Calc das Prob e Estat I AULA 8 Algumas Distribuições Discretas

Prévia do material em texto

Algumas Distribuições de 
Probabilidade Discretas.
Unidade II - Aula 08
Disciplina: Cálculo das Probabilidades e Estatística I
Professor: ELMIRO
2015-1
UNIVERSIDADE FEDERAL DA PARAÍBA
CENTRO DE CIÊNCIA EXATAS E DA NATUREZA
DEPARTAMENTO DE ESTATÍSTICA
Alguns modelos probabilísticos discretos 
1. Distribuição Uniforme Discreta
Seja X uma variável aleatória cujos possíveis valores
são representados por x1, x2, ... ,xk. Dizemos que X segue o
modelo Uniforme se sua distribuição de probabilidade é dada
por:
1/n,  i=1, 2, 3, ... , n
0, caso contrário
Exemplo:
Considere o experimento que consiste no lançamento de um
dado, e estamos interessados na V.A. X: Número da face obtida.
Neste caso todos os possíveis resultados ocorrem com a mesma
probabilidade e, assim, podemos dizer que a probabilidade se distribui
uniformemente entre os diversos resultados, ou seja, podemos
escrever a seguinte distribuição de probabilidade.
P(X=xi)=
Continuação...
x 1 2 3 4 5 6
P(X=x)
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
1
6
Notação: X~Ud(x1,..,xn)
OBS.: podemos mostrar que:
E(X)=
1
𝑛
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖 V(X)=
1
𝑛
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
2 −
 𝑖=1
𝑛 𝑥𝑖
2
𝑛
Para o exemplo anterior:
E(X)=
1
6
(1+2+3+4+5+6)=
21
6
=3,5  E(X)=3,5
V(X)=[
1
6
(1+4+9+16+25+36) -
212
6
]=
1
6
[91 −
441
6
]=
1
6
[91-73,5]
V(X)=
1
6
17,5=2,9  V(X)=2,9
2. Distribuição de Bernoulli
Algumas situações tem alternativas dicotômicas e
podem ser representadas genericamente por resposta do tipo
sucesso-fracasso. Associaremos p, a probabilidade de
sucesso, ao evento que nos interessa e 1-p, será a
probabilidade de fracasso.
Esses experimentos recebem o nome de Ensaios de
Bernoulli e originam uma V.A. com distribuição de Bernoulli.
Definição:
Uma V.A. (X) de Bernoulli é aquela que assume
apenas dois valores: 1 se ocorrer sucesso(s) e 0 se ocorrer
fracasso (f), ou seja: X(s)=1 e X(f)=0. A probabilidade de
sucesso é p, 0<p<1, e a probabilidade de fracasso é 1-p. Logo
a f.d.p. é dada por:
Continuação...
Continuação...
Notação: X~Ber(p), indica que a V.A. X tem distribuição de
Bernoulli com probabilidade de sucesso “p”
Se X~Ber(p) podemos mostrar que: 
E(X)=p e Var(X)=p(1-p).
