RESISTÊNCIA DE MATERIAIS.doc RESUMO TEÓRICO OU SOLUÇÕES

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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS – RESUMO TEÓRICO E EXERCÍCIOS RESOLVIDOS 
TEXTO PARA LEITURA E INTERPRETAÇÃO 
O objetivo dessa disciplina Rema (Resistência dos Materiais) é estudar os esforços internos correspondentes 
àqueles que se aplicam externamente a um corpo. Este não será mais considerado rígido e pode ser deformação, 
o cálculo dessa deformação também será objeto dos nossos estudos. 
Uma barra prismática ao sofrer a ação de um carregamento axial (perpendicular a sua seção transversal), ou 
seja coincidente com o seu eixo, pode ter o seu comprimento alongado (tracionado) ou encurtado (comprimido); 
é claro que a sua seção transversal também sofre modificações, mas isto será desprezado num primeiro estudo. 
A tensão normal é dada pela relação entre o carregamento axial externo e a área da seção transversal do 
corpo, de acordo com a expressão: 
0
0
P
A
Onde :
P c arga aplicada
A área original da seção transversal do corpo de prova
 


 
Este carregamento axial pode ser aplicado em corpos de prova e seus efeitos são analisados em laboratório. 
Admitindo-se que se ensaie um desses corpos de prova por intermédio de forças axiais de atração, gradualmente 
crescentes e os resultados são anotados. A deformação linear então é definida por: 
0
0 0 0
0
L LL L
L L L
Onde :
L comprimento após cada carregamento
L comprimento original do corpo de prova
 
   


 
Obtendo-se diversos pares de valores 
e 
determinar a função que os relaciona, cuja representação gráfica 
recebe o nome de Diagrama tensão-deformação. 
Os materiais metálicos utilizados em engenharia, classificam-se me dúcteis e frágeis. Material dúctil, como o 
aço e o alumínio, é aquele que apresenta-se grandes deformações antes de romper-se; enquanto o material 
frágil, como o ferro fundido e o concreto, é aquele que se deforma relativamente pouco antes de romper-se. 
 
 
 
 
 
 
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Nos materiais cujo diagrama é o da figura abaixo: 
 Fig. 01 
Observa-se ser linear a função tensão-deformação no trecho OP. Esta relação linear obedece à Lei de Hooke: 
E
Onde :
E cons tan te de Young ou módulo de elasticidade
deformação
   

 
 
Propriedades Mecânicas dos Materiais 
O diagrama tensão-deformação da Fig. 01 permite caracterizar diversas propriedades do material, definidas a 
seguir: 
1ª) Limite de Proporcionalidade: tensão correspondente ao ponto P e representa o valor máximo da tensão, 
abaixo da qual o material obedece à Lei de Hooke. Para um material cujo diagrama é apresentado abaixo: 
 Fig. 02 
não existe limite de proporcionalidade, pois o mesmo não obedece à Lei de Hooke. 
2ª) Limite de Elasticidade: muito próximo a P, existe um ponto, na curva tensão-deformação, ao qual 
corresponde o limite de elasticidade; ele representa a tensão máxima que pode ser aplicada ao corpo sem que 
apareçam deformações permanentes, ou residuais, após a retirada integral da carga externa. 
Para muitos materiais os valores do limite de proporcionalidade e o de elasticidade são praticamente iguais; nos 
casos em que eles são diferentes, via de regra, o limite de elasticidade é maior que o de proporcionalidade. 
3ª) Região Elástica: é o trecho da curva tensão-deformação compreendido entre a origem e o limite de 
proporcionalidade. 
 
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4ª) Região Plástica: é o trechos da curva tensão-deformação compreendido entre o limite de proporcionalidade 
e o ponto correspondente à ruptura do material. 
5ª) Limite de Escoamento: é a tensão correspondente ao ponto Y no diagrama de tensão-deformação da 
figura 01. 
6ª) Limite de Resistência: ou resistência à tração corresponde ao ponto U, na Fig. 01, e representa a maior 
tensão atingida no ensaio. 
7ª) Limite de Ruptura: é a tensão que corresponde à ruptura do corpo de prova e está representada na Fig. 01 
pelo ponto B. 
8ª) Módulo de Resiliência: é a energia que corpo armazena por unidade de volume, quando a partir de zero se 
eleva o valor da tensão até o limite de proporcionalidade. Sua unidade é a de trabalho e pode ser obtido, 
calculando-se a área hachurada da Fig. 01. Assim, a resiliência de um material é a sua capacidade absorver 
energia na região elástica. 
9ª) Módulo de Tenacidade: é a energia que corpo armazena por unidade de volume, quando a partir de zero 
se eleva o valor da tensão até o limite de ruptura. Seu valor pode ser obtido, no diagrama tensão-deformação, 
com o cálculo da área limitada pela curva, os eixos coordenados e a ordenada correspondente ao ponto de 
ruptura. Assim, a tenacidade de um corpo é a sua capacidade de absorver energia na região plástica. 
10ª) Redução Percentual a Área: é a relação, em termos de porcentagem, entre a diminuição da área da 
seção transversal, relativamente, à área inicial, por ocasião da ruptura, e a área inicial. Observa-se que na tração 
axial, a área da seção transversal diminui, mas nos cálculos de 

utiliza-se sempre a área original. Assim, a curva 
tensão-deformação tem o aspecto indicado na FIG. 01. Quanto mais crescem as deformações, mais importante é 
considerar os valores correspondentes da área da seção transversal que diminui e se isto for levado em 
consideração, obtém-se um diagrama real, que na Fig. 01 tem o aspecto que se representa em pontilhado. 
11ª) Alongamento Percentual: se se exprime, em porcentagem, o acréscimo de comprimento de referência, 
depois da ruptura, em relação ao comprimento inicial tem-se o alongamento percentual, A redução percentual 
da área e o alongamento percentual servem para caracterizar a ductilidade do material. 
12ª) Tensão Admissível: neste trabalho as tensões admissíveis estão na região elástica e é obtida dividindo-se 
ou o limite de escoamento ou o limite de resistência por um número maior que a unidade, denominado 
coeficiente de segurança CS. Assim, temos: 
lim
adm
adm
lim
CS
Onde :
tensão admissível
tensão limite de escoamento ou de resistência
CS coeficiente de segurança, CS 1

 
 
 
 
 
 
 
 
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A curva tensão-deformação de um material frágil, isto é, não linear, como mostrada na Fig. 02: 
 Fig. 02 
Exibe outras propriedades, definidas a seguir: 
1ª) Limite de Escoamento: é a tensão que corresponde a uma deformação permanente, pré-fixada, depois do 
descarregamento do corpo de prova. Se na Fig. 02 fixou-se a deformação permanente 
1

, para determinar o 
limite de escoamento, traça-se a reta O’Y paralela à tangente à curva que passa pela origem. Sua interseção com 
a curva, determina o ponto Y que corresponde ao limite de escoamento procurado. 
2ª) Módulo Tangente: é a tangente trigonométrica do ângulo que a tangente à curva tensão-deformação, na 
origem, forma como o eixo das deformações 

. 
3ª) Coeficiente de Dilatação Linear: é a variação unitária de comprimento entre dois pontos situados num 
corpo submetido à variação de um grau, em sua temperatura. 
4ª) Coeficiente de Poisson: Quando a carga P é aplicada à barra, provoca uma mudança
no comprimento e 
'
 no raio da barra. As deformações na direção longitudinal ou axial e na direção lateral ou radial são, 
respectivamente, 
long lat
'
e
L r
 
   
. A relação entre as deformações longitudinal e lateral (transversal), 
dentro da região elástica, é uma constante denominada Coeficiente de Poisson 
 
 e é dada pela expressão: 
lat
long

  

 
Essa expressão tem sinal negativo porque o alongamento longitudinal (deformação positiva) provoca contração 
lateral (deformação negativa) e vice-versa. 
 
