
, com a e b inteiros e b 6= 0, isto é:
Q = {a
b
; a, b ∈ Z, b 6= 0}.
Sejam
a
b
e
c
d
dois números racionais quaisquer. A soma e o produto destes dois números
racionais são dadas da seguinte forma:
Soma :
a
b
+
c
d
=
ad+ bc
bd
,
Produto :
a
b
· c
d
=
ac
bd
.
Mas também existem os números que não podem ser representados na forma
a
b
,
com a, b ∈ Z e b 6= 0, tais como
√
2 = 1, 414 . . ., π = 3, 14159 . . ., e = 2, 71 . . .. Tais
números formam o conjunto dos números irracionais. A união dos números racionais
com os números irracionais resulta no conjunto dos números reais, denotado por R.
Exemplo 1.1 Resolva as seguintes operações:
1.
2
5
+
3
7
2.
1
2
− 3
4
3.
1
4
+
2
3
Agora vamos apresentar alguns axiomais e propriedades dos números reais:
1. Fechamento: se a, b ∈ R existe um e somente um número real denotado por a+ b,
chamado soma, e existe um e somente um número real, denotado por ab (ou a · b),
chamado produto.
2. Comutatividade: se a, b ∈ R, então a+ b = b+ a e a · b = b · a.
3. Associatividade: se a, b, c ∈ R, então a+(b+c) = (a+b)+c e a · (b ·c) = (a ·b) ·c.
4. Distributividade: se a, b, c ∈ R, então a · (b+ c) = ab+ ac.
5. Existência de elementos neutros: existem 0 e 1 números reais tais que a+0 = a
e a · 1 = a, para todo a ∈ IR.
Números Reais 3
6. Existência de simétricos: para todo a ∈ IR existe um simétrico, denotado por
−a, tal que a+ (−a) = 0.
7. Existência de inversos: para todo 0 6= a ∈ IR existe um inverso, denotado por
a−1 ou
1
a
, tal que a · 1
a
= 1. A partir da existência de simétricos e inversos, podemos
definir a subtração e a divisão de números reais.
8. Subtração: se a, b ∈ R, a diferença entre a e b, denotada por a− b, é definida por
a− b = a+ (−b).
9. Divisão: se a,b ∈ R, com b 6= 0, o quociente de a e b é definido por a
b
= a · 1
b
.
1.2 Desigualdades
No conjunto dos números reais existe um subconjunto denominado números po-
sitivos, graças a esse subconjunto é posśıvel definir uma relação de ordem no conjunto dos
números reais.
Proposição 1.2 (Axioma de Ordem) No conjunto dos números reais existe um sub-
conjunto denominado números positivos, tal que:
(i) se a ∈ IR, exatamente uma das três afirmações ocorre: a = 0, a é positivo ou −a é
positivo.
(ii) a soma de dois números reais positivos é positiva.
(iii) o produto de dois números reais positivos é positivo.
Definição 1.3 O número real a é negativo se, e somente se, −a é positivo.
Definição 1.4 Dizemos que a é menor do que b, e denotamos por a < b se, e somente
se, b− a é positivo (b− a > 0).
Definição 1.5 Dizemos que a é maior do que b, e denotamos por a > b se, e somente
se, a− b é positivo (a− b > 0).
Observação 1.6 Dizemos que a é menor ou igual do que b se, e somente se, a < b
ou a = b. Dizemos que a é maior ou igual do que b se, e somente se, a > b ou a = b.
4
Expressões envolvendo os śımbolos > ou ≥ e < ou ≤ são chamadas de desigual-
dades. Os śımbolos > e < são referidos como desigualdades estritas, enquanto que ≥ e
≤ são as desigualdades não estritas.
Propriedades: Sejam a, b, c, d ∈ IR.
1. Se a > b e b > c, então a > c.
2. Se a > b e c > 0, então ac > bc.
3. Se a > b e c < 0, então ac < bc.
4. Se a > b, então a+ c < b+ c, para todo c ∈ IR.
5. Se a > b e c > d, então a+ c < b+ d.
6. Se a > b > 0 e c > d > 0, então ac < bd.
Exerćıcio 1.7 Demonstrar as propriedades anteriores. (Obs.: se tiver dificuldade pes-
quise!)
1.3 Valor absoluto
Definição 1.8 O valor absoluto de a, denotado por |a|, é definido por
|a| =
 a, se a ≥ 0−a, se a < 0.
Observação 1.9 Geometricamente, o valor absoluto de a, também chamado de módulo
de a, representa a distância entre a e 0. Também podemos escrever,
|a| =
√
a2.
Propriedade 1.10 1. |x| < a ⇔ −a < x < a, onde a > 0.
2. |x| > a ⇔ x > a ou x < −a, onde a > 0.
3. Se a, b ∈ IR, então |a · b| = |a| · |b|.
4. Se a, b ∈ IR, então |a
b
| = |a|
|b|
.
5. (Desigualdade triangular) Se a, b ∈ IR, então |a+ b| ≤ |a|+ |b|.
Números Reais 5
6. Se a, b ∈ IR, então |a− b| ≤ |a|+ |b|.
7. Se a, b ∈ IR, então |a| − |b| ≤ |a− b|.
Nota: o aluno curioso pode pesquisar as demostrações das propriedades anteriores.
1.4 Intervalos
Os intervalos são conjuntos infinitos de números reais dados como segue.
1. (Intervalo aberto) (a, b) ou ]a, b[ é o conjunto {x ∈ IR : a < x < b}.
2. (Intervalo fechado) [a, b] é o conjunto {x ∈ IR : a ≤ x ≤ b}.
3. (Intervalo fechado à direita e aberto à esquerda) (a, b] ou ]a, b] é o conjunto {x ∈
IR : a < x ≤ b}.
4. (Intervalo fechado à esquerda e aberto à direita) [a, b) ou [a, b[ é o conjunto {x ∈
IR : a ≤ x < b}.
5. (Intervalos infinitos)
• (a,+∞) é o conjunto {x ∈ IR : x > a}.
• [a,+∞) é o conjunto {x ∈ IR : x ≥ a}.
• (−∞, b) é o conjunto {x ∈ IR : x < b}.
• (−∞, b] é o conjunto {x ∈ IR : x ≤ b}.
Exerćıcio 1.11 Resolver os exemplos da Seção (1.5) do livro Cálculo A.
6
Caṕıtulo 2
Funções
Neste caṕıtulo vamos estudar (revisar) a definição de função e alguns tipos de
funções.
2.1 Funções de uma variável real a valores reais
Definição 2.1 Sejam A e B subconjuntos de IR. Uma função f : A → B é uma lei ou
uma regra que a cada elemento de A faz corresponder um único elemento de B.
Observação 2.2
f : A→ B
a 7→ f(a),
(2.1)
Definição 2.3 Seja f : A→ B uma função.
(a) Dado x ∈ A, o elemento f(x) ∈ B é chamado de valor da função f no ponto x ou
de imagem de x por f .
(b) Dizemos que o conjunto de todos os valores assumidos pela função f é o conjunto
imagem de f e denotaremos por Im(f).
Definição 2.4 Seja f : A → B uma função. O gráfico de f é o conjunto de todos os
pontos (x, f(x)) de um plano coordenado, onde x pertence ao domı́nio de f . Ou seja,
Gf = {(x, f(x)) : x ∈ A}.
Observação 2.5 1. Gf é um subconjunto do conjunto de todos os pares ordenados
(x, y) em IR.
7
8
2. Munindo-se o plano de um sistema ortogonal de coordenadas cartesianas, Gf pode
ser compreendido como o lugar geométrico descrito pelo ponto (x, f(x)) quando x
percorre o domı́nio de f .
3. Por simplificação, deixaremos muitas vezes de explicitar o domı́nio e o contra-
domı́nio de uma função. Nesses casos fica impĺıcito que o contradomı́nio é IR e
que o domı́nio é o “maior” subconjunto de IR para o qual faz sentido a regra em
questão.
4. É usual representar uma função f de uma variável real a valores reais e com domı́nio
A, simplesmente por y = f(x), x ∈ A. Nesse caso, dizemos que x é a variável
independente e que y é a variável dependente.
Exemplo 2.6 Seja y = f(x), com f(x) = x3. Determine:
(a) Domı́nio e a imagem de b;
(b) f(−1), f(0), f(1), f(a+ b);
(c) Expresse e esboce o gráfico de f .
Exemplo 2.7 Seja f a função dada por f(x) =
√
x. Determine:
(a) D(f) e Im(f);
(b) f(4);
(c) f(t2);
(d) f(x+ 3);
(e) Gf .
Exemplo 2.8 Sejam A = {1, 2, 3, 4, 5}, B = IZ (o conjunto dos números inteiros) e
f : A → B definida pela regra que a cada elemento de A faz corresponder o seu dobro.
Verifique se f é realmente uma função. Em caso afirmativo, determine D(f) e Im(f).
Exemplo 2.9 Determine o domı́nio, o conjunto imagem e o gráfico das seguintes funções:
(a)
f : IR→ IR
x 7→ x2.
(2.2)
Funções de uma variável real a valores reais 9
(b) f(x) =
1
x
(c) f(x) = −
√
x− 1
(d) f(x) = |x|
2.2 Operações com funções
Definição 2.10 Dadas as funções f , g e uma constante k ∈ IR, a soma de duas funções
(f+g), a diferença de duas funções (f−g), o produto de duas funções (f ·g) e o quociente
de duas funções (f/g), são definidos das seguinte maneira:
1. (f + g)(x) = f(x) + g(x)
2. (f − g)(x) = f(x)− g(x)
3. (f · g)(x) = f(x) · g(x)
4. (kf)(x) = k f(x)
5. (f/g)(x) =
f(x)
g(x)
Observação 2.11 1. O domı́nio das funções (f + g), (f − g) e (f · g) é a intersecção
dos domı́nios de f e g.
2. O domı́nio de (f/g) é a intersecção dos domı́nios de f e g excluindo-se os valores
de x para os quais g(x) = 0.
3. O domı́nio de kf coincide com o domı́nio de f .
Exemplo 2.12 Sejam f(x) =
√
5− x, g(x) =
√
x− 3 e k = 2. Determine a regra, o
domı́nio e a imagem de cada uma das funções a seguir.
1. (f + g)(x)
2. (f − g)(x)
3. (f · g)(x)
4. (kf)(x)
5. (f/g)(x)
10
Exemplo 2.13 Sejam f(x) =
√
x2 − 4 e k = 3. Determine D(f) e Im(f).
Exemplo 2.14 Dada a função f(x) = −x2 + 2x, simplifique:
(a)
f(x)− f(1)
x− 1
(b)
f(x+ h)− f(x)
h
Definição 2.15 Sejam f e g duas funções tais que Im(f) ⊂ D(g). A função dada por
y = g(f(x)), x ∈ D(f),
denomina-se função composta de g e f . Usamos a notação g ◦ f para indicar a composta
de g e f . Assim,
(g ◦ f)(x) = g(f(x)), x ∈ D(f).
Note que g ◦ f tem o mesmo domı́nio de f .
