Matemática Financeira

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MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 
OPERAÇÕES COMERCIAIS 
 
Porcentagem, taxas de acréscimo, 
descontos, taxa de lucro ou margem 
sobre o preço de custo e sobre o pre-
ço de venda 
 
Porcentagem 
 
‰ Porcentagem sobre a venda 
 
Porcentagem ou percentagem é a 
relação de determinado valor com ca-
da 100 unidades. 
 
Se mencionamos DEZ POR CENTO de 
um valor qualquer, estamos dizendo que 
de cada 100 partes desse valor tomamos 
DEZ PARTES. 
 
DEZ POR CENTO, que é representado 
por 10%, chama-se TAXA DE PERCENTA-
GEM. Desta forma, uma fração expressa 
com o denominador 100 seria uma per-
centagem e o numerador seria a taxa de 
porcentagem. 
 
Na razão 10/100 a taxa de porcenta-
gem é 10. Lê-se DEZ POR CENTO. 
 
Calcular 10% de R$ 500,00 
 
Pode ser calculado por regra de 
três simples. 
 
Se em R$ 100,00 temos 10 
 em R$ 500,00 teremos x 
 
 500,00 x 10 
 Logo, x será = -------------- = R$ 50,00 
 100 
 
Principal é o número ou a quantia 
sobre a qual se calcula a porcentagem. No 
exemplo dado, o principal é de R$ 500,00. 
 
Exercícios: 
 
Calcular: 
01) 15% de R$ 30.000,00 
02) 25% de R$ 99.000,00 
03) 4% de R$ 70.400,00 
04) 8,5% de R$ 425.000,00 
05) 10,2% de R$ 510.000,00 
06) 4,7% de R$ 940.000,00 
 
07) Qual a percentagem obtida com a 
venda por R$ 348,00 de uma máquina de 
calcular adquirida ao preço de custo de R$ 
240,00? 
 
08) O preço de custo de um computa-
dor é de R$ 3.600,00. Desejando obter 
um lucro bruto de 60%, qual seria o valor 
de venda? 
 
09) Um negociante efetua compra de 
mercadorias no valor de R$ 27.000,00. 
Qual será o seu lucro se aplicar uma taxa 
de 90% desse valor e os seus gerais fo-
rem de 20% sobre o preço de venda? 
 
10) Um vendedor ganhou R$ 2.700,00. 
Sendo a comissão de 9%, pergunta-se 
qual o valor de compra da mercadoria. 
 
‰ Percentagem sobre a compra 
 
 A percentagem também pode ser 
calculada sobre o preço de compra. Neste 
caso, 100% é o preço de compra. 
 
Exemplo: 
 
Uma mercadoria adquirida por R$ 
750,00 foi vendida com um lucro de R$ 
150,00. Pergunta-se qual a taxa lucro ou 
margem sobre o preço de custo e sobre o 
preço de venda? 
 
Preço de custo: 
 
R$ 750,00 – 100% 
R$ 150,00 – x 
 
150,00 x 100
750
X = = 20% é lucro sobre o 
preço de venda. 
 
Preço de venda: 
 
 R$ 900,00 – 100% 
 R$ 750,00 - x 
 
150x100
900
x = =16,66% 
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Exercícios: 
 
01) Determine a porcentagem de lucro 
sobre o valor de compra de uma merca-
doria que custou R$ 480,00 e foi vendida 
por R$ 648,00. 
R. 35%. 
 
02) Sabendo que um bem vendido por 
1.261,50 custou R$ 870,00,00, determine 
os percentuais sobre os preços de custo e 
de venda. 
R. 45% e 31%. 
 
03) A venda de um automóvel por R$ 
12.650,00 ensejou um lucro de 10% so-
bre o preço de custo. Determine o custo. 
R. R$ 11.500,00 
 
04) Tendo ganho R$ 330,00 na venda de 
um computador por 2.530,00, qual foi a 
porcentagem sobre o preço de compra? 
R. 15% 
 
05) Uma venda por R$ 6.250,00 ensejou 
um lucro de 20% sobre esse valor. Calcu-
le a porcentagem sobre o preço de com-
pra. 
R. 25% 
 
Venda com desconto 
 
 Uma mercadoria que constava na 
vitrine por R$ 480,00 teve um desconto 
de 20%. 
Pergunta-se quais os valores do desconto 
e da venda? 
 
100,00 – 20% (se em 100 o desconto é 
de 20) 
480,00 - x (em 480,00 o desconto será de 
x) 
 
480,00 20
100
xx = =R$ 96,00 (foi o valor do 
desconto) 
 
480,00 – 96,00 = 384,00 (foi o valor de 
venda) 
 
Exemplo: 
 
Uma impressora vendida por R$ 504,00 
teve um desconto de 40%. Qual o valor 
anunciado pela loja? 
 
60% – 504,00 (se 60% equivale a R$ 504,00) 
100% - x (100% equivalerá a x) 
 
Logo: 
 
100%x504,00
60
x = == 840,00 é o preço a-
nunciado pela loja, sem desconto. 
 
Exercícios: 
 
01) O preço de um automóvel é de R$ 
24.000,00, mas, se pago a vista, o valor é 
reduzido para R$ 21.120,00. Qual a per-
centagem de desconto? 
R. 12% 
 
02) Ao pagar R$ 607,20 por uma merca-
doria que valia 660,00, qual foi o descon-
to obtido? 
R. 8% 
 
03) Um bem vendido por 1.107,00 custou 
820,00. Qual o percentual de acréscimo? 
R. 35% 
 
04) Ao pagar uma conta de R$ 1.450,00, 
desembolsei R$ 1.580,50. Qual foi a mora 
cobrada pelo atraso? 
R. 9% 
 
05) Um bem que valia R$ 360,00 foi ad-
quirido por R$ 400,00. Qual o valor do 
ágio? 
R. 11% 
 
Taxa de porcentagem 
 
Considere o seguinte anúncio de jornal: “ 
Vendem-se tênis: desconto de 50%”. 
 
Observe que neste anúncio aparece a ex-
pressão 50%, que se lê cinqüenta por 
cento, e pode ser indicada por 50 em 100 
ou 
50
100
 . A expressão “50% de desconto” 
pode ser entendida como um desconto de 
$ 50,00 em cada $ 100,00 do preço de 
uma mercadoria. 
 
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Expressão Leitura Significado 
“18% não 
votaram” 
18 por 
cento não 
votaram 
Em cada 100 
eleitores 18 não 
votaram. 
“ 40% não 
vieram” 
40 por 
cento não 
vieram 
Em cada 100 
pessoas 40 não 
vieram 
 
As expressões 18% e 40% podem ser in-
dicadas na forma de fração, por 18 e 
40 , respectivamente. Como essa frações 
possuem denominadores iguais a 100, 
são denominadas frações centesimais. 
Os numerais 40% e 18% são taxas cen-
tesimais ou taxas de porcentagens, 
pois expressam a razão que existe uma 
grandeza e 100 elementos do universo 
dessa grandeza . 
 
Escreva as frações seguintes na for-
ma de taxa de centesimal: 
 
a) 
15
100
. 
 
b) 
37
100
. 
 
c) 
70
100
. 
 
d) 
81
100
. 
 
e) 
3
100
. 
 
f)
4
25
. 
 
Escreva cada taxa de porcentagem na 
forma de fração centesimal: 
 
a) 18% 
b) 52% 
c) 4% 
d) 35% 
e) 10% 
f) 100% 
 
Cálculo da taxa de porcentagem 
 
O cálculo da taxa de porcentagem pode 
ser realizado utilizando-se uma regra de 
três simples. Vejamos algumas situações 
onde esse cálculo é utilizado. 
 
1º situação 
Depositando-se $60,00 numa caderneta 
de poupança, ao final de um mês obtêm-
se $75,00. Vamos calcular a taxa de por-
centagem desse rendimento: 
 
‰ $ 60,00 é a quantia principal do 
problema ; 
‰ $ 15,00 é o rendimento obtido no 
período. 
 
Organizamos uma regra de três simples, 
onde: 
$ 60,00 correspondem a 100% investi-
dos; 
$ 15,00 correspondem a x% do que foi 
investido. 
 
Essa regra de três simples é direta: 
 
$60 100
$15 x
↓ ↓ 
 
60 100 100.15
15 60
= ⇔ Χ =Χ ⇔ X = 25 
 
portanto, a taxa de rendimento foi de 
25%. 
 
Exercícios 
 
1. Calcule: 
 
a) 20% de 1 000 pessoas, 
b) 70% de 80 cavalos. 
c) 9% de 10 000 doentes com dengue. 
d) 40% de 90 pregos. 
e) 7,5% de 200 ovos. 
f) 0,45% de 2 000 laranjas. 
 
1. Resolva os seguistes problemas: 
a) A quantia de $ 945,00 é igual a quan-
tos por cento de $ 4 500,00? 
 
b) E uma classe de 50 alunos, comparece-
ram 35. Qual a taxa percentual de ausên-
cia? 
 
 
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c) Num exame de 110 questões, um aluno 
errou 10%. Quantas questões ele acer-
tou? 
 
d) Obtive 14% de desconto numa compra 
de $ 24.000,00. Quanto paguei? 
 
e) O preço marcado de um produto era $ 
2.500,00. Paguei apenas $ 2.000,00, pois 
obtive um abatimento. Qual foi a taxa de 
porcentagem do desconto? 
 
f) Economizei $ 840,00 ao obter um des-
conto de 12% na compra de uma roupa. 
Qual era o preço marcado inicialmente 
nessa roupa? 
 
g) Gastei 20% de meu salário em uma 
mercadoria que me custou $ 5.000,00. 
Qual o valor do meu salário? 
 
CONCEITOS BÁSICOS 
 
Juros, principal, montante, taxas de 
juros, fluxo de caixa, contagem de 
dias, anos comercial e civil, regra do 
banqueiro 
 
Juros.Custo do capital durante determinado 
período de tempo. 
 
Taxa de Juros. 
 Unidade de medida do juro que cor-
responde à remuneração paga pelo uso do 
capital, durante um determinado período 
de tempo. Indica a periodicidade dos ju-
ros. 
 
Observação. 
 
 Em nosso curso usaremos a taxa uni-
tária para que o cálculo fique simplificado, 
quando estivermos utilizando fórmulas 
para realizar os cálculos. 
 
Montante. 
 
 Capital empregado mais o valor acu-
mulado dos juros. 
 
Fluxo de Caixa. 
 
 Conjunto de entradas e saídas, dispos-
tas ao longo do tempo, geralmente repre-
sentado por um diagrama, também cha-
mado de horizonte financeiro, constituído 
por um eixo horizontal, que representa a 
linha do tempo, tendo acima as entradas 
e abaixo as saídas, e vice-versa. 
 
Cálculo do número de dias 
 
Ano comercial são os juros calculados com 
uma taxa diária a partir de 360 dias. 
 
Ano civil são os juros calculados com uma 
taxa diária a partir de 365dias. 
 
Juros Exatos ou Regra do Banqueiro 
 
 São os juros calculados com uma taxa 
diária a partir de um ano civil (365dias). 
 
Observação 
 
 Por convenção, usam-se sempre os 
juros comercias, a não ser quando é ex-
plícito o contrário. 
 
Tempo Exato. 
 
 Quando se considera o número exato 
de dias contados no calendário. 
 
Tempo Aproximado. 
 
 Quando se considera qualquer mês 
como tendo 30 dias. 
 
Taxas Proporcionais ou Nominais. 
 
 Duas taxas se dizem proporcionais, 
quando há uma proporção entre as gran-
dezas em que se expressam e as dura-
ções dos períodos de tempo a que se refe-
rem. 
 
 Como a proporção existente, neste ca-
so, é inversa, temos: 
 
 Calcular a taxa anual correspondente a 
2,5% ao mês. 
 
 
→ i1.n1 = i2. n2 → 2,5 . 12 = i . 1 → i 
= 30% a.a. 
 
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Juros simples 
 
Considere a seguinte situação: 
 
“ A importância de $ 100.000,00 foi em-
prestado por um Banco ao cliente Epami-
nondas da Silva. O Banco cobrará do cli-
ente 10% e juros mensal. Quanto será 
cobrado? 
 
Vamos denominar e convencionar 
uma representação para cada dado do 
problema: 
 
‰ O dinheiro emprestado, 
$100.000,00, chama-se quantia 
principal. Representa-se por C. 
 
