Matemática Financeira

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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
MATEMA´TICA FINANCEIRA
Orlando Batista de Almeida
IFPB - Matema´tica
12 de setembro de 2013
Orlando Batista de Almeida MATEMA´TICA FINANCEIRA - Matema´tica
Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Juro e Conceitos Fundamentais
3 Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
4 Juros Simples, Montante e Capital
5 Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
6 Juro Exato e Juro Comercial
7 Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
8 Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
9 Juros Compostos e Montante
10 Bibliografia
Orlando Batista de Almeida MATEMA´TICA FINANCEIRA - Matema´tica
Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Suma´rio
1 Introduc¸a˜o
2 Juro e Conceitos Fundamentais
3 Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
4 Juros Simples, Montante e Capital
5 Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
6 Juro Exato e Juro Comercial
7 Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
8 Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
9 Juros Compostos e Montante
10 Bibliografia
Orlando Batista de Almeida MATEMA´TICA FINANCEIRA - Matema´tica
Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Introduc¸a˜o
A matema´tica financeira trata, em esseˆncia, do valor do dinheiro
ao longo do tempo. O seu objetivo ba´sico e´ o de efetuar ana´lises e
comparac¸o˜es dos va´rios fluxos de entrada e sa´ıda de dinheiro de
caixa verificados em diferentes momentos.
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o de Juro
E´ a remunerac¸a˜o referente ao uso do CAPITAL por determinado
TEMPO.
Representac¸a˜o
O juro sera´ representado pela letra J.
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Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o de Capital
E´ a quantia inicial(principal) que se tem ou se recebe.
Representac¸a˜o
O capital sera´ representado pela letra C.
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o de Montante
E´ o resultado que se tem da aplicac¸a˜o do capital, ou seja, e´ quanto
se paga ou se recebe pelo ”empre´stimo do capital”.
O montante pode ser chamado de ”Valor de Resgate”, ”Capital
mais Juros”, ”Valor Final”ou ”Valor Capitalizado”.
Representac¸a˜o
O montante sera´ representado pela letra M.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Bibliografia
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o de Per´ıodo
E´ definido como sendo o espac¸o de tempo pelo qual o capital ficou
aplicado. Este dado vem representado por um nu´mero de per´ıodos
que podem ser, por exemplo, dias, meses, trimestres ou anos.
Representac¸a˜o
Representamos o nu´mero de per´ıodos pela letra n de tempo.
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Bibliografia
Definic¸a˜o
Definic¸a˜o de Taxa de Juros
E´ a relac¸a˜o entre o JURO e o CAPITAL, ou seja, e´ o fator que
determina qual e´ a remunerac¸a˜o do capital em certo espac¸o de
tempo.
Representac¸a˜o
A taxa de juros sera´ representado pela letra i.
Assim, temos:
i =
J
C
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Bibliografia
Definic¸a˜o
Representac¸a˜o da Taxa de Juros
TAXA PERCENTUAL
E´ a taxa de juros que se refere a cem unidades de
capital(percentual=por cem).
Exemplos
(1) A inflac¸a˜o acumulada nos u´ltimos 12 meses atingiu 6o/o ;
(2) O rendimento das cadernetas de poupanc¸a no meˆs passado foi
de 0, 5o/o(zero v´ırgula cinco por cento).
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Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
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Definic¸a˜o
Representac¸a˜o da Taxa de Juros
TAXA UNITA´RIA
E´ a taxa de juros que se refere a uma unidade de capital.
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Juros Simples, Montante e Capital
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Exemplos
Taxas de juros
Forma Percentual Transformar Forma Unita´ria Forma Unita´ria
20o/o ao ano
20
100
0, 2 ao ano
6o/o ao trimestre
6
100
0, 06 ao trimestre
2o/o ao meˆs
2
100
0, 02 ao meˆs
0, 3o/o ao dia
0, 3
100
0, 003 ao dia
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Definic¸a˜o
Fluxo de Caixa
A matema´tica financeira se preocupa com o estudo das va´rias
relac¸o˜es dos movimentos moneta´rios que se estabelecem em
distintos momentos no tempo. Esses movimentos moneta´rios sa˜o
identificados temporalmente atrave´s de um conjunto de entradas e
sa´ıdas de caixa definido como fluxo de caixa.
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Juros Simples, Montante e Capital
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Diagrama de Fluxo de Caixa
FIGURA
(I) A linha horizontal registra a escala de tempo, ou seja, o
horizonte financeiro da operac¸a˜o. O ponto 0 indica o momento
inicial, e os demais pontos representam os per´ıodos de
tempos(datas).
(II) As setas indicam entradas ou sa´ıdas de dinheiro. As setas para
cima da linha do tempo refletem as entradas (ou recebimentos) de
dinheiro ou um valor positivo, e as setas para baixo da linha
indicam sa´ıdas (ou aplicac¸o˜es) de dinheiro ou um valor negativo. O
tamanho das setas e´ proporcional ao valor que esta´ entrando ou
saindo.
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Bibliografia
Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Os crite´rios (regimes) de capitalizac¸a˜o demonstram como os juros
sa˜o formados e sucessivamente incorporados ao capital no decorrer
do tempo. Nesta conceituac¸a˜o podem ser identificados dois
regimes de capitalizac¸a˜o dos juros: Simples ou linear e Composto
ou exponencial.
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Juros Simples
Quando o regime de capitalizac¸a˜o de juros e´ simples, a
remunerac¸a˜o pelo capital inicial aplicado(tambe´m chamado de
principal) e´ diretamente proporcional ao seu valor e ao tempo de
aplicac¸a˜o. O valor de proporcionalidade e´ a taxa de juros.
Importante
O regime de capitalizac¸a˜o de juros simples comporta-se como se
fosse uma progressa˜o aritime´tica (PA), crescendo os juros de forma
linear ao longo do tempo.
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Bibliografia
Exemplos
Suponhamos que se tome emprestado a quantia de 1.000, 00 reais
pelo prazo de 2 anos e a taxa de 10o/o ao ano. Qual sera´ o valor a
ser pago como juro?