Exemplo 2.16 Sejam f e g dadas por f(x) = 2x+ 1 e g(x) = x2 + 3x. Determine g ◦ f
e f ◦ g
Exemplo 2.17 Sejam f e g dadas por f(x) = x2 e g(x) =
√
x. Determine g ◦ f e f ◦ g
Definição 2.18 Sejam f : A→ IR e g : C → IR. Dizemos que f é igual a g, e escrevemos
f = g, se os domı́nios de f e g forem iguais, A = C, e se, para todo x ∈ A, f(x) = g(x).
Exemplo 2.19 Verifique se as funções f e g dadas por f(x) =
√
x
√
x− 1 e g(x) =
√
x2 − x são iguais.
2.3 Alguns tipos de funções
Função constante
Uma função y = f(x), x ∈ A, dada por f(x) = k, onde k é uma constante,
denomina-se função constante.
Exemplo 2.20 (a) f(x) = 2 é uma função constante, com D(f) = IR e Im(f) = {2}.
Além disso, Gf = {(x, 2) : x ∈ IR}.
(b) f(x) = −1 é uma função constante, com D(f) = IR e Im(f) = {−1}. Além disso,
Gf = {(x,−1) : x ∈ IR}.
Funções de uma variável real a valores reais 11
(c) g : [−1,∞)→ IR dada por g(x) = −1 também é uma função constante. Determine
o conjunto imagem de g e esboceo seu gráfico.
(d) A função f : IR→ IR dada por
f(x) =
 1, se x ≥ 0,−1, se x < 0, (2.3)
também é uma função constante (também conhecida como função constante por
partes). Determine a imagem, e esboce o gráfico de f .
Função linear
Uma função f : IR → IR dada por f(x) = ax, onde a é uma constante, é dita
função linear. Seu gráfico é a reta que passa pelos pontos (0, 0) e (1, a). Além disso, o
gráfico de f é crescente se a > 0 e decrescente se a < 0.
Figura 2.1: Função linear crescente e descrescente
Observação 2.21 (i) A função dada por f(x) = ax + b, onde a e b são constantes, é
chamada de função afim. Seu gráfico é a reta que passa pelo ponto (0, b) e é paralela à
reta y = ax. Se a = 0, a função afim se reduz à uma função constante. Se a 6= 0, seu
gráfico é a reta que passa pelos pontos (0, b) e (
−b
a
, 0).
(ii) Quando a = 1, a função linear recebe uma nomenclatura especial. Nesse caso
ela é conhecida como função identidade e é dada por f(x) = x.
(iii) A função h : IR→ IR dada por h(x) = |x| é conhecida como função módulo
ou modular. Além disso, temos que
|x| =
 x, se x ≥ 0−x, se x < 0.
12
Exemplo 2.22 Esboce o gráfico das funções: a)f(x) = 3x, b)g(x) = −3x e c)h(x) =
3|x|.
Função polinomial
Uma função f : IR→ IR dada por
f(x) = aox
n + a1x
n−1 + · · ·+ an−1x+ an,
onde a0 6= 0, a1, a2, . . . , an são números reais fixos, denomina-se função polinomial de
grau n (n ∈ IN).
Exemplo 2.23 • f(x) = x2 − 4 é uma função polinomial de grau 2 e seu gráfico é
uma parábola.
• g(x) = (x − 1)3 é uma função polinomial de grau 3. Esboce o gráfico de g. Em
seguida esboce o gráfico da função dada por h(x) = (x+ 1)3.
Função racional
Uma função racional f é uma função dada por f(x) =
p(x)
q(x)
, onde p e q são
funções polinomias. O domı́nio de f é o conjunto {x ∈ IR} : q(x) 6= 0}.
Exemplo 2.24 Determine o domı́nio das seguintes funções racionais: f(x) =
x+ 1
x
,
g(x) =
x2 + 1
x
e h(x) =
1
x2
.
Exerćıcio 2.25 Estudar os exemplos 13, 14, 15 e 16 do livro do Guidorizzi.
Função Par e função ı́mpar
Definição 2.26 Dizemos que uma função f é par se, para todo x ∈ D(f), f(−x) = f(x).
Uma função f é dita ser uma função ı́mpar se, para todo x ∈ D(f), f(−x) = −f(x).
Observação 2.27 O gráfico de uma função par é simétrico em relação ao eixo y e o
gráfico de uma função ı́mpar é simétrico em relação à origem.
Exemplo 2.28 1. A função dada por f(x) = x2 é uma função par.
2. A função dada por f(x) = x5 + x3 é uma função ı́mpar.
3. A função dada por f(x) = x3 + 4 não é função par nem ı́mpar.
Funções de uma variável real a valores reais 13
Funções periódicas
Definição 2.29 Dizemos que uma função f é periódica se existe um número real τ 6= 0
tal que
f(x+ τ) = f(x), ∀ x ∈ D(f).
Observação 2.30 O número τ é chamado de peŕıodo da função. O gráfico de uma função
periódica se repete a cada intervalo de comprimento |τ |.
Exemplo 2.31 A função constante é periódica com τ sendo qualquer número real dife-
rente de 0.
Função exponencial
Chamamos de função exponencial de base a a função f : IR → IR que associa a
cada x real o número real ax, sendo a um número real 0 < a 6= 1. Isto é,
f : IR→ IR
x 7→ y = ax.
O domı́nio da função exponencial é o conjunto dos números reais IR e sua imagem
é Im(f) = (0,∞) (ou simplesmente IR∗+). O gráfico da função exponencial intersepta o
eixo das ordenadas em (0, 1) e f(x) = ax é crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Figura 2.2: Função exponencial crescente e descrescente
Observação 2.32 Sejam a > 0, b > 0, x e y reais quaisquer. São válidas as seguintes
propriedades:
1. axay = ax+y
14
2. (ax)y = axy
3. (ab)x = axbx
4. Se a > 1 e x < y, então ax < ay
5. Se 0 < a < 1 e x < y, então ax > ay
Exemplo 2.33 Esboce o gráfico de f(x) = 2x e y = (
1
2
)x
Função logaŕıtmica
Dado um número real a (0 < a 6= 1), chamamos de função logaŕıtmica de base a
a função f : IR∗+ → IR que associa a cada x real o número loga x (lê-se: log de x na base
a). Isto é,
f : IR∗+ → IR
x 7→ y = loga x.
Observação 2.34 (i) Importante: y = loga x ⇐⇒ ay = x. Ou seja, o logaritmo de x
na base a é o expoente que se deve atribuir à base a para reproduzir x.
(ii) O logaritmo na base e é indicado por ln, assim ln = loge. Logo, y = lnx⇐⇒
ey = x.
O domı́nio da função logaŕıtmica é dado por IR∗+ e sua imagem é Im(f) = IR.
O gráfico da função exponencial intersepta o eixo das abscissas em (1, 0) e y = loga x é
crescente se a > 1 e decrescente se 0 < a < 1.
Figura 2.3: Função logaŕıtmica crescente e descrescente
Observação 2.35 Sejam 0 < a 6= 1, 0 < b 6= 1, x > 0 e y > 0 reais quaisquer. São
válidas as seguintes propriedades:
Funções de uma variável real a valores reais 15
1. loga xy = loga x+ loga y
2. loga x
y = y loga x
3. loga
x
y
= loga x− loga y
4. (Mudança de base) loga x =
logb x
logb a
5. Se a > 1 e x < y, então loga x < loga y
6. Se 0 < a < 1 e x < y, então loga x > loga y
Exemplo 2.36 Esboce o gráfico de f(x) = log2 x e y = log 1
2
x.
2.4 Funções trigonométricas
2.4.1 Funções seno e cosseno
Seja x um número real, e marque um ângulo com medida x radianos na circun-
ferência unitária com centro na origem. Seja P o ponto de intersecção do lado terminal
do ângulo x com essa circunferência. Denominamos seno de x a ordenada ¯OP1 do ponto
P em relação ao sistema UOV . E denominamos cosseno de x a abscissa ¯OP2 do ponto P
em relação ao sistema UOV .
Figura 2.4: Circunferência unitária
Definição 2.37 Definimos a função seno como a função f : IR → IR que a cada x ∈ IR
faz corresponder o número real y = senx.
Definição 2.38 Definimos a função cosseno como a função f : IR → IR que a cada
x ∈ IR faz corresponder o número real y = cosx.
16
Observação 2.39 (i) sen0 = 0 e cos 0 = 1;
(ii) O domı́nio das funções seno e cosseno é o conjunto IR e o conjunto imagem é o
intervalo [−1, 1];
(iii) As funções seno e cosseno são funções periódicas com peŕıodo 2π, já que sen(x +
2π) = senx e cos(x+ 2π) = cos x;
(iv) A função y = senx é crescente nos intervalos [0, π/2] e [3π/2, 2π] e decrescente no
intervalo [π/2, 3π/2].
(v) A função y = cosx é crescente nos intervalos [π, 2π] e decrescente no intervalo
[0, π].
(vi) O gráfico da função y = senx é donominado senóide e o gráfico da função y = cosx
é donominado de cossenóide.
Figura 2.5: Senóide e cossenóide
Propriedade 2.40 Quaisquer que sejam os reais a e b, temos
sen(a− b) =sena cos b− senb cos a (2.4)
cos(a− b) = cos a cos b+ senasenb (2.5)
cos2 t+ sen2t = 1 (2.6)
Exerćıcio 2.41 a) Mostre que, para todo t real, cos2 t+ sen2t = 1.
b) Mostre que sen é uma função ı́mpar.
Funções de uma variável real a valores reais 17
c) Mostre que cos é uma função par.
d) Mostre que para quaisquer a e b reais, cos(a+ b) = cos a cos b− senasenb e sen(a+
b) = sena cos b+ senb cos a.
e) Mostre que, para todo x, cos(2x) = cos2 x− sen2x e sen(2x) = 2senx cosx.
f) Mostre que, para todo x, cos2 x =
1
2
+
1
2
cos(2x) e que sen2x =
1
2
− 1
2
cos(2x).
g) Calcule: a) cos(π/4), b) sen(π/4), c) cos(π), d) sen(π).
Exerćıcio 2.42
2.4.2 Funções tangente, cotangente, secante e cossecante
Essas funções são definidas em termos de seno e cosseno. A função tg definidas
por tgx =
senx
cosx
, denomina-se função tangente. O domı́nio da função tg é o conjunto de
todos os x tais que cosx 6= 0.
Figura 2.6: Interpretação geométrica da tgx
Geometricamente, a tgx é interpretada como sendo a medida algébrica do seg-
mento AT , onde T é a interseção da reta OP com o eixo das tangentes e ÂP o arco de
medida x radianos. Os triângulos OMP e OAT são semelhantes. Logo:
ĀT
M̄P
=
1
¯OM
⇒ ĀT = M̄P¯OM
⇒ tgx = senx
cosx
.
As funções sec (secante), cotg (cotangente)e cosec (cossecante) são dadas por
secx =
1
cosx
cotgx =
cosx
senx
cosecx =
1
senx
Exemplo 2.43 Determine o domı́nio das seguintes funções:
a) y = cotgx
b) y = cosecx
18
Caṕıtulo 3
Limite e Continuidade
3.1 Noção intuitiva de limite
Inicialmente vamos introduzir a noção intuitiva do conceito de limite e de conti-
nuidade. Para isso, considere os seguintes exemplos de sucessões numéricas.
(a) 1, 2, 3, 4, . . .