‰ A retribuição periódica pela cessão 
do dinheiro, eu corresponde à 
quantia que será cobrada pelo Ban-
co, é o aluguel que se paga em ca-
da período. Recebe o nome de juro 
e representa-se por j. 
 
‰ A taxa de juro, 10% é a taxa que 
funciona como o aluguel que o cli-
ente pata por 100 unidades de di-
nheiro que o Banco lhe empresta; 
representa-se por i. 
 
‰ A referência de tempo. Um mês em 
que o dinheiro ficou aplicado, re-
presenta-se por t. 
 
Problemas desse tipo podem ser resolvi-
dos utilizando-se uma regra de três. Va-
mos estabelecer um problema genérico e 
obter uma formula que permite obter a 
solução de problemas semelhantes. 
 
“Quem aplica $ 100,00 à taxa de 1% ao 
período (ano, ou mês, ou dia etc.) recebe 
no fim do período $ 1,00 de juros. Se a-
plicasse um capital C à taxa i ao período, 
então receberia o juros j”. 
 
Monta-se uma regra de três compos-
ta: 
 
Capital taxa tempo juro
100 1 1 1
C i t j
↓ ↓ ↓ ↓ 
 
 Como são grandezas diretamente 
proporcionais em relação à grandeza do 
juro, podemos escrever: 
 
100 . 1 . 1 = 1 . 
 C I t j 
 
J = C i t 
 100 
 
Vamos calcular o juros pago por uma pes-
soa que tomou emprestada quantia de $ 
50 000,00, durante 8 meses, a uma taxa 
de 1,2% ao mês: 
 
Dados 
C = $ 50.000,00 j = C i t 
I = 1,2% ao mês 100 
t = 8 meses j = 50.000 . 1,2 . 8 
j = ? 100 
j = 4.800 
 
foram pagos $ 4.800,00 de juro. 
 
Vamos, agora , determinar a quantia que 
deve ser aplicada por uma pessoa a uma 
taxa de 6% ao ano, para que após 2 anos 
receba $ 18.000,00 de juro. 
 
Dados 
 
C = ? j = C i t 
I = 6% ao ano 100 
t = 2 anos 18.000 = C . 6 . 2 
j = $ 18.000,00 100 
 12 . C = 1. 800.000 
 C = 18.000.000 
 12 
C = 150.000 
A quantia que deve ser aplicada é de 
$150.000,00. 
 
Exercício 
 
1. Resolva os seguintes problemas : 
a) Qual o juro sobre $ 25.000,00 à taxa 
de 1% ao mês, em 16 meses? 
 
b) A que taxa foi depositado o capital de 
$15.000,00 que em 4 anos produziu $ 
6.000,00 de juros? 
 
c) Qual o capital que, aplicado a 3% ao 
mês , produz $ 6.000,00 de juro em 10 
meses? 
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 10
d) Uma pessoa toma emprestado de um 
Banco $ 54.000,00 e após 6 meses e 15 
dias devolve $60.000,00. A que taxa foi 
tomado o empréstimo? 
 
e) Uma pessoa empregou $ 50.000,00 . 
Sabendo-se que após 10 meses ela irá 
receber $ 100.000,00 calcule a que taxa 
de juro foi empregado este dinheiro. 
 
f) Qual o capital que aplicado a 8% ao 
mês, num período de 6 meses, produz $ 
24.000,00 de juro? 
 
g) A que taxa foi empregado o capital de 
$25.000,00, sabendo 
 
h) Uma pessoa toma emprestado $ 
10.000,00 durante 5 meses. Qual a taxa 
de juro que essa pessoa pagou, sabendo-
se que ela devolveu $ 15.000,00? 
 
JUROS SIMPLES 
 
Cálculo dos juros, do principal, da ta-
xa, do prazo e do montante. 
 
 Como já vimos anteriormente, Juro 
é a remuneração paga por um capital em-
prestado, calculado sobre determinada 
taxa e período. 
 Nos juros simples, a remuneração 
sempre é calculada sobre o principal ou 
valor emprestado. 
 
Exemplo: 
 Um capital de R$ 1.000,00, em-
prestado durante 5 anos a 10%a.a. 
 
PERÍODO SALDO 
INICIAL 
JUROS MONTANTE 
0 1.000,00 0 1.000,00 
1 1.000,00 100,00 1.100,00 
2 1.100,00 100,00 1.200,00 
3 1.200,00 100,00 1.300,00 
4 1.300,00 100,00 1.400,00 
5 1.400,00 100,00 1.500,00 
 
Fórmula tradicional para cálculo dos 
juros 
 j Cit=
100
 
 
Fórmula Atual 
 
 j Cin= (sempre i/100) 
 
MONTANTE (NOS JUROS SIMPLES) 
 
 M = C + J 
 
Não tendo o valor dos juros, utilizar a sua 
fórmula 
 
 M = C + Cin 
 
Coloca-se C em evidência 
 
M C Cin 
---- = --- + ----- (Simplificando C:C= 1 e 
C C C Cin:C = in) 
 
 
 M 
--- = 1 + in (C dividindo para o outro 
 C lado multiplicando) 
 
 
Logo, a formula do montante nos ju-
ros simples : 
 
 M = C(1 + in) 
 
Exemplo 1: 
 
 Quanto receberá quem aplicar R$ 
100.000,00, à taxa de juros simples de 
5%a.m., durante um mês? 
 
M = 100.000,00 (1+0,05.1) = 105.000,00 
 
 Obedecendo a hierarquia das ope-
rações, primeiro elimina-se os parêntesis. 
Para tanto, dentro deles, em primeiro lu-
gar efetuamos a multiplicação de 0,05 por 
1 = 0,05. Após, soma-se ao número UM e 
o resultado é multiplicado pelos 
100.000,00. 
 
Exemplo 2: 
(prazo da operação diferente do prazo da 
taxa) 
 
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 11
 Qual será o montante de um capital 
de R$ 100.000,00, aplicado à taxa de ju-
ros de 5%a.m. durante 45 dias? 
 
45100.000,00(1 0,05. )107.500,00
30
M = + 
(0,05 x 45 : 30 + 1) x 100.000,00 = 
107.500,00 
 
Cálculo com prazo fracionário: 
 
 Qual o montante produzido pelo 
capital de R$ 5.000,00, à taxa de 2%a.m. 
e prazo de 45 dias? 
 
Com taxa mensal o prazo é dividido por 
30: 
 
 M = 5.000,00 (1 + 0,02.45/30) = 
R$ 5.150,00 
 
Com taxa anual o prazo é dividido por 
360. 
 
 M = 2.000,00 (1 + 0,18 . 60/360) 
= 2.060,00 
 
 CAPITAL 
 
 Se M = C(1+in) 
 
 M 
 --- = C 
 (1 + in) 
 
Ou, invertendo a ordem 
 
 M 
 C = ------- 
 (1 + in) 
 
 Qual o capital que, aplicado durante 
45 dias, à taxa de juros simples de 
5%a.m., gerou um montante de R$ 
107.500,00? 
 
 107.500,00C = --------------------- = 100.000,00 
 (1 + 0,05 . 45/30) 
 
 
TAXA 
 
Se M = C(1 + in) 
 
 M 
 --- = 1 + in 
 C 
 
Inverte-se: 
 
 M 
1 + in = --- 
 C 
 
 M 
 in= ---- - 1 
 C 
 
Logo: 
 M 
 ---- - 1 
 C 
 i = --------- 
 n 
 
Utilizando os dados do problema an-
terior: 
 
 107.500,00 
 -------------- - 1 
 100.000 
 i = ------------------- = 0,05 
 45/30 
 
Se 1 equivale a 0,05 
100 equivalerá a x 
 
 100 x 0,05 
Logo: x = ------------- = 5% a.m. 
 1 
 
PRAZO 
 
 Utilizando os dados do problema 
anterior. 
 
 107.500,00 
 -------------- - 1 
 100.000,00 
 n = -------------------- = 1,5 mês 
 0,05 
 
Se 1 mês tem 30 dias 
1,5 meses terá x dias 
 
 1,5 x 30 
Logo: x = ------------ = 45 dias 
 1 
 
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 12
Exercícios: 
 
01) Uma aplicação, com taxa de 
31,5%a.a., em dois anos e meio acusou 
um saldo de R$ 53.625,00. Qual o capital 
inicial? R. R$ 30.000,00. 
 
02) Um montante de R$ 11.115,00 foi 
formado à taxa de 7%a.a., em dois anos. 
Quais os juros? R. 1.365,00 
 
03) À taxa de juros de 8,5% e prazo de 
dois anos e seis meses foi formado um 
montante de R$ 13.337,50. De quanto 
foram os juros? R. 2.337,50. 
 
04) Tendo recebido 821,84 após 91 dias 
de aplicação, à taxa de 0,9% a.m., calcu-
lar os juros. R. 21,84 
 
05) Tendo pago 675,50 após 13 meses 
de ter efetuado uma compra por 500,00, 
qual foi a taxa praticada? R. 2,7% a.m. 
 
06) Resgatei a importância de R$ 
1.388,80 após decorridos 3 meses da 
venda de um carro por R$ 1.240,00. Qual 
a taxa anual cobrada? 48% a. a. 
 
07) Quanto tempo será necessário para 
que R$ 4.000,00 seja transformado em 
R$ 4.375,00, a taxa de 45% a.a.? R. 75 
dias. 
 
08) Na aquisição de um bem por R$ 
6.000,00, determinar qual o montante 
após 180 dias e taxa de 7,%a.t. R. 
6.900,00. 
 
09) Sendo os juros de R$ 345,60, o ca-
pital inicial de R$ 12.000,00 e o prazo de 
72 dias, determine a taxa mensal. R. 
1,2% 
 
10) Apliquei R$ 2.400,00 ao prazo de 
45 dias e taxa de 2,7%a.m. Qual o mon-
tante da operação? 
 
JUROS COMPOSTOS 
 
Cálculo dos juros, do principal, da ta-
xa, do prazo e do montante; conven-
ções linear e exponencial para perío-
dos não inteiros; utilização de tabelas 
para cálculos. 
 
 São aqueles calculados sobre o 
montante anterior. 
 
 Exemplo: 
 
 O capital de R$ 100,00, a juros 
compostos de 10%a.a., montará a quanto 
ao final de 4 anos? 
 
Ano Capital 
inicial 
Juros 
anuais 
Montante 
0 - - 100,00 
1 100,00 10,00 110,00 
2 110,00 11,00 121,00 
3 121,00 12,10 133,10 
4 133,10 13,31 146,41 
 
Pela fórmula dos juros simples temos: 
 
 j = Cin 
 
 Logo, a fórmula dos juros sim-
ples fica: 
 
 j = M – C (isolando M, fica) 
 
 - M = - C – j (para que a incógnita 
“M” não fique negativa, substituímos o 
sinal de todos. Logo: 
 
M = C + j 
 
 Substituindo "j" pela sua fórmula, 
temos: 
 
 M = C + C.i.n 
 
 Colocando C em evidência: 
 
 M = C(1 + in) 
 
 Como "n" será sempre um = 1, que 
é o período de capitalização, o "n" pode 
ser eliminado da fórmula, porque qualquer 
número multiplicado por "1" = ao próprio 
número. 
 
 M = C(1 + i) 
 
 
 
 
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 13
Exemplo: 
 
 Quanto receberei, se aplicar R$ 
100,00, à taxa de juros compostos de 
10%a.a., durante três anos? 
 
M = 100 (1 + 0,1)(1 + 0,1)(1 + 0,1) 
 
M = 100 (1,1)(1,1)(1,1) 
 
Ou 
 
M = 100(1,1)3 = 133,10 
 
 A fórmula básica, no montante pe-
los juros compostos, então, é: 
 
 M = C(1+i)n = 133,10 
 
EXEMPLOS COM PRAZO FRACIONÁRIO 
 
Exemplo 
 
 Sendo o capital inicial de R$ 
4.000,00, determine os juros compostos 
ao final de 4 anos, à taxa de 6,3%a.a. 
 
 Para efetuarmos este cálculo, 
necessitamos recorrer à Tábua Financeira 
de Juros Compostos, utilizando 7 casas 
decimais. 
 
