Aula 02 TORÇÃO

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RESISTÊNCIA DOS 
MATERIAIS APLICADA
Professora: Rafaela Amaral
e-mail: rafaela.amaral@anhembimorumbi.edu.br
Aula 02:
TORÇÃO
Bibliografia:
HIBBELER, R. C. Resistência dos Materiais.
São Paulo. Pearson. Pearson, 2010.
DEFORMAÇÃO POR TORÇÃO DE UM
EIXO CIRCULAR
Torque: é o momento que tende a torcer o 
membro em torno de seu eixo longitudinal.
Pode-se supor que, se o ângulo de rotação for
pequeno, o comprimento do eixo e seu raio
permanecerão inalterados.
Se o eixo estiver preso em uma de suas
extremidades e for aplicado um torque à
sua outra extremidade, o plano sombreado
na Figura será distorcido até uma forma
oblíqua:
Devido à deformação observada, as faces
anterior e posterior do elemento sofrerão uma
rotação. O resultado é que, em razão da
diferença entre essas rotações, o elemento é
submetido a uma deformação por
cisalhamento.
A deformação por cisalhamento no interior do
eixo varia linearmente ao longo de qualquer
reta radial, de zero na linha de centro do eixo a
um máximo ϒmax em seu limite externo.
𝛾 =
𝜌
𝑐
𝛾𝑚á𝑥
FÓRMULA DA TORÇÃO
• Quando um torque externo é aplicado a um
eixo, cria um torque interno correspondente
no interior do eixo.
• Para um material linear elástico, a Lei de
Hooke é válida:
𝜏 = 𝐺𝛾
Pela Lei de Hooke:
𝜏 = 𝐺𝛾
e pela Equação:
𝛾 =
𝜌
𝑐
𝛾𝑚𝑎𝑥
podemos escrever:
𝜏 =
𝜌
𝑐
𝜏𝑚𝑎𝑥
O torque interno 𝑇 não só desenvolve uma
distribuição linear da tensão de cisalhamento ao
longo de cada reta radial do plano da área da
seção transversal, como também desenvolve
uma distribuição da tensão de cisalhamento
associada ao longo de um plano axial.
Distribuição de tensão de cisalhamento no Eixo
Maciço:
Distribuição de tensão de cisalhamento no Eixo
Tubular:
Cada elemento de área 𝑑𝐴 localizado em 𝜌, está
submetido a uma força 𝑑𝐹 = 𝜏𝑑𝐴. O torque
produzido por essa força é 𝑑𝑇 = 𝜌(𝜏 𝑑𝐴).
Temos, portanto, para toda a seção transversal:
𝑇 = 
𝐴
𝜌 𝜏𝑑𝐴 = 
𝐴
𝜌
𝜌
𝑐
𝜏𝑚á𝑥𝑑𝐴
Como 𝜏𝑚á𝑥/𝑐 é constante,
𝑇 =
𝜏𝑚á𝑥
𝑐
 
