Aula 08 - CONTROLE - PROFESSOR CARLOS ALEXANDRE

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Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br 1
Projeto Através do Lugar das Raízes
Carlos Alexandre Mello
2Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
Melhorando a Resposta em Transiente
� Através do lugar das raízes, estamos limitados a 
respostas que existam nele
� É possível melhorar a resposta no transiente se 
ela for projetada fora do lugar das raízes
� Considere o seguinte exemplo, suponha que a 
resposta em transiente desejada (definida pelo 
tempo de amortecimento e porcentagem 
sobressinal) é alcançada no ponto B
� No entanto, só conseguimos alcançar a 
porcentagem sobressinal no lugar das raízes no 
ponto A
� Lembrando que a porcentagem sobressinal não se 
altera se não mudarmos o ângulo no plano s
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� Não temos como ir de A para B porque B está fora 
do lugar das raízes, ou seja, não pode ser 
alcançado apenas com mudanças de ganho
Introdução
Melhorando a Resposta em Transiente
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Introdução
Melhorando a Resposta em Transiente
� Considerem um exemplo da aula anterior:
K = 1
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Introdução
Melhorando a Resposta em Transiente
� Considerem um exemplo da aula anterior:
K = 10
Mesmo gráfico de Lugar 
das Raízes, como 
esperado.
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Introdução
Melhorando a Resposta em Transiente
� Considerem um exemplo da aula anterior:
Mudanças no Lugar das 
Raízes com a entrada 
de um integrador.
Compensador
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Introdução
Melhorando a Resposta em Transiente
� Considerem um exemplo da aula anterior:
Mudanças no Lugar das 
Raízes com a entrada 
de um integrador e um 
zero.
Compensador
8Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Introdução
Melhorando a Resposta em Transiente
� Efeito da inclusão de polos:
Sistema Original:
Polos: -2, -4
Zeros: 2±j4
A inclusão de um polo tende a 
puxar o lugar das raízes para a 
direita, tendendo a diminuir a 
região de estabilidade do sistema
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Introdução
Melhorando a Resposta em Transiente
� Efeito da inclusão de zeros:
Sistema Original:
Polos: -2, -4
Zeros: 2±j4
A inclusão de um zero tende a 
puxar o lugar das raízes para a 
esquerda, tendendo a deixar o 
sistema com mais regiões de 
estabilidade
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� Solução:
� 1) Mudar o sistema para um cujo lugar das raízes passe 
por B
� Alto custo e pode afetar outras características do sistema
� 2) Ao invés de mudar o sistema atual, podemos 
aumentá-lo ou compensá-lo com polos ou zeros 
adicionais. Assim, o sistema compensado tem um lugar 
das raízes que passa pelo polo desejado
� A vantagem dessa compensação é que os polos e zeros podem 
ser adicionados no final do sistema
� Desvantagem: a ordem do sistema aumenta o que pode 
provocar mudanças na resposta
Introdução
Melhorando a Resposta em Transiente
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� Compensadores podem ser usados também para 
melhorar as características do erro de estado 
estacionário
� Quanto maior o ganho, menor o erro de estado 
estacionário, por outro lado, maior a porcentagem 
sobressinal
� Reduzindo o ganho, o erro aumenta
� O uso de compensadores dinâmicos podem criar 
redes de compensação que conseguem 
estabelecer a resposta em transiente e o erro 
esperados
� Compensadores dinâmicos têm “ganhos” na forma de 
funções de s
Introdução
Melhorando o Erro em Estado Estacionário
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� O erro de estado estacionário pode ser diminuído 
acrescentando um polo na origem no caminho à 
frente, aumentando o tipo do sistema e levando o 
erro de estado estacionário a zero
� Esse polo adicional na origem exige o uso de um 
integrador
� Compensadores que usam integração ou 
derivação puras são chamados de compensadores 
ideais
Introdução
Melhorando o Erro em Estado Estacionário
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Introdução
Compensadores - Configurações
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� Compensadores são nomeados de acordo com o 
método que os implementa ou com suas 
características
� Sistemas de Controle Proporcionais
� Sistemas que encaminham o erro à frente para a planta
� Sistemas de Controle Integrais
� Sistemas que encaminham a integral do erro à frente 
para a planta
� Sistemas de Controle Derivativos
� Sistemas que encaminham a derivada do erro à frente 
para a planta
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
