Funcao polinomial resumo

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UCS-CCET-Pré-Cálculo: Funções polinomiais com grau maior que 2.
ORIENTAÇÕES PARA ESTUDO
 Para efeitos de exemplo, vamos considerar os gráficos de algumas funções
polinomias com o grau maior que 2 e analisar seus zeros e a multiplicidade dos
mesmos (número de vezes que se repetem).
-5 -4 -3 -2 -1 1
-3
-2
-1
1
2
3
x
y
fx = x + 33
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
fx = x3 − 2
-1 1 2 3 4 5
-4
-2
2
4
6
8
x
y
fx = x − 23 + 1
x = −3 é zero de multiplicidade 3 1 zero real e 2 complexos 1 zero real e 2 complexos
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
fx = x3 − x
-1 1 2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
fx = x3 − 2x2 + x
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
fx = 2x3 + x − 1
3 zeros reais distintos x = 1 tem multiplicidade 2 1 zero real e 2 complexos
-2 -1 1
-1
1
2
3
x
y
fx = x4 + x
-1 1 2
5
10
x
y
fx = 2x4 + 2x2 − 3x
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
x
y
fx = x4 − 2x2 + 1
-2 2 4
-100
-80
-60
-40
-20
20
x
y
fx = x5 − 4x4 − 3x + 4
-2 -1 1 2
-1.5
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
fx = x − 13x + 12
-3 -2 -1 1 2 3
-10
-5
5
x
y
fx = xx + 13x − 23
1
Exemplo 1
Considere a função fx = x3 representada no gráfico abaixo. Construa, no mesmo
sitema de eixos, o gráfico da função gx = x − 23 + 3 e cite as transformações
efetuadas, comparando com o gráfico da f.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
-15
-10
-5
5
10
15
x
y
 Uma função polinomial é definida para todos os números reais. Dessa forma, é
importante observar o comportamento dessas funções nos extremos do domínio (para x
muito grande e positivo ou para x muito grande em módulo, porém, negativo). Este
comportamento origina o que denominamos ”limites da função, quando x cresce sem
limite ou quando x decresce sem limite”. Simbolicamente, para uma função fx,
escrevemos lim
x→+∞
fx e lim
x→−∞
fx, respectivamente.
Veja, por exemplo, o gráfico da função fx = x3 − 4x2 − 5x − 3, apresentado a seguir.
x
y
Observe que, quanto maior for o valor do x, maior será a imagem da função, isto é,
maior será o valor do y. Representamos esse fato escrevendo lim
x→+∞
fx = +∞. Também,
quanto menor for o x, isto é, quanto mais negativo for o x, menor será a imagem da
função, isto é, tanto masi negativo será o valor do y. Representamos esse fato
escrevendo lim
x→−∞
fx = −∞.
Exemplo 2
Considere a função y = fx cujo gráfico é apresentado a seguir e, com base nele,
determine os limites:
(a) lim
x→+∞
fx (b) lim
x→−∞
fx
2
x
y
 Voltando aos gráficos apresentados logo no início deste material, já vimos que os três
primeiros representam funções que podem ser relacionadas com funções monomiais
de mesmo grau e, portanto, seus gráficos podem ser obtidos por deslocamentos do
gráfico destas últimas. As demais funções representadas pelos outros gráficos não
podem ser obtidas dessa forma. Observe as definições das funções representadas em
cada gráfico e procure perceber que, de fato, isso não é possível. Para essas funções
polinimiais, que não têm um padrão definido, é fundamental que possamos determinar
suas raízes reais pois, dessa forma, teremos condições de determinar os pontos de
intersecção do gráfico com o eixo x.
 Vamos lembrar alguns resultados da Matemática que estão relacionados com a
determinação das raízes de uma função polinomial:
1) Teorema Fundamental da Álgebra: Todo polinômio de grau n, n ≥ 1, tem exatamente
n raízes reais ou complexas.
2) Teorema da Decomposição: Todo polinômio
px = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 +. . .+a1x + a0 pode ser escrito na forma fatorada
px = anx − x1x − x2. . . x − xn, em que x1, x2, . . . , xn são as raízes de px.
Assim, por exemplo:
O polinômio px = x3 − 2x2 − x + 2 possui as raízes 1,−1 e 2 (verifique!). Dessa
forma, px pode ser fatorado e escrito como px = x − 1x + 1x − 2.