Soluc¸a˜o
Capital inicial(C) = 1.000, 00
Taxa de juros(i) = 10o/o ao ano
Numero de periodos(n) = 2 anos
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Bibliografia
Usando a taxa de juros na forma unita´ria, temos o juro do primeiro
ano dado por:
j1 = 1.000, 00x0, 10x1 = 100, 00 reais
No segundo ano teremos:
j2 = 1.000, 00x0, 10x1 = 100, 00 reais
O juro total sera´ a soma do juro devido no primeiro ano (j1) mais
o juro devido no segundo ano (j2), ou seja,
J = j1 + j2
J = 100, 00 + 100, 00 = 200, 00 reais.
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Bibliografia
Este problema pode ser resolvido diretamente:
J = 1.000, 00x0, 10x1 + 1.000, 00x0, 10x1
J = 1.000, 00x0, 10x2
J = 200, 00 reais.
Note que, se fizermos uma passagem para forma literal, onde:
C = 1.000, 00 reais , i = 10o/o ao ano e n = 2 anos,
temos:
J = C.i.n
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Assim,
J = C.i.n
onde,
J = juro
C = capital inicial
i = taxa de juros
n = prazo de
aplicac¸a˜o(na mesma unidade que a taxa)
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Importante
O prazo de aplicac¸a˜o (n) deve estar expresso na mesma unidade de
tempo que a taxa de juros (i) considerada.
Exemplos
Quanto rende um capital de 100, 00 reais aplicado a uma taxa
5o/o ao semestre e por um prazo de 2 anos?
Soluc¸a˜o
Capital inicial(C) = 100, 00
Taxa de juros(i) = 5o/o a.s. = 0, 05 a.s.
Numero de periodos(n) = 2 anos = 4 semestres.
Enta˜o,
J = C .i .n, ou seja, J = 100, 00x0, 05x4 = 20, 00 reais.
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Fo´rmulas no Regime de Juros Simples
A fo´rmula ba´sica para ca´lculo de juros em um regime simples de
capitalizac¸a˜o e´ dada por
J = C.i.n
e dela podemos determinar:
O capital : C =
J
i.n
A taxa de juros : i =
J
C.n
O periodo de rendimentos : n =
J
C.i
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Exemplos
(1) Um capital de 80.000, 00 reais e´ aplicado a um taxa de 2, 5o/oao meˆs durante um trimestre. Determinar o valor dos juros
acumulados nesse per´ıodo.
Soluc¸a˜o
Capital inicial(C) = 80.000, 00 reais
Taxa de juros(i) = 2, 5o/o a.m. = 0, 025 a.m.
Numero de periodos(n) = 3 meses
Enta˜o,
J = C .i .n, ou seja, J = 80.000, 00x0, 025x3 = 6.000, 00 reais.
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Exemplos
(2) Um negociante tomou um empre´stimo pagando uma taxa de
juros de 6o/o ao meˆs durante nove meses. Ao final desse per´ıodo,
calculou 270.000, 00 reais o total de juros incorridos na operac¸a˜o.
Determinar o valor do empre´stimo.
Soluc¸a˜o
Capital inicial(C) =? reais
Taxa de juros(i) = 6o/o a.m. = 0, 06 a.m.
Numero de periodos(n) = 9 meses
Juro (J) = 270.000, 00 reais. Enta˜o,
C =
J
i .n
, ou seja, C =
270.000, 00
0, 06x9
=
270.000, 00
0, 54
= 500.000, 00 reais.
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Bibliografia
Exemplos
(3) Um capital de 40.000, 00 reais foi aplicado num fundo de
pouponc¸a por onze meses, produzindo um rendimento financeiro
de 9.680, 00. Apurar a taxa de juros oferecida por esta operac¸a˜o.
Soluc¸a˜o
Capital inicial(C) = 40.000, 00 reais
Taxa de juros(i) =?
Numero de periodos(n) = 11 meses
Juro (J) = 9.680, 00 reais.
Enta˜o,
i =
J
C .n
, logo, i =
9.680, 00
40.000, 00x11
=
9.680, 00
440.000, 00
= 0, 022 = 2, 2o/o a.m.
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Exemplos
(4) Uma aplicac¸a˜o de 250.000, 00 reais, rendendo uma taxa de
juros de 1, 8o/o ao meˆs produz, ao final de determinado per´ıodo,
juros no valor de 27.000, 00 reais. Determinar o prazo da operac¸a˜o.
Soluc¸a˜o
Capital inicial(C) = 250.000, 00 reais
Taxa de juros(i) = 1, 8o/o a.m. = 0, 018 a.m.
Numero de periodos(n) =?
Enta˜o,
n =
J
C .i
, ou seja, n =
27.000, 00
250.000, 00x0, 018
=
27.000, 00
4.500, 00
= 6 meses.
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Definic¸a˜o
Montante
Definic¸a˜o de Montante
Um determinado capital, quando aplicado a uma taxa perio´dica de
juro por determinado tempo, produz um valor acumulado
denominado de Montante, e identificado em juros simples por M.
Em outras palavras, o Montante e´ constitu´ıdo do capital mais o
valor acumulado dos juros, isto e´,
M = C+ J.
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Fo´rmula do Montante
Sendo J = C.i.n temos M = C+C.i.n, ou ainda, M = C(1+ i.n).
Temos tambe´m a fo´rmula do capital
C =
M
1+ i.n
.
A expressa˜o (1+ i.n) e´ definida como fator de capitalizac¸a˜o(ou
valor futuro - FCS) dos juros simples. Ao multiplicar um capital
por este fator, corrige-se o seu valor para uma data futura,
determinando o montante. O inverso, ou seja, 1(1+i.n) e´
denominado de fator de atualizac¸a˜o(ou de valor presente - FAS).
Ao se aplicar o fator sobre um valor expresso em uma data futura,
apura-se o seu equivalente numa data atual.
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Exemplos
(1) Uma pessoa aplica 18.000, 00 reais, a` taxa de 1, 5o/o ao meˆs
durante oito meses. Determinar o valor acumulado ao final deste
per´ıodo.