DIAGRAMA DE TENSÃO-DEFORMAÇÃO DE CISALHAMENTO 
O comportamento de um material submetido a cisalhamento puro pode ser estudado em laboratório por meio de 
corpos de prova na forma de tubos finos submetidos a carga de torção. Se o torque aplicado e os ângulos de 
torção resultantes forem medidos, então, pelos métodos que explicaremos mais tarde, os dados podem ser 
usados para determinar a tensão de cisalhamento e a deformação por cisalhamento e para construir um 
diagrama tensão-deformação de cisalhamento. 
 
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Um exemplo desse diagrama para um material dúctil é mostrado na Fig. 3. Como ocorre no ensaio de tração, 
esse material, quando submetido a cisalhamento, exibe comportamento linear elástico e terá um limite de 
proporcionalidade definido 
lp

' Também ocorrerá endurecimento por deformação até que a tensão de 
cisalhamento máxima 
m

 seja atingida. Por fim, o material começará a perder sua resistência ao cisalhamento 
até atingir um ponto no qual sofrerá ruptura, 
rup

. 
 
A maioria dos materiais de engenharia apresentará comportamento elástico linear e, portanto, a lei de Hooke 
para cisalhamento pode ser expressa por 
 
G
Onde :
Tensão de cisalhamento
G Módulo de Elasticidade ao Cisalhamento
deformação em radianos
Re lação entre G, E e
E
G
2 1
  
 

 


 
 
O Módulo de Elasticidade ao Cisalhamento G pode ser medido como a inclinação da reta no diagrama 
  
, ou 
seja, 
lp
lp
G



. As unidades de medida de G serão as mesmas de E (Pa ou psi), visto que 

é medido em 
radianos, uma quantidade adimensional. 
 
 
 
 
 
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Formulário 
(1) Tensão Nominal (ou Tensão de Engenharia) 
0
0
P
A
Onde :
P c arga aplicada
A área original da seção transversal
do corpo de prova
 

 
(2) Deformação Nominal (ou Deformação de Engenharia) 
0
0
L
Onde :
var iação no comprimento
L comprimento original do corpo de prova

 
 

 
 
Um modo de especificar a ductilidade de um material é calcular o percentual de alongamento ou a redução 
percentual da área no instante da ruptura. 
 
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rup 0
0
rup
L L
Porcentagem de Alongamento 100%
L
Onde :
L comprimento na ruptura L comprimento original

 
 
 
rup 0
0
rup 0
A A
Porcentagem de Redução Área 100%
A
Onde :
A área transversal na ruptura A área transversal original

 
 
 
Lei de Hooke 
O diagrama tensão-deformação para a maioria dos materiais de engenharia exibe uma relação linear entre 
tensão e deformação dentro da região elástica. Assim, um aumento na tensão provoca um aumento proporcional 
na deformação e este comportamento é conhecido com Lei de Hooke. 
E
Onde :
E cons tan te de Young ou módulo de elasticidade
deformação
   

 
 
Na realidade a expressão acima representa a equação da porção inicial em linha reta do diagrama tensão-
deformação até o limite de proporcionalidade e o módulo de elasticidade é a inclinação dessa reta. Como a 
deformação 

 é adimensional, então E terá unidade de tensão como Pascal. 
Exemplo 
 
Como exemplo considere o diagrama tensão-deformação para o aço mostrado na figura anterior, de onde 
tiramos que 
lp
240 MPa 
e 
lp
0,0012 mm / mm 
 
 
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6
lp
lp
Assim :
240 10
E Pa E 200 GPa
0,0012
 
   

 
Energia de Deformação 
Quando um material é deformado por uma carga externa, tende a armazenar energia internamente em todo o 
seu volume. Como essa energia está relacionada com as deformações no material, ela é denominada energia de 
deformação. 
Às vezes, é conveniente formular a energia de deformação por unidade de volume de material, denominada 
densidade de energia de deformação, a qual pode ser expressa por 
1
u
2
 
 
Se o comportamento do material for linear elástico, então a lei de Hooke se aplica,
E   
 e, portanto, 
podemos expressar a densidade de energia de deformação em termos da tensão uniaxial como 
21
u
2 E


 
TEXTO COMPLEMENTAR 
 
Tensões de Deformações 
 
- Tensão: é o resultado da ação de cargas esternas sobre uma unidade de área da seção analisada na estrutura submetidas á 
solicitações mecânicas. 
 
- Tensão de Cisalhamento ( ): São as tensões provocadas por torção e cisalhamento e atuam na direção tangencial a área da 
seção transversal. 
 
- Tensão Normal (σ): são as tensões provocadas por tração, compressão e flexão que ocorrem na direção normal a área da 
seção transversal. 
 
 
 
 
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A carga normal F, que atua na peça, origina nesta uma tensão normal, que é determinada através da relação entre a 
intensidade da carga aplicada "F", e a área da seção transversal da peça "A". 
 
 
 
Na prática o Pascal torna-se uma medida pequena para tensão, então visa-se múltiplos dessa unidade. 
 
1 Pa = 1 N/m² 
1 MPa = 1 N/mm² 
1 GPa = 1kN/mm² 
 
Deformação 
 
Definição: Quando uma força é aplicada a um corpo tende a mudar a forma e o tamanho e tais mudanças são denominadas 
deformação. 
 
 
 
Diagrama de Tensão x Deformação 
 
Para determinação do diagrama Tensão x Deformação é feito um ensaio de tração em um corpo de prova submetido a uma 
carga normal "F". A medida que este carregamento aumenta, pode ser observado um aumento na distância entre os pontos 
marcados e uma redução na área da seção transversal até a ruptura do material. 
 
 
 
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Entre os diagramas de Tensão x Deformação de vários grupos de materiais é possível distinguir algumas características comuns. 
Elas nos levam a dividir os materiais em duas importantes categorias, que são os materiais Dúcteis e os materiais Frágeis. 
 
 
 
Materiais Dúcteis: São aqueles que apresentam grandes deformações plásticas antes de romper. Ex: Aço, Cobre, Alumínio etc. 
 
Materiais Frágeis: São aqueles que não admitem deformações plasticas. Ex: Ferro Fundido, Granito, Mármore, Concretoetc. 
 
