Estatística II

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1 
FACULDADE DE EDUCAÇÃO 
UFG 
 
 
 
 
 
ESTATÍSTICA 2 
PARA O CURSO DE 
PSICOLOGIA 
 
 
 
 
 
 
 
Professora Sandra Regina Peres da Silva 
2016-2 
 2 
Sumário 
 
1 NOÇÕES DE AMOSTRAGEM ................................................................................................................ 3 
1.1 Conceitos Básicos............................................................................................................................... 3 
1.2 Propriedades de um bom estimador ................................................................................................... 4 
1.3 Tipos de Amostragens Probabilísticas................................................................................................ 6 
EXERCÍCIOS – 1ª lista .................................................................................................................................. 7 
2 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS .............................................................................................................. 9 
2.1 Distribuição Amostral da Média ........................................................................................................ 9 
2.2 Distribuição Amostral da Proporção ................................................................................................ 17 
EXERCÍCIOS – 2ª lista ................................................................................................................................ 20 
3 ESTIMAÇÃO ........................................................................................................................................... 22 
3.1 Intervalos de confiança ..................................................................................................................... 22 
3.2 Estimação da média de uma população ............................................................................................ 23 
(a) Caso em que n é grande e 2 conhecida .............................................................................................. 23 
(b) Caso em que n é grande e 2 desconhecida ........................................................................................ 25 
(c) Caso em que n é pequeno (n < 30) ...................................................................................................... 26 
3.3 Estimação da proporção de uma população ..................................................................................... 28 
3.4 Determinação do tamanho da amostra ............................................................................................. 30 
EXERCÍCIOS – 3ª lista ................................................................................................................................ 32 
4 APENDICE .............................................................................................................................................. 37 
Áreas de uma Distribuição Normal Padrão ...................................................................................................... 38 
Tabela com valores críticos de t (Student) ...................................................................................................... 39 
 
 
 3 
1 NOÇÕES DE AMOSTRAGEM 
 
 
1.1 Conceitos Básicos 
 
Começaremos relembrando conceitos aprendidos na Estatística 1 e acrescentando novos conceitos. 
 
 POPULAÇÃO é o conjunto formado por indivíduos ou objetos que têm pelo menos uma variável comum 
e observável. 
Definiremos como tamanho de uma população finita o número de elementos que a compõem. Usaremos 
N para designar esse número. 
 
 AMOSTRA é qualquer subconjunto não vazio de uma população. 
Usaremos n para indicar o número de elementos, ou seja, o tamanho da amostra. 
 
Em uma população finita de tamanho N, há ܰ௡ amostras de tamanho n, se forem retiradas com reposição 
e há ܥே,௡ amostras de tamanho n, se forem retiradas sem reposição. 
 
 AMOSTRAGEM é o processo de seleção de uma amostra, que possibilita o estudo das características da 
população. 
 
 PARÂMETRO é a medida usada para descrever uma característica numérica populacional. 
Genericamente representado por ࣂ. 
 
 ESTIMADOR, também denominado estatística de um parâmetro populacional, é uma característica 
numérica determinada na amostra. 
Genericamente representado por ࣂ෡. 
O valor de ߠ෠ varia em cada uma das amostras de tamanho n, tiradas da população. Logo, ߠ෠ é uma variável 
aleatória e, como tal, podemos determinar sua esperança matemática E(ߠ෠) e sua variância ܸܽݎ(ߠ෠). 
 
 ERRO AMOSTRAL é o erro que ocorre justamente pelo uso da amostra. O tamanho do erro amostral 
varia de amostra para amostra. Denotaremos o erro amostral por ࡱ = ࣂ෡ − ࣂ. 
O erro amostral ocorre simplesmente porque não utilizamos todos os elementos da população alvo. Uma 
vez que se usem amostras, sempre se obterá algum grau de erro amostral. 
 
 ERRO QUADRÁTICO MÉDIO é uma variância que mede a dispersão do estimador em torno do 
verdadeiro parâmetro, ao invés de em torno de sua média, ou seja, ܧܳܯ൫ߠ෠൯ = E(ߠ෠ − ߠ)ଶ. 
 
 ESTIMATIVA é o valor numérico determinado pelo estimador. 
Genericamente representado por ࣂ෡૙ . 
 
 UNIDADE AMOSTRAL pode corresponder aos próprios elementos da população, quando há acesso 
direto a eles, ou qualquer outra unidade que possibilite chegar até eles. Podemos, por exemplo, considerar 
como população os domicílios de uma cidade e que se deseje avaliar o perfil socioeconômico. A unidade 
amostral será cada um dos domicílios, que corresponderá aos elementos da população. Caso a unidade 
amostral seja definida como os quarteirões, a unidade amostral não corresponderá aos elementos 
populacionais. 
 
 AMOSTRAGEM PROBABILÍSTICA é o processo de seleção de uma amostra no qual cada unidade 
amostral da população tem a probabilidade conhecida e diferente de zero de pertencer à amostra. 
 
 4 
 AMOSTRAGEM NÃO PROBABILÍSTICA é aquela em que a probabilidade de seleção é desconhecida 
para alguns ou todos os elementos da população, podendo alguns destes elementos ter probabilidade nula 
de pertencer a amostra, como em amostras intencionais, a esmo ou de voluntários. 
 
 VIÉS (do francês biais) ou VÍCIO é um termo usado em estatística para expressar o erro sistemático ou 
tendenciosidade. É a diferença entre o valor esperado do estimador e o verdadeiro valor do parâmetro a 
estimar. 
Qualquer estimador ߠ෠, para o qual )()ˆ(E  b , com 0)( b , é chamado viciado (viesado) e a 
quantidade ܾ(ߠ) = E൫ߠ෠൯ − ߠ é chamada vício ou viés. Este valor é, para cada estimador, fixo, podendo ou 
não ser zero. Este tipo de vício pode ser controlado fazendo-se amostragens probabilísticas. Para se 
assegurarem que produzem estimadores de qualidade para um dado parâmetro (por exemplo: média 
populacional, variância, etc.) os estatísticos calculam habitualmente o viés associado aos estimadores 
produzidos. 
 
 VIÉS DE SELEÇÃO ocorre quando certos indivíduos têm mais chance de serem selecionados em uma 
amostra. O melhor modo de evitar o viés de seleção é o uso do sorteio, seja ele manual ou por meio de 
tabela de números aleatórios (ou geração de números aleatórios por computador). 
A amostragem probabilística é isenta de viés de seleção. 
 
 VIÉS NA COLETA DE DADOS ocorre quando se substitui a unidade amostral ou quando há falta de 
respostas. 
 
 
1.2 Propriedades de um bom estimador 
 
As propriedades desejáveis para um estimador são: não-tendenciosidade, eficiência (precisão), validade e 
consistência. 
 
Não tendenciosidade: ausência de viés 
Eficiência ou Precisão: proximidade das observações (estimativas) do seu valor esperado. 
Validade ou Acurácia: proximidade das observações (estimativas) ao parâmetro desejado. 
Consistência ou coerência: quando n cresce, o estimador torna-secada vez mais próximo do parâmetro. 
 
 
 
Considere a figura ao lado, onde o alvo 
representa o valor do parâmetro e os 
“tiros”, indicados pelo símbolo ×, 
representam os diferentes valores 
amostrais da estatística de interesse. 
 
 
Nas partes (a) e (b) da figura, os tiros estão 
em torno do alvo, enquanto nas partes (c) 
e (d) isso não acontece. 
 
Comparando as partes (a) e (b), podemos 
ver que na parte (a) os tiros estão mais 
concentrados em torno do alvo, isto é, têm 
menor dispersão. Isso reflete uma pontaria 
mais certeira, precisa, do atirador em (a). 
 
 5 
Analogamente, nas partes (c) e (d), embora ambos os atiradores estejam com a mira deslocada, os tiros do 
atirador (c) estão mais concentrados em torno de um alvo; o deslocamento poderia até ser resultado de um 
desalinhamento da arma. Já o atirador (d), além de estar com o alvo deslocado, ele tem os tiros mais espalhados, 
o que reflete menor precisão. 
 
Traduzindo esta situação para o contexto de estimadores e suas propriedades, temos o seguinte: nas partes (a) 
e (b), temos dois estimadores que fornecem estimativas centradas em torno do verdadeiro valor do parâmetro, 
ou seja, as diferentes amostras fornecem valores distribuídos em torno do verdadeiro valor do parâmetro. A 
diferença é que em (b) esses valores estão mais dispersos e, assim, temos mais chance de obter uma amostra 
“infeliz”, ou seja, uma amostra que forneça um resultado muito afastado do valor do parâmetro. Essas duas 
propriedades estão associadas à esperança e à variância do estimador, que são medidas de centro e dispersão, 
respectivamente. 
 
Nas partes (c) e (d), as estimativas estão centradas em torno de um valor diferente do parâmetro de interesse e 
na parte (d), a dispersão é maior. 
 
Formalizando estas ideias temos os seguintes resultados importantes: 
 
 Um estimador ࣂ෡ é dito um estimador NÃO-TENDENCIOSO (não-viesado, não-viciado, imparcial, justo, 
unbiased) do parâmetro ࣂ se E(ࣂ෡) = ࣂ. Se E(ߠ෠) ≠ ߠ, então ߠ෠ é dito "viciado" e E൫ߠ෠൯ − ߠ é dito "viés" do 
estimador (bias of the estimate). 
Isto é, um estimador é não-viesado se a sua média é igual ao parâmetro que ele pretende estimar. Isso significa 
que os valores do estimador ao longo de todas as possíveis amostras estão centrados no parâmetro populacional. 
 
Nas partes (a) e (b) da Figura acima os estimadores são não-viesados e nas partes (c) e (d), os estimadores são 
viesados. 
 
 Se ࣂ෡૚ e ࣂ෡૛ são dois estimadores não-viesados do parâmetro ࣂ, diz-se que ࣂ෡૚ é mais EFICIENTE (preciso) 
que ࣂ෡૛ se ࢂࢇ࢘൫ࣂ෡૚൯ < ࢂࢇ࢘(ࣂ෡૛). 
 
Na Figura acima, o estimador da parte (a) é mais eficiente que o estimador da parte (b). 
 
 Dados dois estimadores ࣂ෡૚ e ࣂ෡૛ de um mesmo parâmetro ࣂ, diremos que ࣂ෡૚ é mais ACURADO que ࣂ෡૛ 
se ࡱࡽࡹ(ࣂ෡૚) < ࡱࡽࡹ(ࣂ෡૛). 
Em igualdade de circunstâncias, é obvio, que um estimador não-tendencioso é preferível a um estimador 
tendencioso. Mas se tivermos que escolher entre um estimador tendencioso, cuja distribuição é concentrada na 
vizinhança do verdadeiro valor do parâmetro e um não-tendencioso com grande variância, o estimador 
tendencioso pode ser preferível, principalmente se é possível determinar a grandeza e a direção da 
tendenciosidade. 
 
 Um estimador ࣂ෡ é dito CONSISTENTE se, à medida que se aumenta o tamanho da amostra, mais 
aproximamos do verdadeiro valor do parâmetro. 
Então um estimador é consistente se, à medida que o tamanho 
da amostra aumenta, seu valor esperado converge para o 
parâmetro de interesse e sua variância converge para zero. Isto 
é, consistência é uma propriedade por meio da qual a acurácia 
de uma estimativa aumenta quando o tamanho da amostra 
aumenta. 
 
