RACIOCINIO LOGICO

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RACIOCÍNIO LÓGICO-QUANTITATIVO 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
1. ESTRUTURAS LÓGICAS 
LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO 
DIAGRAMAS LÓGICOS ............................................................ 03 
 
2. ÁLGEBRA LINEAR ................................................................ 13 
 
3. PROBABILIDADES ................................................................ 27 
 
4. COMBINAÇÕES ..................................................................... 29 
 
5. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES ............................................ 32 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 1
 
 
 
 
 
PESQUISA E EDIÇÃO: FLÁVIO NASCIMENTO (Graduado em Administração de 
 
Empresas e Bacharelando em Direito pela Faculdades Toledo de Araçatuba – SP) 
 
 
 
 
BIBLIOGRAFIA: 
 
Alencar F, Edgard de. Iniciacao a Logica Matematica. Editora Nobel , São Paulo 
 
Jacob Daghlian – Lógica e álgebra de Boole – 4º ed. – São Paulo: Atlas, 1995. 
 
Coleção Schaum – Álgebra Moderna – Ed. McGraw-Hill 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 2 
1. ESTRUTURAS LÓGICAS, LÓGICA DE ARGUMENTAÇÃO, ESTRUTURAS LÓGICAS 
 
Iniciaremos com os primeiros passos da Lógica: 
 
 
PROPOSIÇÕES 
 
Temos vários tipos de sentenças: 
 
Declarativas 
Interrogativas 
Exclamativas 
Imperativas 
 
VALORES LÓGICOS DAS PROPOSIÇÕES 
 
O valor lógico de uma proposição r é a verdade(ou verdadeiro) se r é verdadeira. 
Escreve-se v(r) = V, isto é, o valor lógico de r é V. 
 
O valor lógico de uma proposição s é a falsidade(ou falso) se s é falsa. 
Escreve-se v(s) = F, isto é, o valor lógico de s é F. 
 
Os valores “verdadeiro” (V) e “falso(F) são chamados de valores lógicos”. 
 
LEIS DO PENSAMENTO 
 
Vejamos algumas leis do pensamento para que possamos desenvolver corretamente o nosso pensar. 
 
PRINCÍPIO DA IDENTIDADE. Se qualquer proposição é verdadeira, então, ela é verdadeira. 
 
PRINCÍPIO DE NÃO-CONTRADIÇÃO. Nenhuma proposição pode ser verdadeira e falsa. 
 
PRINCÍPIO DO TERCEIRO EXCLUÍDO. Uma proposição ou é verdadeira ou é falsa. 
 
SENTENÇAS ABERTAS Quando substituímos numa proposição alguns componentes por variáveis, teremos uma 
sentença aberta. 
 
CONECTIVOS 
 
Chama-se conectivo a algumas palavras ou frases que em lógica são usadas para formarem proposições 
compostas. 
 
Veja alguns conectivos: 
 
A negação não cujo símbolo é ~. 
A desjunção ou cujo símbolo é v. 
A conjunção e cujo símbolo é ^ 
O condicional se,....., então, cujo símbolo é -->. 
O bicondicional se, e somente se, cujo símbolo é <->. 
 
 
PROPOSIÇÕES SIMPLES 
 
Uma proposição é simples quando declara ou afirma algo sem o uso de nenhum dos conectivos e, ou, se...., então 
e se , e somente se. 
 
PROPOSIÇÕES COMPOSTAS 
 
Uma proposição é composta quando formada por mais de uma proposição simples. 
 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 3
1 - INTRODUÇÃO 
 
A Lógica Matemática, em síntese, pode ser considerada como a ciência do raciocínio e da demonstração. 
Este importante ramo da Matemática desenvolveu-se no século XIX, sobretudo através das idéias de George 
Boole , matemático inglês (1815 - 1864), criador da Álgebra Booleana, que utiliza símbolos e operações algébricas 
para representar proposições e suas inter-relações. 
 
As idéias de Boole tornaram-se a base da Lógica Simbólica, cuja aplicação estende-se por alguns ramos 
da eletricidade, da computação e da eletrônica. 
 
A lógica matemática (ou lógica simbólica), trata do estudo das sentenças declarativas também conhecidas 
como proposições , as quais devem satisfazer aos dois princípios fundamentais seguintes: 
 
Princípio do terceiro excluído: uma proposição só pode ser verdadeira ou falsa , não havendo outra alternativa. 
 
Princípio da não contradição: uma proposição não pode ser ao mesmo tempo verdadeira e falsa. 
Diz-se então que uma proposição verdadeira possui valor lógico V (verdade) e uma proposição falsa possui valor 
lógico F (falso). Os valores lógicos também costumam ser representados por 0 (zero) para proposições falsas ( 0 
ou F) e 1 (um) para proposições verdadeiras ( 1 ou V ). 
 
As proposições são indicadas pelas letras latinas minúsculas: p, q, r, s, t, u, ... 
 
De acordo com as considerações acima, expressões do tipo, "O dia está bonito" , "3 + 5" , "x é um número 
real" , "x + 2 = 7", etc., não são proposições lógicas, uma vez que não poderemos associar a ela um valor lógico 
definido (verdadeiro ou falso). 
 
Exemplificamos a seguir algumas proposições, onde escreveremos ao lado de cada uma delas, o seu valor lógico 
V ou F. Poderia ser também 1 ou 0. 
 
p: " a soma dos ângulos internos de um triângulo é igual a 180º " ( V ) 
q: " 3 + 5 = 2 " ( F ) 
r: " 7 + 5 = 12" ( V) 
s: " a soma dos ângulos internos de um polígono de n lados é dada por Si = (n - 2) . 180º " ( V ) 
t: " O Sol é um planeta" ( F ) 
w: " Um pentágono é um polígono de dez lados " ( F ) 
 
 
2 - SÍMBOLOS UTILIZADOS NA LÓGICA MATEMÁTICA 
 
∼ não 
∧ e 
∨ ou 
→ se ... então 
↔ se e somente se 
| tal que 
⇒ implica 
⇔ equivalente 
∃ existe 
∃ | existe um e somente um 
∀ qualquer que seja 
 
3 - O MODIFICADOR NEGAÇÃO 
 
Dada a proposição p , indicaremos a sua negação por ~p . (Lê-se " não p " ). 
 
Ex.: p: Três pontos determinam um único plano ( V ) 
~p: Três pontos não determinam um único plano ( F ) 
 
Obs.: duas negações eqüivalem a uma afirmação ou seja, em termos simbólicos: ~(~p) = p . 
 
 
 
Raciocínio Lógico 4 
 
 
4 - OPERAÇÕES LÓGICAS 
 
As proposições lógicas podem ser combinadas através dos operadores lógicos ∧ , ∨ , → e ↔ , dando 
origem ao que conhecemos como proposições compostas . Assim , sendo p e q duas proposições simples, 
poderemos então formar as seguintes proposições compostas: p∧ q , p∨ q , p→ q , p↔ q (Os significados dos 
símbolos estão indicados na tabela anterior). 
 
Estas proposições compostas recebem designações particulares, conforme veremos a seguir. 
 
Conjunção: p∧ q (lê-se "p e q " ). 
 
Disjunção: p∨ q (lê-se "p ou q ") . 
Condicional: p→ q (lê-se "se p então q " ). 
 
Bi-condicional: p↔ q ( "p se e somente se q") . 
 
Conhecendo-se os valores lógicos de duas proposições simples p e q , como determinaremos os valores 
lógicos das proposições compostas acima? Ah! caro vestibulando! Isto é conseguido através do uso da tabela a 
seguir, também conhecida pelo sugestivo nome de TABELA VERDADE. 
 
Sejam p e q duas proposições simples, cujos valores lógicos representaremos por 0 quando falsa (F) e 1 
quando verdadeira (V). Podemos construir a seguinte tabela simplificada: 
 
p q p ∧ q p ∨ q p→ q p ↔ q 
1 1 1 1 1 1 
1 0 0 1 0 0 
0 1 0 1 1 0 
0 0 0 0 1 1 
 
Da tabela acima, infere-se (deduz-se) que: 
 
? a conjunção é verdadeira somente quando ambas as proposições são verdadeiras. 
? a disjunção é falsa somente quando ambas as proposições são falsas. 
? a condicional é falsa somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda falsa. 
? a bi-condicional é verdadeira somente quando as proposições possuem valores lógicos iguais. 
 
Ex.: Dadas as proposições simples: 
p: O Sol não é uma estrela (valor lógico F ou 0) 
q: 3 + 5 = 8 (valor lógico V ou 1) 
 
Temos: 
p∧ q tem valor lógico F (ou 0) 
p∨ q tem valor lógico V (ou 1) 
p→ q tem valor lógico V (ou 1) 
p↔ q tem valor lógico F (ou 0). 
 
Assim, a proposição composta "Se o Sol não é uma estrela então 3 + 5 = 8" é logicamente verdadeira, não 
obstante ao aspecto quase absurdo do contexto da frase! 
 
Não quero lhe assustar, mas o fato das proposições verdadeiras (valor lógico 1) ou falsas (valor lógico 0), 
não podem estar associadas à analogia de que zero (0) pode significar um circuitoelétrico desligado e um (1) 
pode significar um circuito elétrico ligado? Isto lembra alguma coisa vinculada aos computadores? Pois é, caros 
amigos, isto é uma verdade, e é a base lógica da arquitetura dos computadores! 
 
Seria demais imaginar que a proposição p∧ q pode ser associada a um circuito série e a proposição p∨ q a 
um circuito em paralelo? 
 
Pois, as analogias são válidas e talvez tenham sido elas que mudaram o mundo! 
 
Vimos no texto anterior, a tabela verdade - reproduzida abaixo - que permite determinar o valor lógico de 
uma proposição composta, conhecendo-se os valores lógicos das proposições simples que a compõem. 
Raciocínio Lógico 5
 
 
p q p∧ q p∨ q p→ q p↔ q 
1 1 1 1 1 1 
1 0 0 1 0 0 
0 1 0 1 1 0 
0 0 0 0 1 1 
 
Nota: valor lógico verdadeiro = 1 ou V 
valor lógico falso = 0 ou F 
 
Podemos observar que é muito fácil entender (e o nosso intelecto admitir) as regras contidas na tabela acima para 
a conjunção, disjunção e equivalência, ou seja: 
 
? a conjunção "p e q" só é verdadeira quando p e q forem ambas verdadeiras. 
? A disjunção "p ou q" só é falsa quando p e q forem ambas falsas. 
? A bi-condicional só e falsa quando p e q possuem valores lógicos opostos. 
 
Quanto à condicional "se p então q" , vamos analisá-la separadamente, de modo a facilitar o entendimento 
das regras ali contidas: 
 
p q p→ q 
V V V 
V F F 
F V V 
F F V 
 
O raciocínio a seguir, será a base da nossa análise: 
 
Se é dada uma proposição p e é possível fazer-se um raciocínio válido que nos conduza a outra 
proposição q, consideraremos que p→ q é verdadeira. 
 
Visto isso, vamos analisar as quatro possibilidades contidas na tabela acima: 
 
1º) p é V e q é V: somente através de um raciocínio válido é possível partir de uma proposição verdadeira para 
outra também verdadeira. Logo, p→ q é verdadeira. 
 
2º) p é V e q é F: não existe raciocínio válido capaz de , partindo-se de uma proposição verdadeira chegar-se a 
uma proposição falsa. Logo, neste caso, p→ q é falsa. 
 
3º) p é F e q é V: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma 
proposição verdadeira. Isto é um pouco difícil de entender, mas acompanhe o exemplo abaixo: 
 
Sejam as proposições: 
p: 10 = 5 (valor lógico F) 
q: 15 = 15 (valor lógico V) 
 
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p (falsa), chegar a q(verdadeira). 
 