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� Controlador Proporcional-mais-Integral (PI)
� Compensador integral ideal que encaminha o erro e sua 
integral à frente para a planta
� O erro de estado estacionário pode ser melhorado 
colocando um polo em malha aberta na origem 
porque isso aumenta o tipo do sistema
� Por exemplo, um sistema do Tipo 0, respondendo a um 
degrau de entrada com um erro finito, responde com 
erro zero se o tipo do sistema for 1
� É importante que a resposta em transiente não seja 
afetada
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
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� Considere o sistema a seguir, operando com uma resposta 
em transiente adequada gerada pelos polos de malha 
fechada em A
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
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� Se adicionamos um polo na origem para aumentar o tipo 
do sistema, a contribuição angular dos polos em malha 
aberta em A não será mais 180º e, assim, o lugar das 
raízes não passa mais por A
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Para resolver esse problema, adicionamos um zero 
próximo ao polo da origem. Agora, a contribuição do 
compensador no zero e do compensador no polo se 
cancelam e o ponto A permanece no Lugar das Raízes
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Observe o exemplo anterior para um zero em 0,01:
Um polo adicional na origem e um zero próximo a ele (sys4)Sistema original (sys1)
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Um compensador com um polo na origem e um 
zero próximo dele é chamado um compensador 
integral ideal
� O erro de estado estacionário foi melhorado sem afetar 
muito a resposta em transiente
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Re-lembrando alguns aspectos da taxa de amortecimento:
cosθ = ζ
ζ
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Ainda sobre a taxa de amortecimento:
Se ζ>1, os polos são reais e negativos;
Se ζ=1, polos são iguais, negativos e reais, s = -ωn;
Se 0<ζ<1, os polos são complexos com parte real < 0;
Se ζ=0, s = ±jωn;
Se ζ<0, os polos estão no semi-plano direito.
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Exemplo: Dado o sistema abaixo, operando com taxa de 
amortecimento de 0,174, mostre que a adição de um 
compensador integral ideal reduz o erro de estado 
estacionário a zero para uma entrada degrau sem afetar 
muito a resposta em transiente.
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Exemplo (cont.): Analisandoo sistema original, foi 
dado que a taxa de amortecimento é de 0,174. 
Isso implica que o ângulo formado é de 79,98º (ou 
100,02º tomando o complementar)
� ζ = cosθ⇒ θ = cos-1 ζ (em radianos)
� Observe que estamos considerando como um sistema 
de segunda ordem porque temos dois polos dominantes 
(considerando -10 << -1 e -2)
� É preciso encontrar o ponto onde a reta que passa 
pela taxa de amortecimento encontra o gráfico do 
lugar das raízes
� Apenas por computador
� Ponto: -0,694 + j3,926 (polos dominantes)
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Exemplo (cont.):
Considerando o ponto encontrado, podemos 
calcular o valor do ganho K:
K = 1/|GH|
K = -164,57 – j0,049 ⇒ mag(K)=164,6
Reta: Im=Re.cos-1(ζ)
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original
� No ponto em que K =164,6, temos ζ = 0,174 e polos em 
-0,694 ± j3,924. Isso implica que ωn = 3,98, já que 
s1,2 = -ζω ± ω√(ζ2 – 1)
� As assíntotas podem ser calculadas como:
� σa = (– 1 – 2 – 10)/(3 – 0) = -13/3 (ponto de encontro com 
o eixo real)
� θa = (2k + 1)pi/(3 - 0) = (2k + 1)pi/3 (ângulo)
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Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original
� Cálculo do ponto de partida e chegada do eixo real:
� Mas -7,18 não pertence ao lugar das raízes. Logo, o 
ponto de partida é -1,48 que pertence
28Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original
� Cruzamento com o eixo imaginário:
� Fazendo s = jω:
ω2 = 32 ⇒ ω = ±4√2 ⇒ K = 396
Ou: ω = 0 ⇒ K = -20 (mas, consideramos K > 0)
29Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Exemplo (cont.): Ainda sobre o sistema original
� Calculando o erro no estado estacionário, o sistema é 
do tipo 0:
30Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Exemplo (cont.): Adicionando o compensador com 
zero em -0,1 e polo em zero:
� Temos o seguinte lugar das raízes:
31Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Exemplo (cont.):
Considerando o ponto encontrado, podemos 
calcular o valor do ganho K:
K = 1/|GH|
K = -158,2 – j0,0517 ⇒ mag(K)=158,2
Passa a ser um 
sistema do tipo 1
Mas edegrau(∞) = 0!
32Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Exemplo (cont.):
Sistema Não Compensado
Sistema Compensado
33Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador em Cascata
� Outra forma de implementar um compensador:
34Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Compensador tem zero e polo (≠ 0)
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador de Atraso de Fase
35Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Compensador tem zero e polo (≠ 0)
Pouco efeito no lugar das raízes.....
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador de Atraso de Fase
36Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Quanto ao erro de estado estacionário:
� onde KvC é a constante de velocidade do sistema 
compensado e KvN é a constante do sistema sem 
compensação
� Com isso, como o erro é inversamente 
proporcional a Kv, o erro diminui
� Para evitar uma maior contribuição angular, zc e pc
devem ser próximos da origem
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador de Atraso de Fase
37Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo:
Compensado
Não Compensado
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador de Atraso de Fase
38Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
Melhorando o Erro em Estado Estacionário 
via Compensador de Atraso de Fase
39Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� A compensação foi resolvida melhorando o erro de 
estado estacionário sem afetar a resposta em 
transiente
� Vamos agora melhorar a resposta em transiente
� Uso de um Compensador Derivativo Ideal
� Adição de um zero na função de transferência à frente
� Adiciona ruído ao sistema
� Controlador Proporcional-Mais-Derivativo (PD)
� Uso de um Compensador de Avanço de Fase
� Adição de um zero e um polo mais distante na função de 
transferência à frente
Melhorando a Resposta em Transiente via 
Compensador em Cascata
40Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Compensador Derivativo Ideal (PD)
� Gc(s) = s + zc
� Considere o próximo sistema e os resultados após 
a inclusão de zeros em -2, -3 e -4
� Lembrando:
Melhorando a Resposta em Transiente via 
Compensador Derivativo Ideal
ζ
41Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Melhorando a Resposta em Transiente via 
Compensador Derivativo Ideal
Incluído zero em -2
Parte real ↑⇒ Tempo de Amortecimento ↓
Parte imaginária ↑⇒ Tempo de Pico ↓
42Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Melhorando a Resposta em Transiente via 
Compensador Derivativo Ideal
Incluído zero em -3
Incluído zero em -4
43Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Melhorando a Resposta em Transiente via 
Compensador Derivativo Ideal
44Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Melhorando a Resposta em Transiente via 
Compensador Derivativo Ideal
45Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Outra forma de implementar um compensador 
derivativo ideal:
Melhorando a Resposta em Transiente via 
Compensador Derivativo Ideal
46Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Como no compensador integral ideal, usa-se um 
zero e um polo
� Se o polo estiver mais afastado do eixo imaginário 
que o zero, a contribuição angular será positiva
� ∠zeros - ∠polos
Melhorando a Resposta em Transiente via 
Compensador de Avanço de Fase
47Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Da figura anterior, se a diferença entre θ1 e θ2 (θc) 
se mantiver, teremos a mesma contribuição
� Mas isso implica que temos a possibilidade de 
uma infinidade de compensadores de avanço de 
fase que atendem ao requisito de resposta em 
transiente
� As diferenças entre eles estarão no ganho necessário 
para atingir às especificações de projeto, no erro de 
estado estacionário e na resposta em transiente 
encontrada (o projeto pode especificar uma faixa 
possível de resposta)
Melhorando a Resposta em Transiente via 
Compensador de Avanço de Fase
48Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo:
Melhorando a Resposta em Transiente via 
Compensador de Avanço de Fase
49Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Combinação das técnicas anteriores
� Possibilidade: melhorar o erro de estado 
estacionário e depois a resposta em transiente
� Problema: Muitas vezes, a melhora da resposta em 
transiente pode deteriorar o projeto do erro de estado 
estacionário
� Soluções ideais:
� Controlador Proporcional-Mais-Integral-Mais-Derivativo 
(PDI)
� Compensador de Avanço e Atraso de Fase
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
50Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Projeto de Controlador PDI
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
51Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Projeto de Controlador PDI – Etapas
� 1) Avaliar o desempenho do sistema sem compensação 
para determinar quanta melhoria na resposta transitória 
é requerida
� 2) Projeto do controladorPD (inclui a posição do zero e 
o ganho) para atingir as especificações de transiente
� 3) Verifique se os requisitos foram atendidos
� Se não, retorne ao projeto
� 4) Projete o controlador PI para resultar no erro de 
estado estacionário desejado
� 5) Determine os ganhos K1, K2 e K3 (figura anterior)
� 6) Verifique se os requisitos foram atendidos
� Se não, retorne ao projeto
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
52Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo: Dado o sistema abaixo, projete um controlador 
PDI tal que o sistema opere com tempo de pico que é 2/3 
do tempo de pico do sistema sem compensação a 20% de 
sobressinal e com erro de estado estacionário zero para 
entrada degrau.