(b)
1
2
,
2
3
,
3
4
,
4
5
,
5
6
, . . .
(c) 1, 0, −1, −2, −3, . . .
(d) 1,
3
2
, 3,
5
4
, 5,
7
6
, 7, . . .
Observe que, na sucessão (1) os termos tornam-se cada vez maiores sem atingir
um limite. Dado um número real qualquer, por maior que seja, podemos encontrar nessa
sucessão um número ainda maior. Neste caso, dizemos que os termos dessa sucessão
tendem para o infinito ou que o limite da sucessão é infinito (x → ∞). Na sucessão (2)
os termos crescem, mas não ilimitadamente. Os números aproximam-se cada vez mais de
1, embora nunca atinjam esse valor (x → 1). Já na sucessão (3), podemos observar que
ocorre x→ −∞. Por outro lado, na sucessão (4) os termos oscilam sem tender para um
limite espećıfico.
Intuitivamente, uma função cont́ınua em um ponto p de seu domı́nio é uma função
cujo gráfico não apresenta um “salto” em p.
Observemos, na Figura, que o gráfico da função f não apresenta um salto em
p, logo f é cont́ınua em p. Observe que à medida que x se aproxima de p, quer pela
19
20
Figura 3.1: Função cont́ınua em p e não cont́ınua em p
direita ou pela esquerda, os valores f(x) se aproximam de f(p). Além disso, quanto mais
próximo x estiver de p, mais próximo estará f(x) de f(p). O mesmo não acontece com a
função g, uma vez que g apresenta um salto em p. Logo, g não é cont́ınua em p.
Exemplo 3.1 Analise intuitivamente o conceito de limite para as duas funções a seguir:
f(x) = x, g(x) =
 1 se x ≤ 12 se x > 1, y = 1x e h(x) = x2 + 3x− 2.
Exemplo 3.2 Utilizando a ideia intuitiva de limite, calcule: lim
x→1
(x+ 1) e lim
x→1
x2 − 1
x− 1
.
3.2 Limite
Intuitivamente, dizemos que uma função f(x) tem limite L quando x tende para
a, se é posśıvel tornar f(x) arbitrariamente póximo de L, desde que tomemos valores de x,
x 6= a e suficientemente próximos de a. Agora vamos apresentar formalmente o conceito
de limite.
Definição 3.3 Seja f uma função definida num intervalo aberto I contendo a, exceto
possivelmente no próprio a. Dizemos que f tem limite L quando x tende para a, e deno-
tamos por
lim
x→a
f(x) = L,
se, para todo ε > 0, existe um δ > 0 (δ dependendo de ε), tal que para todo x ∈ D(f)
|f(x)− L| < ε sempre que 0 < |x− a| < δ. Tal número L, quando existe é único.
Resumindo:
lim
x→a
f(x) = L⇔
 ∀ε > 0, ∃δ > 0 tal que, para todo x ∈ D(f)0 < |x− a| < δ ⇒ |f(x)− L| < ε.
Observação 3.4 O limite de f em a (quando x tende para a) não depende do valor (caso
f esteja definida em a) que f assume em a, mas sim dos valores que f assume nos pontos
Limite e Continuidade 21
próximos de a. Quando estivermos interessados no limite de f em a, basta olharmos para
os valores que f assume num “pequeno” intervalo aberto contendo a. O conceito de limite
é um local.
Exemplo 3.5 Usando a Definição 3.3, prove que a) lim
x→1
(3x− 1) = 2, b) lim
x→4
x2 = 16.
Proposição 3.6 (Unicidade do Limite) Se lim
x→a
f(x) = L1 e lim
x→a
f(x) = L2, então
L1 = L2.
Demonstração. Seja ε > 0 arbitrário. Como lim
x→a
f(x) = L1, então da Definição 3.3, existe
δ1 > 0 tal que |f(x) − L1| < ε/2 sempre que 0 < |x − a| < δ1. Do mesmo modo, como
também ocorre lim
x→a
f(x) = L2, então existe δ2 > 0 tal que |f(x) − L2| < ε/2 sempre que
0 < |x− a| < δ2.
Faça δ = min{δ1, δ2}. Então, temos que |L1 − L2| = |L1 − f(x) + f(x) − L2| ≤
|f(x)−L1|+ |f(x)−L2| <
ε
2
+
ε
2
= ε. Uma vez que ε é arbitrário, temos que |L1−L2| = 0
e, portanto, L1 = L2.
A seguir vamos estudar algumas propriedades bastante úteis no cálculo do limite,
e que nos possibilitam calcular limites de funções mais robustos sem a necessidade de usar
a definição de limite.
Proposição 3.7 Se a, m e n são números reais quaisquer, então lim
x→a
(mx+n) = ma+n.
Demonstração. Essa demonstração nas páginas 68− 69 do livro Cálculo A.
Da proposição anterior decorre o seguinte corolário.
Corolário 3.8 Se c é um número real qualquer, então lim
x→a
c = c e lim
x→a
x = a.
Proposição 3.9 Se lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x) existem, e c é um número real qualquer, então:
(a) lim
x→a
[f(x) + g(x)] = lim
x→a
f(x) + lim
x→a
g(x);
(b) lim
x→a
c · f(x) = c · lim
x→a
f(x);
(c) lim
x→a
[f(x) · g(x)] = lim
x→a
f(x) · lim
x→a
g(x);
(d) lim
x→a
f(x)
g(x)
=
lim
x→a
f(x)
lim
x→a
g(x)
;
(e) lim
x→a
[f(x)]n = [lim
x→a
f(x)]n, para qualquer inteiro positivo n;
22
(f) lim
x→a
n
√
f(x) = n
√
lim
x→a
f(x), se lim
x→a
f(x) > 0 e n é um inteiro ou se lim
x→a
f(x) ≤ 0 e n
é um inteiro positivo ı́mpar.
Exemplo 3.10 Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→2
4
2. lim
x→2
(3x− 2)
3. lim
x→2
(x2 + 3x+ 5)
4. lim
x→3
x− 5
x3 − 7
5. lim
x→−2
√
x4 − 4x+ 1
6. lim
x→1
x2 − 1
x− 1
7. lim
x→2
(5x3 − 8)
8. lim
x→1
x4 − 2x+ 1
x3 + 3x2 + 1
9. lim
x→1
f(x), onde f(x) =

x2 − 1
x− 1
se x 6= 1
3 se x = 1.
10. lim
x→3
√
x−
√
3
x− 3
3.2.1 Limites laterais
Vamos verificar nesta seção que o limite existe e é finito se, e somente se, os
limites laterais existem (finitos) e são iguais.
Definição 3.11 Seja f uma função definida num intervalo aberto (a, c). Dizemos que
um número L é o limite à direita da função f quando x tende para a, e denotamos por
lim
x→a+
f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que
a < x < a+ δ ⇒ |f(x)− L| < ε.
Definição 3.12 Seja f uma função definida num intervalo aberto (d, a). Dizemos que
um número L é o limite à esquerda da função f quando x tende para a, e denotamos por
lim
x→a−
f(x) = L, se para todo ε > 0, existe um δ > 0, tal que
a− δ < x < a ⇒ |f(x)− L| < ε.
Limite e Continuidade 23
Observemos que x→ a+ indica que os valores de x são sempre maiores do que a.
Por outro lado, x → a− indica que os valores de x são sempre menores do que a. Além
disso, as propriedades de limites estudadas anteriormente continuam válidas no caso de
limites laterais.
Teorema 3.13 Se f é definida num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no
ponto a, então lim
x→a
f(x) = L se e somente se lim
x→a+
f(x) = L = lim
x→a−
f(x).
Demonstração. Ver página 78 do livro Cálculo A.
Exemplo 3.14 (a) Dada a função f(x) = (1+
√
x− 3), determinar, se posśıvel, lim
x→3+
f(x)
e lim
x→3−
f(x). Verifique se existe o limite lim
x→3
f(x).
(b) Dada a função f(x) =

−|x|
x
, se x 6= 0
1, se x = 0
, determinar, se posśıvel, lim
x→0+
f(x) e
lim
x→0−
f(x). Esboce o gráfico. Verifique se existe o limite lim
x→0
f(x).
(c) Dada a função f(x) = |x|, determinar, se posśıvel, lim
x→0+
f(x) e lim
x→0−
f(x). Esboçar
o gráfico. Verifique se existe o limite lim
x→0
f(x).
(d) Dada a função f(x) =

x2 + 1, se x < 2
2, se x = 2
9− x2, se x > 2
, determinar, se posśıvel, lim
x→2+
f(x),
lim
x→2−
f(x) e lim
x→2
f(x). Esboce o gráfico de f .
3.3 Expressões indeterminadas no cálculo de limites
Muitas vezes, no cálculo de limites, nos deparamos com algumas indeterminações.
Nesses casos, alguns artif́ıcios algébricos são necessários. Algumas das indeterminações
que costuma aparecer são as seguintes:
0
0
,
∞
∞
, ∞−∞, 0 · ∞, 00, ∞0, 1∞. (3.1)
Vejamos, por exemplo, o que ocorre com a indeterminação
0
0
. Para isso, considere
f e g duas funções tais que lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0. Nada se pode afirmar, a priore,
sobre o limite do quociente
f
g
, pois dependendo das funções envolvidas esse limite pode
ser qualquer valor real ou não existir. Por essa maneira, dizemos que
0
0
é um śımbolo de
indeterminação.
24
Exemplo 3.15 (i) Sejam f(x)= x3 e g(x) = x2. Calcule o limite lim
x→0
f(x)
g(x)
.
(ii) Sejam f(x) = x2 e g(x) = 2x2. Calcule o limite lim
x→0
f(x)
g(x)
.
Agora vamos resolver alguns exemplos de cálculo de limites para os quais artif́ıcios
algébricos mais robustos são necessário.
Exemplo 3.16 Calcule os seguintes limites:
(a) lim
x→−2
x3 − 3x+ 2
x2 − 4
(b) lim
x→0
√
x+ 2−
√
2
x
(c) lim
x→1
3
√
x− 1√
x− 1
(d) lim
h→0
(x+ h)2 − x2
h
Termina aqui o conteúdo da primeira avaliação
3.4 Limites no Infinito
Definição 3.17 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (a,+∞). Escreve-
mos, lim
x→+∞
f(x) = L, quando o número L satisfaz a seguinte condição: Para qualquer
ε > 0, existe A > 0 tal que x > A implica que |f(x)− L| < ε.
Definição 3.18 Seja f uma função definida em um intervalo aberto (−∞, b). Escreve-
mos, lim
x→−∞
f(x) = L, quando o número L satisfaz a seguinte condição: Para qualquer
ε > 0, existe B < 0 tal que x < B implica que |f(x)− L| < ε.
Observação 3.19 As propriedades dos limites estudadas na Seção3.2 continuam válidas
para limites no infinito, bastando apenas substituirmos x→ a por x→ +∞ ou x→ −∞.
Teorema 3.20 Se n é um número inteiro positivo, então lim
x→+∞
1
xn
= 0 e lim
x→−∞
1
xn
= 0.
Demonstração. Ver Cálculo A, página 85.
.