Com efeito, se 10 = 5, então podemos dizer que 5 = 10. Somando membro a membro estas igualdades vem: 10+5 
= 5+10 e portanto 15 = 15. Portanto a partir de p FALSA foi possível, através de um raciocínio válido chegar-se a q 
VERDADEIRA. Logo, p→ q é verdadeira 
 
4º) p é F e q é F: É possível partir de uma proposição falsa e chegar-se através de um raciocínio válido, a uma 
proposição também falsa. Senão vejamos: 
 
Sejam as proposições: 
p: 10 = 5 (valor lógico F) 
q: 19 = 9 (valor lógico F) 
 
Através de um raciocínio válido, vamos mostrar que é possível a partir de p FALSA, chegarmos a q 
também FALSA. Com efeito, se 10 = 5, então, subtraindo uma unidade em cada membro, obteremos 9 = 4. 
Raciocínio Lógico 6 
Somando agora membro a membro estas duas igualdades, obtemos 10+9 = 5+4 e portanto 19 = 9, que é a 
proposição q dada. Logo, p→ q é verdadeira (V). 
 
Exercícios: 
 
1) Sendo p uma proposição verdadeira e q uma proposição falsa, qual o valor lógico da proposição composta r: 
(p∧ ∼ q) → q ? 
 
Solução: Teremos, substituindo os valores lógicos dados: p = V , q = F e ~q = V . 
r: (V ∧ V) → F , logo, pelas tabelas acima vem: r: V → F e portanto r é falsa. Valor lógico F ou 0. 
 
2) Qual das afirmações abaixo é falsa? 
a) se Marte é um planeta então 3 = 7 - 4. 
b) a soma de dois números pares é um número par e 72 = 49. 
c) 3 = 5 se e somente se o urso é um animal invertebrado. 
d) se 102 = 100 então todo número inteiro é natural. 
e) 2 = 32 - 7 ou a Terra é plana. 
 
Analisando os valores lógicos das proposições simples envolvidas e usando-se as tabelas anteriores, 
concluiremos que apenas a proposição do item (d) é falsa, uma vez que 102 = 100 é V e "todo número inteiro é 
natural" é F ( o número negativo -3 por exemplo é inteiro, mas não é natural) . Portanto, temos V → F , que 
sabemos ser falsa. (Veja a segunda linha da tabela verdade acima). 
 
Resumo da Teoria 
 
1 - Tautologias e Contradições 
Considere a proposição composta s: (p∧ q) → (p∨ q) onde p e q são proposições simples 
lógicas quaisquer. Vamos construir a tabela verdade da proposição s : 
 
Considerando-se o que já foi visto até aqui, teremos: 
p q p∧ q p∨ q (p∧ q) → (p∨ q) 
V V V V V 
V F F V V 
F V F V V 
F F F F V 
 
Observe que quaisquer que sejam os valores lógicos das proposições simples p e q, a proposição composta s é 
sempre logicamente verdadeira. Dizemos então que s é uma TAUTOLOGIA. 
 
Trazendo isto para a linguagem comum, considere as proposições: p: O Sol é um planeta 
(valor lógico falso - F) e q: A Terra é um planeta plano (valor lógico falso - F), podemos concluir que a proposição 
composta "Se o Sol é um planeta e a Terra é um planeta plano então o Sol é um planeta ou a Terra é um planeta 
plano" é uma proposição logicamente verdadeira. 
 
Opostamente, se ao construirmos uma tabela verdade para uma proposição composta, verificarmos que ela é 
sempre falsa, diremos que ela é uma CONTRADIÇÃO. 
 
Ex.: A proposição composta t: p ∧ ~p é uma contradição, senão vejamos: 
 
p ~p p∧ ~p 
V F F 
F V F 
 
NOTA: Se uma proposição composta é formada por n proposições simples, a sua tabela verdade possuirá 2n 
linhas. 
 
Ex.: Construa a tabela verdade da proposição composta t: (p∧ q) ∨ r 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 7
Teremos: 
p q r (p∧ q) (p∧ q) ∨ r 
V V V V V 
V V F V V 
V F V F V 
V F F F F 
F V V F V 
F V F F F 
F F V F V 
F F F F F 
 
Observe que a proposição acima não é Tautologia nem Contradição. 
 
Apresentaremos a seguir, exemplos de TAUTOLOGIAS, as quais você poderá verifica-las, simplesmente 
construindo as respectivas tabelas verdades: 
 
Sendo p e q duas proposições simples quaisquer, podemos dizer que as seguintes proposições compostas, são 
TAUTOLOGIAS: 
 
1) (p∧ q) → p 
2) p → (p∨ q) 
3) [p∧ (p→ q)] → q (esta tautologia recebe o nome particular de "modus ponens") 
4) [(p→ q) ∧ ~q] → ~p (esta tautologia recebe o nome particular de "modus tollens") 
 
Você deverá construir as tabelas verdades para as proposições compostas acima e comprovar que elas realmente 
são tautologias, ou seja, na última coluna da tabela verdade teremos V V V V. 
 
NOTAS: 
a) as tautologias acima são também conhecidas como regras de inferência. 
b) como uma tautologia é sempre verdadeira, podemos concluir que a negação de uma tautologia é sempre falsa, 
ou seja, uma contradição. 
 
2 - Álgebra das proposições 
 
Sejam p , q e r três proposições simples quaisquer, v uma proposição verdadeira e f uma proposição falsa. São 
válidas as seguintes propriedades: 
 
a) Leis idempotentes 
p∧ p = p 
p∨ p = p 
 
b) Leis comutativas 
p∧ q = q∧ p 
p∨ q = q∨ p 
 
c) Leis de identidade 
p ∧ v = p 
p ∧ f = f 
p ∨ v = v 
p ∨ f = p 
 
 
d) Leis complementares 
~(~p) = p (duas negações eqüivalem a uma afirmação) 
p ∧ ~p = f 
p ∨ ~p = v 
~v = f 
~f = v 
 
e)Leis associativas 
(p∧ q)∧ r = p∧ (q∧ r) 
(p∨ q)∨ r = p∨ (q∨ r) 
Raciocínio Lógico 8 
 
f) Leis distributivas 
p∧ (q∨ r) = (p∧ q) ∨ (p∧ r) 
p∨ (q∧ r) = (p∨ q) ∧ (p∨ r) 
 
g) Leis de Augustus de Morgan 
~(p∧ q) = ~p ∨ ~q 
~(p∨ q) = ~p ∧ ~q 
h) Negação da condicional 
~(p→ q) = p∧ ~q 
 
Todas as propriedades acima podem ser verificadas com a construção das tabelas verdades. 
Vamos exemplificar verificando a propriedade do item (h): 
 
Para isto, vamos construir as tabelas verdades de ~(p→ q) e de p∧ ~q : 
 
Tabela1: 
p q p→ q ~(p→ q) 
V V V F 
V F F VF V V F 
F F V F 
 
Tabela 2: 
p q ~q p∧ ~q 
V V F F 
V F V V 
F V F F 
F F V F 
 
Observando as últimas colunas das tabelas verdades 1 e 2 , percebemos que elas são iguais, ou seja, ambas 
apresentam a seqüência F V F F , o que significa que ~(p→ q) = p∧ ~q . 
 
Exs.: 
1) Qual a negação da proposição composta: "Eu estudo e aprendo"? 
Do item (g) acima, concluímos que a negação procurada é: "Eu não estudo ou não aprendo". 
 
2) Qual a negação da proposição "O Brasil é um país ou a Bahia é um estado" ? 
Do item (g) acima, concluímos que a negação é: "O Brasil não é um país e a Bahia não é um estado". 
 
3) Qual a negação da proposição: "Se eu estudo então eu aprendo" ? 
Conforme a propriedade do item (h) acima, concluímos facilmente que a negação procurada é: "Eu estudo e não 
aprendo" 
 
Dado um conjunto de proposições P1, P2 , P3 , ... , Pn , Q (simples ou compostas) chama-se ARGUMENTO à 
proposição composta S : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q . 
 
As proposições P1, P2 , P3 , ... , Pn são denominadas PREMISSAS e a proposição Q é denominada CONCLUSÃO. 
 
Costuma-se representar um argumento, também da forma simplificada: 
P1, P2 , P3 , ... , Pn ∴ Q , onde o símbolo ∴ significa "logo" ou "de onde se deduz " . 
 
O argumento S : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q será VÁLIDO se e somente se a proposição composta 
s : ( P1 ∧ P2 ∧ P3 ∧ ... ∧ Pn ) → Q for uma TAUTOLOGIA, ou seja, a última coluna da sua TABELA VERDADE só 
contiver o valor lógico verdadeiro (V). Caso contrário, o argumento não será válido e será denominado FALÁCIA. 
 
Consideremos o seguinte exemplo de argumento: 
 
Se chove então faz frio. 
Não chove, 
Logo, não faz frio. 
 
Raciocínio Lógico 9
Este argumento é válido? Vejamos: 
 
Sejam as proposições: 
p: " chove " 
q: " faz frio " 
 
Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q). 
Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica indicada acima: 
 
s: [(p → q) ∧ ~p] → ~q 
 
Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição 
composta 
s: [(p → q) ∧ ~p] → ~q. 
 
Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores: 
 
p q ~p ~q p→ q [(p → q) 
∧ ~p 
s 
V V F F V F V 
V F F V F F V 
F V V F V V F 
F F V V V V V 
 
Como a proposição composta 
 
s: [(p → q) ∧ ~p] → ~q não é uma Tautologia (apareceu um F na terceira linha da última coluna), concluímos que o 
argumento dado não é válido. O argumento é, portanto, uma FALÁCIA. 
 
Vamos agora considerar o seguinte argumento: 
 
Se chove então faz frio. 
Não faz frio. 
Logo, não chove. 
 
Este argumento é válido? Vejamos: 
 
Sejam as proposições: 
p: " chove " 
q: " faz frio " 
Claro que a proposição "não chove" será ~p (a negação de p) e "não faz frio" será ~q (a negação de q). 
Poderemos então escrever o argumento na forma simbólica: 
 
s: [(p → q) ∧ ~q] → ~p 
 
Para saber se o argumento apresentado é válido ou não, teremos que construir a tabela verdade da proposição 
composta 
s: [(p → q) ∧ ~q] → ~p . 
 
Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores: 
 
p q ~p ~q p → q [(p → q) ∧ ~q s 
V V F F V F V 
V F F V F F V 
F V V F V F V 
F F V V V V V 
 
Como a proposição composta 
s: [(p → q) ∧ ~q] → ~p é uma Tautologia (só aparece V na última coluna), concluímos que o argumento dado é 
válido. 
 
Este tipo de problema se complica um pouco quando o número de premissas aumenta, pois com duas premissas, 
Raciocínio Lógico 10 
a tabela verdade conterá 22 = 4 linhas, com três premissas, a tabela verdade conterá 23 = 8 linhas e assim 
sucessivamente. Com quatro premissas, a tabela verdade conterá 24 = 16 linhas; imagine 10 premissas! 
 
A tabela verdade conteria 210 = 1024 linhas. Aí, só os computadores resolveriam ... 
 
Considere outro exemplo, agora com 3 premissas: 
 
Se o jardim não é florido então o gato mia. 
Se o jardim é florido então o passarinho não canta. 
O passarinho canta. 
Logo, o jardim é florido e o gato mia. 
 
Sejam as proposições: 
p: " o jardim não é florido" 
q: " o gato mia" 
r: " o pássaro canta" 
Poderemos escrever o argumento na seguinte forma simbólica: 
 
s : [(p → q) ∧ (~ p → ~ r) ∧ r ] → ( ~ p ∧ q ) 
 
Teremos, com base nos nossos conhecimentos anteriores: 
 
p q r ~ r ~p ∧ q p → q ~p ~p → ~ r [(p → q) ∧ (~p → ∼ r) ∧ 
( ~ r ) 
s
V V V F F V F V F V
V V F V F V F V V F
V F V F F F F V F V
V F F V F F F V F V
F V V F V V V F F V
F V F V V V V V V V
F F V F F V V F F V
F F F V F V V V V F
 
 
Como o argumento s não é uma Tautologia (apareceu F na última coluna) , o argumento não é válido. 
 