Soluc¸a˜o
Capital inicial(C) = 18.000, 00 reais
Taxa de juros(i) = 1, 5o/o a.m. = 0, 015 a.m.
Numero de periodos(n) = 8 meses
Montante (M) =? Enta˜o,
M = C(1 + i.n), ou seja,
M = 18.000, 00(1+0, 015x8) = 18.000, 00x1, 12 = 20.160, 00 reais.
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Exemplos
(2) Uma d´ıvida de 900.000, 00 reais, ira´ vencer em quatro meses.
O credor esta´ oferecendo um desconto de 7o/o ao meˆs caso o
devedor deseje antecipar o pagamento para hoje. Calcular o valor
que o devedor pagaria caso antecipasse a liquidac¸a˜o da d´ıvida.
Soluc¸a˜o
Montante (M) = 900.000, 00 reais
Capital inicial(C) =?
Taxa de juros(i) = 7o/o a.m. = 0, 07 a.m.
Numero de periodos(n) = 4 meses. Enta˜o,
C =
M
1 + i.n
, logo, C =
900.000, 00
1 + 0, 07x4
=
900.000, 00
1, 28
= 703.125, 00 reais.
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Bibliografia
Definic¸a˜o
Taxa Proporcional
Taxas Proporcionais (ip), sa˜o definidas como sendo aquelas cujos
quocientes entre elas e seus respectivos per´ıodos de capitalizac¸a˜o
(np), colocados na mesma unidade de tempo, sa˜o iguais, ou seja,
i1
n1
=
i2
n2
=
i3
n3
=
i4
n4
=
i5
n5
= . . . =
ip
np
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Exemplos
Verificar se as taxas: i1 = 10
o/o a.m., i2 = 20
o/o a.b.,
i3 = 30
o/o a.t., i4 = 60
o/o a.s. e i5 = 120
o/o a.a. sa˜o
proporcionais.
soluc¸a˜o
Se elas forem proporcionais verificam a condic¸a˜o
i1
n1
=
i2
n2
=
i3
n3
=
i4
n4
=
i5
n5
.
Assim,
10o/o
1 mes
=
20o/o
2 meses
=
30o/o
3 meses=
60o/o
6 meses
=
120o/o
12 meses
= 10o/o a.m.
Portanto, as taxas sa˜o proporcionais.
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Definic¸a˜o
Taxa Equivalente
Definic¸a˜o de Taxa Equivalente
Duas taxas sa˜o equivalentes (ieq), quando aplicadas sobre o mesmo
capital e pelo mesmo prazo, produzem o mesmo montante.
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Exemplos
Seja um capital de 10.000, 00 reais, que pode ser aplicado
alternativamente a` taxa de 2o/o a.m. ou 24
o/o a.a.. Supondo um
prazo de aplicac¸a˜o de dois anos, verificar se as taxas sa˜o
equivalentes.
soluc¸a˜o
Aplicando o pricipal C = 10.000, 00 reais a` taxa de
i = 2o/o a.m. = 0, 02 a.m. por um per´ıodo de
n = 2 anos = 24 meses, produziremos um juro J de:
J = C .i .n = 10.000, 00x0, 02x24 = 4.800, 00 reais.
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Agora, aplicando o pricipal C = 10.000, 00 reais a` taxa de
i = 24o/o a.a. = 0, 24 a.a. por um per´ıodo de n = 2 anos,
produziremos um juro J de:
J = C .i .n = 10.000, 00x0, 24x2 = 4.800, 00 reais.
Portanto, as taxas de i = 2o/o a.m. e i = 24
o/o a.a. sa˜o
equivalentes, pois produzem o mesmo montante.
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Introduc¸a˜o
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Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
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Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Fo´rmula para Ca´lculo do Montante
Fo´rmula para Ca´lculo do Montante em juros simples para as duas
taxas.
Temos que o montante para taxa i e´ dado por M = Cx(1+ ixn)
e para taxa equivalente ieq dado por M = Cx(1+ ieqx1).
Como os montantes sa˜o iguais temos:
Cx(1+ixn) = Cx(1+ieqx1) =⇒ 1+ ixn = 1+ ieqx1 =⇒ ixn = ieqx1
Portanto,
i
1
=
ieq
n
.
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Exemplos
(1) Um capital de 15.000, 00 reais foi aplicado a juros simples e, ao
final de dois bimestres, produziu o montante de 16.320, 00. Qual
foi a taxa mensal dessa aplicac¸a˜o?
soluc¸a˜o Ca´lculo da taxa mensal da aplicac¸a˜o:
Temos o pricipal C = 15.000, 00 reais, por um per´ıodo de
n = 2 bimestres = 4meses, produzindo um montante de
M = 16.320, 00 reais, vamos determinar a` taxa de i.Como
M = Cx(1+ ixn)
16.320 = 15.000x(1+ ix4)⇒ 16.320 = 15.000 + 60.000x i
i =
1320
60.000
⇒ i = 2, 2o/o a.m.
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Exemplos
(2) Em uma Loja, um aparelho de som e´ vendido por 1.800, 00
reais a vista. Pedro comprou esse aparelho a prazo por 2.250, 00,
dando 300, 00 reais de entrada e o restante ao completar treˆs
meses. Qual e´ a taxa anual de juros simples cobrada nessa
transac¸a˜o?
soluc¸a˜o
Ca´lculo da taxa de juros simples trimentral:
Temos o pricipal C = 1.500, 00 reais por um per´ıodo de
n = 1 trimestre, produzindo um montante de M = 1.950, 00 reais,
vamos determinar a` taxa de juros i.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Como
M = Cx(1+ ixn)
temos:
1.950 = 1.500x(1+ ix1)⇒ 1.950 = 1.500 + 1.500x i
i =
450
1.500
⇒ i = 0, 3o/o a.t. = 30o/o a.t.
Agora vamos calcular a taxa equivalente de juros simples anual:
i1
n1
=
i2
n2
⇒ 30
o/o a.t.
1trim
=
i2 a.a.
4 trim
⇒ i2 = 4x30
1
= 120o/o a.a.
