Apostila-_Algebra_Linear_-_Parte_A_2011-01-31

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Material Básico de Estudo 
 
Álgebra Linear Real 
 
 
 
 
 
 Fractal “Mandala” 
 
 
 
“Eu nunca ensino aos meus alunos, apenas tento dar condições nas quais eles possam aprender”. 
(Albert Einstein) 
 
 
 
Acadêmico(a): _________________________________________________ 
 
Turma: _____________________________ Primeiro Semestre de 2011. 
 
 
 
 
Material elaborado pelo Prof. Júlio César Tomio* 
 
* Professor do Instituto Federal de Santa Catarina [IFSC] – Campus Joinville. 
 
 
 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
2 
y 
x 4 
3 
w
 
– 2 0 
v
 
           
 v 
 
 
w
 
 
 
 
ESPAÇOS VETORIAIS 
 
A Álgebra é generosa; 
ela frequentemente contribui 
com mais do que foi pedido. 
 
Jean le Rond d’ Alembert (1717-1783) 
In Carl B. Boyer 
A History of Mathematics 
Wiley, 1968, p. 481 
1. VETORES NO ℝn 
 
Relembrando, sucintamente, vetores... 
 
Vetores no ℝ1 
 
O conjunto ℝ1 = 
}/){( Rxx 
 é interpretado como sendo o eixo orientado 
x
, também dito eixo real ou eixo das 
abscissas. É o espaço unidimensional. Vetores, neste sistema de coordenadas, serão representados por uma coordenada que 
determina sua extremidade, sendo que a origem do vetor coincide com a origem do sistema (Vetores Posição). 
 
Veja os exemplos: 
)3(v

 ou 
]3[v

 ou 
3v

 
)2(w

 ou 
]2[w

 ou 
2w

 
 
 
 origem 
 
  
 – 4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6 7 x 
 
 
 
Vetores no ℝ2 
 
O conjunto ℝ2 = ℝ x ℝ = 
},/),{( Ryxyx 
 é interpretado como sendo o Plano Cartesiano xOy. É o espaço 
bidimensional. Vetores, neste sistema de coordenadas, serão representados por uma dupla (ou par) ordenada(o) que 
determina sua extremidade, sendo que a origem do vetor coincide com a origem do sistema (Vetores Posição). 
 
Veja os exemplos: 
 
 
 
)3,4(v

 ou 







3
4
v

 ou 
3,4v

 
 
 
)0,2(w

 ou 







0
2
w

 ou 
0,2w

 
 
 
 
 
Observe que para a notação de um vetor usaremos: 
 
 
),( yxv 

 que é a expressão analítica, ou 
 
 







y
x
v

 que é a expressão matricial, ou 
 
 
yxv ,

 que é uma variação da expressão analítica, ou 
 
 
jyixv

.. 
 que é combinação linear com a base canônica. 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
3 
v
 
O 7 
2 
5 
y 
z 
x 
Vetores no ℝ3 
 
O conjunto ℝ3 = ℝ x ℝ x ℝ = 
},,/),,{( Rzyxzyx 
 é interpretado como sendo o Espaço Cartesiano Oxyz. É o 
espaço tridimensional. Vetores, neste sistema de coordenadas, serão representados por uma tripla (ou terna) ordenada(o) 
que determina sua extremidade, sendo que a origem do vetor coincide com a origem do sistema (Vetores Posição). 
 
 
 
 
Veja o exemplo: 
 
 
 
)5,7,2(v

 ou 











5
7
2
v
 ou 
5,7,2v

 
 
 
 
 
 
 
 
 
Vetores no ℝn 
 
O conjunto ℝn = ℝ x ℝ x ℝ x ... x ℝ = 
}/),...,,,{( 321 Rxxxxx in 
 é interpretado como sendo o Espaço ℝn. É o 
espaço n-dimensional. Vetores, neste sistema de coordenadas, serão representados por uma n-upla ordenada que determina 
sua extremidade, sendo que a origem do vetor coincide com a origem do sistema (Vetores Posição). 
 
Geometricamente, nossas representações se limitam, por enquanto, ao ℝ3, mas podemos trabalhar com situações que não 
dependem da representação geométrica e tratam de situações que envolvem mais que 3 variáveis (coordenadas). Assim 
sendo, poderemos trabalhar com 4 variáveis através do ℝ4 e assim sucessivamente. 
 
Se o espaço tiver 
n
 dimensões então um vetor será representado por: 
)...,,,,,( 4321 nxxxxxv 

 ou 





















nx
x
x
x
x
v


4
3
2
1
. 
 
 
Observação: Vários autores preferem representar em seus livros um vetor 
v
 apenas com a letra indicativa em negrito
v
, 
ou simplesmente em itálico 
v
, para diferenciar um vetor de um escalar. Aqui, normalmente representaremos um vetor com 
a indicação (mais usual) da “flechinha” [
v
 ] tornando fácil a representação de um vetor em anotações a mão livre, por 
exemplo. 
 
Vale relembrar também que se um vetor 
AB
 não estiver com sua origem coincidindo com a origem do sistema de 
coordenadas (vetor definido por dois pontos), poderemos encontrar o seu vetor posição 
v
 através da subtração dos 
pontos que determinam a sua extremidade 
B
 e sua origem 
A
 respectivamente. Assim sendo: 
 
ABv 
 
ABv 

 
 
 
 
Para refletir: Talento é quando um atirador atinge um alvo que os outros não conseguem. Gênio é quando um atirador atinge um alvo 
que os outros não vêem. (Arthur Schopenhauer) 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
4 
2. ESPAÇO VETORIAL REAL 
 
Seja um conjunto 
V
, não vazio, sobre o qual estão definidas as operações de adição e multiplicação por escalar, isto é: 
 
 
VvuVvu 

,,
 
 
VuaVuRa 

.,,
 
 
O conjunto 
V
 com estas duas operações é chamado Espaço Vetorial Real (ou Espaço Vetorial sobre 
R
) se forem 
verificados os seguintes axiomas: 
 
A) Em relação à adição: 
 
A1) 
Vwvuwvuwvu 

,,,)()(
 [associativa da adição] 
A2) 
Vvuuvvu 

,,
 [comutativa da adição] 
A3) 
uuVuV

 0,,0
 [elemento neutro] 
A4) 
0)(,)(,

 uuVuVu
 [inverso aditivo (oposto)] 
 
M) Em relação à multiplicação: 
 
M1) 
)..()..( vbavba


 
M2) 
vbvavba

..).( 
 
M3) 
vauavua

..).( 
 
M4) 
uu

1
, 
 
para 
Vvu 

,
 e 
Rba  ,
 
 
Observações: 
 
 Os elementos 
...,,, wvu

, de um espaço vetorial 
V
 são denominados vetores. 
 Se a definição de espaço vetorial considerasse como escalares o conjunto 
C
 dos números complexos, 
V
 seria um 
espaço vetorial complexo. Entretanto serão considerados somente espaços vetoriais reais em nosso estudo. 
 Por ter sido dada a definição de forma genérica, para um espaço vetorial 
V
 qualquer, ela serve para conjuntos 
diversos, tais como, 2R , 3R , o conjunto das matrizes 
)( nmxM
, etc. Assim, conforme seja o espaço vetorial 
considerado, os vetores terão a natureza dos elementos desse espaço e os conjuntos correspondentes terão a mesma 
“estrutura” em relação às operações de adição e multiplicação por escalar. 
 
 
EXEMPLO: 
 
1) O conjunto 
},/),{(2 RyxyxRV 
 é um espaço vetorial com as operações, de adição e multiplicação por um 
número real, assim definidas: 
 
 
),(),(),( 21212211 yyxxyxyx 
 
 
).,.(),.( 1111 yaxayxa 
 
 
Essas operações sãodenominadas operações usuais (de adição e multiplicação por escalar). 
 
Agora, para verificar os oito axiomas de espaço vetorial, consideremos: 
 
),( 11 yxu 

, 
),( 22 yxv 

 e 
),( 33 yxw 

 pertencentes a 
2RV 
 e 
Rba  ,
 
 
Daí, tem-se que: 
 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
5 
A1) 
)()( wvuwvu


 
A2) 
uvvu


 
A3) 
uuRuR

 0,,)0,0(0 22
 
A4) 
0)(,),()(,),( 211
2
11

 uuRyxuRyxu
 
M1) 
)..()..( vbavba


 
M2) 
vbvavba

..).( 
 
M3) 
vauavua

..).( 
 
M4) 
vv

1
 
 
[A verificação dos oito axiomas fica a cargo do leitor] 
 
Observação: Os elementos do espaço vetorial 
V
 serão chamados vetores, independentemente da sua natureza 
(polinômios, matrizes ou números). As operações de adição e multiplicação por escalar, realizadas com esses elementos, se 
comportam de forma idêntica, como se estivéssemos trabalhando com os próprios vetores do 2R ou do 3R . 
 
 
Propriedades de um espaço vetorial: 
 
Da definição de espaço vetorial 
V
, decorrem as seguintes propriedades: 
 
I) Existe um único vetor nulo em 
V
 (elemento neutro da adição). 
II) Cada vetor 
Vu
 admite apenas um simétrico 
Vu  )(

. 
III) Para quaisquer 
Vwvu 

,,
, se 
wvwu


, então 
vu


. 
IV) Qualquer que seja 
Vv
 , tem-se 
vv

 )(
, isto é, o oposto de 
v


 é 
v
 . 
V) Quaisquer que sejam 
Vvu 

,
, existe um e somente um 
Vx 

 tal que: 
vxu


. Esse vetor 
x
 será 
representado por 
uvx


. 
VI) Qualquer que seja
Vv
 , tem-se: 
0.0

v
. 
VII) Qualquer que seja 
R
, tem-se: 
00.