Exemplo: Considere o experimento: “Lançar um dado e
observar a face superior”. Defina o evento: “o número é
múltiplo de 3” e a variável X é definida como 1 se o evento
ocorrer (sucesso) e 0 caso contrário. Encontre a distribuição
de probabilidade de X, calcule a esperança e a variância.
x 0 1
P(X=x) 1-p p
f(x)=P(X=x)= 𝑝
𝑥 1 − 𝑝 1−𝑥 𝑠𝑒 = 0 1
0 𝑐𝑎𝑠𝑜 𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟á𝑟𝑖𝑜
Continuação...
3. Distribuição Binomial
Exemplo:
Suponha que um dado seja lançado 3 vezes. Seja A o evento:
obtenção de uma face maior ou igual a 5, e a obtenção de A seja
classificada como Sucesso(S), caso contrário com Fracasso(F).
Determinar a função de distribuição de probabilidade da variável
X: número de vezes em que se obtém o evento A (obtenção de
faces maiores ou iguais a 5), nos 3 lançamentos do dado.
Solução:
Sabemos A={5, 6}  P(A)=2/6  P(S)=2/6 (probabilidade de 
sucesso), consequentemente 𝐴={1, 2, 3, 4}  P(𝐴)=4/6 
P(F)=4/6 (probabilidade de fracasso)
O Espaço amostral da V.A. X, no que se refere a 
obtenção de sucesso ou fracassos é dado por:
={FFF, FFS, FSF, SFF, FSS, SFS, SSF, SSS}
Continuação...
Logo:
 Valor de X P(X=x)
FFF 0
4
6
4
6
4
6
=
4
6
3 2
6
0
FFS 1
4
6
4
6
2
6
=
4
6
2 2
6
1
FSF 1
4
6
2
6
4
6
=
4
6
2 2
6
1
SFF 1
2
6
4
6
4
6
=
4
6
2 2
6
1
SSF 2
2
6
2
6
4
6
=
4
6
1 2
6
2
SFS 2
2
6
4
6
2
6
=
4
6
1 2
6
2
FSS 2
4
6
2
6
2
6
=
4
6
1 2
6
2
SSS 3
2
6
2
6
2
6
=
4
6
0 2
6
3
logo:
Portanto a distribuição de probabilidade de X é dada por:
𝑓 𝑥 = 𝑃 𝑋 = 𝑥 =
3
𝑥
2
6
𝑥
4
6
3−𝑥
𝑝𝑜𝑟𝑎 𝑥 = 0,1,2 𝑜𝑢 3
Onde: 
3
𝑥
=
3!
𝑥! 3−𝑥 !
𝑥 = 0,1,2 𝑜𝑢 3
Continuação...
Valor de X P(X=x) Valor de X P(X=x)
0
2
6
0
4
6
3
0 3
0
2
6
0
4
6
3
1 3
2
6
1
4
6
2
ou 1 3
1
2
6
1
4
6
2
2 3
2
6
2
4
6
1
2 3
2
2
6
2
4
6
1
3
2
6
3
4
6
0
3 3
3
2
6
3
4
6
0
Generalizando:
Considere a repetição de n ensaios de Bernoulli
independentes e todos com a mesma probabilidade de
sucesso p. A variável aleatória que conta o número total de
sucessos nos n ensaios de Bernoulli é denominada de
variável aleatória Binomial com parâmetros n e p e sua
função de probabilidade é dada por:
Notação, X~B(n, p), para indicar que V.A. X tem distribuição
Binomial com parâmetros n e p. Podemos provar que:
Se X~B(n, p) então: E(X)=np e Var(X)=np(1-p).
x)!(nx!
n!
x
n
onde
n,0,1,xp)(1p
x
n
x)P(Xf(x) xnx