Exemplo de consistência de um estimador: Tomando uma 
Distribuição Normal de média 10 e variância 4, definimos o 
estimador ̅ݔ = ∑ ௫೔
௡
, e escolhemos os tamanhos de amostra n = 2, 5, 
10, 15, 20, .. . , 1000, 1010, 1020, ..., 5000. Os resultados estão no 
gráfico ao lado. 
 
 6 
Voltando à figura onde o alvo representa o valor do parâmetro e os 
“tiros”, representam os diferentes valores amostrais da estatística, 
temos: 
(a) não-viesada, muito acurada e boa precisão 
(b) não-viesada, pouco acurada e baixa precisão 
(c) viesada, pouco acurada e alta precisão 
(d) viesada, pouco acurada e baixa precisão 
 
 
Veja no APENDICE uma verificação de que o estimador 
2
1
12 )( xx
n
i
iN  

 é viesado. 
 
 
 
 
1.3 Tipos de Amostragens Probabilísticas 
 
Revisando o que foi visto na Estatística I: 
 
Um PLANO DE AMOSTRAGEM consiste em definir: 
 as unidades amostrais, isto é, as unidades selecionadas na amostragem para calcular as estatísticas, 
 a maneira pela qual a amostra será retirada (o tipo de amostragem), e 
 o próprio tamanho da amostra. 
 
Para que as conclusões da teoria de amostragem sejam válidas, as amostras devem ser escolhidas de modo a 
serem representativas da população. Isso significa que a amostra deve possuir as mesmas características básicas 
da população, no que diz respeito à(s) variável(eis) que desejamos estudar. Desta forma, o plano de 
amostragem deve ser formulado para garantir esta representatividade. 
 
 
 AMOSTRAGEM ALEATÓRIA SIMPLES OU CASUAL 
Deve-se utilizar a Amostragem Aleatória Simples (AAS) somente quando a população for homogênea em 
relação à variável que se deseja estudar e todos os elementos da população têm a mesma probabilidade de 
pertencer à amostra. Geralmente, atribuímos uma numeração a cada indivíduo da população, e através de um 
sorteio aleatório os elementos que vão compor a amostra são selecionados. 
 
Quando o número de elementos da amostra é muito grande, esse tipo de sorteio torna-se muito trabalhoso. 
Neste caso utiliza-se uma Tabela de números aleatórios, construída de modo que os algarismos de 0 a 9 são 
distribuídos ao acaso nas linhas e colunas. 
 
 
 AMOSTRAGEM SISTEMÁTICA 
Em algumas situações, quando os elementos da população se apresentam ordenados, é conveniente retirar os 
elementos que vão compor a amostra de forma cíclica (em períodos). 
 
Quando os elementos da população já se acham ordenados, não há necessidade de construir o sistema de 
referência. São exemplos os prontuários médicos de um hospital, os prédios de uma rua, etc. Porém, é de 
fundamental importância que a variável de interesse não apresente ciclos de variação coincidente com os ciclos 
de retirada, pois este fato tornará a amostragem não aleatória. 
Geralmente, toma-se o tamanho da população N e divide-se pelo tamanho da amostra n encontrando-se assim 
a constante K que servirá como o ciclo de repetição da retirada. Após a definição do valor de K, sorteia-se o 
 7 
ponto inicial da amostragem, ou seja, um dos elementos do primeiro intervalo constituído pelos elementos 
populacionais numerados de 1 até K. Escolhesse o seguinte, que será o elemento de ordem (i + K); e assim por 
diante, sempre somando-se K à ordem do elemento anterior, até completar a escolha dos n elementos que vão 
compor a amostra. 
 
 
 AMOSTRAGEM ESTRATIFICADA 
Quando a variável de interesse apresenta uma heterogeneidade na população e esta heterogeneidade permite a 
identificação de grupos homogêneos, dividi-se a população em grupos (estratos) e faz-se uma amostragem 
dentro de cada estrato, garantindo, assim, a representatividade de cada estrato na amostra. 
 
Como estamos dividindo a população em estratos (grupos) que são homogêneos dentro de si, podemos, então, 
caracterizar a amostragem estratificada. Para efetuarmos a amostragem estratificada de forma proporcional, 
precisamos primeiramente definir a proporção do estrato em relação à população. 
 
 
 AMOSTRAGEM POR CONGLOMERADOS 
Apesar de a amostragem estratificada apresentar resultados satisfatórios, a sua implementação é dificultada 
pela falta de informações sobre a população para fazer a estratificação.Para poder contornar este problema, 
você pode trabalhar com o esquema de amostragem chamado amostragem por conglomerados (clusters). 
 
Os conglomerados são definidos em função da experiência do gestor ou pesquisador. Geralmente, podemos 
definir os conglomerados por fatores geográficos, como por exemplo, bairros e quarteirões. 
 
A utilização da amostragem por conglomerados possibilita uma redução significativa do custo do processo de 
amostragem. Portanto, um conglomerado é um subgrupo da população, que individualmente reproduz a 
população, ou seja, individualmente os elementos que o compõem são muito heterogêneos entre si. Este tipo 
de amostragem é muito útil quando a população é grande, por exemplo, no caso de uma pesquisa em nível 
nacional. 
 
Para efetuarmos a amostragem por conglomerados, primeiramente definimos o conglomerado e assim 
dividimos a população nos conglomerados. Sorteamos os conglomerados por meio de um processo aleatório e 
avaliamos todos os indivíduos presentes no conglomerado, que é chamado de amostragem por conglomerados 
em um estágio. Caso façamos um sorteio de elementos dentro de cada conglomerado, teremos uma 
amostragem por conglomerados em dois estágios. Segue abaixo o esquema de uma amostragem por 
conglomerados em um único estágio. 
 
 
 
 
EXERCÍCIOS – 1ª lista 
 
1. Qual das seguintes declarações são verdadeiras? 
a) parâmetros descrevem amostras e estatísticas descrevem populações. 
b) estatísticas descrevem amostras e populações. 
c) parâmetros descrevem populações, e estatísticas descrevem amostras. 
d) parâmetros descrevem amostras e populações. 
e) não há diferença entre parâmetros e estatísticas. 
 
 
 8 
2. Uma amostra é selecionada porque é mais simples, menos dispendiosa e mais eficaz. Entretanto, o acaso 
dita quais indivíduos ou itens serão incluídos. Um erro que reflete a variação ou diferenças decorrentes do 
acaso, com base na probabilidade de determinados indivíduos ou itens serem selecionados em amostras 
específicas, é o erro 
a) de amostragem. 
b) de cobertura. 
c) por falta de resposta. 
d) de medição. 
e) por excesso de dados. 
 
3. Com relação à teoria geral de amostragem, considere: 
I. A realização de amostragem aleatória simples só é possível se o pesquisador possuir uma lista 
completa, descrevendo cada unidade amostral. 
II. A amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos segundo alguma 
característica conhecida. Os estratos da população devem ser mutuamente exclusivos. 
III. Em uma amostra por conglomerados, a população é dividida em sub-populações distintas. 
IV. Na amostragem em dois estágios, a população é dividida em dois grupos: um será o grupo controle e 
o outro será o experimental. 
É correto o que consta APENAS em 
a) II e III. 
b) II, III e IV. 
c) I, II e IV. 
d) I, II e III. 
e) I e III. 
 
4. Com relação à teoria geral de amostragem, considere as afirmativas abaixo. 
I. A realização de amostragem aleatória simples só é feita para amostragem sem reposição. 
II. A amostragem estratificada consiste na divisão de uma população em grupos segundo alguma 
característica conhecida. Os estratos da população devem ser mutuamente exclusivos. 
III. Em uma amostra por conglomerados a população é dividida em subpopulações distintas. 
IV. A amostragem sistemática é um plano de amostragem não probabilístico. 
É correto o que se afirma APENAS em 
a) I e II. 
b) II e III. 
c) II e IV. 
d) III e IV. 
e) I, II e III. 
 
5. O objetivo de uma pesquisa era o de se obter, relativamente aos moradores de um bairro, informações 
sobre duas variáveis: nível educacional e renda familiar. Para cumprir tal objetivo, todos os moradores 
foram entrevistados e arguidos quanto ao nível educacional, e, dentre todos os domicílios do bairro, foram 
selecionados aleatoriamente 300 moradores para informar a renda familiar. As abordagens utilizadas para 
as variáveis nível educacional e renda familiar foram, respectivamente, 
a) censo e amostragem por conglomerados. 
b) amostragem aleatória e amostragem sistemática. 
c) censo e amostragem casual simples. 
d) amostragem estratificada e amostragem sistemática. 
e) amostragem sistemática e amostragem em dois estágios. 
 
 
. 
 9 
2 DISTRIBUIÇÕES AMOSTRAIS 
 
Neste momento, juntam-se os modelos de distribuição de probabilidade e as medidas que caracterizam uma 
amostra obtendo-se as distribuições amostrais dos principais estimadores. 
 
Considere todas as amostras possíveis de tamanho n que podem ser extraídas de determinada população com 
N elementos. Se para cada uma delas se calcular um valor do estimador ߠ෠, tem-se uma distribuição amostral 
desse estimador nas ܰ௡ amostras de tamanho n. 
 
Como cada estimador é uma variável aleatória, ele pode ser descrito pela sua função de distribuição, que é 
chamada distribuição amostral do estimador, isto é, pode-se determinar suas características como a média, 
variância e desvio padrão. 
 
Lembremos que Estatística ou estimador é qualquer função de uma amostra aleatória (fórmula ou expressão), 
construída com o propósito de servir como instrumento para descrever alguma característica da amostra e para 
fazer inferência a respeito da característica na população. A(o)s mais comuns são: 
 



n
i
ix
n
x
1
1
 : média da amostra 
 
 
)(
1
1)(
1
1 2
1
22
1
2 xx
n
xx
n
s
n
i
ii
n
i




 

 : variância da amostra 
 
 
)(
)(Xˆ
amostradatamanho
ticacaracterísatamsenaprequeamostradaelementosdenúmero
n
p  : proporção da amostra 
 
 
 
 
 
2.1 Distribuição Amostral da Média 
 
Vamos estudar a distribuição amostral do estimador x , a média da amostra. Consideremos uma população 
identificada pela variável aleatória X, cujos parâmetros média populacional  e variância populacional 2 são 
supostamente conhecidos. Vamos retirar todas as possíveis amostras casuais simples de tamanho n dessa 
população, e para cada uma calcular a média x . A partir disso construímos a distribuição amostral e estudamos 
suas propriedades: 
 
Exemplo 1. Vamos ilustrar como a distribuição da média amostral pode ser determinada por uma situação 
simples, quando o tamanho da amostra é 2 (n = 2) e a distribuição da população é discreta: 
 
Suponha uma população hipotética formada por 3 indivíduos, cujos QI* sejam iguais a 80, 100 e 120. 
 
