Renda Fixa no Brasil sob a Ótica da Educação Financeira

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Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro
Centro de Cieˆncias Exatas e Tecnologia
Curso de Matema´tica
Luiz Antonio Claro Neto
A Renda Fixa no Brasil sob a O´tica da Educac¸a˜o Financeira
Rio de Janeiro
2016
Luiz Antonio Claro Neto
A Renda Fixa no Brasil sob a O´tica da Educac¸a˜o Financeira
Monografia apresentada ao Curso de Matema´tica
da UNIRIO, como requisito para a obtenc¸a˜o par-
cial do grau de LICENCIADO em Matema´tica.
Orientador: Helisson Coutinho
Doutor em Matema´tica - UNIRIO
Rio de Janeiro
2016
N469r 
 Neto, Luiz Antonio Claro 
 A renda fixa no Brasil sob a ótica da educação financeira / Luiz Antonio Claro 
 Neto – 2016. 
 91p. : il. ; 14 cm. 
 
 Orientador: Dr. Helisson Coutinho 
 Trabalho de Conclusão de Curso (Graduação em Licenciatura de 
 Matemática) – Universidade Federal do Estado do Rio de Janeiro, Rio de Janeiro, 
 2016. 
 
 1.Matemática Financeira. 2. Renda Fixa. 3. Títulos Públicos. 
 I. Título 
 CDD 570.71 
 
Ao nosso Criador, por nosso planeta e pela
oportunidade de Ser, e ao grupo de amigos
Fa´bio Massadar, Fa´bio Moˆnaco, Haroldo Birsz-
tein, He´ber Vieira, Ma´rio Monteiro, Temo´teo
Miranda e Ures Folchini, porque sem sua fra-
ternidade eu na˜o conseguiria.
Resumo
Este trabalho propo˜e uma reflexa˜o sobre a Matema´tica Financeira utilizada
nos financiamentos e, principalmente, nos ca´lculos de renda fixa como parte da Educac¸a˜o
Financeira, com destaque para os t´ıtulos pu´blicos.
Sa˜o apresentadas as principais regras de Matema´tica Financeira necessa´rias
para os ca´lculos realizados, combinando a bibliografia utilizada no meio acadeˆmico com a
apresentada pela BM&FBOVESPA.
Conceitua-se inflac¸a˜o, ı´ndice de prec¸os e taxa real de juros, e estuda-se as
principais aplicac¸o˜es em renda fixa, tendo como alvo principal os t´ıtulos ofertados no
Tesouro Direto.
Palavras-chaves: Tesouro Direto, T´ıtulo Pu´blico, Renda Fixa, Matema´tica Financeira,
Educac¸a˜o Financeira.
Abstract
This work proposes a reflection on the Mathematical Finance used in loans
and in fixed income calculations as part of the Financial Education, highlighting the
government bonds.
The main rules of Mathematical Finance necessary for the calculations perfor-
med are presented by combining the bibliography used in the academic world with the
submitted by BM&FBOVESPA.
It is conceptualized inflation, price index and real interest rate, and it studies
the main investments in fixed income, with the main target the titles offered in the
“Tesouro Direto”.
Keywords: “Tesouro Direto”, Government Bond, Fixed Income, Mathematical Finance,
Financial Education.
Agradecimentos
A` minha Ma˜e, Maria da Conceic¸a˜o dos Santos Albuquerque, pela Educac¸a˜o
que me proporcionou.
Ao Professor Helisson, por sua Humildade e Sabedoria.
Aos meus Professores da Graduac¸a˜o, pela imensa Capacidade e Conhecimento.
“O que conta para a maioria das pessoas
na hora de investir na˜o e´ o quanto elas
sabem, mas sim como realisticamente elas
definem o que na˜o sabem.”