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Exemplos
(3) Um capital 10.000, 00 reais aplicado a taxa de juros simples de
9o/o ao semestre, ao final de um ano e nove meses, qual sera´ o
montante produzido?
soluc¸a˜o
Ca´lculo da taxa de juros simples equivalente mensal a` taxa
sementral:
i1
n1
=
i2
n2
⇒ 9
o/o a.s.
6meses
=
i2 a.m.
1mes
,
logo
i2 =
9x1
6
= 1, 5o/o a.m.⇒ i2 = 0, 015 a.m.
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Agora, vamos calcular o montante:
Temos o pricipal C = 10.000, 00 reais, o per´ıodo e´ de
n = 1 ano e 9meses = 21meses, a` taxa de juros
i = 1, 5o/o a.m. = 0, 015 a.m.. Vamos determinar montante.
Como
M = Cx(1+ ixn)
temos:
M = 10.000x(1+ 0, 015x21)⇒M = 10.000x1, 35
M = 13.150, 00 reais
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Definic¸a˜o
Ano Civil e Ano Comercial
E´ muito comum nas operac¸o˜es financeiras e em muitos nego´cios
comerciais, que as taxas de juros sejam expressas em termos
anuais e os prazos sejam fixados em dias. Como para o curto prazo
o regime de capitalizac¸a˜o comumente adotado e´ o de juro simples,
faz-se necessa´rio calcular a taxa de juros proporcional referente a
1(um) dia.
Ano Civil e Ano Comercial
Para fazermos a contagem dos dias existem duas maneiras:
(I ) Ano Civiltem 365 dias ou 366 dias, caso o ano seja bissexto.
(II ) Ano Comercial tem 360 dias.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Exemplo
Qual e´ o prazo decorrido de 12 de fevereiro a 6 de agosto de 2013,
segundo o ano do calenda´rio civil e do ano comercial?
Soluc¸a˜o
(I ) Segundo o ano do calenda´rio civil:
Exemplos
Meses Fev Mar Abr Maio Jun Jul Agos
Dias 28− 12 = 16 31 30 31 30 31 6
Total 175
O prazo decorrido no ano civil e´ de 175 dias.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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(II ) Segundo o ano comercial:
Temos que de 12 de fevereiro a 12 de agosto temos:
6mesesx30 = 180 dias,
e de 12 para 6 de agosto temos menos 6 dias. Portanto, o nu´mero
de dias decorridos sa˜o
180− 6 = 174 dias.
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Definic¸a˜o
Juro Exato
Define-se Juro Exato aquele que e´ obtido quando o per´ıodo (n)
esta´ expresso em dias(tempo exato), e quando e´ adotada a
convenc¸a˜o do calenda´rio do ano civil.
Exemplo
Para o ca´lculo do juro exato, uma taxa de 12o/o a.a. equivale a`
uma taxa dia´ria de:
soluc¸a˜o
12o/o a.a.
365
= 0, 032877o/o a.d .
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Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Definic¸a˜o
Juro Comercial
Define-se Juro Comercial aquele que e´ obtido quando o per´ıodo
(n) esta´ expresso em dias, e quando e´ adotada a convenc¸a˜o do ano
comercial.
Exemplo
Para o ca´lculo do juro exato, uma taxa de 12o/o a.a. equivale a`
uma taxa dia´ria de:
soluc¸a˜o
12o/o a.a.
360
= 0, 033333o/o a.d .
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Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Fo´rmulas de Juro Exato
A fo´rmula ba´sica para ca´lculo de juros Exato em um regime
simples de capitalizac¸a˜o e´ dada por
Je =
C .i .n
365
.
Onde:
(I ) A taxa de juros (i) e´ colocada em termos anuais(a.a.) e na
forma unita´ria.
(II ) O prazo (n) deve ser colocado em dias, seguindo o ano civil
(365 dias) ou (366 dias), caso o ano seja bissexto.
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Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Exemplo
Qual e´ o juro exato de um capital de 10.000, 00 reais, que e´
aplicado por 40 dias a uma taxa de 36o/o a.a.?
soluc¸a˜o
Como
Je =
C .i .n
365
temos:
Je =
10.000, 00x0, 36x40
365
= 394, 52 reais.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Bibliografia
Fo´rmulas de Juro Comercial
A fo´rmula ba´sica para ca´lculo de juros Comercial em um regime
simples de capitalizac¸a˜o e´ dada por
Jc =
C .i .n
360
.
Onde:
(I ) A taxa de juros (i) e´ colocada em termos anuais(a.a.) e na
forma unita´ria.
(II ) O prazo (n) deve ser colocado em dias, seguindo o ano
comerial (360 dias).
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Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Exemplo
Qual e´ o juro comercial de um capital de 10.000, 00 reais, que e´
aplicado por 40 dias a uma taxa de 36o/o a.a.?
soluc¸a˜o
Como
Je =
C .i .n
360
temos:
Je =
10.000, 00x0, 36x40
360
= 400, 00 reais.
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Definic¸a˜o
Valor Nominal
Valor Nominal (N) e´ o valor ”de face”de um t´ıtulo ou
compromisso com o vencimento para uma data futura(valor futuro
determinado), ou seja, e´ quanto vale um compromisso na data do
seu vencimento.
Exemplo
Uma pessoa que aplicou uma quantia hoje de 16.000, 00 reais, e
que vai resgata´-la daqui a 12 meses.
Soluc¸a˜o
O valor nominal (N) da aplicac¸a˜o e´ N = 16.000, 00 reais daqui a
12 meses.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Definic¸a˜o
Valor Atual
Valor Atual (V) e´ o valor que um t´ıtulo ou compromisso tem em
uma data que antecede o seu vencimento, ou seja, e´ o valor
nominal descontado.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Bibliografia
Exemplo
(1)Uma pessoa aplicou uma certa quantia hoje, a uma taxa de
6o/o a.m., e que vai resgata´-la daqui a 12 meses recebendo pela
aplicac¸a˜o a quantia de 24.000, 00 reais. Qual e´ o valor atual
hoje(data 0), que corresponde ao pro´prio valor aplicado?