 
* Quociente de inteligência (abreviado para QI, de uso comum) é uma medida padronizada obtida por meio de testes 
desenvolvidos para avaliar as capacidades cognitivas (inteligência) de um sujeito. 
 10
Neste caso a média populacional é 
 
ߤ= 
଼଴ାଵ଴଴ାଵଶ଴
ଷ
 = 100 
 
 
e a variância populacional é 
ߪଶ= (80−100)
2+(100−100)2+ (120−100)2
3 = 
଼଴଴
ଷ
 
 
 
ߪଶ = 266,67 e σ = 16,33 
 
 
Agora, simulamos todas as amostras diferentes possíveis com reposição, de tamanho n = 2 
 
Amostra Indivíduos Média da Amostra 
1 (80, 80) 80 
2 (80, 100) 90 
3 (80, 120) 100 
4 (100, 80) 90 
 5 (100, 100) 100 
6 (100, 120) 110 
7 (120, 80) 100 
8 (120, 100) 110 
9 (120, 120) 120 
 
E construímos a Distribuição de Frequências das Médias das Amostras da v.a. Xഥ = Média do QI de 2 indivíduos 
da população: {80, 100, 120} 
 
xi fi 
80 1 
90 2 
100 3 
110 2 
120 1 
Total 9 
 
 
O conjunto das médias de todas as amostras dá origem à Distribuição Amostral das Médias onde: 
 
a média é: 
 
ߤ௫̅ = 
଼଴ ା ଽ଴×ଶ ା ଵ଴଴×ଷ ା ଵଵ଴×ଶ ା ଵଶ଴
ଽ
 = ଽ଴଴
ଽ
 = 100 = ߤ 
 
 11
e a variância é: 
 
ߪ௫̅ଶ = 
(଼଴ିଵ଴଴)మ ା (ଽ଴ିଵ଴଴)మ⋅ଶ ା (ଵ଴଴ିଵ଴଴)మ⋅ଷ ା (ଵଵ଴ିଵ଴଴)మ⋅ଶ ା (ଵଶ଴ିଵ଴଴)మ
ଽ
 
 
 
ߪ௫̅ଶ = 
ଵଶ଴଴
ଽ
 = 133,33 = 
ଶ଺଺,଺଻
ଶ
 ߪ௫̅ଶ = 
ఙమ
௡
 
 
 
 
 
Exemplo 2. Seja a variável aleatória X que denota o número de dias de internação de um cão em um hospital 
veterinário depois de uma particular cirurgia. Considerando a população de todos os cães submetidos à cirurgia, 
suponha que X tem a distribuição de probabilidade apresentada na Tabela 1 abaixo. 
 
Tabela 1: Distribuição de probabilidade de X 
x 0 1 2 3 
P(x) 0,2 0,4 0,3 0,1 
 
Uma amostra aleatória simples com reposição (X1, X2) de 2 cães é tomada nesta população. Qual a distribuição 
do número médio amostral de dias de internação, ou seja ?
2
XXX 21  
De acordo com a definição de amostra aleatória simples com reposição, X1 e X2 são variáveis aleatórias 
independentes, cada uma tendo a distribuição dada na Tabela 1. Deste modo, a distribuição conjunta de duas 
variáveis aleatórias independentes (Tabela 2) é obtida multiplicando-se as probabilidades marginais. Por 
exemplo, para a amostra X1 = 0 e X2 = 1: 
 
P[X1 = 0, X2 = 1] = P[X1 = 0]P[X2 = 1] = 0,20,4 = 0,08 
 
 
A distribuição de X é obtida por meio da Tabela 2, listando os possíveis valores de x . 
 
Tabela 2. Distribuição conjunta de X1 e X2: 
x1 
x2  
linha 0 1 2 3 
0 0,04 0,08 0,06 0,02 0,20 
1 0,08 0,16 0,12 0,04 0,40 
2 0,06 0,12 0,09 0,03 0,30 
3 0,02 0,04 0,03 0,01 0,10 
 
coluna 0,20 0,40 0,30 0,10 1,00 
 
Em seguida, para cada valor de x , identificamos as células na referida tabela, cujos valores (X1, X2) produzem 
um específico valor de x . Então, somamos as correspondentes probabilidades celulares. 
 
 12
Por exemplo, x =1,5 quando: 
 
(X1, X2) = (0, 3) ou (1, 2) ou (2, 1) ou (3, 0), 
 
 
tal que 
P[ x =1,5] = 0,02 + 0,12 + 0,12 + 0,02 = 0,28. 
 
 
 
Procedendo de modo análogo, obtemos a distribuição amostral da estatística X na Tabela 3. 
Tabela 3. Distribuição amostral de 
2
XXX 21  : 
Valor de x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 Total 
Probabilidade 0,04 0,16 0,28 0,28 0,17 0,06 0,01 1,0 
 
Comparemos agora as médias e as variâncias de X e de Xഥ 
 
Distribuição da v.a. X = Nº de dias de internação, depois da cirurgia 
x 0 1 2 3  
P(x) 0,2 0,4 0,3 0,1 1,0 
xP(x) 0 0,4 0,6 0,3 1,3 
x2P(x) 0 0,4 1,2 0,9 2,5 
 
Assim: 
 = E (X) =  )(P. xx = 1,3 
 
 
2 = E (X2) – [ E (X) ]2 =    22 )(P.)(P . xxxx = 2,5  2)3,1( = 0,81 
 
 
 
Distribuição da v.a. Xഥ = Nº médio amostral de dias de internação (n=2) 
x 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3  
P( x ) 0,04 0,16 0,28 0,28 0,17 0,06 0,01 1,0 
x P( x ) 0 0,08 0,28 0,42 0,34 0,15 0,03 1,3 
x 2P( x ) 0 0,04 0,28 0,63 0,68 0,375 0,09 2,095 
 
 13
Assim: 
)X(E3,1)(P)X(E  xx 
 
  2222 )]X(E[P)]X(E[)X(E)X(   xxVar 
 
2
81,0405,0)3,1(095,2)X(
2
2 
n
Var 
 
 
Portanto, a Distribuição da Média Amostral, baseada em uma amostra aleatória simples com reposição de 
tamanho n, tem: 
 
)X(E (= média da população) 
 
n
Var
2
)X(  (= variância da população dividida pelo tamanho da amostra) 
 
n
DP )X( (= desvio padrão da população dividida pela raiz quadrada do tamanho da amostra) 
 
 
 
 
O 
n
DP x
 )X( é denominado erro padrão da média. 
 
 
O “erro padrão da média” e o “desvio padrão da média amostral” são termos equivalentes. “O erro padrão da 
média” é geralmente usado para evitar confusão com o desvio padrão () das observações. 
 
Esses resultados mostram que a distribuição da média amostral ( X ) é centrada na média populacional  e que 
o cálculo de X produz uma estatística que é menos variável do que uma observação individual (X). 
 
Com o aumento do tamanho da amostra, o desvio padrão da distribuição de X diminui. Isto significa que 
quando n torna-se grande, podem-se esperar valores de X mais próximos de , a quantidade que se pretende 
estimar. 
 
Normalmente não se tem várias amostras para se obter estimativas múltiplas da média. No entanto, é 
possível estimar o erro padrão da média usando o tamanho da amostra (n) e desvio padrão (s) de uma 
única amostra de observações. O erro padrão da média é, então, estimado pelo desvio padrão das 
observações dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra. 
 
À medida que o tamanho da amostra aumenta, o desvio padrão da amostra (s) irá flutuar, mas não vai aumentar 
ou diminuir de forma consistente. Torna-se uma estimativa mais precisa do desvio padrão paramétrico () da 
população. Em contraste, o erro padrão da média torna-se menor quando o tamanho da amostra aumenta. Com 
 14
tamanhos amostrais maiores, a média da amostra torna-se uma estimativa mais precisa da média paramétrica 
(), pois o erro padrão da média torna-se menor. 
 
Saber que a média das médias amostrais fornece uma boa aproximação da média da população é importante 
para nos auxiliar a generalizar resultados da amostra para a população. 
 
 
Se X é a média de uma amostra aleatória simples com reposição, de tamanho n, de uma 
população normal, com média  e variância 2 , sua distribuição é normal, com média ߤ௫̅ = ߤ 
e variância ߪ௫̅ = n
2
. 
 
 
Essa tendência da média das médias amostrais de se igualar ao valor da média da população é conhecida como 
Teorema Central do Limite. 
 
 
Teorema Central do Limite (ou Teorema do Limite Central): 
 
Em uma amostra aleatória simples com reposição de uma população arbitrária, com média  e variância 
2 , a distribuição de X , quando n é grande, é aproximadamente normal, com média  e variância 
n
2
. Em 
outras palavras, 
Z = 
n

X
 é aproximadamente ܰ (0,1) 
 
Uma ilustração gráfica do teorema limite central aparece na figura abaixo, onde a distribuição da população 
representada pela curva contínua é uma distribuição contínua assimétrica, com  = 2 e  = 1,41. 
 
 
 
 
 
 
As distribuições da média amostral X 
para tamanhos amostrais n = 3 e n = 10 
são representadas no gráfico pelas curvas 
pontilhadas, indicando que, com um 
aumento de n, as distribuições amostrais 
tornam-se mais concentradas ao redor de 
, assemelhando-se a uma distribuição 
normal. 
 
 
 
 
 
 
Na prática, quando n  30, a distribuição de X é aproximadamente normal, indiferente da forma da população 
amostrada. 
 15
Aplicação do teorema do limite central 
 
O teorema limite central tem muitos aspectos práticos úteis: se X é a média amostral, podemos calcular: 
 
P (ܽ ≤ X ≤ ܾ) = 


 
n
bZ
n
a
/
 
/
P




 
 
aproximadamente, usando tabelas da distribuição ܰ (0,1), qualquer que seja a distribuição de X. 
 
 
 
Exemplo: Seja uma máquina de empacotamento de um determinado sal mineral, cujos pesos (em kg) seguem 
uma distribuição ܰ (50, 2). Assim, se a máquina estiver regulada, qual a probabilidade, colhendo-se uma 
amostra de 100 pacotes, da média dessa amostra )(x diferir de 50 kg em menos de 0,2828 kg? 
 
Solução: 
P ( 49,7172  X  50,2828 ) = P ( 
10/2
507172,49 
  )
10/2
502828,50 
/
X 
n

 
 
 = P ( -2,0  Z  2,0 ) 
 
 = 2 . P ( 0  Z  2,0 ) = 2 . 0,47725 
 
 = 0,9545 
 
 
Ou seja, dificilmente 100 pacotes terão uma média fora do intervalo ]49,7172; 50,2828[. Caso apresentem 
uma média fora desse intervalo, pode-se considerar como sendo um evento raro, e será razoável desconfiar 
que a máquina esteja desregulada. 
 
 
Amostras sem reposição de populações finitas 
 
Supondo uma população com N elementos, se a amostragem for feita sem reposição,E( )X =  continua a valer, mas 
1
)X(
2


N
nN
n
Var 
 
Assim, a variância da média amostral com este tipo de amostragem é menor, pois ela é 
1

N
nN
 vezes a 
variância da média amostral, quando a amostragem for feita com reposição. 
 
Note que quando n se aproxima de N, o fator de correção se aproxima de zero, de modo que a )X(Var também 
se aproxima de zero. Isto é, se a população for grande quando comparada com o tamanho da amostra (n), o 
fator de correção 
1

N
nN
 será próximo de um, e )X(Var 
n
2 . 
 
O fator de correção 
1

N
nN
 deve ser usado se n  5% N, ou seja, se N  20 n) 
 16
Exemplo1: Em uma população de 400 alunos de um curso, sabemos que a altura média dos alunos é de 175 
cm e o desvio padrão, 5 cm. Retiramos uma amostra sem reposição de tamanho n =100. Determine )X(E e 
)X(Var . 
Solução: 
 
ܺ: ܰ(175, 25)   = 175 cm e  = 5 cm. 
Então )X(E = ߤ௫̅ = ߤ = 175 
 
)X(Var = ߪ௫̅ = 1
.


