SEGUNDA LISTA + RESOLUÇÃO - ALGEBRA LINEAR A Prof. Marco Antonio - UFBA

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2ªLista_MATA07.doc
		
		UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
MATA07 – ÁLGEBRA LINEAR A 
 
2a LISTA DE EXERCÍCIOS 
1) Em cada item, encontre as coordenadas do vetor 
 em relação à base 
 do subespaço Wi.
 a) 
�� EMBED Equation.3 b) 
�� EMBED Equation.3 
 c) 
=
2) Verifique se as transformações dadas a seguir são lineares:
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
, sendo p’ a derivada do polinômio p.
3) Para cada uma das transformações lineares dadas a seguir determine:
 i) A lei de definição. ii) O núcleo e uma base da imagem.
 a)
 
 
 
 
 
4) Exemplifique se possível, as situações descritas nos itens a seguir. Caso não seja possível justifique.
 a) 
 linear tal que, Im(
)=[(t2+2t+3),(4t2+5t+6)]. 
�� EMBED Equation.3 
 d) 
 linear, tal que N(
) = [(1,2)] e Im(
) = [(1,1,0)].
 e) Uma aplicação linear injetora 
.
 f) Uma aplicação linear sobrejetora 
. 
 g) Uma aplicação linear 
:V
W, tal que Im(
)={0}.
 h) 
 linear, tal que 
 i) Um subespaço U de 
, tal que a aplicação linear injetora 
(R)
 U 
 seja um isomorfismo.
5) Seja T: V
V uma transformação linear. Sabendo-se que dim(V) = 5 e dim[N(T)
Im(T)] = 2, determine dim[ N(T)+Im(T) ], justificando. A transformação T pode ser injetora? Justifique.
6) Seja T: 
, definida por 
. 
 I. Determine: a)N(T) e Im(T) b)N(T)
 Im(T) c)dim[N(T)+Im(T)]
 II. Verifique se N(T) 
 Im(T) = 
(R). 
7) Verifique em cada item a seguir se a transformação linear 
 é um isomorfismo. Em caso afirmativo, determine a transformação inversa de 
.
 
 b)
 
 
 e)
, definida por 
(x,y)= (x-y, x-y). 
8) Determine a matriz associada à transformação 
 com relação às bases 
 a) 
,
,
 é a base canônica de 
 e 
.
 b) 
,
, 
 e 
 
.
 c) 
,
, 
 e 
 é a base
 canônica de M2(R).
 d) 
, 
, onde 
, 
 e 
.
 e) 
,
, 
 e 
 é a base canônica de 
.
9) Determine a transformação linear 
 nos seguintes casos:
 
 
 
10) Considere 
,tal que 
, onde 
 e 
. Determine as coordenadas dos vetores a seguir em relação à base 
.
 a) 
 b)
 c) 
11) Seja T o operador linear em 
,definido por T(v)=A.v, onde
. Encontre as matrizes de T, 
 
, em relação às bases dadas a seguir.
 a) 
 é a base canônica de 
. b) 
. 
12) Considere as bases de 
, respectivamente: 
 , 
 
 e 
 é a base canônica. Sejam f e g transformações lineares definidas por:
 f :
,tal que 
 ; g :
,tal que 
 Determine: a)
 b)
 c)g
 d)
 e)
13) Considere a transformação linear T: V
W dada por 
, onde 
 e 
são bases
 de V e W, respectivamente.
 I. Determine: a) dim (V) b) dim (W) c) dim [Im(T)] d) dim [N(T)]
 II. Classifique em verdadeiro ou falso:
 a) T é uma transformação linear invertível.
 b) A dimensão da imagem de T independe do posto da matriz 
.
 c) Im(T) =
, onde 
 
 d) O conjunto 
 é uma base de Im(T).
 e)
.
 f) 
 bases de V e W, respectivamente.
 g)
 bases de V e W, respectivamente.
 14) Seja T:V
W uma transformação linear tal que, a matriz em relação as bases canônicas é : 
 
