Provas - 2S_2013 - Prof. Pascoal

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1ª Prova de F-589- Solução 
 
 
 
1. Duas espaçonaves de comprimento próprio 200 m passam uma pela outra se 
movendo em direções opostas ao longo do eixo-x. Um astronauta na parte dianteira 
de uma das espaçonaves mede um intervalo de tempo de 0.5 s para a passagem da 
outra espaçonave por ele. 
a) Qual é a velocidade relativa entre as espaçonaves? 
b) Após o cruzamento das espaçonaves, o astronauta da espaçonave que se move na 
direção positiva de x, vê no seu referencial um cometa que se desloca com 
velocidade u´y = 0.6c ao longo da direção positiva do eixo-y. Calcule a velocidade 
(módulo e direção) do cometa no referencial da outra espaçonave. 
 
 
a) 
s 5.0 m, 200 00  tL
 
 
O comprimento da nave em movimento para o astronauta em repouso é: 
 

0LL 
 logo, 
8
0
00
0 100,4
s 5.0
200


  t
L
v
v
L
t
 
 
Então, 
 
1622 1016v 162
22
2
1016

 v
vc
c
 
 
21621622 10161016 vcvc 
 
2161622 1016)1016( ccv 
 
 
 
0.8c ou v m/s 104,2
1025
1044,1 8
16
34
2 


 vv
 
 
b) Para o referencial da espaçonave se movendo para direita (S´): uy´=0,6 c e ux´= uz´= 0 
 
Pelas transformações das velocidades: 
 
cv
cvu
vu
u
x
x
x 8.0
/´1
´
2




 
cccuuuu zyx 88,0)8,0()36,0(
22222 
 
 
cc
cvu
cvu
u
x
y
y 36,064,016,0
/´1
/1´
2
22




 
x-eixo o com 27 direção uma com xy plano No
45,0
8,0
36,0
0



c
c
u
u
tg
x
y 
0
/´1
/1´
2
22




cvu
cvu
u
x
z
z
 P.S Resultados aproximados, quando corretos, 
 serão considerados. 
2. Um corpo de massa em repouso m0 se propagando em alta velocidade sofre uma 
colisão inelástica com um corpo de massa 4m0 inicialmente em repouso. Após a 
colisão os dois corpos emergem como um corpo-único com uma velocidade de 0.6c 
na mesma direção do corpo incidente. 
a) Qual é a velocidade do corpo incidente? 
b) Qual é a massa em repouso do corpo único que emerge da colisão? 
 
 
a) Seja a massa em repouso do corpo-único M0 e como ele emerge com u = 0,6c 
 
25,1
)6,0(1
1
/1
1
2220





cv
M
 
 
Da conservação do momento relativístico: 
 
fi pp 
 
 
cMuMvm 000 75,025,1 
 (1) 
 
Da conservação da Energia total relativística: 
 
00
2
0
2
0
2
0 25,1)4(25,14 MmcMcmcm   (2) 
 
De (1) e (2): 
 
222
00 76,5)6,0(4,2)6,0(6,0)4(75,0
25,1
)4(
cvccvcvcmvm 

  
 
04,52,176,6 22  cvcv
 para qual a solução válida é v = 0,9869 c 
 
b) Para v = 0,9869 c 
2.6
)9869,0(1
1
/1
1
222





cv

 
 
Usando (1) 
 
 
0000 2,875,09869,02,6 mMcMcm 
 
 
 
 
 
PS. Outras aproximações para o cálculo de v e mo, quando corretas, serão consideradas. 
 
 
 
 
 
 
 
3. Um corpo negro encontra-se inicialmente a uma temperatura absoluta Ti. O corpo é 
então aquecido até atingir o equilíbrio a uma temperatura Tf = 4 Ti. Qual é a razão 
entre os valore final e inicial: 
a) Do número médio total de fótons emitidos pela superfície do corpo. 
b) Do comprimento de onda em que a emissão é máxima. 
c) Da energia eletromagnética emitida em um intervalo infinitesimal d em torno do 
comprimento de onda máximo. 
 
a) 644
3
4
4
max
4
max
4

i
i
f
f
i
i
f
f
i
Ti
f
Tf
i
f
CT
T
CT
T
hv
T
hv
T
vh
R
vh
R
N
N


 onde 
max~ vhvh
 
 
PS. Uma solução mais rigorosa pode ser feita pela integral abaixo, a qual leva ao 
mesmo resultado com: 644
)(
)(
3
0
0 








d
hv
R
d
hv
R
N
N
iT
fT
i
f
 
 
Muita gente considerou 
25644
4
4

i
f
Ti
Tf
i
f
T
T
R
R
N
N

 que será parcialmente pontuado. 
 