. 
VIII) 
0.

v
 implica em 
0
 ou 
0

v
. 
IX) Qualquer que seja 
Vv
 , tem-se: 
vv

 ).1(
. 
X) Quaisquer que sejam 
Vv
 e 
R
, tem-se: 
).().().( vvv
   . 
 
 
EXERCÍCIO 
 
1) Seja 
},/),{(2 RbabaRV 
, verificar se 
V
 é espaço vetorial em relação às operações assim definidas: 
 
a) 
),(),(),( dbcadcba 
 e 
),.(),.( bakbak 
 com 
Rkdc ,,
 
 
b) 
),(),(),( badcba 
 e 
).,.(),.( bkakbak 
 com 
Rkdc ,,
 
 
c) 
),(),(),( dbcadcba 
 e 
),(),.( 22 bkakbak 
 com 
Rkdc ,,
 
 
 
## RESPOSTAS ## 
 
1a) Não é espaço vetorial, pois M2 não se verifica. 
1b) Não é espaço vetorial, pois A2 não se verifica. 
1c) Não é espaço vetorial, pois M2 não se verifica. 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
6 
3. SUBESPAÇOS VETORIAIS 
 
Sejam 
V
 um espaço vetorial e 
S
 um subconjunto não-vazio de 
V
. O subconjunto 
S
 é um subespaço vetorial de 
V
 
se 
S
 é um espaço vetorial em relação à adição e à multiplicação por escalar definidas em 
V
. 
 
Teorema: Um subconjunto 
S
, não-vazio, de um espaço vetorial 
V
 é um subespaço vetorial de 
V
 se estiverem satisfeitas 
as condições: 
 
I) Para quaisquer 
Svu 

,
, tem-se: 
Svu 

. 
II) Para quaisquer 
Ra 
, 
Su 

, tem-se: 
Sua 

.
. 
 
 
Observações: 
 
 Todo espaço vetorial 
}0{

V
 admite, pelo menos, dois subespaços: o conjunto 
}0{
 , chamado subespaço zero ou 
subespaço nulo (consistido apenas pelo vetor nulo de 
V
), e o próprio espaço vetorial 
V
. Esses dois são os subespaços 
triviais de 
V
. Os demais subespaços são denominados subespaços próprios de 
V
. Os subespaços triviais, do 
2RV 
, 
por exemplo, são: 
)}0,0{(
 e 2R , enquanto os subespaços próprios são as retas que passam pela origem do sistema de 
referência. De modo análogo, os subespaços triviais do 3R são 
)}0,0,0{(
 e o próprio 3R . Os subespaços próprios do 3R
 
são as retas e os planos que passam pela origem do sistema. 
 
 
EXEMPLOS: 
 
1) Considere o espaço vetorial 
5RV 
 e 
});,,,,0{( 5432 RxcomxxxxW i 
. Isto é, 
W
 é o conjunto dos vetores 
de 5R cuja primeira coordenada é nula. Verificar se W é subespaço de 5R . 
 
Verificando a condição (I): 
 
Seja: 
),,,,0( 5432 xxxxu 

, 
),,,,0( 5432 yyyyv 

 
W
. 
 
Então: 
),,,,0(),,,,0( 54325432 yyyyxxxxvu 

 
),,,,0( 55443322 yxyxyxyxvu 

 que ainda pertence a 
W
, pois tem a 1ª coordenada nula. 
 
Verificando a condição (II): 
 
Seja: 
),,,,0( 5432 xxxxu 

 
W
 e 
Ra 
 . 
 
Então: 
),,,,0.(. 5432 xxxxaua 

 
).,.,.,.,0(. 5432 xaxaxaxaua 

que ainda pertence a 
W
, pois a primeira coordenada é nula para 
Ra 
. 
 
Assim, 
W
 é um subespaço de 5R . 
 
 
2) Sejam 
3RV 
 e 
}2/),,{( 3 zxyRzyxS 
. Determine se 
S
 é subespaço vetorial de 
V
. 
[Aqui fica dispensável verificar que 
S
 é conjunto não-vazio e também apresenta o vetor nulo para 
0x
 e 
0z
] 
 
Pela lei dada, os vetores de 
S
 têm a característica: 
),2,( zzxx 
. 
 
Verificando a condição (I): 
 
Sejam 
u
 e 
v
 pertencentes a 
S
, onde: 






















2
22
2
1
11
1
22
z
zx
x
v
z
zx
x
u

e
 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
7 
Fazendo 
vu


 teremos: 














21
2121
21
22
zz
zzxx
xx
vu
 
Portanto: 














21
2121
21
)()(2
zz
zzxx
xx
vu
 tem todas as características de 
S
. 
 
Verificando a condição (II): 
 
Seja 
u
 pertencente a 
S
 e 
k
 um número real. Assim teremos: 
 
ukw

.
 
 






















1
11
1
1
11
1
)2(2.
kz
zxk
kx
z
zx
x
kw
  











1
11
1
2
kz
kzkx
kx
w
 
 
Notemos que, 
w
 mantém as características de 
S
. 
 
Dessa forma, 
S
 é um subespaço de 
V
. 
 
 
3) Sejam 
)13( xMV 
 e 
S
 o conjunto-solução de um sistema linear homogêneo a três variáveis. Verificar se o sistema é 
subespaço vetorial de 
)13( xM
: 
 








03
02
0243
zyx
zyx
zyx
 
 
Fazendo: 




































0
0
0
0,
131
112
243
e
z
y
x
XA
, o sistema em notação matricial, será dado por 
0. XA
, sendo 
X
 elemento do conjunto-solução 
S
. Note que o sistema é do tipo 
SPI
, tendo infinitas soluções. 
 
Se 






















2
2
2
2
1
1
1
1
z
y
x
Xv
z
y
x
Xu

e
 , temos como solução: 
0. 1 XA
 e 
0. 2 XA
. (duasdas infinitas soluções) 
 
Verificando a condição (I): 
 
Somando essas igualdades, vem: AX1 + AX2 = 0 
A(X1 + X2) = 0  X1 + X2  S 
 
Isto é, a soma de duas soluções é ainda uma solução do sistema. 
 
Verificando a condição (II): 
 
Seja   R. Então: .(A.X1) = .0 
A.(.X1) = 0  .X1  S 
 
Isto é, o produto de uma constante por uma solução é ainda uma solução. 
 
Logo, o conjunto-solução 
S
 do sistema linear homogêneo é um subespaço vetorial de 
)13( xM
. 
 
Se um sistema linear é 
não-homogêneo, o seu 
conjunto solução NÃO é 
um espaço vetorial. 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
8 
4) Sejam 
2
RV 
 e 
}13/),{(
2
 xyRyxS
, determine se 
S
 é subespaço vetorial de 
V
. 
 
Pela lei dada, os vetores de 
S
 têm a característica: 
)13,( xx
 ou 






13x
x
. 
 
Verificando a condição (I): 
Sejam 
u
 e 
v
 pertencente a 
S
, onde: 
















1313 2
2
1
1
x
x
v
x
x
u

e
 
 
Então: 
















1313 2
2
1
1
x
x
x
x
vu

 









1313 21
21
xx
xx









233 21
21
xx
xx
 
 
Logo: 









2)(3
)(
21
21
xx
xx
vu

 Assim sendo: 
Svu 

. 
 
Portanto, a condição (I) já falha. 
 
 
Verificando a condição (II): 
Seja 
Rk
, então: 








13
..
1
1
x
x
kuk

 
 








kkx
kx
uk
1
1
3
.

 Assim sendo: 
Suk 

.
. 
 
A condição (II) também falha! 
 
Observação: Vale ressaltar que não seria necessária a verificação da condição (II), uma vez que para ser um 
subespaço, as duas condições devem ser satisfeitas. 
 
Portanto podemos garantir que 
S
 não é um subespaço de 
V
. 
 
 
EXERCÍCIOS: 
 
Verifique se os subconjuntos dados a seguir são Subespaços Vetoriais: 
 
1) Sejam V = R2 e S = {(x, y)  R2 / y = 2x} ou S = {(x, 2x); x  R}. 
 
2) Sejam V = R4 e S = {(a, b, 0, 0); com a, b  R}. 
 
3) Sejam V = R2 e 
};),{(
2
RxxxS 
. 
 
4) Sejam V = R4 e U = {(x, y, z, t)  R4; 2x + y – t = 0 e z = 0} . 
 
5) Sejam 
2MV 
 e 












 cbRdcba
dc
ba
W ecom ,,,
. 
 
6) Sejam 
2MV 
 e 












 1,,, cbRdcba
dc
ba
W ecom
. 
 
## RESPOSTAS ## 
 
1) É Subespaço. 2) É Subespaço. 3) NÃO é Subespaço. 4) É Subespaço. 5) É Subespaço. 6) NÃO é Subespaço. 
 
 
 
Para refletir: Não se pode transformar o que não se aceita. (Jung) 
 
Nenhum vento sopra a favor de quem não sabe para onde ir. (Lucius Annaeus Sêneca) 
Descaracteriza-se do subconjunto 
S
 
Descaracteriza-se do subconjunto 
S
 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
9 
4. COMBINAÇÃO LINEAR 
 
Um dos objetivos do uso de combinações lineares é a obtenção de novos vetores a partir da combinação das duas operações 
vistas anteriormente (adição e multiplicação por escalar) com vetores dados. 
 