Warren Buffett
Suma´rio
Introduc¸a˜o 8
1 Educac¸a˜o Financeira no mundo e no Brasil 9
2 Matema´tica Financeira 13
2.1 Capital, montante e taxa de juro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13
2.2 Fluxo de Caixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14
2.3 Regimes de Capitalizac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4 Juro Simples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
2.4.1 Taxas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4.2 Taxa Nominal e Taxa Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
2.4.3 Valor Nominal e Valor Presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
2.5 Juros Compostos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
2.5.1 Taxa de juros acumulada . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
2.5.2 Taxas Equivalentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
2.5.3 Taxa Nominal e Taxa Efetiva . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
2.5.4 Valor Nominal e Valor Presente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
2.5.5 Fluxos de caixa homogeˆneo e heterogeˆneo com pagamento anteci-
pado ou postecipado . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
2.5.6 Valor presente em fluxos de caixa homogeˆneos . . . . . . . . . . . . 26
2.5.7 Valor futuro em fluxos de caixa homogeˆneos . . . . . . . . . . . . . 29
2.5.8 Valor presente em fluxos de caixa heterogeˆneos . . . . . . . . . . . . 31
2.5.9 Valor futuro em fluxos de caixa heterogeˆneos . . . . . . . . . . . . . 32
2.5.10 Taxa interna de retorno . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.6 Inflac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
2.6.1 I´ndice de prec¸os e taxa de inflac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.6.2 Inflac¸a˜o acumulada e taxa real de juros . . . . . . . . . . . . . . . . 38
3 Principais tipos de investimentos financeiros, seus riscos e seus impostos 41
3.1 Renda fixa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
3.1.1 Caderneta de Poupanc¸a . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
3.1.2 T´ıtulos Pu´blicos e Tesouro Direto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
3.1.2.1 Tesouro Prefixado ou LTN . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
3.1.2.2 Tesouro Prefixado com juros semestrais ou NTN-F . . . . 48
3.1.2.3 Tesouro IPCA+ ou NTN-B Principal . . . . . . . . . . . . 51
3.1.2.4 Tesouro IPCA+ com juros semestrais ou NTN-B . . . . . 55
3.1.2.5 Tesouro SELIC ou LFT . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.1.3 CDB, RDB e DGPE . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62
3.1.4 LCI e LCA . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
3.1.5 Debeˆnture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
3.1.6 Planos por sobreviveˆncia: VGBL e PGBL . . . . . . . . . . . . . . 68
3.2 Renda varia´vel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.3 Riscos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
3.4 Tributac¸a˜o . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
Conclusa˜o 82
Refereˆncias Bibliogra´ficas 83
8
Introduc¸a˜o
Esta monografia se insere no estudo da Educac¸a˜o Financeira, utilizando-se
da Matema´tica Financeira para expor tipos de financiamento e, principalmente, carac-
ter´ısticas dos principais produtos de renda fixa negociados no Brasil. No decorrer do
trabalho, gradativamente, adota-se a linguagem do mercado financeiro para, aos poucos,
inserir o leitor e, assim, desmistificar os t´ıtulos financeiros.
No cap´ıtulo “1”, relata-se o atual momento da Educac¸a˜o Financeira, no mundo
e no Brasil, destacando a importaˆncia desta e as pol´ıticas adotadas para uma maior
inclusa˜o financeira dos indiv´ıduos.
No segundo cap´ıtulo, sa˜o apresentadas as principais regras de Matema´tica Fi-
nanceira necessa´rias para os ca´lculos realizados neste trabalho. Combina-se a bibliografia
utilizada em aulas de Matema´tica Financeira no meio acadeˆmico com a apresentada pela
BM&FBOVESPA em seu Programa de Qualificac¸a˜o Profissional (PQO). Conceitua-se in-
flac¸a˜o, ı´ndice de prec¸os e taxa de inflac¸a˜o - ao per´ıodo e acumulada - tendo em vista que
ı´ndices de prec¸os sa˜o utilizados como indexadores emt´ıtulos de renda fixa e da˜o a noc¸a˜o
exata sobre ganhos reais (taxa real de juros).
No cap´ıtulo “3”, estuda-se as principais aplicac¸o˜es em renda fixa, com o ob-
jetivo maior de atuar como um manual dos t´ıtulos pu´blicos, apresentando seus conceitos
e ca´lculos. E´ importante evidenciar que o trabalho tem como alvo principal os t´ıtulos
pu´blicos ofertados no Tesouro Direto, porque, dada a gama de rentabilizac¸o˜es oferecidas,
tem-se o domı´nio para fazer as contas em todos os outros investimentos aqui citados.