b)Pela Lei do deslocamento de Wien: 
CT .max
 
 
4
1
max
max 
f
i
i
f
T
T

 
 
c)
1
12
)(
max
max
/5
2


fBf Tkhc
f
ffT
e
hc
R 
 
1
12
)(
max
max
/5
2


iBi Tkhc
i
iiT
e
hc
R 

 
 
1
1
)(
)(
max
max
max
max
/
/
5
5



fBf
iBi
Tkhc
Tkhc
f
i
iiT
ffT
e
e
R
R





 mas como 
CT .max
 
 
10244
)(
)(
5
5
5
max
max 
f
i
iiT
ffT
R
R




4. Numa experiência de física moderna, incidi-se radiação de diferentes comprimentos 
de onda sobre um filme de potássio. 
a) Em um experimento com luz monocromática com  = 4000 Å, observa-se um efeito 
fotoelétrico com um potencial de corte V0 = 1,0 V. Qual é a função trabalho do 
potássio? 
b) Sob incidência de raios-x com  = 1,0 Å, observa-se radiação espalhada pelos 
elétrons do metal a 90
0
 do feixe incidente. Qual a energia cinética transferida ao elétron 
devido ao efeito Compton? 
c) Que outro processo de absorção de fótons pode ocorrer para comprimentos de onda 
ainda menores? Explique com suas palavras o que determina a probabilidade de 
ocorrência de cada um desses processos. 
 
 
a) 
00 eVh 
 
00 eV
hc


 
 1,2 0,11,3 0,1
Å 4000
Å104,12
000
3
eVeV
eV

  
 
b) 
0243,0 )cos1( 
mc
h
mc
h  Å 0243,1´   Å
 
 
eV
hchc
Kel 294
´


 
 
c) Para comprimentos de ondas ainda menores pode ocorrer a formação de pares 
elétron-pósitron pela absorção de um fóton ao redor do núcleo alvo. A probabilidade de 
ocorrência de cada processo depende de sua secção de choque que é função da 
freqüência da radiação incidente e do material do alvo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2ª Prova de F-589 
 
 
Turma A 1._____ 
Primeiro Semestre de 2007 2._____ 
 30/05/2007 3._____ 
4._____ 
 Nota:_____ 
 
 
Nome: ______________________________________RA:__________ 
 
 
4. Em um experimento de difração, utiliza-se um feixe de nêutrons com energia 
cinética de 30 meV para se obter um conjunto de picos de difração para um 
composto cristalino. 
a) Usando a mesma configuração experimental (ângulos de incidência e detecção), 
qual deve ser a energia cinética no caso de um feixe de elétrons, afim de que se 
obtenha o mesmo padrão de difração (picos de Bragg para os mesmos ângulos) do 
experimento com nêutrons? 
b) Qual é o comprimento de onda de de Broglie para átomos de Hélio com a mesma 
energia cinética dos nêutrons? 
 
Solução: 
 
a) Para se obter o mesmo padrão de difração, devemos ter e = n. 
Assim: 
 
nneene
n
n
e
e KmKmpp
p
h
p
h
22   
 
eV 55 n
e
n
e K
m
m
K
 
 
 
b) 
Å 83,0
2

HeHeHe
He
Km
h
p
h
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
2) Considere uma partícula se movendo no potencial V(x) ilustrado na figura abaixo. 
 
 
a) Para os seguintes intervalos de valores de energia total E, responda e justifiquequando há um possível valor de E, e se isto ocorre, se o espectro de energia é 
discreto ou contínuo. i) E < 0, ii) 0 < E < V1, iii) V1 < E < V2 iv) E > V2. 
b) Assuma que a autofunção solução da equação de Schrödinger independente do 
tempo para o potencial acima é dada por 
a
x
e
a
x
4
20
)(


 para x > a/2 e calcule a 
probabilidade de se encontrar a partícula no intervalo a < x < 2a. 
 