 
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Lei de Hooke 
No trecho inicial do diagrama Tensão x Deformação, a tensão é diretamente proporcional à deformação e podemos escrever: 
 
 
 
Essa relação é conhecida como Lei de Hooke. O coeficiente "E" é chamado de módulo de elasticidade ou módulo de 
young, que é determinado pela força de tração entre os átomos dos materiais. Ex: 
 
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E Aço = 210 GPa 
E Alumínio = 70 GPa 
 
Tensão Admissível 
No projeto de uma estrutura, deve-se considerar que a carga limite do material seja maior que o carregamento que este irá 
suportar em condições normais de utilização. Este carregamento menor é chamado de admissível, de trabalho ou de projeto. 
Quando se aplica a carga admissível, apenas uma parte da capacidade do material está sendo solicitada, a outra parte é 
reservada para garantir ao material condições de utilização segura. 
 
 
 
a) Região de Segurança 
b) Região de Trabalho 
 
 
 
A Tensão admissível é determinada através da relação Tensão de Escoamento pelo Coeficiente de Segurança (CS) para os 
materiais Dúcteis, e Tensão de Ruptura pelo Coeficiente de Segurança para os materiais Frágeis. 
 
 
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Coeficiente de Segurança 
A fixação do coeficiente de segurança é feita nas normas de cálculo e, muitas vezes, pelo próprio projetista baseado em 
experiências e de acordo com seu critério. 
A determinação do "CS" adequado para diferentes aplicações requer uma análise cuidadosa que levem em conta diversos 
fatores, tais como: 
 Material a ser aplicado; 
 Tipo de carregamento; 
 Frequência d carregamento; 
 Ambiente de atuação; 
 Grau de importância da estrutura. 
O "CS" são dados pelas normas técnicas da ABNT. 
 
 
 
Flexão Simples ou Pura 
Considere a viga simplesmente apoiada, submetida a duas forças concentradas 
 
 
Essas forças produzem deslocamentos nos diversos pontos do eixo da viga, dando origem a tensão interna. As fibras inferiores 
serão alongadas, ficando sujeitas a esforços de tração, e as fibras superiores serão comprimidas, ficando sujeitas a esforços de 
compressão. 
Essas deformações originam internamente na viga tensões de tração e compressão. 
 
 
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Para o cálculo da tensão ao longo do corpo sólido teremos que utilizar a seguinte equação 
 
 
Onde: 
m é o momento fletor; 
I é o momento de inércia; 
y é a distância da linha neutra até o ponto que se quer calcular a tensão. 
 
Do estudo das características das seções planas, define-se módulo resistente (w) por w = I/y, então temos que a tensão fica: 
 
 
 
 
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Flexão Composta 
A Flexão composta é a ação combinada de força normal e momento fletor. 
Na pratica a flexão composta ocorre frequentemente em pilares, em vigas protendidas, em muro de arrimo etc. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Exercícios Resolvidos ou com Roteiros de Soluções 
Exemplo 01: Uma barra de aço A-36 
 E 200 GPa; 0,32  
tem as dimensões mostradas na figura 
abaixo, 
 
Se uma força axial P = 80 kN for aplicada à barra, determine a mudança em seu comprimento e a mudança nas 
dimensões de sua área transversal após a aplicação da carga. O material comporta-se elasticamente. 
Solução: 
Roteiro: 
1º) Calcula-se a tensão normal na barra: 
z
P
A
 
. 
2º) Encontra-se a deformação na direção z: 
z
z
E

 
 
3º) Encontra-se o alongamento axial da barra: 
z z z
L   
 
4º) Calculam-se as deformações de contração nas direções x e y: 
x y z
    
 
5º) Calculam-se as mudanças nas dimensões da seção transversal: 
x x x y y y
L e L       
 
3.5. A figura apresenta o diagrama tensão-deformação para um aço-liga com 12 mm de diâmetro original e 
comprimento de referência 50 mm. Determine os valores aproximados do módulo de elasticidade para o 
material, a carga aplicada ao corpo de prova que causa escoamento e a carga máxima que o corpo de prova 
suportará. 
Solução: 
 
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 
2
32
2 4 2
Dados :
d 12 mm L 50 mm
Assim :
12 10d
A m A 1,13 10 m
4 4


 
  
    
 
 
 
6 6
6
9
Módulo de Elasticidade :
No diagrama dado :
0,001 0 mm / mm 0,001 mm / mm
290 0 MPa 290 10 Pa 290 10 Pa
Assim :
290 10
E Pa 290 10 Pa E 290 GPa
0,001
     
        
 
     

 
Escoamento 
Um pequeno aumento na tensão acima do limite de elasticidade resultará no colapso do material e fará com que 
ele se deforme permanentemente. Esse comportamento é denominado escoamento e é indicado pela segunda 
região da curva. 
6
e
4 2
6 4 3
e e e e
C arga de Escoamento :
No diagrama dado :
290 MPa 290 10 Pa
A A 1,13 10 m
P A 290 10 1,13 10 N P 32,77 10 N P 32,77 kN


   
  
          
 
6
u
4 2
6 4 3
emáx máx máx
C arga Máxima:
No diagrama dado :
550 MPa 550 10 Pa
A 1,13 10 m
P A 550 10 1,13 10 N P 62,15 10 N P 62,15 kN


   
 
          
 
 
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3.10. Uma barra de ação A-36 tem comprimento de 1250 mm e área da seção transversal 430 mm². Determine 
o comprimento da barra se ela for submetida a uma tração axial de 25 kN. O material tem comportamento 
elástico linear. 
Solução: 
2 6 2
3 2
0
3
6
9
Dados :
A 430 mm 430 10 m
L 1250 mm 1250 10 m
P 25 kN 25 10 N
A 36 :
250 MPa 250 10 Pa
E 200 GPa 200 10 Pa


  
  
  

   
  
 
 
 
3
6
N N6
6
6N
9
Tensão Normal
P 25 10
Pa 58,14 10 N
A 430 10
Deformação
58,14 10
m / m 290,7 10 m / m
E 200 10



      

 
      

 
 
 
 
3.13. A mudança no peso de um avião é determinada pela leitura de um extensômetro A montado no suporte de 
alumínio da roda do avião. Antes de o avião ser carregado, a leitura do extensômetro no suporte é 
1
0,00100 mm / mm 
, ao passo que, após o carregamento, 
2
0,00243 mm / mm 
. Determine 
a mudança na força que age sobre o suporte se a área transversal dele for de 
22.200 mm
. Dado: 
Al
E 70GPa
. 
 
 
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Solução: 
 
2
1 2 Al
1 1 1 1 1
1 1 1
Dados :
0,00100 mm / mm 0,00243 mm / mm A 2200 mm E 70GPa
Aplicando a Lei de Hooke : E
Assim :
E E 0,00100 70 0,07 GPa 70,00 MPa
P
Aplicando a expressão :
A
P A 70 2200 154.000 N P 154,00 kN
     
  
            
 
      
 
2
1 2 Al
2 2 2 2 2
2 2 2
Dados :
0,00100 mm / mm 0,00243 mm / mm A 2200 mm E 70GPa
Aplicando a Lei de Hooke : E
Assim :
E E 0,00243 70 0,07 GPa 170,10 MPa
P
Aplicando a expressão :
A
P A 170,10 2200 374.220 N P 374,22 kN
Assim :
     
  
            
 
      

2 1
P P P 374,22 154,00 220,22 kN P 220,22 kN       
 
 
3.16: O poste da figura dada é sustentado por um pino em C e por um arame de ancoragem AB de aço A-36. Se 
o diâmetro do arame for 5 mm, determine quanto ele se deforma quando uma força horizontal de 15 kN agir 
sobre o poste. 
 