 . Determine se possível, os valores da constante b, nos seguintes casos: 
 a) T é injetora b) T é sobrejetora c) dim [N(T)] = 2.
 15) Seja T:
, definida por: T(1,0,0) = 
 , T(0,1,0) = t e T(0,0,1) = 2 .
 I. Escolha bases 
 e
, de modo adequado, e determine a matriz 
. 
 II. Calcule: a)
 b)
 c)
 
 O que você se pode concluir sobre o exposto nos itens anteriores? 
 16) Dê se possível, as transformações lineares pedidas a seguir, através de uma matriz associada.
 a) 
 , sobrejetora. d) 
 b) 
, injetora. e) 
 inversível, dim (W) = 3 e dim (V) = 5.
 c) 
, dim 
 f) 
, sobrejetora.
17) Considere as bases do R2 , α={(1,1),(0,-1)} e β={(2,-3),(-1,4)}:
a) Encontre a matriz mudança de base [I]βα 
b) Utilize a matriz do item a) para calcular [v]β sabendo que [v]α = (2,1)
c) Encontre a matriz mudança de base [I]αβ 
 
 RESPOSTAS
1)
2) As transformações dos itens b, c, d, f, g e h são lineares e as transformações dos itens
 a e e não são lineares.
3) 
 
 
 
4) a) 
(1,0,0)= t2+2t+3 , 
(0,1,0)= (4t2+5t+6) e 
(0,0,1)= (5,7,9).
 b) Impossível, pois dim [N(
)] = 1, dim [Im(
)] = 2 e 1+2 
 dim[ 
(R)].
 
 e) Impossível, pois, dim [Im(
)] = 2, assim dim [N(
)]=dim (
) – dim Im[(
)] = 1.
 Daí,
 não seria injetora.
 f) Impossível, pois dim [Im(
)] = dim (
) – dim [N(
)], que é no máximo igual a dois, se dim [N(
)] = 0. E como Im(
, temos que 
 não pode ser sobrejetora nessas condições.
 g) 
 é a função identicamente nula, isto é, 
(v) = 0,
 v 
 V. Para qualquer espaço vetorial V, ela é uma transformação linear.
 h) 
(1,0,0) = (0,0,0),
(0,1,-1) = (0,0,0) e 
(0,0,1) = (1,0,0).
 i) O subespaço U de 
(R) deve ter dimensão três, por exemplo
 
5) Como dim [N(T)]+ dim [Im(T)] = dim(V) = 5, temos:
 dim[N(T)+Im(T)] = dim [N(T)] + dim [Im(T)] – dim[N(T) 
 Im(T)] = 5 – 2 = 3.
 Como, por hipótese, dim [N(T) 
 Im(T)] =2, então 2 
 dim [N(T)] 
 = dim(V), daí N(T)
{0}, e, portanto, a transformação não pode ser injetora.
6)
 
 II. Como N(T)+Im(T) é um subespaço de 
(R) e possui dimensão 4, então 
 N(T)+Im(T) = 
(R). Por outro lado, N(T)
 Im(T) = {0}, daí N(T) + Im(T) = 
(R).
7) a)
 é invertível e 
(1,2,3)=(1,2,1), 
(2,1,5)=(0,1,0) e 
(0,3,2)=(0,4,1).
 b)
 é invertível e 
 c)
 é invertível e 
 =(x/2,2x-y,7x-3y-z).
 d)
 não é invertível pois, dim [Im(
)] = 3.
 e)
 não é invertível pois, dim [Im(
)] = 1.
8) a)
 b)
 c)
 d)
e)
9) a)
 b)
 
 c)
 é a transformação identidade em 
 d)
 10) a)
 b)
 c)
 11) a)
 b) 
 12) a) 
; b) 
; c) 
 d) 
13) I. a) dim (V)= 4 b) dim (W) = 4 c) dim [Im(T)] = 2 d) dim [N(T)] = 2
 II. a) F b) F c) V d) F e) V f) F g) V
14) a) Impossível, pois, dim [N(T)] 
 1, 
 b 
R; b) b 
1; c) b = 1.
15) I. 
; II. a)
 b)
 c)
 
 As matrizes 
 e 
 são inversíveis.
16) a) 
 b) 
 c) 
 d) 
 onde 
 e) Impossível f) Impossível
17) a) 
 b) 
 c) 
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