Solução: 
 
a) i) E < 0 é impossível nesse caso, pois <p
2
> e <V0> são sempre maior que zero. 
ii) 0 < E < V1 , existem valores possíveis de energia e seu o espectro é quantizado, pois 
a partícula está confinada (movimento limitado). 
iii) V1 < E < V2, existem valores possíveis de energia e seu o espectro é quantizado, pois 
a partícula está confinada (movimento limitado). 
iv) E > V2, existem valores possíveis de energia e seu o espectro é contínuo, pois o 
movimento partícula ilimitado. 
 
b) 
dxxdxxP
2
)()( 
 
 

a
a
dxxaxaP
2
2
)()2( 
 
816
2 8
)[
8
(
400400
)2( 

  ee
a
a
dxe
a
axaP
a
a
a
x] = 0,02.
x 
V(x) 
0 
V1 
V2 
a/2 - a/2 
3. A função de onda do primeiro estado excitado de um poço infinito de largura a é: 
 









2 e 2 0
2/2/
22
),(
2
a/x-a/x
axae
a
x
sen
atx
tiE


 
 
a) Determine o valor da energia E2? 
b) Qual é o valor da incerteza p para este estado? 
c) Usando o resultado do item anterior, calcule a incerteza mínima correspondente x? 
 
 
Solução: 
 
a) Substituindo-se a função acima, para –a/2 < x < a/2, na equação de Schrödinger: 
 
t
tx
itxtxV
x
tx
m 





),(
),(),(
),(
2 2
22

 
 

 22 2
2
2
2
2
22
)
2
)(
2
(
2
2
)
2
)(
2
(
2
2
),(
2
iEiE
e
aa
x
sen
am
e
aa
x
sen
amx
tx
m





 



22
)
2
(
2
))(
2
(
2),(
22
iEiE
e
a
x
sen
a
EeE
i
a
x
sen
a
i
t
tx
i



  substituindo na 
 
equação e fazendo V(x,t) = 0. 
 



 22
2
)
2
)(
2
(
2
2
iE
e
aa
x
sen
am


2
)
2
(
2
2
iE
e
a
x
sen
a
E
 daí: 
 
2
22
2
2
4
ma
E


 
 
 
b) A incerteza p é dada por: 
 
22 ppp 
 , onde 
x
ipx


 ˆ
, 
dxx
x
ixp 




 )())((*  
 e 








 dxx
x
i
x
ixp )())()((*2  . Fazendo os cálculos: 
 
0
2
cos)
2
)((
22
2/
2/
 

dx
a
x
a
i
a
x
sen
a
p
a
a


, pois o integrando é uma função 
ímpar.
dyysen
a
a
a
dx
a
x
sen
a
dx
a
x
sen
aa
x
sen
a
p
a
a
a
a
a
a



2/
2/
22
22/
2/
2
2
22
2/
2/
2 )
2
(
2
2222
)
2
(
22  
 
 
Usando 
  )22
1
(
2
12 xsenxxdxsen
 têm-se: 
 
22
2
2 )
2
()()
2
(
aa
p
  
 logo 
a
h
a
p 
2 
 
c) Usando o princípio da incerteza: 
 
2

 xpx
 temos 
42min
a
p
x
x




 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
4) Dado o potencial barreira abaixo de altura V0 e largura a. 
 
a) Discuta qualitativamente a solução da equação de Schrödinger independente do 
tempo para o potencial barreira para E > V0, usando os conceitos de probabilidade de 
transmissão e probabilidade de reflexão e discutindo as principais diferenças entre o 
resultado quântico e a previsão clássica do comportamento da partícula? 
b) Assuma que uma solução particular para uma partícula sujeita a um potencial barreira 
é dada por: 









2 
2 
5
1
),(
a/xCe
-a/xee
tx
ikx
ikxikx
 
 
Calcule o coeficiente de reflexão R e o módulo da constante C? 
 
 
Solução: 
 
a) As soluções de (x) para o potencial dado e E > 0 terão a forma 
 ),( ikxikx BeAetx 
onde 

mE
kk
2
1 
para x <-a/2 e x>a/2 e 

)(2 0
2
VEm
kk


 para –a/2< x <a/2 
 
Nas regiões de fronteira do potencial, onde o vetor de onda da partícula muda, haverá 
uma probabilidade de reflexão ou transmissão da partícula. A probabilidade destes 
eventos é dada pelos coeficientes de reflexão R e o de transmissão T. Estes coeficientes 
dependem de energia E, e quanto maior E menor R e maior T. Para este problema em 
particular, existem valore de k2 tal que senk2a = 0, onde T = 1 e R = 0, que são 
conhecidas como condições de ressonância. 
Esta descrição quântica tem um claro contraste com a descrição clássica da partícula, 
que nesse caso teria probabilidade de transmissão sempre 1 para E > 0, ou seja, a 
partícula clássica jamais sofreria reflexão quando E > 0. 
b) Neste caso: 
 
