Integração em Campos Vetoriais - Lista 1

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Universidade de Bras´ılia
Departamento de Matema´tica
Ca´lculo III
Mo´dulo 3 – Gabaritos – Lista 1 2.o/2013
Atenc¸a˜o: na questa˜o 1, decida se cada item e´ certo (C) ou errado (E), assinalando sua resposta no espac¸o
ao lado do item e justificando a sua resposta.
1) Para P = (x, y, z) 6= O, considere o campo F (P ) = P‖P‖ e o problema de calcular o
trabalho realizado por F ao longo dos caminhos ilustrados na figura a seguir, em que os
pontos teˆm coordenadas A = (0, 0, 1), B = (1, 1, 0) e C = (1, 0, 0). A notac¸a˜o P1 P2 indica o
caminho retil´ıneo que comec¸a em P1 e termina em P2.
C E a) O trabalho realizado por F ao longo do arco de c´ırculo
⌢
AC e´ positivo.
C E b) Ao longo de C B, o trabalho realizado por F e´ maior
do que 1.
C E c) O caminho AB pode ser parametrizado por
P (t) = (t, t, 1− t), com t ∈ [0, 1].
C E d) O campo F e´ conservativo.
A
B
C
x
y
z
C E e) O trabalho realizado por F ao longo de C B e´ igual ao trabalho realizado por F
ao longo de AB.
2) Suponha que uma cerca tenha sido constru´ıda ao longo da curva C de parametrizac¸a˜o
P (t) = (30 cos3(t), 30 sen3(t)) com t ∈ [0, pi/2]. Suponha ainda que, em cada ponto (x, y) da
curva, a altura A(x, y) da cerca seja dada por A(x, y) = 1 + y/3, conforme ilustra a figura.
θ
P (θ)
A(P (θ))
a) Calcule o elemento comprimento de arco ds da curva.
Resposta: ds = ‖P ′(t)‖dt = 90 cos(t) sen(t) dt
b) Calcule o comprimento da curva C.
Resposta:
∫
C
ds = 45
c) Justifique o fato de que a integral
∫
C
Ads fornece a a´rea de um dos lados da cerca.
Resposta:
o produto A(x, y) ds corresponde a` a´rea de um retaˆngulo de altura A(x, y) e base
infinitesimal ds, e a integral e´ a soma de todas essas a´reas
d) Calcule a integral do item anterior.
Resposta:
∫
C
Ads = 225
e) Use os dois itens anteriores para calcular a altura me´dia da cerca.
Resposta: altura me´dia = 5
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3) Para a > 0, a curva definida pela equac¸a˜o r(θ) = a ( 1 + cos(θ) ) em coordenadas
polares, com θ ∈ [0, 2 pi], e´ conhecida como um cardio´ide, e pode ser parametrizada na
forma P (θ) = (x(θ), y(θ)).
2a
a
a) Obtenha a parametrizac¸a˜o P (θ) em termos das func¸o˜es r(θ),
cos(θ) e sen(θ).
Resposta: P (θ) = (r(θ) cos(θ), r(θ) sen(θ))
b) Expresse o vetor velocidade P ′(θ) em temos das func¸o˜es r(θ),
r′(θ), cos(θ) e sen(θ).
Resposta: P ′(θ) = r′(θ)(cos(θ), sen(θ)) + r(θ)(− sen(θ), cos(θ))
c) Verifique que o elemento comprimento de arco da curva pode ser expresso em termos
apenas das func¸o˜es r(θ) e r′(θ).
Resposta: ds =
√
r(θ)2 + r′(θ)2 dθ
d) Use a identidade 2 cos2( θ
2
) = 1+cos(θ) para obter uma primitiva da func¸a˜o
√
1 + cos(θ)
em um intervalo em que cos( θ
2
) na˜o muda de sinal.
Resposta:
∫ √
1 + cos(θ) dθ = ±2√2 sen( θ
2
) + c, conforme o sinal de cos( θ
2
)
e) Use os itens anterior para calcular o comprimento da curva P (θ) com θ ∈ [0, 2 pi].
Resposta: comprimento = 8 a
4) Suponha que um arame tenha a forma obtida da intersec¸a˜o da esfera x2 + y2 + z2 = 1
com o plano x+ y + z = 0, como ilustrado abaixo.
a) Justifique a afirmac¸a˜o de que a forma do arame corresponde a
um c´ırculo unita´rio de centro na origem.
Resposta: isto porque o plano passa pela origem.
b) Verifique que os vetores u = 1√
2
(−1, 0, 1) e v = 1√
6
(1,−2, 1) sa˜o
unita´rios, ortogonais e pertencem ao plano.
Resposta: ‖u‖ = ‖v‖ = 1, 〈u, v〉 = 0 e a soma das coordenadas tanto de
u como de v se anula.
u
v
c) Verifique que o vetor w = au+ bv esta´ no plano para quaisquer a, b ∈ R. Em seguida,
calcule a norma ‖w‖ em termos das coordenadas a e b.
Resposta: segue-se de que u e v esta˜o no plano, e ‖w‖ = √a2 + b2.
d) Use os itens anteriores para obter uma parametrizac¸a˜o P (θ), θ ∈ [0, 2 pi], da curva
correspondente a` forma do arame.
Resposta: P (θ) = cos(θ)u+ sen(θ) v.
e) Calcule a massa do arame supondo densidade linear dada por δ(x, y, z) = x2.
Resposta: massa = 2pi/3.
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