Correlação

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Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 1 
2 
 
CORRELAÇÃO 
 
2.1 INTRODUÇÃO 
 
O problema da correlação está ligado ao grau de relação entre duas 
ou mais variáveis. Quando os valores dessas variáveis satisfazem 
exatamente uma equação, diz-se que elas estão perfeitamente 
correlacionadas. Não existindo relação entre as variáveis elas são 
incorrelacionadas. Na prática, o que vai mais ocorrer é o meio termo, ou 
seja, existe um certo grau de relação entre essas variáveis, e deseja-se 
determinar quantitativamente até que ponto esse grau de relação pode ser 
considerado. 
Quando o problema envolve apenas duas variáveis, fala-se em 
correlação simples, e no caso de mais de duas variáveis em correlação 
múltipla. 
 
2.2 CORRELAÇÃO LINEAR SIMPLES 
 
Quando os valores das duas variáveis em estudo, por exemplo X 
e Y, tendem a cair nas proximidades de uma reta, fala-se em correlação 
linear. 
A Figura 2.1 mostra diversos aspectos da correlação linear entre 
duas variáveis, sendo esses gráficos denominados de diagrama de 
dispersão. 
 
Na Figura 2.1 tem-se que: 
 
(a) correlação linear positiva e perfeita; 
(b) correlação linear negativa e perfeita; 
(c) correlação linear positiva; 
(d) correlação linear negativa; 
(e) correlação linear nula. 
Correlação 2 
Figura 2.1 - Correlação linear simples 
 
 Y Y Y 
 • • • 
 • • • 
 • • • 
 • • • 
 • • • • 
 O X O X O X 
 (a) (b) (c) 
 
 
 Y • Y • 
 • • • • 
 • • • • • 
 • •• • • 
 • • • 
 
 O (d) X O (e) X 
 
 
Uma medida utilizada em correlação linear é conhecida como 
coeficiente de correlação linear de Pearson, definido por 
 
YX .ss
Y)Cov(X,
r = , (2.1) 
 
sendo sX e sY os desvios padrões amostrais de X e Y, respectivamente. 
 
A expressão (2.1) pode ser colocada na forma 
 












−











−
−
=
∑∑∑ ∑
∑ ∑ ∑
=== =
= = =
2
n
1i
i
n
1i
2
i
n
1i
2
n
1i
i
2
i
n
1i
n
1i
n
1i
iiii
YYnXXn
YXYXn
r (2.2) 
Estatística Básica para os Cursos de Engenharia 3 
O coeficiente de correlação linear r é adimensional e demonstra-
se que pode variar de -1 a 1, ou seja, -1 ≤ r ≤ 1. Quando r = -1, tem-se a 
correlação linear negativa perfeita (Figura 2.1 - b), enquanto que 
para r = 1, a correlação linear é dita positiva e perfeita (Figura 2.1 - a). 
Para r = 0, não existe correlação linear entre as variáveis, podendo existir 
relação de outro tipo. Evidentemente, quanto mais próximo o valor de r 
estiver de -1 ou 1, melhor é o grau de correlação linear entre as variáveis. 
Na prática, ocorrem diferentes valores de r. A interpretação do 
valor de r depende muito dos objetivos de sua utilização e as razões pela 
quais este é calculado. O coeficiente de correlação linear pode ser 
avaliado qualitativamente da seguinte forma: 
 
• se 0 < | r | < 0,3 existe fraca correlação linear; 
• se 0,30 ≤ | r | < 0,60 existe moderada correlação linear; 
• se 0,60 ≤ | r | < 0,90 existe forte correlação linear; 
• 0,90 ≤ | r | < 1,00 existe correlação linear muito forte. 
 
Exemplo 
 
A tabela seguinte fornece valores das variáveis X (poder 
calorífico) e Y (percentagem de cinzas) de certo combustível. Calcular o 
coeficiente de correlação linear de Pearson e construir o diagrama de 
dispersão. 
 