 
25
1
1
)5/1( 2
R
 mas R + T = 1 logo T = 24/25 e 
5
62
25
24
1
2
 C
C
T
 
 
x 
V(x) 
0 
V0 
a/2 - a/2 
3ª Prova de F-589 
 
 
Turma A 1._____ 
Primeiro Semestre de 2007 2._____ 
 27/06/2007 3._____ 
4._____ 
 Nota:_____ 
 
 
Nome: ______________________________________RA:__________ 
 
 
5. Para um experimento de Rutherford, onde partículas de carga +ze e massa m, 
inicialmente se propagam com velocidade v e são espalhadas por um núcleo de 
carga +Ze, calcule o que se pede. 
a) A expressão para D, a menor distância de aproximação entre as partículas e o 
núcleo no caso de uma colisão frontal (b = 0)? 
b) O parâmetro de impacto b correspondente a um ângulo de espalhamento de 30
0
, 
no caso de partículas  de energia cinética 4,0 MeV incidindo em uma folha de Au 
(Z = 79) (ver figura). 
 
Solução: 
 
a) Nesse caso, a expressão para D pode ser obtida pela conservação da energia da 
partícula, igualando-se a energia cinética da partícula longe do núcleo aoo valor da 
energia potencial Coloumbiana na posição de menor aproximação D. 
 
 
 
2
4
1
4
1
2 2
2
0
2
0
2
Mv
zZe
D
D
zZeMv

 
 
b) Parra K = 4,0 MeV, z = 2 e Z = 79, D = 5,69x10
-14
 m. 
 
A partir da equação da trajetória, 
)1(cos
2
11
2
 
b
D
sen
br
 e usando, 
r
, 
)(   sensen pode mostrar que 
D
b
g
2
2
cot 
 . Substituindo-se 
os valores, encontra-se b = 1,06x10
-13
 m ou 0,00106 Å. 
 
 !!Outras aproximações quando corretas serão consideradas!! 
 
2) a) Enuncie os dois postulados pertinentes de Bohr e calcule (o valor em Å) do 
chamado raio de Bohr (a0) para um elétron no estado fundamental do átomo de 
hidrogênio. 
b) Obtenha a razão entre a faixa de freqüência de emissão da série de Lyman (nf = 1) 
para um átomo de Hidrogênio e a faixa de freqüência de emissão de uma série Paschen 
(nf = 3) para um positrônio (átomo composto por um elétron e um pósitron). 
 
Solução: 
a) Os dois postulados de Bohr relevantes para estes cálculos são: 
 
1) Um elétron em um átomo semove em órbitas circulares em torno do núcleo sob a 
influência da atração Coulombiana entre o elétron e o núcleo, obedecendo às leis da 
Mecânica Clássica. 
2) As únicas órbitas possíveis para o elétron são aquelas na qual seu momento angular é 
um múltiplo inteiro de h/2. 
 
A partir destes postulados: 
 
)1( 
4
1
2
2
0
2
r
Ze
r
mv


 
)2( nmvr
 
 
De (2) temos: 
)3( 
n
22
22
2
rm
v


 E levando em (1): 
22
2
0
0
0
222 4
4


n
Zme
ar
Ze
mr
n 
 
 
E para estado fundamental do átomo de hidrogênio Z = 1 e n = 1, a0 = 0,53 Å 
 
 !!Outras aproximações quando corretas serão consideradas!! 
b) Como para átomos de um elétron 
222
0
42 1
2)4( n
eZ
E



, a freqüência de emissão 
para as linhas da série de Lyman (nf = 1) para um átomo de Hidrogênio é dada por: 
 
)
1
1()
1
1
1
(
2)4(
)(
1
2
2
2222
0
42
n
ZC
nh
eZ
EE
h
v fi  


, assim a faixa de freqüência de 
emissão será: 
4
)
2
1
11(
2
2
2
1
ZC
ZCv nH
  
 para o hidrogênio
emZ   e 1
 e 
4
eCmv 
. 
De forma similar, para a freqüência de emissão para as linhas da série de Paschen (nf = 
3) para um positrônio: 
16
)
4
1
3
1
3
1
()
1
3
1
(
2)4(
2
222
2
12222
0
42 ZC
ZCv
nh
eZ
v n
  
 e 
para o positrônio 
2
 e 1 e
m
Z  
. 
32
2ZCm
v ep 
. Assim: 
8


vp
vH
 
3. Dada a seguinte função de onda do átomo de Hidrogênio, calcule o que se pede. 
 
02/ 
0
2/3
0
200 2
1
24
1
),,(
ar
e
a
r
a
r

















 
 
a) A energia cinética média 
K
de um elétron nesse estado? 
b) A valor da incerteza r para a coordenada radial da partícula nesse estado? 
 