Definição: Sejam 
V
 um espaço vetorial real (ou complexo), 
Vvvv n 

,...,, 21
 e 
naaa ,...,, 21
 escalares (reais ou 
complexos). Qualquer vetor 
Vv 

 da forma: 
 
 
nn vavavav

...... 2211 
 é chamado de uma combinação linear dos vetores 
nvvv

,...,, 21
. 
 
EXEMPLOS: 
 
1) O vetor 
)7,18,4( u

 do espaço 3
R
 é uma combinação linear dos vetores 
)2,3,1(1 v

 e 
)1,4,2(2 v

 
do 3
R
? 
 
 Sim, pois: 
 
   
   
 7,18,4
3,12,64,6,2
1,4,2.32,3,1.2
.3.2 21




u
u
u
vvu




 
 
 Mas como encontramos os coeficientes 
2
 e 
3
 na expressão: 
21 32 vvu


? Vejamos abaixo: 
 
Se o vetor 
u
 é combinação linear de 
1v

 e 
2v

, então podemos escrever que: 
21 .. vbvau


. Assim temos: 
 
 
21 .. vbvau


 
)1,4,2.()2,3,1.()7,18,4(  ba
 
),4,2()2,3,()7,18,4( bbbaaa 
 
)2,43,2()7,18,4( bababa 
 
 








72
1843
42
ba
ba
ba
 Resolvendo o sistema, encontraremos 
2a
 e 
3b
. 
 
Voltando à expressão inicial, concluímos que: 
21 32 vvu


 (
u
 é combinação linear de 
1v

 e 
2v

). 
 
 
2) Verifique se o vetor 
)5,4,1(w

 do espaço 3
R
 pode ser escrito como combinação linear dos vetores 
)0,0,1(i

, 
)0,1,0(j

 e 
)1,0,0(k
 . 
 
 Para que o vetor 
w
 seja combinação linear dos vetores 
i
 , 
j

 e 
k
 , devem existir os valores de 
1a
, 
2a
 e 
3a
 na 
expressão: 
 
kajaiaw

... 321 
 
 
Logo: 
)1,0,0.()0,1,0.()0,0,1.()5,4,1( 321 aaa 
 
),0,0()0,,0()0,0,()5,4,1( 321 aaa 
 
),,()5,4,1( 321 aaa
 
 
Comparando, temos que: 
11 a
, 
42 a
 e 
53 a
. 
 
Logo, o vetor 
)5,4,1(w

 é combinação linear dos vetores 
i
 , 
j

 e 
k
 , pois: 
kjiw

.5.4.1 
 
 
Observação: Note que os vetores 
i
 , 
j

 e 
k
 são os versores da base canônica que geram o sistema cartesiano ortogonal 
3
R
, e que desta forma, os coeficientes 
1a
, 
2a
 e 
3a
 coincidem com as componentes do vetor 
w
 . A correspondência da 
notação 
kjiw

541)5,4,1( 
 já fora aplicada inúmeras vezes no estudo da Geometria Analítica e da Física. 
Observação: Como os vetores 
1
v

 e 
2
v

 são 
vetores do 3
R
, o conjunto de suas combinações 
lineares formará o plano que passa na origem 
)0,0,0(
 e que contém os vetores 
1
v

 e 
2
v

. 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
10 
3) Verifique se o vetor 
)1,2,3(v
 pode ser escrito como uma combinação linear dos vetores 
)1,1,1(1 v

, 
)1,1,1(2 v

 e 
)1,1,1(3 v

. 
 
 Para que o vetor 
v
 seja combinação linear dos vetores 
1v

, 
2v

 e 
3v

, devemos verificar se existem os números 
a
, 
b
 e 
c
 na expressão: 
 
321 ... vcvbvav


 
 
Então: 
)1,1,1.()1,1,1.()1,1,1.()1,2,3(  cba
 
),,(),,(),,()1,2,3( cccbbbaaa 
 
),,()1,2,3( cbacbacba 
 
 
Comparando, temos que: 
cba 3
, 
cba 2
 e 
cba 1
. Organizando as equações num sistema linear, 
 
teremos: 








1
2
3
cba
cba
cba
 que pode ser apresentado também na forma matricial: 

































1
2
3
111
111
111
c
b
a
. 
 
Resolvendo o sistema em questão, que tem solução única, encontraremos: 











 1,
2
1
,
2
3
S
 e, portanto, o vetor 
v
 pode 
ser escrito como combinação de 
1v

, 
2v

 e 
3v

. Assim sendo: 
321
2
1
2
3
vvvv


. 
 
EXERCÍCIOS: 
 
 Verificar se é possível escrever os vetores pedidos como combinação linear, justificando sua resposta: 
 
1) Escreva 
v
 = (1, –2, 5) como combinação linear dos vetores 
1e

= (1, 1, 1), 
2e

= (1, 2, 3) e 
3e

= (2, –1, 1). 
 
2) Sendo 
v
 = (4, 3, –6) é possível escrever 
v
 como combinação linear de 
1v

= (1, –3, 2) e 
2v

= (2, 4, –1)? 
 
3) Determinar “k” para que o vetor 
u
 = (–1, k, –7) seja combinação linear de 
1v

= (1, –3, 2) e 
2v

= (2, 4, –1). 
 
4) No espaço vetorial 
2P
 dos polinômios de grau  2, o polinômio 
p
= 7x2 + 11x – 26, pode ser escrito como combinação 
linear de 
1q
= 5x2 – 3x + 2 e 
2q
= –2x2 + 5x – 8 ? 
5) Escreva a matriz 








11
13
E
 como combinação linear das matrizes 







01
11
A
, 







11
00
B
 e 








10
20
C
. 
 
## RESPOSTAS ## 
 
1) 
321 .2.3.6 eeev


 2) Não, pois 
21 ../, vbvavba


 3) k = 13 
4) Sim, pois 
21 43 qqp 
 5) 
CBAE  23
 
 
 
 
5. INDEPENDÊNCIA E DEPENDÊNCIA LINEAR (LI e LD) 
 
Podemos gerar um espaço vetorial através da combinação linear entre vetores (veremos isso adiante). Um espaço n
R
 pode 
ser gerado por 
n
 ou mais vetores. Nossa preocupação é gerar um espaço com o mínimo (
n
) de vetores e identificar a 
existência de algum vetor descartável (supérfluo) nesse conjunto. Para isso, precisamos compreender o conceito de 
independência e dependência linear entre vetores. 
 
Definição: Sejam 
Vvvv n 

,...,, 21
 (espaço vetorial). Dizemos que o conjunto 
},...,,{ 21 nvvv

 é linearmente 
independente (LI), ou que os vetores 
nvvv

,...,, 21
 são LI, se a equação: 
 
0...... 2211

 nn vavava
 implica que 
0...21  naaa
. 
 
Se existir algum 
0ia
 que satisfaça a equação, dizemos que 
},...,,{ 21 nvvv

 é linearmente dependente (LD). 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
11 
Prova: 
 
Seja a equação: 
0......... 11

 nnkk vavava
. Supondo algum coeficiente qualquer 
0ia
, chamaremos de 
ka
 
então podemos reescrever a equação como: 
 
nnkkkkkk vavavavava

........... 111111  
 
)..........(
1
111111 nnkkkk
k
k vavavava
a
v

 
 
 
Assim vemos que o vetor 
kv

 pode ser obtido da combinação linear dos demais. 
 
Portanto concluímos que 
},...,,...,{ 1 nk vvv

 é LD. 
 
 Vamos exemplificar de forma mais inteligível. 
 
Podemos imaginar o espaço 1R para vermos que qualquer conjunto de dois ou mais vetores não nulos, tornam-se LD, 
pois todos serão colineares ou proporcionais (múltiplos escalares). 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
A mesma situação (LD) ocorre no 2R com três ou mais vetores (que são coplanares), pois bastariam dois vetores não 
alinhados para formar todo o plano. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
O termo “linearmente dependente” sugere que os vetores de alguma maneira dependem um do outro. O teorema abaixo 
mostra que isto realmente ocorre: 
 
Teorema: Um conjunto 
S
 de dois ou mais vetores é: 
 
(a) LD se, e somente se, pelo menos um dos vetores de 
S
 pode ser escrito como uma combinação linear dos outros 
vetores de 
S
. 
(b) LI se, e somente se, nenhum vetor de 
S
 pode ser escrito como uma combinação linear dos outros vetores de 
S
. 
 
 
Através do exposto, podemos ainda garantir que: 
 
(i) Um conjunto finito de vetores que contém o vetor nulo é linearmente dependente (LD). 
(ii) Um conjunto de exatamente dois vetores é lineamente independente (LI) se, e somente se, nenhum dos dois 
vetores é um múltiplo escalar do outro. 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
12 
y 
x 
1 
–3 
u
 
 2 0 
v
 
EXEMPLOS: 
 
1) No espaço 2R , verificar se os vetores 
)0,2(u

 e 
)3,1( v

 são LI, ou seja, linearmente independentes. 
 