Alguns investimentos, como VGBL e PGBL, sa˜o retratados puramente pelo cara´ter pe-
dago´gico deste trabalho.
Por fim, a “Conclusa˜o”, onde se comprova a necessidade da Educac¸a˜o Finan-
ceira e se evidencia observac¸o˜es feitas no decorrer do trabalho.
9
1 Educac¸a˜o Financeira no mundo e no Brasil
Nas u´ltimas duas de´cadas, houve mudanc¸as fundamentais nas relac¸o˜es econoˆmi-
cas e sociopol´ıticas mundiais. Entre as principais causas esta˜o a globalizac¸a˜o, o desenvolvi-
mento tecnolo´gico e o cara´ter neoliberal posto em alterac¸o˜es regulato´rias e institucionais.
Apo´s a crise econoˆmica de 2008, observou-se que a maioria dos indiv´ıduos na˜o
tem condic¸o˜es para gerir suas financ¸as, aumentando assim o impacto negativo da crise
sobre a estabilidade financeira mundial. Segundo Anton Siluanov, ministro de financ¸as
da Federac¸a˜o Russa:
Pesquisas conduzidas no mundo todo, incluindo nos pa´ıses que compo˜e
o G20, mostram que a grande maioria da populac¸a˜o na˜o possui conhe-
cimento suficiente para compreender produtos financeiros ba´sicos e os
riscos a eles associados. A maioria dos indiv´ıduos na˜o planeja seu futuro
e falha ao tomar deciso˜es no gerenciamento de suas financ¸as. (OCDE,
2013, p. 3)
No Brasil, embora os mercados financeiros tenham crescido e assim ampliado
a oferta de novos produtos financeiros, a conscieˆncia dos cidada˜os quanto a`s suas oportu-
nidades, e principalmente seus riscos, na˜o acompanhou tal evoluc¸a˜o. Pesquisas apontam
que, em 2009, 49% da populac¸a˜o na˜o possuia conta corrente ou poupanc¸a e, em 2010, 75%
das famı´lias brasileiras tinham alguma dificuldade para chegar ao final do meˆs com seus
rendimentos (ARAU´JO e SOUZA, 2012, p. 40). Lembrando, ainda, que existem famı´lias
pagando quase 300% de juros anuais no cheque especial (PROCON, 2015, p. 2) e 430%
a.a. no rotativo do carta˜o de cre´dito (CAMPOS e RIBEIRO, 2016, p. 1).
Em particular, quanto aos jovens brasileiros, estes na˜o esta˜o preparados para
enfrentar o mundo real, o qual da´ mais eˆnfase a` despesa do que a` poupanc¸a. E´ comum
encontrar alunos do ensino me´dio que possuem carta˜o de cre´dito sem nunca ter tido aulas
sobre dinheiro, de como investi-lo e da compreensa˜o do impacto dos juros compostos nos
financiamentos dos carto˜es de cre´dito.
1 Educac¸a˜o Financeira no mundo e no Brasil 10
Conforme os Paraˆmetros Curriculares Nacionais - PCN (BRASIL, Secretaria
de Educac¸a˜o Fundamental, 1997, p. 28):
Cada crianc¸a ou jovem brasileiro, mesmo de locais com pouca infraes-
trutura e condic¸o˜es socioeconoˆmicas desfavora´veis, deve ter acesso ao
conjunto de conhecimentos socialmente elaborados e reconhecidos como
necessa´rios para o exerc´ıcio da cidadania para deles poder usufruir. Se
existem diferenc¸as socioculturais marcantes, que determinam diferentes
necessidades de aprendizagem, existe tambe´m aquilo que e´ comum a to-
dos, que um aluno de qualquer lugar do Brasil, do interior ou do litoral,
de uma grande cidade ou da zona rural, deve ter o direito de aprender
e esse direito deve ser garantido pelo Estado.
A educac¸a˜o escolar tambe´m deve levar em conta as necessidades dos indiv´ıduos
inseridos em uma sociedade cujos valores e modelos de comportamento sa˜o pautados por
relac¸o˜es econoˆmicas e sociais. O aluno deve obter informac¸o˜es e significados relativos ao
dinheiro, e seu uso, e se defender de uma mı´dia tendenciosa, armada com novas tecnologias
de informac¸a˜o e comunicac¸a˜o - lembremos que “a func¸a˜o da publicidade e´ vender e na˜o
informar ou educar” (BRASIL, Senado Federal, 2014, p. 1).