Solução: 
a) A energia total deste estado é dada por : E = K + V. Assim: K = E – V e <K> = <E>-
<V> = En - <V>. Mas: 
 





















0
2/ 
2
0
2
0
3
0
0
2
200
*
200200 4)
4
1
(2
1
32
1
4)( 0 drre
r
e
a
r
a
drrrVV
ar 
Esta integral envolve termos de 
0/ arner

, e usando 
1
0
!


  n
xn
a
n
xdex 
 encontra-se: 
0
2
0
200
44
1
a
e
V


 que é igual ao valor do potencial para 
0
2anr 
 que é o raio de Bohr 
para camada 2. Assim: 
0
2
0 44
1
a
e
EK n 

 
 . 
E
V
a
e
a
e
a
e
a
ee
K 


284
1
44
1
84
1
44
1
2
1
2)4(
200
0
2
00
2
00
2
00
2
0
222
0
4   
 
de acordo com o Teorema do virial. 
 
 
!!O uso direto do Teorema do virial sem justificar ou demonstrar será 
parcialmente pontuado!! 
 
b) A incerteza em r e dada por 
222 rrr 
. Mas, 











 

2
0
2 )1(
1
2
1
1
n
ll
Z
an
rnl
 e 
logo: 
0
0
2
20 6
2
1
1
1
2
a
a
r 







 Calculando <r
2
>: 
















0
2/ 2
2
0
3
0
2 42
1
32
1
0 drrer
a
r
a
r
ar 
 
 
Novamente, a integral envolve termos de 
0/ arner

, e usando 
1
0
!


  n
xn
a
n
xdex 
 encontra-
se: 
2
0
2 42ar 
 
 
Assim: 
0
2
0
2
0
2 63642 araar 
 
 
4) a) Em um dado experimento espectroscópico são estudados elétrons da camada n = 3 
do átomo de hidrogênio. Quais são os possíveis valores da Energia total E (em eV), do 
momento angular orbital L e da componente z do momento angular orbital Lz para um 
elétron dessa camada. 
b) Dada a seguinte função de onda do átomo de Hidrogênio, calcule os valores médios 
<Lx> e <Lx
2 
+ Ly
2
>: 
 
 cos
1
24
1
),,( 0
2/ 
0
2/3
0
210
ar
e
a
r
a
r









 
 
Solução: 
a) A energia total para todos os estados desta camada tem um único valor: 
 
 
eV 51,1 
3
 6,131
 eV 6,13
22



n
E
 
Os possíveis valore de l para os estados com n = 3 são l = 0,1,2. Logo os possíveis 
valores de L são: 
 
 6,2,0)1(  llL
 
 
Os possíveis valore de ml para cada l, variam de – l a l. . Logo os possíveis valores de LZ 
são: 
 
 para 0ZL
 l = 0; 
 para e 0 , ZL
l = 1 e 
 para 2 e e 0 ,,2  ZL
 l = 
2, num total de 9 estados. 
 
b) 
  


  
0
2
0 0
2
210
*
210
ˆ dddrsenrLL xx
 
 
  














  
0
2
0
0
22/ 
0
2/ 
0
3
0
)(coscoscotcos
1
32
1
00 dddrsenre
a
r
gsenie
a
r
a
L
arar
x 
 
  

 
0 0
2
0
/ 
2
0
4
3
0
))((cos
1
32
1
0
   ddsensensendriea
r
a
L
ar
x 
 
 
  

 
0 0
2
0
2/ 
2
0
4
3
0
)(cos
1
32
0
   dsendsendrea
r
a
i
L
ar
x
 = 0, 
 
 
 
 
 
 
b)Usando 
2222
zyx LLLL 
 temos 
2222
zyx LLLL 
 e 
 2222 zyx LLLL
 
 
 
Assim, para o estado 210, l =1 e ml = 0, logo 
0 e 2
2222  zz LLL 
 e: 
 
 
222 2 yx LL