Soluc¸a˜o
Temos que: N = 24.000, 00 , n = 12meses , i = 0, 06 a.m.. Vamos
determinar o capital C.
Como
N = Cx(1+ ixn)Orlando Batista de Almeida MATEMA´TICA FINANCEIRA - Matema´tica
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Bibliografia
temos
24.000 = Cx(1+ 0, 06x12)⇒ 24.000 = Cx(1+ 0, 72)
24.000 = Cx1, 72⇒ C = 24.000
1, 72
C = 13.953, 49 reais.
Portanto, o valor atual na data 0, isto e´, quanto a pessoa aplicou
hoje e´ de
C = 13.953, 49 reais.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Exemplo
(2)Uma pessoa aplicou uma quantia hoje de 15.000, 00 reais, e que
vai resgata´-la daqui a 12 meses recebendo pela aplicac¸a˜o a quantia
de 24.000, 00 reais. Qual e´ a taxa de juros utilizada nessa
operac¸a˜o?
Soluc¸a˜o
Temos que: N = 24.000, 00 , n = 12meses , C = 15.000, 00 reais.
Vamos determinar a taxa de juros i.
Como
N = Cx(1+ ixn)
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
temos
24.000 = 15.000x(1+ ix12)⇒ 24.000 = 15.000x(1+ 12i)
24.000
15.000
= 1+ 12i⇒ 1 + 12i = 1, 6
12i = 0, 6⇒ i = 0, 05
Portanto, o valor a taxa de juros e´ de
i = 5o/o a.m.
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Definic¸a˜o
Desconto
Desconto (D) e´ o valor que se deduz de um t´ıtulo ou compromisso
pela antecipac¸a˜o do seu vencimento, ou seja,
D = N− V.
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Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
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Exemplo
Uma pessoa aplicou uma certa quantia hoje, a uma taxa de
6o/o a.m., e que vai resgata´-la daqui a 12 meses recebendo pela
aplicac¸a˜o a quantia de 24.000, 00 reais. Passados seis meses da
data da aplicac¸a˜o, a pessoa precisou de dinheiro, e vai ao mercado
para descontar seu t´ıtulo por dinheiro com um amigo. Quanto essa
pessoa vai obter pelo t´ıtulo, sendo que a taxa de juros vigente no
meˆs 6 e´ de 7o/o a.m.?
Soluc¸a˜o
Temos que: N = 24.000, 00 , n = 6meses , i = 0, 07 a.m.. Vamos
determinar o valor atual C = V.
Como
N = Vx(1+ ixn)
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Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
temos
24.000 = Vx(1+ 0, 07x6)⇒ 24.000 = Cx(1+ 0, 42)
24.000 = Cx1, 72⇒ V = 24.000
1, 42
V = 16.901, 41 reais.
Portanto, o valor obtido pelo t´ıtulo foi de
V = 16.901, 41 reais.
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Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Definic¸a˜o
Valor Futuro
Valor Futuro (N) e´ o valor do t´ıtulo ou compromisso em qualquer
data posterior a` que estamos considerando no momento. E´ o
mesmo que montante, quando a data considerada for a do
vencimento da aplicac¸a˜o.
Exemplo
Uma pessoa possui hoje uma quantia de 10.000, 00 reais.
a) Qual sera´ o valor futuro, se a pessoa aplicar essa importaˆncia a`
taxa de 5o/o a.m., daqui a treˆs meses?
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Soluc¸a˜o
Temos que: C = 10.000, 00 , n = 3meses , i = 0, 05 a.m.. Vamos
determinar o valor futuro M = N.
Como
N = Cx(1+ ixn)
temos
N = 10.000, 00x(1+ 0, 05x3)⇒ N = 10.000, 00x(1+ 0, 15)
N = 10.000, 00x1, 15⇒ N = 11.500, 00.
Portanto, o valor futuro obtido por essa aplicac¸a˜o foi de
N = 11.500, 00 reais.
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Exemplo
Uma pessoa possui hoje uma quantia de 10.000, 00 reais. Qual
sera´ o valor futuro, se a pessoa aplicar essa importaˆncia a` taxa de
10o/o a.m., daqui a seis meses?
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Introduc¸a˜o
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Soluc¸a˜o
Temos que: C = 10.000, 00 , n = 6meses , i = 0, 10 a.m.. Vamos
determinar o valor futuro M = N.
Como
N = Cx(1+ ixn)
temos
N = 10.000, 00x(1+ 0, 10x6)⇒ N = 10.000, 00x(1+ 0, 60)
N = 10.000, 00x1, 60⇒ N = 16.000, 00.
Portanto, o valor futuro obtido por essa aplicac¸a˜o foi de
N = 16.000, 00 reais.
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Introduc¸a˜o
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Bibliografia
Exerc´ıcios
(1) Calcular a taxa de juros trimestral proporcional as seguintes
taxas:
a) 24o/o ao ano b) 36
o/o ao bieˆnio c) 6
o/o ao semestre.
(2) Calcular a taxa de juros anual proporcional as seguintes taxas:
a) 3o/o ao trimestre b) 27
o/o ao quadrimestre c) 5
o/o ao
meˆs.
(3) Uma loja vende um gravador por 1.500, 00 reais a vista. A
prazo, vende por 1.800, 00 reais, sendo 200, 00 reais de entrada e o
restante apo´s um ano. Calcular a taxa de juros anual cobrada?
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Introduc¸a˜oJuro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
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Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Bibliografia
(4)Calcular o juro simples de um capital de 1.000, 00 reais
aplicados de acordo com cada caso:
Taxa de juros Prazos
(a) 15o/o a.a. 1 ano
(b) 17o/o a.a. 4 anos
(c) 21o/o a.a. 5 meses
(d) 26, 8o/o a.a. 30 meses
(e) 30, 8o/o a.a. 5 anos e meio
(f) 38o/o a.a. 4 anos e 8 meses
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
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(5) Calcular o montante que recebera´ um aplicador que tenha
investido 5.000, 00 reais de acordo com cada caso:
Taxa de juros Prazos
(a) 18o/o a.a. 6 meses
(b) 31, 8o/o a.a. 2 anos e 7 meses
(c) 42o/o a.a. 4 anos e 3 meses
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(6) Uma pessoa aplicou 1.000, 00 reais. Calcular a taxa anual de
juros cobrada de acordo com cada caso:
Montante Prazos
(a) 1.420, 00 reais 2 anos
(b) 1.150, 00 reais 10 meses
(c) 1.350, 00 reais 1 ano e 9 meses
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(7) Quanto tempo deve ficar aplicado um capital de acordo com
cada caso?