Notas: 
1 – o entendimento da tabela verdade acima, requer muita atenção. 
2 – neste tipo de exercício, não devemos usar a intuição, somente. A construção da tabela verdade é uma 
necessidade imperiosa, embora possa parecer muito trabalhosa. 
3 – recomendamos enfaticamente, imprimir o arquivo e analisar criteriosamente a tabela verdade. 
 
Agora resolva estes: 
 
1 - Se o jardim não é florido então o gato mia. 
O gato não mia. 
Logo, o jardim é florido. 
Resposta: o argumento é válido. 
 
2 - Se o jardim não é florido então o gato não mia. 
O jardim é florido. 
Logo, o gato mia. 
Resposta: o argumento não é válido. 
 
 
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 11
2. ÁLGEBRA LINEAR 
 
NUMEROS COMPLEXOS 
 
No século XVI , os matemáticos Cardano e Bombelli, entre outros, realizaram alguns progressos no estudo 
das raízes quadradas de números negativos. Dois séculos depois, estes estudos foram ampliados por Wesses, 
Argand e Gauss. Estes matemáticos são considerados os criadores da teoria dos números complexos. A teoria 
dos Números Complexos, tem ampla aplicação nos estudos mais avançados de Eletricidade. 
 
Unidade imaginária: define-se a unidade imaginária , representada pela letra i , como sendo a raiz quadrada de -1. 
Pode-se escrever então: 
i = √-1 . 
 
Observe que a partir dessa definição , passam a ter sentido certas operações com números reais , a exemplo das 
raízes quadradas de números negativos . 
 
Ex: √-16 = √16 . √-1 = 4.i = 4i 
 
Potências de i : 
i0 = 1 
i1 = i 
i2 = -1 
i3 = i2 . i = -i 
i4 = (i2)2 = (-1)2 = 1 
i5 = i4 . i = 1.i = i 
i6 = i5 . i = i . i = i2 = -1 
i7 = i6 . i = -i , etc. 
Percebe-se que os valores das potências de i se repetem no ciclo 1 , i , -1 , -i , de quatro em quatro a partir do 
expoente zero. 
Portanto, para se calcular qualquer potência inteira de i , basta eleva-lo ao resto da divisão do expoente por 4. 
Assim , podemos resumir: 
i4n = ir onde r = 0 , 1 , 2 ou 3. (r é o resto da divisão de n por 4). 
 
Exemplo: Calcule i2001 
Ora, dividindo 2001 por 4, obtemos resto igual a 1. Logo i2001 = i1 = i . 
 
Definição: Dados dois números reais a e b , define-se o número complexo z como sendo: 
z = a + bi , onde i = √-1 é a unidade imaginária . 
Exs: z = 2 + 3i ( a = 2 e b = 3) 
w = -3 -5i (a = -3 e b = -5) 
u = 100i ( a = 0 e b = 100) 
 
NOTAS: 
a) diz-se que z = a + bi é a forma binômia ou algébrica do complexo z . 
 
b) dado o número complexo z = a + bi , a é denominada parte real e b parte imaginária. 
 
Escreve-se : a = Re(z) ; b = Im(z) . 
 
c) se em z = a + bi tivermos a = 0 e b diferente de zero, dizemos que z é um imaginário puro . Ex: z = 3i . 
 
d)se em z = a + bi tivermos b = 0 , dizemos que z é um número real . 
Ex: z = 5 = 5 + 0i . 
 
e)do item (c) acima concluímos que todo número real é complexo, ou seja, o conjunto dos números reais é um 
subconjunto do conjunto dos números complexos. 
 
f) um número complexo z = a + bi pode também ser representado como um par ordenado z = (a,b) . 
 
Exercícios Resolvidos: 
 
1) Sendo z = (m2 - 5m + 6) + (m2 - 1) i , determine m de modo que z seja um imaginário puro. 
 
Raciocínio Lógico 12 
Solução: Para que o complexo z seja um imagináriopuro, sua parte real deve ser nula ou seja, devemos ter m2 - 
5m + 6 = 0, que resolvida encontramos m=2 ou m=3. 
 
2) Determine a parte real do número complexo z = (1 + i)12 . 
 
Solução: Observe que (1 + i)12 = [(1 + i)2]6 . Nestas condições, vamos desenvolver o produto notável 
(1 + i)2 = 12 + 2.i + i2 = 1 + 2i -1 = 2i � (1 + i)2 = 2i (isto é uma propriedade importante, que vale a pena ser 
memorizada). 
 
Substituindo na expressão dada, vem: 
(1 + i)12 = [(1 + i)2]6 = (2i)6 = 26.i6 = 64.(i2)3 = 64.(-1)3 = - 64. 
 
Portanto, o número complexo dado fica z = - 64 = - 64 + 0i e portanto sua parte real é igual a -64. 
 
3) Determine a parte imaginária do número complexo z = (1 - i)200 . 
 
Solução: Podemos escrever o complexo z como: z = [(1 - i)2]100 . Desenvolvendo o produto notável 
(1 - i)2 = 12 - 2.i + i2 = 1 - 2i -1 = - 2i � (1 - i)2 = - 2i (isto é uma propriedade importante, que merece ser 
memorizada). 
 
Substituindo na expressão dada, vem: 
z = (- 2i)100 = (- 2)100. i100 = 2100 . i100 = 2100 . ( i2 )50 = 2100. (- 1)50 = 2100 . 1 = 2100. 
 
Logo, o número complexo z é igual a 2100 e portanto um número real. Daí concluímos que a sua parte imaginária é 
zero. 
 
CONJUGADO DE UM NÚMERO COMPLEXO 
 
Dado um número complexo z = a + bi , chama-se conjugado de z e representa-se por , a um outro número 
complexo que possui a mesma parte real de z e a parte imaginária o simétrico aditivo da parte imaginária de z . 
z = a + bi � = a - bi 
Ex: z = 3 + 5i ; = 3 - 5i 
 
Obs : Sabemos que os números complexos podem também ser representados na forma de pares ordenados . 
 
Assim é que z = a + bi = (a,b). 
 
Portanto , por analogia com o sistema de coordenadas cartesianas , pode-se representar graficamente qualquer 
número complexo z num sistema de coordenadas cartesianas , bastando marcar a parte real a no eixo horizontal e 
a parte imaginária b no eixo vertical . Neste caso , o eixo horizontal é chamado eixo real e o eixo vertical é 
chamado eixo imaginário. O plano cartesiano, neste caso , denomina-se plano de Argand-Gauss. 
 
O ponto que representa o número complexo z , denomina-se afixo de z. 
 
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA BINÔMIA 
 
Regra : Para dividir um número complexo z por outro w � 0 , basta multiplicar numerador e denominador pelo 
complexo conjugado do denominador . 
Ex: = = = 0,8 + 0,1 i 
 
Agora que você estudou a teoria, tente resolver os seguintes exercícios: 
 
1 - Calcule o número complexo i126 + i-126 + i31 - i180 
 
2 - Sendo z = 5i + 3i2 - 2i3 + 4i27 e w = 2i12 - 3i15 , calcule Im(z).w + Im(w).z . 
 
3 - UCMG - O número complexo 2z, tal que 5z + = 12 + 6i é: 
 
4 - UCSal - Para que o produto (a+i). (3-2i) seja real, a deve ser: 
 
5 - UFBA - Sendo a = -4 + 3i , b = 5 - 6i e c = 4 - 3i , o valor de ac+b é: 
 
Raciocínio Lógico 13
6 - Mackenzie-SP - O valor da expressão y = i + i2 + i3 + ... + i1001 é: 
 
7) Determine o número natural n tal que (2i)n + (1 + i)2n + 16i = 0. 
 
8) Calcule [(1+i)80 + (1+i)82] : i96.240 
 
9) Se os números complexos z e w são tais que z = 2-5i e w = a+bi , sabendo-se que z+w é um número real e z.w 
.é um imaginário puro , pede-se calcular o valor de b2 - 2a. 
 
10) Se o número complexo z = 1-i é uma das raízes da equação x10 + a = 0 , então calcule o valor de a. 
 
11) Determine o número complexo z tal que iz + 2 . + 1 - i = 0. 
 
12 - UEFS-92.1 - O valor da expressão E = x-1 + x2, para x = 1 - i , é: 
a)-3i 
b)1-i 
c) 5/2 + (5/2)i 
d) 5/2 - (3/2)i 
e) ½ - (3/2)i 
 
13 -UEFS-93.2 - Simplificando-se a expressão E = i7 + i5 + ( i3 + 2i4 )2 , obtêm-se: 
a) -1+2i 
b) 1+2i 
c) 1 - 2i 
d) 3 - 4i 
e) 3 + 4i 
 
14 - UEFS-93.2 - Se m - 1 + ni = (3+i).(1 + 3i), então m e n são respectivamente: 
a) 1 e 10 
b) 5 e 10 
c) 7 e 9 
d) 5 e 9 
e) 0 e -9 
 
15 - UEFS-94.1 - A soma de um numero complexo z com o triplo do seu conjugado é igual a -8 - 6i. O módulo de z 
é: 
a) � 13 
b) � 7 
c) 13 
d) 7 
e) 5 
 
16 - FESP/UPE - Seja z = 1+i , onde i é a unidade imaginária. Podemos afirmar que z8 é igual a: 
a) 16 
b) 161 
c) 32 
d) 32i 
e) 32+16i 
 
17 - UCSal - Sabendo que (1+i)2 = 2i, então o valor da expressão 
y = (1+i)48 - (1+i)49 é: 
a) 1 + i 
b) -1 + i 
c) 224 . i 
d) 248 . i 
e) -224 . i 
 
GABARITO: 
 
1) -3 - i 
2) -3 + 18i 
3) 4 + 3i 
4) 3/2 
5) -2 + 18i 
6) i 
7) 3 
8) 1 + 2i 
9) 50 
10) 32i 
11) -1 - i 
12) B 
13) D 
14) A 
15) A 
16) A 
17) E 
Raciocínio Lógico 14 
MATRIZES e DETERMINANTE 
 
Matriz de ordem m x n : 
 
Para os nossos propósitos, podemos considerar uma matriz como sendo uma tabela rectangular de números reais 
(ou complexos) dispostos em m linhas e n colunas. Diz-se então que a matriz tem ordem m x n (lê-se: ordem m 
por n) 
 
Exemplos: 
 
A = ( 1 0 2 -4 5) → Uma linha e cinco colunas ( matriz de ordem 1 por 5 ou 1 x 5) 
 
B é uma matriz de quatro linhas e uma coluna, portanto de ordem 4 x 1. 
Notas: 
 
1) se m = n , então dizemos que a matriz é quadrada de ordem n. 
 
Exemplo: 
 
 
 
A matriz X é uma matriz quadrada de ordem 3x3 , dita simplesmente de ordem 3 . 
 
2) Uma matriz A de ordem m x n , pode ser indicada como A = (aij )mxn , onde aij é um elemento da linha i e coluna j 
da matriz. 
Assim , por exemplo , na matriz X do exemplo anterior , temos a23 = 2 , a31 = 4 , a33 = 3 , a31 = 4 , a3,2 = 5 , etc. 
 
3) Matriz Identidade de ordem n : In = ( aij )n x n onde aij = 1 se i = j e aij = 0 se i ≠ j . 
 
Assim a matriz identidade de 2ª ordem ou seja de ordem 2x2 ou simplesmente de ordem 2 é: 
 
A matriz identidade de 3ª ordem ou seja de ordem 3x3 ou simplesmente de ordem 3 é: 
 
 
4) Transposta de um matriz A : é a matriz At obtida de A permutando-se as linhas pelas colunas e vice-versa. 
Exemplo: 
 
A matriz At é a matriz transposta da matriz A . 
 