  Para tal verificação, escrevemos: 
0.. 21

 vaua
 
 
Então: 



















0
0
3
1
.
0
2
. 21 aa
  



















0
0
30
2
2
21
a
aa 
 
  














0
0
3
2
2
21
a
aa  





03
02
2
21
a
aa 
 
Estamos diante de um sistema homogêneo com solução única (trivial): 
01 a
 e 
02 a
, ou seja, 
)}0,0{(S
. 
Como a única solução para 
0.. 21

 vaua
 é 
01 a
 e 
02 a
, concluímos que os vetores 
u
 e 
v
 são LI. 
 
 
Observação: 
 
O problema (1) acima poderia ser solucionado apenas pela inspeção 
prévia dos vetores 
u
 e 
v
 , pois se percebe facilmente que os vetores 
u
 e 
v
 NÃO são múltiplos escalares um do outro, o que leva a 
conclusão direta de que estes dois vetores 
u
 e 
v
 são LI. 
 
Ao lado, temos a representação geométrica dos vetores do exemplo 1. 
 
 
 
 
 
2) Verificar se é LD o conjunto: 
 
P = {1 + 2x – x2; 2 – x + 3x2; 3 – 4x + 7x2 } 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Observação: 
 
A análise em questão sempre passa por um SISTEMA HOMOGÊNEO. Quando esse sistema for “quadrado” [número de 
vetores igual à dimensão do espaço, o que implica em um número de equações igual ao número de variáveis no sistema], 
podemos fazer uso do conceito da Regra de Cramer para a análise da situação, isto é, verificando o valor do determinante 
“D” da matriz formada pelos coeficientes das variáveis (determinante principal). Note que esse determinante é 
composto pelos vetores do problema dispostos ordenadamente em colunas. Assim, se: 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
13 
 
 D  0 então o sistema é do tipo SPD (tem solução única, chamada de “trivial”) e, portanto, os vetores são LI. 
 D = 0 então o sistema é do tipo SPI (tem a solução trivial + infinitas soluções “próprias”) e, portanto, os vetores são LD. 
 
Desta forma, o exercício anterior (2) poderia ser analisado através do determinante principal do sistema. Então: 
 
731
412
321

D
 Como 
0D
, temos que os vetores do conjunto P são LD. [Note que: L1 – L2 = L3] 
 
Interpretação Geométrica da Dependência e Independência Linear de Vetores 
 
 Dois vetores no 3R (ou no 2R ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Três vetores no 3R (ou no 2R ): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Podemos completar ainda, enunciando o teorema: 
 
Seja 
},...,,{ 21 nvvvS


 um conjunto de vetores no mR . Se 
mn 
, então 
S
 é linearmente dependente. 
 
O teorema acima nos diz que: 
 
 Um conjunto no 2R com MAIS de dois vetores é linearmente dependente. 
Um conjunto no 3R com MAIS de três vetores é linearmente dependente, e assim sucessivamente. 
 
 
Para finalizar, descrevemos algumas propriedades específicas da Independência Linear: 
 
 Por definição, um conjunto vazio 
}{A
 é sempre LI. 
 Se um conjunto unitário 
}{vB


 e 
0

v
, então 
B
 é LI. [Verifique!] 
 
 
Tópico Extra: Independência Linear de Funções 
 
O conceito de Independência Linear também pode ser estendido para o estudo de funções. O Wronskiano (em 
homenagem ao matemático e filósofo polonês Józef Maria Hoëné-Wrónski) é utilizado para verificar se um conjunto de 
funções diferenciáveis é linearmente independente, em um intervalo dado. Caso o Wronskiano seja diferente de zero em 
algum ponto do intervalo dado, as funções são linearmente independentes. Esse conceito é muito útil em diversas situações, 
por exemplo, na hora de verificar se as duas funções que são soluções de uma Equação Diferencial Ordinária de Segunda 
Ordem são linearmente independentes. 
 Interessou? Pesquise e procure saber mais! 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
14 
EXERCÍCIOS: 
 
1) Verifique se os conjuntos dados a seguir são LI ou LD: 
 
a) 
u
 = (1, –1, –2), 
v
 = (2, 1, 1) e 
w
 = (–1, 0, 3) 
b) 
u
 = (0, 1, 0, –1), 
v
 = (1, 1, 1, 1), 
w
 = (1, 2, 0, 1) e 
t
 = (1, 2, 1, 0) 
c) 
p
= 1 + 3x + x2, 
q
= 2 – x – x2, 
r
= 1 – 2x – 3x2 e 
s
= –2 + x + 3x2 
d) 
1v

= (2, –1, 3), 
2v

= (–1, 0, –2) e 
3v

= (2, –3, 1) 
e) 
1v

= (2, 2, 3, 4), 
2v

= (0, 5, –3, 1) e 
3v

= (0, 0, 4, –2) 
 
f) 








34
21
A
 e 








912
63
B
 g) 









423
121
A
, 









012
210
B
 e 









301
501
C
 
 
2) Determine o valor de 
k
 para que seja LI o conjunto {(–1, 0, 2), (1, 1, 1), (k, –2, 0)}. 
 
3) Determine 
k
 para que o conjunto 























 
0
12
,
00
11
,
01
01
k
 seja LD. 
 
4) Prove que, se 
u
 e 
v
 são LI, então 
vu


 e 
vu


 também o são. 
 
 
## RESPOSTAS ## 
 
1a) LI 1b) LD 1c) LD 1d) LD 1e) LI 1f) LD 1g) LI 2) k  –3 3) k = 3 
 
 
 
6. BASE DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
Introdução: Sistemas de Coordenadas Não-Retangulares 
 
Na geometria analítica plana nós aprendemos a associar um ponto 
P
 do plano 2
R
 a um par de coordenadas 
),( ba
 
projetando 
P
 sobre um par de eixos coordenados perpendiculares, conforme detalhe (a) da figura a seguir. Com esse 
processo, é associado um único conjunto de coordenadas a cada ponto do plano e, reciprocamente, a cada par de 
coordenadas está associado um único ponto no plano. Descrevemos isto dizendo que o sistema de coordenadas estabelece 
uma correspondência biunívoca entre os pontos do plano e os pares ordenados de números reais. 
 
Embora os eixos coordenados perpendiculares sejam os mais comuns, podemos usar quaisquer duas retas não-paralelas 
para definir um sistema de coordenadas no plano. Por exemplo, no detalhe (b) da figura abaixo, associa-se um par de 
coordenadas 
),( ba
 ao ponto 
P
 projetando-o paralelamente aos eixos coordenados não-paralelos. Analogamente, no 
espaço tridimensional, podemos definir um sistema de coordenadas utilizando quaisquer três retas não coplanares, como no 
detalhe (c) da figura abaixo. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para refletir: O maior prazer de um homem inteligente é bancar o idiota diante de um idiota que banca o inteligente. 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
15 
Assim, iremos reformular a noção de sistemas de coordenadas nos espaços bi e tridimensionais utilizando vetores onde antes 
eram utilizados eixos coordenados para especificar o sistema de coordenadas. Isso pode ser feito substituindo cada eixo 
coordenado por um vetor de comprimento, direção e sentido de interesse para cada situação. 
 
Um ingrediente essencial de qualquer sistema de coordenadas é a escala de medida de comprimento ao longo dos eixos 
coordenados. Em geral, utiliza-se a mesma escala em cada eixo e o espaçamento dos pontos inteiros é feito com uma 
unidade de distância. No entanto, isso nem sempre é prático ou adequado. Escalas diferentes ou escalas em que os pontos 
inteiros estão a mais ou a menos do que uma unidade de distância, podem ser necessárias para encaixar um gráfico numa 
página impressa ou para representar quantidades físicas com unidades diferentes num mesmo sistema de coordenadas (por 
exemplo, tempo em segundos em um dos eixos e temperatura em centenas de graus no outro). 
 
Quando um sistema de coordenadas é especificado por um conjunto de vetores de BASE, então os comprimentos desses 
vetores correspondem às distâncias entre pontos inteiros sucessivos nos eixos coordenados (veja figuras a seguir). Assim, é 
o sentido dos vetores de base que define o sentido positivo nos eixos coordenados e o comprimento dos vetores de base 
é que estabelece a escala de medida. 
 
 
 
 
 
 (a) Escalas idênticas. (b) Escalas diferentes. 
 Eixos perpendiculares. Eixos Perpendiculares. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Muitas situações podem ser simplificadas, escolhendo-se um sistema de coordenadas com uma BASE adequada. Por 
exemplo, considere a estrutura molecular do zinco, apresentada na figura abaixo [detalhe (a)] e a necessidade de se estudar 
o comprimento das ligações dos átomos, os ângulos entre as ligações, entre outros fatores envolvendo o zinco. Essa análise 
será muito facilitada com o uso de coordenadas e de ferramentas da álgebra linear. A escolha do sistema de eixos 
coordenados “canônicos” para este estudo não é a melhor opção. Como é possível verificar na figura abaixo [detalhe (b)], a 
escolha da base 
},,{ wvu

 é provavelmente a mais adequada para o 3
R
 arbitrário em questão, pois esses vetores se 
alinham perfeitamente com as ligações entre os átomos de zinco. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
(d) Escalas diferentes. 
 Eixos oblíquos. 
(c) Escalas idênticas. 
 Eixos oblíquos. 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
16 
A definição de BASE, a seguir, tornará as idéias apresentadas até aqui mais “precisas” e permitirá ampliarmos o conceito de 
sistema de coordenadas para espaços vetoriais arbitrários. 
 