 A taxa de 6,3% não existe na tá-
bua. Ela está compreendida entre 6% e 
7% para 4 anos. (Tábua II) 
 
6% ... 1,262.4770 
e 7% ... 1.310.7960 
1% ... 0,048.3190 
 
Para acharmos o valor de 0,3%, para ser 
acrescentado aos 6%, efetuamos uma 
regra de três: 
 
1% - 0.048.3190 
0,3% - x 
 
 
 
 
Então, o número correspondente a 6,3% é 
1,2624770 + 0,01449570 = 1,2769727 
 
O montante será: 4.000 x 1,2769727 = 
5.107,89 
Logo, os juros serão: 5.107,89 – 4.000,00 
= 1.107,89 
 
Exemplo 
 
Qual o prazo necessário para que um de-
pósito de 3.000,00, a taxa de 8%a.a., 
produza um montante de R$ 5.025,00? 
 
M 5.025,00 
--- = ------------ = 1,675 
a 3.000,00 
 
Na Tábua II, o número 1,675 não existe 
na coluna de 8%. Esse número está com-
preendido entre os números 6 e 7. 
1,5868743 corresponde a 6 anos 
e 1,7138243 corresponde a 7 anos 
0,1269500 corresponde a 1 ano 
0,0881257 corresponde a x 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Se 1 ano tem 360 dias 
 
0,6941764 do ano terá x dias 
 
1 mês tem 30 dias 
0,33 meses terá x dias 
 
Logo a resposta será: 6 anos, 8 meses e 
10 dias. 
 
Exercícios: (as respostas serão apro-
ximadas) 
 
1) Quanto receberei ao final de 32 dias se 
aplicar R$ 200,00, à taxa de 2,4%a.a.? R. 
205,00. 
 
2) Por quanto tempo um capital de R$ 
50.000,00 ficou depositado , a juros de 
5% a. a., gerando um montante de R$ 
65.000,00? R. 5a 4m 13d 
 
3) A que taxa devo aplicar R$ 60.000,00 a 
juros compostos para, aos 10 anos rece-
X = 0,048319 x 0,3/1 = 0,01449570
x=1,675 – 1,5868743 =0,0881257 
0,0881257 x 1 / 0,12695 = 0,6941764 
0,6941764 x 360 / 1 = 249,9 dias 
249,9 dias / 30 = 8,33 meses 
0,33 x 30 / 1 = 9,9 (ou 10 dias) 
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 14
ber o montante de 120.000,00? R 7,174% 
a.a. 
 
4) Uma aplicação de R$ 20.000,00, a taxa 
de juros compostos de 5%a.a, sem mo-
vimento durante 9 anos terá um montan-
te de quanto? R$ 31.026,60 
 
5) Qual o tempo necessário para um capi-
tal qualquer duplicar à taxa de juros com-
postos de 8% a.a.? R 9a 2d. 
 
6) Determine qual o capital deverei aplicar 
à taxa de juros compostos de 6%a.a. pa-
ra, ao final de 6 anos, chegar a um mon-
tante de R$ 17.765,00. R. 25.200,00. 
 
7) A que taxa devo emprestar R$ 
50.000,00 à taxa de juros compostos, pa-
ra, em 5 anos, possuir um montante de 
R$ 85.000,00. 
 
8) Tendo aplicado R$ 42.500,00 e recebi-
do R$ 36.726,60, à taxa de juros compos-
tos de 5%a.a., qual foi o prazo da opera-
ção? R 3 anos. 
 
9) Efetuei uma aplicação de R$ 30.000,00 
à taxa de juros compostos de 7%a.a. e 
prazo de 4 anos e 2 meses. Determine o 
montante. R 39.782,70. 
 
10) Tendo recebido R$ 80.000,00, à taxa 
de juros compostos de 7,45%a.a. e 4 a-
nos de prazo, qual foi o capital aplicado? 
R. 60.000,00. 
 
TAXAS 
 
Equivalência entre taxas de desconto 
 
Nas operações de desconto COMERCIAL, 
haverá sempre uma taxa implícita de ju-
ros, também chamada de “taxa efetiva” 
da operação. 
Podemos encontrar a relação entre a taxa 
de desconto e a taxa efetiva (ou taxa im-
plícita de juros) através das fórmulas a-
baixo: 
 
( )d
i
i n
= + ⋅1 ou ( )i
d
d n
= − ⋅1 
 
A taxa “i” (desconto racional) também é 
conhecida como “taxa efetiva” da opera-
ção. 
 
Neste tipo de operação DC = DR 
 
Diferença entre os descontos: 
 
( )D D i nC R= ⋅ + ⋅1 
 
Neste tipo de operação i = d. 
 
QUESTÃO DE CONCURSO (RESOLVI-
DA) 
 
01) TFC/2001 (ESAF) - Um indivíduo ob-
teve um desconto de 10% sobre o valor 
de face de um título ao resgatá-lo um mês 
antes do seu vencimento em um banco. 
Como estaoperação representou um em-
préstimo realizado pelo banco, obtenha a 
taxa de juros simples em que o banco a-
plicou os seus recursos nessa operação. 
a) 9% ao mês 
b) 10% ao mês 
c) 11,11% ao mês 
d) 12,12% ao mês 
e) 15% ao mês 
 
Solução: 
Se a taxa de DESCONTO é d = 10%, 
quer-se calcular a taxa de juros equiva-
lente para o prazo n = 1 mês. Usando a 
fórmula: 
 
i d
d n
= −1 . 
 
Substituindo-se os dados... 
i = − = = ≅
01
1 01
01
0 9
1
9
0111,
,
,
,
, ... ou 11,11% a.m. 
 
Resposta: letra c. 
 
CONVENÇÃO LINEAR E EXPONENCIAL 
 
As convenções são utilizadas quando é 
pedido no problema a resolução através 
de uma das convenções e é dado o tempo 
fracionado, por exemplo: 2 meses e 5 dias 
ou 258 anos e 2 meses.... 
LINEAR-> Para resolvermos esse tipo de 
problema usa-se a fórmula M = C ( 1 + i ) 
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 15
t' x ( 1 + i t''), onde t' é a parte inteira e 
t'' é a fração. 
Obs: O termo linear refere-se ao fator ( 1 
+ it'') que nada mais é do que uma função 
linear ou de 1º grau. 
 
Vamos exemplificar: 
 
Se o tempo dado é 5 anos e 6 meses, a 
taxa de juros é 10% a.a. e o capital é 
R$35.600,00 , então: 
M= 35.600 [1 + (10 ÷ 100)]5 x [ 1 + (10 
÷ 100) x (6 ÷ 12)] 
M = 35.600 (1,6105) x (1,05) = 
R$60.200,49. 
 
EXPONENCIAL 
A diferença da linear é que se utiliza a 
seguinte fórmula: 
M = C ( 1 + i ) t' + t'' 
 
Obs: O termo exponencial refere-se ao 
fator (1 + i) t' + t'' que é uma função ex-
ponencial. 
*Considerando os mesmos dados do pro-
blema anterior teremos: 
M = 35.600 [ 1 + (10 ÷ 100) ] 5 + (6 ÷ 
12) 
M = 35.600 ( 1,6891 ) = R$60.131,96 
 
TAXAS 
 
Nominal e efetiva; proporcionais en-
tre si; equivalentes entre si em juros 
simples e em juros compostos; taxa 
over; utilização de tabelas para cálcu-
los. 
 
‰ Taxa Nominal e Efetiva 
 
Para que você guarde a diferença entre a 
taxa de juros nominal e efetiva ai vai uma 
dica: 
 
Sempre que o prazo de capitalização for o 
mesmo que o prazo a que a taxa se refere 
teremos uma taxa de juros efetiva. 
 
Já se o prazo de capitalização for diferente 
do prazo a que a taxa se refere teremos 
uma taxa de juros nominal. 
 
Taxa nominal é a expressão dos juros não 
considerando o prazo pelo qual ele incidirá 
e efetiva é a taxa ajustada ao prazo cor-
respondente. 
 
Por exemplo: 
Um Banco informa que cobra 5% de juros 
ao mês. Entretanto, sua operação será 
liquidada em 35 dias. 
 
O cálculo que o Banco efetua é demons-
trado a seguir: 
 
Taxa nominal = 5,00% a.m. 
 
Taxa efetiva 
 
 
 
 
Substituindo:{[(((5/100)+1) ^ (35/30))]–
1}*100 = 5,86% 
 
Note que agora a taxa representa os juros 
cobrados pelo período. Diz-se então que a 
taxa é 5,86 % efetiva ou pelo período. 
 
‰ Taxas Proporcionais 
 
Taxas Proporcionais são taxas de juros 
simples, cuja razão possui a mesma cons-
tante de proporcionalidade que os respec-
tivos tempos a que se referem. 
 
1 1
2 2
i n
i n
= 
 
Exemplo: 
As taxas de 6% ao ano e 3% ao semestre 
são proporcionais, pois: 
6% 12 meses
3% 6 meses
= 
 
‰ Taxas Equivalentes 
 
Taxas Equivalentes são aquelas que, 
quando aplicadas ao mesmo capital, du-
rante o mesmo intervalo de tempo, pro-
duzirão o mesmo montante. 
 
Em juros simples não há distinção entre 
taxas proporcionais e equivalentes, pois 
significam a mesma coisa. 
 
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 16
Ex.: Aplicando-se, a juros simples, o capi-
tal de R$ 100,00 (ou outro qualquer) a 
uma taxa de 24% a.a., durante um ano 
teremos o mesmo montante se o capital 
for aplicado à taxa de 2% a.m., durante 
12 meses. 
 
Em juros compostos, a equivalência se dá 
pela fórmula do juro composto: 
 
( ) ( )' "1 21 1n ni i+ = + 
 
onde: i1 2 e i ão as taxas a serem relacio-
nadas; n’ e n” são os prazos, em unidades 
compatíveis de tempo. 
 
Taxa Nominal 
 
Taxa Nominal é, na verdade, uma taxa de 
juros simples, cuja capitalização ocorre 
em período diferente do período de refe-
rência da taxa. 
 
Exemplo: taxa de 24% ao ano com capi-
talização mensal. 
 
Para convertermos uma taxa nominal em 
efetiva, utilizamos o critério da proporcio-
nalidade. 
 
‰ Taxa Efetiva 
 
Taxa Efetiva é aquela cujo período de ca-
pitalização coincide com o período da pró-
pria taxa. Normalmente, costuma-se omi-
tir o período de capitalização em uma taxa 
efetiva. 
 
Exemplo: taxa de 2% ao mês com capi-
talização mensal, ou, simplesmente, 2% 
ao mês. 
 
‰ Taxa Real 
 
Taxa Real é aquela efetivamente paga em 
uma operação qualquer, após descontar-
mos a inflação. 
 
1
1
1
+ = ++i
i
ir
ap
i
 
 
onde: ir é a taxa real; iap é a taxa apa-
rente e ii é a taxa de inflação. 
QUESTÕES DE CONCURSOS (RESOL-
VIDAS) 
 
01) BB/1998 (FCC) - Qual a taxa semes-
tral equivalente à taxa de 25% ao ano? 
a) 11,8% b) 11,7% c) 11,6% d) 
11,5% e) 11,4% 
Solução: Um problema simples de conver-
são de taxas efetivas. Basta aplicarmos a 
fórmula: 
( ) ( )1 11 1 2 2+ = +i in n 
 
Relacionando “ano” com “semestre”, te-
mos: 
n1 = 2 (pois há dois semestre em um a-
no) 
n2 = 1 
 
( ) ( )1 1 0 251 2 1+ = +i , 
 
Como a incógnita do problema é “i1”, de-
veremos extrair a raiz quadrada do se-
gundo membro: 
1 1251+ =i , 
 
É óbvio que, sem usarmos calculadora 
eletrônica, é necessário termos uma tabe-
la financeira (que normalmente é forneci-
da com provas que envolvem cálculos de 
juros compostos). 
Mas, e no caso de não haver tabela na 
prova? Teremos um pouquinho mais de 
trabalho: iremos representar o 1,25 por 
sua fração decimal: 
125
100
. A seguir, iremos 
decompor o 125 em fatores primos (en-
contramos 53). E 100 = 102. Substituindo 
na equação: 
 1
5 5
10
1 5
10
51
2
2 1
+ = ⋅ ⇒ + =i i . 
 