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
53Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
� Sistema Malha Aberta: Polos (-3, -6 e -10); Zero em -8
� %OS = exp[-(ζpi/√1-ζ2)]x100
� 0,2 = exp[-(ζpi/√1-ζ2)] ⇒ ζ = 0,456
� cos θ = ζ⇒ θ = cos-1ζ⇒ θ = 62,87º ⇒ 180 - θ = 117,13º 
� Esboço inicial do lugar das raízes:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
xxx o
-10 -8 -6 -3
σ
jω
Plano s
ζ = 0,456
θ = 117,13º
54Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
� Assíntotas:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
xxx o
-10 -8 -6 -3
σ
jω
Plano s
Assíntotas
-5,5
ζ = 0,456
θ = 117,13º
55Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
� Ponto de Chegada e Partida:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
xxx o
-10 -8 -6 -3
σ
jω
Plano s
Assíntotas
s = -8,4±j1,66 (fora do lugar das raízes)
s = -4,62 (pertence ao lugar das raízes)
-5,5
-4,62
ζ = 0,456
θ = 117,13º
56Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
� Polos Dominantes:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
xxx o
-10 -8 -6 -3
σ
jω
Plano s
ζ = 0,456
θ = 117,13º
-5,5
Assíntotas
-4,62
X
Polos dominantes: -5,4 + j10,57
K = 121,53
X
3º Polo: -8,17
57Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
� Outros parâmetros:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
xxx o
-10 -8 -6 -3
σ
jω
Plano s
ζ = 0,456
θ = 117,13º
-5,5
Assíntotas
-4,62
X
Polos dominantes: -5,4 + j10,57
K = 121,53
X
3º Polo: -8,17
58Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
� Resumo (sistema não compensado)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
59Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Compensando o sistema
� Condição: TPc = (2/3) TPu
� Ou seja: TPc = (2/3)*0,297 = 0,198
� Assim:
� Como:
� Então: s1,2 = -8,1296 ± j15,87
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
⇒ ωn = 17,828
60Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Compensando o sistema
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
xxx o
-10 -8 -6 -3
σ
jω
Plano s
ζ = 0,456
P(-8,1296; 15,87)
θ1 θ2 θ3 θ4
θ = 117,13º
Localizamos o ponto P no plano s e calculamos o ângulo que ele faz com 
os polos e zeros do sistema:
θ2 – (θ1 + θ3 + θ4) = -198,37º 
Para que seja múltiplo ímpar de 180º, precisamos acrescentar um zero que 
forme um ângulo com P de: 198,37º – 180º = 18,37º 
61Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Ou seja:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
Com isso, o controlador PD é
GPD(s) = (s + 55,92)
62Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Lugar das Raízes do Sistema 
Compensado
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
63Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Resposta ao degrau
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
Compensado (PD)
Não Compensado Observe que houve 
redução no tempo de 
pico como especificado
64Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Projeto do compensador integral
� Como definido anteriormente, vamos colocar um polo na 
origem e um zero próximo a ele
� Por exemplo:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
65Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Precisamos calcular agora K1, K2 e K3
conforme:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
66Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): O produto do ganho e do controlador PID 
é:
� Pelas equações anteriores, temos:
� K1 = 259,5
� K2 = 128,6
� K3 = 4,6
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
67Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Resposta ao Degrau
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
PID
PD
Não Compensado
68Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Características:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
69Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Compensador de Avanço e Atraso de Fase – Etapas
� 1) Avaliar o desempenho do sistema não compensado
� 2) Projetar o compensador de avanço de fase para atender 
às especificações de resposta em transiente
� Localização de polos e zeros e ganho
� 3) Verificar se os requisitos foram atendidos através de 
simulação
� Voltar ao projeto caso algo não tenha sido atendido
� 4) Avaliar o desempenho de erro de estado estacionário para 
o sistema com avanço de fase
� 5) Projetar o sistema com atraso de fase
� 6) Verificar se os requisitos foram atendidos através de 
simulação
� Voltar ao projeto caso algo não tenha sido atendido
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
70Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo: Projete um compensador de avanço e 
atraso de fase para o sistema abaixo, tal que o 
sistema opere com 20% de porcentagem 
sobressinal e uma redução de duas vezes no 
tempo de acomodação. Além disso, o sistema 
deve apresentar melhoria de dez vezes no erro de 
estado estacionário para uma entrada rampa.