Definição: 
Um conjunto 
VvvvB n  },...,,{ 21

 será uma base do espaço vetorial 
V
 se atender duas condições: 
 
i) 
B
 é Linearmente Independente (LI); 
ii) 
B
 gera o Espaço Vetorial 
V
. 
 
Em outras palavras, BASE é o conjunto de vetores necessários para gerar o espaço vetorial 
V
. 
 
Nota: Quando um conjunto 
VvvvB n  },...,,{ 21

 gera um espaço vetorial 
V
, representamos: 
],...,,[ 21 nvvvV


 
ou 
)(BgerV 
, ou ainda, 
},...,,{ 21 nvvvgerV


. 
 
EXEMPLOS: 
 
1) O conjunto dos vetores 
)0,1(1 e

 e)1,0(2 e

 é uma base do espaço 
2
RV 
. Comprove! 
 
 De fato, 
},{ 21 ee

 é base de 
V
, pois além de gerar qualquer vetor de 
V
, é linearmente independente (LI). Veja: 
 
i) 
)0,0(.. 21  ebea

 
 
)0,0()1,0(.)0,1(.  ba
 
 
)0,0(),0()0,(  ba
 
 
)0,0(),( ba
 [Os únicos valores de 
a
 e 
b
 para que 
)0,0(.. 21  ebea

 são 
0a
 e 
0b
]. 
 
Logo, 
},{ 21 ee

 é LI. 
 
ii) O conjunto 
},{ 21 ee

 gera o espaço 2
R
, pois: 
)1,0.()0,1.(),( yxyx 
 [qualquer vetor 
),( yx
 do 2
R
 é escrito como combinação linear de 
1e

 e 
2e

]. 
 
Logo, por (i) e (ii), comprovamos que o conjunto 
},{ 21 ee

 é uma BASE do espaço 
2
RV 
 
 
Observação: A base 
)}1,0();0,1{(
 é chamada de Base Canônica (ou Natural) do 2
R
 e os vetores 
)0,1(1 e

 e 
)1,0(2 e

 costumam ser chamados de 
i
 e 
j

. 
 
2) Sejam os vetores 
)3,2,1(1 v

, 
)2,1,0(2 v

 e 
)1,0,0(3 v

. Mostre que o conjunto 
},,{ 321 vvvB


 é uma base do 
3
R
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
17 
Nota: Vale relembrar o conceito de produto 
interno (escalar) usual de dois vetores 
1v

 e 
2v

 no 3
R
. Veja: 
 
21212121 ... zzyyxxvv 

 
 
 sabendo que: se 
021  vv

  
21 vv


. 
3) Mostrar que 































10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
B
 é base canônica de 
)2,2(M
. 
 
 Inicialmente, vamos verificar se
B
 é Linearmente Independente (LI) [condição (i)]. Então: 
 































00
00
10
00
.
01
00
.
00
10
.
00
01
. dcba
 
 































00
00
0
00
0
00
00
0
00
0
dc
ba
 
 













00
00
db
ca
 e daí, tem-se a solução única: 
0 dcba
. 
Portanto, 
B
 é LI. 
 
 Agora, vamos verificar se 
B
 gera o espaço 
)2,2(M
 [condição (ii)]. Para isto, qualquer matriz do espaço 
)2,2(M
 deve 
ser escrita como combinação linear das matrizes do conjunto 
B
. 
 
De fato, qualquer que seja a matriz 
)2,2(M
dc
ba






, ela pode ser escrita como combinação linear das matrizes de 
B
: 
 































10
00
.
01
00
.
00
10
.
00
01
. dcba
dc
ba
 e daí tem-se que 
B
 gera o Espaço 
)2,2(M
. 
 
 Como foram satisfeitas as duas condições [i e ii], 
B
 é base do espaço de matrizes 
)2,2(M
; como queríamos demonstrar. 
 
 
 
Tópico Especial: Ortonormalidade de Bases 
 
Base Ortogonal: Diz-se que uma base 
},...,,{ 21 nvvvB


 é ORTOGONAL se os seus vetores são dois a dois ortogonais. 
 
Base Ortonormal: Diz-se que uma base 
VvvvB n  },...,,{ 21

 é ORTONORMAL se 
B
 é ortogonal e todos os seus 
vetores são unitários, isto é: 
 
 






jipara
jipara
vv ji
1
0
 
 
 
 Para esse caso, 
V
 é um Espaço Vetorial Euclidiano. [Pesquise!] 
 
 
Observações: 
 
Através dos conceitos dados, concluímos que a base canônica 
)}1,0();0,1{(
 é uma base ORTONORMAL do 2
R
. 
 
As bases conhecidas como CANÔNICAS são as mais comuns por serem ORTONORMAIS. São algumas delas: 
 
  Base canônica do espaço vetorial 1
R
: 
)}1{(
 
  Base canônica do espaço vetorial 2
R
: 
)}1,0();0,1{(
 
  Base canônica do espaço vetorial 3
R
: 
)}1,0,0();0,1,0();0,0,1{(
 
  Base canônica do espaço vetorial 
)2,2(M
: 






























10
00
,
01
00
,
00
10
,
00
01
 
  Base canônica do espaço vetorial 
3P
 (polinômios de grau menor ou igual a 3): 
},,,1{
32
xxx
 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
18 
7. DIMENSÃO DE UM ESPAÇO VETORIAL 
 
Seja 
V
 um espaço vetorial. 
 
 Se 
V
 possui uma base com 
n
 vetores, então 
V
 tem dimensão 
n
 e denota-se: 
nV dim
. 
 Se 
V
 não possui base, 
0dim V
. 
 Se 
V
 tem uma base com infinitos vetores, então a dimensão de 
V
 é infinita e anota-se: 
Vdim
. 
 
Observação: Um espaço vetorial 
V
 que tem dimensão 
n
 [
nV dim
] também é dito “n-dimensional”. 
 
Vários teoremas vistos anteriormente podem ser novamente enunciados utilizando o conceito de dimensão. Veja: 
Suponha que 
V
 é um espaço vetorial de dimensão 
n
. Então nenhum conjunto com mais de 
n
 vetores em 
V
 pode ser 
linearmente independente e 
V
 não pode ser gerado por um conjunto de vetores com menos de 
n
 vetores. 
 
Teorema: A dimensão 
n
 de um espaço vetorial 
V
 é o número máximo de vetores linearmente independentes em 
V
 e 
também o número mínimo de vetores necessários para gerar 
V
. 
 
EXEMPLOS: 
 
a) 
2dim
2
R
, pois toda base do 2
R
 tem 2 vetores. d) 
nmM nm ),(dim
. 
b) 
nR
n
dim
. e) 
1dim  nPn
. 
c) 
12dim )4,3( M
. f) 
0}0{dim 
 
 
 
Tópico Especial: Espaços Vetoriais Isomorfos 
 
De um modo geral, se 
V
 é um espaço vetorial sobre 
R
 e 
nV dim
, então 
V
 e n
R
 são ISOMORFOS. 
 
Por exemplo: Os espaços vetoriais 
2P
 e 
)1,3(M
 são isomorfos ao espaço vetorial 3
R
. 
 Note que 
3dimdimdim
3
)1,3(2  RMP
 
 
Isso de certa forma explica por que, em muitos casos, os “elementos” desses espaços podem ser escritos tanto no formato 
de matriz, quanto no formato de coordenadas cartesianas (vetor), ou até mesmo através de polinômios. Esses elementos (e 
seus respectivos espaços vetoriais) possuem a mesma “estrutura”, portanto se comportam de maneira igual perante as 
operações de adição e multiplicação por escalar que definem um espaço vetorial. 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Explique por que os conjuntos de vetores dados abaixo NÃO são bases dos espaços vetoriais indicados. 
 [Faça este exercício apenas por inspeção]. 
 
a) 
)}1,1();3,0();2,1{(1 B
 do espaço 2
R
. 
b) 
)}0,1,2();2,3,1{(2 B
 do espaço 3
R
. 
c) 
}1;1{
2
3  xxxB
 do espaço 
2P
. 
d) 









































12
97
,
52
73
,
71
03
,
20
11
,
32
11
4B
 do espaço 
)2,2(M
. 
 
2) Verificar quais dos conjuntos de vetores abaixo formam uma base. 
 
a) A = {(1, 2); (–1, 3)} b) B = {(0, 0); (2, 3)} c) C = {(3, –1); (2, 3)} 
 
 
3) Verifique se alguma das bases a seguir é ortonormal ou ortogonal. 
a) 
)}1,1();1,1{( Ab) 
)}4,8();6,3{( B
 c) 



















13
12
,
13
5
;
13
5
,
13
12
C
 
d) 













2
3
,
2
1
;)0,1(D
 e) 

























2
1
,
2
1
,0;
6
1
,
6
1
,
6
2
;
3
1
,
3
1
,
3
1
E
 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
19 
 
f) 
)}2,0,0();0,2,0();0,0,2{(F
 g) 
)}1,0,0();1,1,0();0,0,1{( G
 
 
4) Para que valores de “k” o conjunto  = {(1, k); (k, 4)} é uma base do 2R ? 
 
5) Verificar quais dos seguintes conjuntos de vetores formam uma base do 3
R
: 
 
a) A = {(1, 1, –1); (2, –1, 0); (3, 2, 0)} b) B = {(1, 0, 1); (0, –1, 2); (–2, 1,– 4)} 
 
6) Quais dos conjuntos de vetores formam uma base de 
2P
? 
 
a) A = { 2t2 + t – 4; t2 – 3t + 1 } b) B = { 2; 1 – x; 1 + x2 } c) C = {1 + x + x2; x + x2; x2 } 
 
7) Mostrar que o conjunto 




































 52
73
,
11
23
,
20
11
,
01
32
 é uma base de 
)2,2(M
. 
 