Notas: 
 
4.1) se A = At , então dizemos que a matriz A é simétrica. 
 
4.2) Se A = - At , dizemos que a matriz A é anti-simétrica. 
É óbvio que as matrizes simétricas e anti-simétricas são quadradas . 
 
4.3) sendo A uma matriz anti-simétrica , temos que A + At =  0 (matriz nula) . 
Raciocínio Lógico 15
Produto de matrizes 
 
Para que exista o produto de duas matrizes A e B , o número de colunas de A , tem de ser igual ao número de 
linhas de B. 
Amxn x Bnxq = Cmxq 
 
Observe que se a matriz A tem ordem m x n e a matriz B tem ordem n x q , a matriz produto C tem ordem m x q . 
Vamos mostrar o produto de matrizes com um exemplo: 
 
 
 
Onde L1C1 é o produto escalar dos elementos da linha 1 da 1ª matriz pelos elementos da coluna1 da segunda 
matriz, obtido da seguinte forma: 
 
L1C1 = 3.2 + 1.7 = 13. Analogamente, teríamos para os outros elementos: 
L1C2 = 3.0 + 1.5 = 5 
L1C3 = 3.3 + 1.8 = 17 
L2C1 = 2.2 + 0.7 = 4 
L2C2 = 2.0 + 0.5 = 0 
L2C3 = 2.3 + 0.8 = 6 
L3C1 = 4.2 + 6.7 = 50 
L3C2 = 4.0 + 6.5 = 30 
L3C3 = 4.3 + 6.8 = 60, e, portanto, a matriz produto será igual a: 
 
 
 
Observe que o produto de uma matriz de ordem 3x2 por outra 2x3, resultou na matriz produto P 
de ordem 3x3. 
 
Nota: O produto de matrizes é uma operação não comutativa, ou seja: A x B ≠ B x A 
DETERMINANTES 
 
Entenderemos por determinante , como sendo um número ou uma função, associado a uma matriz quadrada , 
calculado de acordo com regras específicas . 
 
É importante observar , que só as matrizes quadradas possuem determinante. 
 
Regra para o cálculo de um determinante de 2ª ordem. 
 
Dada a matriz quadrada de ordem 2 a seguir: 
 
 
O determinante de A será indicado por det(A) e calculado da seguinte forma : 
det (A) =  A = ad - bc 
 
Exemplo: 
 
 
Ora, senx.senx + cosx.cosx = sen2x + cos2x = 1 ( Relação Fundamental da Trigonometria ) . Portanto, o 
determinante da matriz dada é igual à unidade. 
 
 
Raciocínio Lógico 16Regra para o cálculo de um determinante de 3ª ordem ( Regra de SARRUS). 
 
SARRUS (pronuncia-se Sarrí), cujo nome completo é Pierre Frederic SARRUS (1798 - 1861), foi professor na 
universidade francesa de Strasbourg. A regra de SARRUS, foi provavelmente escrita no ano de 1833. 
 
Para o cálculo de um determinante de 3ª ordem pela Regra de Sarrus, proceda da seguinte maneira: 
1 - Reescreva abaixo da 3ª linha do determinante, a 1ª e 2ª linhas do determinante. 
2 - Efetue os produtos em "diagonal" , atribuindo sinais negativos para os resultados à esquerda e sinal positivo 
para os resultados à direita. 
3 - Efetue a soma algébrica. O resultado encontrado será o determinante associado à matriz dada. 
 
Exemplo: 
 
.2 3 5 
.1 7 4
Portanto, o determinante procurado é o número real negativo .- 77. 
 
Principais propriedades dos determinantes 
 
P1) somente as matrizes quadradas possuem determinantes. 
 
P2) o determinante de uma matriz e de sua transposta são iguais: det(A) = det( At ). 
 
P3) o determinante que tem todos os elementos de uma fila iguais a zero , é nulo. 
Obs: Chama-se FILA de um determinante, qualquer LINHA ou COLUNA. 
 
P4) se trocarmos de posição duas filas paralelas de um determinante, ele muda de sinal. 
 
P5) o determinante que tem duas filas paralelas iguais ou proporcionais, é nulo. 
 
P6) multiplicando-se (ou dividindo-se) os elementos de uma fila por um número, o determinante fica multiplicado 
(ou dividido) por esse número. 
 
P7) um determinante não se altera quando se substitui uma fila pela soma desta com uma fila paralela, 
multiplicada por um número real qualquer. 
 
P8) determinante da matriz inversa : det( A-1) = 1/det(A) . 
Se A-1 é a matriz inversa de A , então A . A-1 = A-1 . A = In , onde In é a matriz identidade de ordem n . Nestas 
condições , podemos afirmar que det(A.A-1) = det(In) e portanto igual a 1. 
 
Logo , podemos também escrever det(A) . det(A-1) = 1 ; 
logo , concluímos que: det(A-1) = 1 / det(A). 
 
Notas: 
1) se det(A) = 0 , não existe a matriz inversa A-1. Dizemos então que a matriz A é SINGULAR ou NÃO 
INVERSÍVEL . 
 
 
2) se det A ≠ 0 , então a matriz inversa A-1 existe e é única . Dizemos então que a matriz A é INVERSÍVEL . 
 
P9) Se todos os elementos situados de um mesmo lado da diagonal principal de uma matriz quadrada de ordem n 
, forem nulos (matriz triangular), o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. 
 
P10) Se A é matriz quadrada de ordem n e k ∈ R então det(k.A) = kn . det A 
 
Exemplos: 
1) Qual o determinante associado à matriz? 
Raciocínio Lógico 17
 
 
Observe que a 4ª linha da matriz é proporcional à 1ª linha (cada elemento da 4ª linha é obtido multiplicando os 
elementos da 1ª linha por 3). Portanto, pela propriedade P5 , o determinante da matriz dada é NULO. 
 
2) Calcule o determinante: 
 
Observe que a 2ª coluna é composta por zeros; FILA NULA ⇒ DETERMINANTE NULO , conforme propriedade 
P3 acima. Logo, D = 0. 
 
3) Calcule o determinante: 
 
 
Ora, pela propriedade P9 acima, temos: D = 2.5.9 = 90 
 
Exercícios propostos: 
 
1) As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. Se o 
determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a: 
*a) 1/5 
b) 5 
c) 1/40 
d) 1/20 
e) 20 
 
2) Seja a matriz A de ordem n onde aij = 2 para i = j e aij = 0 para i ≠ j . 
Se det (3A) = 1296 , então n é igual a: 
Resp: n = 4 
 
3) Determine a soma dos elementos da diagonal principal da matriz A = ( aij )3 X 3 , onde 
aij = i + j se i ≥ j ou aij = i - j se i < j. Qual o determinante de A? 
Resp: soma dos elementos da diagonal principal = 12 e determinante = 72 
 
4) Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o determinante da 
matriz 5 A é igual a: 
Resp: zero 
 
1 - Definições: 
1.1 - Chama-se Menor Complementar ( D ij ) de um elemento aij de uma matriz quadrada A, ao determinante que 
se obtém eliminando-se a linha i e a coluna j da matriz. 
 
Assim, dada a matriz quadrada de terceira ordem (3x3) A a seguir : 
 
 
Raciocínio Lógico 18 
Podemos escrever: 
D23 = menor complementar do elemento a23 = 9 da matriz A . Pela definição, D23 será igual ao determinante que se 
obtém de A, eliminando-se a linha 2 e a coluna 3, ou seja: 
 
 
Da mesma forma determinaríamos D11, D12, D13, D21, D22, D31, D32 e D33. Faça os cálculos como exercício! 
 
1.2 - Cofator de um elemento aij de uma matriz : cof ( aij ) = (-1 ) i+j . Dij . 
Assim por exemplo, o cofator do elemento a23 = 9 da matriz do exemplo anterior, seria igual a: 
cof(a23) = (-1)2+3 . D23 = (-1)5 . 10 = - 10. 
 
2 - Teorema de Laplace 
 
O determinante de uma matriz quadrada é igual à soma dos produtos dos elementos de uma fila qualquer 
(linha ou coluna) pelos respectivos cofatores. 
 
Este teorema permite o cálculo do determinante de uma matriz de qualquer ordem. Como já conhecemos 
as regras práticas para o cálculo dos determinantes de ordem 2 e de ordem 3, só recorremos à este teorema para 
o cálculo de determinantes de 4ª ordem em diante. O uso desse teorema, possibilita abaixar a ordem do 
determinante. Assim, para o cálculo de um determinante de 4ª ordem, a sua aplicação resultará no cálculo de 
quatro determinantes de 3ª ordem. O cálculo de determinantes de 5ª ordem, já justifica o uso de planilhas 
eletrônicas, a exemplo do Excel for Windows, Lótus 1-2-3, entre outros. 
 
Para expandir um determinante pelo teorema de Laplace, é mais prático escolher a fila (linha ou coluna) 
que contenha mais zeros, pois isto vai facilitar e reduzir o número de cálculos necessários. 
 
Pierre Simon Laplace - (1749-1827) - Matemático e astrônomo francês. 
 
3 - Cálculo da inversa de uma matriz. 
 
a) A matriz inversa de uma matriz X , é a matriz X-1 , tal que X . X-1 = X-1 . X = In , onde In é a matriz identidade de 
ordem n. 
 
b) Matriz dos cofatores da matriz A: é a matriz obtida substituindo-se cada elemento pelo seu respectivo cofator. 
Símbolo: cof A . 
 
c) Fórmula para o cálculo da inversa de uma matriz: 
 
 
Onde: A-1 = matriz inversa de A; 
det A = determinante da matriz A; 
(cof A)T = matriz transposta da matriz dos cofatores de A . 
 
Exercícios propostos 
1 - Se A = ( aij ) é matriz quadrada de ordem 3 tal que aij = i - j então podemos afirmar que o seu determinante é 
igual a: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) –4 
Resp: a 
 
2 - UFBA-90 - Calcule o determinante da matriz: 
 
Resp: 15 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 19
3 - Considere a matriz A = (aij)4x4 definida por aij = 1 se i ≥ j e aij = i + j se i < j. Pede-se calcular a soma dos 
elementos da diagonal secundária. 
Resp: 12 
 
4 - As matrizes A e B , quadradas de ordem 3, são tais que B = 2.At , onde At é a matriz transposta de A. 
Se o determinante de B é igual a 40 , então o determinante da matriz inversa de A é igual a: 
a) 1/5 b) 5 c) 1/40 d) 1/20 e) 20 Resp: a 
 
5 - Dadas as matrizes A = (aij)3x4 e B = (bij)4x1 tais que aij = 2i + 3j e bij = 3i + 2j, o elemento 
c12 da matriz C = A.B é: 
a)12 b) 11 c) 10 d) 9 e) inexistente Resp: e 
 
 
FUVEST – 1999 – 1ª fase – Se A é uma matriz 2x2 inversível que satisfaz 2A = A2, então o determinante de A 
será: 
a) 0 b) 1 c) 2 d) 3 e) 4 
 
SOLUÇÃO: 
Diz-se que uma matriz é inversível, quando o seu determinante é um número diferente de zero. 
Se 2 A = A2, então os seus determinantes são iguais, ou seja: 
det(2 A) = det(A2) 
 
Sabemos que sendo det(A) o determinante de uma matriz de ordem n, podemos dizer que det(k.A) onde k é um 
número inteiro positivo, será igual a kn . det(A). 
 
Portanto, como n = 2 (ordem da matriz), vem: 
det(2 A) = 22.det(A) 
S 
abemos também que o determinante do produto de duas matrizes é igual ao produto das matrizes, ou seja: 
det(A.B) = det(A).det(B).Então, det(A2) = det(A . A) = det(A).det(A) 
 
Substituindo na igualdade det(2 A) = det(A2), as expressões obtidas anteriormente, vem: 
22.det(A) = det(A).det(A) 
4.det(A) – [det(A)]2 = 0 
 
Colocando det(A) em evidencia, fica: 
det(A).[4 – det(A)] = 0 
 
Daí, conclui-se que det(A) = 0 OU det(A) = 4. Como é dito que a matriz A é inversível, o seu determinante é não 
nulo e, portanto, a solução det(A) = 0 não serve. 
Portanto, det(A) = 4, e a alternativa correta é a de letra E. 
 