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Solução: 
Forças que atuam no poste: 
 
   
Aço
B x x x
x x
Dados :
P 15 kN E 200GPa d 5 mm a 1,2 m b 1 m 30
Assim :
M 0 : C a b P b 0 C 1,2 1 15 1 2,2C 15
Assim :
15
C kN 6,82 kN C 6,82 kN
2,2
       
               
   

 
 
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 x AB x AB
AB AB AB
e
F 0 :P F sen C 0 15 F sen 30 6,82 0
Assim :
8,18
8,18 0,5F F kN 16,36 kN F 16,36 kN
0,5
         
     

 
Aço
2 2 2 2 2 2
3
6AB
AB AB AB6
6
AB AB aço AB
Dados :
P 15 kN E 200GPa d 5 mm a 1,2 m b 1 m 30
Assim :
A d 0,785d 0,785 5 mm 19,625 mm A 19,625 mm
4
Assim :
F 16,36 10
Pa 833,63 10 Pa 833,63 MPa
A 19,625 10
Mas :
E 833,63 10 200

       

      

         

        
 
6
9
AB 9
3
AB
AB AB
AB AB AB
3 3
AB AB AB AB
833,63 10
10 m / m
200 10
Assim :
4,168 10 m / m
Mas :
a b 1,2 1 2,2 2,2
cos cos 30 0,866 L m L 2,54 m
L L L 0,866
Assim :
L 4,168 10 2,54 m 10,587 10 m 10,587 mm

 

   

  
 
          
            
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.18. Os cabos de aço AB e AC sustentam a massa de 200 kg. Se a tensão axial admissível para os cabos for 
adm
130 MPa 
, determine o diâmetro exigido para cada cabo. Além disso, qual é o novo comprimento do 
cabo AB após a aplicação da carga? Considere que o comprimento não alongado de AB seja 750 mm. 
aço
E 200 GPa
. 
 
 
Solução: 
Trações nos cabos: 
 
 
 
2
Aço adm
AB
x AC AB AC AB
AC AB AC AB
Dados :
m 200 kg E 200GPa g 10 m / s 130 MPa
3 4
L 750 mm 60 cos sen
5 5
Assim :
3
F 0 :F cos F cos 0 F F cos 60 0
5
Assim :
3 1
F F 0 6F 5F 0 1
5 2
    
       
         
    

 
 
 
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 
 
y AC AB AC AB
AC AB AC AB
AC AB
AC AB
AC
4
F 0 :F sen F sen P 0 F F sen 60 mg 0
5
Assim :
0,8F 0,866F 200 9,81 0 0,8F 0,866F 1962 2
Re solvendo :
6F 5F 0
0,8F 0,866F 1962
Assim :
0 5
1962 0,866 9810 9810
F N N
6 5 5,196 4
0,8 0,866
           
      
 

 

  
 

AC
AB AB
N 1066,77 N F 1066,77 N
9,196
e
6 0
0,8 1962 11772 11772
F N N N 1280,12 N F 1280,12 N
6 5 5,196 4 9,196
0,8 0,866
  
     
 
 
AC adm AB
2 2AC AC AC AC
adm AC AC
adm adm adm
2 2 2 6AC
AC AC AC6
adm
2
AC
Assim :
Dados :
F 1006,77 N 130 MPa L 750 mm
Mas :
F F F F
A d 0,785d
A 4
Substituindo :
F 1066,77
0,785d 0,785d 0,785d 8,206 10
130 10
Assim :
8,206 1
d

   
 
        
   
     
 


6 6
3
AC AC AC
0 8,206 10
d m d 3,233 10 m d 3,233 mm
0,785 0,785
 
      
 
 
 
 
 
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AB adm AB
2 2AB AB AB AB
adm AB AB
adm adm adm
2 2 2 6AB
AB AB AB6
adm
2
AB
Assim :
Dados :
F 1280,12 N 130 MPa L 750 mm
Mas :
F F F F
A d 0,785d
A 4
Substituindo :
F 1280,12
0,785d 0,785d 0,785d 9,847 10
130 10
Assim :
9,847 1
d

   
 
        
   
     
 


6 6
3
AB AB AB
0 9,847 10
d m d 3,542 10 m d 3,542 mm
0,785 0,785
 
      
 
 
AC adm AB
2 2AC AC AC AC
adm AC AC
adm adm adm
2 2 2 6AC
AC AC AC6
adm
6
2
AC
Dados :
F 1006,77 N 130 MPa L 750 mm
Mas :
F F F F
A d 0,785d
A 4
Substituindo :
F 1066,77
0,785d 0,785d 0,785d 8,206 10
130 10
Assim :
8,206 10
d
0,7


   
 
        
   
     
 


6
3
AC AC AC
adm
AB
6
4 3adm
AB AB AB9
8,206 10
d m d 3,233 10 m d 3,233 mm
85 0,785
Aplicando a Lei de Hooke E no cabo AB :
Cabo AC
E
Assim :
130 10
m / m 6,5 10 m / m 0,65 10 m / m 0,65 mm / mm
E 200 10


 

      
  

 
 
           

 
 
 
 
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4 4
AB AB AB
AB AB
Mas :
L L 6,5 10 0,750 m 4,875 10 m 0,4875 mm
Assim :
L L L 750 0,4875 mm 750,4875 mm L 750,4875 mm
          
       
 
3.20. A figura abaixo mostra o diagrama tensão-deformação de duas barras de poliestireno. Determine a área da 
seção transversal de cada barra de modo que elas sofram ruptura simultânea quando a carga P = 15 kN é 
aplicada. Considere que não ocorra nenhuma flambagem. 
 
 
 
Solução: 
Roteiro: 
 
(1) Encontre 
BC BA
F e F
 
(2) No diagrama 
  
, encontre as tensões de ruptura da força de tração e da força de compressão. 
(3) Aplique a relação 
BC BA
BC BA
rup rup
F F
A e A 
 
 
 
 
 
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3.26. A haste plástica de acrílico tem 200 mm de comprimento e 15 mm de diâmetro. Se uma carga axial de 300 
N for aplicada a ela, determine a mudança em seu comprimento e em seu diâmetro. Dados: 
E 2,70 GPa e 0,4  
 
 
Solução: 
 
22 2 2 4 2
6
4
Dados :
P 300 N d 15 mm 0,015 m
Temos que :
A d 0,785d A 0,785 0,015 mA 1,766 10 m
4
Mas :
P 300
Pa 1,699 10 Pa 1,699 MPa
A 1,766 10


  

       
       

 
6 9
6
4 3
long long9
4 4
lat long lat
Dados :
1,699 10 Pa E 2,70 10 Pa 0,4 L 200 mm 0,2 m
Temos que :
1,699 10
m / m 6,292 10 m / m 0,6292 10 m / m 0,6292 mm/ mm
E 2,70 10
e :
0,4 6,292 10 m / m 2,517 10 m / m 0,2517 mm / mm
A
 
 
        
 
         

              
3 4 3
long
4 7
lat
ssim;
L 0,6292 10 0,2 m 1,258 10 m 0,1258 10 m 0,1258 mm
e
d d 2,517 10 0,0015 m 3,776 10 m 0,0003776 mm d 0,0003776 mm
  
 
             
                
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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3.29. A figura a seguir mostra a porção elástica do diagrama 
  
para um aço-liga. O corpo de prova do qual 
ela foi obtida tinha um diâmetro original de 13 mm e comprimento de referência de 50 mm. Quando a carga 
aplicada ao corpo de prova for de 50 kN, o diâmetro é 12,99265 mm. Determine o Coeficiente de Poisson para o 
material. 
 