  
Continuação...
Exemplo:
Um professor da disciplina de Estatística elaborou uma
prova de múltipla escolha, composta de 10 questões objetivas,
cada uma com 5 alternativas, sendo verdadeira apenas uma
delas. Suponha que nenhum dos estudantes tenha estudado
para a prova (o que é muito comum e frequente). O professor
estabeleceu que para ser aprovado o aluno deve acertar pelo
menos 8 questões das 10 propostas. (a) Qual a probabilidade
de um aluno consegui êxito na disciplina? (b) Qual a média e o
desvio padrão de acerto na prova?
Continuação...
Solução:
Seja a V.A. X: número de questões respondidas
corretamente nas 10 questões propostas.
Sabemos que P(S) = p =
1
5
(probabilidade de sucesso),
que P(F) =1 −
1
5
=
4
5
(probabilidade de fracasso) e sabemos
também que n=10 (número de questões propostas),
(a) A probabilidade de um aluno qualquer, escolhido
aleatoriamente, galgar aprovação, será:
P(X≥8)= P(X=8)+P(X=9)+(PX=10)
P(X≥8)= = =
10.,...,2,0x
5
4
5
1
x
10
x)P(Xf(x)
x10x




















28
5
4
5
1
8
10

















 19
5
4
5
1
9
10


















010
5
4
5
1
10
10


















Continuação...
(b) E(X) = np = 10. = 2
V(X) np(1-p) = 10. . = 1,6
DP(x)= 1,6 = 1,26  DP(x) = 1,26
Exemplo 1:
O time do Treze tem 25% de probabilidade de perder
quando joga em João Pessoa. Se ele joga pelo campeonato
Paraibano 4 vezes em João Pessoa, qual a probabilidade dele
perder exatamente 3 partidas. Qual a probabilidade dele
perder ao menos uma partida ?. Se em todo campeonato ele
jogar 12 vezes em João Pessoa, em quantas partidas se
espera que ele ganhe?






5
1






5
1






5
4
Continuação...
Exemplo 2:
O escore em um teste internacional de proficiência na
língua inglesa varia de 0 a 7 pontos, com mais pontos indicando
um melhor desempenho. Informações, coletadas durante vários
anos, permitem estabelecer o seguinte modelo para o
desempenho no teste:
Várias universidades americanas, exigem um escore
mínimo de 6 pontos para aceitar candidatos de países de língua
não inglesa. De um grande grupo de estudantes que prestaram o
último exame, escolhemos ao acaso 8 deles. Qual a
probabilidade de no máximo 2atenderem ao requisito
mencionado? Em um grupo de 220 candidatos espera-se
quantos serem aprovados?
Pontos [0, 2) [2, 3) [3, 4) [4, 5) [5, 6) [6, 7]
pi 0,06 0,15 0,16 0,25 0,27 0,11
Continuação...
4. Distribuição de Poisson
Na prática muitos experimentos consistem em
observar a ocorrência de eventos discretos em um intervalo
contínuo (unidade de medida).
Exemplo:
 Número de consultas por minuto a uma base de dados.
 Número de casos de dengue por quilómetro quadrado no
estado da Paraíba.
 Número de manchas (falhas) por metro quadrado no
esmaltado de uma geladeira.
 Número de chamadas que chegam a uma central telefônica
de uma empresa, num intervalo de tempo (digamos das
8:00 a.m. às 12:00 a.m.).
 Número de carros que chegam ao Campus entre 7:00 a.m.
a 10:00 a.m.
Continuação...
Esses tipos de experimentos recebem o nome de Ensaios
de Poisson e originam uma V.A. com distribuição de Poisson.
Definição:
Uma variável discreta X tem distribuição de Poisson com
parâmetro  > 0 se sua função de probabilidade é dada por:
Onde: X: número de eventos discretos obtidos em t unidades
de medida e  é a média de eventos discretos obtidos em t
unidades de medida.
Notação: X~P(), para indicar que a V.A. X tem distribuição de
Poisson com parâmetro . Pode-se mostrar que, se X~P(),
então: E(X)=  e Var(X)= 