 
SISTEMAS LINEARES 
 
1 - Equação linear 
 
Entenderemos por equação linear nas variáveis (incógnitas) x1, x2, x3, ... , xn , como sendo a equação da forma 
 a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b onde a1, a2, a3, ... an e b são números reais ou complexos. 
a1, a2, a3, ... an são denominados coeficientes e b, termo independente. 
 
Nota: se o valor de b for nulo, diz-se que temos uma equação linear homogênea. 
Exemplos de equações lineares: 
 
2x1+3x2 =7(variáveis ou incógnitas x1 e x2,coeficientes 2 e 3,e termo independente7) 
 
3x + 5y = 5 (variáveis ou incógnitas x e y, coeficientes 3 e 5, e termo independente 5) 
 
2x + 5y + z = 17 (variáveis ou incógnitas x, y e z, coeficientes 2,5 e 1 e termo independente 17) 
 
-x1 + 3x2 -7x3 + x4 = 1 (variáveis x1, x2 , x3 e x4, coeficientes -1, 3, -7, e 1 e termo independente 1) 
 
Raciocínio Lógico 20 
2x + 3y + z - 5t = 0 (variáveis ou incógnitas x, y, z e t, e termo independente nulo). 
Logo, este é um exemplo de equação linear homogênea. 
 
2 - A solução de uma equação linear 
 
Já estamos acostumados a resolver equações lineares de uma incógnita (variável), que são as equações de 
primeiro grau. Por exemplo: 2x + 8 = 22, nos leva à solução única x = 14. Já, se tivermos uma equação com duas 
incógnitas (variáveis), por exemplo x + y = 10, a solução não é única, já que poderemos ter um número infinito de 
pares ordenados que satisfazem à equação, ou seja: x=1 e y=9 [par ordenado (1,9)], x =4 e y =6 [par ordenado 
(4,6)], x = 3/2 e y 17/2 [par ordenado (3/2,17/2)], ... , etc. 
 
Consideremos agora, uma equação com 3 incógnitas. 
 
Seja por exemplo: x + y + z = 5 
 
As soluções, serão x=1, y=4 e z=0, uma vez que 1+4+0 =5; x=3, y=7 e z=-5, uma vez que 
3+7- 5=5; x=10, y=-9 e y=4 (uma vez que 10-9+4=5); ... , que são compostas por 3 elementos, o que nos leva a 
afirmar que as soluções são os ternos ordenados (1,4,0), (3,7,-5) , (10, -9, 4), ... , ou seja, existem infinitas 
soluções (um número infinito de ternos ordenados) que satisfazem à equação dada. 
 
De uma forma geral, as soluções de uma equação linear de duas variáveis, são pares ordenados; de três 
variáveis, são ternos ordenados; de quatro variáveis, são quadras ordenadas; ... . 
 
Se a equação linear possuir n variáveis, dizemos que as soluções são n - uplas (lê-se ênuplas) ordenadas. 
 
Assim, se a ênupla ordenada (r1, r2, r3 , ... , rn) é solução da equação linear 
a1.x1 + a2.x2 + a3.x3 + ... + an.xn = b, isto significa que a igualdade é satisfeita para 
x1 = r1, x2 = r2 , x3 = r3 , ... , xn = rn e poderemos escrever: 
a1.r1 + a2.r2 + a3.r3 + ... + an.rn = b. 
 
Exercícios resolvidos: 
 
1 - Se o terno ordenado (2, 5, p) é solução da equação linear 6x - 7y + 2z = 5, qual o valor de p? 
Solução: Teremos por simples substituição, observando que x = 2, y = 5 e z = p, 
6.2 -7.5 + 2.p = 5. Logo, 12 - 35 + 2p = 5. Daí vem imediatamente que 2p = 28 e portanto, p = 14. 
 
2 - Escreva a solução genérica para a equação linear 5x - 2y + z = 14, sabendo que o terno ordenado 
(α , β , γ ) é solução. 
Solução: Podemos escrever: 5α - 2β + γ = 14. Daí, tiramos: γ = 14 - 5α + 2β . Portanto, a solução genérica será o 
terno ordenado (α , β , 14 - 5α + 2β ). 
 
Observe que arbitrando-se os valores para α e β , a terceira variável ficará determinada em função desses 
valores. Por exemplo, fazendo-se α = 1, β = 3, teremos 
γ = 14 - 5α + 2β = 14 - 5.1 + 2.3 = 15, ou seja, o terno (1, 3, 15) é solução, e assim, sucessivamente. Verificamos 
pois que existem infinitas soluções para a equação linear dada, sendo o terno ordenado 
(α , β , 14 - 5α + 2β ) a solução genérica. 
 
3 - Qual o conjunto solução da equação linear 0x + 0y + 0z = 1? 
Resp : S = φ 
 
4 - Determine o valor de 6p, sabendo-se que a quadra ordenada (2, p, -3, p+3) é solução da equação 
3x + 4y - 5z + 2t = 10. 
Resp : -17 
 
1 - Sistema linear 
 
É um conjunto de m equações lineares de n incógnitas (x1, x2, x3, ... , xn) do tipo: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3 
................................................................. 
................................................................. 
am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bn 
 
Raciocínio Lógico 21
Exemplo: 
3x + 2y - 5z = -8 
4x - 3y + 2z = 4 
7x + 2y - 3z = 2 
0x + 0y + z = 3 
 
Temos acima um sistema de 4 equações e 3 incógnitas (ou variáveis). 
 
Os termos a11, a12, ... , a1n, ... , am1, am2, ..., amn são denominados coeficientes e b1, b2, ... , bn são os 
termos independentes. 
 
A ênupla (α 1, α 2 , α 3 , ... , α n) será solução do sistema linear se e somente se satisfizer simultaneamente a todas 
as m equações. 
 
Exemplo: O terno ordenado (2, 3, 1) é solução do sistema: 
x + y + 2z = 7 
3x + 2y - z = 11 
x + 2z = 4 
3x - y - z = 2 
pois todas as equações são satisfeitas para x=2, y=3 e z=1. 
 
Notas: 
1 - Dois sistemas lineares são EQUIVALENTES quando possuem as mesmas soluções. 
Exemplo: Os sistemas lineares 
2x + 3y = 12 S1: 
3x - 2y = 5 
5x - 2y = 11 S2: 
6x + y = 20 
são equivalentes, pois ambos admitem o par ordenado (3, 2) como solução. Verifique! 
 
2 - Se um sistema de equações possuir pelo menos uma solução, dizemos que ele é POSSÍVEL ou 
COMPATÍVEL. 
 
3 - Se um sistema de equações não possuir solução, dizemos que ele é IMPOSSÍVEL ou INCOMPATÍVEL. 
 
4 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui apenas uma solução, dizemos que ele é DETERMINADO. 
 
5 - Se o sistema de equações é COMPATÍVEL e possui mais de uma solução, dizemos que ele é 
INDETERMINADO. 
 
6 - Se os termos independentes de todas as equações de um sistema linear forem todos nulos, ou seja 
b1 = b2 = b3 = ... = bn = 0, dizemos que temos um sistema linear HOMOGÊNEO. 
 
Exemplo: 
x + y + 2z = 0 
2x - 3y + 5z = 0 
5x - 2y + z = 0 
 
Exercícios Resolvidos 
 
1 - UEL - 84 (Universidade Estadual de Londrina) 
Se os sistemas 
x + y = 1 S1: 
x - 2y = -5 
ax - by = 5 S2: 
ay - bx = -1 
são equivalentes, então o valor de a2 + b2 é igual a: 
a) 1 b) 4 c) 5 d) 9 e) 10 
 
Solução: 
 
Como os sistemas são equivalentes, eles possuem a mesma solução. Vamos resolver o sistema S1: 
Raciocínio Lógico 22 
x + y = 1 
x - 2y = -5 
Subtraindo membro a membro, vem: x - x + y - (-2y) = 1 - (-5). Logo, 3y = 6 ∴ y = 2. 
 
Portanto, como x+y = 1, vem, substituindo: x + 2 = 1 ∴ x = -1. 
 
O conjunto solução é portanto S = {(-1, 2)}. 
 
Como os sistemas são equivalentes, a solução acima é também solução do sistema S2. Logo, substituindo em S2 
os valores de x e y encontrados para o sistema S1, vem: 
a(-1) - b(2) = 5 ⇒ - a - 2b = 5 
a(2) - b (-1) = -1 ⇒ 2 a + b = -1 
Multiplicando ambos os membros da primeira equação (em azul) por 2, fica: 
-2 a - 4b = 10 
Somando membro a membro esta equação obtida com a segunda equação (em vermelho), 
fica: -3b = 9 ∴ b = - 3 
Substituindo o valor encontrado para b na equação em vermelho acima (poderia ser também na outra equação em 
azul), teremos: 
2 a + (-3) = -1 ∴ a = 1. 
Portanto, a2 + b2 = 12 + (-3)2 = 1 + 9 = 10. 
Portanto a alternativa correta é a letra E. 
 
2 - Determine o valor de m de modo que o sistema de equações abaixo, 
2x - my = 10 
3x + 5y = 8, seja impossível. 
 
Solução: 
Teremos, expressando x em função de m, na primeira equação: 
x = (10 + my) / 2 
Substituindo o valorde x na segunda equação, vem: 
3[(10+my) / 2] + 5y = 8 
Multiplicando ambos os membros por 2, desenvolvendo e simplificando, vem: 
3(10+my) + 10y = 16 
30 + 3my + 10y = 16 
(3m + 10)y = -14 
y = -14 / (3m + 10) 
Ora, para que não exista o valor de y e, em conseqüência não exista o valor de x, deveremos ter o denominador 
igual a zero, já que , como sabemos, NÃO EXISTE DIVISÃO POR ZERO. 
Portanto, 3m + 10 = 0 , de onde conclui-se m = -10/3, para que o sistema seja impossível, ou seja, não possua 
solução. 
 
Agora, resolva e classifique os seguintes sistemas: 
a) 2x + 5y .- ..z = 10 
.............3y + 2z = ..9 
.....................3z = 15 
b) 3x - 4y = 13 
.....6x - 8y = 26 
c) 2x + 5y = 6 
....8x + 20y = 18 
Resp: 
a) sistema possível e determinado. S = {(25/3, -1/3, 5)} 
b) sistema possível e indeterminado. Possui um número infinito de soluções. 
c) sistema impossível. Não admite soluções. 
 
MÉTODO DE ELIMINAÇÃO DE GAUSS OU MÉTODO DO ESCALONAMENTO 
 
Karl Friedrich Gauss - astrônomo, matemático e físico alemão - 1777/1855. 
 
O método de eliminação de Gauss para solução de sistemas de equações lineares, também conhecido como 
escalonamento, baseia-se em três transformações elementares, a saber: 
 
T1 - um sistema de equações não se altera, quando permutamos as posições de duas equações quaisquer do 
sistema. 
 
Raciocínio Lógico 23
Exemplo: os sistemas de equações lineares 
2x + 3y = 10 
5x - 2y = 6 
5x - 2y = 6 
2x + 3y = 10 
 
são obviamente equivalentes, ou seja, possuem o mesmo conjunto solução. Observe que apenas mudamos a 
ordem de apresentação das equações. 
 
T2 - um sistema de equações não se altera, quando multiplicamos ambos os membros de qualquer uma das 
equações do sistema, por um número real não nulo. 
 