X 13100 11200 9300 7400 5300 
Y 20,5 25,3 32,1 38,0 44,0 
 
 
 
 
 
 
 
Como r está próximo de -1, tem-se uma correlação linear 
negativa quase perfeita. 
Figura 2.2 - Exemplo de diagrama de dispersão 
Correlação 4 
 
 
 
 
 
 
 
 
2.3 TESTES DE HIPÓTESES ACERCA DO COEFICIENTE DE 
CORRELAÇÃO LINEAR 
 
Quando se calcula o coeficiente de correlação linear r, na 
realidade, está se estimando, através de uma amostra de tamanho n, o 
verdadeiro coeficiente de correlação linear populacional ρ. 
Evidentemente, sob esse aspecto, o tamanho da amostra exerce um papel 
fundamental na estimativa de ρ. Utilizando testes adequados pode-se 
testar se o valor de r, juntamente com o n correspondente, fornece 
resultado que permite concluir se realmente existe correlação linear 
significativa entre as variáveis. 
A aplicação de testes de hipóteses acerca do coeficiente de 
correlação linear exige que as duas variáveis envolvidas tenham uma 
distribuição normal bivariada conjunta, o que equivale dizer que para X 
dado, a variável Y é normalmente distribuída. Esta suposição de 
normalidade é imprescindível para pequenas amostras e diminui de 
importância à medida que aumenta o tamanho da amostra, o que é 
justificado pelo Teorema Central do Limite para distribuições 
multivariadas. 
No caso de um teste bilateral 
 
H0: ρ = 0 
H1: ρ ≠ 0 
 
onde a estatística do teste é dada por 
2r-1
2-nr
r = , (2.3) 
 
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onde t segue uma distribuição t de Student com ν = n - 2 graus de 
liberdade. O teste pode ser aplicado também unilateralmente. 
Para a hipótese 
H0: ρ = ρ0 ≠ 0, 
 
utiliza-se a estatística 
 
 





−
+
=
r1
r1ln
2
1Z (2.4) 
onde 
 






ρ−
ρ+
=µ
0
0
Z 1
1ln
2
1
 (2.5) 
e 
 
3n
1
Z
−
=σ (2.6) 
 
Como Z tem distribuição aproximadamente normal, então a 
variável padronizada z será dada por 
 
Z
ZZz
σ
µ−
= (2.7) 
 
Exemplos: 
 
1. Para o exemplo da seção 2.2, verifique se existe correlação linear 
negativa significativa na população que originou a amostra, utilizando o 
nível de significância de 5 %. 
 
 
 
 
 
Correlação 6 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2. Para o exemplo da seção 2.2, pode-se concluir pela existência de 
correlação linear ρ < -0,9 ao nível de significância de 5%? 
 
 
 
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2.4 PROBLEMAS PROPOSTOS 
 
1. A seguinte amostra de tamanho 7 foi obtida da variável aleatória 
bidimensional (X,Y). Utilizandoesses valores, calcule o coeficiente de 
correlação linear. 
X 1 2 3 4 5 6 7 
Y 9 7 6 6 5 4 2 
 
2. O alongamento (X) de uma mola foi medido em função de 5 valores 
(Y) da carga aplicada. Os resultados obtidos foram: 
 
Carga (kg) 4 5 6 7 8 
Alongamento (cm) 7,3 8,5 9,0 9,5 9,9 
 
(a) Calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson. 
(b) Construir o diagrama de dispersão. 
(c) Testar se a correlação é significativa, ao nível de 1%. 
(d) Verifique a afirmação de que o coeficiente de correlação é superior a 
0,95. 
 
3. As importações de uma determinada matéria prima (em toneladas), no 
período de 1980 a 1986 estão na tabela seguinte: 
 
Correlação 8 
Ano (X) 1980 1981 1982 1983 1984 1985 1986 
Importações(Y) 97 86 74 64 58 43 39 
 
Pede-se: 
(a) calcular o coeficiente de correlação linear de Pearson e interpretar o 
resultado; 
(b) construir o diagrama de dispersão; 
(c) verificar se a correlação linear é significativa ao nível de 
significância de 5%. 
(d) Verifique a afirmação de que o coeficiente de correlação é inferior a 
-0,70.