c.c.0;
0,1,2,x
x!
λe
x)P(X
xλ

Continuação...
Questões importante sobre a distribuição Binomial e Poisson
 Qual é a diferença entre as distribuições de Poisson e Binomial?
Enquanto a distribuição binomial pode ser usada para
encontrar a probabilidade de um número designado de
sucessos em n tentativas do experimento, a distribuição de
Poisson é usada para encontrar a probabilidade de um
número designado de sucessos por unidade de intervalo.
 Sob que condições pode a distribuição de Poisson ser usada
como uma aproximação da distribuição Binomial?
Podemos usar a distribuição de Poisson como uma
aproximação da distribuição Binomial quando n, o número de
tentativas, for grande e p ou 1–p for pequeno (eventos raros).
Um bom princípio básico é usar a distribuição de
Poisson quando n ≥ 30 e n.p ou n.(1-p) < 5.
Continuação...
Questões importante sobre a distribuição Binomial e Poisson
O modelo binomial utiliza a função de probabilidade:
Podemos reescrever a expressão acima da seguinte forma:
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
𝑝𝑘
𝑛𝑘
𝑛𝑘
1 −
𝑛𝑝
𝑛
𝑛−𝑘
=
𝑛!
𝑘! 𝑛 − 𝑘 !
(𝑛𝑝)𝑘
𝑛𝑘
1 −
𝑛𝑝
𝑛
𝑛−𝑘
Fazendo λ=np teremos:
𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝑛 𝑛 − 1 …(𝑛 − 𝑘 + 1)
𝑘!
𝜆𝑘
𝑛𝑘
1 −
𝜆
𝑛
𝑛−𝑘
=
𝜆𝑘
𝑘!
1. 1 −
1
𝑛
… 1 −
𝑘 − 1
𝑛
1 −
𝜆
𝑛
𝑛−𝑘
Fazendo n→∞ teremos 𝑃 𝑋 = 𝑘 =
𝜆𝑘𝑒−𝜆
𝑘!
n,0,1,kp)(1p
k
n
k)P(Xf(k) knk 





 
Continuação...
Exemplo 1:
Suponha que a central telefônica de uma empresa de
grande porte recebe em média 3 chamadas a cada 4 minutos.
Qual é a probabilidade que a central recepcione 2 ou menos
chamadas em um intervalo de 2 minutos?
Se X: número de chamadas que recebe a central
telefônica da empresa em 2 minutos, então, X ~P().
Para o exemplo t=2 logo =1,5 (utilizando regra de 3). Ou seja
X~P(1,5).
0,808847.]
2
1,5
1,5[1e2)P(X1)P(X0)P(X2)P(X
.0,1,2,3...x,
x!
1,5e
x)P(X
2
1,5
x1,5




Continuação...
Exemplo 2:
Uma indústria de tintas recebe pedidos de seus
vendedores através de fax, telefone e internet. Chegam na
indústria, em média, 5 pedidos por hora.
a) Qual a probabilidade de se receber mais que 2 pedidos por
hora?
b) Em um dia de trabalho (8 horas), qual a probabilidade de
haver exatamente 50 pedidos?
c) É um evento raro não haver nenhum pedido em um dia de
trabalho?
Continuação...
Exemplo 3:
A probabilidade de que um rebite apresentar defeito,
quando colocado na superfície da asa de uma aeronave, é de
0,001. Há 4000 rebites na asa. Qual é a probabilidade de que
seja instalados não mais de seis rebites defeituosos?
Se X: número de rebites defeituosos na asa da
aeronave. Então, X~B(4000;0,001)
Usando a aproximação de Poisson, =4000(0,001)=4
X~P(4)
   









6
0x
x4000x
0,8894.0,9990,001
x
4000
6)P(X




6
0x
x4
0,889.
x!
4e
6)P(X
Continuação...
Exemplo 4:
O número de falhas em um certo tipo de placa plástica
tem taxa média de 0,05 defeito por m2. Na construção de um
barco, é necessário cobrir uma superfície de 3m x 2m com
essa placa. Qual a probabilidade de que não haja mais de
uma falha nessa superfície? Na construção de 5 barcos, qual
a probabilidade de que pelo menos 4 não apresentem defeito
na superfície?
Continuação...
Exemplo 5:
Em momentos de pico, a chegada de aviões a um
aeroporto, em média, é de um avião por minuto.
a) Qual a probabilidade de 3 chegadas em um minuto
qualquer do horário de pico?
b) Se o aeroporto pode atender 2 aviões por minuto, qual a
probabilidade de haver aviões sem atendimento?
c) Previsões para os próximos anos indicam que o tráfego
deve dobrar nesse aeroporto, enquanto que a capacidade
de atendimento poderá ser no máximo ampliada em 50%.
Como ficará a probabilidade de haver aviões sem
atendimento?