Apostila espaço Vetorial Reduzida

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Faculdade Independente do Nordeste 
Credenciada pela Portaria MEC 1.393, de 04/07/2001 publicada no D.O.U. de 09/07/2001. 
 
x 
y 
v
 
a 
b 
CURSOS DE ENGENHARIA DA PRODUÇÃO/CIVIL/ELÉTRICA 
Componente Curricular: ÁLGEBRA LINEAR 
Professor: Márcia Azevedo Campos marciazevedo70@hotmail.com 
Aluno(a): 
 
Espaço Vetorial 
 
Vetor é a representação gráfica de uma grandeza vetorial. Para definir um vetor são 
necessários uma direção, um sentido e a intensidade. 
Ex.: 
v AB B A   onde A é origem e B a extremidade. 
Seja 
(1, 2)
(3, 4)
(2, 2)
A
B
v B A
 



  
 
 
Espaço vetorial: 
Seja 
V
 um conjunto de vetores (
V
≠ 0) dizemos que 
V
é Espaço Vetorial sobre um 
corpo K (R ou C) se são definidas as operações: 
I) Adição de vetores: 
V V V  ; ( , )u v u v V   
II) Produto de vetor por um escalar: 
k V V  ; ( , )h v hv V  e V é único. 
E se prevalecem as seguintes propriedades: 
A1: Para quaisquer vetores u, v, w V, 
( ) ( )u v w u v w    
 
A2: Para quaisquer vetores u, v V 
u v v u  
 
A3: Para qualquer vetor u V, 
0; 0 0 ,v v v v     
 chamado vetor zero. 
A4: Para cada vetor u V, 
, ; ( ) 0u u u u    
 
M5: Para quaisquer escalares h, k K, e qualquer vetor v V, 
( ) ( )hk v h kv
. 
M6: Para quaisquer escalares h, k K, e qualquer vetor v V, 
( )h k v hv kv  
. 
M7: Para qualquer escalar k K, e quaisquer vetores u, v V, 
( )k u v ku kv  
. 
M8: Para o escalar unitário 1 K, 
1v v
 para qualquer vetor v V. 
 
Para quaisquer vetores u, v, w Rn e quaisquer escalares k, k’ R, temos: 
_ Adição usual de vetores: Se u = (a, b, c) e v = (d, e, f) então u + v = ( a+ d, b+ e, c+f)
 _ Multiplicação usual de vetores: ( , , ) ( , , )k a b c ka kb kc 
_ Propriedades: 
P1: 
0 0,k k K  
; 
P2: 
0 0,v v V  
; 
 
Exemplos: 
P3: Se 
0kv 
, então 
0k 
 ou 
0v 
; 
P4: 
( ) ( )k v k v kv    
 
P5: 
( )v v  
Kn é um espaço vetorial sobre K; 
Pn é um espaço vetorial sobre K, onde Pn é o conjunto dos polinômios reais de grau 
menor ou igual a 
n
. 
Mmxn é um espaço vetorial sobre K, onde Mmxn é o conjunto das matrizes reais de ordem 
m n
. 
A
 
B
 
v
 
 
Faculdade Independente do Nordeste 
Credenciada pela Portaria MEC 1.393, de 04/07/2001 publicada no D.O.U. de 09/07/2001. 
 
EXERCÍCIOS: 
1) Mostre que o Conjunto V = R2 = {(x, y); x, y R} é um espaço vetorial definido com as 
operações da adição e multiplicação, assim definidas por: 
{
 
 
 
2) Mostrar que o conjunto R2 não é um espaço vetorial em relação as operações assim 
definidas: 
{
 
 
 
 
 
 
 
 
 
3) Verifique se o conjunto R2 não é um espaço vetorial com as relações assim definidas: 
{
 
 
 
4) Mostre que V = R3 não é um espaço vetorial sobre K = C, fazendo k = i C 
 
5) Verifique se V = R2 não é um espaço vetorial com as relações assim definidas: 
{
 
 
 
 
6) Seja V o conjunto dos pares ordenados (a, b) de números reais. Mostre que V não é 
espaço vetorial sobre R com adição em V e multiplicação por escalar definidas por 
I. (a, b) + (c, d) = (a + d, b + c) e k(a, b) = (ka, kb) 
II. (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) e k(a, b) = (a, b) 
III. (a, b) + (c, d) = (0, 0) e k(a, b) = (ka, kb) 
IV. (a, b) + (c, d) = (ac, bd) e k(a, b) = (ka, kb) 
 
 
Subespaço vetorial 
Definição 1: 
Seja 
W
 um subconjunto de 
V
. Seja 
V
 um espaço vetorial sobre 
K
. Dizemos que 
W
 é 
subespaço vetorial de 
V
, se 
W
é espaço vetorial. 
 
Definição 2: Seja 
W
 um subconjunto de 
V
, onde 
V
 um espaço vetorial sobre 
K
. 
Dizemos que 
W
 é subespaço vetorial de 
V
 se, e somente se, são válidas as condições: 
I) 
0 W
; 
II) 
, ;u v W u v W   
; 
III) 
, ,K u W u W      
Obs.: Se 
V
 é um espaço vetorial sobre 
K
, então os conjuntos 
{0} e V
 são subespaços 
de 
V
chamados subespaços triviais ou impróprios. Os demais subespaços são os 
subespaços próprios. 
 
Exercícios: 
1). Verifique se W = {(x, y, z) V; x + y = 0} é um subespaço vetorial em R3. 
2) Verifique se K = {(x, y) V; x + y = 1} é um subespaço vetorial em R2. 
3) Verifique se W = {(x, y, z) R3; x = y = z} é um subespaço vetorial em R3. 
4) Verifique se W = {(x, x2), x R} é um subespaço vetorial em V = R2. 
5) Verifique se W = {(x, y, z) R3; x ≥ 0} é um subespaço vetorial em R3.