N
nN
n

= 
1400
100400.
100
5


=
399
300.
10
5
= 0,433554984 
 
 
 
 
 
Exemplo 2: Em uma população de 2500 alunos de um curso, sabemos que a altura média dos alunos é de 175 
cm e o desvio padrão, 5 cm. Retiramos uma amostra sem reposição de tamanho n=100. Determine )X(E e 
)X(Var . 
Solução: 
 
X: ܰ(175, 25)   = 175 cm e  = 5 cm. 
Então )X(E = ߤ௫̅ = ߤ = 175 
 
)X(Var = ߪ௫̅ = 1
.


N
nN
n

= 
12500
1002500.
100
5


=
2499
2400.
10
5
= 0,489995957  0,5 
 
 
 
 
 
 
 
 
Note ainda que se X: ܰ(175, 25), calculando )X(Var sem o fator de correção, temos: 
 
ߪ௫̅ = n

= 5,0
10
5
100
5  
 
 
Comparando os exemplos 1 e 2 vemos que se a amostra é grande (N  20n), é indiferente calcular )X(Var 
usando o fator de correção 
1

N
nN
 para populações finitas, porque o erro é muito pequeno. 
 
 17
2.2 Distribuição Amostral da Proporção 
 
 
Se a população é binomialmente distribuída  isso ocorre quando seus itens podem ser reunidos em dois 
grupos, um com e o outro sem uma determinada característica  um dos parâmetros passível de estudo é a 
proporção com que tal característica aparece na população e nas amostras com e sem reposição. 
 
São exemplos as situações em que se observa as peças fabricadas em um lote podem ser analisadas em termos 
de boas e defeituosas, os atletas de um clube podem ser agrupados em casados e solteiros e os moradores de 
uma cidade abordados por serem eleitores ou não. 
 
Assim, a Distribuição Amostral da Proporção p de sucessos (característica que se estuda na população) é assim 
definida: 
 
A população pode ser definida como uma variável aleatória X no qual cada elemento corresponde a um ensaio 
de Bernoulli, onde há somente dois resultados possíveis: 
 





ticacaracteris a temnão população da elemento o se 0
ticacaracteris a tempopulação da elemento o se 1
X
X
 
 
Tem-se: 
P(ܺ = 1) = ݌, P(ܺ = 0) = ݍ, sendo ݌ + ݍ = 1. 
 
E também: 





)1()(
)(E
2 pppqXVar
pX


 
 
 
Neste contexto, considerando n ensaios de Bernoulli independentes, ܺ1 , ܺ 2 , . . . , ܺ n constitui uma amostra 
aleatória simples com reposição dessa população. Como os resultados individuais são 0 (fracasso) ou 1 
(sucesso), vale que 

n
i
iX
1
é o número de resultados em n elementos da amostra, que correspondem aos 
sucessos, ou seja, ao número de elementos amostrados que possuem a característica em estudo, porque aos 
resultados que correspondem aos fracassos estão associados ao valor 0. 
 
Então, indicando por ௡ܻ o total de indivíduos portadores da característica na amostra, temos que: 
 
௡ܻ = ଵܺ + ܺଶ + ⋯ + ܺ௡ =

n
i
iX
1
. 
Portanto, a proporção amostral de sucessos é X
n
X
n
Yp
n
i
i
n 

1ˆ , ou seja, ݌̂ é igual à média da v.a. Xi. 
Como ௡ܻ~ܤ(݊, ݌) com 





)1()(
)(E
2 pnpnpqYVar
npY
n
n


 
e vale que P( ௡ܻ = ݇) = 



 
n
k
n
YnP = 



 
n
kpˆP , ou seja, a distribuição amostral de ݌̂ é obtida da 
distribuição de ௡ܻ, consequentemente: 
 
 18
pnp
n
x
nn
xp 



 1)(E1E)ˆ(E 
 
 





n
xVarpVar )ˆ(
n
pq
n
qppnp
n
xVar
n
 )1()1(1)(1 22 
 
 
O 
n
pqpDP p  ˆ)ˆ(  é denominado erro padrão da proporção. 
 
 
 
Assim, pelo Teorema Central do Limite, quando o tamanho n da amostra é grande, a proporção amostral ݌̂ de 
sucessos em n ensaios de Bernoulli tem distribuição aproximadamente normal: ݌̂ ≅ ܰ ቆ݌,
n
pq
ቇ, e sua 
distribuição padronizada será: )1 ,0(ˆ N
n
pq
ppZ  . 
 
 
Exemplo 1: Suponha que se saiba que em uma certa população humana uma proporção de pessoas igual a 
p = 0,08 (8%) seja cega para cores. Se fizermos uma amostragem aleatória de 150 indivíduos da população, 
qual a probabilidade de que a proporção de pessoas dessa amostra que seja cega para cores seja menor que 
0,15? 
 
Solução: 
 
Como ݊݌ = 150 × 0,08 = 12 > 5 e ݊ݍ = 150 × 0,92 = 138 > 5, 
 
݌̂ é aproximadamente normal com 
 
média ߤ௣ො = ݌ = 0,08 e 
desvio padrão 0222,000049,0
150
92,008,0
ˆ 

n
pq
p 
Portanto ܲ(݌̂ < 0,15)= )15,3(
0222,0
08,015,0 



  ZPZP = 
 = 0,5 + ܲ(0 < ܼ < 3,15) =0,5+0,49918=0,99918. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 19
Exemplo 2: Sabe-se que 30% dos estudantes de certo curso são homens. Colhendo uma AAS de 10 estudantes 
dessa população, qual a probabilidade de que ݌̂ difira de p em menos de 1%? 
 
Solução: 
Seja p = 30% e ݌̂ = proporção de homens na amostra. 
Vamos obter ܲ(−0,01 ≤ ݌̂ − ݌ ≤ 0,01). 
 
Sendo ݌̂ − ݌~ܰ ቀ0, ௣(ଵି௣)
௡
ቁ e ݌ = 0,30, temos: que ܸܽݎ(݌̂)= 
10
7,03,0 
=0,021, e portanto, a probabilidade 
pedida é: )01,0ˆ01,0(P  pp =













021,0
01,0ˆ
021,0
01,0P
n
pq
pp
= 




021,0
01,0
021,0
01,0P z 
 
 07,007,0P  z =0,056 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Amostras sem reposição de populações finitas 
 
Supondo uma população com N elementos, se a amostragem for feita sem reposição, 
 
pp )ˆ(E continua a valer, mas 
1
)ˆ(


N
nN
n
pqpVar 
 
 
O fator 
1

N
nN
 pode ser considerado como o fator de eficiência da amostragem sem reposição sobre a 
amostragem com reposição. 
 
Evidentemente as considerações acima valem para populações pequenas. Essa distinção entre amostragem 
com e sem reposição não será necessária se ݊݌ ≥ 5 e ݊(1 − ݌) ≥ 5, pois o fator de correção será 
“aproximadamente um” e não precisará ser utilizado, tendo em vista que o T.C.L. será válido uma vez que a 
distribuição amostral de ݌̂ será aproximadamente normal quando tanto ݊ ݌ como ݊(1 − ݌) forem maiores que 
5. 
 
 
Quando p é desconhecida e a amostra com reposição é grande, determinamos a estimativa de p: 
n
xp 0ˆ . 
 
 
 
 
 20
EXERCÍCIOS – 2ª lista 
 
1. Qual das seguintes alternativas representa a melhor estimativa da média populacional? 
a) A média da amostra 
b) A média de várias médias amostrais 
c) A moda de várias médias amostrais 
d) A mediana de várias médias amostrais 
 
2. A média da amostra é um estimador não tendencioso da média da população. Isto significa que: 
a) A média da amostra é sempre igual à média da população. 
b) A média das médias de todas as amostras possíveis é igual à média da população. 
c) A média da amostra é sempre muito próxima da média da população. 
d) A variabilidade da média amostral ésempre muito pequena. 
e) A média da amostra tem distribuição normal. 
 
3. Em uma empresa com 3.000 funcionários, o salário médio é de R$2600,00 com desvio padrão de 
R$800,00. Calcule a probabilidade de que o salário médio de uma amostra constituída por 30 funcionários 
esteja entre: 
a) R$2500,00 e R$3000,00? 
b) R$3000,00 e R$3500,00? 
c) R$1800,00 e R$3400,00? 
d) Acima de R$3000,00? 
e) Abaixo de R$2800,00? 
 
4. Em uma empresa com 600 funcionários, o salário médio é de R$2600,00 com desvio padrão de R$800,00. 
Calcule a probabilidade de que o salário médio de uma amostra constituída por 30 funcionários esteja 
entre: 
a) R$2500,00 e R$3000,00? 
b) R$3000,00 e R$3500,00? 
c) R$1800,00 e R$3400,00? 
d) Acima de R$3000,00? 
e) Abaixo de R$2800,00? 
 
5. Uma variável aleatória X tem distribuição Normal com média 120 e desvio padrão 12. Calcule: 
a) P(90 < X < 120) 
b) P(100 < X < 130) 
c) P(70 < X < 100) 
d) P(130 < X < 180) 
e) P(X > 125) 
f) P(X < 200) 
 
6. Se Xഥ é a média de uma amostra de 16 elementos retirados da população do exercício anterior, calcule: 
a) P(90 < Xഥ < 120) 
b) P(100 < Xഥ<130) 
c) P(70 < Xഥ < 100) 
d) P(130 < Xഥ < 180) 
e) P(Xഥ > 125) 
f) P(Xഥ < 200) 
 
7. Tendo em mente estimar a proporção de alunos de um determinado "Campus" universitário que eram 
favoráveis à reestruturação das contas acadêmicas, um pesquisador social entrevistou uma amostra 
aleatória de 590 estudantes e constatou que 57% deles era de fato, favoráveis à citada reestruturação. 
a) Calcule a probabilidade de numa amostra de 49 alunos, menos de 50% sejam favoráveis à 
reestruturação das contas acadêmicas. 
 21
b) Calcule a probabilidade de numa amostra de 36 alunos, mais de 55% sejam favoráveis à reestruturação 
das contas acadêmicas. 
 
8. Uma empresa compra canetas esferográficas, em grande quantidade, de um certo distribuidor. Antes de 
aceitar os lotes remetidos, a empresa faz testes para verificar a sua qualidade. Se uma certa remessa 
contiver 5% de canetas defeituosas, qual a probabilidade de que uma amostra aleatória de 50 canetas, 
a) apresente mais do que 7% de defeituosas? 
b) apresente mais do que 5% de defeituosas? 
c) apresente menos do que 8% de defeituosas? d) apresente menos do que 3% de defeituosas? 
 
9. Sabe-se que em uma eleição escolar, o candidato A possui 54% dos votos dos estudantes. Se uma pesquisa 
eleitoral realizada pelos seus concorrentes deseja apresentar números diferentes do que o candidato A 
realmente tem, qual é a probabilidade de que em uma amostra aleatória de 138 estudantes, o candidato A 
apareça com: 
a) mais do que 55% dos votos? 
b) mais do que 60% dos votos? 
c) menos do que 50% dos votos? 
d) menos do que 40% dos votos? 
e) entre 45 e 55% dos votos? 
f) entre 40 e 50% dos votos? 
 
10. Com base em estatísticas históricas, sabe-se que 60% das compras feitas com cartão de crédito em um 
supermercado são para quantias acima de 100 reais. Se for escolhida uma amostra aleatória de 100 compras 
feitas com cartão de crédito em um certo dia no supermercado, qual a probabilidade de que a proporção 
de compras acima de 100 reais esteja entre 50% e 70%? 
 