Nesse ponto, é útil lembrar dos valores 
aproximados das seguintes raízes: 
2 = 1,414; 3 = 1,732; 5 = 2,236 
 
Ficamos, então, com: 
1 1
2
5 1 2 236
2
1 1118 01181 1 1 1+ = ⇒ + = ⇒ + = ⇒ =i i i i. , , , 
Sempre que calculamos a taxa, ela será 
dada na forma “unitária”. Para obtermos a 
taxa “percentual”, basta multiplicarmos o 
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 17
resultado encontrado por 100. Desse mo-
do, a taxa será: 
i1 = 11,8% 
 
Resposta: letra a 
 
02) BB/1999 (CESPE-UnB) - O valor de 
um aluguel era de R$ 400,00 no dia 1º de 
julho de 1999 e foi reajustado para R$ 
410,00 no dia 1º de agosto de 1999. Con-
siderando que a inflação registrada no 
mês de julho foi de 1%, é correto afirmar 
que a taxa real de juros utilizada no rea-
juste do valor desse aluguel foi 
a) inferior a 1,5% b) igual a 1,5% 
c) superior a 1,5% e inferior a 2,0%. 
d) igual a 2,0% e) superior a 
2,0% 
 
Solução: 
Calculamos a variação percentual no valor 
do aluguel por meio de uma regra de três 
simples: 
 
 400  100% 
 10  x 
 
X = × =10 100
400
2 5%, . 
Agora devemos "deflacionar” este valor, 
ou seja, procuramos aqui a "taxa real": 
 
1
1
1
+ = ++i
i
ir
ap
i
 
 
onde: ir = taxa real; iap = taxa 
“aparente"; ii = taxa de inflação. 
Lembrando de colocar todas as taxas na 
forma "unitária" antes de substituirmos na 
fórmula acima, obteremos: 
 
1 0,025 1,0251 1,01485
1 0,01 1,01r
i ++ = = =+ ⇒ 
1,01485 1ri = − ⇒ ir = 1,485% 
 
Observação: O candidato não precisava 
realizar o cálculo acima (é um pouco tra-
balhoso...). Basta saber que, ao “deflacio-
narmos” uma taxa, ela será menor do 
que a diferença entre elas, ou seja: 2,5% 
- 1% = 1,5%. Devemos, então, encontrar 
um valor inferior a 1,5%. 
A taxa resultante será tanto mais próxima 
da diferença simples entre elas, quanto 
mais próximas forem as taxas envolvidas 
no cálculo. Também faz-se necessário que 
as taxas envolvidas no cálculo não sejammuito grandes. Para taxas elevadas ou 
para diferenças muito grandes entre as 
taxas esse raciocínio não funciona! 
 
Resposta: letra a. 
 
03) BB/1998 (FCC) - Um investidor dispu-
nha de R$ 300.000,00 para aplicar. Divi-
diu esta aplicação em duas partes. Uma 
parte foi aplicada no banco alfa, à taxa de 
8% ao mês, e a outra parte no banco Be-
ta, à taxa de 6% ao mês, ambas em juros 
compostos. O prazo de ambas as aplica-
ções foi de 1 mês. Se, após este prazo, os 
valores resgatados forem iguais nos dois 
bancos, os valores de aplicação, em reais, 
em cada banco, foram, respectivamente: 
a) 152.598,13 e 147.401,87 
b) 151.598,13 e 148.401,87 
c) 150.598,13 e 149.401,87 
d) 149.598,13 e 150.401,87 
e) 148.598,13 e 151.401,87 
 
Solução: Aplicamos a fórmula do Montan-
te nas duas aplicações. ( )M C i n= +. 1 
Como os Montantes das duas aplicações 
deverão ser iguais: 
( ) ( )C C1 1 2 11 0 08 1 0 06. , . ,+ = + [equação 1] e 
C C1 2 300000+ = [equação 2]. Isolando-se 
uma das variáveis da equação 1 e substi-
tuindo-se na segunda, vem: 
1
2
1,08
1,06
CC ×= ⇒ C C1 1108106 300000+
× =,
,
⇒ 
106 108 300000 1061 1, , ,× + × = ×C C ⇒ 
2,14 x C1 = 318000 ⇒ C1 = 148.598,13 ⇒ 
C2 = 300000 - 148598,13 = 151.401,87 
 
Resposta: letra e 
 
04) CEF/1998 (FCC) - Um capital de R$ 
2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal 
de 2%, num regime de capitalização com-
posta. Após um período de 2 meses, os 
juros resultantes dessa aplicação serão 
a) R$ 98,00 
b) R$ 101,00 
c) R$ 110,00 
d) R$ 114,00 
e) R$ 121,00 
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 18
 
Solução: 
C = 2.500,00; i = 2% a.m.; n = 2 meses; 
J = ? (Capitalização Composta) 
A fórmula do Montante no regime de capi-
talização composta é: ( )M C i n= +. 1 
Entretanto, o problema solicita que se cal-
cule os Juros. Não há uma fórmula especí-
fica para o cálculo direto dos juros em ca-
pitalização composta. Podemos deduzi-la, 
associando a fórmula acima a: M = C + J. 
Mas não há muita utilidade nisto. Calcula-
remos, então, separadamente o valor do 
montante com a primeira fórmula, e, pos-
teriormente, o valor dos juros com a 
segunda... 
M = 2500 . (1 + 0,02)2 ⇒ M = 2500 . 
1,022 ⇒ M = 2500 . 1,0404 ⇒ M = 
2601. 
M = C + J ⇒ J = M - C ⇒ J = 2601 - 2500 
⇒ J=101 
Resposta: letra b 
 
05) CEF/1998 (FCC) - Pretendendo guar-
dar uma certa quantia para as festas de 
fim de ano, uma pessoa depositou R$ 
2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em 
05/09/97. Se o banco pagou juros com-
postos à taxa de 10% ao trimestre, em 
05/12/97 essa pessoa tinha um total de 
a) R$ 5 320,00 
b) R$ 5 480,00 
c) R$ 5 620,00 
d) R$ 5 680,00 
e) R$ 5 720,00 
 
Solução: 
Dados: 
C1 = 2000 n1 = 2 trimestres 
C2 = 3000 n2 = 1 trimestre 
i = 10% ao trimestre 
Utilizando a fórmula do montante no re-
gime de juros compostos (ver problema 
anterior), para os dois depósitos, vem: 
M = 2000 . (1,1)2 + 3000 . (1,1)1 ⇒ M = 
2000 . 1,21 + 3000 . 1,1 ⇒ M = 2420 + 
3300 ⇒ 
M = 5720 
Resposta: letra e 
 
06) PMPA/1993 (PMPA) - Um capital de 
CR$ 50.000,00, aplicado a juros compos-
tos, à taxa de 26% ao mês, produzirá um 
montante de CR$ 126.023,60 no prazo 
de: 
Observação: Se necessário, utilize a tabe-
la seguinte: 
 n 1,26n 
 1 1,26000 
 2 1,58760 
 3 2,00038 
 4 2,52047 
 5 3,17580 
 6 4,00150 
 7 5,04190 
 8 6,35279 
 9 8,00451 
a) 2 meses 
b) 2 meses e meio 
c) 3 meses 
d) 4 meses 
e) 6 meses 
 
Solução: 
Fórmula para cálculo do Montante a juros 
compostos: M C i n= +.( )1 . Substituindo-se 
os dados do problema na fórmula (C = 
50000; M = 126033,60; i = 26% a.m.): 
LEMBRE-SE de que a TAXA deve estar na 
forma UNITÁRIA para ser substituída na 
fórmula! 
126023 60 50000 1 0 26, .( , )= + n ⇒ 
( ) ( )126 126023 60
50000
126 2 520472, , , ,n n= ⇒ = . 
Agora, buscamos este valor (ou o MAIS 
PRÓXIMO dele possível) na tabela dada. 
Assim procedendo, encontramos o valor 
de “n”: n = 4 
Resposta: letra d. 
 
TESTES PROPOSTOS: 
 
01) A aplicação de R$ 5.000 à taxa de 
juros compostos de 20% a.m. irá gerar, 
após 4 meses, o montante de: 
a) R$ 10.358,00 
b) R$ 10.368,00 
c) R$ 10.378,00 
d) R$ 10.388,00 
e) R$ 10.398,00 
 
02) Um investidor aplicou a quantia de R$ 
20.000,00 à taxa de juros compostos de 
10% a.m. Que montante este capital irá 
gerar após 3 meses? 
a) R$ 26.420,00 
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 19
b) R$ 26.520,00 
c) R$ 26.620,00 
d) R$ 26.720,00 
e) R$ 26.820,00 
 
03) Um capital de US$ 2,000.00, aplicado 
à taxa de 5% a.m., em 1 ano produz um 
montante de: 
Dado: (1,05)12 = 1,79586 
a) US$ 3.291,72 
b) US$ 3.391,72 
c) US$ 3.491,72 
d) US$ 3.591,72 
e) US$ 3.691,72 
 
04) A aplicação de um capital de Cz$ 
10.000,00, no regime de juros compostos, 
pelo período de três meses, a uma taxa 
de 10% ao mês, resulta, no final do ter-
ceiro mês, num montante acumulado: 
a) de Cz$ 3.000,00 
b) de Cz$ 13.000,00 
c) inferior a Cz$ 13.000,00 
d) superior a Cz$ 13.000,00 
e) menor do que aquele obtido por juros 
simples 
 
05) Um investidor aplicou a quantia de 
CR$ 100.000,00 à taxa de juros compos-
tos de 10% a.m. Que montante este capi-
tal irá gerar após 4 meses? 
a) CR$ 140.410,00 
b) CR$ 142.410,00 
c) CR$ 144.410,00 
d) CR$ 146.410,00 
e) CR$ 148.410,00 
 
06) A caderneta de poupança remunera 
seus aplicadores à taxa nominal de 6% 
a.a., capitalizada mensalmente, no regime 
de juros compostos. Qual é o valor do juro 
obtido pelo capital de R$ 80.000,00 du-
rante 2 meses? 
a) R$ 801,00 
b) R$ 802,00 
c) R$ 803,00 
d) R$ 804,00 
e)R$ 805,00 
 
07) AFC/1993 (ESAF) - Um título de valor 
inicial CR$ 1.000,00 vencível em um ano 
com capitalização mensal a uma taxa de 
juros de 10% ao mês, deverá ser resga-
tado um mês antes do seu vencimento. 
Qual o desconto comercial simples à 
mesma taxa de 10% ao mês? 
a) CR$ 313,84 
b) CR$ 285,31 
c) CR$ 281,26 
d) CR$ 259,37 
e) CR$ 251,81 
 
08) AFTN/1985 (ESAF) - Um capital de 
Cr$ 100.000 foi depositado por um prazo 
de 4 trimestres à taxa de juros de 10% ao 
trimestre, com correção monetária trimes-
tral igual à inflação. Admitamos que as 
taxas de inflação trimestrais observadas 
foram de 10%, 15%, 20% e 25% respec-
tivamente. A disponibilidade do depositan-
te ao final do terceiro trimestre é de, a-
proximadamente: 
a) Cr$ 123.065 
b) Cr$ 153.065 
c) Cr$ 202.045 
d) Cr$ 212.045 
e) Cr$ 222.045 
 
09) AFCE/1995 (ESAF) - Para que se ob-
tenha R$ 242,00 ao final de seis meses, a 
uma taxa de juros de 40% a.a., capitali-
zados trimestralmente(*), deve-se inves-
tir hoje a quantia de: 
a) R$ 171,43 
b) R$ 172,86 
c) R$ 190,00 
d) R$ 200,00 
e) R$ 220,00 
(*) Ver o capítulo sobre taxas, a seguir. 
 
