Aula_Cap9_Relações_esforço_tensão_Solo

Prévia do material em texto

F´ısica do Solo
Cap.9 - Relac¸o˜es de esforc¸o e tensa˜o no solo
Prof. H.J.Kliemann
Curso de Agronomia - Campus Palotina
Universidade Federal do Parana´ - UFPR
Palotina, PR, janeiro de 2013
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 1 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Relac¸o˜es de esforc¸o e tensa˜o e resisteˆncia do solo - Introduc¸a˜o
⇒ Os conceitos fundamentais de reologia e dinaˆmica do solo, e a cieˆncia aplicada da mecaˆnica
do solo referem-se ao comportamento dos solos sob o efeito de forc¸as aplicadas.
⇒ Engenharia civil - Problemas relacionados a` estabilidade e resisteˆncia de encostas e fundac¸o˜es.
⇒ Agricultura/pecua´ria -Recentemente esses mesmos conceitos, com algumas adaptac¸o˜es
vendo usados na mecaˆnica de solos agr´ıcolas, no cultivo e na trac¸a˜o, principalmente (Koolen &
Kuipers, 1983) [2].
⇒Para lidar com a deformac¸a˜o e a resisteˆncia do solo, precisamos primeiro revisar os princ´ıpios
de uma disciplina cient´ıfica conhecida como reologiaa. Todavia, ela trata de todos os tipos de
deformac¸o˜es, das quais o fluxo e´ apenas um. Em sentido extensivo, ela pode ser descrita como a
mecaˆnica dos corpos deforma´veis.
⇒ A reologia, enta˜o, e´ usada para estabelecer as propriedades ba´sicas de um l´ıquido, de um
so´lido pla´stico e de um so´lido ela´stico para descrever as diferentes relac¸o˜es que eles mostram
entre as varia´veis forc¸a, deformac¸a˜o e tempo sobre as propriedades de l´ıquidos e so´lidos
(ela´sticos e pla´sticos). Os corpos ela´sticos, ao contra´rio dos pla´sticos, reassumem seus formatos
originais apo´s cessarem as forc¸as que causaram a deformac¸a˜o inicial.
⇒ Teoria das tenso˜es
- O comportamento mecaˆnico do solo pode ser descrito por seu estado de tensa˜o. Tenso˜es aplicadas na superf´ıcie do solo geram
tenso˜es no seu interior, resultando em deformac¸o˜es tridimensionais ou ser transmitidas como um corpo r´ıgido.
- Para se definir o estado de tensa˜o de um corpo de solo devem-se levar em conta as treˆs fases (so´lida, l´ıquida e gasosa). Em
solos saturados, a tensa˜o efetiva (σ′, kPa) e´ a diferenc¸a entre a tensa˜o total (σ, kPa) e a tensa˜o neutra (uw , kPa). A tensa˜o
efetiva (σ′) e´ transmitida pela fase so´lida e a tensa˜o neutra (uw , kPa) pela fase l´ıquida:
σ
′ = σ ± uw (1)
a
τα piαητα ρ�ιν (ta panta rhein, do grego) = todas as coisas fluem
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 2 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Relac¸o˜es de esforc¸o e tensa˜o e resisteˆncia do solo - Introduc¸a˜o
Figura ETS901. Componentes da tensa˜o do solo (apud Koolen & Kuipers, 1983).
Em solos na˜o saturados, as tenso˜es sa˜o transmitidas pelas treˆs fases: so´lida, l´ıquida e gasosa. A equac¸a˜o 1 toma a seguinte
forma:
σ
′ = (σ ± uw ) + χ (ua − uw ) (2)
em que: Ua e´ a pressa˜o de ar nos poros (kPa); uw , a tensa˜o da a´gua nos poros (kPa); χ, fator dependente da saturac¸a˜o efetiva
(na succ¸a˜o de a´gua (ψ)a 0 kPa. Se ψ=10 kPa, χ=0).
Para solos arenosos, pouco compress´ıveis e na˜o agregados, χ pode ser calculado pela equac¸a˜o:
χ = 0,22 + 78Θ5 (3)
em que: Θ e´ a saturac¸a˜o efetiva (m3 m−3).
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 3 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Relac¸o˜es de esforc¸o e tensa˜o e resisteˆncia do solo - Introduc¸a˜o
⇒ Em solos argilosos e siltosos as equac¸o˜es (1) e (2) dependem da agregac¸a˜o do solo, do
arranjo e resisteˆncia dos poros e das propriedades hidra´ulicas. Em solos estruturados as func¸o˜es
dos componentes somente sera˜o va´lidas se a resisteˆncia interna dos agregados dos solos na˜o for
excedida pela aplicac¸a˜o externa de tenso˜es. As func¸o˜es mudam, se os agregados forem
destru´ıdos durante a deformac¸a˜o.
⇒ Para descrever a tensa˜o em um dado ponto A (Figura ETS901) usa-se um sistema de
coordenadas xyz. Considere-se um cubo no ponto A, com lados paralelos aos planos das
coordenadas. A linha pontilhada representa os limites do corpo de solo que sofreu pressa˜o. A
pressa˜o na face direita do cubo e´ resolvida como o componente perpendicular, chamado de
”tensa˜o normal” σy - usa-se y porque a tensa˜o normal e´ paralela ao eixo y e os dois
componentes tangenciais, as ”tenso˜es cisalhantes” (τyz e τyx : o primeiro subscrito representa a
tensa˜o paralela ao eixo x ou y , e o segundo subscrito representa a coordenada paralela ao eixo
da tensa˜o cisalhante considerada), paralela a`s coordenadas axiais (Figura ETS901).
⇒ Nas Figuras ETS901(c) e (d) descrevem-se as condic¸o˜es para os planos superior e frontal,
respectivamente.
⇒ Os nove componentes da Figura ETS902(b), (c) e (d) sa˜o combinados em uma matriz: σx τxy τxzτyx σy τyz
τzx τzy σz

Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 4 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Relac¸o˜es de esforc¸o e tensa˜o e resisteˆncia do solo - Introduc¸a˜o
⇒ A matriz e´ uma descric¸a˜o completa das tenso˜es no ponto A, em que cada componente tem
sua posic¸a˜o na matriz. As tenso˜es normais esta˜o na diagonal, do topo, a` esquerda para baixo; e
as tenso˜es de cisalhamento esta˜o nas outras posic¸o˜es.
⇒ A matriz apresenta va´rias propriedades, destacando-se que os componentes das tenso˜es de
um sistema de coordenadas conhecido correspondem a`s tenso˜es no ponto considerado,
significando que tenso˜es em qualquer direc¸a˜o podem ser calculadas (Figura ETS902).
Figura ETS902. Determinac¸a˜o da tensa˜o em um plano ` arbitra´rio, quando a maior e a menor
tensa˜o sa˜o conhecidas (apud Koolen & Kuipers, 1983).
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 5 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Relac¸o˜es de esforc¸o e tensa˜o e resisteˆncia do solo - Introduc¸a˜o
⇒ Na Figura ETS902(a) a tensa˜o principal esta´ no ponto A e a segunda e´ perpendicular ao
plano do desenho. A tensa˜o no plano `, no aˆngulo θ com a horizontal pode ser calculada. A
tensa˜o no plano ` sera´ igual a` pressa˜o no plano pq paralelo a `,pois um pequeno deslocamento
paralelo na˜o altera a tensa˜o. Assim, σ e τ tem de ser calculados e, portanto, deve-se considerar
o equil´ıbrio das forc¸as no corpo pqr .
⇒ Considerando que esse corpo tenha largura igual na direc¸a˜o perpendicular ao desenho, o
comprimento pq e´ denominado L, que tambe´m representa o lado inclinado do corpo pqr . Os
outros lados possuem a´rea rq=L sin θ e pr=L cos θ.