O polinômio px = 3x2 − 3x − 36 possui as raízes −3 e 4 (verifique!). Dessa forma,
px pode ser fatorado e escrito como px = 3x + 3x − 4.
 Pode ser difícil determinar as raízes de um polinômio de grau maior que 2. Entretanto,
conhecida uma das raízes do polinômio, pode-se usá-la para reduzir o grau do
polinômio e, assim, determinar as outras raízes. Aqui também é interessante lembrar de
mais um resultado importante relativos a polinômios. Veja:
3) Se fx = anxn + an−1xn−1 + an−2xn−2 +. . .+a1x + a0 tem todos os coeficientes inteiros,
com a0 ≠ 0, então, se pq é uma raiz racional de fx, p é um divisor inteiro de a0 e q é
um divisor inteiro de an.
Veja, por exemplo, que as possíveis raízes racionais de fx = 3x3 + 4x2 − 5x − 2 podem
ser determinadas usando o resultado acima. Nesse caos, p é um divisor inteiro de
a0 = −2, isto é, p pode ser ±1, ±2; de forma semelhante, q é um divisor inteiro de an = 3,
isto é, q pode ser ±1, ±3. Assim, se fx tem raízes racionais, elas devem estar entre os
quocientes pq , isto é, entre ±1, ±
1
3 , ±2 e ±
2
3 . Na p. 116, o Demana mostra que as
raízes racionais da f são 1, − 13 e −2.
Agora, como exemplo, vamos determinar as raízes de um polinômio de grau maior
do que 2 e, com elas, determinar sua forma fatorada.
⇛ Consideremos fx = x3 − 2x2 − x + 2
3
1) Determinamos suas possíveis raízes racionais:
p pode ser ±1, ±2 e q pode ser ±1. Então, as possíveis raízes racionais pq de fx são:
±1 e ±2.
2) Por tentativa, isto é, fazendo a substituição desses valores no lugar de x em fx,
obtemos que 2 é uma raiz de fx (veja: 23 − 2. 22 − 2 + 2 = 0). Nesse caso, fx deve ser
divisível por x − 2.
3) Vamos fazer a divisão direta de fx por x − 2:
x3 −2x2 −x +2 x −2
−x3 +2x2 x2 −1
−x +2
x −2
0
Então, por enquanto, x3 − 2x2 − x + 2 = x − 2x2 − 1.
4) Como a divisão feita em (3) é exata (resto zero), as outras raízes de fx devem ser
raízes do quociente x2 − 1 que, facilmente, determinamos como sendo 1 e − 1.
5) Assim, a forma fatorada de fx é
x3 − 2x2 − x + 2 = x − 2x2 − 1 = x − 2x − 1x + 1
Veja o gráfico de fx, onde podemos confirmar que suas raízes são, de fato, 2, 1 e −1.
-2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
Obs.: A divisão feita em (3) pode ser abreviada por meio do dispositivo prático de
Briot-Ruffini.
1) Já determinamos, por tentativa, uma raiz de fx: 2. O esquema inicial é o seguinte:
1 −2 −1 2 ← coeficientes de fx ordenado e completo
2
2) Repetimos o primeiro coeficiente, abaixo dele mesmo.
1 −2 −1 2
2 1
3) Multiplicamos a raiz 2 pelo coeficiente que acabamos de repetir 1, somamos o
resultado com o próximo coeficiente e o colocamos abaixo dele.
1 −2 −1 2
2 1 0
4) Multiplicamos a raiz 2 por este último valor obtido, somamos o resultado com o
próximo coeficiente e o colocamos abaixo dele.
4
1 −2 −1 2
2 1 0 −1
5) Seguimos o mesmo procedimento até não restar mais coeficientes.
1 −2 −1 2
2 1 0 −1 0
O último valor obtido na linha debaixo é o ”resto da divisão” (zero) e os demais valores
obtidos ali são os coeficientes do quociente da divisão, sempre com grau igual a uma
unidade a menos que o polinômio que estamos dividindo. Nesse caso, grau 2 (fx tem
grau 3). Então, o quociente é 1x2 + 0x − 1, ou seja, x2 − 1, como havíamos obtido pelo
processo direto.
 Veja na p. 114 do Demana a divisão que o autor faz, usando o processo direto e o
dispositivo de Briot Ruffini.