Exemplo 3.21 Calcule os seguintes limites:
Limite e Continuidade 25
1. lim
x→+∞
2x− 5
x+ 8
2. lim
x→−∞
2x3 − 3x+ 5
4x5 − 2
3. lim
x→+∞
2x+ 5√
2x2 − 5
4. lim
x→−∞
2x+ 5√
2x2 − 5
3.5 Limites Infinitos
Definição 3.22 Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto,
possivelmente, em x = a. Dizemos que lim
x→a
f(x) = +∞, se para qualquer A > 0, existe
δ > 0 tal que 0 < |x− a| < δ implica que f(x) > A.
Definição 3.23 Seja f uma função definida em um intervalo aberto contendo a, exceto,
possivelmente, em x = a. Dizemos que lim
x→a
f(x) = −∞, se para qualquer B < 0, existe
δ > 0 tal que 0 < |x− a| < δ implica que f(x) < B.
Podemos considerar também os limites laterais infinitos e os limites laterais
no infinito. Existem definições formais para cada um dos limites lim
x→a+
f(x) = +∞,
lim
x→a−
f(x) = +∞, lim
x→a+
f(x) = −∞, lim
x→a−
f(x) = −∞, lim
x→+∞
f(x) = +∞, lim
x→+∞
f(x) =
−∞, lim
x→−∞
f(x) = +∞, e lim
x→−∞
f(x) = −∞.
Algumas propriedades de limites permanecem válidas para limites infinitos, no
entanto devemos tomar bastante cuidado quando combinamos funções envolvendo esses
limites. A Tabela 3.2 nos ajudar nessa tarefa. Observação: 0+ indica que o limite é zero
e a função se aproxima de zero por valores positivos e 0− indica que o limite é zero e a
função se aproxima de zero por valores negativos.
Exemplo 3.24 Determine os seguintes limites:
1. lim
x→0
(x3 +
√
x+
1
x2
)
2. lim
x→+∞
(3x5 − 4x3 + 1)
3. Determinar lim
x→0+
|x|
x2
, lim
x→0−
|x|
x2
e lim
x→0
|x|
x2
4. lim
x→−1
5x+ 2
|x+ 1|
26
Figura 3.2: Tabela retirada do livro Cálculo A p.89
Limite e Continuidade 27
5. Determinar lim
x→2+
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6
, lim
x→2−
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6
e lim
x→2
x2 + 3x+ 1
x2 + x− 6
6. lim
x→+∞
x2 + 3
x+ 2
7. lim
x→+∞
5− x3
8x+ 2
8. lim
x→+∞
2x4 + 3x2 + 2x+ 1
4− x4
9. lim
x→+∞
x2 + 3x− 1
x3 − 2
10. Mostrar que se p(x) = a0x
n + ax
n−1+...+an
1 e q(x) = b0x
m + bx
m−1+...+bm
1 , então
lim
x→±∞
p(x)
q(x)
= lim
x→±∞
a0x
n
b0xm
.
3.6 Asśıntotas
Em aplicações práticas, encontramos com muita frequência gráficos que se apro-
ximam de uma reta à medida que x cresce ou decresce. Essas retas são chamadas de
asśıntotas. Vamos focar nosso estudo em asśıntotas horizontais e verticais.
Definição 3.25 A reta x = a é uma asśıntota vertical do gráfico y = f(x), se pelo menos
uma das seguintes afirmações for verdadeira:
(a) lim
x→a+
f(x) = +∞;
(b) lim
x→a−
f(x) = +∞;
(c) lim
x→a+
f(x) = −∞;
(d) lim
x→a−
f(x) = −∞.
Exemplo 3.26 A reta x = 2 é uma asśıntota vertical do gráfico de y =
1
(x− 2)2
.
Definição 3.27 A reta y = b é uma asśıntota horizontal, se pelo menos uma das seguintes
afirmações for verdadeira:
1. lim
x→+∞
f(x) = b;
2. lim
x→−∞
f(x) = b.
28
Exemplo 3.28 As retas y = 1 e y = −1 são asśıntotas horizontais do gráfico de y =
x√
x2 + 2
.
Definição 3.29 A reta y = ax + b é uma asśıntota inclinada do gráfico de y = f(x), se
pelo menos uma das seguintes afirmações for verdadeira:
1. lim
x→+∞
[f(x)− (ax+ b)] = 0;
2. lim
x→−∞
[f(x)− (ax+ b)] = 0.
Exemplo 3.30 A reta y = 2x é asśıntota do gráfico de y =
2x3
x2 + 4
.
3.7 Continuidade e Teorema do confronto
Definição 3.31 Dizemos que uma função f é cont́ınua em a se as seguintes condições
são satisfeitas:
(i) f é definida no ponto a;
(ii) lim
x→a
f(x) existe;
(iii) lim
x→a
f(x) = f(a)
Observação 3.32 Dizemos que f é cont́ınua em A ⊂ D(f) se f for cont́ınua em todo
a ∈ A. Dizemos, simplesmente, que f é cont́ınua se ela for cont́ınua em todo ponto do
seu domı́nio.
Observação 3.33 As funções constante, afim, polinomiais, racionais, seno, cosseno e
exponencial são cont́ınuas em todo o seus domı́nios.
Exemplo 3.34 a) Verifique se as funções f e g dadas por f(x) =
x2 − 1
x− 1
e
g(x) =

x2 − 1
x− 1
, se x 6= 1
1, se x = 1,
são cont́ınuas em a = 1.
b) Verifique que função dada por
f(x) =

x
|x|
, se x 6= 0
0, se x = 0,
é cont́ınua em a = 0.
Limite e Continuidade 29
c) Verifique que função dada por
h(x) =
 x+ 3, se x ≥ −1−x+ 1, se x < −1,
é cont́ınua.
3.7.1 Propriedades das funções cont́ınuas
Se f e g são funções cont́ınuas em a, então:
(i) f + g é cont́ınua em a;
(ii) f − g é cont́ınua em a;
(iii) f · g é cont́ınua em a;
(iv) f/g é cont́ınua em a, desde que g(a) 6= 0.
Agora que já sabemos formalmente o que é uma função cont́ınua, vejamos a
seguinte proposição que trata do limite de uma função composta.
Proposição 3.35 Sejam f e g funções tais que lim
x→a
f(x) = b e g é cont́ınua em b. Então,
lim
x→a
(g ◦ f)(x) = lim
x→a
g(f(x)) = g[lim
x→a
f(x)] = g(b).
O seguinte resultado nos diz que a composta de duas funções cont́ınuas ainda é
uma função cont́ınua.
Proposição 3.36 Sejam f é cont́ınua em a e g é cont́ınua em f(a), então a função
composta g ◦ f é cont́ınua em a.
3.7.2 Outras propriedades de limites
As seguintes propriedades a seguir são consequências da continuidade das funções
envolvidas. Se lim
x→a
f(x) e lim
x→a
g(x) existem, então:
1. lim
x→a
ln[f(x)] = ln[lim
x→a
f(x)], se lim
x→a
f(x) > 0;
2. lim
x→a
cos[f(x)] = cos[lim
x→a
f(x)];
3. lim
x→a
sen[f(x)] = sen[lim
x→a
f(x)];
30
4. lim
x→a
ef(x) = elimx→a f(x).
Teorema 3.37 (Teorema do Confronto ou do sandúıche) Se f(x) ≤ h(x) ≤ g(x)
para todo x num intervalo aberto contendo a, exceto possivelmente no próprio a, e se
lim
x→a
f(x) = L = lim
x→a
g(x), então lim
x→a
h(x) = L.
Exemplo 3.38 Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→π
sen(2x);
2. lim
x→π
2
[2senx− cosx+ cotgx];
3. lim
x→4
(ex + 4x);
4. Encontrar lim
x→0
x2|sen(1/x)|.
3.8 Limites fundamentais
Vamos estudar três limites que caracterizam alguns casos particulares das inde-
terminações do tipo 0/0, 1∞ e∞0. Tais limites são conhecidos como limites fundamentais.
Proposição 3.39 lim
x→0
senx
x
= 1.
Demonstração.
Figura 3.3: Circunferência unitária
Considere a circunferência de raio 1. Seja x a medida em radianos do arco ÂOM ,
com a variação de x limitada ao intervalo (0, π/2). Observando a Figura 3.3, temos as
seguintes equivalências:
Limite e Continuidade 31
area∆MOA < area setorMOA < area∆AOT ⇒ ⇒ OAMM
′
2
<
OAÂM
2
<
OAAT
2
⇒ senx < x < tgx⇒ 1 < x
senx
<
1
cosx
.
Do fato das funções
senx
x
e cosx serem par, e do Teorema do confronto, segue o
resultado.
Obs.: A demonstração com mais detalhes será feita na aula.
Exemplo 3.40 Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→0
sen(2x)
x
2. lim
x→0
sen(3x)
sen(4x)
3. lim
x→0
tgx
x
Proposição 3.41 lim
x→±∞
(
1 +
1
x
)x
= e, ondee é o número irracional neperiano cujo
valor aproximado é 2, 718281828459...
Demonstração. A demonstração será omitida.
Exemplo 3.42 1. Prove que lim
x→0
(1 + x)1/x = e
2. Calcule lim
t→0
ln(1 + t)1/t
Proposição 3.43 lim
x→0
ax − 1
x
= ln a, onde a > 0 e a 6= 1.
Demonstração. A demonstração será feita na aula.
Exemplo 3.44 Calcule os seguintes limites:
1. lim
x→0
ax − bx
x
2. lim
x→1
ex−1 − ax−1
x2 − 1
32
Caṕıtulo 4
Derivada
4.1 A reta tangente
Vide o caṕıtulo 3 da Apostila de Cálculo I do professor Jackson
4.2 A derivada de uma função
Primeiramente, vejamos a definição da derivada de uma função num ponto.
Definição 4.1 (Derivada de f em a) Dizemos que f é derivável em a, se o limite
lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
existe e é finito. Neste caso, tal limite é chamado de derivada de f em a e denotamos por
f ′(a), logo
f ′(a) = lim
x→a
f(x)− f(a)
x− a
.
Observação 4.2 Existem outras maneiras de escrever a definição 4.1, por exemplo: Fa-
zendo a substituição x = h+ a, a derivada de f em a também pode ser escrita na forma
f ′(a) = lim
h→0
f(a+ h)− f(a)
h
.
Por outro lado, fazendo a substituição x = ∆x + a, a derivada de f em a também pode
ser escrita na forma
f ′(a) = lim
∆x→0
f(a+ ∆x)− f(a)
∆x
.
Exemplo 4.3 (a) Seja f a função dada por f(x) = 5x2 + 6x− 1. Usando a definição
calcule f ′(2).
33
34
(b) Seja f a função dada por f(x) = |x|. Mostre que não existe f ′(0). Mostre que
f é cont́ınua em x = 0. Observe que, mesmo sendo cont́ınua em x = 0 a função
modular não é derivável neste ponto. Ou seja, uma função ser cont́ınua num ponto
não implica que a mesma seja derivável em tal ponto.
Definição 4.4 A derivada de uma função f , dada por f(x), é a função f ′, dada por f ′(x)
(lê-se f linha de x) tal que o seu valor em qualquer ponto do domı́nio de f , x ∈ D(f), é
dado por:
f ′(x) = lim
h→0
f(x+ h)− f(x)
h
,
se este limite existe e é um número finito. Dizemos que a função é derivável quando existe
a derivada em todos os pontos do seu domı́nio.