Exemplo: os sistemas de equações lineares 
3x + 2y - z = 5 
2x + y + z = 7 
x - 2y + 3z = 1 
3x + 2y - z = 5 
2x + y + z = 7 
3x - 6y + 9z = 3 
são obviamente equivalentes, pois a terceira equação foi multiplicada membro a membro por 3. 
 
T3: um sistema de equações lineares não se altera, quando substituímos uma equação qualquer por outra obtida 
a partir da adição membro a membro desta equação, com outra na qual foi aplicada a transformação T2. 
 
Exemplo: os sistemas 
15x - 3y = 22 
5x + 2y = 32 
15x - 3y = 22 
...... - 9y = - 74 
são obviamente equivalentes (ou seja, possuem o mesmo conjunto solução), pois a segunda equação foi 
substituída pela adição da primeira equação, com a segunda multiplicada por ( -3 ). 
 
Vamos resolver, a título de exemplo, um sistema de equações lineares, pelo método de Gauss ou escalonamento. 
 
Seja o sistema de equações lineares: 
. x + 3y - 2z = 3 .Equação 1 
2x . - .y + z = 12 Equação 2 
4x + 3y - 5z = 6 .Equação 3 
 
SOLUÇÃO: 
1 - Aplicando a transformação T1, permutando as posições das equações 1 e 2, vem: 
2x .-...y + z = 12 
x ..+ 3y - 2z = 3 
4x + 3y - 5z = 6 
 
2 - Multiplicando ambos os membros da equação 2, por (- 2) - uso da transformação T2 - somando o resultado 
obtido com a equação 1 e substituindo a equação 2 pelo resultado obtido - uso da transformação T3 - vem: 
2x - ..y + z = 12 
.....- 7y + 5z = 6 
4x + 3y - 5z = 6 
 
3 - Multiplicando ambos os membros da equação 1 por (-2), somando o resultado obtido com a equação 3 e 
substituindo a equação 3 pela nova equação obtida, vem: 
2x - ..y + ..z = ...12 
.....- 7y + 5z = ....6 
........5y - 7z = - 18 
 
4 - Multiplicando a segunda equação acima por 5 e a terceira por 7, vem: 
2x -.....y + ....z =....12 
.....- 35y +25z =... 30 
.......35y - 49z = -126 
 
5 - Somando a segunda equação acima com a terceira, e substituindo a terceira pelo resultado obtido, vem: 
2x - .....y + ....z = ..12 
Raciocínio Lógico 24 
.....- 35y + 25z = ..30 
...............- 24z = - 96 
 
6 - Do sistema acima, tiramos imediatamente que: z = (-96) / (-24) = 4, ou seja, z = 4. 
 
Como conhecemos agora o valor de z, fica fácil achar os valores das outras incógnitas: 
Teremos: - 35y + 25(4) = 30 ∴ y = 2. 
 
Analogamente, substituindo os valores conhecidos de y e z na primeira equação acima, fica: 
2x - 2 + 4 = 12 ∴ x = 5. 
 
Portanto, x = 5, y = 2 e z = 4, constitui a solução do sistema dado. Podemos então escrever que o conjunto 
solução S do sistema dado, é o conjunto unitário formado por um terno ordenado (5,2,4) : 
S = { (5, 2, 4) } 
 
Verificação: 
 
Substituindo os valores de x, y e z no sistema original, teremos: 
5 + 3(2) - 2(4) = 3 
2(5) - (2) + (4) = 12 
4(5) + 3(2) - 5(4) = 6 
o que comprova que o terno ordenado (5,4,3) é solução do sistema dado. 
 
Sobre a técnica de escalonamento utilizada para resolver o sistema dado, podemos observar que o nosso objetivo 
era escrever o sistema na forma 
ax + by + cz = k1 
dy + ez = k2 
fz = k3 
de modo a possibilitar achar o valor de z facilmente ( z = k3 / f ) e daí, por substituição, determinar y e x. Este é o 
caminho comum para qualquer sistema. 
 
É importante ressaltar que se em z = k3 / f , tivermos: 
a) f ≠ 0 , o sistema é possível e determinado. 
b) f = 0 e k3 ≠ 0 , o sistema é impossível, ou seja, não possui solução, ou podemos 
c) dizer também que o conjunto solução é vazio, ou seja: S = φ . 
d) f = 0 e k3 = 0 , o sistema é possível e indeterminado, isto é, possui um número infinito de soluções. 
 
Não podemos escrever uma regra geral para o escalonamento de um sistema de equações lineares, a não ser 
recomendar a correta e oportuna aplicação das transformações T1, T2 e T3 mostradas anteriormente. 
 
Podemos entretanto observar que o método de escalonamento consiste basicamente em eliminar a primeira 
incógnita a partir da segunda equação, eliminar a segunda incógnita em todas as equações a partir da terceira e 
assim sucessivamente, utilizando-se das transformações T1, T2 e T3 vistas acima. 
 
A prática, entretanto, será o fator determinante para a obtenção dos bons e esperados resultados. 
 
Agora, resolva os seguintes sistemas lineares, usando a técnica de escalonamento: 
 
Sistema I : Resp: S = { (3, 5) } 
4x - 2y = 2 
2x + 3y = 21 
 
Sistema II : Resp: S = { (-1, 2, 4) } 
2 a + 5b + .3c = ...20 
5 a + 3b - 10c = - 39 
...a + ....b + ....c = ......5 
 
Sistema III : Resp: S = { (2, 3, 5) } 
..x + .y .- ..z = ...0 
..x - 2y + 5z = 21 
4x + .y + 4z = 31 
 
Regra de Cramer para a solução de um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas. 
Gabriel Cramer - matemático suíço - 1704/1752. 
 
Raciocínio Lógico 25
Consideremos um sistema de equações lineares com n equações e n incógnitas, na sua forma genérica: 
a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1 
a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2 
a31x1 + a32x2 + a33x3 + ... + a3nxn = b3 
....................................................= ... 
....................................................= ... 
an1x1 + an2x2 + an3x3 + ... + annxn = bn 
onde os coeficientes a11, a12, ..., ann são números reais ou complexos, os termos independentes 
b1, b2, ... , bn , são números reais ou complexos e x1, x2, ... , xn são as incógnitas do sistema nxn. 
 
Seja ∆ o determinante da matriz formada pelos coeficientes das incógnitas. 
 
 
Seja ∆ xi o determinante da matriz que se obtém do sistema dado, substituindo a coluna dos coeficientes da 
incógnita xi ( i = 1, 2, 3, ... , n), pelos termos independentes b1, b2, ... , bn. 
 
 
A regra de Cramer diz que: 
 
Os valores das incógnitas de um sistema linear de n equações e n incógnitas são dados por frações cujo 
denominador é o determinante ∆ dos coeficientes das incógnitas e o numerador é o determinante ∆ xi, ou seja: 
xi = ∆ xi / ∆ 
 
Exemplo: Resolva o seguinte sistema usando a regra de Cramer: 
x + 3y - 2z = 3 
2x - y + z = 12 
4x + 3y - 5z = 6 
 
Para o cálculo dos determinantes a seguir, é conveniente rever o capítulo Determinantes clicando AQUI. Para 
retornar, clique em VOLTAR no seu browser. 
Teremos:Raciocínio Lógico 26 
Portanto, pela regra de Cramer, teremos: 
x1 = ∆ x1 / ∆ = 120 / 24 = 5 
x2 = ∆ x2 / ∆ = 48 / 24 = 2 
x3 = ∆ x3 / ∆ = 96 / 24 = 4 
 
Logo, o conjunto solução do sistema dado é S = { (5, 2, 4) }. 
 
Observe que resolvemos este mesmo sistema através do método de escalonamento, em Sistemas Lineares III. É 
conveniente rever aquela solução clicando AQUI. Para retornar, clique em VOLTAR no seu browser. 
 
Agora, resolva este: 
2 x + 5y + 3z = 20 
5 x + 3y - 10z = - 39 
x + y + z = 5 
Resp: S = { (-1, 2, 4) } 
 
 
3. PROBABILIDADES 
 
A história da teoria das probabilidades, teve início com os jogos de cartas, dados e de roleta. Esse é o 
motivo da grande existência de exemplos de jogos de azar no estudo da probabilidade. A teoria da probabilidade 
permite que se calcule a chance de ocorrência de um número em um experimento aleatório. 
 
Experimento Aleatório 
 
É aquele experimento que quando repetido em iguais condições, podem fornecer resultados diferentes, ou 
seja, são resultados explicados ao acaso. Quando se fala de tempo e possibilidades de ganho na loteria, a 
abordagem envolve cálculo de experimento aleatório. 
 
Espaço Amostral 
 
É o conjunto de todos os resultados possíveis de um experimento aleatório. A letra que representa o 
espaço amostral, é S. 
 
Exemplo: 
Lançando uma moeda e um dado, simultaneamente, sendo S o espaço amostral, constituído pelos 12 elementos: 
 
S = {K1, K2, K3, K4, K5, K6, R1, R2, R3, R4, R5, R6} 
 
Escreva explicitamente os seguintes eventos: 
A={caras e m número par aparece}, 
B={um número primo aparece}, 
C={coroas e um número ímpar aparecem}. 
 
Idem, o evento em que: 
a) A ou B ocorrem; 
b) B e C ocorrem; 
c) Somente B ocorre. 
 
Quais dos eventos A,B e C são mutuamente exclusivos 
 
Resolução: 
Para obter A, escolhemos os elementos de S constituídos de um K e um número par: 
A={K2, K4, K6}; 
 
Para obter B, escolhemos os pontos de S constituídos de números primos: B={K2,K3,K5,R2,R3,R5} 
 
Para obter C, escolhemos os pontos de S constituídos de um R e um número ímpar: C={R1,R3,R5}. 
 
(a) A ou B = AUB = {K2,K4,K6,K3,K5,R2,R3,R5} 
 
(b) B e C = B 1 C = {R3,R5} 
 
(c) Escolhemos os elementos de B que não estão em A ou C; 
Raciocínio Lógico 27
B 1Ac 1Cc = {K3,K5,R2} 
 
A e C são mutuamente exclusivos, porque A 1 C = i 
 
Conceito de probabilidade 
 
Se num fenômeno aleatório as possibilidades são igualmente prováveis, então a probabilidade de ocorrer um 
evento A é: 
 
Por, exemplo, no lançamento de um dado, um número pasra pode ocorrer de 3 maneiras diferentes dentre 6 
igualmente prováveis, portanto, P = 3/6= 1/2 = 50% 
 
Dizemos que um espaço amostral S (finito) é equiprovável quando seus eventos elementares têm probabilidades 
iguais de ocorrência. 
 
Num espaço amostral equiprovável S (finito), a probabilidade de ocorrência de um evento A é sempre: 
 
Propriedades Importantes 
 
1. Se A e A’ são eventos complementares, então: 
P( A ) + P( A' ) = 1 
 
2. A probabilidade de um evento é sempre um número entre Æ (probabilidade de evento impossível) e 1 
(probabilidade do evento certo). 
0≤P(S) ≤1 
 
 
Probabilidade Condicional 
 
Antes da realização de um experimento, é necessário, que já tenha alguma informação sobre o evento 
que se deseja observar.Nesse caso o espaço amostral se modifica e o evento tem a s sua probabilidade de 
ocorrência alterada. 
 
Fórmula de Probabilidade Condicional 
 
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) é igual a P(E1).P(E2/E1).P(E3/E1 e E2)...P(En/E1 e E2 e ...En-1). 
 
Onde P(E2/E1) é a probabilidade de ocorrer E2, condicionada pelo fato de já ter ocorrido E1; 
 
P(E3/E1 e E2) é a probabilidade ocorrer E3, condicionada pelo fato de já terem ocorrido E1 e E2; 
 
P(Pn/E1 e E2 e ...En-1) é a probabilidade de ocorrer En, condicionada ao fato de já ter ocorrido E1 e E2...En-1. 
 
Exemplo: 
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se ocorrer um sorteio de 2 bolas, uma de cada vez e sem 
reposição, qual será a probabilidade de a primeira ser vermelha e a segunda ser azul? 
 