Solução: 
Roteiro de Solução: 
1º) Lista dos dados fazendo as devidas conversões 
2º) Encontre E a partir do gráfico 
E



 
3º) Encontre a Área 
2 2E d 0,785d
4

 
 
4º) Encontre a Tensão Normal 
P
A
 
 
5º) Aplicando a Lei de Hooke , encontre as Deformações Laterais 
long lat
d d'
E e
E d
 
       
 
6º) Calcule o Coeficiente de Poisson 
lat
long

  

 
 
 
 
 
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4.2. A coluna de aço A-36 é usada para suportar as cargas simétricas dos dois pisos de um edifício. Determine o 
deslocamento vertical de sua extremidade, A, se P1 = 200 kN, P2 = 310 KN e a coluna tiver área de seção 
transversal de 14.625 mm² 
 
SOLUÇÃO: 
2 6 2
AB BC
3 3
1 2
9
Dados :
L L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m
P 200 kN 200 10 N P 310 kN 310 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
    
     
  
 
Trecho AB 
 
 
2 6 2
AB
3 9
1
y AB 1 AB 1
AB
Dados :
L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m
P 200 kN 200 10 N E 200 GPa 200 10 Pa
Assim :
F 0 P 2 P 0 P 2 P 2 200 kN 400 kN
P 400 kN contração
   
     
          
  

 
 
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3 6
4AB AB
AB 9 6 9
4
AB
Assim :
P L 400 10 3,6 1,44 10
m m 4,9231 10 m
E A 200 10 14.625 10 2,925 10
Assim :
4,9231 10 m



    
       
    
   
 
Trecho BC 
 
 
2 6 2
BC
3 3
1 2
9
y BC 1 2 AB 1 2
BC
BC BC
BC
Dados :
L 3,6 m A 14.625 mm 14.625 10 m
P 200 kN 200 10 N P 310 kN 310 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Assim :
F 0 P 2 P 2 P 0 P 2 P 2 P 2 200 2 310 kN 1020 kN
P 1020 kN contração
Assim :
P L 1020
E A
   
     
  
                
  
 
  


   
3 6
3
9 6 9
4
BC
4 3 3
A AB BC
A
10 3,6 3,672 10
m m 1,2554 10 m
200 10 14.625 10 2,925 10
Assim :
1,2554 10 m
Dessa forma:
4,9231 10 1,2554 10 m 1,74771 10 m
Assim :
1,74771 mm



  
  
    
   
   
             
   
 
 
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4.5. A haste de aço A-36 está sujeita ao carregamento mostrado. Se a área de seção transversal da haste for 
60 mm2, determine o deslocamento de B e A. Despreze o tamanho dos acoplamentos em B, C e D. 
 
SOLUÇÃO: 
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
     
        
  
 
Trecho AB 
 
 
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 
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
y AB A AB A AB
3
AB AB
AB 9 6
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Assim :
F 0 P P 0 P P P 8 kN Tração
Assim :
P L 8 10 0,5 4 1
m
E A 200 10 60 10


     
        
  
       
   
   
   

3
4 4
AB6
0
m 3,3333 10 m 3,3333 10 m
12 10
      

 
 
Trecho BC 
 
y
y y
y
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
B
B 3 3 3B
B B B
y BC B
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Pr oje tando a força P no eixo y :
PP 3
P P 0,6 2 10 N 1,2 10 N P 1,2 10 N
5 3 5
F 0 P 2 P
     
        
  
          
    
 
y
3 3
A BC A B
3
BC BC
3 3
3 3BC BC
BC BC9 6 6
P 0 P P 2 P 8 10 2 1,2 10 N
P 10,4 10 N P 10,4 kN Tração
Assim :
P L 10,4 10 1,5 15,6 10
m m 1,3 10 m 1,3 10 m
E A 200 10 60 10 12 10
 

         
   
   
         
    

 
 
 
 
 
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Trecho CD 
 
y
y y
y
2 6 2
AB BC CD
3 3 3
A B C
9
B
B 3 3 3B
B B B
y BC B
Dados :
L 0,5 m L 1,5 m L 0,75 m A 60 mm 60 10 m
P 8 kN 8 10 N P 2 kN 2 10 N P 3,3 kN 3,3 10 N
E 200 GPa 200 10 Pa
Pr oje tando a força P no eixo y :
PP 3
P P 0,6 2 10 N 1,2 10 N P 1,2 10 N
5 3 5
F 0 P 2 P
     
        
  
          
    
 
 
y
y y
3 3
A BC A B
3
BC BC
C
3 3 3
C C C C C
y CD B C A Cd A B C
P 0 P P 2 P 8 10 2 1,2 10 N
P 10,4 10 N P 10,4 kN Tração
Pr oje tando a força P no eixo y :
P P sen 60 P 0,866P 0,866 3,3 10 N 2,8578 10 N P 2,8578 10 N
F 0 P 2 P 2 P P 0 P P 2 P 2 P 8
         
   
           
               

 CD CD
3 3
3 3CD CD
CD CD9 6 6
2 1,2 2 2,8578 kN
P 8 2,4 5,7156 kN P 16,1156 kN Tração
Assim :
P L 16,1156 10 0,75 12,0867 10
m m 1,0072 10 m 1,0072 10 m
E A 200 10 60 10 12 10
 

  
    
   
         
    

 
4 3 3
AB BC CD
3 3 3
B BC CD B
4 3 3
A AB B A
Dados :
3,3333 10 m 1,3 10 m 1,0072 10 m
Assim :
1,3 10 1,0072 10 m 2,3072 10 m 2,3072 mm
e
3,3333 10 2,3072 10 m 2,6405 10 m 2,6405 mm
  
  
  
        
             
             
 
 
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4.6. O conjunto é compostopor uma haste CB de aço A-36 e uma haste BA de alumínio 6061-T6, cada uma com 
diâmetro de 25 mm. Determine as cargas aplicadas P1 e P2 se A se deslocar 2 mm para a direita e B se deslocar 
0,5 mm para a esquerda quando as cargas forem aplicadas. O comprimento de cada segmento quando não 
alongado é mostrado na figura. Despreze o tamanho das conexões em B e C e considere que elas são rígidas. 
 