Observação 4.5 Notações: f ′(x); ou Dxf (lê-se derivada de f em relação a x); ou Dxy
(lê-se derivada de y em relação a x); ou ainda
dy
dx
(lê-se derivada de y em relação a x),
entre outras.
Observação 4.6 Diremos, simplesmente, que a função f é derivável, se f for derivável
em todo ponto do seu domı́nio.
Exemplo 4.7 Seja f a função dada por f(x) =
x− 2
x+ 3
. Usando a definição, determine
f ′(x).
Exerćıcio 4.8 Encontre a equação da reta tangente à curva y =
√
x, que seja paralela à
reta 8x− 4y + 1 = 0.
Exerćıcio 4.9 Encontre a equação para a reta normal à curva y = x2 no ponto (2, 4).
4.3 Regras de derivação
Agora vamos estudar algumas regras que nos permite calcular a derivada sem o
uso da definição. Para isso, considere f e g duas funções deriváveis e c uma constante.
Propriedade 4.10 (P1) Derivada de uma constante: se f(x) = c, para todo x,
então f ′(x) = 0.
(P2) Regra da potência: se n é um número inteiro positivo e f(x) = xn, então f ′(x) =
nxn−1. Além disso,
Derivada 35
(a) Se f(x) = x−n, então f ′(x) = (−n)x−n−1;
(b) Se f(x) = x1/n, então f ′(x) =
1
n
x
1
n
−1, onde x > 0 se n for par e x 6= 0 se n
for ı́mpar (n ≥ 2).
(P3) Derivada do produto de uma constante por uma função: se g(x) = cf(x),
então g′(x) = cf ′(x).
(P4) Derivada da soma (ou diferença): se h(x) = f(x) ± g(x), então h′(x) =
f ′(x)± g′(x).
(P5) Derivada da produto: se h(x) = f(x) ·g(x), então h′(x) = f ′(x)g(x)+f(x)g′(x).
(P6) Derivada da quociente: se h(x) =
f(x)
g(x)
, então h′(x) =
f ′(x)g(x)− f(x)g′(x)
[g(x)]2
.
Exemplo 4.11 Calcule a derivada das seguintes funções:
1. g(x) = 3 + π;
2. f(x) = esen3;
3. f(x) = 3x5;
4. f(x) = x−3;
5. f(x) =
1
x5
;
6. f(x) =
√
x;
7. f(x) = 3
√
x;
8. f(x) = 3x6 − 2x3 + 3x− 2;
9. f(x) = x5 − x4 + 3x2 − 2x+ π;
10. f(x) = (x− 1)(x2 + 3x);
11. f(x) = (x2 − 3)(3x2 + x− 2);
12. f(x) =
x− 3
x2 − 1
;
13. f(x) =
x4 − 2x+ π
x2 + 1
;
Exerćıcio 4.12 Estudar a Seção 4.2 (Velocidade e aceleração) do livro Cálculo A.
36
4.4 Derivadas de ex e lnx
Teorema 4.13 São válidas as seguintes fórmulas de derivação:
(a) Se f(x) = ex, então f ′(x) = ex.
(b) Se g(x) = ln x, então g′(x) =
1
x
, com x > 0.
Demonstração. Será feita na aula.
.
Exemplo 4.14 Calcule a derivada das seguintes funções:
(a) f(x) = x5 − 3x2 + ex;
(b) g(x) = 3ex + 3π;
(c) h(x) = 3x4 + e+ ln x;
Exerćıcio 4.15 1. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ex no
ponto de abscissa 0.
2. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = ln x no ponto de abscissa
1. Esboce os gráficos de f e da reta tangente.
3. Seja f(x) = ax, onde a > 0 e a 6= 1 é um número real dado. Mostre que f ′(x) =
ax ln a.
4. Baseados no exerćıcio anterior, calcule a derivada das seguintes funções:
(a) f(x) = 2x;
(b) f(x) = πx;
(c) f(x) = 5x;
(d) f(x) = ex.
5. Seja g(x) = logax, onde a > 0 e a 6= 1 é uma constante. Mostre que g′(x) =
1
xln a
.
6. Baseados no exerćıcio anterior, calcule a derivada das seguintes funções:
(a) g(x) = log3x;
(b) f(x) = log5x;
(c) f(x) = logπx;
(d) f(x) = ln x.
Derivada 37
4.5 Derivadas das funções trigonométricas
Agora vamos estudar as derivadas das funções trigonométricas. Faremos algumas
demonstrações em sala, as que forem omitidas fica como exerćıcio para vocês.
Observação 4.16 Lembremos que: tgx =
senx
cosx
, cotgx =
cosx
senx
, secx =
1
cosx
e cossecx =
1
senx
.
Teorema 4.17 São válidas as seguintes fórmulas de derivação:
(a) sen′x = cosx;
(b) cos′x = −senx;
(c) tg′x = sec2x;
(d) sec′x = secx tgx;
(e) cotg′x = −cossec2x;
(f) cossec′x = −cossecx cotgx.
Demonstração. Faremos as demonstrações de alguns dos itens em sala de aula, os demais
ficarão como exerćıcio. Dica: para as demonstrações dos itens (a) e (b) utilize as seguintes
fórmulas trigonométricas:
sen(p)− sen(q) = 2sen
(
p− q
2
)
cos
(
p+ q
2
)
e
cos(p)− cos(q) = −2sen
(
p+ q
2
)
sen
(
p− q
2
)
.
Exemplo 4.18 Faça o que se pede:
1. Dada f(x) = senx+ cosx, calcule f ′(x) e f ′(π);
2. Dada g(x) = 4x2 − 3cosx+ 2senx, calcule g′(x);
3. Dada h(x) = (1 + senx)(x3 − 1), calcule h′(x);
4. Determine a equação da reta tangente ao gráfico de f(x) = senx no ponto de abs-
cissa 0.
38
4.6 Continuidade de funções deriváveis
Vimos que função modular, dada por f(x) = |x|, é cont́ınua em x = 0 mas não
é derivável neste ponto. Ou seja, uma função ser cont́ınua num ponto não implica que a
mesma seja derivável em tal ponto. No entanto, a rećıproca é verdadeira, como mostra o
teorema a seguir.
Teorema 4.19 Se f é uma função derivável em a, então f é cont́ınua em a.
Demonstração. A demonstração será feita em sala.
Observação 4.20 Segue do teorema que se f não for cont́ınua em a, então f não poderá
ser derivável em a.
Exemplo 4.21 A função f dada por f(x) =
 x2 se x ≤ 12 se x > 1 é derivável em 1? Justi-
fique.
Exemplo 4.22 A função g dada por g(x) =
 x2 se x ≤ 11 se x > 1 é cont́ınua em 1? f é
diferenciável em 1?
Exemplo 4.23 A função h dada por h(x) =
 x2 se x ≤ 12x− 1 se x > 1 é derivável em 1? f
é cont́ınua em 1?
Exerćıcio 4.24 Seja f(x) =
 x+ 1 se x < 21 se x ≥ 2 (a) f é cont́ınua em 2? Por quê? b)
É derivável em 2? Por quê?
Exerćıcio 4.25 Seja f(x) =
 x2 se x ≤ 0−x2 se x > 0 (a) f é derivável em 0? Justifique. b)
É cont́ınua em 0? Justifique.
Exerćıcio 4.26 Seja f(x) =
 −x+ 3 se x < 3x− 3 se x ≥ 3 (a) f é derivável em 3? Justifique.
b) É cont́ınua em 3? Justifique.
Derivada 39
4.7 A derivada de uma função composta - Regra da
Cadeia
Sejam y = g(u) e u = f(x) duas funções deriváveis. Para todo x tal que f(x)
está no domı́nio de g, podemos escrever y = g(u) = g(f(x)), isto é, podemos considerar
a função composta (g ◦ f)(x). A proposição a seguir, chamada de Regra daCadeia, nos
mostra que a função composta g ◦ f é derivável e que sua derivada é dada em termos das
derivadas de f e g.
Proposição 4.27 (Regra da Cadeia) Se y = g(u), u = f(x) e as derivadas
dy
du
e
du
dx
existem, então a função composta y = g(f(x)) tem derivada dada por:
dy
dx
=
dy
du
· du
dx
ou y′(x) = g′(f(x)) f ′(x). (4.1)
Observação 4.28 Supondo g derivável, é fácil verificar através da Regra da Cadeia que:
(a) [eg(x)]′ = eg(x)g′(x).
(b) [ln g(x)]′ =
g′(x)
g(x)
.
(c) [cos(g(x))]′ = −g′(x)sen(g(x)).
(d) [sen(g(x))]′ = g′(x)cos(g(x)).
(e) [(g(x))n]′ = n(g(x))n−1g′(x).
(f) [(g(x))1/n]′ =
1
n
(g(x))
1
n
−1g′(x) (n ≥ 2).
Exemplo 4.29 1. Dada a função y = (x2 + 5x+ 2)7, calcule
dy
dx
.
2. Dada a função f(x) =
(
3x+ 2
2x+ 1
)5
, determine f ′(x).
3. Dada a função y = (3x2 + 1)3(x− x2)2, calcule y′.
4. Calcule a derivada das funções: y = e3x, y = sen(t2), f(x) = cos(3x) e g(x) =
ln(x2 + 3).
5. Dada a função f(x) = 5
3
√
x2, determine f ′(x).
6. Dada a função g(t) =
t2
3
√
t3 + 1
, determine g′(t).
40
7. Seja f : IR→ IR uma função derivável e seja g(x) = f(cosx). Calcule g′(π
3
) supondo
que f ′(
1
2
) = 4.
Observação 4.30 Valem todas as regras de derivação estudadas para o caso da derivada
de funções compostas.
Exemplo 4.31 1. Calcule a derivada de y = x2e3x.
2. Calcule a derivada das funções: f(x) =
(
x+ 1
x2 + 1
)4
e y =
3
√
x2 + 3.
3. Calcule a derivada de y = u1/3, onde u = x2 + 3.
4. Calcule a derivada de y = x8 + (2x+ 4)3 +
√
x.
5. Calcule a derivada de y =
x+ 1√
x2 − 3
.
6. Calcule a derivada de y = 3x(8x3 − 2).
7. Calcule a derivada de y =
3
√
6x2 + 7x+ 2.
8. A função diferenciável y = f(x) é tal que, para todo x ∈ D(f), xf(x)+sen(f(x)) =
4. Mostre que f ′(x) =
−f(x)
x+ cos(f(x))
, para todo x ∈ D(f), com x+ cos(f(x)) 6= 0.
4.7.1 A derivada da função exponencial composta
Sejam f e g duas funções deriváveis num mesmo conjunto A, com f(x) > 0 para
todo x ∈ A. Consideremos a função definida em A e dada por y = f(x)g(x). Então,
[f(x)g(x)]′ = f(x)g(x)[g(x)ln(f(x))]′
. Nota: faremos essa demonstração em sala de aula.