10) BB/1998 (CESGRANRIO) - Um inves-
tidor dispunha de R$ 300.000,00 para a-
plicar. Dividiu esta aplicação em duas par-
tes. Uma parte foi aplicada no banco alfa, 
à taxa de 8% ao mês, e a outra parte no 
banco Beta, à taxa de 6% ao mês, ambas 
em juros compostos. O prazo de ambas as 
aplicações foi de 1 mês. Se, após este 
prazo, os valores resgatados forem iguais 
nos dois bancos, os valores de aplicação, 
em reais, em cada banco, foram, respec-
tivamente: 
a) 152.598,13 e 147.401,87 
b) 151.598,13 e 148.401,87 
c) 150.598,13 e 149.401,87 
d) 149.598,13 e 150.401,87 
e) 148.598,13 e 151.401,87 
 
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 20
11) BB/1998 (CESGRANRIO) - Um aplica-
dor aplica R$ 10.000,00 em um CDB do 
Banco do Brasil, de 30 dias de prazo e 
uma taxa prefixada de 3% ao mês. Consi-
derando o Imposto de Renda de 20% no 
resgate, o valor líquido a ser resgatado 
pelo aplicador, em reais, e a taxa de ren-
tabilidade efetiva da aplicação são, res-
pectivamente: 
a) 10.300,00 e 2,40% 
b) 10.240,00 e 2,45% 
c) 10.240,00 e 2,40% 
d) 10.240,00e 2,35% 
e) 10.200,00 e 2,35% 
 
12) CEF/1998 (FCC) - Um capital de R$ 
2.500,00 esteve aplicado à taxa mensal 
de 2%, num regime de capitalização com-
posta. Após um período de 2 meses, os 
juros resultantes dessa aplicação serão 
a) R$ 98,00 
b) R$ 101,00 
c) R$ 110,00 
d) R$ 114,00 
e) R$ 121,00 
 
13) CEF/1998 (FCC) - Pretendendo guar-
dar uma certa quantia para as festas de 
fim de ano, uma pessoa depositou R$ 
2.000,00 em 05/06/97 e R$ 3.000,00 em 
05/09/97. Se o banco pagou juros com-
postos à taxa de 10% ao trimestre, em 
05/12/97 essa pessoa tinha um total de 
a) R$ 5 320,00 
b) R$ 5 480,00 
c) R$ 5 620,00 
d) R$ 5 680,00 
e) R$ 5 720,00 
 
14) BB/1999 (CESPE-UnB) - Na tabela 
abaixo, que apresenta três opções de um 
plano de previdência privada com inves-
timentos mensais iguais por um período 
de 10 anos, a uma mesma taxa de juros, 
capitalizados mensalmente, o valor de x 
será 
 
Valor (em reais) 
investido men-
salmente 
a receber após 
10 anos 
200,00 41.856,00 
500,00 104.640,00 
1.000,00 X 
 
a) inferior a R$ 200.000,00. 
b) superior a R$ 200.000,00 e inferior a 
R$ 205.000,00. 
c) superior a R$ 205.000,00 e inferior a 
R$ 210.000,00. 
d) superior a R$ 210.000,00 e inferior a 
R$ 215.000,00. 
e) superior a R$ 215.000,00. 
 
15) PMPA/1993 (PMPA) - Um capital de 
CR$ 50.000,00, aplicado a juros compos-
tos, à taxa de 26% ao mês, produzirá um 
montante de CR$ 126.023,60 no prazo 
de: 
Observação: Se necessário, utilize a tabe-
la seguinte: 
 
 n 1,26n 
 1 1,26000 
 2 1,58760 
 3 2,00038 
 4 2,52047 
 5 3,17580 
 6 4,00150 
 7 5,04190 
 8 6,35279 
 9 8,00451 
 
a) 2 meses 
b) 2 meses e meio 
c) 3 meses 
d) 4 meses 
e) 6 meses 
 
16) PMPA/1993 (PMPA) - Urna inflação 
mensal de 26% acarreta uma inflação a-
cumulada no semestre, aproximadamen-
te, igual a: 
Observação: Se necessário, utilize a tabe-
la da questão anterior. 
a) 156% 
b) 200% 
c) 250% 
d) 300% 
e) 400% 
 
17) TCDF/1994 (CESPE-UnB) - No Brasil, 
as cadernetas de poupança pagam, além 
da correção monetária, juros compostos à 
taxa nominal de 6% a.a., com capitaliza-
ção mensal. A taxa efetiva bimestral é, 
então, de: 
a) 1,00025% 
b) 1,0025% 
c) 1,025% 
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 21
d) 1,25% 
e) 12,5% 
 
18) BACEN/1994 (ESAF) - A taxa de 30% 
ao trimestre, com capitalização mensal, 
corresponde a uma taxa efetiva bimestral 
de: 
a) 20% 
b) 21% 
c) 22% 
d) 23% 
e) 24% 
 
19) AFTN/1991 (ESAF) - Uma aplicação é 
realizada no dia primeiro de um mês, ren-
dendo uma taxa de 1% ao dia útil, com 
capitalização diária. Considerando que o 
referido mês possui 18 dias úteis, no fim 
do mês o montante será o capital inicial 
aplicado mais: 
a) 20,324% 
b) 19,6147% 
c) 19,196% 
d) 18,174% 
e) 18% 
 
20) TCU/1992 (ESAF) - Um certo tipo de 
aplicação duplica o valor da aplicação a 
cada dois meses. Essa aplicação renderá 
700% de juros em: 
a) 5 meses e meio 
b) 6 meses 
c) 3 meses e meio 
d) 5 meses 
e) 3 meses 
 
21) AFTN/1996 (ESAF) - A taxa de 40% 
ao bimestre, com capitalização mensal, é 
equivalente a uma taxa trimestral de: 
a) 60,0% 
b) 66,6% 
c) 68,9% 
d) 72,8% 
e) 84,4% 
 
22) AFTN/1996 (ESAF) - Uma empresa 
aplica $ 300 à taxa de juros compostos de 
4% ao mês por 10 meses. A taxa que 
mais se aproxima da taxa proporcional 
mensal dessa operação é: 
a) 4,60% 
b) 4,40% 
c) 5,00% 
d) 5,20% 
e) 4,80% 
 
23) TCDF/1995 (CESPE-UnB) - A renda 
nacional de um país cresceu 110% em um 
ano, em termos nominais. Nesse mesmo 
período, a taxa de inflação foi de 100%. O 
crescimento da renda real foi então de: 
a) 5% 
b) 10% 
c) 15% 
d) 105% 
e) 110% 
 
Gabarito 
 
1 - 
b 
2 - 
c 
3 - 
d 
4 - 
d 
5 - 
d 
6 - 
b 
7 - 
a 
8 - 
c 
9 - 
d 
10 
- e 
11 
- c 
12 
- c 
13 
- e 
14 
- c 
15 
- d 
16 
- d 
17 
- b 
18 
- b 
19 
- b 
20 
- b 
21 
- d 
22 
- e 
23 
- a 
 
 
OVER 
 
A taxa de “Over Night”, mais comumente 
chamada de taxa de “over”, é a taxa de 
juros de um dia útil, multiplicada por 30 
(convenção de mercado, pois um mês tem 
23 dias úteis). É uma forma de expressar 
a taxa de juros muito usada no mercado 
financeiro, mais especificamente no mer-
cado aberto (open market) 
 
Muitos produtos do mercado tem sua 
rentabilidade ou custo expresso na taxa 
de OVER (exemplo, CDI, HOT MONEY). 
 
Toda taxa nominal “over’ deve informar 
o número de dias úteis que os juros 
serão capitalizados de forma que se possa 
apurar a taxa efetiva do período. 
 
Exemplo 
 
Suponha que a taxa “over” em determi-
nado momento esteja definida em 5,4% 
a.m.. No período de referência da taxa, 
estão previstos 22 dias úteis. 
 
Qual a taxa efetiva do período? 
 
Solução 
 Como a taxa “over” é geralmente 
definida por juros simples (taxa nominal), 
a taxa diária atinge: 
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 22
 
%18,0
30
%4,5 ==i
 ao dia 
 
 
taxa nominal 
 
 Sabendo que no período de refe-
rência dessa taxa existem 22 dias úteis, a 
taxa efetiva é obtida pela capacitação 
composta, ou seja: 
 
 i = (1 + 0,0018)22 – 1 = 4,04% 
a.m. 
 
 Em outras palavras, pode-se con-
cluir que 4,04% representam a taxa efeti-
va para 22 dias úteis, ou mesmo para os 
30 dias corridos do mês. 
 
 Em resumo, os procedimentos de 
apurar a taxa efetiva dada uma taxa no-
minal de juros “over” são os seguintes: 
 
Dividir a taxa de “over” geralmente men-
sal, pelo número de dias corridos no perí-
odo para se obter a taxa nominal diária; 
 
Capitalizar a taxa diária pelo número de 
dias úteis previsto na operação. 
 
A expressão básica de cálculo da taxa efe-
tiva é: 
 
1
30
1)( −

 +=
duoverefetivai
 
 
sendo: “over” a taxa nominal mensal “o-
ver”, du o número de dias úteis previsto 
no prazo da operação. 
 Por outro lado, muitas vezes é inte-
ressante transformar uma taxa efetiva em 
taxa de “over”. No exemplo acima, foi de-
finida uma taxa nominal “over” de 5,4% 
a.m. para um período com 22 dias úteis. 
Com isso, calculou-se a taxa efetiva de 
4,04% a.m.. 
 
 Se fosse dada a taxa efetiva para 
se transformar em “over”, o procedimento 
de cálculo seria o inverso, ou seja: 
 
‰ Descapitalizar exponencialmente a 
taxa efetiva para cada dia útil pre-
visto na operação; 
‰ Por ser nominal, e definida men-
salmente, a taxa “over” é obtida 
pelo produto da taxa descapitaliza-
da pelo número de dias corridos do 
mês. 
Aplicando-se esses procedimentos na ilus-
tração, tem-se: 
 
i = 4,04% ao mês 
du = 22 dias úteis 
1)0404,1( 22
1
−=i = 0,18% ao dia útil 
 
OVER = 0,18% x 30 = 5,4% a.m. 
 
A formula de cálculo da taxa “over”, dada 
uma taxa efetiva de juros, pode ser de-
senvolvida da seguinte forma: 
 
( ) 3011 1 xiover du 

 −+=
 
 
Substituindo os valores ilustrativos acima, 
chega-se aos 5,4% a.m., ou seja: 
 
( ) 3010404,1 221 xover 

 −=
 = 5,4% a.m. 
 
DESCONTO BANCÁRIO SIMPLES 
 
Taxa de desconto, cálculo do valor do 
desconto e cálculo do valor descon-
tado (valor presente); taxa efetiva ou 
implícita em juros compostos da 
operação de desconto bancário 
simples; utilização de tabelas para 
cálculos. 
 É a operação de crédito em que são 
negociados títulos mediante o abatimen-
to, no ato, de um percentual. 
 
 VALOR NOMINAL é o valor ex-
presso no título. 
 
 VALOR ATUAL é o Valor Nominal 
menos o desconto. 
 
 VALOR LÍQUIDO é o valor efeti-
vamente pago ao emitente do título. 
 
 A fórmula básica do desconto é 
 
 d VN i n= . . 
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 23
 
 VALOR ATUAL = VALOR NOMI-
NAL– DESCONTO 
 
 VA = VN - d 
 
 Substituindo o "d" pela sua 
fórmula: 
 
 VA = VN- VN.i.n 
 
 Colocando VN em evidência, che-
ga-se à fórmula básica do Valor Atual: 
 
 VA VN in= −( )1 
 
Exemplo 
 
 Qual o Valor Atual de títulos que 
perfazem o total de R$ 100,00, desconta-
dos à taxa de 2%a.m. e prazo de 30 di-
as? 
 
 VA = 100,00 (1 - 0,02.1) 
 
 VA = 100,00 (0,98) = 98,00 
 
Exemplo com prazo fracionário 
 
 Qual o Valor Atual dos títulos que 
perfazem o total de R$ 100,00, desconta-
dos à taxa de 2%a.m. e prazo de 36 di-
as? 
 VA = 100,00 (1 - 0,02 . 36/30) 
 
 VALOR NOMINAL 
 
 VN
VA
in
= −( )1 
 
 
 Utilizando os dados do exemplo 
anterior: 
 
 
 97,60 
 VN = --------------------- = 100,00
 (1 - 0,02 . 36/30) 
 
 TAXA 
 
 i
VA
VN
n
=
−1
 
 
 Utilizando os dados do proble-
ma anterior: 
 
 
 97,60 
 1 - --------- 
 100,00 
 i = ------------- = 2%a.m. 
 36/30 
 
PRAZO 
 
 n
VA
VN
i
=
−1
 
 
Utilizando os dados do problema an-
terior: 
 
 97,60 
 1 - ------ 
 100,00 
n = ------------ = 1,2 meses (visto a taxa ser 
0,02 mensal)
 
Se 1 mês tem 30 dias 
1,2 meses terá x dias 
 
 
Sendo o prazo médio dos títulos de 24 
dias, o somatório dos seus valores R$ 
1.050,00 e a taxa de 1,4%a.m., qual será 
o Valor Atual? 
 