⇒ Os produtos das a´reas versus as correspondentes tenso˜es dos componentes de forc¸a gera os
componentes de forc¸a. Equacionando cada soma dos componentes de forc¸a horizontal e vertical
e igualando-os a zero, obteˆm-se as equac¸o˜es que descrevem o equil´ıbrio:
Lσ sin θ − Lτ cos θ − Lσ3 sin θ = 0
Lσ cos θ − Lτ sin θ − Lσ3 cos θ = 0
Resolvendo as eqac¸o˜es para obter σ e τ :
σ = σ1 cos
2 θ + σ3 sin
2 θ (4)
τ = (σ1 − σ3) sin θ cos θ (5)
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 6 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Teoria da deformac¸a˜o
⇒ Um me´todo para representar as tenso˜es em qualquer plano e´ conhecido por c´ırculo de Mohr
(Figura ETS902), representado por σ e τ para determinado σ1 e σ3, com direc¸a˜o θ varia´vel. As
varia´veis envolvidas sa˜o apresentadas a` esquerda na Figura ETS902(b)e a soluc¸a˜o, a` direita.
⇒ Para obter σ e τ para qualquer θ, se σ1 e σ3 sa˜o conhecidos, deve-se desenhar um sistema de
coordenadas σ e τ retangular; representar σ1 e σ3 no eixo-σ, desenhar um c´ırculo atrave´s de σ3
no eixo-σ com centro no eixo-σ; desenhar uma linha ab a partir de σ3, em aˆngulo θ na
horizontal; a linha cruza o c´ırculo em b; determinar as coordenadas no ponto b; essas
coordenadas representam σ e τ , respectivamente. O c´ırculo da Figura ETS902(b) representa o
local das duas equac¸o˜es anteriores.
⇒ A deformac¸a˜o normal pode ser observada na Figura ETS902(a): um segmento linear
inifitamente pequeno, possui um comprimento ` (m), antes da deformac¸a˜o; apo´sa deformac¸a˜o
da linha normal sera´ ∆`
`
e o comprimento, `+∆`.
⇒ A deformac¸a˜o por cisalhamento e´ definida na base do aˆngulo antes da deformac¸a˜o, com
lados infinitamente pequenos. Se o lado vertical for girado no sentido hora´rio, acima do pequeno
aˆngulo α e o lado horizontal rotacionado no sentido anti-hora´rio, acima do pequeno aˆngulo β, a
deformac¸a˜o por cisalhamento sera´ 1
2
(α+ β).
⇒ A deformac¸a˜o em um ponto pode ser descrita como: na linha pontilhada da mesma figura
tem-se um corpo de solo com um ponto A sem ter sofrido pressa˜o. Usando um sistema de
coordenadas xyz e um corpo de solo com forma cu´bica, infinitamente pequeno e lados paralelos
aos eixos das treˆs coordenadas, se for aplicada uma pressa˜o e o solo se deforma, o cubo tambe´m
sera´ deformado e, de modo geral, tomara´ a forma de um paralelep´ıpedo, pois a deformac¸a˜o sera´
ta˜o pequena que os lados praticamente permanecem paralelos. Os lados mudara˜o em:
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 7 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Teoria da deformac¸a˜o
1 Comprimento: - Deformac¸a˜o normal na direc¸a˜o x , denominada de �x ; - Deformac¸a˜o
normal na direc¸a˜o y , denominada de �y ; - Deformac¸a˜o normal na direc¸a˜o z, denominada
de �z .
2 Aˆngulos: - Deformac¸o˜es por cisalhamento entre as direc¸o˜es x e y : �xy ; - Deformac¸o˜es por
cisalhamento entre as direc¸o˜es x e z: �xz ; - Deformac¸o˜es por cisalhamento entre as
direc¸o˜es y e z: �xz .
Figura ETS903. Definic¸a˜o dos componentes de cisalhamento (a) e o tensor de cisalhamento (b)
(apud Koolen & Kuipers, 1983).
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 8 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Teoria da deformac¸a˜o
⇒ Essas seis situac¸o˜es geram uma matriz sime´trica (tensor de deformac¸a˜o) que juntamente com o sistema de coordenadas,
descreve a deformac¸a˜o de um ponto. As propriedades da matriz sa˜o, em geral, as mesmas do tensor da tensa˜o. As deformac¸o˜es
normais sa˜o referidas como deformac¸o˜es principais �1, �2 e �3 e a direc¸a˜o das coordenadas como direc¸o˜es principais. No caso, a
matriz sera´:  �1 0 00 �2 0
0 0 �3

⇒ Tambe´m existe uma posic¸a˜o na qual a deformac¸a˜o de cisalhamento tem um valor ma´ximo 1
2
(�1 − �3), ou γmax = �1 − �3.
A primeira invaria´vel da deformac¸a˜o de tensor e´:
J1 = �x + �y + �z = �1 + �2 + �3 (6)
em que: J1 e´ uma frac¸a˜o do volume alterado do cubo de solo.
A deformac¸a˜o normal octaedral e a formac¸a˜o de cisalhamento octaedral sa˜o, respectivamente:
�oct =
�1+�2+�3
3
γoct =
2
3
√
(�1 − �2)2 + (�2 − �3)2 + (�1 − �3)2
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 9 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Teoria da deformac¸a˜o
As matrizes do tensor da deformac¸a˜o podem ser adicionadas ou decompostasUma maneira
comum de decomposic¸a˜o usa �m=
1
3
(�x + �y + �z ), resultando em: �x �xy �xz�xy �y �yz
�zx �zy �y
 =
 �m 0 00 �m 0
0 0 �m
+
 �x −�m �xy �xz�yx �y −�m �yz
�zx �zy �z −�m

⇒ A segunda matriz mostra a mudanc¸a de volume e a terceira matriz a deformac¸a˜o sem
alterac¸a˜o do volume do cubo. A deformac¸a˜o tambe´m pode ser representada graficamente pelo
c´ırculo de Mohr. Os pressupostos para cubos infinitamente pequenos tambe´m podem ser
extendidos para corpos de solo finitos, se a deformac¸a˜o e´ a mesma ao longo do solo.
Assumindo-se o solo como um meio cont´ınuo (continuum), seu movimento pode ser descrito
como um campo de translocac¸a˜o ~d(~x ,t), cujas propriedades locais sa˜o geralmente carcterizadas
pelos seus treˆs componentes de sua derivac¸a˜o espacial:
∇× ~d =

∂
∂x
dx
∂
∂x
dy
∂
∂x
dz
∂
∂y
dx
∂
∂y
dy
∂
∂y
dz
∂
∂z
dx
∂
∂z
dy
∂
∂z
dz

Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 10 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Teoria da deformac¸a˜o
Embora seja interessante estudar os processos de compactac¸a˜o/descompactac¸a˜o e cisalhamento
como efeitos diferenciados, todas as deformac¸o˜es que ocorrem nos solos sa˜o efeitos combinados.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 11 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Conceitos ba´sicos de esforc¸o e tensa˜o
⇒ A reac¸a˜o de um corpo a uma forc¸a ou a uma combinac¸a˜o de forc¸as pode ser caracterizada
em termos de sua deformac¸a˜o relativa, isto e´, a raza˜o de sua deformac¸a˜o para as suas dimenso˜es
iniciais. Consideremos, por exemplo, um paralelep´ıpedo retangular de metal ou de borracha
submetido a uma forc¸a Fa direcionada ao longo de seu eixo principal (Figura ETS904(a)).
Figura ETS904. Deformac¸a˜o longitudinal de um corpo alongado que foi submetido a uma carga
axial (a); deformac¸a˜o angular por cisalhamento simples de um cubo (b) [apud Hillel (1980)].
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 12 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Conceitos ba´sicos de esforc¸o e tensa˜o
⇒ Se o comprimento inicial e´ lo e a mudanc¸a ∆l no comprimento, enta˜o a deformac¸a˜o axial
relativa e´
� =
∆l
l0
(7)
em que: � e´ chamado de esforc¸o longitudinal. A mesma expressa˜o aplica-se se o corpo e´
comprimido ou distendido, mas e´ evidente que as duas direc¸o˜es do esforc¸o tem sinais opostos.