8) Mostrar que o conjunto {(1, 1, 0, 0); (0, 0, 1, 1); (1, 0, 0, 3); (0, 0, 0, 5)} é base de 4R . 
 
 
9) Mostre que o conjunto 
)}4,7();1,0();0,1{(B
 NÃO é base do 2R . 
 
10) Seja 
V
 o espaço vetorial gerado pelos vetores: 
xv
2
1 cos

, 
xsenv
2
2 

 e 
xv 2cos3 

. 
a) Mostre que 
},,{ 321 vvvS


 NÃO é uma base de 
V
. 
 b) Encontre uma base de 
V
. 
 
## RESPOSTAS ## 
 
1a) Uma base do 2
R
 deve ter 2 vetores LI. 1b) Uma base do 3
R
 deve ter 3 vetores LI. 
 
1c) Uma base do 
2P
 deve ter 3 vetores LI. 1d) Uma base do 
)2,2(M
 deve ter 4 vetores LI. 
 
2) São Bases: A e C 3a) Ortogonal 3b) Ortogonal 3c) Ortonormal 
 
3d) Não Ortogonal [e não ortonormal] 3e) Ortonormal 3f) Ortogonal 3g) Não Ortogonal [e não ortonormal] 
 
4) Para k  2 5) A 6) B e C 9) NÃO é base do 2
R
 pois os vetores de 
B
 são LD. 
 
 
 
8. COMPONENTES DE UM VETOR 
 
 
Seja 
},...,,{ 21 nvvvB


 uma base do espaço vetorial 
V
, então qualquer vetor de 
V
 pode ser escrito na forma: 
 
nn vavavav

...... 2211 
 (de maneira única). 
 
Os coeficientes 
naaa ...,,, 21
 representarão as coordenadas ou componentes de 
v
 em relação à base B e 
denotaremos por: 
),...,,( 21 nB aaav 

 ou pela expressão matricial: 













n
B
a
a
a
v

 2
1
 
 
 Observação: A n-upla 
),...,,( 21 nB aaav 

 é chamada vetor-coordenada de 
v
 em relação à base B , e o 
vetor coluna 













n
B
a
a
a
v

 2
1
 é chamado matriz-coordenada de 
v
 em relação à base B . 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
20 
–2 
3 
2 
2v

 
v
 
x 
y 
1v

 
5 
2 
1  
 
0 
0 
3 
2 
v
 
x 
y 
i
 
j

 
EXEMPLO: 
 
1) Vamos considerar um vetor 
v

, que na base canônica 
},{ jiC


 fica graficamente representado conforme abaixo: 
 
 
 Pelo gráfico, podemos escrever o vetor 
v
 como combinação linear dos vetores da 
base em questão, ou seja: 
jiv

.3.2 
, lembrando que: 
)0,1(i

 e 
)1,0(j

. 
 
 Como a base utilizada é base canônica, também podemos escrever o vetor 
v
 
simplesmente na forma analítica: 
)3,2(v

 ou na forma matricial: 







3
2
v

. 
 
 
O mesmo vetor 
v
 pode ser representado numa outra base, por exemplo: 
},{ 21 vvB


 onde 







1
5
1v

 e 







2
2
2v

. 
 
Representado graficamente o mesmo vetor 
v
 , agora com a nova base 
},{ 21 vvB


, ficaria assim: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Desta forma, podemos escrever 
v
 como combinação linear de 
1v

 e 
2v

 assim: 
21
12
13
6
5
vvv


 ou ainda representá-lo 
por 
)12/13,6/5(Bv

 ou mesmo na forma matricial 







12/13
6/5
Bv

. Note que dessa maneira devemos identificar a base 
na qual o vetor está escrito [neste caso, base 
B
]. 
 
Essas componentes 
6
5
 e 
12
13
 podem ser calculadas precisamente a partir da combinação linear 
21 .. vbvav


. 
Veja a seguir: 
 
 
21 .. vbvav


 [Substituindo 
1v

 e 
2v

 ...] 
 





















3
2
2
2
.
1
5
. ba
 [Multiplicando os valores de 
a
 e 
b
...] 
 
 





















3
2
2
25
b
b
a
a
 [Adicionando as matrizes ...] 
 
 















3
2
2
25
ba
ba
 

 





32
225
ba
ba
 Resolvendo o sistema, temos: 
6/5a
 e 
12/13b
 
 
E assim podemos escrever com precisão vetor em questão: 
21
12
13
6
5
vvv


 ou ainda: 







12/13
6/5
Bv

. 
 
 
 
Para refletir: Talvez não tenhamos conseguido fazer o melhor, mas lutamos para que o melhor fosse feito... Não somos o que deveríamos 
ser, não somos o que iremos ser. Mas graças a Deus, não somos o que éramos! (Martin Luther King) 
Observe que, usando a regra do paralelogramo com o vetor 
v
 
e medindo a sua projeção em 
1v

, tendo esse como valor 
unitário, encontraremos 
6/5
, ou seja, a projeção de 
v
 em 
1v

 
é 
6/5
 de 
1v

. 
Fazendo o mesmo em 
2v

, encontraremos 
12/13
, ou seja, a 
projeção de 
v
 sobre 
2v

 é 
12/13
 de 
2v

. 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
21 
EXERCÍCIOS 
 
1) Encontre o vetor-coordenada de 
)2,3,4( v

 em relação à base 
)}0,0,1();0,1,1();1,1,1{(B
 do 3
R
. 
 
2) Seja o espaço vetorial das matrizes 2x2 sobre 
R
. Encontre o vetor-coordenada da matriz 








74
32
A
 em relação à 
base 





























 

10
01
,
00
11
,
01
10
,
11
11
B
. 
 
3) Seja o subespaçovetorial das matrizes simétricas de ordem 2 sobre 
R
. Encontre o vetor-coordenada da matriz 
M
 em 
relação à base 
B
. Considere: 









711
114
M
 e 





























51
14
,
31
12
,
12
21
B
. 
 
4) Calcular o vetor-coordenada de 
2
1392 xxp 
 na base 
},,{ 321 ppp
, sendo 
2
1 321 xxp 
, 
2
2 231 xxp 
 e 
2
3 52 xxp 
. 
 
5) Determine o vetor-coordenada de 
)2,6(v

 em relação às bases: 
a) 
)}2,0(),0,3{(
 c) 
)}1,0(),0,1{(
 
b) 
)}1,2(),2,1{(
 d) 
)}0,1(),1,0{(
 
 
6) No espaço vetorial 3
R
, consideremos a base 
)}1,1,1();0,1,0();0,0,1{( B
. Determine o vetor-coordenada de 
3
Rv 

 em relação à base 
B
 se: 
 
a) 
)4,3,2( v

 
b) 
)1,1,1( v

 
 
 
## RESPOSTAS ## 
1) 
)7,5,2( Bv

 2) 









159
48
BA
 3) 
321 24 BBBM B 
 4) 
)4,5,1( p
 
 
5a) 
)1,2(v

 5b) 







3
10
,
3
2
v

 5c) 
)2,6(v

 5d) 
)6,2(v

 
 
6a) 
)4,1,2(Bv

 6b) 
)1,0,0(Bv

 
 
 
 
Tópico Extra: Uma Aplicação Importante da Álgebra Linear! 
 
Tomografia Computadorizada: Um dos principais avanços no diagnóstico médico é o desenvolvimento de métodos não 
invasivos para se obter imagens de seções transversais do corpo humano, como a tomografia computadorizada e a 
ressonância magnética. Os métodos da Álgebra Linear podem ser utilizados para reconstruir imagens a partir da análise do 
escaneamento por raios X da tomografia computadorizada. O problema básico da tomografia computadorizada é construir a 
imagem de uma seção transversal do corpo humano usando dados coletados por uma grande quantidade de feixes 
individuais de raios X que são emitidos ao longo da seção transversal desejada. Esses dados são processados por um 
computador e a seção transversal computada é exibida num monitor de vídeo. 
 
O primeiro sistema comercial de tomografia computadorizada para o uso médico foi desenvolvido em 1971 por G. N. 
Hounsfield, da empresa EMI Ltda., na Inglaterra. Em 1979, Hounsfield e A. M. Cormack receberam o prêmio Nobel por seu 
trabalho pioneiro nesta área. A construção de uma seção transversal ou uma tomografia requer a resolução de um sistema 
muito grande de equações lineares. Certos algoritmos, da classe de técnicas de reconstrução algébrica, podem ser usados 
para resolver estes sistemas lineares, cujas soluções produzem as seções transversais em formato digital. 
 