VA = 1.050 (1 - 0,014 . 24/30) = 
1.038,24 
 
Por quanto tempo serão descontados títu-
los que perfazem R$ 5.540,00, desconta-
dos à taxa de 2,2%a.m., se o Valor Atual 
for de R$ 5.401,87? 
 
 5.401,86 
 1 - ------------ 
 5.540,00 
n = ----------------- = 1,1334099 
 0,022 
 
 
 
 
 
Desconto Simples 
 
X = 30 x 1,2 / 1 = 36 dias 
Se 1 mês tem 30 dias 
1,1334099 terá x dias 
 
1,1334099 x 30 = 34 dias 
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 24
Desconto Comercial ou “por fora” 
 
Denomina-se Desconto Comercial 
Simples de um título de crédito aos juros 
simples calculados sobre seu valor Nomi-
nal. 
 
Fórmulas 
 
CD N d n= ⋅ ⋅ 
 
onde: DC é o desconto; N é o va-
lor nominal do título, d é a taxa de des-
conto e n é o prazo de antecipação do 
título 
 
C CA N D= − 
 
onde: AC é o valor atual comerci-
al; N é o valor nominal do título, DC é o 
desconto comercial. 
 
Por uma simples manipulação al-
gébrica, podemos “reunir” as duas fórmu-
las acima: 
 
( )1CA N d n= ⋅ − ⋅ 
 
LEMBRE-SE das observações feitas 
no capítulo de juros simples (elas 
valem para qualquer problema de 
Matemática Financeira): 
1. Taxa e o prazo devem estar 
SEMPRE na mesma referência 
de tempo 
2. A taxa deve estar na forma U-
NITÁRIA. 
 
Exemplos: 
1) Qual é o desconto comercial (ou 
bancário) sobre um título de R$ 5.000,00, 
resgatado 2 meses antes do seu venci-
mento à taxa de 6% a.m.? 
 
Solução: 
Dados: N = 5000 
 n = 2 meses 
 i = 6% ao mês 
 DC = ? 
 
Temos taxa e prazo em meses → 
não é necessário fazer transformações de 
unidades! 
 
Fórmula: CD N d n= ⋅ ⋅ 
65000 2 600
100C
D = ⋅ ⋅ = 
DC = 600 
Resposta: R$ 600,00 
 
2) Calcular o valor atual comercial 
de um título cujo valor nominal é R$ 
1.200,00 à taxa de 15% a.a., descontado 
8 meses antes do vencimento. 
 
Solução: 
Dados: N = 1200 
 n = 8 meses 
 i = 15% a.a. 
 AC = ? 
 
Temos taxa ao ano e prazo em 
meses → iremos converter o prazo para 
“ano”, por meio de uma regra de três 
simples: 
 
 
 1 ano  12 meses 
 x  8 meses 
 
8 2
12 3
x = = ano 
 
Podemos realizar os cálculos de 
duas formas: (1) calculamos o valor do 
desconto, e, a seguir, o valor atual (sub-
traindo o desconto do valor nominal do 
título); (2) calculamos o valor atual dire-
tamente pela fórmula (6.2.3). 
Utilizaremos o procedimento dado 
em (1): 
 
Fórmulas: CD N d n= ⋅ ⋅ e 
C CA N D= − 
15 21200 120
100 3C
D = ⋅ ⋅ = 
 
AC = 1200- 120 = 1080 
Resposta: R$ 1.080,00 
 
3) Uma promissória foi descontada 
à taxa de 45% a.a., 1 mês e 12 dias antes 
de seu vencimento. Qual o valor nominal 
desse título se o desconto comercial foi de 
R$ 105,00. 
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 25
Solução: 
 
Dados: DC = 105 
 n = 1 mês 12 dias 
 i = 45% a.a. 
 N = ? 
 
O prazo de antecipação não está 
compatível, em unidade de tempo, com a 
taxa. Temos aqui: n = (30 + 12) dias, ou 
n = 42 dias. Por meio de uma regra de 
três, passaremos esse prazo para “ano”: 
 
 1 ano  360 dias 
 x  42 dias 
 
42 7
360 60
x = = ano 
 
Fórmula: CD N d n= ⋅ ⋅ 
 
45 7 3 7105 105
100 60 100 4
21 105 400105 2000
400 21
N N
N N N
= ⋅ ⋅ ⇒ = ⋅ ⋅ ⇒
⋅= ⋅ ⇒ = ⇒ =
 
 
Resposta: R$ 2.000,00 
 
QUESTÃO DE CONCURSO (RESOLVI-
DA)1 
 
01) TFC/2001 (ESAF) - Um título de valor 
nominal de R$ 10.000,00, a vencer exa-
tamente dentro de 3 meses, será resgata-
do hoje, por meio de um desconto comer-
cial simples a uma taxa de 4% ao mês. O 
desconto obtido é de 
a) R$ 400,00 
b) R$ 800,00 
c) R$ 1.200,00 
d) R$ 2.000,00 
e) R$ 4.000,00 
 
Solução: 
Um problema de aplicação direta da fór-
mula do Desconto Comercial Simples: 
. .CD N d n= , onde: 
DC é o desconto comercial simples; N é o 
valor nominal do título; d é a taxa de des-
 
1 Teste extraído do livro: MATEMÁTICA E RACIOCÍNIO 
LÓGICO - 500 questões de concursos resolvidas e comen-
tadas, de autoria do prof. Milton Araújo. 
conto; n é o prazo de antecipação. Te-
mos: N = 10000; n = 3 meses; d = 4% 
ao mês. 
410000 3 1200
100C
D = × × = 
Resposta: letra c. 
 
TESTES PROPOSTOS: 
01) Uma duplicata foi descontada por fo-
ra, 3 meses e 10 dias antes do seu ven-
cimento, à taxa de 10% a.m., produzindo 
um desconto de R$ 40,00. O valor nomi-
nal da duplicata era (R$): 
a) 120 b) 100 c) 90 
d) 110 e) 80 
 
02) Um título com valor de face de R$ 
240,00 foi descontado a 4,5% a.m., 6 
meses antes de seu vencimento. Qual o 
valor do desconto? (R$) 
a) 63,60 b) 64,80 c) 62,00 
d) 65,60 e) 65,00 
 
03) Uma duplicata foi resgatada em 
16/09/99, quando seu vencimento estava 
marcado para 10/11/99. O desconto foi de 
R$ 440,00 e a taxa foi de 6% a.m. O valor 
nominal da duplicata é (R$): 
a) 2000 b) 2500 c) 3000 
d) 4000 e) 3500 
 
04) Um título com vencimento em 
04/08/01 foi descontado em 12/05/01, a 
uma taxa de 5% a.m. O valor nominal do 
título era R$ 3.500,00. Nestas condições, 
seu valor atual é (R$): 
a) 2830 b) 2960 c) 3200 
d) 3000 e) 3010 
 
05) Uma duplicata foi descontada 1 mês e 
18 dias antes do vencimento, à taxa de 
4,5% a.m. O valor líquido foi de R$ 
203,00. Então, o valor de face da duplica-
ta era de (R$): 
a) 220,00 b) 219,65 c) 199,50 
d) 210,00 e) 218,75 
 
06) Em 25/07/99, descontou-se em um 
banco uma duplicata de R$ 600,00, cujo 
vencimento era para 23/10/99. A taxa da 
operação foi de 48% a.a. Nesta condições, 
qual foi o valor líquido do título? (R$) 
a) 480,00 
b) 528,00 
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 26
c) 400,00 
d) 426,00 
e) 540,00 
07) Jaime descontou duas duplicatas em 
um banco, à uma taxa de 15% a.a. A 
primeira venceria em 9 meses e a segun-
da em 5 meses e 10 dias, sendo essa úl-
tima de valor nominal 50% superior à 
primeira. O total dos descontos foi de R$ 
382,50. Qual era o valor nominal do título 
que produziu o maior desconto? (R$) 
a) 1.500 b) 2.000 c) 1.200 
d) 2.400 e) 1.800 
 
08) Um título de R$ 5.000,00 foi descon-
tado por R$ 3.000,00, à uma taxa de 
120% a.m. Qual foi o prazo de antecipa-
ção? 
a) 8 dias 
b) 10 dias 
c) 12 dias 
d) 9 dias 
e) 11 dias 
 
09) Uma promissória de R$ 200,00 foi 
descontada por R$ 120,00, 4 meses antes 
do seu vencimento. A taxa mensal da o-
peração é: 
a) 12% b) 15%c) 10% 
d) 18% e) 20% 
 
10) João descontou 2 duplicatas em um 
banco. A primeira, de R$ 560,00, com 
vencimento para 35 dias e a segunda, de 
R$ 450,00, para vencimento em 40 dias. 
O valor atual da primeira superou o da 
segunda em R$ 109,60. A taxa de descon-
to foi de: 
a) 15% a.a. b) 18% a.a. c) 9% a.a. 
d) 24% a.a. e) 12% a.a. 
 
11) Um título de valor nominal R$ 
12.000,00 sofre um desconto à taxa de 
6% a.a., 120 dias antes do vencimento. 
Qual o valor do desconto? (R$) 
a) 260 b) 300 c) 240 
d) 850 e) 680 
 
12) Qual o valor atual de uma duplicata 
que sofre um desconto por fora de R$ 
500,00, a 50 dias de seu vencimento, à 
taxa de 3% ao mês? (R$) 
a) 9.500 b) 9.600 c) 10.500 
d) 12.000 e) 10.000 
 
13) Utilizando o desconto bancário, o va-
lor que deve ser pago por um título com 
vencimento daqui a 6 meses, se o seu 
valor nominal for de $ 295,00 e com taxa 
de 36% ao ano, é de: 
a) 240,00 b) 275,00 c) 188,00 
d) 241,90 e) 250,00 
 
Gabarito 
 
1 - 
b 
2 - 
b 
3 - 
d 
4 
- 
e 
5 
- 
e 
6 
- 
b 
7 
- 
e 
8 
- 
b 
9 
- 
c 
10 
- c 
11 
- c 
12 
- a 
13 
- d 
 
 
Desconto Racional ou “por dentro” 
 
O Desconto Racional Simples é calculado 
sobre seu valor Atual. 
 
Fórmulas 
( )1R
N i nD
i n
⋅ ⋅= + ⋅ 
 
onde: DR é o desconto; N é o valor nomi-
nal do título, i é a taxa de juros e n é o 
prazo de antecipação do título 
 
R RA N D= − 
 
onde: AR é o valor atual racional; N é o 
valor nominal do título, DR é o desconto 
racional. 
 
Por uma simples manipulação algébrica, 
podemos “reunir” as duas fórmulas acima: 
 
( )1R
NA
i n
= + ⋅ 
 
LEMBRE-SE das observações feitas no 
capítulo de juros simples): 
1. Taxa e o prazo devem estar SEM-
PRE na mesma referência de tempo 
2. A taxa deve estar na forma UNITÁ-
RIA. 
 
Exemplos: 
1) Qual é o desconto sobre um título de 
R$ 1.500,00, resgatado 9 meses antes do 
seu vencimento à taxa de juros 6% a.a.? 
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 27
Solução: Observe que a taxa dada foi de 
JUROS, o que nos leva a calcular o Des-
conto RACIONAL. 
Dados: N = 1500 
 n = 9 meses 
 i = 6% a.a. 
 DR = ? 
Temos taxa ao ano e prazo em meses → 
por meio de uma regra de três, encon-
tramos n = 3/4 ano. 
 
Fórmula: ( )1R
N i nD
i n
⋅ ⋅= + ⋅ 
 
( )
1500 0,06 0,75 64,59
1 0,06 0,75R
D ⋅ ⋅= =+ ⋅ 
Resposta: DR = R$ 64,59 
 
2) Calcular o valor atual racional de uma 
dívida de R$ 1.500,00 à taxa de 6% a.a., 
vencível em 9 meses. 
Solução: 
Dados: N = 1500 
 n = 9 meses (0,75 ano) 
 i = 6% a.a. 
AR = ? 
 