Uma outra forma de deformac¸a˜o e´ quando os aˆngulos, ao inve´s de as dimenso˜es, do corpo
mudam. O caso mais simples, chamado simplesmente de cisalhamento, e´ ilustrado na Figura
??(b). A medida da tensa˜o de cisalhamento (tambe´m chamada de esforc¸o tangencial) e´ a
mudanc¸a relativa do aˆngulo inicialmente reto:
� =
h
h
(8)
em que: u e´ o deslocamento lateral (ou tangencial) e h, a altura do corpo. A raza˜o u/h e´ a
tangente da deformac¸a˜o do aˆngulo. As dimenso˜es de l , ∆l , u e h sa˜o de comprimento.
Consequentemente, o esforc¸o, sendo uma raza˜o de comprimentos, e´ adimensional e e´ muitas
vezes expressa como uma frac¸a˜o ou percentagem da dimensa˜o original. Ale´m disso, sendo o
esforc¸o uma raza˜o de comprimentos, e´ adimensional e e´ muitas vezes expresso como uma frac¸a˜o
ou percentagem da dimensa˜o original.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 13 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Conceitos ba´sicos de esforc¸o e tensa˜o
Figura ETS905. Deformac¸a˜o de uma viga sujeita a` deformac¸a˜o.
⇒ Consideremos agora que tipos poss´ıveis de deformac¸a˜o podem ocorrer dentro de um
elemento cu´bico de um material submetido a va´rias forc¸as. Um cubo pode elongar-se ou
contrair-se em treˆs direc¸o˜es principais, correspondendo a treˆs coordenadas ortogonais e tambe´m
pode mostrar treˆs poss´ıveis direc¸o˜es de cisalhamento, afetando os aˆngulos de treˆs pares de
planos paralelos. A deformac¸a˜o tem por isso seis componentes.
⇒ Embora alguns desses componentes possam ser desprez´ıveis em alguns casos especiais, em
geral a deformac¸a˜o pode envolver um composto de esforc¸os de compressa˜o, tensa˜o e
cisalhamento. Por exemplo, se uma viga e´ sustentada em ambas extremidades e submetidas a
torque em direc¸o˜es opostas (Figura ETS905), enta˜o a viga se dobra de forma que o material no
lado coˆncavo e´ comprimido e no lado convexo e´ distendido e os aˆngulos de qualquer unidade de
volume sa˜o deformados.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 14 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Conceitos ba´sicos de esforc¸o e tensa˜o
⇒ Os corpos submetidos a forc¸as aplicadas externamente tendem a resistir a` deformac¸a˜o pela
mobilizac¸a˜o de forc¸as reativas internas. Embora essas forc¸as internas geralmente na˜o possam ser
medidas diretamente, elas podem ser avaliadas definindo a distribuic¸a˜o interna das forc¸as
aplicadas externamente sob condic¸o˜es de equil´ıbrio. ⇒ O equil´ıbrio pode ser assumido quando
um corpo esta´ em repouso ou em movimento linear uniforme,de forma que na˜o existam forc¸as
na˜o compensadas para causar acelerac¸a˜o, rotac¸a˜o ou posterior deformac¸a˜o. O equil´ıbrio assim
implica em que o vetor soma de todas as forc¸as F e de todos os momentos M (com respeito ao
centro de massa) seja iguais a zero:∑
F = 0 e
∑
M = 0 (9)
⇒ A experieˆncia mostra que o efeito de uma forc¸a causadora de deformac¸a˜o e´ relacionada
diretamente a` grandeza da forc¸a e inversamente a` a´rea sobre a qual ela atua. A raza˜o da forc¸a
para a´rea, isto e´, a forc¸a por unidade de a´rea, e´ chamada de tensa˜o. Uma tensa˜o normal e´
causada por uma forc¸a cuja direc¸a˜o e´ perpendicular a` a´rea sobre a qual ela atua. Uma tal
tensa˜o, equivalente a uma pressa˜o, e´ comumente designada por σ. Assim,
σ =
Fa
A
(10)
em que: Fa e´ a forc¸a normal atuando normal a` a´rea de superf´ıcie A.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 15 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Conceitos ba´sicos de esforc¸o e tensa˜o
⇒ Quando a direc¸a˜o de uma forc¸a e´ na˜o perpendicular a` a´rea de superf´ıcie, ela causa a tensa˜o
tangencial, tambe´m chamada de tensa˜o de cisalhamento, e comumente designada por:
τ =
Ft
A
(11)
em que: Ft e´ a forc¸a tangencial atuando na a´rea A.
Um outro importante fator na reologia e´ a taxa de tempo de aplicac¸a˜o da tensa˜o e a
dependeˆncia temporal do esforc¸o. Assim,
�˙ =
d�
dt
=
1
l
d∆l
dt
(12)
em que: �˙ e´ a taxa de tempo de elongac¸a˜o (ou, quando negativa, taxa de compressa˜o), e
γ˙ =
dγ
dt
=
1
l
du
dt
=
ν
h
(13)
em que: ν e´ a velocidade du
dt
e γ˙, o gradiente de velocidade na direc¸a˜o perpendicular a`quela do
deslocamento do cisalhamento.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 16 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Conceitos ba´sicos de esforc¸o e tensa˜o
⇒ As relac¸o˜es tensa˜o × esforc¸o × tempo determinam o seu cara´ter reolo´gico, isto e´, seja ele
um so´lido ela´stico, um so´lido pla´stico, um l´ıquido Newtoniano ou na˜o Newtoniano, ou qualquer
outro dos va´rios tipos de materiais caracterizados pelos reologistas.
⇒ De modo geral as tenso˜es e deformac¸o˜es nos solos sa˜o dependentes do tempo e da natureza
do solo. Em solos resistentes a deformac¸a˜o pode ser desprez´ıvel; ao contra´rio, com pouca
resisteˆncia, grandes deformac¸o˜es ira˜o ocorrer. Os processos sa˜o descritos por um cubo e a
matriz usada no processo tem a seguinte forma (Koolen & Kuipers, 1983)[2]: σx (t) τxy (t) τxz (t)τxy (t) σy (t) τyz (t)
τzx τzy σz (t)
 = f
 �x (t) �xy (t) �xz (t)�yx (t) �y (t) �yz (t)
�zx (t) �zy (t) �z (t)

⇒ A relac¸a˜o entre tensa˜o e deformac¸a˜o e´ espec´ıfica para cada tipo de solo. As duas matrizes
acima devem ser aplicadas apenas em pequenas deformac¸o˜es. Para defromac¸o˜es maiores, a
posic¸a˜o da face dos paralelep´ıpedos sera´ diferentes da posic¸a˜o das faces usadas para descrever as
tenso˜es. A func¸a˜o f e´ espec´ıfica para cada solo e por isto e´ determinada experimentalmente
submetendo solo - na forma de cubo, cilindro ou esfera - a uma tensa˜o uniforme, medindo a
tensa˜o ou deformac¸a˜o resultante.
⇒ Quando o solo se comporta como um material linearmente ela´stico, podem-se aplicar as
func¸o˜es:
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 17 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Conceitos ba´sicos de esforc¸o e tensa˜o
�y =
σy − ν (σx + σz )
E
(14)
�z =
σz − ν
(
σx + σy
)
E
(15)
�xy =
(1 + ν)
E
τxy (16)
�yz =
(1 + ν)
E
τyz (17)
�xz =
(1 + ν)
E
τxz (18)
ou a matriz:  σx τxy τxzτxy σy τyz
τzx τzy σz
 = E
1 + ν
 �x −�m �xy �xz�yx �y −�m �yz
�zx �zy �z −�m
 . . .