Dados revelam que as crianc¸as possuem dentro de seu nu´cleo familiar
70% das deciso˜es de compra, e representam para as empresas fidelizac¸a˜o
de consumo para o futuro, tornando-as dependentes do produto. Houve
a constatac¸a˜o de grande influeˆncia das crianc¸as na compra de diversos
produtos, especialmente alimentos 92%, brinquedos 86% e roupas 57%.
No ano de 2000, 71% dos pais afirmavam sofrer a influeˆncia dos filhos
na hora das compras. No ano de 2003, o ı´ndice subiu para 80% nesta
pesquisa, com 38% influenciando fortemente na decisa˜o. Na escolha
da marca, 63% deles influenciam nas compras, sendo que metade das
crianc¸as com idade entre 07 e 13 anos influencia de maneira exagerada.
(CAZZAROLI, 2011, p. 1)
Como resposta ao baixo conhecimento financeiro da maioria da populac¸a˜o
e aos estragos causados por este fato, tem-se estabelecido pol´ıticas de educac¸a˜o finan-
ceira. Segundo a Organizac¸a˜o para a Cooperac¸a˜o e Desenvolvimento Econoˆmico (OCDE),
educac¸a˜o financeira:
E´ o processo pelo qual consumidores e investidores melhoram sua com-
preensa˜o sobre os produtos, conceitos e riscos financeiros e, atrave´s de
informac¸o˜es, instruc¸o˜es e/ou aconselhamento objetivo, desenvolvem as
habilidades e confianc¸a para se tornarem mais conscientes dos riscos
financeiros e oportunidades, para fazer escolhas estudadas, para saber
onde ir para obter ajuda, e tomar outras medidas concretas para melho-
rar o seu bem-estar financeiro. (OCDE, 2009, p. 2)
1 Educac¸a˜o Financeira no mundo e no Brasil 11
O mais importante sistema de pol´ıticas para educac¸a˜o financeira foi desenvol-
vido e vem sendo coordenado pela OCDE. Ate´ 2013, 45 pa´ıses, na sua maioria desenvolvi-
dos e alguns emergentes, aderiram ou estavam implementando tal estrate´gia, e 107 pa´ıses
estavam associados a` Rede Internacional de Educac¸a˜o Financeira - INFE (OCDE, 2013,
p. 6). Como resultado deste sistema de pol´ıticas, criou-se no Brasil:
A Estrate´gia Nacional de Educac¸a˜o Financeira (ENEF), com a finalidade
de promover a educac¸a˜o financeira e contribuir para o fortalecimento da
cidadania, para a eficieˆncia e a solidez do Sistema Financeiro Nacional
(SFN) e para a tomada de deciso˜es conscientes por parte dos consumi-
dores. Os principais propo´sitos da educac¸a˜o financeira sa˜o ampliar a
compreensa˜o do cidada˜o quanto ao consumo, poupanc¸a e cre´dito, para
que o indiv´ıduo seja capaz de fazer escolhas conscientes quanto a` ad-
ministrac¸a˜o de seus recursos financeiros. (BRASIL, Banco Central do,
2011, p. 1)
Em 2009, foi implementado em quase 900 escolas de ensino me´dio um projeto
piloto de educac¸a˜o financeira. Apo´s treinar 1.200 professores e atingir 27.000 estudantes,
uma avaliac¸a˜o de impacto foi conduzida pelo COREMEC1 em parceria com o Banco
Mundial (BRASIL, Banco Central do, 2013, p. 6). Os resultados mostraram que esse
novo programa de educac¸a˜o financeira:
Aumentou o conhecimento financeiro dos alunos, trouxe melhorias nas
atitudes financeiras e mudou o comportamento financeiro dos participan-
tes, visto que passou a ser mais prova´vel que os estudantes no grupo de
tratamento tenham comportamentos financeiros mais inteligentes, con-
versem com suas famı´lias sobre questo˜es financeiras, e ajudem na or-
ganizac¸a˜o do orc¸amento do lar. (BRASIL, Banco Central do, 2013, p.