11. A proporção de eleitores do candidato A é 25%. Qual a probabilidade de uma amostra aleatória simples 
de 100 eleitores apresentar uma proporção de eleitores do candidato A entre 23% e 27%? Resp.: 35,44% 
 22
3 ESTIMAÇÃO 
 
 
No tópico anterior vimos as relações existentes entre os parâmetros populacionais e aqueles obtidos das 
distribuições amostrais. Tais relações são importantes na medida em que, com elas, podem-se dimensionar 
probabilisticamente os parâmetros populacionais com base nos resultados amostrais. O que estudaremos a 
seguir são métodos e processos disponíveis para tal fim. 
 
Essencialmente, qualquer característica de uma população pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória. 
 
Uma estimativa de um parâmetro populacional pode ser dada como uma estimativa pontual ou uma 
estimativa por intervalo. 
 
A forma como os erros sistemáticos podem afetar uma pesquisa e, como consequência, torná-la difícil de 
interpretar, consiste em um dos problemas da amostragem. Por esse motivo, o erro devido ao processo de 
amostragem é, talvez, o maior problema enfrentado quando estimamos parâmetros populacionais a partir de 
estatísticas amostrais. 
 
Não se pode esperar que um estimador, estime um parâmetro populacional sem erro. Não se pode esperar, por 
exemplo, que ߤ(Xഥ) estime exatamente ߤ, porém certamente se espera que também ele não esteja muito longe 
do verdadeiro valor. 
 
 
3.1 Intervalos de confiança 
 
Uma estimativa intervalar do parâmetro  é um intervalo do tipo ࢇ ≤ ߠ ≤ ࢈, onde a e b dependem da 
estimativa pontual ߠ෠ para uma particular amostra escolhida e também da distribuição amostral do estimador. 
 
As estimativas por intervalo indicam a sua precisão ou exatidão, por isto são preferíveis às estimativas por 
ponto. A declaração da precisão de uma estimativa por intervalo denomina-se grau de confiança ou nível de 
confiança. Daí a denominação de Intervalo de Confiança. 
 
A distribuição amostral do estimador possibilita encontrar valores de a e b para todas possíveis amostras tais 
que uma fração específica desses intervalos conterá o parâmetro  . 
 
Formalmente, seja x1, x2, ... , xn uma amostra aleatória de tamanho n e  um parâmetro desconhecido da 
população. Um intervalo de confiança para  é um intervalo construído a partir das observações da amostra, 
de modo que ele inclui o verdadeiro e desconhecido valor de , com uma específica e alta probabilidade. Esta 
probabilidade, denotada por ૚ − , é tipicamente tomada como 0,90 ou 0,95 ou 0,99. Indica-se por: 
ܲ(ܽ ≤  ≤ ܾ) = 1 −  
 
Então, o intervalo [ܽ, ܾ] é chamado intervalo com 100 ∙ (1)% de confiança para o parâmetro , onde: 1 
é o nível de confiança associado ao intervalo e ܽ e ܾ são os limites de confiança, inferior e superior, 
respectivamente, do intervalo. 
 
Portanto, se, por exemplo, a e b são calculados de tal forma que 0,95 de todos os possíveis intervalos em 
amostragem repetida, conteriam  , então teremos a probabilidade igual a 0,95 de escolher uma das amostras 
que fornecerão um intervalo contendo  . Esse intervalo calculado a partir da amostra aleatória retirada, é 
chamado um intervalo de confiança de 95%. Em outras palavras, temos 95% de confiança que o nosso intervalo 
calculado contenha realmente o parâmetro populacional  . 
 
 
 
 23
3.2 Estimação da média de uma população 
 
A estimativa pontual da média populacional é:  = x . 
 
 
(a) Caso em que n é grande e 2 conhecida 
 
O desenvolvimento de intervalos de confiança para  é baseado na distribuição amostral de X . 
 
Sabe-se que, pelo Teorema Limite Central, se o tamanho da amostra n é grande, 
n
Z
/
X

 é 
aproximadamente ܰ(0,1). 
 
O nível de confiança é a probabilidade de o intervalo conter o parâmetro estimado. Em termos da variável 
normal padrão z, isto representa a área central sob a curva normal entre os pontos 
2
z e 
2
z . 
 
Usando-se a tabela da distribuição ܰ(0, 1), pode-se determinar um valor 
2
z , tal que 
 
   1)(
22
zZzP 
 
 


 
 1) 
/
 (
22
z
n
xzP 
 
    1) (
22 n
zx
n
zP 
 
 
    1) (
22 n
zx
n
zxP 
 
 
   


  1 
22 n
zx
n
zxPonde os limites de confiança inferior: ܽ e superior: ܾ são 
 
a
n
zx  
2
 e b
n
zx  
2
 
 
Também podemos indicar um intervalo de 100∙(1 – )% de confiança para , quando n é grande e  
conhecido, por: 



 
n
zx
n
zxIC  
22
;)1:( 
2
z 
 
 
2
z 
 
1   
 /2 
 24
Denomina-se: 








amostral) (erro 
2
médiadaestimativadaerro
n
zE
médiadapadrãoerro
n
x



 
 
Se, por exemplo, (1) = 0,95, sabemos que 95,0)(
22
  zZzP para 1,962
z e então: 
95,096,1 96,1 


 
n
x
n
xP  . 
 
Esta expressão deve ser interpretada do seguinte modo: construídos todos os intervalos da forma 
xx  96,1 , 
95% deles conterão  (veja Figura abaixo). Lembrando que  não é uma variável aleatória, mas um 
parâmetro, isto não é o mesmo que dizer que  tem 95% de probabilidade de estar entre os limites indicados. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Este intervalo pode ou não conter o parâmetro , mas, pelo exposto acima, têm-se 95% de confiança de que o 
contenha. 
 
 
Em um intervalo com: 
 
(a) nível de confiança (1) fixo: 
se o tamanho da amostra (n) aumenta, a amplitude do intervalo 


  E
n
zA 2..2
2

 diminui; 
(b) n fixo: 
se (1) aumenta, a amplitude do intervalo EA 2 também aumenta, pois o valor de 
2
Z aumenta. 
 
 25
Exemplo: Considerando uma amostra de 100 cobaias utilizadas em um estudo comportamental, onde o peso 
médio é 171,70 g, encontre um IC de 95% para , supondo que o desvio padrão da população () seja igual a 
7,79 g. 
 
Solução: 
confiança desejada z fórmula 
 95% 1,96 
_
X  z 
n

 
 
 ggggIC 23,173 ;17,170 
100
79,7.96,1 70,171 %)95:(  
 
 
 
 
 
 
 
(b) Caso em que n é grande e 2 desconhecida 
 
Para grandes amostras, a afirmação probabilística 
 
  


  1 
22 n
zx
n
zxP 
 
é ainda correta, mas como  é desconhecido, o intervalo não pode ser construído. Entretanto, como n é grande 
(n  30), a substituição de  pelo desvio padrão amostral (s) não afeta apreciavelmente essa afirmação 
probabilística, pois o valor numérico de s é uma estimativa acurada de  , de modo que 
n
s
xZ  é aproximadamente ܰ(0, 1). 
 
Assim, o ܫܥ( ∶ 1 ) é dado por: 


 
n
szx
n
szx
22
;  
 
 
 
 
Amostras sem reposição de populações finitas 
Quando a população é finita com N elementos, (ou amostragem sem reposição) e a amostra constitui menos 
de 5% da população, devemos aplicar o fator de correção finita para modificar os desvios padrões da fórmulas. 
Daí o intervalo de confiança para a média populacional é: 
1
.


N
nN
n
zx     
1
.


N
nN
n
zx  . 
 
 26
(c) Caso em que n é pequeno (n < 30) 
 
Vimos acima que quando o desvio padrão da população (σ) é desconhecido é necessário utilizar sua estimativa 
(s). Só que ao substituir-se o desvio padrão populacional pela sua estimativa no quociente: 
n
x


 não se terá 
mais uma distribuição normal padrão. 
 
 
De fato, conforme demonstrado pelo estatístico inglês W. S. Gosset, conhecido por “Student”, o 
comportamento do quociente: 
n
s
x 
segue uma distribuição simétrica em torno de zero, porém com uma 
variabilidade maior do que a da distribuição normal padrão. 
 
 
A distribuição do quociente acima é conhecida como distribuição “t” de Student. Na realidade existem infinitas 
distribuições t, uma para cada tamanho de amostra. Estas distribuições, a exemplo da normal padrão, 
encontram-se tabeladas. A tabela para a distribuição t segue uma metodologia um pouco diferente daquela da 
normal padrão. De fato, como existem muitas distribuições t de Student não seria possível tabelá-las da mesma 
forma que a da normal padrão. 
 
Assim cada linha de uma tabela representa uma distribuição diferente e cada coluna representa um valor de 
confiança que poderá ser “α“ ou “α/2”, isto é, a tabela poderá ser unilateral ou bilateral. 
 
A linha de cada tabela fornece a distribuição t com parâmetro “n1” denominado de graus de liberdade, isto 
é, o grau de liberdade gl = ν = n1 = linha da tabela. A qualificação “n–1 graus de liberdade” é necessária 
porque para cada diferente tamanho de amostra (n) ou valor (n–1), há uma diferente distribuição t. 
 
 
Neste caso, o intervalo de confiança com probabilidade 1α para a média será: 
 
ܫܥ( ∶ 1 ) = 


 
n
stx
n
stx
22
 ;  
 
onde: 
 
̅ݔ é a estimativa por ponto da média da população; 
 
s é o desvio padrão da amostra e uma estimativa do desvio padrão da população σ e 
 
ݐఈ/ଶ é o valor da distribuição t cuja área à direita é igual a α/2, isto é, é o valor de t tal que: P(t > ݐఈ/ଶ) = α/2, 
ou seja: P(ݐఈ/ଶ < t < ݐఈ/ଶ) = 1α. 
 
 
 
Pode parecer um pouco estranho que, com uma população distribuída normalmente, venhamos eventualmente 
a utilizar a distribuição t de Student para achar os valores associados ao nível de confiança; mas quando σ não 
é conhecido, a utilização de s incorpora outra fonte de erro. Por isso, para manter o grau desejado de confiança 
compensamos a variabilidade adicional ampliando o intervalo de confiança por esse processo que substitui o 
valor z por um valor maior, t. 
 27
A equivalência entre as distribuições t e ܰ (0, 1) quando n é grande, pode ser verificada comparando os valores 
da distribuição ݐ, com infinitos (∞) graus de liberdade, com os da normal padrão. (As tabelas encontram-se 
nas páginas 38 e 39) 
 
 
Aqui, a amplitude do intervalo de confiança 


 
n
stA
2
.2  , tal como no caso em que o tamanho da amostra 
é grande 


 
n
szA
2
.2  , é uma variável aleatória, pois envolve o desvio padrão amostral (s). 
Na situação em que  é conhecido, ao contrário, todos os intervalos são de mesmo comprimento. 
 
 
Exemplo: Uma amostra de 10 cães sofrendo de uma determinada doença apresentou um tempo de 
sobrevivência médio de 46,9 meses e o desvio padrão de 43,3 meses. Determinar os limites de confiança de 
90% para . 
 