Temos taxa ao ano e prazo em meses → 
iremos converter o prazo para “ano”, por 
meio de uma regra de três simples: 
 
 
 1 ano  12 meses 
 x  9 meses 
 
9 3 0,75
12 4
x = = = ano 
 
Fórmula: ( )1R
NA
i n
= + ⋅ 
 
( )
1500 1435, 41
1 0,06 0,75R
A = ≅+ ⋅ 
 
Resposta: R$ 1.435,41 
 
Observação: Associa-se o Desconto 
Comercial à taxa de desconto, enquan-
to que o Desconto Racional está ligado 
à taxa de juros. 
 
Taxa Implícita de Juros do Desconto 
Bancário 
 
 
 Um título é descontado num banco 
três meses antes de seu vencimento. A 
taxa de desconto definida pelo banco é de 
3,3 % ao mês. Sendo de R$ 25.000,00 o 
valor nominal desse título, e sabendo-se 
que o banco trabalha com o sistema de 
desconto por fora, pede-se calcular a taxa 
implícita de juros simples desta operação. 
 
O desconto simples, racional ou comercial 
são aplicados somente aos títulos de cur-
to prazo, geralmente inferiores a 1 ano. 
Quando os vencimentos têm prazos lon-
gos, não é conveniente transacionar com 
esses tipos de descontos, porque podem 
conduzir a resultados que ferem o bom 
senso. Observe o exemplo: 
 
Exemplo 
Calcular o desconto comercial de um títu-
lo de R$ 100.0000,00 com resgate para 
5 anos, à taxa de 36% ao ano. 
 
SOLUÇÃO 
 
Fórmula: d = N i n 
N = R$ 100.000,00 i = 36% a.a. = 0,36 
a.a. n= 5 anos 
d = 100.000 . 0,36 . 5 = 180.000 
 
ANUIDADES (SÉRIE DE PAGA-
MENTOS IGUAIS) 
 
Postecipadas, antecipadas e diferidas; 
cálculo do valor atual, da prestação e 
da taxa de juros; utilização de tabelas 
para cálculos. 
Anuidades ou rendas certas é o nome 
que se dá aos pagamentos sucessivos 
tanto a nível de financiamentos quan-
to de investimentos. 
 
Se a renda possui um número finito de 
termos será chamada de temporária caso 
contrário é chamada de permanente. Ape-
sar da opinião de alguns mutuários da 
Caixa Econômica , o financiamento da ca-
sa própria é temporária, apesar de ter um 
termo de conclusão bem longo. 
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 28
Se os termos da renda certa forem iguais 
é chamada de renda certa de termo cons-
tante ou renda certa uniforme; senão é 
uma renda certa de termo variável. Quan-
do o período entre as datas corresponden-
tes aos termos tiverem o mesmo intervalo 
de tempo , diz-se que a renda certa é pe-
riódica ; caso contrário é não periódica. 
 
Exemplo: 
 
Um financiamento de casa própria é um 
caso de renda certa temporária, de termo 
variável (sujeito à variação da TR) e peri-
ódica. 
 
Um financiamento de eletrodoméstico é 
um caso de renda certa temporária, de 
termo constante (você sabe quanto paga-
rá de juros) e periódica. 
 
Já a caderneta de poupança pode se con-
siderar como um caso de renda certa per-
pétua (pelo menos enquanto o dinheiro 
estiver à disposição para aplicação ), de 
termo variável e periódica. Bico, como 
pode ver. E já que é bico, mais algumas 
definições: 
 
As rendas periódicas podem ser divi-
didas em : 
 
‰ Postecipadas 
 
‰ Antecipadas 
 
‰ Diferidas 
 
As Postecipadas 
 
São aquelas na qual o pagamento no fim 
de cada período e não na origem. Exem-
plo: pagamento de fatura de cartão de 
crédito 
 
As Antecipadas 
 
São aquelas na qual os pagamentos são 
feitos no início de cada período respectivo. 
Exemplo: financiamentos com pagamento 
à vista 
 
As Diferidas 
 
São aquelas na qual o primeiro pagamen-
to é feito após um determinado período. 
Exemplo: promoções do tipo, compre hoje 
e pague daqui a x dias 
 
A diferença entre esses e os casos de 
Renda Certa , é que nesse útimo você cal-
cula quanto teve de juros , sobre uma ba-
se de cálculo fixa, podendo a mesma ser 
dividida em n parcelas; no caso dos Juros 
Compostos e Descontos Compostos, a ba-
se de cáculo varia por período. 
 
Calculando Valor Atual em casos de 
Rendas Certas 
 
Para se calcular o Valor Atual num caso de 
Rendas Certas, a fórmula a ser utilizada 
depende de ser postecipada , antecipada 
ou diferida. Assim , se for: 
 
Postecipada a fórmula é : V=T.an¬i 
 
Antecipada a fórmula é : V=T+T.an-1¬i 
 
Diferida a fórmula é : V=T.an¬i/(1+i)m 
 
m é sempre uma unidade menor do que a 
se deseja calcular, ou seja, se a venda é 
diferida de 3 meses, m será 2 . 
 
Para saber o valor de an¬i , você pode: 
 
-usar as tabelas 
 
-calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i(1 + 
i)n. 
 
Tabelas de Fatores 
 
As tabelas abaixo relacionadas estão dis-
poníveis para valores de i de 1 a 10% e 
de n de 1 a 10. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 29
 
 
 
 
 
Fator de Acumulação de Capital 
an= (1+i)n 
 
 
Fator de Valor Atual de uma série de 
Pagamentos 
an¬i=(1+i)n-1 / i*(1+i)n 
 
 
Fator de Acumulação de Capital de 
uma série de Pagamentos 
Sni = (1+i)n-1 / i 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 1,01000 1,02000 1,03000 1,04000 1,05000 1,06000 1,07000 1,08000 1,09000 1,10000
2 1,02010 1,04040 1,06090 1,08160 1,10250 1,12360 1,14490 1,16640 1,18810 1,21000
3 1,03030 1,06121 1,09273 1,12486 1,15763 1,19102 1,22504 1,25971 1,29503 1,331004 1,04060 1,08243 1,12551 1,16986 1,21551 1,26248 1,31080 1,36049 1,41158 1,46410
5 1,05101 1,10408 1,15927 1,21665 1,27628 1,33823 1,40255 1,46933 1,53862 1,61051
6 1,06152 1,12616 1,19405 1,26532 1,34010 1,41852 1,50073 1,58687 1,67710 1,77156
7 1,07214 1,14869 1,22987 1,31593 1,40710 1,50363 1,60578 1,71382 1,82804 1,94872
8 1,08286 1,17166 1,26677 1,36857 1,47746 1,59385 1,71819 1,85093 1,99256 2,14359
9 1,09369 1,19509 1,30477 1,42331 1,55133 1,68948 1,83846 1,99900 2,17189 2,35795
10 1,10462 1,21899 1,34392 1,48024 1,62889 1,79085 1,96715 2,15892 2,36736 2,59374
11 1,11567 1,24337 1,38423 1,53945 1,71034 1,89830 2,10485 2,33164 2,58043 2,85312
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 0,990099 0,980392 0,970874 0,961538 0,952381 0,943396 0,934579 0,925926 0,917431 0,909091
2 1,970395 1,941561 1,913470 1,886095 1,859410 1,833393 1,808018 1,783265 1,759111 1,735537
3 2,940985 2,883883 2,828611 2,775091 2,723248 2,673012 2,624316 2,577097 2,531295 2,486852
4 3,901966 3,807729 3,717098 3,629895 3,545951 3,465106 3,387211 3,312127 3,239720 3,169865
5 4,853431 4,713460 4,579707 4,451822 4,329477 4,212364 4,100197 3,992710 3,889651 3,790787
6 5,795476 5,601431 5,417191 5,242137 5,075692 4,917324 4,766540 4,622880 4,485919 4,355261
7 6,728195 6,471991 6,230283 6,002055 5,786373 5,582381 5,389289 5,206370 5,032953 4,868419
8 7,651678 7,325481 7,019692 6,732745 6,463213 6,209794 5,971299 5,746639 5,534819 5,334926
9 8,566018 8,162237 7,786109 7,435332 7,107822 6,801692 6,515232 6,246888 5,995247 5,759024
10 9,471305 8,982585 8,530203 8,110896 7,721735 7,360087 7,023582 6,710081 6,417658 6,144567
n\i 1% 2% 3% 4% 5% 6% 7% 8% 9% 10%
1 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000 1,000000
2 2,010000 2,020000 2,030000 2,040000 2,050000 2,060000 2,070000 2,080000 2,090000 2,100000
3 3,030100 3,060400 3,090900 3,121600 3,152500 3,183600 3,214900 3,246400 3,278100 3,310000
4 4,060401 4,121608 4,183627 4,246464 4,310125 4,374616 4,439943 4,506112 4,573129 4,641000
5 5,101005 5,204040 5,309136 5,416323 5,525631 5,637093 5,750739 5,866601 5,984711 6,105100
6 6,152015 6,308121 6,468410 6,632975 6,801913 6,975319 7,153291 7,335929 7,523335 7,715610
7 7,213535 7,434283 7,662462 7,898294 8,142008 8,393838 8,654021 8,922803 9,200435 9,487171
8 8,285671 8,582969 8,892336 9,214226 9,549109 9,897468 10,259803 10,636628 11,028474 11,435888
9 9,368527 9,754628 10,159106 10,582795 11,026564 11,491316 11,977989 12,487558 13,021036 13,579477
10 10,462213 10,949721 11,463879 12,006107 12,577893 13,180795 13,816448 14,486562 15,192930 15,937425
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 30
 
 
 
 
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS 
Valor atual de um fluxo de caixa; flu-
xos de caixa equivalentes entre si; 
utilização de tabelas para cálculos. 
No juro simples ser equivalente é ser 
proporcional, ou seja 12% a.a. é equiva-
lente e é proporcional a 1% a.m., 
considerando as demais variáveis 
constantes (Ceteris Paribus para a turma 
de Economia). Neste caso o valor 
nominal é também o valor efetivo. 
$ 166,32 aplicado durante 2 anos a uma 
taxa de 12% a.a. -> j = cit => j = 166,32 
x (12÷ 100) x 2 = 39,9168. 
 
$166,32 aplicado durante 2 anos a uma 
taxa de 1% a.m. -> j = cit => j = 166,32 
x (1÷ 100) x (2x12) = 39,9168. 
 
EQUIVALÊNCIA DE CAPITAIS A JUROS 
COMPOSTOS 
 
– usar qualquer data focal para se efetuar 
a equivalência 
 
- dois esquemas financeiros são ditos 
equivalente, a uma determinada taxa 
de juros simples ou composta, quan-
do apresentam o mesmo valor atual, 
a mesma taxa de juros, na data focal 
escolhida. 
 
- não esquecer que para se analisar fluxos 
diferentes, o A= N / ( 1 + i ) n , ou seja, 
quanto maior for o expoente, maior será o 
divisor e menor será o valor atual. Portan-
to , em mesmos casos de prazo, quanto 
menor for o valor de N menos isto influen-
ciará. O fluxo com as maiores parcelas 
iniciais terá o maior valor presente inicial. 
 
 - quando se quer pôr um número x 
de parcelas e quer que fique um outro 
número, basta multiplicar pelo fator 
de acumulação quando quer ir para 
uma data focal maior e dividir pelo 
fator quando quer uma data focal 
menor, sendo que na ida usa a taxa 
do juros e na volta o juros do descon-
to 
 
-quando quero transformar várias parce-
las em 1 só, o macete é quando vai para 
frente ( data focal posterior) usar sn¬i , 
quando vai para trás ( data focal anterior) 
usar an¬i 
 
-rentabilidade é igual a taxas médias 
 
-montar sempre fluxos, e na hora, não 
esquecer de colocar ÍNICIO, FINAL. A data 
focal zero tem que ser analisada, não é 
sempre 0. 
 
VALOR ATUAL DE UM FLUXO DE CAI-
XA 
 
 No regime de capitalização composta, 
dois (ou mais) capitais são equivalentes 
com uma taxa dada, se seus valores, cal-
culados em qualquer data (data focal), 
com essa taxa, forem iguais. 
 
 Também nesse regime de capitalização 
podem-se ter capitais equivalentes com 
desconto comercial composto ou capitais 
equivalentes com juros compostos (ou 
desconto racional composto), conforme 
sistemática de cálculo usada na equiva-
lência. 
Na prática apenas é utilizada a equivalên-
cia com juros compostos. 
 