Capital inicial Montante Taxa de Juros
(a) 800, 00 reais 832, 00 reais 16o/o a.a.
(b) 1.200, 00 reais 2.336, 00 reais 22o/o a.a.
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(8) Quanto tempo deve permanecer aplicado um capital para que
o juro seja igual a 5 vezes o capital, sendo a taxa de juros de
25o/o ao ano?
(9) Se um capital de 2.000, 00 reais rendeu 840, 00 reais de juros
em dois anos, qual e´ a taxa de juros equivalente trimestral?
(10) Se os capitais sa˜o investidos na mesma data, determinar o
tempo em que o montante de 1.920, 00 reais aplicados a 25o/o ao
ano se iguala ao montante de 2.400, 00 reais aplicados a 15o/o ao
ano.
(11) Uma pessoa aplicou 1.500, 00 reais no mercado financeiro e
apo´s cinco anos recebeu o montante de 3.000, 00 reais. Qual e´ a
taxa equivalente semestral?
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(12) Um capital de 2.500, 00 reais foi aplicado a taxa de juros de
25o/o ao ano em 12 de fevereiro de 20X5. Se o resgate for
efetuado em 3 de maio de 20X5, determinar o juro comercial
recebido pelo aplicador.
(13) Um capital de 1.500, 00 reais foi aplicado a taxa de juros de
42o/o ao ano pelo prazo de cem dias. Determinar o juro desta
aplicac¸a˜o se for considerado:
(a) o juro comercial
(b) o juro exato.
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(14) Um capital de 5.000, 00 reais rendeu 625, 00 reais de juro.
Sabendo-se que a taxa de juros contratada foi de 30o/o ao ano e
que a aplicac¸a˜o foi feita no dia 18 de marc¸o de 20X6, determinar a
data do vencimento, Se:
(a) foi considerado o juro comercial
(b) foi considerado o juro exato.
(15) Qual e´ o valor nominal de uma nota promisso´ria de
7.575, 76 reais assinada hoje com vencimento daqui a dez meses, se
a taxa da aplicac¸a˜o for de 38, 4o/o ao ano?
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Bibliografia
(16) O valor nominal de uma nota promisso´ria e´ de 4.770, 76 reais.
Determinar o seu valor atual treˆs meses antes do seu vencimento,
considerando-se a taxa de juros de 24o/o ao ano.
(17) Maria aplicou 10.000, 00 reais a uma taxa de 29o/o ao ano
pelo prazo de nove meses. Dois meses antes da data de
vencimento, ela propoˆs a transfereˆncia da aplicac¸a˜o para Orlando.
Quanto devera´ ser pago pelo t´ıtulo, se a taxa de juros de mercado
for de 32o/o ao ano na ocasia˜o da transfereˆncia?
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Definic¸a˜o
Desconto Racional ou Desconto por Dentro
E´ aquele desconto obtido pela diferenc¸a entre o valor nominal e o
valor atual de um compromisso que seja saldado n per´ıodos antes
do seu vencimento.
Desconto
E´ a quantia a ser abatida do valor nominal
Valor Descontado
E´ a diferenc¸a entre o valor nominal e desconto.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Bibliografia
Como M = C(1+ in) e, sendo,
N : o valor nominal ou montante;
Vr : o valor atual(ou valor descontado racional);
n : o nu´mero de per´ıodos antes do vencimento;
i : a taxa de desconto;
Dr : O valor do desconto;
temos que:
N = Vr(1+ in)
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Bibliografia
Fo´rmula doValor do Descontado
Assim,
Vr =
N
1+ in
.
Como Dr = N− Vr temos:
Dr = N− N
1+ in
,
ou seja,
Dr =
N(1+ in)−N
1+ in
,
ou ainda,
Dr =
Nin
1+ in
.
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Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Bibliografia
Importante
O valor descontado, de acordo com a definic¸a˜o, e´ dado por:
Vr = N−Dr.
Assim,
Vr = N− Nin
1+ in
=⇒ Vr = N(1+ in)−Nin
1+ in
.
Portanto,
Vr =
N
1+ in
.
Note que, em juros simples, o valor descontado e´ pro´prio valor
atual.
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Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Exemplos
(1) Uma pessoa pretende saldar um t´ıtulo de 5.500, 00 reais, treˆs
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros
corrente e´ de 40o/o a.a., qual e´ o valor do desconto? e, quanto vai
obter?
Soluc¸a˜o
Temos que N = 5.500, 00 reais, n = 3 meses e i = 40o/o a.a..
Calculando a taxa proporcional a um meˆs obtemos:
i12 =
0, 40
12
.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Bibliografia
Calculando o desconto pela fo´rmula
Dr =
Nin
1+ in
obtemos:
Dr =
5.500, 00x
0, 40
12
x3
1 +
0, 40
12
x3
=
550, 00
1, 10
= 500, 00 reais.
Portanto, o desconto e´ de 500, 00 reais.
Calculando o valor descontado(Vr), ja´ que, Vr = N−Dr temos:
Vr = 5.500, 00− 500, 00 =⇒ Vr = 5.000, 00 reais.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Bibliografia
Importante
Note que, 5.000, 00 reais e´ o pro´prio valor atual do compromisso.
De fato, nos pro´ximos treˆs meses e a` taxa de 40o/o a.a., a
aplicac¸a˜o de 5.000, 00 reais iria render:
J = Cin =⇒ J = 5000x 0, 40
12
x3 = 500, 00 reais.