SOLUÇÃO: 
Roteiro: 
(1) Listar os dados do problema, fazendo as devidas conversões. 
(2) Separar a estrutura em partes, como indicado na figura abaixo: 
 
(3) Aplicar as equações de deslocamento: 
 
 
3 3
A B AB
9 3
2
2 3 2 4 4
AB
3 3AB AB 1
A B 9 4
Trecho AB
2 mm 2 10 m 0,5 mm 0,5 10 m L 1,2 m
E 68,9 GPa 68,9 10 Pa d 25 mm 25 10 m
A d 0,785 25 10 m 4,906 10 m A 4,906 10 m
4
P L P 1,2
2 10 0,5 10
E A 68,9 10 4,906 10
Assim
 

  
 

          
     

        
 
         
   
3 3 6 31
1 16
3
! 1
:
P 1,2
2,5 10 1,2 P 2,5 10 33,802 10 1,2 P 84,505 10
33,802 10
Assim :
84,505
P N 70,42 10 N P 70,42 kN
1,2
            

    
 
 
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 
 
 
3 9
B BC aço
3
2
2 3 2 4 4
BC
1 23BC BC
B 9 4
1 23
Trecho BC
0,5 mm 0,5 10 m L 0,6 m E 200 GPa 200 10 Pa
d 25 mm 25 10 m
A d 0,785 25 10 m 4,906 10 m A 4,906 10 m
4
P P 0,6P L
0,5 10
E A 200 10 4,906 10
Assim :
P P 0,6
0,5 10
9


  



         
  

        
 
     
   
 
    3 6 31 1 26
3
3 3
! 2 ! 2
3
1
3 3 3
! 2 2
2
1,2 P 0,5 10 98,12 10 0,6 P P 49,06 10
8,12 10
Assim :
49,06 10
P P N 81,77 10 N P P 81,77 10 N
0,6
Mas :
P 70,42 10 N
Substituindo :
P P 81,77 10 70,42 10 P 81,77 10 N
Assim :
P 81,77
            

 
         
 
         
    3 3 3
2
10 70,42 10 152,19 10 N P 152,19 kN       
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.7. O eixo AC de aço A-36 com 15 mm de diâmetro é sustentado por um colar rígido fixado ao eixo B. Se for 
submetido a uma carga axial de 80 kN em sua extremidade, determine a distribuição de pressão uniforme p no 
colar exigida para o equilíbrio. Calcule também o alongamento nos segmentos BC e BA. 
 
SOLUÇÃO: 
Roteiro: 
(1) Listar os dados e fazer as devidas conversões. 
3 3
AB BC
3 3
AC colar
3 9
C aço
Dados :
L 200 mm 200 10 m L 500 mm 500 10 m
d 15 mm 15 10 m r 35 mm 35 10 m
P 80 kN 80 10 N E 200 GPa 200 10 Pa
 
 
     
     
     
 
(2) Cálculo da Distribuição de Pressão p 
     
3 3 3
AC colar Colar
3
C
2 2
2 2 3 3 2
C colar AC
3 2 3 2
C C
3
C
3
C
Dados :
d 15 mm 15 10 m r 35 mm 35 10 m d 70 10 m
P 80 kN 80 10 N
Área do colar :
A d d 0,785 70 10 15 10 m
4
A 0,785 4,675 10 m A 3,67 10 m
Assim :
P 80 10
p Pa
A 3,67 10
  
 
 

        
  
       
  
     

 

621,80 10 p 21,80 MPa   
 
 
 
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(3) Separar a estrutura em partes, conforme a figura: 
 
 
3 3
BC AB
9 3
aço AC
3 3
colar Colar
3 3
C AB BC C
2
2 3 2
AC
Dados :
L 500 mm 500 10 m L 200mm 200 10 m
E 200 GPa 200 10 Pa d 15 mm 15 10 m
r 35 mm 35 10 m d 70 10 m
P 80 kN 80 10 N P 0 P P 80 kN 80 10 N
Deslocamentos :
A d 0,785 15 10 m A 1
4
 

 

     
     
     
       

      4 2
3 3 3
3BC BC
BC BC9 4 6
3
AB AB
AB AB9 4
,766 10 m
Assim :
P L 80 10 500 10 40 10
m m 1,1325 10 m 1,1325 mm
E A 200 10 1,766 10 35,32 10
e
P L 0 200 10
m 0 0
E A 200 10 1,766 10







    
        
    
  
      
    
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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4.15. O conjunto é composto por três hastes de titânio e uma barra rígida A C. A área da seção transversal de 
cada haste é dada na figura. Se uma força vertical P = 20 kN for aplicada ao anel F, determine o deslocamento 
vertical do ponto F. Eti = 350 GPa. 
 
SOLUÇÃO: 
Roteiro: 
(1) Listar os dados e fazer as devidas conversões 
BA DC AE EC EF
2 3 2 3 2 3
BA DC EF
3 9
ti
Dados :
L 2 m L 2 m L 0,5 m L 0,75 m L 1,5 m
A 60 mm 60 10 m A 45 mm 45 10 m A 75 mm 75 10 m
P 20 kN 20 10 N E 350 GPa 350 10 Pa
  
    
        
     
 
(2) Aplique as equações de equilíbrio para encontrar 
BA DC
F e F
 
 
(3) Calcule os deslocamentos 
 
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 
DC DC BA BA EF
C A EF
DC BA EF
EC
E C A C F E EF
AC
F L F L P L
E A E A E A
Assim :
L
L
  
     
  
            
 
4.31. A coluna é construída de concreto de alta resistência e seis hastes de reforço de aço A -36. Se ela for 
submetida a uma força axial de 150 kN, determine a tensão normal média no concreto e em cada haste. Cada 
uma tem diâmetro de 20 mm. 
 
SOLUÇÃO: 
 
 
3
conc conc aço
9 9
aço conc
22 2 3 2
conc conc conc
2
2 3 2
aço aço aço
Dados :
L 1,2 m r 100mm 0,1 m d 0,2 m d 20 mm 20 10 m
P 150 kN E 200 GPa 200 10 Pa E 29 GPa 29 10 Pa
Assim :
A d A 0,785 0,2 m 31,4 10 m
4
e
A 6 d A 6 0,785 20 10 m 1,88
4



       
      

     

        3 24 10 m
 
 
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3
conc conc aço
9 9
aço conc
3 2 3 2
conc aço
aço
aço conc
Dados :
L 1,2 m r 100mm 0,1 m d 0,2 m d 20 mm 20 10 m
P 150 kN E 200 GPa 200 10 Pa E 29 GPa 29 10 Pa
A 31,4 10 m A 1,884 10 m
Compatibilidade :
P L

 
       
      
   
    conc
aço aço
P L
E A


aço conc
conc conc aço aço conc conco
aço açoconc
9 3 9 3 6
P P
E A E A E A
Substituindo :
P PP
200 10 1,884 10 29 10 31,4 10 376,8 10
 
 
  
 
      
conc
6
P
910,6 10


 aço conc conc aço conc aço
Assim :
P P 910,6
P P P 2,417 P 1
376,8 910,6 376,8
      
 
 
 y aço conc aço conc aço conc
Equações de Equilíbrio :
F 0 : P P P 0 P P 150 0 P P 150 2          
 
   
conc aço
aço conc
aço aço aço
aço aço
conc aço conc conc
1 2 :
P 2,417 P
P P 150
Assim :
P 2,417 P 150 3,417 P 150
Assim :
150P kN 43,90 kN P 43,90 kN
3,417
Mas :
P 2,417 P P 2,417 43,90 kN 106,10 kN P 106,10 kN

 

 
     
   
       
 
 
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aço
3 2
aço
3
aço 6
aço aço3
aço
Tensão Normal Média em uma Haste :
P 43,90 kN
A 1,884 10 m
Assim :
P 43,90 10
Pa 23,30 10 Pa 23,30 MPa
A 1,884 10



 

       

 
3
conc
3 2
conc
3
6conc
conc conc3
conc
Tensão Normal Média no Concreto :
P 106,10 kN 106,10 10 N
A 31,4 10 m
Assim :
P 106,10 10
Pa 3,38 10 Pa 3,38 MPa
A 31,4 10


  
 

       

 
4.33. O tubo de aço A-36 tem núcleo de alumínio 6.061-T6 e está sujeito a uma força de tração de 200 kN. 
Determine a tensão normal média no alumínio e no aço devido a essa carga. O tubo tem diâmetro externo de 80 
mm e diâmetro interno de 70 mm. 
 