𝐴
𝜌2𝑑𝐴
𝑇 =
𝜏𝑚á𝑥
𝑐
 
𝐴
𝜌2𝑑𝐴
A integral dessa equação depende somente da
geometria do eixo. Ela representa o momento
de inércia polar 𝑱 da área da seção
transversal, calculado em torno da linha de
centro longitudinal do eixo.
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
A tensão de cisalhamento é determinada na
distância intermediária ρ a partir de uma
equação semelhante obtida por meio das
equações 𝜏 =
𝜌
𝑐
𝜏𝑚á𝑥 e 𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
.
𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
Onde:
𝜏 : a tensão de cisalhamento na distância
intermediária 𝜌.
𝑇 : torque interno resultante que age na seção
transversal;
𝐽 : momento polar de inércia da área da seção
transversal;
𝜌: distância radial da linha central do eixo.
𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
Observe que para 𝜌 = 𝑐, a tensão de cisalhamento
será máxima:
𝜏𝑚á𝑥 =
𝑇𝑐
𝐽
Momento polar de inércia do Eixo Maciço:
seção transversal circular maciça.
No anel infinitesimal, 𝑑𝐴 = 2𝜋𝜌𝑑𝜌, então:
𝐽 = 
𝐴
𝜌2𝑑𝐴 = 
0
𝑐
𝜌2 2𝜋𝜌𝑑𝜌 = 2𝜋
1
4
 𝜌4
0
𝑐
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4
𝐽 =
𝜋
2
𝑐4
Observe que 𝐽 é uma propriedade geométrica
da área do círculo e é sempre positiva.
Momento polar de inércia do Eixo Tubular:
seção transversal tubular (eixo vazado), com raio
interno 𝑐𝑖 e raio externo 𝑐𝑒.
O momento de inércia polar será:
𝐽 = 𝐽 𝑐𝑒 − 𝐽(𝑐𝑖)
𝐽 =
𝜋
2
𝑐𝑒
4 −
𝜋
2
𝑐𝑖
4
𝐽 =
𝜋
2
𝑐𝑒
4 − 𝑐𝑖
4
01) A distribuição de tensão em um eixo maciço
foi esquematizada graficamente ao longo de três
retas radiais arbitrárias como mostra na figura
abaixo. Determinar o torque interno resultante
na seção.
Exemplos:
02) O eixo mostrado na Figura a é suportado por
dois mancais e está sujeito a três torques.
Determinar a tensão de cisalhamento
desenvolvida nos pontos A e B (Figura c),
localizada na seção a-a do eixo.
03) O tubo mostrado na Figura (a) tem diâmetro
interno de 80mm e diâmetro externo de 100mm.
Supondo que sua extremidade seja apertada contra
o apoio em A por meio de um torquímetro em B,
determinar a tensão de cisalhamento desenvolvida
no material nas paredes interna e externa ao longo
da parte central do tubo quando são aplicadas
forças de 80N ao torquímetro.
04) No eixo representado na figura, calcular a 
tensão máxima em cada trecho.
Dados: T1 = 6 kNm, T2 = 9 kNm, D = 100 mm 
em AB e D = 76 mm em BC.
Calcular o valor máximo admissível do torque T
e os valores correspondentes das tensões
máximas. Dados: D = 50 mm em AB e d = 30
mm em BC, a tensão máxima admissível 𝜏 =
80 MPa.
Proposto:
Resposta: 
𝑇 = 1,709 KNm
𝜏𝐵𝐶 = 80 Mpa
𝜏𝐴𝐵 = 55,706 MPa 
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
Eixos e tubos com seção transversal circular são
frequentemente empregados para transmitir a
potência gerada por máquinas.
TRANSMISSÃO DE POTÊNCIA
Eixos e tubos com seção transversal circular são
frequentemente empregados para transmitir a
potência gerada por máquinas.
Potência (P): é o trabalho realizado por unidade
de tempo.
Trabalho transmitido por um eixo rotativo:
𝑇. 𝑑𝜃
𝑃 =
𝑇. 𝑑𝜃
𝑑𝑡
Como a velocidade angular do eixo é
𝜔 = 𝑑𝜃/𝑑𝑡 , também podemos expressar a
potência como:
𝑃 = 𝑇𝜔
No SI, a potência é expressa em W (watts),
quando o torque é medido em N.m e 𝝎 é
medido em rad/s.
1W=1N.m/s
Frequência de rotação de um eixo (𝑓) é
expressa em hertz (1Hz=1ciclo/s), ela representa
o número de revoluções ou ciclos que o eixo
realiza por segundo.
Como 1ciclo=2π rad, então ω = 2𝜋𝑓 e a
equação da potência pode, também, ser dada
por:
𝑃 = 2𝜋𝑓𝑇
05) Um eixo tubular de diâmetro interno de
30mm e diâmetro externo de 42mm é usado
para transmitir 90KW de potência. Determinar a
frequência de rotação do eixo de modo que a
tensão de cisalhamento não exceda 50MPa.
Exemplo
ÂNGULO DE TORÇÃO
Objetivo: desenvolver uma fórmula para
determinar o ângulo de torção Φ de uma
extremidade do eixo em relação à outra.
Observa-se que: 𝑑𝜙 = 𝛾
𝑑𝑥
𝜌
Lei de Hooke: 𝜏 = 𝐺𝛾
Fórmula da Torção: 𝜏 =
𝑇𝜌
𝐽
𝛾 =
𝑇(𝑥)𝜌
𝐽 𝑥 𝐺
𝑑𝜙 =
𝑇(𝑥)
𝐽 𝑥 𝐺
𝑑𝑥
𝑑𝜙 =
𝑇(𝑥)
𝐽 𝑥 𝐺
𝑑𝑥
Integrando em todo o comprimento L do eixo,
obtemos o ângulo de torção para todo o eixo, ou
seja:
𝜙 = 
0
𝐿 𝑇 𝑥
𝐽 𝑥 𝐺
𝑑𝑥
Onde:
𝜙: ângulo de torção de uma extremidade do eixo em
relação à outra, medido em radianos.
𝑇(𝑥): torque interno na posição arbitrária x.
J(𝑥): momento de inércia polar do eixo expresso como
função da posição x.
𝐺: módulo de elasticidade ao cisalhamento do material
Sendo G constante, a área da seção transversal e
o torque aplicado constantes ao longo do
comprimento do eixo:
𝜙 =
𝑇𝐿
𝐽𝐺
Convenção de sinais: Usaremos a regra da mão
direita, pela qual o torque e o ângulo serão
positivos se a direção indicada pelo polegar for
no sentido de afastar-se do eixo quando os
dedos são fechados para indicar a tendência da
rotação.
06) As engrenagens acopladas ao eixo de aço com uma
das extremidades fixa estão sujeitas aos torques
mostrados na Figura (a). Supondo que o módulo de
elasticidade ao cisalhamento seja 𝐺 = 80 GPa e o
eixo tenha diâmetro de 14 mm, determinar o
deslocamento do dente P da engrenagem A. O eixo gira
livremente no mancal em B.
Exemplo
07) Calcular os diâmetros externo e interno de um
eixo de aço sujeito a um torque de 25 kNm, de
modo que a tensão máxima de cisalhamento
seja 84 MPa e o ângulo de torção seja de
2,5 graus para um comprimento de 3 m.
Dado 𝐺 = 84 GPa.
08) Se as engrenagens, presasàs extremidades
do eixo, forem submetidas a torques de 85 N.m,
determine o ângulo de torção da extremidade B da
seção maciça em relação à extremidade C. A
seção maciça tem diâmetro de 40 mm.
Dado: 𝐺 = 75 GPa.
Calcular o valor máximo admissível do torque T
e os valores correspondentes das tensões
máximas e do ângulo de torção CxA. Dados: D
= 50 mm em AB e d = 30 mm em BC, a tensão
máxima admissível 𝜏 = 80 MPa e 𝐺 = 80 GPa.
Proposto:
Resposta: 
𝑇 = 1,709 KNm
𝜏𝐵𝐶 = 80 Mpa
𝜏𝐴𝐵 = 55,706 Mpa
𝜙 = 0,00107 rad