Resolução: 
Seja o espaço amostral S=30 bolas, bolinhas e considerarmos os seguintes eventos: 
A: branca na primeira retirada e P(A) = 10/30 
B: preta na segunda retirada e P(B) = 20/29 
Assim: 
P(A e B) = P(A).(B/A) = 10/30.20/29 = 20/87 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 28 
Eventos independentes 
 
Dizemos que E1 e E2 e ...En-1, En são eventos independentes quando a probabilidade de ocorrer um deles não 
depende do fato de os outros terem ou não terem ocorrido. 
 
Fórmula da probabilidade dos eventos independentes: 
 
P(E1 e E2 e E3 e ...e En-1 e En) = P(E1).P(E2).p(E3)...P(En) 
 
Exemplo: 
Uma urna tem 30 bolas, sendo 10 vermelhas e 20 azuis. Se sortearmos 2 bolas, 1 de cada vez e respondo a 
sorteada na urna, qual será a probabilidade de a primeira ser branca e a segunda ser preta? 
 
Resolução: 
Como os eventos são independentes, a probabilidade de sair vermelha na primeira retirada e azul na segunda 
retirada é igual ao produto das probabilidades de cada condição, ou seja, P(A e B) = P(A).P(B). Ora, a 
probabilidade de sair vermelha na primeira retirada ´e 10/30 e a de sair azul na segunda retirada 20/30. Daí, 
usando a regra do produto, temos: 10/30.20/30=2/9. 
 
Observe que na segunda retirada forma consideradas todas as bolas, pois houve reposição. Assim, P(B/A) =P(B), 
porque o fato de sair bola vermelha na primeira retirada não influenciou a segunda retirada, já que ela foi reposta 
na urna. 
 
Probabilidade de ocorrer a união de eventos 
 
Fórmula da probabilidade de ocorrer a união de eventos: 
P(E1 ou E2) = P(E1) + P(E2).P(E1 e E2) 
 
De fato, se existirem elementos comuns a E1 e E2, estes eventos estarão computados no cálculo de P(E1) e P(E2). 
Para que sejam considerados uma vez só, subtraímos P(E1 e E2). 
 
Fórmula de probabilidade de ocorrer a união de eventos mutuamente exclusivos: 
P(E1 ou E2 ou E3 ou ... ou En) = P(E1) + P(E2) + ... + P(En) 
 
Exemplo: Se dois dados, azul e branco, forem lançados, qual a probabilidade de sair 5 no azul e 3 no branco? 
Considerando os eventos: 
A: Tirar 5 no dado azul e P(A) = 1/6 
B: Tirar 3 no dado branco e P(B) = 1/6 
Sendo S o espaço amostral de todos os possíveis resultados, temos: 
n(S) = 6.6 = 36 possibilidades. Daí, temos:P(A ou B) = 1/6 + 1/6 – 1/36 = 11/36 
 
Exemplo: Se retirarmos aleatoriamente uma carta de baralho com 52 cartas, qual a probabilidade de ser um 8 ou 
um Rei? 
Sendo S o espaço amostral de todos os resultados possíveis, temos: n(S) = 52 cartas. Considere os eventos: 
A: sair 8 e P(A) = 8/52 
B: sair um rei e P(B) = 4/52 
Assim, P(A ou B) = 4/52 + 4/52 – 0 = 8/52 = 2/13. Note que P(A e B) = 0, pois uma carta não pode ser 8 e rei ao 
mesmo tempo. Quando isso ocorre dizemos que os eventos A e B são mutuamente exclusivos. 
 
 
4. COMBINAÇÕES 
 
Foi a necessidade de calcular o número de possibilidades existentes nos chamados jogos de azar que 
levou ao desenvolvimento da Análise Combinatória, parte da Matemática que estuda os métodos de contagem. 
 
Esses estudos foram iniciados já no século XVI, pelo matemático italiano Niccollo Fontana (1500-1557), 
conhecido como Tartaglia. Depois vieram os franceses Pierre de Fermat (1601-1665) e Blaise Pascal (1623-1662). 
 
A Análise Combinatória visa desenvolver métodos que permitam contar - de uma forma indireta - o número 
de elementos de um conjunto, estando esses elementos agrupados sob certas condições. 
 
FATORIAL 
Seja n um número inteiro não negativo. Definimos o fatorial de n (indicado pelo símbolo n! ) como sendo: 
 
n! = n .(n-1) . (n-2) . ... .4.3.2.1 para n ≥ 2. 
Raciocínio Lógico 29
 
Para n = 0 , teremos : 0! = 1. 
Para n = 1 , teremos : 1! = 1 
Exemplos: 
 
a) 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 
b) 4! = 4.3.2.1 = 24 
c) observe que 6! = 6.5.4! 
d) 10! = 10.9.8.7.6.5.4.3.2.1e) 10! = 10.9.8.7.6.5! 
f ) 10! = 10.9.8! 
 
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM - PFC 
 
Se determinado acontecimento ocorre em n etapas diferentes, e se a primeira etapa pode ocorrer de k1 maneiras 
diferentes, a segunda de k2 maneiras diferentes, e assim sucessivamente, então o número total T de maneiras de 
ocorrer o acontecimento é dado por: 
T = k1. k2 . k3 . ... . kn 
Exemplo: 
 
O DETRAN decidiu que as placas dos veículos do Brasil serão codificadas usando-se 3 letras do alfabeto e 4 
algarismos. Qual o número máximo de veículos que poderá ser licenciado? 
 
Solução: 
Usando o raciocínio anterior, imaginemos uma placa genérica do tipo PWR-USTZ. 
Como o alfabeto possui 26 letras e nosso sistema numérico possui 10 algarismos (de 0 a 9), podemos concluir 
que: para a 1ª posição, temos 26 alternativas, e como pode haver repetição, para a 2ª, e 3ª também teremos 26 
alternativas. Com relação aos algarismos, concluímos facilmente que temos 10 alternativas para cada um dos 4 
lugares. Podemos então afirmar que o número total de veículos que podem ser licenciados será igual a: 
26.26.26.10.10.10.10 que resulta em 175.760.000. Observe que se no país existissem 175.760.001 veículos, o 
sistema de códigos de emplacamento teria que ser modificado, já que não existiriam números suficientes para 
codificar todos os veículos. Perceberam? 
 
PERMUTAÇÕES SIMPLES 
 
1 - Permutações simples de n elementos distintos são os agrupamentos formados com todos os n elementos e 
que diferem uns dos outros pela ordem de seus elementos. 
 
Exemplo: com os elementos A,B,C são possíveis as seguintes permutações: ABC, ACB, BAC, BCA, CAB e CBA. 
 
2 - O número total de permutações simples de n elementos distintos é dado por n!, isto é 
Pn = n! onde n! = n(n-1)(n-2)... .1 . 
 
Exemplos: 
a) P6 = 6! = 6.5.4.3.2.1 = 720 
 
b) Calcule o número de formas distintas de 5 pessoas ocuparem os lugares de um banco retangular de cinco 
lugares. 
P5 = 5! = 5.4.3.2.1 = 120 
 
3 - Denomina-se ANAGRAMA o agrupamento formado pelas letras de uma palavra, que podem ter ou não 
significado na linguagem comum. 
 
Exemplo: 
Os possíveis anagramas da palavra REI são: 
REI, RIE, ERI, EIR, IRE e IER. 
 
PERMUTAÇÕES COM ELEMENTOS REPETIDOS 
 
Se entre os n elementos de um conjunto, existem a elementos repetidos, b elementos repetidos, c elementos 
repetidos e assim sucessivamente , o número total de permutações que podemos formar é dado por: 
 
Raciocínio Lógico 30 
Exemplo: 
Determine o número de anagramas da palavra MATEMÁTICA.(não considere o acento) 
 
 
Solução: 
Temos 10 elementos, com repetição. Observe que a letra M está repetida duas vezes, a letra A três , a letra T, 
duas vezes. Na fórmula anterior, teremos: n=10, a=2, b=3 e c=2. Sendo k o número procurado, podemos escrever: 
k= 10! / (2!.3!.2!) = 151200 
Resposta: 151200 anagramas. 
 
ARRANJOS SIMPLES 
 
1 - Dado um conjunto com n elementos , chama-se arranjo simples de taxa k , a todo agrupamento de k elementos 
distintos dispostos numa certa ordem. Dois arranjos diferem entre si, pela ordem de colocação dos elementos. 
Assim, no conjunto E = {a,b,c}, teremos: 
a) arranjos de taxa 2: ab, ac, bc, ba, ca, cb. 
b) arranjos de taxa 3: abc, acb, bac, bca, cab, cba. 
 
2 - Representando o número total de arranjos de n elementos tomados k a k (taxa k) por An,k , teremos a seguinte 
fórmula: 
 
Obs : é fácil perceber que An,n = n! = Pn . (Verifique) 
Exemplo: 
 
Um cofre possui um disco marcado com os dígitos 0,1,2,...,9. O segredo do cofre é marcado por uma seqüência 
de 3 dígitos distintos. Se uma pessoa tentar abrir o cofre, quantas tentativas deverá fazer(no máximo) para 
conseguir abri-lo? 
 
Solução: 
As seqüências serão do tipo xyz. Para a primeira posição teremos 10 alternativas, para a segunda, 9 e para a 
terceira, 8. Podemos aplicar a fórmula de arranjos, mas pelo princípio fundamental de contagem, chegaremos ao 
mesmo resultado: 
10.9.8 = 720. 
Observe que 720 = A10,3 
 
COMBINAÇÕES SIMPLES 
 
1 - Denominamos combinações simples de n elementos distintos tomados k a k (taxa k) aos subconjuntos 
formados por k elementos distintos escolhidos entre os n elementos dados. Observe que duas combinações são 
diferentes quando possuem elementos distintos, não importando a ordem em que os elementos são colocados. 
 
Exemplo: 
No conjunto E= {a,b.c,d} podemos considerar: 
a) combinações de taxa 2: ab, ac, ad,bc,bd, cd. 
b) combinações de taxa 3: abc, abd,acd,bcd. 
c) combinações de taxa 4: abcd. 
 
2 - Representando por Cn,k o número total de combinações de n elementos tomados k a k (taxa k) , temos a 
seguinte fórmula: 
 
Nota: o número acima é também conhecido como Número binomial e indicado por: 
 
Exemplo: 
ma prova consta 
0 questões? 
 
U de 15 questões das quais o aluno deve resolver 10. De quantas formas ele 
poderá escolher as 1
 
Solução: 
Observe que a ordem das questões não muda o teste. Logo, podemos concluir que trata-se de um problema de 
combinação de 15 elementos com taxa 10. 
 
Aplicando simplesmente a fórmula chegaremos a: 
C15,10 = 15! / [(15-10)! . 10!] = 15! / (5! . 10!) = 15.14.13.12.11.10! / 5.4.3.2.1.10! = 3003 
 
Raciocínio Lógico 31
Agora que você viu o resumo da teoria, tente resolver os 3 problemas seguintes: 
 
01 - Um coquetel é preparado com duas ou mais bebidas distintas. Se existem 7 bebidas distintas, quantos 
coquetéis diferentes podem ser preparados? 
Resp: 120 
 
02 - Sobre uma circunferência são marcados 9 pontos distintos. Quantos triângulos podem ser construídos com 
vértices nos 9 pontos marcados? 
Resp: 84 
 
03 - Uma família com 5 pessoas possui um automóvel de 5 lugares. Sabendo que somente 2 pessoas sabem 
dirigir, de quantos modos poderão se acomodar para uma viagem? 
Resp: 48 
 
Exercício resolvido: Um salão tem 6 portas. De quantos modos distintos esse salão pode estar aberto? 
 