. . . +
E
3(1− 2ν)
 �m 0 00 �m 0
0 0 �m

em que: E e´ o mo´dulo de elasticidade; ν, a relac¸a˜o de Poisson. Essas constantes descrevem o comportamento mecaˆnico de
materiais linearmente ela´sticos.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 18 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Conceitos ba´sicos de esforc¸o e tensa˜o
⇒ Para avaliar a natureza da tensa˜o que induz os movimentos das part´ıculas do solo foi desenvolvido um sistema transdutor de
deslocamento (DTS). Se quatro ou mais DTS’ forem instalados em va´rias posic¸o˜es e distaˆncias da roda compressora, as
deformac¸o˜es volume´tricas e respectivas direc¸o˜es podem ser quantificadas.
�y =
σy − ν (σx + σz )
E
(19)
�z =
σz − ν
(
σx + σy
)
E
(20)
�xy =
(1 + ν)
E
τxy (21)
�yz =
(1 + ν)
E
τyz (22)
�xz =
(1 + ν)
E
τxz (23)
O sistema de avaliac¸a˜o da tensa˜o/deformac¸a˜o do solo sob efeito de rodados consiste na combinac¸a˜o de sensores SST/DTS (Soil
stress transducer /displacement transducer system=transdutor de tensa˜o do solo/sistema transdutor de deslocamento),
conectado a um dispositivo mo´vel de leitura, de modo que os movimentos nas direc¸o˜es x a z sa˜o determinados (Figura
ETS906)(b). Os sensores de tensa˜o sa˜o em nu´mero de cinco, instalados em dutos horizontais no solo, na linha de tra´fego da
roda compressora em va´rias profunidades (Figura ??)(a).
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 19 / 46
Esforc¸o, tensa˜o resisteˆncia do solo
Avaliac¸a˜o da tensa˜o/deformac¸a˜o dos solos
Figura ETS 906. Esboc¸o do sistema de avaliac¸a˜o da tensa˜o/deformac¸a˜o pelo SST/DTS; [Soil
stress transducer (b)/displacement transducer system (a)=transdutor de tensa˜o do solo/sistema
transdutor de deslocamento].
Fonte: Horn et al.(2004)[3]. doi:10.1016/j.stil.2004.07.009
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 20 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Avaliac¸a˜o da tensa˜o/deformac¸a˜o dos solos
⇒ Um exemplo de utilizac¸a˜o do sistema de avaliac¸a˜o da tensa˜o/deformac¸a˜o do solo pelo SST/DTS foi publicado por Horn et
al. (2004).
⇒ Para avaliar a tensa˜o causada por um ve´ıculo de colheita florestal (Forwarder HSM 904), os sensores foram instalados na
profundidade de 0,20 m, abaixo dos pneus frontais. O ve´ıculo chegou apo´s 160 segundos, causando um tensa˜o ma´xima σ1 de
aproximadamente 200 kPa (Figura ETS907). Durante os pro´ximos 1000 segundos quatro picos foram coletados nos sensores; as
diferentes operac¸o˜es, aos 560 s (primeiro pico); aos 720 s (segundo pico); e aos 1000 s (terceiro pico) causaram tenso˜es de ate´
230 kPa. O ve´ıculo comec¸ou o deslocamento aos 1200 s, ocasia˜o em que se verificou o maior impacto durante as leituras,
chegando a` tensa˜o ma´xima σ1 de cerca de 300 kPa.
Figura ETS607. Tenso˜es causadas na profundidade de 0,20 m por um ve´ıculo de colheita
florestal (Forwarder HSM 904) com pressa˜o de inflagem no pneu de 250 kPa e massa vazia de
8710 kg .
Fonte: Horn et al.(2004)[3]. doi:10.1016/j.stil.2004.07.009Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 21 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Elasticidade e plasticidade dos solos
Ha´ treˆs se´culos anos passados, Robert Hooke(1635-1703) formulou a lei da elasticidade para os materiais, descrevendo a
variac¸a˜o linear da tensa˜o com extensa˜o de uma mola, demonstrando suas propriedades ela´sticas. O cientista descobriu que, se
diferentes pesos forem suspensos em molas (Figura ETS908), estas se distendiam na proporc¸a˜o da carga aplicada. Baseado
nessa descoberta, foi formulada uma lei muitos anos mais tarde para descrever corpos ela´sticos, chamada de lei de Hooke. De
acordo com essa lei o esforc¸o e´ proporcional a` tensa˜o, implicando, ale´m do mais, em que o esforc¸o ocorre instantaneamente,
quando uma tensa˜o e´ aplicada e que desaparece imediata e completamente quando a tensa˜o e´ aliviada (Figura ETS908). A
expressa˜o matema´tica dessa lei e´
Figura ETS908. Ilustrac¸a˜o de lei de Hooke. Mola sem carga (a).x0 corresponde ao comprimento natural; mola com carga (b),
com peso P = mg , em que ha´ deformac¸a˜oda mola num valor ∆x = x − x0
� =
σ
E
(24)
em que: E e´ uma constante conhecida como mo´dulo de Young. Para materiais mais ela´sticos (metais, madeira, concreto, vidro),
esse mo´dulo e´ da ordem de 105 ou 106 bars.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 22 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Elasticidade e plasticidade dos solos
Figura ETS909. Relac¸a˜o tensa˜o-esforc¸o: a) para um comportamento idealmente ela´stico; b) idealizada para um material
inicialmente ela´stico que se torna pla´stico quando submetido a` tensa˜o ale´m de sua resisteˆncia a` fadiga (equivale ao ponto de
fadiga em σ0).
⇒ Na lei de Hooke a constante de proporcionalidade entre a tensa˜o e a deformac¸a˜o e´ o mo´dulo de elasticidade, tambe´m
conhecido como mo´dulo de Young. Assim, a lei de Hooke estabelece uma relac¸a˜o linear entre a tensa˜o e a deformac¸a˜o,
linearidade que na˜o se mante´m a` medida em que a deformac¸a˜o atinge altos valores. Em um diagrama tensa˜o-deformac¸a˜o t´ıpico,
a lei de Hooke so´ e´ va´lida na regia˜o ela´stica de tensa˜o, na qual o carregamento e´ revers´ıvel. Acima do limite ela´stico, o material
comec¸a a comportar-se irreversivelmente na regia˜o denominada de deformac¸a˜o pla´stica, em que a lei de Hooke na˜o mais se
aplica (Figura ETS909).
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 23 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Elasticidade e plasticidade dos solos
⇒ No regime ela´stico ha´ uma dependeˆncia linear entre a forc¸a F e a deformac¸a˜o ∆x , como e´ descrito pela lei de Hooke:
F = −k∆x (25)
em que: k e´ a constante de proporcionalidade ou constante da mola. O sinal negativo na equac¸a˜o deve-se ao fato de a forc¸a F
ter sentido contra´rio a ∆x . Ale´m disso, a constante k denota a maior ou menor rigidez da mola.
Nas Figuras ETS908 (a) e (b). Em (a) temos uma mola, suspensa verticalmente, na˜o distendida, e em (b) a mesma mola
sujeita a` ac¸a˜o de uma forc¸a que distende a mola ate´ o comprimento x = x0 + ∆x , devido ao peso P de um corpo com massa
m. No equil´ıbrio ha´ duas forc¸as de mo´dulos iguais, mas de sentidos contra´rios P e F , agindo sobre o corpo. O peso P = mg e´ a
forc¸a distensora da mola (em que g e´ a acelerac¸a˜o da gravidade); a outra, e´ a forc¸a restauradora da mola, de modo que
F = −P. Da´ı, temos a lei de Hooke:
P = −k∆x = −P, (26)
donde:
P = k∆x (27)
⇒ A tensa˜o uniaxial e a compressa˜o resultam na˜o somente em mudanc¸as no comprimento l de um corpo, mas tambe´m
compreende as correspondentes mudanc¸as em sua largura ou dimensa˜o lateral d . A raza˜o da elongac¸a˜o ao longo de um eixo e´
chamada de raza˜o de Poisson, que geralmente e´ indicada por:
ν =
∆d
d0
∆l
l0
= −
∆d
∆l
d0
l0
(28)
A raza˜o de Poisson (adimensional) e´ pro´xima de zero para pequenas deformac¸o˜es de um material poroso como a cortic¸a e cerca
de 0,49 para um material tipo borracha, que pode deformar-se praticamente sem mudanc¸a no volume. Nos solos ele depende da
porosidade e do grau de saturac¸a˜o.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 24 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Elasticidade e plasticidade dos solos
⇒ A equac¸a˜o de elasticidade para a tensa˜o de cisalhamento, ana´loga a` equac¸a˜o (24), e´
γ =
τ
G
(29)
em que: G e´ o mo´dulo de cisalhamento ou rigidez.