Veja que, 500, 00 reais e´ o valor dos juros que a pessoa deixa de
receber(ou de pagar) por saldar o compromisso antes do
vencimento.
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Fo´rmula do Desconto Racional
Como Dr = J temos que Dr = Cin, que e´ outra forma de expressar
o desconto racional.
Podemos deduzir esta fo´rmula pela definic¸a˜o de desconto racional,
Dr = N− Vr, substituindo N e Vr temos:
Dr = C(1+ in)− C =⇒ Dr = C+ Cin− C.
Portanto,
Dr = Cin.
Assim, no regime de juros simples, o desconto racional aplicado ao
valor nominal e´ igual ao juro devido sobre o capital(valor
descontado) desde que ambos sejam calculados a` mesma taxa, ou
seja, a taxa de juros da operac¸a˜o e´ tambe´m a taxa de desconto.
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Definic¸a˜o
Desconto Comercial ou Desconto por Fora
E´ aquele desconto obtido pelo ca´lculo do juro simples sobre o valor
nominal do compromisso que seja saldado n per´ıodos antes do seu
vencimento.
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Fo´rmula do Desconto Comercial
N : o valor nominal ou montante;
Vc : o valor atual(ou valor descontado comercial);
n : o nu´mero de per´ıodos antes do vencimento;
i : a taxa de desconto;
Dc : O valor do desconto comercial;
Assim, obtemos o desconto comercial aplicando a definic¸a˜o:
Dc = Nin.
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Fo´rmula do Valor Descontado Comercial
Sendo Vc = N−Dc temos que,
Vc = N−Nin.
Portanto,
Vc = N(1− in).
Este resultado e´ tambe´m denominado valor atual comercial.
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(1) Uma pessoa pretende saldar um t´ıtulo de 5.500, 00 reais, treˆs
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros
corrente e´ de 40o/o a.a., qual e´ o valor do desconto comercial? e,
quanto e´ o valor descontado comercial?
Soluc¸a˜o
Temos que N = 5.500, 00 reais, n = 3 meses, a uma taxa de
i = 40o/o a.a.. Calculando a taxa proporcional a um meˆs obtemos
i12 =
0, 40
12
.
Sendo
Dc = Nin
temos:
Dc = 5.500, 00x
0, 40
12
x3 = 550, 00 reais.
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Juros Compostos e Montante
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Calculando o valor descontado comercial pela fo´rmula
Vc = N(1− in)
obtemos:
Vc = 5.500, 00x(1− 0, 40
12
x3) = 5.500, 00x0, 9 = 4.950, 00 reais.
Portanto, o valor descontado comercial e´ de 4.950, 00 reais, que e´
menos que os Vr = 5.000, 00 reais, que essa pessoa receberia se o
valor descontado fosse racional.
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Juros Compostos e Montante
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Importante
Note que, ao se fazer um desconto comercial a taxa de desconto
utilizada na˜o e´ mais igual a taxa de juros simples capaz de produzir
o montante.
Se o banco ganha 550, 00 reais sobre o valor de 4.950, 00 reais em
treˆs meses, a taxa de juros da operac¸a˜o e´ de
i∗ =
550, 00
4.950, 00
= 0, 1111 ao trimestre,
ou seja, i∗ = 0, 44 a.a. ou 44o/o a.a..
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Definic¸a˜o
Desconto Banca´rio
E´ aquele desconto que corresponde ao desconto comercial
acrescido de uma taxa prefixada, cobrada sobre o valor nominal.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
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Fo´rmula do Desconto Comercial
N : o valor nominal ou montante;
Vb : o valor atual(ou valor descontado banca´rio);
n : o nu´mero de per´ıodos antes do vencimento;
i : a taxa de desconto;
h : a taxa de despesas administrativas;
Dc : O valor do desconto comercial;
Db : O valor do desconto banca´rio.
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Fo´rmula do Desconto Banca´rio
Assim, obtemos o desconto banca´rio aplicando a definic¸a˜o:
Db = Dc +Nh,
ou seja,
Db = Nin+Nh.
Portanto,
Db = N(in+ h).
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Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
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Fo´rmula do Valor Descontado Banca´rio
Sendo Vb = N−Db temos que, o valor descontado banca´rio e´
dado por
Vb = N−N(in+ h),
ou ainda por,
Vb = N[1− (in+ h)].
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Bibliografia
Exemplo
(2)Um t´ıtulo de 5.500, 00 reais foi descontado no Banco A, que
cobra 2o/o como despesa administrativa. Sabendo-se que o t´ıtulo
foi descontado treˆs meses antes do seu vencimento e que a taxa
corrente em desconto comercial e´ de 40o/o a.a., qual e´ o desconto
banca´rio? e, quanto recebeu o proprieta´rio do t´ıtulo?
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Soluc¸a˜o
Temos que h = 2o/o = 0, 02 e utilizando a fo´rmula de desconto
banca´rio Db = N(in+ h) temos:
Db = 5.500, 00(
0, 40
12
x3 + 0, 02) = 5.500, 00x0, 12 = 660, 00.
Assim, o desconto banca´rio e´ de 660, 00 reais.
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Introduc¸a˜o
Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
Juros Simples, Montante e Capital
Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
Bibliografia
Calculando o valor descontado banca´rio pela fo´rmula
Vb = N[1− (in+ h)],
obtemos:
Vb = 5.500, 00x [1−(0, 40
12
x3+0, 02)] = 5.500, 00x0, 88 = 4.840, 00 reais.
Portanto, o valor descontado banca´rio e´ de 4.840, 00 reais.
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Juro e Conceitos Fundamentais
Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
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Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
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Importante
Comparando o valor descontado banca´rio Vb = 4.840, 00 reais, que
o proprieta´rio recebeu ao descontar seu t´ıtulo treˆs meses antes do
seu vencimento com aquele obtido com o descontado racional
Vr = 5.000, 00 reais e com descontado comercial
Vc = 4.950, 00 reais, percebemos que a taxa de desconto na˜o
corresponde a taxa impl´ıcita na operac¸a˜o. Veja que, a taxa de
juros da operac¸a˜o e´ de
i∗∗ =
660, 00
4.840, 00
≈ 0, 1364 ao trimestre,
ou seja, i∗∗ ≈ 0, 5456 a.a. ou i∗∗ = 54, 56 a.a.