Solução: 
Para a primeira porta temos duas opções: aberta ou fechada 
Para a segunda porta temos também, duas opções, e assim sucessivamente. 
Para as seis portas, teremos então, pelo Princípio Fundamental da Contagem - PFC: 
N = 2.2.2.2.2.2 = 64 
Lembrando que uma dessas opções corresponde a todas as duas portas fechadas, teremos então que o número 
procurado é igual a 64 - 1 = 63. 
 
Resposta: o salão pode estar aberto de 63 modos possíveis. 
 
 
5. ARRANJOS E PERMUTAÇÕES 
 
Fatorial de um número: 
 
 
 
 
D
 
 
 
 
 
-
3
n!=n.(n-1).(n
2) 3 2
efinições especiais: 
luga 3º o para adespossibilid
adespossibilid 4 Existem :R
Quanta mundo. do campeões
(G futebol de timesQuatro 3)
ex não pois ,7 :Resposta
 056 
1(
))(1( 56
)!1(
)!1(
1(
1( equação a Resolva 2)
!99
10.101!99.100
!99
!101!100
express da valor o Calcule 1)
2
=
⇒=−+⇒
−
+⇒=−
+
−
+
+=+
x
xxx
x
xx
x
x
x
x
2 
ades.possibilid 242.3.4 r 
2 elugar 2º o para adespossibilid 3 sobrando lugar, 1º o para 
lugares? primeiros trêsos para adespossibilid as são s
dos torneioo disputam Flamengo) e Paulo São Santos, rêmio,
negativo. número um de fatorial iste
-8x
7x
 
2
151 
2
2251
 56 x 56))(1( 56
)!
)!1(
.56
)!
)!
1020010100100100.101100!99.0
.
!99
!101!100 ão
2
=→


=
=⇒±−=⇒±−=
⇒=+⇒=+⇒=−
=
=+=+=
+
x
xxxx
0!=
1 
Raciocínio Lógico 
ARRANJO SIMPLES 
 
)!(
!
, pn
nA pn −=
 
 
 
 
40
17
80
34
872
202430
)!18(
!8
)!29(
!9
)!25(
!5
)!34(
!4
)!26(
!6
. Calcule )4
1,82,9
2,53,42,6
1,82,9
2,53,42,6
==+
−+=
−+−
−−−+−=+
−+
+
−+
AA
AAA
AA
AAA
números. 3366.7.8
!5
!5.6.7.8
!5
!8
)!38(
!81. 
:então s,disponívei
números 8 existem ainda trêsoutros os para e (2), adepossibilid uma apenasexiste algarismo
primeiro o Para 3000). e 2000 entre está (pois algarismos quatro ter deve número O :R 
9? e 6,7,81,2,3,4,5, entre escolhidos distintos
algarismospor formados 3000 e 2000 entre doscompreendi números os são Quantos 6)
números. 1366472 é 5por divisíveis de número O :Resposta
números. 648.8
!7
!7.8.
!7
!7.8
!7
!8.
!7
!8
)!18(
!8.
)!18(
!8.1. 
0).ser pode algarismo segundo (o adespossibilid 8 existem tambémalgarismo segundo
o para E ).algarismos 2 de número um seria (senão 0 comcomeçar pode não número o pois
ades,possibilid 8 ainda existem algarismo primeiro o Para (5). adepossibilid uma apenas existe
algarismo terceiroo para :5 com terminam5por divisíveis quantos calculamos Agora 
números. 728.9
!7
!7.8.9
!7
!9
)!29(
!91. 
:é 0 com terminamque 5por divisíveis de número o Portanto s.disponívei números 9 existem
ainda primeiros dois os para e (0), adepossibilid 1 apenas existe algarismo terceiroo Para 
:0 com terminamque 5por divisíveis de número ocalcular vamos
ntePrimeirame 5. comou 0 com terminar deve ele 5, divisívelser número um Para :R 
5. POR DIVISÍVEIS SEJAM c)
números. 8
!7
!7.8
!7
!8
)!18(
!81.1. 
:adespossibilid 8 existem ainda segundo o Para (5). adepossibilid 1 apenas existe
 também terceiroo para e (2), adepossibilid 1 apenas existe algarismo primeiro o Para :R 
5. COM TERMINEM E 2 COM COMECEM b)
números. 728.9
!7
!7.8.9
!7
!9
)!29(
!91. 
:sdisponívei números 9 existem ainda dois outros os para e (1) adepossibilid
1 apenas existe primeiro o para que sendo ,algarismos êspossuir tr pode número O :R 
1. COM COMECEM a)
:que modo de repetir, os sem ),5,6,7,8,9(0,1,2,3,4 decimal sistema
do algarismos o comformar podemos distintos algarismos 3 de números Quantos 5)
3,8
1,81,8
2,9
1,8
2,9
====−=
=+
====−−=
→
====−=
→
===−=
====−=
A
AA
A
A
A
 
Raciocínio Lógico 33
34 
 
 
 
PERMUTAÇÃO SIMPLES 
 
É um caso particular de arranjo simples. É o tipo de agrupamento ordenado onde entram todos os elementos. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
!nPn = 
maneiras.1152576576 é totalo Portanto
maneiras. 57624.24!4!.4.
: também temosposição primeira na dama uma Colocando
maneiras. 57624.24!4!.4.
:maneiras de totalnúmero como temosposição primeira na cavalheiro um Colocando
C-D-C-D-C-D-C-Dou D-C-D-C-D-C-D-C 
:issofazer de maneiras duas Existem:R 
damas. duas e scavalheiro dois juntos fiquem não que forma
de fila, numa s,cavalheiro 4 e damas 4 dipostasser podem maneiras quantas de Calcule 8)
anagramas. 1201.2.3.4.5!5.1.1.1.1
:é totalo Então ades.possibilid 5 existem letras 5 outras as para e
(E), 1 existe só tambémúltima para e (A), adepossibilid 1 existe letra primeira a Para 
E. com terminameA POR COMEÇAM b)
anagramas. 7201.2.3.4.5.6!6.1.1
:é totalo Então ades.possibilid 6 existem
letras 6 outras as para e (A), adepossibilid uma apenas existe letra primeira a Para 
A. POR COMEÇAM a)
:EDITORA palavra da anagramas Quantos 8)
números. 1201.2.3.4.5!5
8?e1,2,3,5por formadosser podem distintosalgarismos 5 de números Quantos )7
44
44
5
6
5
=+
===
===
===
===
===
PP
PP
P
P
P
Raciocínio Lógico 
COMBINAÇÃO SIMPLES 
 
 É o tipo de agrupamento em que um grupo difere do outro apenas pela natureza dos elementos 
componentes. 
 
 
)!(!
!
, pnp
nC pn −=
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
comissões. 52515.35
2
30.
!3
210
!2!.4
!4.5.6.
!4!.3
!4.5.6.7
)!46(!4
!6.
)!37(!3
!7
.. produto o é resultado O
 - MOÇAS
 - RAPAZES
moças? 4 e rapazes
3 comformar podemos comissões quantas moças, 6 e rapazes 7 com reunião Numa 11)
saladas. de tipos210
24
5040
!4
5040
!4!.6
!6.7.8.9.10
)!610!.(6
!10
feitas?ser podem
diferentes espécies 6 contendo salada, de tiposquantos frutas, de espécies 10 Com 10)
.Chaver pode não porque resposta a é não 1 :obs
.5 :Resposta
1''
5'
 
2
166 056
056 0
6
3323
0
26
22
0
!2
)1.(
!3
)2).(1.(
0
)!2(!2
)!2).(1.(
)!3(!3
)!3).(2).(1.(
0
)!2(!2
!
)!3(!3
!
.0 equação aResolver 9)
4,63,7
4,6
3,7
6,10
1,3
2
23
223
2223
2,3,
====−−
====−=
=
=


=
=⇒±=⇒=+−
=+−⇒=+−+−
=−−+−−
=−−−−
=−
−−−−
−−−
=−−−
=−
CC
C
C
C
m
m
m
m
mmm
mmmmmmmm
mmmmmm
mmmmm
m
mmm
m
mmmm
m
m
m
m
CC mm
 
 
 
 
 
Raciocínio Lógico 35
SIMULADO DE RACIOCÍNIO LÓGICO 
 
1) Sabe-se que existe pelo menos um A que é B. 
Sabe-se, também, que todo B é C. Segue-se, 
portanto, necessariamente que 
a) todo C é B 
b) todo C é A 
c) algum A é C 
d) nada que não seja C é A 
e) algum A não é C 
 
2) Considere as seguintes premissas (onde X, Y, Z e P 
são conjuntos não vazios): 
Premissa 1: "X está contido em Y e em Z, ou X está 
contido em P" 
Premissa 2: "X não está contido em P" 
Pode-se, então, concluir que, necessariamente 
a) Y está contido em Z 
b) X está contido em Z 
c) Y está contido em Z ou em P 
d) X não está contido nem em P nem em Y 
e) X não está contido nem em Y e nem em Z 
 
3) Três rapazes e duas moças vão ao cinema e 
desejam sentar-se, os cinco, lado a lado, na 
mesma fila. O número de maneiras pelas quais eles 
podem distribuir-se nos assentos de modo que as 
duas moças fiquem juntas, uma ao lado da outra, é 
igual a 
a) 2 
b) 4 
c) 24 
d) 48 
e) 120 
 
4) De um grupo de 200 estudantes, 80 estão 
matriculados em Francês, 110 em Inglês e 40 não 
estão matriculados nem em Inglês nem em Francês. 
Seleciona-se, ao acaso, um dos 200 estudantes. A 
probabilidade de que o estudante selecionado esteja 
matriculado em pelo menos uma dessas disciplinas 
(isto é, em Inglês ou em Francês) é igual a 
a) 30/200 
b) 130/200 
c) 150/200 
d) 160/200 
e) 190/200 
 
5) Uma herança constituída de barras de ouro foi 
totalmente dividida entre três irmãs: Ana, Beatriz e 
Camile. Ana, por ser a mais velha, recebeu a metade 
das barras de ouro, e mais meia barra. Após Ana ter 
recebido sua parte, Beatriz recebeu a metade do que 
sobrou, e mais meia barra. Coube a Camile o restante 
da herança, igual a uma barra e meia. Assim, o 
número de barras de ouro que Ana recebeu foi: 
a) 1 
b) 2 
c) 3 
d) 4 
e) 5 
 
6) Chama-se tautologia a toda proposição que é 
sempre verdadeira, independentemente da 
verdade dos termos que a compõem. Um exemplo de 
tautologia é: 
a) se João é alto, então João é alto ou Guilherme é 
gordo 
b) se João é alto, então João é alto e Guilherme é 
gordo 
c) se João é alto ou Guilherme é gordo, então 
Guilherme é gordo 
d) se João é alto ou Guilherme é gordo, então João é 
alto e Guilherme é gordo 
e) se João é alto ou não é alto, então Guilherme é 
gordo 
 
7) Sabe-se que a ocorrência de B é condição 
necessária para a ocorrência de C e condição 
suficiente para a ocorrência de D. Sabe-se, também, 
que a ocorrência de D é condição necessária e 
suficiente para a ocorrência de A. Assim, quando C 
ocorre, 
a) D ocorre e B não ocorre 
b) D não ocorre ou A não ocorre 
c) B e A ocorrem 
d) nem B nem D ocorrem 
e) B não ocorre ou A não ocorre 
 
8) Se Frederico é francês, então Alberto não é 
alemão. Ou Alberto é alemão, ou Egídio é 
espanhol. Se Pedro não é português, então Frederico 
é francês. Ora, nem Egídio é espanhol nem Isaura é 
italiana. Logo: 
a) Pedro é português e Frederico é francês 
b) Pedro é português e Alberto é alemão 
c) Pedro não é português e Alberto é alemão 
d) Egídio é espanhol ou Frederico é francês 
e) Se Alberto é alemão, Frederico é francês 
 
9) Se Luís estuda História, então Pedro estuda 
Matemática. Se Helena estuda Filosofia, então Jorge 
estuda