Solução: 
 
ax = 46,9 meses s = 43,3 meses 
1 −  = 0,90 gl = n-1 = 9 833,1
2
t 
Limites de confiança para : 0,72 e 8,21 
10
3,43833,19,46
2

n
stx  
 
 
Portanto, ܫܥ( ∶ 90%) = ]21,8; 72,0[ 
 
 
 
 
 
Considerações sobre o grau de liberdade 
 
Grau de liberdade (gl) é conceituado como o número de valores independentes de uma estatística. Tomando como 
exemplo o estimador s2 de 2, a quantidade (n–1) é o divisor que aparece na fórmula de s2. Isto significa que para 
um tamanho amostral n, 
1
)( 22

 
n
xxs i é baseado em (n–1) graus de liberdade, ou seja, calculando-se 
(n – 1) desvios (independentes): )(,),(),( 121 xxxxxx n   , o remanescente )( xxn  pode ser obtido por 
diferença, pois 0)(  xxi . 
 
As distribuições t são simétricas em torno de zero, 0)(E t , mas têm caudas mais espalhadas, 
3
1
2
)(




n
ntVar


, do que a distribuição ܰ(0, 1). Entretanto, com o aumento de ߥ, a distribuição t se 
aproxima da distribuição ܰ(0, 1), pois a ܸܽݎ(ݐ) tende a um. 
 
Assim, quando n é grande (n  30), a razão 
ns
x
/

, como mencionado anteriormente, é aproximadamente normal 
padrão.28
Erro da estimativa 
Chama-se erro da estimativa à diferença, ou desvio, entre a média amostral e a populacional. 
x  z 
n

  x  ERRO  logo ܧ = z 
n

 
 
Há três determinantes do tamanho ou quantidade de erro E: 
a) a confiança desejada, representada pelo valor de z; 
b) a dispersão na população,  ; 
c) o tamanho da amostra, n. 
Quando tratar-se de população finita com N elementos, temos: E = 
1
.


N
nN
n
z . 
 
 
3.3 Estimação da proporção de uma população 
 
Seja ݌̂ = proporção amostral. A estimativa pontual da proporção populacional é: ݌ = ݌ෝ, pois sabe-se que 
para n  30 a distribuição amostral de ݌̂ é aproximadamente normal com média μ(݌̂) = ݌ e desvio 
padrão (erro padrão) 
n
pp
p
 1(ˆ . 
 
Pode-se então utilizar a curva normal para estabelecer os limites para o intervalo de confiança. 
Lembrando que o que se quer é um intervalo que contenha o parâmetro populacional p com 
probabilidade “1α“ então tem-se: 
ܲ ቀ−ݖഀ
మ
 ≤ ܼ ≤ ݖഀ
మ
ቁ = 1 − ߙ, 
onde ݖఈ/ଶ é o valor da normal padrão com área à direita é igual a ߙ/2. 
 
 
Mas sabemos que 
p
ppZ
ˆ
ˆˆ

 , então substituindo na expressão acima vem: 



 



 1ˆP
2ˆ
ˆ
2
zpz
p
p . 
 
Trabalhando esta desigualdade, segue que: 
 
  



 1ˆP ˆ
2
ˆˆ
2
ppp zpz    



 1ˆˆP ˆ
2
ˆˆ
2
ppp zpzp 
 
 29
  



 1ˆ ˆP ˆ
2
ˆˆ
2
ppp zpzp 
Que é o intervalo procurado. 
 
 
Assim o intervalo de confiança (probabilidade) de “1α“ para a proporção “p” de uma população é dado por: 






 pp zpzppIC ˆ
2
ˆ
2
ˆ ;ˆ)1 :(   
 
Observando-se a expressão acima pode-se perceber que o intervalo de confiança para a proporção populacional 
p, depende dele mesmo, isto é, é necessário calcular o erro amostral que está expresso em função de p. Como 
o objetivo é estimar este valor, evidentemente ele não é conhecido. 
 
Assim é necessário utilizar, sua estimativa pˆˆ , isto é, é necessário substituir p por ݌̂ na expressão
n
pp
p
 1(ˆ . 
 
Desta forma o intervalo acima ficará: 





 






n
ppzp
n
ppzpzpzp pp
)ˆ1(ˆˆ ;)ˆ1(ˆˆˆˆ ;ˆˆ
22
ˆ
2
ˆ
2
  
onde: 
 
݌̂ é a estimativa por ponto da proporção populacional p. 
n
pp
p
)ˆ1(ˆˆ ˆ
 é uma estimativa do erro padrão, isto é, do desvio padrão amostral e 
ݖఈ/ଶ é o valor da distribuição normal padrão cuja área à direita é igual a ߙ/2. É o valor de z tal que: 
ܲ(ܼ > ݖఈ/ଶ) = ߙ/2. 
 
 
Exemplo 1: Numa pesquisa de mercado, 400 pessoas foram entrevistadas sobre sua preferência por 
determinado produto.Destas 400 pessoas,240 disseram preferir o produto.Determine um intervalo de confiança 
de 95% de probabilidade para o percentual de preferência dos consumidores em geral para este produto. 
 
Solução: 
Tem-se 1α = 95%, então α = 5% e α / 2 = 2,5%. 
O coeficiente de confiança que deve ser buscado na normal padrão é valor ݖఈ/ଶ de Z tal que: 
P(Z > ݖఈ/ଶ) = 2,5%, Este valor vale 1,96. 
A estimativa por ponto para a proporção populacional será: ݌̂= 
400
240
n
x
 = 0,60 = 60%. 
Então o intervalo de confiança de 95% para a proporção populacional será: 





 






n
ppzp
n
ppzpzpzp pp
)ˆ1(ˆˆ ;)ˆ1(ˆˆˆˆ ;ˆˆ
22
ˆ
2
ˆ
2
  = 





 
400
)60,01(60,096,160,0 ;
400
)60,01(60,096,160,0 = [60% - 4,80% ; 60% + 4,80%] = 
[55,20%; 64,80%], ou seja, pode-se afirmar com uma certeza de 95% de que este intervalo conterá a proporção 
populacional, isto é, a verdadeira percentagem dos consumidores que preferem o produto pesquisado. 
 30
Exemplo 2: Numa pesquisa de mercado para estudar a preferência da população de uma cidade em relação ao 
consumo de um determinado produto, colheu-se uma amostra aleatória de 300 consumidores da cidade e 
observou-se que 180 consumiam o produto. Determinar um IC de 99% para a proporção populacional de 
consumidores do produto. 
 
Solução: 
 
Tem-se 1α = 99%, então α = 1% e α / 2 = 0,5%. O coeficiente de confiança que deve ser buscado na normal 
padrão é valor zα/2 de Z tal que: P(Z > zα/2) = 0,5%. Este valor vale 2,575. A estimativa por ponto para a 
proporção populacional será: p = f/n =180/300 = 0,60 = 60%. 
Então o intervalo de confiança de 99% para a proporção populacional será: 





 
300
40,060,0575,260,0 ;
300
40,060,0575,260,0 = [60% - 7,28% ; 60% + 7,28%] = 
[52,72%; 67,28%], 
 
ou seja, pode-se afirmar com uma certeza de 99% de que este intervalo conterá a proporção populacional, isto 
é, a verdadeira percentagem dos consumidores que preferem o produto pesquisado. 
 
 
 
 
 
 
3.4 Determinação do tamanho da amostra 
Conhecida a dispersão da população em estudo e definidos o nível de confiança e o erro máximo desejado para 
a estimativa, pode-se determinar o tamanho mínimo da amostra que atende tais condições. Isso é feito, 
conforme mostrado a seguir, desenvolvendo-se a expressão do erro em relação ao tamanho da amostra. 
i. Para populações infinitas (e/ou amostragem com reposição) e variância ߪଶ conhecida: 
E = z 
n

  n = 
E
z 
  n = 
2





E
z
 
 
ii. Para populações finitas (e/ou amostragem sem reposição) e variância ߪଶ conhecida: 
1
. 


N
nN
n
zE   
1

NE
nNzn   
)NEz
Nzn
1( 222
22




 
 
iii. Quando a variância não é conhecida: 
 
n
ppzE )1(   2
2 )1(
E
ppzn  , 
onde p deve ser previamente estimado. 
 
 31
Logo, o tamanho da amostra n dependerá: 
a) o grau de confiança desejada; 
b) a quantidade de dispersão entre os valores individuais da população; 
c) certa quantidade específica de erro tolerável. 
 
 
Exemplo: Que tamanho de amostra será necessário para produzir um intervalo de 90% de confiança para a 
verdadeira média populacional, com erro de 1,0 em qualquer dos sentidos, se o desvio padrão da população é 
10,0? 
Solução: 
 = 10 
e = 1 
intervalo de 90% de confiança  z = 1,65 
Cálculo: n = 
2





E
z
 = 1,65 . 
1
10  2 = 16,5 2 = 272,25  n = 273 
 
Sugestões para estimação prévia de ࣌ 
1. Usar estimativas de σ, de um estudo similar feito anteriormente ou de uma amostra piloto. 
2. Em muitas situações, podemos considerar que 
4
amplitude . 
O argumento teórico para o uso desta aproximação está baseado na propriedade da Distribuição Normal com 
média µ e desvio-padrão σ, de que a área entre µ − 2σ e µ + 2σ é igual a 95,5%. 
Portanto esta aproximação não deve ser usada se a variável em estudo for muito assimétrica. 
 
 
Sugestões para estimação prévia de ࢖ 
1. Usar estimativas de p de um estudo similar feito anteriormente ou de uma amostra piloto. 
2. Substituir o produto ݌(1 − ݌) por 0,25 (ou seja: ݌ =0,5 e 1 − ݌ =0,5). Notamos que ao substituir por 
0,25, o tamanho da amostra pode ser maior que o necessário. E por isso que chamamos de abordagem 
conservadora, quando fazemos esta substituição nas fórmulas do intervalo de confiança. 
 
 32
Quando N (tamanho da população) é conhecido, o valor de n para estimar µ e p pode ser corrigido pela fórmula 
nN
nNn

* 
Se N é muito maior que n (N > 20n), então n* é aproximadamente n. 
 
 
EXERCÍCIOS – 3ª lista 
 
1. Qual a relação entre tamanho da amostra e erro amostral? 
a) Quanto maior o tamanho da amostra, maior o erro amostral.b) Quanto maior o tamanho da amostra, menor o erro amostral. 
c) O tamanho da amostra é igual ao erro amostral. 
d) O tamanho da amostra independe do erro amostral. 
 
2. Uma pesquisa recente foi realizada para avaliar o percentual da população favorável à eleição de um 
determinado ponto turístico para constar no selo comemorativo de aniversário da cidade. Para isso, 
selecionou-se uma amostra aleatória simples extraída de uma população infinita. O resultado apurou 50% 
de intenção de votos para esse ponto turístico. Considerando que a margem de erro foi de 2 pontos 
percentuais, para mais ou para menos, e que o nível de confiança utilizado foi de 95%, foram ouvidas, 
aproximadamente 
a) 50 pessoas. 
b) 100 pessoas. 
c) 1.200 pessoas. 
d) 2.400 pessoas. 
e) 4.800 pessoas. 
 
3. Seja X uma variável aleatória normalmente distribuída representando o salário dos empregados em um 
determinado ramo de atividade. Uma amostra aleatória de 100 empregados foi selecionada e apurou-se um 
intervalo de confiança de 95% para a média de X como sendo [760,80; 839,20], supondo a população de 
tamanho infinito e sabendo-se que o desvio padrão populacional é igual a R$ 200,00. Caso o tamanho da 
amostra tivesse sido de 1.600 e obtendo-se a mesma média anterior, o intervalo de confiança de 95% 
apresentaria uma amplitude igual a 
a) R$ 78,40. 
b) R$ 39,20. 
c) R$ 49,00. 
d) R$ 58,80. 
e) R$ 19,60. 
 