SOLUÇÃO: 
 
   
int ext
9 9
aço alum
22 2 3 2
alum int alum
2 2 2 2 2
aço ext int aço
Dados :
L 400 mm 0,4 m d 70mm 0,07 m d 80 mm 0,08 m
P 200 kN E 200 GPa 200 10 Pa E 68,9 GPa 68,9 10 Pa
Assim :
A d A 0,785 0,07 m 3,847 10 m
4
e
A d d A 0,785 0,08 0,07 m 1,1
4

     
      

     

       3 2775 10 m
 
 
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aço
aço alum
Compatibilidade :
P L
    alum
aço aço
P L
E A


aço
9
alum alum
P
E A 200 10

  31,1775 10 
alum
9
P
68,9 10

 33,847 10 
 
aço açoalum alum
alum aço
alum aço
Assim :
P PP P 265,06
P P
200 1,1775 68,9 3,847 235,5 265,06 235,5
Assim :
P 1,1255 P 1
     
 
 
 
 
   
y aço alum aço alum aço alum
alum aço
aço alum
aço alum aço aço aço
aço
Equações de Equilíbrio :
F 0 : P P P 0 P P 200 0 P P 200 2
1 2 :
P 1,1255 P
P P 150
Assim :
P P 200 P 1,1255 P 200 2,1255 P 200
Assim :
200
P kN 94,10 k
2,1255
          

 

 
        
 

aço
alum aço conc alum
N P 94,10 kN
Mas :
P 1,1255 P P 1,1255 94,10 kN 105,9 kN P 105,9 kN
 
       
 
3
aço
3 2
aço
3
aço 6
aço aço3
aço
Tensão Normal Média do Aço :
P 94,10 kN 94,10 10 N
A 1,1775 10 m
Assim :
P 94,10 10
Pa 79,92 10 Pa 79,92 MPa
A 1,1775 10


  
 

       

 
 
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3
alum
3 2
alum
3
6alum
alum alum3
alum
Tensão Normal Média no Alumínio :
P 105,9 kN 105,9 10 N
A 3,847 10 m
Assim :
P 105,9 10
Pa 27,53 10 Pa 27,53 MPa
A 3,847 10


  
 

       

 
EXEMPLO-MODELO 
Para a viga abaixo: 
 
Trace os Diagramas de Momento Fletor e Esforço Cortante. 
Solução: 
Trace os Diagramas de Momento Fletor e Esforço Cortante. 
 Reações de Apoio 
 
Após transformarmos a carga distribuída de 30 kN/m em uma carga concentrada de 120kN, e identificarmos as 
reações nos apoios, aplicamos as equações de equilíbrio para determinar essas reações. Assim, temos: 
 
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x A
A B
B B B
B B
y A B A
A A
F 0 : H 0
M 0 : 15 10,5 7,5V 15 7,5 120 2 0
Assim :
7,5V 157,5 112,5 240 0 7V 510 0 7V 510
Assim :
510
V kN V 68 kN
7,5
F 0 : V 120 15 V 15 0 V 150 68 0
Assim :
V 82 0 V 82 kN
 
        
        
  
         
   



 
 
 Diagrama de Corpo Livre 
 
 Esforços Solicitantes 
 
Seção A 
 
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A A1
y A1 A1
M 0 : M 0
F 0 : 82 V 0 V 82 kN
 
     


 
 
Seção C 
 C C2
C2 C2 C2
y C2 C2 C2
M 0 : M 82 4 120 2 0
Assim :
M 328 240 0 M 88 0 M 88 kN m
F 0 : 82 120 V 0 38 V 0 V 38 kN
     
         
          


 
 
 
 
 
 
Seção B3 
 
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 B B3
B3 B3
y B3 B3 B3
M 0 : M 15 3 0
Assim :
M 45 0 M 45 kN m
F 0 : V 15 68 15 0 V 38 0 V 38 kN
    
      
          


 
Seção B4 
     
      
     


B B4
B4 B4
y B4 B4
M 0 : M 15 3 0
Assim :
M 45 0 M 45 kN m
F 0 : V 15 0 V 15 kN
 
 
 
 
 
Seção D 
 
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 
     


D D5
y D5 D5
M 0 : M 0
F 0 : V 15 0 V 15 kN
 
 
 
 
Resumo 
Seção Esforço Cortante (V) Momento Fletor (M) 
A 
A1
V 82 kN 
 0 
 
B 
B3
V 38 kN 
 
  
B3
M 45 kN m
 
 
B4
V 15 kN
 
  
B4
M 45 kN m
 
C 
C2
V 38 kN 
 
C2
M 88 kN m  
 
D 
 
D5
V 15 kN
 0 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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 Diagramas de Esforços Solicitantes 
DIAGRAMA DE ESFORÇOS CORTANTES (DEC) 
 
Ponto onde o Esforço Cortante é Nulo e o Momento Fletor é Máximo 
 
 
 
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 
Por semelhança de triângulos:
82 x
82 4 x 38x 328 82x 38x
38 4 x
Assim :
328
82x 38x 328 120x 320 x m x 2,73 m
120
      

       
 
E E E
E E
Momento Fletor Máximo:
M 0 : M 30 2,73 1,365 2,73 82 0 M 111,79 223,86 0
Assim :
M 112,07 0 M 112,07 kN m
          
     

 
 
 
DIAGRAMA DE MOMENTO FLETOR 
 
 
QUESTÕES DE PROVAS ANTERIORES 
A viga AB de 5 metros sustenta uma carga de projeto (F = 1600 kN) inclinada em 30° no ponto D e está apoiada 
nos pilares A e B, conforme a figura abaixo: 
 
 
 
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Questão 01: Determine as reações de apoio 
 x y yA , A e B
. 
Questão 02: Determine os esforços internos no ponto C 
 C C CN , V e M
 
Questão 03: O pilar B está sujeito a compressão uniforme 
 yB
. Suponha que o pilar tenha seção quadrada 
 2A L
 e seja construído com concreto de fck 20 
 rup 20 MPa 
. Considere um fator de segurança de40% 
 FS 1,4
 para este caso. Determine o pré-dimensionamento (desprezando a flambagem, 
excentricidade, esbeltes, etc) da seção transversal (L) do referido pilar. 
Questão 04: Se o pilar B tem comprimento inicial 
 0L
 de 4 metros, determine seu comprimento final 
 fL
 
sabendo que a deformação normal média do concreto a compressão é 
0,0005 m / m  
. 
Questão 05: Sabendo que o Coeficiente de Poisson do concreto é 
0,15 
, determine a variação 
 L
 do 
comprimento da seção transversal do pilar B após a sua compressão. 
OBS.: Utilize pelo menos quatro decimais em notação científica e as fórmulas seguintes: 
x y 0
rup
adm
adm
f 0 transversal
0 longitudinal
xy L
Equilíbrio : F 0 F 0 M 0
F
FS
A
L L
L
2 L
  