 Suponham-se os capitais N1 e N2 dis-
poníveis em datas que sucedem à data 
focal 0 de n1 e n2 períodos, respectiva-
mente, e sejam A1 e A2 seus valores atu-
ais calculados na data focal com taxa i. Se 
N1 e N2 são equivalentes, tem-se: 
 
A1 = A2 
 
O diagrama representativo e as equações 
de equivalência serão os seguintes: 
 
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 31
 
para a equivalência feita com desconto 
comercial composto e: 
 
 
para a equivalência feita com juros com-
postos. 
 
Exemplo 
 
Um título no valor de R$ 50.000,00 para 
30 dias foi trocado por outro, de R$ 
60.000 para 90 dias. Qual a taxa de des-
conto comercial composto que foi utilizada 
para que esses títulos fossem considera-
dos equivalentes? 
 
N1 (1- i)
n1 = N2 (1- i)
n2 => 50.000 (1- i)1 = 60.000 
(1-i)3 => => (1 – i)2 = 0,833 ... => i = 1 - 
0,833 = 0,0871 
Reposta: Foi utilizada a taxa de 8,71% 
a.m. 
 
Estime o valor de x de modo a tornar os 
fluxos de caixa apresentados na tabela 
seguinte equivalentes na data focal seis. 
 
Considere uma taxa de juros compostos, 
igual a 18% ao período. 
 
Resposta. R$ 1.224,43. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
João contraiu um empréstimo de $ 100,00 
no Banco X, e pagará $ 108,00 daqui a 
dois meses. Então o fluxo de caixa será: 
 
De acordo com o ponto de vista do 
João: 
 
Recebeu 
$100,00 do 
banco 
Terá que pagar, passados 
dois meses, $108,00 ao 
banco 
Entrada de 
dinheiro 
Desembolso 
Seta para ci-
ma 
Seta para baixo 
 
 
 
Ponto de vista do Banco X: 
 
Entregou 
$100,00 ao 
João 
Será ressarcido do emprés-
timo, dentro de dois meses, 
de $108,00 pelo João. 
Saída de di-
nheiro 
Entrada de dinheiro 
Seta para 
baixo 
Seta para cima 
 
 
Observe que nesta situação temos: 
 
C = $ 100,00 
M = $ 108,00 
J = $ 8,00 
i = 8% a.b. (ao bimestre ou bimestral) 
 
Exemplo Prático: 
 
Um carro que custa $ 50.000,00 é 
vendido a prazo, por cinco prestações 
mensais de $12.000,00, com a pri-
meira prestação vencendo um mês 
após a compra. 
 
Então do ponto de vista do vendedor te-
mos: 
 
 
 
Período Fluxo 
1 
Período Fluxo 
2 
0 420,00 3 960,00
1 318,00 7 320,00
4 526,00 9 x 
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 32
Conforme se observa pelo fluxo de caixa, 
o vendedor percebe, na data "zero", a sa-
ída do veículo e em contrapartida a entra-
da, nos cinco períodos restantes, das 
prestações. 
 
Do ponto de vista do comprador: 
 
 
 
O comprador recebe o carro na data "ze-
ro" e posteriormente tem que quitar a sua 
dívida atravésde cinco prestações men-
sais (saídas). 
 
Para realizarmos um demonstrativo de 
fluxo de caixa equivalentes entre si tere-
mos que possur parâmetros para a proba-
bilidade neutra ao risco e que podem ser 
inseridas na equação. 
 
Assim: p = (1.1 – 0.8) / (1.5 – 0.8) = 
0.428 
 
Quando se incluem os investimentos na 
árvore binomial estes devem ser seus e-
quivalentes certos. Isto desde que todos 
os fluxos na árvore sejam descontados à 
taxa ajustada ao risco. É importante ob-
servar que o investimento de $80 no ano2 
é igual a um investimento de um equiva-
lente certo de $73.2 quando são descon-
tados usando suas taxas de desconto cor-
respondentes, por 15% e 10% [80x(1.15) 
-2 = $60.5 o que é igual ao equivalente 
certo 60.5x(1.1) 
2 =73.2, quando descontado à data zero]. 
 
Fluxo de caixa es-
perado 
Equivalente certo 
do fluxo de caixa 
$30 $28.7 
$80 $73.2 
 
 
SISTEMAS DE AMORTIZAÇÕES 
 
Pagamento único, pagamento perió-
dico de juros, amortizações iguais 
(SAC) e prestações iguais (PRICE). 
 
Amortização é um processo de extinção 
de uma dívida através de pagamentos 
periódicos, que são realizados em função 
de um planejamento, de modo que cada 
prestação corresponde à soma do reem-
bolso do Capital ou do pagamento dos 
juros do saldo devedor, podendo ser o 
reembolso de ambos, sendo que 
 
 
 
 
 
Sistema de Pagamento único 
 
Um único pagamento no final. 
 
Sistema Americano 
 
Pagamento no final com juros calculados 
período a período. 
 
Sistema de Amortização Constante 
(SAC): 
 
A amortização da dívida é constante e 
igual em cada período. 
 
Sistema Price ou Francês (PRICE): 
 
Os pagamentos (prestações) são iguais. 
 
Em todos os sistemas de amortização, 
cada pagamento é a soma do valor amor-
tizado com os juros do saldo devedor, isto 
é: 
 
Pagamento = Amortização + Juros 
 
Sistema de Pagamento Único 
 
O devedor paga o Montante=Capital + 
Juros compostos da dívida em um único 
pagamento ao final de n=5 períodos. O 
Montante pode ser calculado pela fórmula: 
 
M = C (1+i)n 
 
Uso comum: Letras de câmbio, Títulos 
descontados em bancos, Certificados a 
prazo fixo com renda final. 
 
Sistema de Pagamento Único 
Juros são sempre calculados sobre o saldo 
devedor! 
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 33
n Juros 
Amortização
do 
Saldo deve-
dor 
Pagamento
Saldo de-
vedor 
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 312.000,00
2 12.480,00 324.480,00
3 12.979,20 337.459,20
4 13.498,37 350.957,57
5 14.038,30 300.000,00 364.995,87 0 
Totais64.995,87 300.000,00 364.995,87 
Sistema Americano 
 
O devedor paga o Principal em um único 
pagamento no final e no final de cada pe-
ríodo, realiza o pagamento dos juros do 
Saldo devedor do período. No final dos 5 
períodos, o devedor paga também os ju-
ros do 5º. período. 
 
 
Sistema Americano 
n Juros 
Amortização
do 
Saldo deve-
dor 
Pagamento
Saldo de-
vedor 
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 12.000,00 300.000,00
2 12.000,00 12.000,00 300.000,00
3 12.000,00 12.000,00 300.000,00
4 12.000,00 12.000,00 300.000,00
5 12.000,00 300.000,00 312.000,00 0 
Totais60.000,00 300.000,00 360.000,00 
 
 
Sistema de Amortização Constante 
(SAC) 
 
 
O devedor paga o Principal em n=5 pa-
gamentos sendo que as amortizações são 
sempre constantes e iguais. 
 
Uso comum: Sistema Financeiro da Habi-
tação 
 
Sistema de Amortização Constante (SAC) 
n Juros 
Amortização
do 
Saldo deve-
dor 
Pagamento
Saldo de-
vedor 
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 60.000,00 72.000,00 240.000,00
2 9.600,00 60.000,00 69.600,00 180.000,00
3 7.200,00 60.000,00 67.200,00 120.000,00
4 4.800,00 60.000,00 64.800,00 60.000,00 
5 2.400,00 60.000,00 62.400,00 0 
Totais36.000,00 300.000,00 336.000,00 
 
Sistema Price (Sistema Francês) 
 
Todas as prestações (pagamentos) são 
iguais. 
 
Uso comum: Financiamentos em geral de 
bens de consumo. 
 
Cálculo: O cálculo da prestação P é o pro-
duto do valor financiado Vf=300.000,00 
pelo coeficiente K dado pela fórmula 
 
(1 )
(1 ) 1
n
n
i iK
i
+= + − 
 
onde i é a taxa ao período e n é o número 
de períodos. Para esta tabela, o cálculo 
fornece: 
 
P = K × Vf = 67.388,13 
 
Sistema Price (ou Sistema Francês) 
N Juros 
Amortização
do 
Saldo deve-
dor 
Pagamento
Saldo de-
vedor 
0 0 0 0 300.000,00
1 12.000,00 55.388,13 67.388,13 244.611,87
2 9.784,47 57.603,66 67.388,13 187.008,21
3 7.480,32 59.907,81 67.388,13 127.100,40
4 5.084,01 62.304,12 67.388,13 64.796,28 
5 2.591,85 64.796,28 67.388,13 0 
Totais36.940,65 300.000,00 336.940,65 
 
Nomenclaturas usadas 
 
i = do inglês Interest , é usado para re-
presentar os juros envolvidos em quais-
quer operações financeiras. 
 
C = do inglês Capital , é usado para re-
presentar o Capital utilizado numa aplica-
ção financeira. 
 
M = do inglês aMount , é usado para re-
presentar o Montante que é o resultado da 
soma do Capital com os juros. 
 
NOVA EDIÇÃO MATEMÁTICA FINANCEIRA 
 34
n = nesse caso é uma incógnita (quem 
aprendeu equações do segundo grau usou 
muitas incógnitas. Todos aqueles x, y, z 
são incógnitas.) referente ao período de 
tempo (dias, semanas, meses, anos...) de 
uma aplicação financeira. Lembre-se da 
expressão : "levou n dias para devolver o 
dinheiro..." 
 
a.d. = abreviação usada para designar ao 
dia 
a.m. = abreviação usada para designar ao 
mês 
 
a.a. = abreviação usada para designar ao 
ano 
 
d = do inglês Discount , é usado para re-
presentar o desconto conseguido numa 
aplicação financeira. 
 
N = do inglês Nominal , é usado para 
representar o valor Nominal ou de face de 
um documento financeiro. 
 
A = do inglês Actual , é usado para repre-
sentar o valor real ou atual de um docu-
mento financeiro em uma determinada 
data. 
 
V = incógnita usada para representar o 
Valor Atual em casos de renda certa ou 
anuidades 
 
T = incógnita usada para representar o 
Valor Nominal em casos de renda certa ou 
anuidades 
 
an¬i = expressão que representa o fator 
de valor atual de uma série de pagamen-
tos. 
 
Sn¬i = expressão que representa o fator 
de acumulação de capital de uma série de 
pagamentos. 
 
Exemplo: 
 
Um carro é vendido a prazo em 12 paga-
mentos mensais e iguais de $2.800,00 
(num total de $ 36.000,00), sendo a pri-
meira prestação no ato da compra, ou 
seja, o famoso " com entrada", ou ainda, 
um caso de renda certa antecipada. Sen-
do que a loja opera a uma taxa de juros 
de 8% a.m., calcule o preço à vista desse 
carro. 
 
Aplicando a fórmula: 
n = 12 
T = 2800 
V = 2800+2800.a11¬8% = $ 22.789,10 
 
Calculando o Montante em casos 
de Rendas Certas 
 
Como você deve se lembrar , Montante 
nada mais é do que a somatória dos juros 
com o capital principal. No caso de rendas 
certas , a fórmula é dada por: 
 
M=T.Sn¬i 
 
Para saber o valor de Sn¬i você pode: 
 
-usar as tabelas 
 
-calcular usando a fórmula (1+i)n-1/i. 
 
Exemplo: 
 
Calcule o Montante de uma aplicação de $ 
100,00 , feita durante 5 meses, a uma 
taxa de 10% a.m. Aplicando a fórmula 
(esse é um caso de postecipada, porque o 
primeiro rendimento é um mês após a 
aplicação) : 
 
n = 5 
T = 100 
i = 10% a.m. 
M = 100.S5¬10% = $ 610,51 
 
Quando for uma situação de: 
 
antecipada: subtraia 1 de n 
 
diferenciada: após determinar Sn¬i, divi-
da o resultado por (1+i)m 
 
INFLAÇÃO 
 
Taxas aparente, de correção monetá-
ria e real (fórmula de Fisher); taxas 
de juros com correção pré e pós fixa-
das; valores correntes e valores cons-
tantes; cálculo da correção e de sal-
dos corrigidos; utilização de tabelas 
para cálculos. 
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 35
Juros e Inflação 
 
As taxas geralmente praticadas