4. Considere um intervalo de confiança no nível de confiança 95% para a média populacional determinado a 
partir de uma amostra de um dado tamanho. Os limites desse intervalo de confiança indicam que: 
a) A média da população, certamente, é um valor desse intervalo. 
b) Para um grande número de amostras desse tamanho que sejam retiradas dessa população, a 
proporção de intervalos que conterão a média será de aproximadamente 95%. 
c) Para um grande número de amostras desse tamanho que sejam retiradas dessa população, a 
proporção de intervalos que conterão a média será no mínimo 95%. 
d) Para um grande número de amostras desse tamanho que sejam retiradas dessa população, a 
proporção de intervalos que conterão a média será no máximo 95%. 
e) A proporção de intervalos que conterão a média será de 95% para qualquer quantidade de amostras 
que sejam retiradas. 
 
 33
5. Um jornal deseja estimar a proporção de jornais impressos com não conformidades. Em uma amostra 
aleatória de 100 jornais dentre todos os jornais impressos durante um dia, observou-se que 20 têm algum 
tipo de não conformidade. Para um nível de confiança de 90%, Z = 1,64. Então pode-se concluir que 
apresentam não conformidades 
a) 21,64%, no máximo. 
b) 26,56%, no máximo. 
c) 26,56%, no mínimo. 
d) 21,64%, no mínimo. 
e) 20%, no mínimo. 
 
6. Considere uma amostra aleatória de 100 trabalhadores imigrantes, com a informação sobre X: salário 
mensal dessa amostra de trabalhadores. O salário médio mensal da amostra, ̅ݔ = 1500 reais e é uma 
estimativa de µ, o salário médio mensal de todos os trabalhadores imigrantes. O desvio-padrão amostral 
de salário, s = 1200 reais. Os responsáveis pela pesquisa consideram que uma boa estimativa para o salário 
médio mensal deve ter no máximo um erro E de 200 reais. Calcule a probabilidade de o erro máximo ser 
de 200 reais, isto é, P (−200 ≤ X − µ ≤ 200). Resp.: 90,5% 
 
7. Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição normal com  = 15 cm. Foi 
retirada uma amostra aleatória de 100 alunos obtendo-se x = 175 cm. Construir, ao nível de confiança 
de 95%, o intervalo para a verdadeira altura média dos alunos. Resp.: [172,06; 177,94] 
 
8. Em uma fábrica foi colhida uma amostra de certa peça e foram obtidas as seguintes medidas para os 
diâmetros: 
10 - 11 - 11 - 11 - 12 - 12 - 12 - 12 - 13 - 13 - 13 - 13 - 13 - 13 - 13 
13 - 13 - 13 - 13 - 13 - 14 - 14 - 14 - 14 - 14 - 15 - 15 - 15 - 16 - 16 
a) Estimar a média e a variância; 
b) Construir um intervalo de 95% de confiança para a média. Resp.: a) =13,13 e S2 = 2,05 b) [12,60; 13,66] 
 
9. Foram retiradas 25 peças da produção diária de uma máquina, encontrando-se para uma certa medida uma 
média de 5,2 mm. Sabendo-se que as medidas têm distribuição normal com desvio padrão populacional 
1,2 mm, construir intervalos de confiança para a média aos níveis de 90%, 95% e 99%. Resp.: [4,81; 5,59], 
[4,73; 5,67] e [4,58; 5,82] 
 
10. De uma distribuição normal com 2 = 1,96, obteve-se a seguinte amostra: 
25,2  26,0  26,4  27,1  28,2  28,4. 
Determinar o intervalo de confiança para a média da população, sendo os níveis de confiança iguais a 95% 
e 90%. Resp.: [25,76; 28,00] e [25,84; 27,82] 
 
11. Construir, ao nível de 95%, o intervalo de confiança para a média, admitindo-se a seguinte distribuição 
amostral: 
 
Classes 15 |-- 18 18 |-- 21 21 |--24 24 |-- 27 27 |-- 30 30 |-- 33 
Fi 8 9 12 15 7 4 
Resp.: [22,00; 24,55] 
 
12. Uma amostra aleatória de 8 elementos retirados de uma população normal com desvio padrão 5, apresentou 
os seguintes valores: 22, 17, 21, 24, 15, 18, 16, 19. Determine um intervalo de confiança de 90% para a 
média populacional. Resp.: P(16,10 <  < 21,90) = 0,90 
 
13. Qual é a precisão da estimação obtida no problema número 8? Resp.: Precisão (confiança): 0,95 e erro-
padrão: 1,75 . Podemos ter 95% de confiança de que não estamos errando por mais que 1,75 ao estornar 
a média dessa população. 
 34
 
14. Qual é o erro-padrão de estimativa obtido no problema número 8? Resp.: E = 2,90 
 
15. A tabela abaixo representa uma amostra aleatória selecionada em uma população normal com variância 
16 (unid)2. 
xi 2 3 5 6 
Fi 3 7 8 2 
 Determine um intervalo de confiança de 98% para a média populacional. 
Resp.: P(1,86 <  < 6,03) = 0,98 
 
16. Um levantamento das cotações para o preço de um produto na bolsa de mercadorias apontou, a partir de 
uma amostra de 100 cotações, um preço médio de 2,40 u.m./kg. Sabe-se, por experiência anterior, que a 
variância para este tipo de cotação é aproximadamente constante de valor 0,16. Construa um intervalo de 
confiança de 90% para o preço médio deste produto. Resp.: P(2,33 <  < 2,47) = 0,90 
 
17. Um comerciante que trabalha com o produto do problema anterior acredita que terá lucro se conseguir 
pagar um preço menor que o preço médio da bolsa. Qual é o preço máximo que poderá pagar ao nível de 
confiança de 80%? Resp.: preço < 2,35 
 
18. Para estudar a situação salarial em uma empresa, um consultor levantou uma amostra aleatória de 50 
salários recebidos na empresa. Sabe-se, por experiências com empresas similares, que o desvio padrão 
para os salários é aproximadamente constante de valor 40 u.m. O salário médio amostral foi calculado em 
245 u.m. Determine um intervalo de confiança de 94% para o salário médio pago por esta empresa. Resp.: 
P(234,37 <  < 255,63) = 0,94 
 
19. Um centro de ortodontia deseja conhecer a estimativa do tempo médio que um membro da equipe gasta 
para atender a cada paciente. Suponha que uma amostra de 38 especialistas revelou que a média foi de 45 
minutos com um desvio-padrão de 6 minutos. Determine um intervalo de 99% de confiança para o 
parâmetro. Resp.: (42,49; 47,51) 
 
20. Uma rede de lanchonetes deseja estimar a quantia média que cada cliente gasta por lanche. Foram coletados 
dados de uma amostra de 22 clientes que revelou uma quantia média de R$ 15 com um desvio-padrão de 
5. Construir um intervalo de confiança de 95% para a média populacional. Resp.: (12,783; 17,217) 
 
21. Um prefeito de certa cidade turística deseja estimar a média de gastos para os turistas que visitarem a 
cidade. Com este propósito, uma amostra aleatória de 120 turistas foi selecionada para a investigação e 
encontrou-se que a média foi igual a 800 u.m. (unidades monetárias) com desvio padrão de 200 u.m. Achar 
o intervalo de confiança,a 99,9%; 99%; 95%; 93%; 90% e 75% para a média de todos os gastos de turistas 
com a cidade. 
 
22. Em uma pesquisa sobre comportamento condicionado, 17 ratinhos realizam uma experiência e os seus 
tempos (em segundos) são anotados: 5-5-6-7-7-7-7-8-9-9-9-9-10-10-11-11-12. 
a) Pede-se para construir os intervalos de confiança para a verdadeira média dos tempos, aos níveis de 
99,9%; 99%; 95%; 93%; 90% e 75% de confiança; 
b) Se a amostra for acrescida dos seguintes tempos extraídos ao acaso de outros ratinhos do mesmo 
laboratório (ou seja, da mesma população): 5-5-6-6-7-7-7-7-8-8-9-9-9-10-11-11. Pede-se para 
construir os intervalos de confiança para a verdadeira média dos tempos, a partir da nova amostra, aos 
níveis de 99,9%; 99%; 95%; 93%; 90% e 75% de confiança; 
 
23. Um especialista em educação pretende avaliar a aceitação de um projeto educacional numa cidade. Depois 
de apresentá-lo às escolas do município, os responsáveis por sua execução desejam avaliar o valor 
aproximado do parâmetro p, a proporção de diretores favoráveis ao projeto, dentre as escolas do município. 
Para estimar este parâmetro, o especialista coleta uma amostra aleatória simples de n = 600 escolas e 
verifica que nesta amostra 420 são favoráveis. Usando um nível de 95% de confiança, obtenha o intervalo 
de confiança para o parâmetro p. Resp.: (0,663; 0,737) 
 35
 
24. Em uma amostra de 500 acidentes de trânsito, observou-se que 368 foram provocados por bebidas 
alcoólicas. Com base nesses dados estime, com 99,9%; 99%; 95%; 93%; 90% e 75% de confiança, a 
proporção de acidentes devido às bebidas alcoólicas. 
 
25. Um centro de estudos de pesquisa de opinião realizou uma pesquisa para avaliar a opinião dos 
telespectadores de uma região, sobre um certo comentarista esportivo. Para isso entrevistou 380 
telespectadores, selecionados ao acaso da região, e constatou que 180 desejavam que o comentarista fosse 
afastado da TV. 
a) Determine uma estimativa pontual da proporção de telespectadores da região favoráveis ao 
afastamento do comentarista esportivo. Resp.: 0,47 
b) Determine um intervalo de confiança de 90% para : proporção de telespectadores favoráveis ao 
afastamento do comentarista. Resp.: 0,43   0,51 
c) Suponha agora que o centro decida que um intervalo de confiança, com coeficiente de 90% para , 
deve ter comprimento 0,05. Os dados do item (a) atingem esse objetivo? Justifique e comente. 
 
26. Deseja-se saber qual a proporção de pessoas da população domina certo idioma e para isso retira-se uma 
amostra aleatória simples de 400 pessoas, obtendo-se 8 pessoas que dominam esse idioma. Definir limites 
de confiabilidade de 95% para a proporção populacional. 
 
27. Perguntou-se a 643 jovens, entre 16 e 19 anos, quais os principais problemas que enfrenta a juventude 
atual. Os principais problemas apontados, com o número correspondente de respostas, foram: 
i. o uso e o abuso de tóxicos: 270; 
ii. a falta de comunicação com os pais: 220; 
iii. o uso e o abuso do álcool: 85 e 
iv. o desemprego: 68. 
Considerando os 643 jovens como uma amostra aleatória de todos os jovens naquela faixa etária, estime, 
através de um intervalo de 99,9%; 99%; 95%; 93%; 90% e 75% de confiança, a proporção de jovens da 
população considerada que cita o problema i), ii), iii) e iv) como o principal. 
 