⇒ Afirmamos no in´ıcio que quando um corpo e´ submetido a uma pressa˜o isotro´pica, seu volume decresce na proporc¸a˜o da
pressa˜o aplicada. A constante de proporcionalidade nesse caso e´ chamada de mo´dulo global.
�v =
P
κ
(30)
em que: �v e´ o volume de compressa˜o ou expansa˜o relativo ao volume original.
⇒ Em caso de materiais na˜o isotro´picos, p.ex., a madeira, exibe diferentes propriedades em direc¸o˜es paralelas e perpendiculares
a`s das suas fibras. Em um corpo isotro´pico as interrelac¸o˜es entre os quatro paraˆmetros sa˜o como segue:
E =
9κG
3κ + G
(31)
ν =
3κ− 2G
6κ + 2G
(32)
G =
E
2(1 + ν)
(33)
κ =
E
3(1− 2ν) (34)
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 25 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Modelos reolo´gicos
⇒ Uma te´cnica interessante na reologia e´ a formulac¸a˜o de modelos analo´gicos idealizados, presumidos para simular o
comportamento de materiais reais. Um estudo desses modelos idealizados pode proporcionar viso˜es introspectivas na maneira
pela qual os diferentes tipos de materiais sa˜o esperados a reagir a`s tenso˜es aplicadas de maneira variada.
Os treˆs elementos prima´rios de modelos reolo´gicos sa˜o, conforme a Figura ETS910(a,b,c):
Figura ETS910. Elementos reolo´gicos ba´sicos: a) mola; b) tucho (pista˜o); c) bloco de fricc¸a˜o e d) modelo reolo´gico de um
corpo de Bingham.
1 Uma mola, que reage a` tensa˜o instantaneamente e numa maneira perfeitamente ela´stica, de acordo com a lei de Hooke;
2 um tucho, que e´ um pista˜o movendo se num flu´ıdo newtoniano de viscosidade constante em uma taxa de tempo
proporcional a` tensa˜o;
3 um bloco de fricc¸a˜o, na˜o permitindo movimento ate´ que uma tensa˜o de fadiga caracter´ıstica e´ atingida, apo´s a qual uma
deformac¸a˜o irrevers´ıvel se produz instantaneamente;
4 Os treˆs elementos podem ser combinados, como apresentado na Figura ETS910 (d).
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 26 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Distribuic¸a˜o da tensa˜o dentro do solo
⇒ Para analisar o conceito de tensa˜o no caso hipote´tico de um corpo cont´ınuo, imaginemos um plano de superf´ıcie atrave´s de
um corpo e consideremos a interac¸a˜o entre as duas partes do corpo atrave´s desta superf´ıcie. O material de um lado do plano
pode ser assumido como exercendo uma forc¸a no material no outro lado. Consideremos agora uma pequena a´rea A contendo o
ponto 0 e vetor soma de todas as forc¸as F atuando nessa a´rea. O limite da raza˜o de F para A, na medida em que ∆A se
aproxima de zero, e´ definido o vetor tensa˜o
−→
S no ponto 0:
−→
S = lim
∆A→0
(
F
∆A
)
(35)
Na Figura ?? uma superf´ıcie de separac¸a˜o foi desenhada normal ao eixo x , e as duas partes do corpo foram separadas do corpo
por questo˜es de clareza no desenho. Assumimos que a superf´ıcie x nessa Figura ter o formato de retaˆngulo com os lados ∆y , ∆z.
Figura ETS911. Tenso˜es normais e de cisalhamento atuando em um plano atrave´s de um plano de superf´ıcie por dentro de um
corpo cont´ınuo.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 27 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Distribuic¸a˜o da tensa˜o dentro do solo
⇒ Quando as forc¸as consideradas sa˜o paralelas a` direc¸a˜o x , falamos de uma tensa˜o normal σx , igual a` grandeza da soma das
forc¸as dividida pela a´rea ∆y , ∆z . Em geral, todavia, a forc¸a total pode na˜o ser perpendicular a` superf´ıcie x , mas obl´ıqua a ela,
caso em que podemos resolver a forc¸a e a tensa˜o associada em seus componentes nas direc¸o˜es x , y e z. No plano mostrado na
Figura ETS911 os componentes y e z sa˜o reconhecidos como a tensa˜o tangencial ou de cisalhamento e designada por τx y , τx z.
⇒ Esta notac¸a˜o indica a orientac¸a˜o da superf´ıcie (ortogonal ao eixo x) pelo primeiro subscrito e a direc¸a˜o da tensa˜o pelo
segundo.
⇒ Para definir completamente todas as tenso˜es atuando no ponto 0, precisamos estar em condic¸o˜es de especificar as tenso˜es
em todos os planos poss´ıveis que podem passar atrave´s deste ponto.
⇒ O plano mostrado na Figura ETS912 e´ apenas um de um nu´mero infinito de poss´ıveis planos que podem passar atrave´s do
ponto 0. Para estar aptos a resolver as tenso˜es atuando em qualquer plano de qualquer orientac¸a˜o, precisamos, antes de tudo,
especificar os vetores de tensa˜o nos treˆs planos mutuamente perpendiculares, ilustrando a poss´ıvel distribuic¸a˜o de tenso˜es nas
superf´ıcies de um pequeno elemento de volume. Imaginando esse elemento devolume contrair se ate´ zero no ponto 0, temos no
limite um ponto de intersec¸a˜o dos treˆs planos ortogonais tendo as mesmas tenso˜es.
Figura ETS912. Componentes de tensa˜o em superf´ıcies de um elemento cu´bico de volume.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 28 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Tensa˜o, esforc¸o e ruptura em solos
⇒ A ruptura de um corpo sob tensa˜o e´ a base do muito importante conceito de resisteˆncia.
”Ruptura” e´ usada comutativamente com ”fadiga” (yield). O conceito de fadiga, na medida em
que a tensa˜o e´ aumentada, e´ um ponto eventualmente alcanc¸ado, ale´m do qual e´ observado o
comportamento pla´stico.
⇒ Na realidade existe uma considera´vel diferenc¸a entre a tensa˜o de fadiga e o que e´ conhecido
como tensa˜o final ou tensa˜o de ruptura, na qual a fratura ou separac¸a˜o realmente ocorre.
⇒ A ruptura no solo e´ muito mais complexa nos solos, dependendo de da umidade e do teor de
argila; podem variar as suas propriedades desde aquelas que lembram as de um l´ıquido viscoso
ate´ aqueles que lembram as de um so´lido quebradic¸o.
⇒ A tensa˜o final de corpos de solo e´ medida para estabelecer o componente coesivo da
resisteˆncia ao cisalhamento.
⇒ As medic¸o˜es sa˜o feitas em bloquetes de solo moldados e sa˜o deveras simples de ser
conduzidas. A ruptura por compressa˜o e´ ainda mais dif´ıcil de ser definida do que a ruptura por
tensa˜o, uma vez que a compressa˜o na˜o isotro´pica de um espe´cime de solo pode causar a ruptura
por cisalhamento.