 
 
Para refletir: Não tentes ser bem sucedido, tenta antes ser um homem de valor. (Albert Einstein) 
 O mundo não está ameaçado pelas pessoas más, e sim por aquelas que permitem a maldade. (Albert Einstein) 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
22 
y 
x 
i
 
j

 
O 
v u 
b
 a 
O 
9. MUDANÇA DE BASE 
 
Muitos problemas aplicados podem ser simplificados mudando-se de um sistema de coordenadas para outro. Mudar sistemas 
de coordenadas em um espaço vetorial é, essencialmente, a mesma coisa que mudar de base. Por exemplo, num problema 
que um corpo se movimenta no plano xy (R2), cuja trajetória é uma elipse de equação x2 + xy + y2 – 3 = 0 (veja figura A), 
a descrição do movimento torna-se muito mais simples se ao invés de trabalharmos com os eixos x e y, utilizarmos um 
referencial que se apóia nos eixos principais da elipse. Neste novo referencial (veja figura B), a equação da trajetória elíptica 
será mais simples e prática: 3u2 + 2v2 = 6. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 Figura A Figura B 
 
 
Muitas vezes, problemas de engenharia tornam-se mais simples quando fazemos uma mudança conveniente de referencial. 
Uma vez escolhido o novo referencial, temos que desenvolver um mecanismo que relacione os dois referenciais, podendo 
dessa forma mudar de referencial no instante desejado. O desenvolvimento a seguir tem tal objetivo. 
 
Então: 
 
Sejam 
},...,,{ 211 nuuuB


 e 
},...,,{ 212 nvvvB


 duas bases de um espaço vetorial 
V
. Então um vetor 
Vw
 
pode ser escrito nas seguintes formas: 
 













n
Bnn
x
x
x
wouuxuxuxw

 2
1
12211 ][......  vetor w na base 
1B
. 













n
Bnn
y
y
y
wouvyvyvyw

 2
1
22211 ][......  vetor w na base 
2B
. 
Assim podemos escrever a relação: 
 
    

























n
n
n
n
y
y
y
vvv
x
x
x
uuu







 2
1
21
2
1
21 .. 
 
Observação: Tanto 
1B
 como 
2B
, geram qualquer vetor de 
V
, pelo fato de serem bases, são constituídas de vetores num 
número igual à dimensão do espaço 
V
, portanto as matrizes dos vetores das bases são quadradas e admitem inversa 
(então det.  0). 
 
Sem perda de generalidade, podemos escrever a relação acima usando o espaço 2R . Veja a seguir: 
 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
23 
Sejam 
},{ 211 uuB


 e 
},{ 212 vvB


 bases do espaço 2R , onde: 
 
 













2
2
2
1
1
1 ;
b
a
u
b
a
u
 e 













2
2
2
1
1
1 ;
d
c
v
d
c
v
 
 
Qualquer vetor 
w
 de 2R pode ser escrito como: 
 
 
2211 .. uxuxw


 ou 







2
1
1][
x
x
w B
  vetor w na base 
1B
. 
2211 .. vyvyw


 ou 







2
1
2][
y
y
w B
  vetor w na base 
2B
. 
Daí, tiramos que: 
 
 
























2
1
21
21
2
1
21
21
..
y
y
dd
cc
x
x
bb
aa 
 
E ainda: 
 
 

























2
1
21
21
1
21
21
2
1
..
y
y
dd
cc
bb
aa
x
x 
 
Portanto: 
 
      2
2
11
. B
B
BB
wIw


 com 
  













21
21
1
21
212
1
.
dd
cc
bb
aa
I
B
B
 
 
Onde 
  2
1
B
B
I
 é a MATRIZ MUDANÇA DE BASE 
2B
 para 
1B
. 
 
Dessa forma, podemos escrever qualquer vetor do espaço 2R , que tenha coordenadas na base 
2B
 para 
coordenadas referente à base 
1B
. 
 
Observação: A transformação inversa, isto é, passar da base 
1B
 para a base 
2B
, será feita pela inversão da matriz 
mudança de base, nesse caso, representada por 
  1
2
B
B
I
. 
 
A matriz mudança de base 
2B
 para a base 
1B
 é constituída, na realidade, pelas coordenadas dos vetores da base 
2B
 em 
relação à base 
1B
, dispostas em colunas. 
 







222112112
1][
aa
aa
I BB
 onde 







21
11
11][
a
a
v B
 e 







22
12
2 1
][
a
a
v B
 
 
 
RESUMO DA TEORIA ATRAVÉS DE UM EXEMPLO GENÉRICO DO 2
R
: 
 
Sejam as bases 
)},(),,{( 2211 babaA 
 e 
)},(),,{( 2211 dcdcB 
 do 2
R
. 
 A matriz mudança de base 
A
 para a base 
B
 é: 
  ].[][ 1 ABI A
B


, sendo que: 







21
21
][
bb
aa
A
 e 







21
21
][
dd
cc
B
. 
 Vale lembrar que 
    B
A
A
B
II 
1
 
 
 Para escrever um vetor 
w
 , dado na base A , para a base B , faremos: 
  A
A
BB
wIw ][.][


 
 
 
Não se preocupe muito com as suas dificuldades em Matemática, posso assegurar-lhe que as minhas são ainda maiores. (Albert Einstein) 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
24 
EXEMPLO 
 
1) Sejam 
)}2,0(),1,1{(A
 e 
)}2,1(),0,1{(B
 bases do 2
R
. 
a) Determine a matriz mudança de base 
A
 para a base 
B
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) Defina as coordenadas do vetor 
)4,3(Aw

 na base 
B
. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Tópico Especial: Relembrando Inversão de Matrizes! 
 
 Podemos encontrar a inversa de uma matriz quadrada, aplicando a sua definição. Veja: 
 
Seja 
A
 uma matriz inversível 
]0)[det( A
. Então: 
nIAAAA 

..
11
. 
Para exemplificar de forma simples, utilizaremos uma matriz de ordem 2, sendo:







34
12
A
. 
Fazendo: 
2
1
. IAA 

, temos: 
 



















10
01
34
12
qp
nm
  















10
01
3434
22
qnpm
qnpm
 
 
Resolvendo os sistemas, teremos: 
2/3m
, 
2/1n
, 
2p
 e 
1q
. 
 
Como definimos a que 








qp
nm
A
1
, temos que: 










12
2/12/31
A
. 
 
Equivalência de Matrizes: 
 
Para duas matrizes A e B, de mesma ordem, diz-se que a matriz B é EQUIVALENTE à matriz A, e representa-se por B ~ A, 
se for possível transformar A em B por meio de uma sucessão finita de operações elementares. 
 
As operações elementares com as linhas (ou colunas) de uma matriz são: 
 
- Trocar duas (ou mais) linhas de posição. 
- Multiplicar uma linha por uma constante não nula. 
- Somar um múltiplo escalar de uma linha com outra linha. 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
25 
Inversão de uma Matriz por meio de Operações Elementares: 
 
Poderemos encontrar a inversa de uma matriz A não-singular pelo procedimento descrito acima. Inicialmente escreve-se a 
matriz A dada e ao seu lado a matriz identidade I de mesma ordem. As operações elementares devem ser realizadas nas 
duas matrizes simultaneamente. O método consiste em transformar a matriz A dada na matriz identidade I. Quando o 
processo for completado, a matriz identidade escrita inicialmente será a matriz inversa procurada. 
 
Esquematicamente: 
1
 AIselementareoperaçõesIA 
 
 
Veja o exemplo abaixo: 
 
Determine a inversa da matriz 













111
110
101
M
 por meio de operações elementares. 
Resolução: 
 
313100
010
001
111
110
101
LLL 

  
323101
010
001
010
110
101
LLL 

 
 
232
111
010
001
100
110
101
LLL 

  131
111
101
001
100
010
101 LLL 


 
 
111
101
112
100
010
001

 Assim, a matriz inversa procurada é: 












111
101
112
1
M
 
 
 Existem outros métodos para encontrarmos a inversa de uma matriz [pesquise!] 
 
 
 
EXERCÍCIOS 
 
1) Sejam 
)}1,0(),0,1{(B
, 
)}0,1(),1,1{(1 B
, 
)}3,2(),1,1{(2 B
, bases do 2
R
. Determine as matrizes 
mudança de base: a) 
1][
B
BI
 b) 
B
BI 2][
 
 
2) Considerando as seguintes bases do 3
R
: 
)}1,0,0(),0,1,0(),0,0,1{(A
 e 
)}1,1,1(),1,1,0(),1,0,1{( B
, 
determine: a) A matriz mudança de base de 
A
 para 
B
; 
b) O vetor 
Bv

, sendo 
)3,2,1(Av

; 
c) A matriz mudança de base de 
B
 para 
A
. 
 
3) Se 
 












101
110
011

I
, determine: a) 
 v

 onde 
 











3
2
1
v
 b) 
 v

 onde 
 











3
2
1
v
 
 
4) Sabendo que: 
  








114
41A
BI
 e 
)}2,1(),5,3{(B
, determine a base 
A
. 
 
5) Sabendo que: 
  








811
67A
BI
 e 
)}4,2(),3,1{( A
, determine a base 
B
. 
 
6) Mostrar que para qualquer base 
A
 de um espaço vetorial, a matriz mudança de base 
 AAI
 é a matriz identidade. 
 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
26 
## RESPOSTAS ## 
1a) 





 
01
11
 1b) 








11
23
 2a) 
 











111
101
112
A
BI
 2b) 
)6,4,7( Bv

 2c) 
 













111
110
101
B
AI
 
3a) 
 












4
1
1
v
 3b)  












1
3
2
v
 4) 
)}2,1(),3,1{( A
 5) 
)}1,2(),2,3{( B
 
 
 
 
 
10. TRANSFORMAÇÕES LINEARES 
 
Introdução 
 
As transformações lineares apresentam aplicações na Física, Engenharia, Ciências Sociais e em vários ramos da Matemática. 
Computação Gráfica, Criptografia, Robótica e Fractais são algumas áreas de aplicações dos conceitos que veremos a seguir. 
 