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
71Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
� Sistema Malha Aberta: Polos (0, -6 e -10)
� %OS = exp[-(ζpi/√1-ζ2)]x100
� 0,2 = exp[-(ζpi/√1-ζ2)] ⇒ ζ = 0,456
� cos θ = ζ⇒ θ = cos-1ζ⇒ θ = 62,87º ⇒ 180 - θ = 117,13º 
� Esboço inicial do lugar das raízes:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
xxx
-10 -6 0
σ
jω
Plano s
ζ = 0,456
θ = 117,13º
72Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.):
� Assíntotas:
� Pontos de Chegada e Partida;
� Polos Dominantes:
� Outros Parâmetros:
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
Fora do lugar das raízes
73Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Resumo (Sistema Não Compensado)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
74Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Lugar das Raízes (Sistema Não 
Compensado)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
75Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Vamos verificar agora as especificaçõesdo sistema:
� TSc = 0,5TSu = 0,5*2,23 = 1,115
� Como TS = 4/(ζ.ωn) ⇒ ωn = 7,867
� Sendo:
� Então: s1,2 = -3,5874 ± j7
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
76Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Avanço de 
Fase
� Primeiro, precisamos selecionar arbitrariamente a 
localização do zero do compensador de avanço
� Nesse caso, podemos, por exemplo, selecionar a 
posição -6 que coincide com um dos polos de malha 
aberta, fazendo com que eles se anulem
� Isso elimina um zero e faz com que o sistema compensado 
tenha o mesmo número de polos do sistema não compensado
� Em seguida, localizamos o polo do compensador
� Precisamos somar os ângulos formados pelos polos e zeros do 
sistema sem compensação e o zero do compensador
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
77Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Avanço de 
Fase
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
xxx
-10 -6 0
σ
jω
Plano s
θ3 = 117,13º
P = -3,5874 + j7
θ1 θ2 e θ4
Localizamos o ponto P no plano s e calculamos o ângulo que ele faz com 
os polos e zeros do sistema:
θ4 – (θ1 + θ2 + θ3) = -164,65º 
Para que seja múltiplo ímpar de 180º, precisamos acrescentar um zero que 
forme um ângulo com P de: 164,65º – 180º = -15,35º 
78Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Avanço de 
Fase
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
79Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Lugar das Raízes
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
80Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Resposta ao Degrau
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
Compensado (Lead)
Não Compensado
81Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Resumo (compensação por Avanço de 
fase)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
O erro do sistema não compensado 
era de 0,312. A especificação é para 
que caia para um décimo desse valor. 
Ainda não foi atingida....
82Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Projeto do Compensador de Atraso de 
Fase
� Objetivo: Melhorar o erro de estado estacionário para entrada 
rampa
� A queda de 0,312 para 0,147 foi de um fator de 2,122
� Precisamos agora que o compensador de atraso de fase melhore o erro 
de um fator de 10/2,122 = 4,713 sobre o compensador de avanço de 
fase
� Pode-se escolher, aleatoriamente, um compensador com 
polo em 0,01 que gera um zero em 0,04173:
� Observe que, para s→0, Glag(s) tende exatamente ao fator 
que precisamos, 4,713
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
83Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): O compensador de Avanço e Atraso de 
Fase fica então com a forma:
� Através do desenho do lugar das raízes e buscando seu 
encontro com o segmento de reta que representa a taxa de 
amortecimento de 0,456, chegamos aos polos dominantes 
-3,574 ± j6,976 para um ganho de 1971
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
84Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Lugar das Raízes do sistema final
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
85Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Resumo
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
86Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Resposta ao Degrau
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
Compensado (CAA)
Não Compensado
87Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Resposta à Rampa (erro)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
88Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Exemplo (cont.): Resposta à Rampa (erro)
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
89Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Compensação com Re-Alimentação Não Unitária
Melhorando o Erro de Estado Estacionário 
e a Resposta em Transiente
....
90Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Construção de Controladores e Compensadores
Compensadores
91Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
� Construção de Controladores e Compensadores
Compensadores
92Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Compensadores
� Amplificador Operacional
� Controlador PID
93Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Compensadores
� Amplificador Operacional
� Compensador de Atraso ou Avanço de Fase
Avanço de Fase:
R1C1 > R2C2
Atraso de Fase:
R1C1 < R2C2
94Carlos Alexandre Mello – cabm@cin.ufpe.br
Exercícios Sugeridos (Nise)
� Cap. 9, Problemas:
� 1, 2, 3, 5, 6, 8, 11, 13, 16
� Observação, sempre que precisar dos polos 
dominantes e do ganho para esses polos, consulte 
a resolução do livro disponível no site da cadeira