Calculo 1 - Lista de exercicios N6 (GABARITO)

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Gabarito Lista 6 - Cálculo I – 2016.2 
1) a) 
3333223332 cos6cos3)..(cos2.cos senuuuuusenuuuu
du
dy

 
b) 
´cos6´cos´3)..(cos2.´cos 3333223332 usenuuuuuuusenuuuuu
du
dy

 
 ´3)..(cos.2´.´´cos 23332
2
2
uusenuuuuu
du
yd
 
 ´´)]}.´.3.(coscos´´.3.[6´cos18{ 32333233332 usenuuuuuusenuuusenuuusenuuu
 
   ´cos18cos.´6´´cos 332332232 usenuuusenuuuuuu
 
  ´´..cos6´cos18´18 3333253225 usenuuuuuuusenuu 
 
 
 
2) 
x
xxsen
x
x
x
xsen
x
x
x
xseny
2
cos
2
cos
22
1
.cos
2
1
.´


 









x
x
xxsenx
x
xsen
x
x
y
4
2
1
2).cos(2.
2
1
.
2
1
.cos
´´
 
xx
xxsen
x
xxsen
x
x
xxsen
xxsen
4
cos
4
cos
4
cos
cos







 
x
xxsen
xxsenxy
cos
cos´´4


 
x
xxsen
y
cos
´2


 
xxsenyxy cos´2´´4 
 
0coscos´2´´4  xsenxxxsenyyxy
 
 
 
3) Vamos resolver a equação do 2º grau 
012  xyxy
 em y: 
)1(41  xx
 
xx 441 2 
 
x
xx
y
2
4411 2 

 
4) 
2
3
)(cos)(sec 22  yxyx
 
0´)1)].(().[cos(2´)1).(().sec().sec(2  yyxsenyxyyxtgyxyx
 
0)]().cos(2)().sec().sec(2´).[1(  yxsenyxyxtgyxyxy
 
1´ y
 
 
5) 
102 22  yxyxx
 
 

0´8´340´4´
22
2 2
2 por multip.
2
 yxyyyxxyxyxyyy
xy
x
xy
xy
xyx
xy 
xyyx
xyxyx
y
8
34
´
2 


 
Coeficiente angular: 
8
5
32
20
2.1.816
1.4.32.4.4
´| )1,4( 


y
 
Equação: 
)4(
8
5
1  xy
 
 
6) Se 
0x
 então 
1y
. Mas 
0)( xf
 logo 
1y
. 
144  yxyx
 
0´4´4 33  yyxyyx
 
xy
xy
y



3
3
4
4
´
 
0´4´).(
2
1
2  yyxyy
xy
xxyx
4
1
)0´( )1,0(  yf
 
 
7) a) 
32)2( xyx 
 
22 3´2).2( xyyxy 
 
2
2
4
´
)2(2
3
´ )1,1(
22



 y
xy
yx
y
 
)1(21  xy
 
 
b) 
2
23
2.
4
9
2
3
2
3
2
2
3 2
3
2 











 yyyx
 
4
215
2
23
4
45
2
3
223
2
9
4
9
.3
´
)2(2
3
´
2
23
,
2
3
22





















y
xy
yx
y
 
4
215
2
23
4
45
2
3
223
2
9
4
9
.3
´
)2(2
3
´
2
23
,
2
3
22
























y
xy
yx
y
 
 
 8) 
  22222 yxyx 
 
224224 2 yxyyxx 
 
´22´4´444 3223 yyxyyyyxxyx 
 
yyyx
xyxx
y
244
442
´
32
23



 
Retas tangentes horizontais: 
0´y
 









0442
0
0)442(04420
244
442
0´
22
2223
32
23
yx
x
yxxxyxx
yyyx
xyxx
y
 
2
1
0442 2222  yxyx
 
Substituindo na equação, temos: 
8
8
8
1
2
2
1
4
1 22  yyy
 (retas tangentes horizontais) 
Pontos: 
Substituindo novamente na equação: 
8
3318
16
27
0
64
9
2
3
8
1
8
1 242
2
2 





 xxxxx
 







 
8
8
,
8
3318
, 







 
8
8
,
8
3318
, 










8
8
,
8
3318
 e 










8
8
,
8
3318
 
 
Retas tangentes verticais: 
´y
não existe 






0244
0
0)244(0244
22
2232
yx
y
yxyyyyx
 
2
1
0244 2222  yxyx
 (impossível) 
Substituindo 
0y
 na equação, temos: 









1
1
0
24
x
x
x
xx
(retas verticais) 
Pontos: 
240 yyx 
 (impossível) 
  003121111 24242222  yyyyyyyyx
 
01  yx
 
)0,1(
e 
)0,1(
 
 
9) 
14 22  yx
 
)4( tsen
dt
dx

 
a) 
082 
dt
dy
y
dt
dx
x
 
y
txsen
y
dt
dx
x
dt
dy
4
)4(
4




 
b) 
)4cos(4)4(
2
2
t
dt
xd
tsen
dt
dx

 
Derivando pela 2ª vez a equação dada no problema: 
08822
2
2
2
2

dt
yd
y
dt
dy
dt
dy
dt
xd
x
dt
dx
dt
dx
 
Fazendo as substituições: 
08
2
)4(
)4cos(8)4(2
2
2
2
22
2 
dt
yd
y
y
tsenx
txtsen
 





3
2
1
222
3
22222
2
2
16
)4cos(16)4)(4(
16
)4()4cos(16)4(4
y
txyxytsen
y
tsenxtxytseny
dt
yd

 
3
22
16
)4cos(16)4(
y
txytsen 

 
 
10) 
522  yx
 
022 
dt
dy
y
dt
dx
x
 
dt
dx
dt
dy
2
 







yxyx
dt
dx
dt
dx
yx
dt
dx
dt
dx
y
dt
dx
x
2042
)0 pois l(impossíve 0
0)42(0.2.22
 
Substituindo 
yx 2
 na equação inicial: 
155545 22222  yyyyyx
 
10  yy
 e 
2x
. 
Ponto: 
 1,2
 
 
 
11) 
1)1( f
 
3
19
)1´(
3
19
)´( 3/16  fxxf
 
3
16
3
19
)1(
3
19
1  xyxy
 
38,1
3
16
)06,1(
3
19
06,1  yx
 
 
12) a) 
36x
 
01,0 dxx
 
01,0x
 
x
xfxxf
2
1
)´()( 
 
...0008333,001,0
12
1
).36´(  dydydxfdy
 
9991667,5000833,0699,35 
 
b) 
3x
 
09,0 xx
 
2
1
)´(
1
)(
x
xf
x
xf 
 
09,0 dxx
 
01,009,0
9
1
).3´(  dydydxfdy
 
323,001,0333,0
09,3
1

 
 
c) 
2
1
3
cos 





 
5,0x
 
512,0 xx
 
3 2
3
3
1
)´()(
x
xfxxf 
 
012,0 dxx