Exemplo 4.32 Calcule a derivada das seguintes funções
1. y = xx
2. y = 3x
3. f(x) = x
√
2
4. y = 8x + log2x
Derivada 41
Exerćıcio 4.33 Calcule a derivada das seguintes funções
1. y = cos(1/x)
2. f(x) = 3tg(
√
x) + cotg(3x)
3. y =
cosx
1 + cotgx
4. f(x) = sec(x2 + 3x+ 7)
5. y = cosec
(
x+ 1
x− 1
)
4.8 Função inversa
Definição 4.34 Seja F : A → B uma função de A em B dada por y = f(x) . Se para
cada y ∈ B, existir exatamente um valor de x ∈ A tal que y = f(x), então podemos
definir uma função g : B → A tal que x = g(y). A função g definida desta maneira é
chamada função inversa de f e denotada por f−1.
Exemplo 4.35 1. A função f : IR→ IR dada por y = 2x−5 tem como função inversa
f−1 : IR→ IR definida por x = 1
2
(y + 5).
2. A função f : IR−{3} → IR−{−1} definida por y = x− 1
3− x
admite a função inversa
f−1 : IR− {−1} → IR− {3} definida por x = 1 + 3y
y + 1
.
Observação 4.36 Graficamente podemos determinar se uma função admite inversa. Pas-
sando uma reta paralela ao eixo dos x, esta deve cortar o gráfico em apenas um ponto.
Isso pode ser observado no gráfico da função y = x2, logo esta função não admite inversa.
No entanto, fazendo uma restrição conveniente do domı́nio, essa mesma função passa a
admitir inversa. Por exemplo, para x ≥ 0 existe a inversa x1 =
√
y e para x ≤ 0 existe a
inversa x1 = −
√
y
Observação 4.37 Para fazer o gráfico da função inversa basta traçar a reta y = x e
observar a simetria.
Exemplo 4.38 1. A função f : [0,∞)→: [0,∞) dada por f(x) = x2 tem como função
inversa g : [0,∞)→: [0,∞) definida por g(x) =
√
x.
2. A função f : IR → IR definida por y = x3 admite a função inversa g : IR → IR
definida por x = 3
√
x.
42
4.9 A derivada da função inversa
Teorema 4.39 Seja y = f(x) uma função definida em um intervalo aberto (a, b). Su-
ponhamos que f(x) admita uma função inversa x = g(y) cont́ınua. Se f ′(x) existe e é
diferente de zero para qualquer x ∈ (a, b), então g = f−1 é derivável e vale:
g′(y) =
1
f ′(x)
=
1
f ′[g(y)]
.
Exemplo 4.40 Seja f a função dada por f(x) = 4x− 3. Calcule a função inversa de f
e a sua derivada.
Exemplo 4.41 Seja y = 8x3, calcule a sua inversa. Calcule a derivada da função e a
derivada da sua inversa.
4.9.1 Derivada das funções trigonométricas inversas
Da Definição 4.34 podemos concluir que é imposśıvel definir uma função inversa
para a função y = senx, uma vez que para cada valor de y há uma infinidade de valores
x tais que senx = y. Portanto, para definirmos a função inversa de y = senx é necessário
restringir o seu domı́nio. Este fato ocorre com as demais funções trigonométricas.
Definição 4.42 Funções arco seno e arco cosseno:
(i) Função arco seno: seja f : [−π/2, π/2] → [−1, 1] a função definida por f(x) =
senx. A função inversa de f é chamada arco seno, denotada por arc sen, e é
dada por f−1 : [−1, 1] → [−π/2, π/2], onde f−1(x) = arc senx. Simbolicamente,
para
−π
2
≤ y ≤ π
2
, escrevemos a equivalência:
y = arc senx ⇔ x = seny.
(ii) Função arco cosseno: seja f : [0, π]→ [−1, 1] a função definida por f(x) = cosx.
A função inversa de f é chamada arco cosseno, denotada por arc cos, e é dada por
f−1 : [−1, 1] → [0, π], onde f−1(x) = arc cosx. Simbolicamente, para 0 ≤ y ≤ π,
escrevemos a equivalência:
y = arc cosx ⇔ x = cosy.
Observação 4.43 Observe que, nas definições das funções arco seno e arco cosseno,
podeŕıamos ter restringido o domı́nio a outros intervalos.
Derivada 43
Observação 4.44 Para mais detalhes sobre as demais funções trigonométricas inversas,
basta consultar um dos livros sugeridos nas referências bibliográficas da disciplina.
Vejamos alguns exemplos de derivadas das funções trigonométrica inversas.
1. Derivada da função arco seno: Seja f : [−1, 1] → [−π/2, π/2] definida por
f(x) = arc senx. Então f é derivável em (−1, 1) e f ′(x) = 1√
1− x2
.
2. Derivada da função arco cosseno: Seja f : [−1, 1]→ [0, π] definida por f(x) =
arc cosx. Então f é derivável em (−1, 1) e f ′(x) = −1√
1− x2
.
3. Derivada da função arco tangente: Seja f : IR → (−π/2, π/2) definida por
f(x) = arc tgx. Então f é derivável e f ′(x) =
1
1 + x2
.
4. Derivada da função arco cotangente: Se f(x) = arc cotgx, então f ′(x) =
−1
1 + x2
.
5. Derivada da função arco secante: Se f(x) = arc secx, |x| ≥ 1, então f ′(x) =
1
|x|
√
x2 − 1
, |x| > 1.
6. Derivada da função arco cossecante: Se f(x) = arc cosecx, |x| ≥ 1, então
f ′(x) =
−1
|x|
√
x2 − 1
, |x| > 1.
Observação 4.45 Também podemos aplicar a regra da cadeia nas derivadas das funções
trigonométricas inversas, caso seja necessário.
Exemplo 4.46 Determine a derivada das seguintes funções:
(a) y = arc sen(x+ 1)
(b) y = arc tg
(
1− x2
1 + x2
)
(c) y = arc cos (2x+ 1)
4.9.2 Derivada das funções hiperbólicas
As funções hiperbólicas são definidas em termos da função exponencial, logo suas
derivadas podem ser determinadas facilmente.
44
Definição 4.47 As funções seno hiperbólico, denotada por senh, e cosseno hi-
perbólico, denotada por cosh, são definidas por:
senh x =
ex − e−x
2
cosh x =
ex + e−x
2
.
Observação 4.48 As expressões exponenciais que definem as funções hiperbólicas sur-
gem frequentemente na Matemática Aplicada. E o comportamento dessas funções nos
levam a fazer uma analogia com as funções trigonométricas.
Observação 4.49 A partir das funções senhx e coshx obtemos as funções tghx =
senhx
coshx
=
ex − e−x
ex + e−x
, cotghx =
coshx
senhx
=
ex + e−x
ex − e−x
, sechx =
1
coshx
=
2
ex + e−x
e cossechx =
1
senhx
=
2
ex − e−x
.
Nota: para mais detalhes, consultar nossas referências bibliográficas.
Observação 4.50 O domı́nio das funções senh e cosh é dado pelo intervalo(−∞, +∞).
O conjunto imagem da função senh é o intervalo (−∞, +∞), enquanto que a imagem de
cosh é o intervalo [1, +∞).
Vejamos as derivadas das funções hiperbólicas, já com o uso da regra da cadeia:
1. y = senh u ⇒ y′ = cosh u · u′
2. y = cosh u ⇒ y′ = senh u · u′
3. y = tgh u ⇒ y′ = sech2 u · u′
4. y = cotgh u ⇒ y′ = −cossech2 u · u′
5. y = sech u ⇒ y′ = −sech u · tgh u · u′
6. y = cossech u ⇒ y′ = −cossech u · cotgh u · u′
Exemplo 4.51 Determinar a derivada das seguintes funções:
(a) y = senh(x3 + 3)
(b) y = cosh(x3 + 3)
(c) y = sech(2x)
(d) y = ln[tgh(3x)]
(e) y = cotgh(1− x3)
Derivada 45
4.10 Derivadas de ordem superior
Sejam f uma função e A o conjunto dos x para os quais f ′(x) existe. A função
f ′ : A→ IR dada por x 7→ f ′(x), denomina-se função derivada ou, simplesmente, derivada
de f . Diremos ainda que f ′ é a derivada de primeira ordem de f , que também pode ser
indicada por f (1).
A derivada de f ′ denomina-se derivada de segunda ordem de f e é indicada por f ′′
ou f (2). Assim, f ′′ = (f ′)′. De maneira análoga defini-se as derivadas de ordens superiores
a 2 de f .
Exemplo 4.52 Seja f(x) = 3x3 − 6x+ 1. Determine f ′, f ′′ e f ′′′.
Exemplo 4.53 Seja f(x) =
 x2 se x ≤ 11 se x > 1. Determine f e f ′ e, em seguida, esboce
os seus gráficos.
4.11 Derivação de uma função dada implicitamente
Consideremos uma equação nas variáveis x e y. Dizemos que uma função y = f(x)
é dada implicitamente por tal equação se, para todo x no domı́nio de f , o ponto (x, f(x))
for solução da equação.
Exemplo 4.54 Seja a equação x2+y2 = 1. A função y =
√
1− x2 é dada implicitamente
pela equação, pois para todo x em [−1, 1], temos que x2 + (
√
1− x2)2 = 1. Observe que a
função y = −
√
1− x2 é, também, dada implicitamente por tal equação.
Exemplo 4.55 Determine uma função que seja dada implicitamente pela equação y2 +
xy − 1 = 0.
Nem sempre é posśıvel encontrar a forma expĺıcita de uma função definida im-
plicitamente. Por exemplo, como explicitar uma função y = f(x) definida pela equação
y4 + 3xy+ 2ln(y) = 0? O método da derivação impĺıcita permite encontrar a derivada de
uma função assim definida, sem a necessidade de explicitá-la. Para isso, deve-se fazer uso
da cadeia. Vejamos na resolução dos exemplos a seguir em sala de aula.
Exemplo 4.56 Seja y = f(x), x ∈ IR, a função dada implicitamente pela equação y3 +
y = x. Suponha que f seja derivável. Mostre que f ′(x) =
1
3[f(x)]2 + 1
. Em seguida,
determine a equação da reta tangente ao gráfico de f no ponto (10, f(10)).
46
Exemplo 4.57 Sabendo que y = f(x) é uma função derivável definida implicitamente
pela equação x2 + y2 = 4, determinar y′.
Exemplo 4.58 Sabendo que y = f(x) é definida pela equação xy2 + 2y3 = x − 2y,
determinar y′.
Exemplo 4.59 Se y = f(x) é definida por x2y2 + xsen(y) = 0, determinar y′.
Caṕıtulo 5
Aplicações das Derivadas
Agora vamos estudar algumas das aplicações das derivadas. Em diversas áreas
encontramos problemas que são resolvidos utilizando a derivada como uma taxa de va-
riação, estudaremos alguns casos. Também vamos analisar o comportamento das funções
e a construção de seus gráficos através das definições e teoremas envolvendo derivadas.
Além disso, vamos estudar as regras de L’Hospital, que são usadas nos cálculos de alguns
limites.
5.1 Velocidade e Aceleração. Taxa de Variação
Suponhamos que uma part́ıcula se desloca sobre o eixo x com função de posição
x = f(t). Isto significa dizer que a função f fornece a cada instante a posição ocupada
pela part́ıcula na reta. A velocidade média da part́ıcula entre os instantes t e t + ∆t é
definida pelo quociente
f(t+ ∆t)− f(t)
∆t
,
onde ∆x = f(t + ∆t)− f(t) é o deslocamento da part́ıcula entre os instantes t e t + ∆t.