18)
Promover a cultura financeira e´ propiciar aos indiv´ıduos escolhas racionais
quanto a` administrac¸a˜o de seus recursos, inclusive no aˆmbito familiar. Pore´m, mesmo nos
casos em que ha´ uma razoa´vel administrac¸a˜o do orc¸amento, seja individual ou familiar,
observa-se a careˆncia de uma educac¸a˜ofinanceira que propicie boas escolhas quanto a
pagamentos, ou financiamentos, e investimentos.
Comprovando esta situac¸a˜o, uma pesquisa nacional mostrou que a educac¸a˜o
financeira tem um n´ıvel baixo tambe´m neste aspecto, ou seja, as pessoas na˜o planejam seus
1O Comiteˆ de Regulac¸a˜o e Fiscalizac¸a˜o dos Mercados Financeiro, de Capitais, de Seguros, de Pre-
videˆncia e Capitalizac¸a˜o (COREMEC) reu´ne os quatro reguladores do Sistema Financeiro Nacional: o
Banco Central do Brasil (BCB), a Comissa˜o de Valores Mobilia´rios (CVM), a Superintendeˆncia Nacional
de Prevideˆncia Complementar (PREVIC) e a Superintendeˆncia de Seguros Privados (SUSEP). Em 2009,
esse grupo propoˆs um rascunho da ENEF, que foi estabelicida formalmente em dezembro de 2010 atrave´s
do Decreto Presidencial no 7.397 (BRASIL, Casa Civil, 2010).
1 Educac¸a˜o Financeira no mundo e no Brasil 12
gastos no longo prazo, tardiamente se prepararam financeiramente para a aposentadoria,
na˜o esta˜o cientes de todos os riscos e quais sa˜o os instrumentos para a sua protec¸a˜o,
notadamente teˆm dificuldades em tomar deciso˜es sobre empre´stimos e investimentos, e
sa˜o vulnera´veis a fraudes (BRASIL, Banco Central do, 2013, p. 2).
Com a estabilizac¸a˜o da moeda nacional:
A demanda crescente de consumidores e investidores para produtos e
servic¸os financeiros tambe´m chegou a outros setores do Sistema finan-
ceiro, como os mercados de capital, fundos de pensa˜o, seguros e capi-
talizac¸a˜o, que se tornaram populares. Assim, uma gama crescente de
produtos financeiros (empre´stimos, poupanc¸as, investimentos, seguros
e planos de pensa˜o) oferecidos aos consumidores veio acompanhada de
mais responsabilidade em suas escolhas. Essa torna as deciso˜es mais
dif´ıceis, ja´ que e´ necessa´rio comparar caracter´ısticas de cada opc¸a˜o para
fazer escolhas conscientes. Mesmo entre produtos bastante similares,
pode haver diferenc¸as importantes entre os riscos, lucros, custos, prazos
de maturac¸a˜o, direitos de monitoramento, participac¸a˜o e informac¸a˜o.
(BRASIL, Banco Central do, 2013, p. 2)
Sendo assim, a educac¸a˜o financeira e´ extremamente inescusa´vel e bem-vinda
para confrontar essa realidade. Na˜o so´ no momento em que se organiza o ba´sico orc¸amento
invidual ou familiar, mas tambe´m quando ha´ necessidade de um maior conhecimento dos
produtos financeiros para tomada de deciso˜es conscientes.
13
2 Matema´tica Financeira
2.1 Capital, montante e taxa de juro
Neste texto capital inicial, ou capital, (ou ainda valor presente), e´ “qual-
quer valor moneta´rio que uma pessoa (f´ısica ou jur´ıdica) empresta para outra durante
certo tempo” (HAZZAN e POMPEO, 2007, p. 1) e se denota por C (ou VP). O nu´mero
de per´ıodos, simbolizado por n, e´ o prazo, em determinada unidade de tempo (dias,
meses, anos, etc.), no qual certo capital e´ aplicado ou emprestado.
O juro, ou juros, “pode ser definido como o custo do empre´stimo (para o
tomador) ou a remunerac¸a˜o pelo uso do capital (para o emprestador)” (HAZZAN e POM-
PEO, 2007, p. 1). Refere-se a determinado capital por determinado per´ıodo e e´ expresso
em unidade moneta´ria. Sera´ denotado por J.