  

 
    

 
     
  
 
 
9
6
3
2 3 0
1
2
3
6
PREFIXOS
Pr efixo Símbolo Valor
Giga G 10
Mega M 10
Quilo k 10
Padrão m, m , m , L, g 10
Deci d 10
Centi c 10
Mili m 10
Micro 10




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
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Questão 01 
Solução: 
 
 
 
x x
y y
A y y y
x x x
y y
Equações de Equilíbrio :
F F cos 30 0,866F 0,866 1600 kN 1386 kN F 1386 kN
e
F F cos 30 0,5F 0,5 1600 kN 800 kN F 800 kN
Assim :
M 0 : 5B 800 3 0 5B 2400 B 480 kN
Assim :
F 0 : A 1386 0 A 1386 kN
Assim :
F 0 : A 800
       
       
       
    
  


y y y y
B 0 A 800 480 0 A 320 0 A 320 kN         
 
Questão 02 
Solução: 
 
 
 
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 
C C C c
x C C
y y C C C
Equações de Equilíbrio :
Temos que :
M 0 : M 320 2 0 M 640 0 M 640 kN M
Assim :
F 0 : N 1386 0 N 1386 kN compressão
Assim :
F 0 : A V 0 320 V 0 V 320 kN
         
     
        



 
Questão 03: 
6
N y rup
rup rup
adm
adm
6
rup 6
adm adm
Dimensionamento :
Temos que :
F B 480 kN 20 MPa 20 10 Pa
FS 1,4 L ?
Assim :
FS
FS
Substituindo :
20 10
Pa 14,29 10 Pa 14,29 MPa
FS 1,4
     
 
 
   

 
       
 
 
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6
adm
3
N
2N
adm
N N
adm 2
adm
3
3N
6
adm
14,29 MPa 14,29 10 Pa
F 480kN 480 10 N
Assim :
F
, mas A L
A
Assim :
F F
L
L
Substituindo :
F 480 10
L 33,59 10 m L 0,183 m L 183 mm
14,29 10

   
  
  
   


       
 
 
 
Questão 04: 
 
f 0
f 0
f 0 0
0
f 0 0 f f
L ? L 4 m 0,0005 m / m
Assim :
L L
L L L
L
Substituindo :
L L L L 4 0,0005 4 m 4 0,002 m 3,998 m L 3,998 m
    

      
             
 
Questão 05: 
 
 
 
f 0
5
x y z x
5 3 5
x x x x x
L ? L 4 m 0,0005 m / m
Assim :
0,15 0,0005 m / m 7,5 10 m / m
Assim :
L 7,5 10 183 10 m 1,373 10 m 13,73 m

  
    
            
                  
 
 
 
 
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RESISTÊNCIA DE MATERIAIS (REMA) – MODELO DE PROVA N1 
A viga AB de 5 metros sustenta uma carga de projeto uniformemente distribuída em toda a viga 
 150 kN/m
 
e está apoiada nos pilares A e B, conforme a figura abaixo: 
 
Questão 01: Determine as reações de apoio 
 x y yA , A e B
. 
Questão 02: Determine os esforços internos no ponto C 
 C C CN , V e M
 
Questão 03: O pilar B está sujeito a compressão uniforme 
 yB
. Suponha que o pilar tenha seção quadrada 
 2A L
 e seja construído com concreto de fck 25 
 rup 25 MPa 
. Considere um fator de segurança de 
40% 
 FS 1,4
 para este caso. Determine o pré-dimensionamento (desprezando a flambagem, 
excentricidade, esbeltes, etc) da seção transversal (L) do referido pilar. 
Questão 04: Se o pilar B tem comprimento inicial 
 0L
 de 3,5 metros, determine seu comprimento final 
 fL
 
sabendo que a deformação normal média do concreto a compressão é 
0,00016 m / m  
. 
Questão 05: Se o pilar B de seção transversal quadrada tem dimensão de 14,5 cm e sabe-se que o Coeficiente 
de Poisson do concreto é 
0,17 
, determine a variação 
 L
 do comprimento da seção transversal do pilar B 
após a sua compressão. 
Questão 06: O pilar de concreto 
 cE 20 GPa
tem seção transversal quadrada com dimensão de 14,5 cm e 
está reforçado com quatro barras de aço 
 cE 200 GPa
. Determine o diâmetro das barras para o concreto 
suportar 85% da carga de compressão e o aço suportar o restante. 
OBS.: Utilize pelo menos quatro decimais em notação científica 
 
 
 
 
 
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Solução: 
Questão 01: 
 
1 1
2 2
A y 2 1 y
y y y
x x x
y y 1 2 y
Equações de Equilíbrio :
R 150 2 kN 300 kN x 1,0 m
e
R 150 3 kN 450 kN x 1,0 m
Assim :
M 0 : 5B 3,5R 1,0R 0 5B 3,5 450 1,0 300 0
Assim :
5B 1575 300 0 5B 1875 B 375 kN
Assim :
F 0 : A 0 A 0
Assim :
F 0 : A R R B
   
   
         
      
   
   


y
y y
0 A 300 450 375 0
Assim :
A 375 0 A 375 kN
     
   

 
 
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A coluna é de concreto de alta resistência e reforçada com quatro hastes de aço A-36. Se for submetida a uma 
força axial de 800 kN, determine o diâmetro exigido para cada haste de modo que 1/4 da carga seja suportada 
pelo aço e 3/4, pelo concreto. E aço = 200 GPa e Ec = 25 GPa. 
 
SOLUÇÃO: 
 
conc conc
aço aço
2 2
aço aço aço aço conc aço
22 2 2
conc conc aço conc aço
aço
Dados :
3
P 800 kN P P 0,75 800 kN 600 kN P 600 kN
4
1
P P 0,25 800 kN 200 kN P 200 kN
4
A 4 d A 3,14d L L
4
L 300mm 0,3 m A L A 0,3 m A 0,09 3,14d m
E 200 GPa 2
       
      

    
        
  9 9
conc
aço conc
aço aço conc conc
aço aço conc conc
00 10 Pa E 25 GPa 25 10 Pa
Compatibilidade :
Assim :
P L P L
E A E A
   
  
 

 
 
 
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aço conc
aço aço
Como L L
P L


conc conc
aço aço
P L
E A



aço conc
conc conc aço aço conc conc
P P
E A E A E A
Substituindo :
200
 
  
200
9200 10

 2
aço
600
3,14d


200
925 10

  
 
2 2
aço aço
2 2
aço aço2 2
açoaço
2 2 2 2 2
aço aço aço aço aço
2
aço
1 3
200 3,14d 25 0,09 3,14d0,09
Assim :
1 3
3 628d 1 2,25 78,5d
628d 2,25 78,5d
Assim :
1884d 2,25 78,5d 1884d 78,5d 2,25 1962,5d 2,25
Assim :
2,25
d m 0,0338
1962,5
 
  
     

      
 
aço
6 m 33,86 mm d 33,86 mm  