⇒ A ruptura de um solo por cisalhamento e´ definida quando o solo se encontra no estado r´ıgido
e no estado quebradic¸o e mostra um plano distinto de fratura, que muitas vezes ocorre na
assim chamada compressa˜o na˜o confinada, no qual o cilindro de solo e´ carregada axialmente,
como mostrado na Figura ETS913 (a) e (b). Este tipo de fratura e´ observado em solos
coesivos, relativamente secos. Se o solo estiver u´mido, e por isso menos r´ıgido, isto e´, ”mole”
ao inve´s de ”duro”, nenhuma fratura distinta e´ discern´ıvel; a ruptura por cisalhamento ocorrera´
por fluxo pla´stico.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 29 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Tensa˜o, esforc¸o e ruptura em solos
Figura ETS913. Ruptura por cisalhamento, quando cilindros de solos sa˜o submetidos a` tensa˜o axial: (a) solo r´ıgido ruptura por
fratura; (b) solo mole fluxo pla´stico.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 30 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
O conceito de resisteˆncia do solo
⇒ Em termos qualitativos, a resisteˆncia do solo e´ a capacidade de solo resistir a forc¸as sem experimentar falheamento, quer por
ruptura, quer por fragmentac¸a˜o ou fluxo. Em termos quantitativos, a resisteˆncia do solo pode ser definida como a tensa˜o
ma´xima, que pode ser induzida em um dado corpo sem que o mesmo sofra ruptura.
Figura ETS914. C´ırculo de tenso˜es (a) e envelope (envolto´ria) de tenso˜es de Mohr (b).
⇒ A habilidade de o solo em resistir a` tensa˜o por cisalhamento, conhecida por resisteˆncia ao cisalhamento. O modelo usado
para a resisteˆncia ao cisalhamento e´ a teoria de Mohr, baseada na relac¸a˜o funcional entre σ × τ .
⇒ Se uma se´rie de estados de tensa˜o, suficiente para causar a ruptura, for imposta ao mesmo material e estes graficados como
um conjunto de c´ırculos de Mohr (Figura ETS614), a linha tangente aos mesmos - envolope ou envolto´ria da fam´ılia de
c´ırculos - e´ usada como crite´rio de resisteˆncia ao cisalhamento. Se a envolto´ria for uma linha completamente reta, ou
aproximadamente, pode ser descrita pela equac¸a˜o
τ = a + b (36)
em que: a constante a, indicada na Figura ETS614 como τo , e´ a intersec¸a˜o da linha envolvente no eixo de τ ; e a constante b, a
tangente do aˆngulo α que a linha envolvente faz com a linha horizontal.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 31 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo
Figura ETS916. Ilustrac¸a˜o da dilataˆncia (ou aumento de volume) no processo de cisalhamento
de uma areia densa, devido ao efeito do rolamento interpart´ıculas. (Esta e´ a raza˜o porque uma pessoa
caminhando em uma areia saturada se observa que a areia ao redor de seu pe´ se torna seca subitamente, tornando se novamente
saturada quando o pe´ levantado).
⇒ A medic¸a˜o da resisteˆncia do solo e´ geralmente baseada em algum procedimento para
determinar as tenso˜es atuando em ruptura incipiente. Como foi dito anteriormente, a resisteˆncia
do solo a tenso˜es aplicadas pode ser caracterizada em termos de dois paraˆmetros: coesividade c,
presumivelmente, representando a adereˆncia ou ligac¸a˜o de part´ıculas de solo, que precisam ser
rompidas para ocorrer o cisalhamento e o aˆngulo de fricc¸a˜o interna, representando a resisteˆncia
encontrada quando o solo e´ forc¸ado a deslizar sobre solo. Essa interpretac¸a˜o e´ meramente
conceitual; em casos reais eles podem na˜o ser verdadeiramente independentes um do outro.
⇒ Solos que apresentam aprecia´vel coesividade, chamados de coesivos (hardsetting soils),
geralmente tem uma razoa´vel quantidade de argila que tem a propriedade de cimentar
internamente o solo. A areia seca, em geral, e´ na˜o coesiva, consequentemente, a u´nica
resisteˆncia ao cisalhamento e´ devida a` fricc¸a˜o interpart´ıculas, que resulta do deslizamento e do
rolamento de part´ıculas umas sobre as outras.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 32 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo - Equipamentos de medic¸a˜o
⇒ O aparelho de cisalhamento direto (Figura ETS917), mostra um recipiente (container)
seccionado, enchido com solo com densidade de part´ıculas conhecida. Uma tensa˜o normal e´
aplicada ao plano de cisalhamento, fazendo carga com uma pedra porosa tipo pista˜o,
colocando-a em cima da superf´ıcie do solo.
⇒ O cisalhamento e´ induzido pelo aumento gradual da tensa˜o lateral ou tangencial ate´ que
ocorra a ruptura. O teste pode ser conduzido ou a um ı´ndice constante de aumento da tensa˜o
ou a um ı´ndice constante de deformac¸a˜o (os assim chamados me´todos de tensa˜o controlada ×
me´todos de esforc¸o controlado). O me´todo apresenta algumas ressalvas, ja´ que o plano na˜o
permanece cosntante.
Figura ETS917. Esquema do aparelho de cisalhamento direto (a). Prensa para cisalhamento
direto (Departamento de Cieˆncia do Solo - UFLA) e amostra de solo cisalhada (b).
Fonte: Rocha & Dias Junior, 2000.[R. Bras. Eng. Agr´ıc. Ambiental, Campina Grande, v.8, n.2/3, p.321-325, 2004].
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 33 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo - Equipamentos de medic¸a˜o
⇒ Um me´todo alternativo, e melhor fundamentado, para a determinac¸a˜o da resisteˆncia ao cisalhamento e´ conhecido como teste
tri-axial de cisalhamento. Neste teste, a superf´ıcie de ruptura na˜o e´ pre´-determinada, mas permitida a formar-se dentro de um
espe´cime, na medida em que sucessivas combinac¸o˜es de tenso˜es laterais e axiais sa˜o aplicadas a uma se´rie de amostras do
mesmo solo. Assim, uma se´rie de c´ırculos de Mohr, representando estados de tensa˜o, sa˜o determinados e a envolvente desses
c´ırculos gera os valores desejados de c e b.
Figura ETS918. Envolventes de Mohr para cisalhamento ”tri-axial” de solos saturados: (a) teste drenado, solo coesivo; (b) teste
drenado, solo na˜o coesivo; (c) teste na˜o drenado, solo coesivo.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 34 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo - Equipamentos de medic¸a˜o
⇒ O aparelho de cisalhamento tri-axial (Figura ETS918) e´ uma ce´lula pressurizada, em que se
coloca uma amostra cil´ındrica de solo, que e´ acondicionada numa membrana de borracha tipo
luva, hermeticamenteselada a`s placas meta´licas encaixadas em placas porosas no topo e na
base das amostras. Tudo isto e´ colocado na ce´lula pressurizada cheia de a´gua que proporciona
uma tensa˜o σ3 uniforme e constante.
⇒ Uma tensa˜o axial adicional σ1 - σ3 e´ aplicada por meio de um ar´ıete de carga acoplado a
um anel de prova, e a tensa˜o e´ gradualmente aumentada, ate´ que ocorra a ruptura, momento
em que se verifica a tensa˜o tri-axial, bem como a tensa˜o lateral.
⇒ Numa amostra saturada de solo a mudanc¸a de volume pode ser determinada pela quantidade
de a´gua expelida da amostra durante o teste. Para medic¸o˜es de pressa˜o de poros de a´gua, os
drenos sa˜o conectados a um manoˆmetro. No caso de amostras na˜o saturadas, medic¸o˜es
tensiome´tricas da succ¸a˜o matricial e suas mudanc¸as podem ser feitas durante o teste.