A velocidade da part́ıcula no instante t é definida como sendo a derivada (caso exista) de
f em t, isto é:
v(t) =
dx
dt
= f ′(t). (5.1)
Assim, pela definição de derivada,
v(t) = lim
∆t→0
f(t+ ∆t)− f(t)
∆t
. (5.2)
A aceleração no instante t é definida como sendo a derivada em t da função
47
48
v = v(t):
a(t) =
dv
dt
=
d2x
dt2
. (5.3)
Pela definição de derivada,
a(t) = lim
∆t→0
v(t+ ∆t)− v(t)
∆t
. (5.4)
O quociente
v(t+ ∆t)− v(t)
∆t
é a acelaração média entre os instantes t e t+ ∆t.
Exemplo 5.1 Uma part́ıcula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição
x é dada por x = t2, t ≥ 0, onde x é dado em metros e t em segundos.
(a) Determine as posições ocupadas pela part́ıcula nos instantes t = 0, t = 1 e t = 2;
(b) Qual é a velocidade no instante t?
(c) Esboce o gráfico da função de posição.
Exemplo 5.2 Uma part́ıcula move-se sobre o eixo x de modo que no instante t a posição
x é dada por x = cos(3t), t ≥ 0. Suponha x dado em metros e t em segundos.
(a) Determine as posições ocupadas pela part́ıcula nos instantes t = 0, t = π/6, t = π/3,
t = π/2 e t = 2π/3;
(b) Qual é a velocidade no instante t?
(c) Qual é a aceleração no instante t?
(d) Esboce o gráfico da função de posição.
Exemplo 5.3 Um ponto move-se ao longo do gráfico de y = x2 + 1 de tal modo que a
sua abscissa x varia a uma velocidade constante 3 (cm/s). Qual é, quando x = 4 (cm),
a velocidade da ordenada y?
Exemplo 5.4 O raio r de uma esfera está variando, com o tempo, a uma taxa constante
de 5 (m/s). Com que taxa estará variando o volume da esfera no instante em que r =
2 (m)?
Exemplo 5.5 Um ponto P move-se sobre a elipse 4x2 + y2 = 1. Sabe-se que as coor-
denadas x(t) e y(t) de P são funções definidas e deriváveis num intervalo I. Verifique
que
dy
dt
=
−4x
y
dx
dt
,
em todo t ∈ I, com y(t) 6= 0.
Aplicações da Derivada 49
Exemplo 5.6 Uma cidade X é atingida por uma moléstia epidêmica. Os setores de
saúde calculam que o número de pessoas atingidas pela moléstia depois de um tempo t
(medido em dias a partir do primeiro dia da epidemia) é aproximadamente, dado por
f(t) = 64t− t
3
3
.
(a) Qual é a razão da expansão da epidemia no tempo t = 4?
(b) Qual é a razão da expansão da epidemia no tempo t = 8?
(c) Quantas pessoas serão atingidas pela epidemia no quinto dia?
Exemplo 5.7 Analistas de produção verificam que, em uma montadora x, o número de
peças produzidas nas primeiras t horas diárias de trabalho é dado por:
f(t) =
 50(t2 + t), para 0 ≤ t ≤ 4200(t+ 1), para 4 ≤ t ≤ 8. (5.5)
(a) Qual é razão de produção (em unidades por hora) após 3 horas de trabalho? E após
7 horas?
(b) Quantas peças são produzidas na oitava hora de trabalho?
Exerćıcio 5.8 Resolver os exemplos e exerćıcios do livro Cálculo A e ou Guidorizzi.
5.2 Máximos e Mı́nimos
A Figura 5.1 nos mostra o gráfico de uma função y = f(x), com os seguintes
pontos de abscissas x1, x2, x3 e x4 em destaque.
Figura 5.1: Exemplo de extremos relativos. Fonte: livro Cálculo A
50
Tais pontos são chamados de pontos extremos da função. Os valores f(x1) e f(x3)
são chamados máximos relativos e f(x2) e f(x4) são chamados mı́nimos relativos.
Definição 5.9 Uma função f tem um máximo relativo em c, se existir um intervalo
aberto I, contendo c, tal que f(c) ≥ f(x), para todo x ∈ I ∩D(f).
Definição 5.10 Uma função f tem um mı́nimo relativo em c, se existir um intervalo
aberto I, contendo c, tal que f(c) ≤ f(x), para todo x ∈ I ∩D(f).
Exemplo 5.11 A função f(x) = 3x4 − 12x2 tem um máximo relativo em c1 = 0, pois
existe o intervalo (−2, 2) tal que f(0) ≥ f(x) para todo x ∈ (−2, 2).
Figura 5.2: Gráfico da função do exemplo 5.11. Fonte: livro Cálculo A
A proposição a seguir permite encontrar com precisão os extremos de uma função.
Proposição 5.12 Suponhamos que f(x) existe para todos os valores de x ∈ (a, b) e que
f tem um extremo relativo em c, onde a < c < b. Se f ′(c) existe, então f ′(c) = 0.
Observação 5.13 Geometricamente, se f tem um extremo relativo em c e se f ′(c) existe,então o gráfico de y = f(x) tem uma reta tangente horizontal no ponto de abscissa c.
Observação 5.14 Quando f ′(c) existe, a condição f ′(c) = 0 é necessária para a existência
de um extremo relativo em c. No entanto, esta condição não é suficiente, isto significa
que se f ′(c) = 0 a função f pode ter ou não um extremo relativo em c. Por outro lado,
quando f ′(c) não existe f pode ou não ter extremo relativo em c.
O ponto de abscissa c ∈ D(f) tal que f ′(c) não existe f ou f ′(c) = 0 é chamado
de ponto cŕıtico de f . Portanto, uma condição necessária para que para a existência de
um extremo relativo em um ponto de abscissa c é que ele seja um ponto cŕıtico.
Aplicações da Derivada 51
Figura 5.3: Pontos cŕıticos. Fonte: livro Cálculo A
Uma função definida num dado intervalo pode admitir diversos pontos extremos
relativos. O maior valor da função num intervalo é chamado máximo absoluto da função
nesse intervalo. Analogamente, o menor valor da função num intervalo é chamado mı́nimo
absoluto da função nesse intervalo.
Proposição 5.15 Seja f : [a, b] → IR uma função cont́ınua, definida num intervalo
fechado [a, b]. Então f assume máximo e mı́nimo absoluto em [a, b].
Definição 5.16 Dizemos que f(c) é o máximo absoluto da função f , se c ∈ D(f) e
f(c) ≥ f(x), para todo x ∈ D(f).
Definição 5.17 Dizemos que f(c) é o mı́nimo absoluto da função f , se c ∈ D(f) e
f(c) ≤ f(x), para todo x ∈ D(f).
Exemplo 5.18 Verifique que a função f(x) = x2 + 6x−3 tem um mı́nimo absoluto igual
a −12 no ponto de abscissa −3.
Exemplo 5.19 Verifique que a função f(x) = −x2 + 6x − 3 tem um máximo absoluto
igual a 6 no ponto de abscissa 3.
5.3 Teoremas sobre Derivadas
Teorema 5.20 (Teorema de Rolle) Seja f uma função definida e cont́ınua em [a, b] e
derivável em (a, b). Se f(a) = f(b) = 0, então existe pelo menos um ponto c ∈ (a, b) tal
que f ′(c) = 0.
52
Sob as mesmas hipóteses o Teorema de Rolle pode ser estendido para funções tais
que f(a) = f(b) 6= 0. A Figura 5.4 mostra alguns exenplos de funções em que o Teorema
de Rolle é válido.
Figura 5.4: Exemplos de aplicações do Teorema de Rolle. Fonte: livro Cálculo A
Agora vamos apresentar o enunciado de um dos teoremas mais importantes do
cálculo, o Teorema do Valor Médio (TVM). Estamos interessados no entendimento e no
significado geométrico do TVM, de modo que sua demonstração será omitida.
Teorema 5.21 (Teorema do Valor Médio) Seja f uma função cont́ınua em [a, b] e
derivável em (a, b). Então existe pelo menos um c ∈ (a, b) tal que,
f ′(c) =
f(b)− f(a)
b− a
Geometricamente, o TVM nos afirma que se a função y = f(x) é cont́ınua em
[a, b] e derivável em (a, b), então existe pelo menos um número c entre a e b onde a reta
tangente à curva é paralela à corda que une os pontos (a, f(a)) e (b, f(b)).
Aplicações da Derivada 53
Figura 5.5: Teorema do Valor Médio. Fonte: livro Cálculo A
5.4 Funções Crescentes e decrescentes
Definição 5.22 Dizemos que uma função f , definida num intervalo I, é crescente em I
se para quaisquer x1, x2 ∈ I, com x1 < x2, temos f(x1) ≤ f(x2).
Definição 5.23 Dizemos que uma função f , definida num intervalo I, é decrescente em
I se para quaisquer x1, x2 ∈ I, com x1 < x2, temos f(x1) ≥ f(x2).
Se f é crescente ou decrescente num intervalo, dizemos que f é monótona neste
intervalo.
Analisando geometricamente o sinal da derivada podemos determinar os inter-
valos onde uma função derivável é crescente ou decrescente, como no teorema a seguir.
Sendo assim, como consequência do TVM temos o seguinte teorema.
Proposição 5.24 Seja f uma função cont́ınua em [a, b] e derivável em (a, b).
(i) Se f ′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é crescente em [a, b].
(ii) Se f ′(x) < 00 para todo x ∈ (a, b), então f é decrescente em [a, b].
Exemplo 5.25 Determinar os intervalos nos quais as seguintes funções são crescentes
ou decrescentes:
(a) f(x) = x3 + 1;
(b) f(x) = x2 − x+ 5;
(c) f(x) = x3 − 2x2 + x+ 2;
(d) f(x) =
 2x2 − 4, x ≤ 1−x− 1, x > 1. ;
54
5.5 Critérios para determinar os extremos de uma
função
Agora veremos alguns critérios para determinar os extremos de uma função.
Teorema 5.26 (Critério da derivada primeira para determinar extremos) Seja f
uma função cont́ınua num intervalo fechado [a, b] e derivável no aberto (a, b), exceto pos-
sivelmente num ponto de abscissa c.
(i) Se f ′(x) > 0 para todo x < c e f ′(x) < 0 para todo x > c, então f tem um máximo
relativo em c.
(ii) Se f ′(x) < 0 para todo x < c e f ′(x) > 0 para todo x > c, então f tem um mı́nimo
relativo em c.
Figura 5.6: Critério da derivada primeira. Fonte: livro Cálculo A
Exemplo 5.27 Determinar os intervalos de crescimento, decrescimento e os máximos e
mı́nimos relativos das seguintes funções:
(a) f(x) = x3 − 7x+ 6;
(b) f(x) =
 (x− 2)2 − 3, x ≤ 51/2(x+ 7), x > 5. .
Teorema 5.28 (Critério da derivada segunda para determinar extremos) Sejam
f uma função derivável num intervalo (a, b) e c um ponto cŕıtico deste intervalo, isto é,
f ′(c) = 0, com a < c < b. Se f admite a derivada f ′′ em (a, b), temos:
Aplicações da Derivada 55
(i) Se f ′′(c) < 0, então f tem um valor máximo relativo em c.