E´ preciso, portanto, nos casos dos descontos comercial e banca´rio,
calcular a taxa que esta´ sendo cobrada na operac¸a˜o.
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Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
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Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
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Definic¸a˜o
Taxa de Juros Efetiva
E´ aquele taxa de juros que aplicada sobre o valor descontado
comercial ou banca´rio gera no per´ıodo considerado um montante
igual ao valor nominal.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Fo´rmula da Taxa Efetiva para Desconto Comercial
Sendo
if : a taxa de desconto;
N : o valor nominal ou montante;
Vc : o valor atual comercial;
Vb : o valor atual banca´rio;
n : o nu´mero de per´ıodos antes do vencimento;
e usando a definic¸a˜o temos que, a taxa efetiva para desconto
comercial e´ determinada por:
N = Vcx(1+ ifxn)
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Fo´rmula da Taxa Efetiva para Desconto Comercial
Assim, obtemos a fo´rmula da taxa efetiva para desconto comercial
aplicando a definic¸a˜o:
N = Vcx(1+ ifxn) =⇒ N
Vc
= 1+ ifxn =⇒ N
Vc
− 1 = ifxn.
Portanto,
if =
N
Vc
− 1
n
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Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
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Exemplo
(1)Uma pessoa pretende saldar um t´ıtulo de 5.500, 00 reais, treˆs
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros
corrente e´ de 40o/o a.a., cujo valor descontado comercial e´ de
4.950, 00 reais, deteminar a taxa efetiva para desconto comercial.
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Soluc¸a˜o
Temos que N = 5.500, 00 reais, n = 3meses, Vc = 4.950, 00 reais
e, sendo
if =
N
Vc
− 1
n
temos:
if =
5.500, 00
4.950, 00
− 1
3
=
0, 1111
3
= 0, 03703 a.m..
Portanto,
if ≈ 0, 44 a.a..
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Fo´rmula da Taxa Efetiva para Desconto Banca´rio
Usando a definic¸a˜o temos que, a taxa efetiva para desconto
banca´rio e´ determinada por:
N = Vbx(1+ ifxn).
Assim, obtemos a fo´rmula da taxa efetiva para desconto banca´rio
aplicando a definic¸a˜o:
N = Vbx(1+ ifxn) =⇒ N
Vb
= 1+ ifxn =⇒ N
Vb
− 1 = ifxn.
Portanto,
if =
N
Vb
− 1
n
.
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Exemplo
(2)Um t´ıtulo de 5.500, 00 reais foi descontado no Banco A, que
cobra 2o/o como despesa administrativa. Sabendo-se que o t´ıtulo
foi descontado treˆs meses antes do seu vencimento e que a taxa
corrente em desconto comercial e´ de 40o/o a.a., e, que o desconto
banca´rio 4.840, 00 reais, deteminar a taxa efetiva para desconto
banca´rio.
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Taxa de Juros e Regimes de Capitalizac¸a˜o de juros
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Taxa Proporcional e Taxa Equivalente
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
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Soluc¸a˜o
Temos que N = 5.500, 00 reais, n = 3meses, Vb = 4.840, 00 reais
e, sendo
if =
N
Vb
− 1
n
temos:
if =
5.500, 00
4.840, 00
− 1
3
=
0, 1364
3
= 0, 045 a.m..
Portanto,
if ≈ 0, 54 a.a..
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Importante
(I ) No desconto racional a taxa de desconto e´ a pro´pria taxa
efetiva.
(II ) A taxa efetiva sera´ aquela que conduz, pelo desconto racional,
ao mesmo valor calculado pelo desconto comercial ou banca´rio.
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Justificativa de (II)
A prova pode ser feita considerando os descontos racional e
comercial.
Temos que,
Dr =
Nifn
1+ if .n
e Dc = Nin.
Como os dois descontos devem ser iguais temos:
Dr = Dc =⇒ Nifn
1+ if .n
= Nin =⇒ if
1+ ifn
= i.
Portanto,
if =
i
1− in ,
onde i e´ a taxa de desconto aplicada.
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(1) Uma pessoa pretende saldar um t´ıtulo de 5.500, 00 reais, treˆs
meses antes de seu vencimento. Sabendo-se que a taxa de juros
corrente e´ de 40o/o a.a.. Determinar a taxa de desconto comercial.
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Soluc¸a˜o
Temos que, i = 40o/o a.a. =
0, 40
12
a.m. e n = 3meses. Como
if =
i
1− in
temos
if =
0, 40
12
1− 0, 40
12
x3
=
0, 0333
0, 9
≈ 0, 037 a.m..
Portanto, taxa de desconto comercial e´ if ≈ 0, 44 a.a..
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Exemplo
(2)Um t´ıtulo de 5.500, 00 reais foi descontado no Banco A, que
cobra 2o/o como despesa administrativa. Sabendo-se que o t´ıtulo
foi descontado treˆs meses antes do seu vencimento e que a taxa
corrente em desconto comercial e´ de 40o/o a.a.. Determinar a taxa
de desconto banca´rio.
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Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
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Soluc¸a˜o
Temos que, i = 40o/o a.a. = 0, 0333 a.m., n = 3meses e h = 2o/o .
Logo,
hm =
2o/o
3
= 0, 67o/o a.m. ≈ 0, 0067 a.m..
Portanto, a taxa de desconto banca´rio e´
i∗ = im + hm =⇒ i∗ = 0, 0333 + 0, 0067
i∗ = 0, 0400.
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Juro Exato e Juro Comercial
Valor Nominal, Valor Atual e Valor Futuro
Desconto Racional, Comercial e Banca´rio
Juros Compostos e Montante
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Como
if =
0, 04
1− 0, 04x3 =
0, 04
0, 88
temos
if ≈ 0, 045 a.m..
Portanto, taxa de desconto banca´rio e´ if ≈ 0,