⇒ A tensa˜o interna que atua em qualquer plano dentro de um corpo de solo consiste de dois
componentes: a pressa˜o interpart´ıculas, chamada de tensa˜o efetiva; e a pressa˜o de poros-a´gua,
que e´ neutra no sentido de que ela e´ isotro´pica e na˜o tem efeito sobre a tensa˜o de cisalhamento.
⇒ Aumentando-se a tensa˜o lateral σ3 em uma amostra saturada, em que na˜o e´ facultada a
drenagem, na˜o tem efeito nenhum sobre a tensa˜o desviato´ria necessitada para causar a ruptura,
ja´ que ela apenas aumenta a pressa˜o hidrosta´tica dos poros de a´gua, sem haver nenhum efeito
sobre a matriz do solo. Consequentemente, a envolvente de Mohr no caso de um teste na˜o
drenado (tambe´m chamado de teste ra´pido) e´ horizontal.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 35 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo - Equipamentos de medic¸a˜o
Figura ETS919. Esquema do aparelho de cisalhamento de he´lice.
⇒ Um outro me´todo de medic¸a˜o da coesividade do solo, adequado para determinac¸o˜es ”in situ”
na˜o perturbadas, e´ o teste de cisalhamento de he´lice, ilustrado na Figura ETS919. No teste a
he´lice e´ introduzida no solo ate´ a profundidade desejada e, enta˜o, girado. O torque necessa´rio
para cisalhar o solo, gerado ao longo da superf´ıcie do cil´ındrico pelas extremidades das pa´s, e´
medido. A relac¸a˜o teo´rica entre o torque T , a coesividade do solo c e as dimenso˜es das pa´s e´
T = cpi
(
1
2d2
+
1
3d3
)
(37)
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 36 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo - Equipamentos de medic¸a˜o - Resisteˆncia teˆnsil do solo
Para a raza˜o altura raio padra˜o de 4:1, a coesividade pode ser computada a partir da equac¸a˜o
c =
3T
28pir3
(38)
⇒ A vantagem deste me´todo e´ que as medic¸o˜es podem ser feitas em profundidades sucessivas
sem retirar o aparelho, para obter um perfil completo da resisteˆncia de um solo natural.
⇒ A medic¸a˜o da coesividade dos solos e´ poss´ıvel na˜o somente por cisalhamento mas tambe´m
por tensa˜o. A resisteˆncia teˆnsil do solo e´ a forc¸a normal por unidade de a´rea necessa´ria para
destacar ou separar uma sec¸a˜o da outra (Figura ETS920).
Figura ETS920. Me´todo para medir a resisteˆncia teˆnsil do solo em campo.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 37 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo - Equipamentos de medic¸a˜o - Medic¸o˜es de coesividade
em laborato´rio
⇒ Um outro me´todo de laborato´rio comumente usado para a determinac¸a˜o da resisteˆncia coesiva de bloquetes secos de solo e´
medindo o mo´dulo de ruptura. Este me´todo consiste no carregamento central de pequena viga de solo, apoiada em ambas as
extremidades, ate´ que ocorra a ruptura (Figura 38). A equac¸a˜o para a determinac¸a˜o do mo´dulo de ruptura σb e´
σb =
3fl
2bd2
(39)
em que: f e´ a forc¸a aplicada para causar a ruptura; l , o comprimento da viga; b a largura; e d a espessura da viga.
Figura ETS921. Medic¸a˜o de mo´dulo de ruptura num espe´cimen de solo retangular ou cil´ındrico.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 38 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo - Equipamentos de medic¸a˜o - Coesividade em laborato´rio
Se a viga e´ cil´ındrica, a equac¸a˜o e´
σb =
fl
r3
(40)
em que: r e´ o raio do cil´ındrico.
Figura ETS922. Me´todo indireto de tensa˜o para a medic¸a˜o da resisteˆncia teˆnsil proposto por Sourisseau.
⇒ O mo´dulo de ruptura foi usado para caracterizar a tendeˆncia de certos solos insta´veis em se desintegrar e formar uma densa
crosta superficial que inibe a germinac¸a˜o. O me´todo foi adaptado para a medic¸a˜o de amostras de crosta natural por Hillel
(1959), citado por Hillel [1].
Ainda um outro me´todo para medir a resisteˆncia de um espe´cime cil´ındrico de solo foi proposto por Kirkham et al.(1959). Neste
me´todo a amostra e´ carregada lateralmente, ate´ que ocorra a ruptura e o cilindro e´ partido em dois, como mostrado na Figura
ETS922. A tensa˜o na ruptura e´ dada por:
σ =
f
pilr
(41)
em que: l e r sa˜o os mesmos acima.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 39 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo - Resisteˆncia a` penetrac¸a˜o - Penetroˆmetros
⇒ Outra te´cnica (Figura ETS923) e´ a resisteˆncia do solo a` penetrac¸a˜o.
⇒ O que e´ medido na˜o e´ a resisteˆncia do solo em si, mas um paraˆmetro composto
supostamente relacionado a` resisteˆncia do solo, embora, quantitativamente, essa relac¸a˜o na˜o e´
conhecida em qualquer sentido exato. Apesar disso, essa te´cnica tem certas vantagens facilidade
e simplicidade da medic¸a˜o ”in situ”.
⇒ Quando uma sonda meta´lica e´ inserida solo adentro, diversos processos ou efeitos podem
ocorrer de forma combinada, incluindo separac¸a˜o ou corte no solo, ruptura por cisalhamento,
fluxo pla´stico, compressa˜o, e fricc¸a˜o metal solo, bem como fricc¸a˜o solo/solo.
⇒ A combinac¸a˜o particular de processos, em qualquer caso espec´ıfico depende da geometria do
instrumento, ale´m das condic¸o˜es do solo. Muitos tipos de instrumentos tem sido projetados, e
alguns sa˜o comercialmente dispon´ıveis, mas ainda na˜o existe padronizac¸a˜o de forma ou tamanho
da ponta ou do modo de introduzi-lo no solo.
⇒ A resisteˆncia do solo a` penetrac¸a˜o pode ser representada no m´ınimo de duas maneiras: (1)
como a forc¸a necessa´ria para causar a penetrac¸a˜o por unidade de a´rea de ponta da sonda ou (2)
como a energia necessa´ria para a penetrac¸a˜o, por unidade de profundidade de solo.
⇒ Os penetroˆmetros tem sido usados muito extensivamente para estimar a forc¸a requisitada
para arar solos sob va´rias condic¸o˜es, bem como indicar a trafegabilidade (a habilidade de um
solo em oferecer trac¸a˜o e permitir passagem desobstru´ıda de ve´ıculos tais como tratores,
automo´veis, tanques, etc.).
Outros usos tambe´m tem sido propostos; e.g., Morton & Buchele (1960), citados por Hillel
(1980) usaram um penetroˆmetro para simular a emergeˆncia de plaˆntulas atrave´s de crostas de
solo.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 40 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo - Resisteˆncia a` penetrac¸a˜o - Penetroˆmetros
Figura ETS923. Tipos de penetroˆmetros para caracterizar a resisteˆncia do solo: (a) tipo com
martelo de impacto; (b) tipo de empurrar com mola.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 41 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo a` penetrac¸a˜o - Penetroˆmetro modelo PLANALSUCAR
♣ A energia cine´tica e´ dada por:
Ec =
m.v2
2
, (42)
mas como m = P/9,81 m s−2 e v2=2gh, tem-se
Ec = Ph (43)
em que: P e´ o peso do contrapeso ou martelo (dado em kgf ); e h, a altura da queda livre (m), como mostra a Figura ETS923.