28. Líderes estudantis de uma faculdade querem conduzir uma pesquisa para determinar a proporção p de 
estudantes a favor de uma mudança no horário de aulas. Como é impossível entrevistar todos os 2000 
estudantes em um tempo razoável, decide-se fazer uma amostragem aleatória simples dos estudantes: 
a) Determinar o tamanho de amostra (número de estudantes a serem entrevistados) necessário para 
estimar p com um erro máximo de 0,05 e nível de confiança de 95%. Assumir que não há nenhuma 
informação a priori disponível para estimar p. Resp.: 384, 16 ≈ 385 
b) Os líderes estudantis também querem estimar a proporção de p de estudantes que sentem que a 
representação estudantil atende adequadamente as suas necessidades. Com um erro máximo de 7% e 
nível de confiança de 95%, determinar o tamanho de amostra para estimar p. Utilizar a informação de 
uma pesquisa similar conduzida a alguns anos, quando 60% dos estudantes acreditavam que estavam 
bem representados. Resp.: 188,16=189 
c) Qual o tamanho de amostra adequado para atingir ambos os objetivos da pesquisa? Resp.: Para atingir 
ambos os objetivos da pesquisa, devemos considerar a maior amostra, que ´e a de 385 estudantes. 
 
29. Qual é o tamanho de amostra necessário para estimar a renda média mensal das famílias de uma pequena 
comunidade, com um erro máximo de 100 reais com 95% de confiança, usando amostragem aleatória 
simples? Sabe-se que a renda mensal familiar está entre 50 e 1000 reais. Resp.: n=22 
 
30. Em uma amostra, de variável contínua, com população infinita, foi desenvolvido uma pesquisa onde o 
tamanho da amostra calculado para esta população foi n0=469. Admita agora, que esta mesma população 
seja finita com N=2600, com desvio padrão 21, o erro amostral é 1,9 e o nível de confiança é 95%. Calcule 
o tamanho da amostra e aplique a fórmula de correção. Resp.: n=397 
 
 36
31. Determinar o tamanho de amostra necessário para estimar o volume médio de vendas de carros novos 
nacionais entre as concessionárias, fixando um nível de confiança de 99% para um erro de estimação igual 
a 1 automóvel. E conhecido que existem 200 concessionárias na região em estudo. Em uma pesquisa 
similar feita 5 anos antes, o desvio-padrão amostral foi igual a 2,8. Supor que foi feita uma amostragem 
aleatória simples. Resp.: n=52,19 e n*=41,90 
 
32. Um cientista resolve estimar a proporção p de indivíduos com certa doença numa região. Ele deseja que a 
probabilidade de que a sua estimativa não se desvie do verdadeiro valor de p por mais que 2% seja de pelo 
menos 95%. Qual deve ser o tamanho da amostra para que essas condições sejam satisfeitas? Resp.: 
n=2401 
 
33. Da população de crianças de determinada cidade, uma pré-amostragem apresentou quanto à incidência de 
cárie um percentual de 30%. Estime o número de elementos da amostra definitiva com 4% de precisão e 
90% de confiança. Resp.: n=353 
 
 
 
 37
4 APENDICE 
 
 
Com relação à propriedade de um estimador ser não-viesado, é fácil ver que )(E x , isto é, x é um 
estimador não viciado da média da população () e ppE )ˆ( , isto é, pˆ é um estimador não viciado de p. 
 
Estes estimadores nada mais são do que as próprias definições dos respectivos parâmetros, mas aplicadas à 
amostra. 
Por outro lado, o estimador da variância da população 2
1
12 )( xx
n
i
iN  

 , dado por 2
1
12 )(ˆ xx
n
i
in  

 , 
é viciado, pois, como pode ser demonstrado, 
 
212212 )ˆ(  nn
nE   , onde 212 )(  nb  . 
 
Tomando-se o estimador “ajustado” 

 
n
i
inn
n xxs
1
2
1
122
1 )(ˆ , 
então s2 é um estimador não viciado para 2, porque E(s2) )ˆ(
1
)ˆ
1
( 22  E
n
n
n
nE



 = 2. 
 
Por esta razão, s2 foi definido como a variância amostral. 
 
 
No entanto, para n , têm-se para ambos os estimadores: 222 )(lim)ˆ(lim  

sEE
nn
, isto é, 22ˆ se 
são assintoticamente não viciados. 
 
 
Deve ser mencionado que, embora s2 seja um estimador não viciado da variância 2, s não é um estimador não 
viciado do desvio padrão . 
 
 
 
Também pode ser mostrado que um estimador não viciado da covariância entre duas variáveis X e Y, é a 
covariância amostral. 
REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS: 
 
BUSSAB, Wilton de O.; MORETTIN, Pedro . Estatística Básica. 5.edição. São Paulo : Saraiva, 2002. 
MORETTIN, Pedro . Estatística Básica : probabilidade e inferência, volume único. São Paulo : Pearson 
PrenticeHall, 2010. 
 
 38
Áreas de uma Distribuição Normal Padrão 
 
 
Cada casa na tabela dá a proporção sob a curva inteira 
entre z = 0 e um valor positivo de z. As áreas para os 
valores negativos de z são obtidas por simetria. 
 
z 0,00 0,01 0,02 0,03 0,04 0,05 0,06 0,07 0,08 0,09 
0,0 0,0000 0,0040 0,0080 0,0120 0,0160 0,0199 0,0239 0,0279 0,0319 0,0359 
0,1 0,0398 0,0438 0,0478 0,0517 0,0557 0,0596 0,0636 0,0675 0,0714 0,0753 
0,2 0,0793 0,0832 0,0871 0,0910 0,0948 0,0987 0,1026 0,1064 0,1103 0,1141 
0,3 0,1179 0,1217 0,1255 0,1293 0,1331 0,1368 0,1406 0,1443 0,1480 0,1517 
0,4 0,1554 0,1591 0,1628 0,1664 0,1700 0,1736 0,1772 0,1808 0,1844 0,1879 
 0,5 0,1915 0,1950 0,1985 0,2019 0,2054 0,2088 0,2123 0,2157 0,2190 0,2224 
0,6 0,2257 0,2291 0,2324 0,2357 0,2389 0,2422 0,2454 0,2486 0,2517 0,2549 
0,7 0,2580 0,2611 0,2642 0,2673 0,2703 0,2734 0,2764 0,2794 0,2823 0,2852 
0,8 0,2881 0,2910 0,2939 0,2967 0,2995 0,3023 0,3051 0,3078 0,3106 0,3133 
0,9 0,3159 0,3186 0,3212 0,3238 0,3264 0,3289 0,3315 0,3340 0,3365 0,3389 
 1,0 0,3413 0,3438 0,3461 0,3485 0,3508 0,3531 0,3554 0,3577 0,3599 0,3621 
1,1 0,3643 0,3665 0,3686 0,3708 0,3729 0,3749 0,3770 0,3790 0,3810 0,3830 
1,2 0,3849 0,3869 0,3888 0,3907 0,3925 0,3944 0,3962 0,3980 0,3997 0,4015 
1,3 0,4032 0,4049 0,4066 0,4082 0,4099 0,4115 0,4131 0,4147 0,4162 0,4177 
1,4 0,4192 0,4207 0,4222 0,4236 0,4251 0,4265 0,4279 0,4292 0,4306 0,4319 
 1,5 0,4332 0,4345 0,4357 0,4370 0,4382 0,4394 0,4406 0,4418 0,4429 0,4441 
1,6 0,4452 0,4463 0,4474 0,4484 0,4495 0,4505 0,4515 0,4525 0,4535 0,4545 
1,7 0,4554 0,4564 0,4573 0,4582 0,4591 0,4599 0,4608 0,4616 0,4625 0,4633 
1,8 0,4641 0,4649 0,4656 0,4664 0,4671 0,4678 0,4686 0,4693 0,4699 0,4706 
1,9 0,4713 0,4719 0,4726 0,4732 0,4738 0,4744 0,4750 0,4756 0,4761 0,4767 
 2,0 0,4772 0,4778 0,4783 0,4788 0,4793 0,4798 0,4803 0,4808 0,4812 0,4817 
2,1 0,4821 0,4826 0,4830 0,4834 0,4838 0,4842 0,4846 0,4850 0,4854 0,4857 
2,2 0,4861 0,4864 0,4868 0,4871 0,4875 0,4878 0,4881 0,4884 0,4887 0,4890 
2,3 0,4893 0,4896 0,4898 0,4901 0,4904 0,4906 0,4909 0,4911 0,4913 0,4916 
2,4 0,4918 0,4920 0,4922 0,4925 0,4927 0,4929 0,4931 0,4932 0,4934 0,4936 
 2,5 0,4938 0,4940 0,4941 0,4943 0,4945 0,4946 0,4948 0,4949 0,4951 0,4952 
2,6 0,4953 0,4955 0,4956 0,4957 0,4959 0,4960 0,4961 0,4962 0,4963 0,4964 
2,7 0,4965 0,4966 0,4967 0,4968 0,4969 0,4970 0,4971 0,4972 0,4973 0,4974 
2,8 0,4974 0,4975 0,4976 0,4977 0,4977 0,4978 0,4979 0.4979 0,4980 0,4981 
2,9 0,4981 0,4982 0,4982 0,4983 0,4984 0,4984 0,4985 0,4985 0,4986 0,4986 
 3,0 0,4987 0,4987 0,4987 0,4988 0,4988 0,4989 0,4989 0,4989 0,4990 0,4990 
 39
Tabela com valores críticos de t (Student) 
 
 
Graus de 
Liberdade (gl) 
Nível de Confiança 
0,50 0,80 0,90 0,95 0,98 0,99 
Monocaudal )2(
 0,25 0,10 0,05 0,025 0,01 0,005 
Bicaudal )( 0,50 0,20 0,10 0,05 0,02 0,01 
1 1,000 3,078 6,314 12,706 31,821 63,657 
2 0,816 1,886 2,920 4,303 6,965 9,925 
3 0,765 1,638 2,353 3,182 4,451 5,841 
4 0,741 1,533 2,132 2,776 3,747 4,604 
5 0,727 1,476 2,015 2,571 3,365 4,032 
6 0,718 1,440 1,943 2,447 3,143 3,707 
7 0,711 1,415 1,895 2,365 2,998 3,499 
8 0,706 1,397 1,860 2,306 2,896 3,355 
9 0,703 1,383 1,833 2,262 2,821 3,250 
10 0,700 1,372 1,812 2,228 2,764 3,169 
11 0,697 1,363 1,796 2,201 2,718 3,106 
12 0,695 1,356 1,782 2,179 2,681 3,055 
13 0,694 1,350 1,771 2,160 2,650 3,012 
14 0,692 1,345 1,761 2,145 2,624 2,977 
15 0,691 1,341 1,753 2,131 2,602 2,947 
16 0,690 1,337 1,746 2,120 2,583 2,921 
17 0,689 1,333 1,740 2,110 2,567 2,898 
18 0,688 1,330 1,734 2,101 2,552 2,878 
19 0,688 1,328 1,729 2,093 2,539 2,861 
20 0,687 1,325 1,725 2,086 2,528 2,845 
21 0,686 1,323 1,721 2,080 2,518 2,831 
22 0,686 1,321 1,717 2,074 2,508 2,819 
23 0,685 1,319 1,714 2,069 2,500 2,807 
24 0,685 1,318 1,711 2,064 2,492 2,797 
25 0,684 1,316 1,708 2,060 2,485 2,787 
26 0,684 1,315 1,706 2,056 2,479 2,779 
27 0,684 1,314 1,703 2,052 2,473 2,771 
28 0,683 1,313 1,701 2,048 2,467 2,763 
29 0,683 1,311 1,699 2,045 2,462 2,756 
 (z) 0,674 1,282 1,645 1,960 2,326 2,576 
 
 
 
 
.