 Mais um exemplo: vamos fatorar a função gx = 3x3 + 4x2 − 5x − 2.
1) raízes racionais possíveis: ±1, ± 13 , ±2 e ±
2
3
2) raiz por substituição: 1
3) divisão de 3x3 + 4x2 − 5x − 2 por x − 1:
3 4 −5 −2
1 3 7 2 0
4) iniciando a fatoração: 3x3 + 4x2 − 5x − 2 = x − 13x2 + 7x + 2
5) determinamos as raízes de 3x2 + 7x + 2 = 0.
Usando a fórmula de Báskara obtemos x = −2 e x =− 13
6) completando a fatoração:
gx = 3x3 + 4x2 − 5x − 2 = x − 1. 3x + 2 x + 13 = x − 1x + 23x + 1
Obs.: A multiplicidade de uma raiz de um polinômio está diretamente relacionada com o
número de vezes que ela aparece na fatoração daquele polinômio. Por exemplo,
fx = 2x − 23x + 12x − 3 tem 3 raízes: 2 com multiplicidade três, −1 com
multiplicidade dois e 3 que é uma raiz simples. Veja que fx tem grau igual a 6 (soma
das potências dos fatores de decomposição).
 Vamos retomar algumas das funções cujos gráficos foram apresentados logo no
início deste material e vamos relacionar o comportamento dessas funções à
multiplicidade de suas raízes.
-5 -4 -3 -2 -1 1
-2
2
4
x
y
fx = x + 33
A única raiz real dessa função é o −3
e sua multiplicidade é 3.
Observe que o gráfico ”corta” o eixo dos x onde x = −3.
5
-3 -2 -1 1 2 3
-4
-2
2
4
x
y
fx = x3 − x
As raízes reais dessa função são 0, −1 e 1, todas
simples, de multiplicidade 1. Observe que o gráfico
”corta” o eixo dos x onde x = 0, x = −1 e x = 1.
-1 1 2
-1.0
-0.5
0.5
1.0
x
y
fx = x3 − 2x2 + x
As raízes dessa função são 0 e 1. A forma fatorada
da f é xx − 12. Observe que 0 é uma raiz de
multiplicidade 1 e o gráfico da f ”corta” o eixo x
onde x = 0; 1 é uma raiz de multiplicidade 2 e o
gráfico ”encosta” no eixo x onde x = 1.
-2 -1 1 2
-1
1
2
3
x
y
fx = x4 − 2x2 + 1
As raízes da função são −1 e 1. A forma fatorada
da f é x + 12x − 12. Observe que −1 tem
multiplicidade 2 e o gráfico ”encosta” no eixo x
onde x = −1;1 tem multiplicidade 2 e o gráfico
”encosta” no eixo x onde x = 1.
 Esse comportamento de uma função polinomial ”cortar” ou ”encostar” no eixo x nos
pontos onde x é raiz da função está relacionado com a multiplicidade da raiz.
1) Se a raiz tem multiplicidade ímpar, o gráfico ”corta” o eixo x no ponto cuja abscissa é
aquela raiz.
2) Se a raiz tem multiplicidade par, o gráfico ”encosta” no eixo x no ponto cuja abscissa
é aquela raiz.
Veja, por exemplo, a função fx = −2x − 14x + 23. Ela tem duas raízes reais: 1 e −2.
Como 1 tem multiplicidade par, espera-se que o gráfico da f ”encoste” no eixo x, no
ponto onde x = 1. Como −2 tem multiplicidade ímpar, espera-se que o gráfico da f
”corte” o eixo x, no ponto onde x = −2. Veja o gráfico da f a seguir, o que confirma
nossas expectativas.
6
-3 -2 -1 1 2
-40
-30
-20
-10
10
x
y
Exemplo 3
Considere o gráfico da função do terceiro grau, fx, dado a seguir.
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3
-20
-10
10
20
x
y
(a) Diga quais as raízes reais da f.
(b) Qual a multiplicidade de cada uma das raízes?
(c) Dê a equação que define a f.
Exemplo 4
Faça o esboço do gráfico de uma função f que satisfaça o seguinte:
(a) f tem grau 3;
(b) 1 é uma raiz dupla da f.
(c) −1 é uma raiz simples da f.
(d) o gráfico passa pelo ponto 0,−2.
(e) lim
x→+∞
fx = −∞
(f) lim
x→−∞
fx = +∞
7