⇒ Exemplo:
Um penetroˆmetro de impacto, com contrapeso de 2,5 kgf e altura de queda de 0,4 m, em cadabatida desenvolve-se a seguinte
energia cine´tica:
Ec = 2,5 kgf × 0,4 m=1,0 kgf por batida
ou
Ec = 9,81 joule N/m por batida
ou ainda em termos de poteˆncia para penetrar o solo:
Ec = (9,81N/m)/0,286=34,3 watts por batida
⇒ Assim, a resisteˆncia a` penetrac¸a˜o pode ser expressa por meio da relac¸a˜o entre o nu´mero de batidas ou a energia (isto e´, o
nu´mero de batidas × energia por batida) para que o penetroˆmetro atinja determinada profundidade no perfil do solo.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 42 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo a` penetrac¸a˜o - Penetroˆmetro modelo PLANALSUCAR - Stolf et al. (1983)
⇒ Durante o procedimento de penetrac¸a˜o da haste registra-se o nu´mero de impactos a uma profundidade z (Figura ETS920a):
Um exemplo encontra-se na Tabela ETS01 e no gra´fico da Figura ETS920b, gerados com dados de Stolf et al. (1983);
Na primeira coluna de cada repetic¸a˜o anota-se a variac¸a˜o da profundidade; na segunda, o nu´mero de impactos efetuados
para provocar a penetrac¸a˜o correspondente da haste (h);
a terceira coluna e´ calculada dividindo-se o nu´mero de impactos (NI ) pela correspondente variac¸a˜o de profundidade
(cm), multiplicando-se esse resultado por 10, para se obter o NI dm−1;
Um exemplo de ca´lculo tirado da Tabela ETS01 - 2 impactos por (29-23cm) - o valor calculado de impactos dm−1 sera´:
Nu´mero de impactos dm−1=10×2/(29-23)=20/6=3,3 NI dm−1
Em solos com camada superficial solta ira´ ocorrer a penetrac¸a˜o da haste apenas com o apoio do aparelho no solo. A`
distaˆncia penetrada, nesse caso, e´ atribu´ıdo o valor 0,0 (zero).
Tabela ETS01. Dados obtidos com penetroˆmetro de impacto: profundidade × nu´mero de impactos
observados e calculados (NI dm−1. Fonte: Stolf et al. (1983).
Repetic¸a˜o 1 Repetic¸a˜o 2
Profundidade Nu´mero de impactos Profundidade Nu´mero de impactos
(cm) Observados Calculados (cm) Observados Calculados
0,0 - 9,0 1 1,11 0,0 - 14,0 1 0,71
9,0 - 13,0 2 5,00 14,0 - 19,0 2 3,64
13,0 - 17,5 2 4,44 19,0 - 23,5 2 5,00
17,5 - 23,0 2 3,64 23,5 - 27,5 2 5,00
23,0 - 29,0 2 3,33 27,5 - 31,0 2 5,71
29,0 - 35,0 2 3,33 31,0 - 35,0 2 5,00
35,0 - 41,0 2 3,33 35,0 - 40,0 2 4,00
41,0 - 52,5 2 1,74 40,0 - 46,5 2 3,08
52,5 - 60,5 2 2,50 46,5 - 54,0 2 2,67
- - - 54,0 - 60,0 2 3,33
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 43 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo a` penetrac¸a˜o - Penetroˆmetro modelo PLANALSUCAR - Stolf et al. (1983)
Gra´fico de RP - dados transformados
⇒Para que os dados de impactos por dm (NI
dm−1h) tenham aplicac¸a˜o pra´tica, eles teˆm que
ser transformados para dados de pressa˜o [kPa ou
MPa (Stone & Williams, 1939)]:
NI =10 IO
PP−PA
em que: NI e´ o nu´mero de impactos calculados;
PP, a(s) profundidade(s) posterior(es) a`(s)
pancada(s); e PA, a(s) profundidade(s) anterior(es)
a`(s) pancada(s).
Figura ETS923a. Dados de impactos dm−1
transformados em dados de pressa˜o (MPa).
Sistemas de poros de um solo
Figura ETS923b. Resisteˆncia do solo a` penetrac¸a˜o [com penetroˆmetro
de impacto de Stolf et al. (1983)] nas e´pocas chuvosa e seca ao longo
dos anos em solos LVd, submetido ao Sistema Barreira˜o de manejo de
pastagens, Piracanjuba, GO. Fonte: Magalha˜es et al.(2001).
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 44 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo a` penetrac¸a˜o - Penetroˆmetro modelo PLANALSUCAR - Stolf et al. (1983)
Gra´fico de RP - dados transformados
⇒Para que os dados de impactos por dm (NI
dm−1h) tenham aplicac¸a˜o pra´tica, eles teˆm que
ser transformados para dados de pressa˜o [kPa ou
MPa (Stone & Williams, 1939)]:
NI =10 IO
PP−PA
em que: NI e´ o nu´mero de impactos calculados;
PP, a(s) profundidade(s) posterior(es) a`(s)
pancada(s); e PA, a(s) profundidade(s) anterior(es)
a`(s) pancada(s).
Figura ETS923a. Dados de impactos dm−1
transformados em dados de pressa˜o (MPa).
Sistemas de poros de um solo
Figura ETS923b. Resisteˆncia do solo a` penetrac¸a˜o [com penetroˆmetro
de impacto de Stolf et al. (1983)] nas e´pocas chuvosa e seca ao longo
dos anos em solos LVd, submetido ao Sistema Barreira˜o de manejo de
pastagens, Piracanjuba, GO. Fonte: Magalha˜es et al.(2001).
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 44 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Medic¸a˜o da resisteˆncia do solo - Resisteˆncia a` penetrac¸a˜o - Penetroˆmetros
⇒ Os modos de deformac¸a˜o e ruptura de va´rios tipos de solo durante o cultivo encontram-se na
Figura ETS924.
Figura ETS924. Modos de deformac¸a˜o e planos de cisalhamento em diferentes tipos de solos
cortados por uma laˆmina plana inclinada.
Fonte: So¨hne, W.H. Characterization of tillage tools. Sa¨rtryck ur Grundfo¨ba¨ttring, v.1, p.38-48, 1966.
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 45 / 46
Esforc¸o, tensa˜o e resisteˆncia do solo
Soluc¸a˜o de problemas
Soluc¸a˜o de problemas Exerc´ıcios
Dois tijolos de crosta de solo foram testados em aparelhos de mo´dulo de ruptura, calcule qual dos dois espe´cimens oferece a
maior resisteˆncia.:
1 O primeiro espe´cime tinha largura de 2 cm e espessura de 0,5 cm, e foi posto em suportes espac¸ados de 5 cm e
fraturados por uma forc¸a de 1.105 dinas;
2 O segundo espe´cime tinha 5 cm de largura e 2 cm de espessura e quando colocados em suportes separados de 10 cm
necessitaram uma forc¸a de 106 dinas para ser fraturados.
Calculamos o mo´dulo de ruptura M pela seguinte equac¸a˜o:
M =
3FL
SBD2
em que: F e´ a forc¸a causadora da fratura; L, o comprimento do espe´cime entre os suporte; B, a largura; e D a profundidade
(espessura).
Soluc¸a˜o do exemplo 1:
M =
3FL
SBD2
=
3.105dinas.5cm
2,0cm.5cm.(2cm2)
= 1,5.105dinas.cm2 = 1,5bars
Soluc¸a˜o do exemplo 2:
M =
3FL
SBD2
=
3.106dinas.5cm
2cm.5cm.(2,0cm2)
= 1,5.106dinas.cm2 = 0,75bars
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 46 / 46
Hillel, D. Fundamentals of soil physics. N. York: Academic Press.
1980.
Koolen, A.J.& Kuipers, H. Agricultural soil mechanics. Berlin,
Springer-Verlag, 1983.
Horn, R; Vossbrink, J.; Becker, S. Modern forestry vehicles and their
impacts on soil physical properties. Soil & Till Research, v.79,
p.207-219, 2004. doi:10.1016/j.stil.2004.07.009
Prof.H.J. Kliemann (PVNS/CAPES/MEC) F´ısica do Solo ... 46 / 46