A transformação linear é um tipo especial de função. Como uma rápida introdução, vamos consideremos o exemplo abaixo. 
 
 Reflexão de um vetor (ou um ponto) em torno do eixo x. 
 
Seja em 2
R
 a função 
T
 definida por: 
),(),( yxyxT 
. 
 
Observe que nessa função, os valores do domínio são vetores (ou pontos) 
),( yx
 do 2
R
. 
 
Geometricamente, a função 
T
 toma cada vetor do 2
R
 e o “reflete” em 
torno do eixo x. 
 
Essa função como veremos a seguir, é uma transformação linear. 
 
As transformações lineares também se aplicam em vetores do espaço 3
R
 
inclusive e em situações mais complexas, como as rotações, por exemplo. 
 
 
 
Funções Vetoriais 
 
São funções onde tanto o domínio como o contra domínio são espaços vetoriais, portanto todas as variáveis envolvidas são 
vetores. Assim, para se dizer que a função vetorial 
T
 é uma “transformação” do espaço vetorial 
V
 no espaço vetorial 
W
, 
escreve-se:WVT :
. Lembrando que, sendo 
T
 uma função, cada vetor 
Vv
 tem um só vetor imagem 
Ww 

. 
 
Para uma compreensão mais precisa dos conceitos que virão a seguir, vamos inicialmente investigar uma função vetorial, 
através do exemplo a seguir. 
 
[EXEMPLO 1] Considere uma função vetorial 
32
: RRT 
 que associa vetores 
2
),( Ryxv 

 com vetores 
3
),,( Rzyxw 

. Se a lei que define essa função for 
),2,3(),( yxyxyxT 
 teremos (esquematicamente): 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 R2 R3 
 
 (1, 2) (3, –4, –1) 
 
 (–1, 3) (–3, –6, –4) 
 
 (0, 0) (0, 0, 0) 
 
 (x, y) (3x, –2y, x – y) 
 
 
v

 
w

 
 
 D CD 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
27 
Considerando a função vetorial: 
),2,3(),()( yxyxyxTvT 

, vamos observar o seu “comportamento”. 
 
Para 
)2,1(1 v

 temos: 
])2[]1[],2[2],1[3()2,1()( 1  TvT

 
)1,4,3()2,1()( 1  TvT

 
 
Para 
)3,1(2 v

 temos: 
])3[]1[],3[2],1[3()3,1()( 2  TvT

 
)4,6,3()3,1()( 2  TvT

 
 
Para 
)5,0(21  vv

 temos: 
])5[]0[],5[2],0[3()5,0()( 21  TvvT

 
)5,10,0()5,0()( 21  TvvT

 
 
E para 
)()( 21 vTvT


: 
)4,6,3()1,4,3()3,1()2,1()()( 21  TTvTvT

 
)5,10,0()3,1()2,1()()( 21  TTvTvT

 
 
E ainda para: 
)4( 1vT

: 
)(.4)4,16,12(])8[]4[],8[2],4[3()8,4()4( 11 vTTvT


 
 
O “comportamento” apresentado pela função vetorial dada acima, sugere um “padrão”. Tal comportamento caracteriza uma 
transformação linear. Assim, podemos dizer que uma Transformação Linear é uma função vetorial linear. 
 
 
Transformação Linear – Definição: 
 
Sejam 
V
 e 
W
 dois espaços vetoriais. Uma aplicação 
T
 é chamada “transformação linear” de 
V
 em 
W
, 
WVT :
, se 
satisfaz as seguintes condições: 
 
i) Quaisquer que sejam 
u
 e 
v
 em 
V
, 
)()()( vTuTvuT


 
 
ii) Quaisquer que sejam 
Rk
 e 
Vv
 , 
)(.).( vTkvkT


 
 
Assim apresentam toda a estrutura de espaço vetorial. 
 
Note que as duas condições (i) e (ii) da definição acima, podem ser aglutinadas numa só: 
)()(.).( vTuTkvukT


. 
 
OBSERVAÇÃO: Uma transformação Linear de 
V
 em 
W
, quando 
WV 
, é chamada de OPERADOR LINEAR. 
 
Propriedade 1: 
Em toda transformação linear 
WVT :
, a imagem do vetor nulo 
V0
 é o vetor nulo 
W0
 , isto é: 
0)0(

T
. 
 
É evidente que nem toda transformação é linear. A verificação da linearidade de uma transformação não pode ser feita 
numericamente. Tal situação é apresentada no exemplo 2 a seguir. 
 
Entretanto, em alguns casos, é fácil perceber que algumas transformações NÃO são lineares. É o caso, por exemplo, da 
aplicação 
22
: RRT 
, dada por 
)3,23(),(  xxyxT
, pois 
)0,0()3,2()0,0( T
 e pela “propriedade 1” em 
toda transformação linear 
WVT :
 deve-se ter 
0)0(

T
. 
 
[EXEMPLO 2] Seja a transformação 
32
: RRT 
 que associa vetores 
2
),( Ryxv 

 com vetores 
3
),,( Rzyxw 

, 
definida por 
),,3(),( xyyxxyxT 
. Veja (abaixo) que para um vetor 
)2,1(v

 teremos: 
)1,3,3()( vT

. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Verifique se 
32
: RRT 
 dada acima é uma Transformação Linear. 
x 
y 
1 
2 
v

 
T 
w

 
x 
y 
z 
3 
3 
1 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
28 
Para que 
T
 seja uma transformação linear, é necessário que as duas condições da definição sejam satisfeitas: 
 
i) Quaisquer que sejam 
u
 e 
v
 em 
V
, 
)()()( vTuTvuT


 
 
Sejam 
),( 11 yxu 

 e 
),( 22 yxv 

 vetores genéricos do 2R . 
 
Então: 
)),(),(()( 2211 yxyxTvuT 

 
),()( 2121 yyxxTvuT 

 
))()(),()(),(3()( 2121212121 xxyyyyxxxxvuT 

 
),,33()( 2121212121 xxyyyyxxxxvuT 

 
),,33()( 2211221121 xyxyyxyxxxvuT 

 
),,3(),,3()( 2222211111 xyyxxxyyxxvuT 

 
)()()( vTuTvuT


 
 
ii) Quaisquer que sejam 
Ra
 e 
Vu
 , 
)(.).( uTauaT


 
 
Então: 
),().( 11 ayaxTuaT 

 
),,3().( 11111 axayayaxaxuaT 

 
),,3.().( 11111 xyyxxauaT 

 
 
)(.).( uTauaT


 
 
Logo, a transformação 
32: RRT 
 definida por 
),,3(),( xyyxxyxT 
 é uma Transformação LINEAR. 
 
 
Propriedade 2: 
Se 
WVT :
 for transformação linear, tem-se 
)(.)(.)..( vTbuTavbuaT


 para 
Vvu 

,
 e 
Rba  ,
, 
isto é, a imagem de uma combinação linear de vetores é uma combinação linear das imagens desses vetores, com os 
mesmos coeficientes. 
 
Então: 
 Se 
},...,,{ 21 nvvvB


 é base de 
V
 e 
Raaa n  ,...,, 21
, tal que: 
 
 
nn vavavav

...... 2211 
, temos que: 
)(....)(.)(.)( 2211 nn vTavTavTavT


. 
 
 
Assim 
WVT :
 fica definida quando se conhecem as imagens dos vetores de uma base de 
V
. 
 
O resolução do exemplo a seguir esclarece melhor a aplicação dessa propriedade. 
 
[EXEMPLO 3] Um operador linear 
22: RRT 
 é tal que 
)2,3()( 1 vT

 e 
)4,1()( 2 vT

 com 
)0,1(1 v

 e 
)1,0(2 v

. Assim, determine 
),( yxT
. 
 
Resolução: Observe que os vetores 
1v

 e 
2v

 formam a base canônica do 2R : 
)}1,0();0,1{(
. Assim, um vetor qualquer 
2
),( Ryx 
 é tal que: 
 
)1,0(.)0,1.(),( yxyx 
 
E, portanto: 
 
)1,0(.)0,1(.),( TyTxyxT 
 
 
)4,1.()2,3.(),( yxyxT 
  Lembre-se que: 
)2,3()0,1( T
 e 
)4,1()1,0( T
 
 
)4,()2,3(),( yyxxyxT 
 
 
)42,3(),( yxyxyxT 
 
 
 
Logo, a transformação 
22: RRT 
 solicitada é: 
)42,3(),( yxyxyxT 
. 
Álgebra Linear Professor Júlio César Tomio 
 
 
29 
[EXEMPLO 4] Seja uma transformação linear 
23: RRT 
, onde 
},,{ 321 vvvB


 é uma base do 3R com 
)0,1,0(1 v

, 
)1,0,1(2 v

 e 
)0,1,1(3 v

. Sabendo que 
)2,1()( 1 vT

, 
)1,3()( 2 vT

 e 
)2,0()( 3 vT

, 
determine: 
 
a) 
)2,3,5( T
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
b) 
),,( zyxT
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
[EXEMPLO 5] Seja a transformação linear 
22
: RRf 
 dada por 
)32,2(),( yxyxyxf 
. Observe as relações: 
 
i) A imagem de 
)1,2(u

 é 
)1,4(
, ou seja: 
)1,4()( uf

. 
ii) A imagem de 
)3,1(v

 é 
)11,5( 
, ou seja: 
)11,5()( vf

. 
iii) A imagem de