(ii) Se f ′′(c) > 0, então f tem um valor mı́nimo relativo em c.
Exemplo 5.29 Encontre os máximos e mı́nimos relativos das seguintes funções, apli-
cando o critério da derivada segunda:
(a) f(x) = 18x+ 3x2 − 4x3;
(b) f(x) = x(x− 1)2;
(c) f(x) = 6x− 3x2 + 1
2
x3.
5.6 Concavidade e pontos de inflexão
O conceito de concavidade nos ajudará muito na construção do gráfico de uma
função. Geometricamente, dizemos que uma curva tem concavidade voltada para cima no
intervalo (a, b) quando observamos que dado um ponto qualquer c entre a e b, em pontos
próximos de c o gráfico de f está acima da reta tangente à curva no ponto (c, f(c)).
Como f ′(x) é a inclinação da reta tangente à curva, observamos na Figura 5.7 (b) que
Figura 5.7: Concavidade voltada para cima. Fonte: livro Cálculo A
podemos descrever essa mesma situação afirmando que no intervalo (a, b) a derivada
f ′(x) é crescente. Geometricamente, isto significa que a reta tangente gira no sentido
anti-horário à medida que avançamos sobre a curva da esquerda para a direita.
Analogamente, a Figura descreve uma função que tem concavidade voltada para
baixo no intervalo (a, b). Nesse caso, a tangente gira no sentido horário quando nos
56
deslocamos sobre a curva da esquerda para a direita. A derivada f ′(x) é decrescente em
(a, b).
Figura 5.8: Concavidade voltada para baixo. Fonte: livro Cálculo A
Definição 5.30 Uma função f é dita côncava para cima no intervalo (a, b) se f ′(x) é
crescente neste intervalo.
Definição 5.31 Uma função f é dita côncava para baixo no intervalo (a, b) se f ′(x) é
decrescente neste intervalo.
Observação 5.32 Reconhecer os intervalos onde uma curva tem concavidade voltada
para cima ou para baixo é de extrema valia para a construção do gráfico dessa função.
Vamos utilizar o sinal da derivada segunda para obter informações sobre a concavidade
de uma função em determinado intervalo.
Teorema 5.33 Seja f uma função cont́ınua no intervalo fechado [a, b] e derivável até a
segunda ordem no intervalo aberto (a, b).
(i) Se f ′′(x) > 0 para todo x ∈ (a, b), então f é côncava para cima em (a, b).
(ii) Se f ′′(x) < 0 para todo x ∈ (a, b), então f é côncava para baixo em (a, b).
Definição 5.34 Um ponto (c, f(c)) do gráfico de uma função cont́ınua f é chamado um
ponto de inflexão, se existe um intervalo (a, b) contendo c, tal que uma das seguintes
situações ocorra:
(i) f é côncava para cima em (a, c) e côncava para baixo em (c, b).
Aplicações da Derivada 57
(ii) f é côncava para baixo em (a, c) e côncava para cima em (c, b).
Na Figura 5.9, os pontos de abscissa c1, c2, c3 e c4 são pontosde inflexão. Vale
observar que c2 e c3 são pontos de extremos de f para os quais não existe derivada. Por
outro lado, nos pontos c1 e c4, existem as derivada f
′(c1) e f
′(c4). Além disso, podemos
observar que nos pontos (c1, f(c1)) e (c4, f(c4)) a reta tangente corta o gráfico de f .
Figura 5.9: Exemplos de pontos de inflexão. Fonte: livro Cálculo A
Exemplo 5.35 Determine os pontos de inflexão e os intervalos para os quais as, seguin-
tes, funções tem concavidade voltada para cima ou para baixo:
(a) f(x) = (x− 1)3;
(b) f(x) = x4 − x2;
(c) f(x) =
 x2, x ≤ 11− (x− 1)2, x > 1. .
5.7 Construção e análise de gráficos
Agora, tomando como base as últimas informações estudadas, podemos forma
um conjunto de informações que permite fazer a análise do comportamento e o esboço do
gráfico das funções. A seguir temos um resumo que poderá ser seguido para analisar o
comportamento de uma função a partir de sua representação algébrica. Neste caso, sua
análise pode culminar com um esboço gráfico destacando as propriedades e caracteŕısticas
da função.
Vamos seguir os seguintes passos na construção do gráfico de uma função f :
1. Encontrar D(f);
58
2. Calcular os pontos de intersecção com os eixos (quando não requer muito cálculo);
3. Encontrar os pontos cŕıticos;
4. Determinar os intervalos de crescimento e decrescimento de f ;
5. Encontrar os máximos e mı́nimos relativos;
6. Determinar a concavidade e os pontos de inflexão de f ;
7. Encontrar as asśıntotas horizontais e verticais, se existirem;
8. Esboçar o gráfico.
Exemplo 5.36 Esboce o gráfico das funções do exemplo anterior e das funções a seguir:
(a) f(x) = 3x4 − 8x3 + 6x2 + 2;
(b) f(x) =
x2
x− 3
;
(c) f(x) = (x+ 1)1/3;
(d) f(x) =
 x2, x ≤ 11− (x− 1)2, x > 1. ;
Exerćıcio 5.37 Resolver as seguintes questões da Seção 5.10 do livro Cálculo A (encon-
trado na biblioteca virtual da Ufersa): 5, 6, 8, 9, 11, 12, 13, 14 e 15.
Se não tivermos conhecimento da função na forma algébrica, mas apenas o seu
gráfico estiver dispońıvel, é posśıvel fazer uma análise do comportamento dessa função a
partir do seu gráfico, destacando suas propriedades e caracteŕısticas.
5.8 Problemas de maximização e minimização
Agora vamos estudar alguns problemas práticos em diversas áreas relacionados
com máximos e mı́nimos de funções. O primeiro passo para solucionar problemas deste
tipo é escrever precisamente a função que deverá ser analisada, isto é, transformar o pro-
blema prático num problema matemático. Tal função (que descreve o problema) poderá
ser escrita em função de uma ou mais variáveis. Quando a função é de mais de uma
variável, devemos procurar expressar uma das variáveis em função das demais. Com a
função bem definida, devemos identificar um intervalo apropriado para o problema e pro-
ceder a rotina matemática aplicando os conhecimentos que adquirimos até esse momento.
Aplicações da Derivada 59
Figura 5.10: Resumo para análise de uma função a partir do seu gráfico. Fonte: livro
Cálculo A
Exemplo 5.38 Na Biologia, encontramos a fórmula φ = V ·A, onde φ é o fluo de ar na
traquéia, V é a velocidade do ar e A a área do ćırculo formado ao seccionarmos a traquéia.
Quando tossimos, o raio diminui, afetando a velocidade do ar na traquéia. Sendo r0 o
raio normal da traquéia, a relação entre a velocidade V e o raio r da traquéia durante a
tosse é dada por V (r) = ar2(r0 − r), onde a é uma constante positiva.
Figura 5.11: Fonte: livro Cálculo A
(a) Calcule o raio r em que é a velocidade do ar é maior;
(b) Calcule o valor de r com o qual teremos o maior fluxo posśıvel.
Exemplo 5.39 Uma rede de água potável ligará uma central de abastecimento situada
na margem de um rio de 500 metros de largura a um conjunto habitacional situado na
outra margem do rio, 2000 metros abaixo da central. O custo da obra através do rio é
60
de R$ 640, 00 por metro, enquanto que em terra custa R$ 312, 00. Qual é a forma mais
econômica de instalar a rede de água potável?
Figura 5.12: Fonte: livro Cálculo A
Exerćıcio 5.40 Um galpão deve ser constrúıdo tendo uma área retangular de 12100m2.
A prefeitura exige que exista um espaço livre de 25m na frente, 20m atrás e 12m de
cada lado. Encontre as dimensões do lote que tenha a área mı́nima na qual possa ser
constrúıdo este galpão.
Exerćıcio 5.41 Uma caixa sem tampa, de base quadrada, deve ser constrúıda de forma
que o seu volume seja 2500m3. O material da base vai custar R$ 1200, 00 por m2 e o
material do lados R$ 980, 00 por m2. Encontre as dimensões da caixa de modo que o
custo do material seja mı́nimo.
5.9 Regras de L’Hospital
Agora vamos ver como podemos utilizar a derivada para auxiliar no cálculo de
limites.
Proposição 5.42 (Regras de L’Hospital) Sejam f e g funções deriváveis num inter-
valo aberto I, exceto, possivelmente, em um ponto a ∈ I. Suponhamos que g′(x) 6= 0 para
todo x 6= a em I.
(i) Se lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) = 0 e lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= L, então lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= L.
(ii) Se lim
x→a
f(x) = lim
x→a
g(x) =∞ e lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= L, então lim
x→a
f(x)
g(x)
= lim
x→a
f ′(x)
g′(x)
= L.
Exemplo 5.43 Usando as Regras de L’Hospital, calcule os seguintes limites:
1. lim
x→0
2x
ex − 1
;
Aplicações da Derivada 61
2. lim
x→2
x2 + x− 6
x2 − 3x+ 2
;
3. lim
x→0
senx− x
ex + e−x − 2
;
4. lim
x→∞
ex − 1
x3 + 4x
;
5. lim
x→∞
(3x+ 9)1/x;
6. lim
x→∞
xsen(1/x);
7. lim
x→0
(
1
x2 + x
− 1
cosx− 1
)
;
8. lim
x→0+
(2x2 + x)x;
9. lim
x→+∞
(
1 +
1
2x
)
;
Exerćıcio 5.44 Resolver os exerćıcios da Seção 5.14 do livro Cálculo A.
5.10 Introdução à Integração
	Números Reais
	Conjuntos Numéricos
	Desigualdades
	Valor absoluto
	Intervalos
	Funções
	Funções de uma variável real a valores reais
	Operações com funções
	Alguns tipos de funções
	Funções trigonométricas
	Funções seno e cosseno
	Funções tangente, cotangente, secante e cossecante
	Limite e Continuidade
	Noção intuitiva de limite
	Limite
	Limites laterais
	Expressões indeterminadas no cálculo de limites
	Limites no Infinito
	Limites Infinitos
	Assíntotas
	Continuidade e Teorema do confronto
	Propriedades das funções contínuas
	Outras propriedades de limites
	Limites fundamentais
	Derivada
	A reta tangente
	A derivada de uma função
	Regras de derivação
	Derivadas de ex e ln x
	Derivadas das funções trigonométricas
	Continuidade de funções deriváveis
	A derivada de uma função composta - Regra da Cadeia
	A derivada da função exponencial composta
	Função inversa
	A derivada da função inversa
	Derivada das funções trigonométricas inversas
	Derivada das funções hiperbólicas
	Derivadas de ordem superior
	Derivação de uma função dada implicitamente
	Aplicações das Derivadas
	Velocidade e Aceleração. Taxa de Variação
	Máximos e Mínimos
	Teoremas sobre Derivadas
	Funções Crescentes e decrescentes
	Critérios para determinar os extremos de uma função
	Concavidade e pontos de inflexão
	Construção e análise de gráficos
	Problemas de maximização e minimização
	Regras de L'Hospital
	Introdução à Integração