O montante (ou valor futuro) e´ a soma do capital inicial com o juro ganho
na operac¸a˜o (ou pago no empre´stimo). Se e´, enta˜o se denota por M (ou VF) e se tem
M = C+ J. (2.1)
Taxa de juro e´ a porcentagem aplicada ao capital inicial que resulta no valor
do juro. Se i denotada a representac¸a˜o decimal desta porcentagem enta˜o
J = i ·C. (2.2)
Conceitualmente a taxa de juro e´ o custo de oportunidade do capital, ou seja,
a taxa paga, ou recebida, pela renu´ncia ao uso imediato deste capital.
Segue das equac¸o˜es (2.1) e (2.2), que M = C + i ·C, ou seja,
i =
M
C
− 1. (2.3)
Esta u´ltima e´ chamada de taxa de juro no per´ıodo por representar o juro
2.2 Fluxo de Caixa 14
no per´ıodo em questa˜o. Embora nas fo´rmulas a taxa de juro seja utilizada em sua repre-
sentac¸a˜o decimal, nos textos ela e´ expressa em porcentagem; para obteˆ-la basta multiplicar
o resultado obtido na equac¸a˜o (2.3) por 100.
Exemplo 2.1.1. Considere o resgate de R$ 700.000,00 para uma aplicac¸a˜o R$ 640.000,00.
Qual a taxa de juro no per´ıodo?
soluc¸a˜o: Tem-se o montante M = R$ 700.000,00 e o capital C = R$ 640.000,00; usando a
equac¸a˜o (2.3), tem-se que
i =
700.000
640.000
− 1,
ou seja, i = 9, 375% de juro no per´ıodo. �
2.2 Fluxo de Caixa
O fluxo de caixa e´ uma representac¸a˜o muito u´til para a compreensa˜o de
qualquer operac¸a˜o financeira. E´ formado por um eixo horizontal, que representa o tempo
(em qualquer unidade) a partir de um instante inicial, e setas perpendiculares a este eixo.
As entradas de dinheiro, em suas respectivas datas, sa˜o representadas por setas apontando
para cima. As setas apontando para baixo representam as sa´ıdas de dinheiro.
Em algumas construc¸o˜es de fluxos, encontra-se pagamentos representados com
setas para cima, o que e´ normal e aceito, ja´ que as entradas e sa´ıdas dependem do ponto
de vista. Por exemplo, sob a o´tica do tomador, uma entrada e´ uma sa´ıda para o doador, e
vice-versa. O importante e´ que as entradas e sa´ıdas sempre estejam em sentidos opostos.
C
M
0
n
C
M
0
n
Figura 2.1: Fluxo do doador e do tomador de recursos, respectivamente.
A figura 2.1 representa os fluxos de caixa de um empre´stimo dos pontos de
vista do doador e do tomador, respectivamente, considerando o empre´stimo de um certo
capital C com pagamento ao final do prazo n estipulado entre as partes.
2.3 Regimes de Capitalizac¸a˜o 15
Exemplo 2.2.1. Quanto deve ser pago por um empre´stimo de R$ 1.000,00 depois de um
ano, sendo 15% a taxa ao ano?
soluc¸a˜o: Inicialmente, constro´i-se o fluxo de caixa (figura 2.2).
M
0
1 ano
1.000,00
Figura 2.2: Fluxo do exemplo.
Segue de (2.1) e de (2.2),
M = 1.000,00 + (0,15) · 1.000,00 = 1.150,00.�
2.3 Regimes de Capitalizac¸a˜o
Existem duas convenc¸o˜es para a incideˆncia de juro sobre o deslocamento do
capital inicial ao longo da linha do tempo. No regime de capitalizac¸a˜o simples o juro
gerado em cada per´ıodo e´ constante igual ao produto do capital inicial pela taxa. No
regime de capitalizac¸a˜o composta o juro de cada per´ıodo e´ calculado com base no
capital inicial acrescido dos juros relativos aos per´ıodos anteriores.
2.4 Juro Simples
Inicie o estudo deste regime de capitalizac¸a˜o com o exemplo a seguir.
Exemplo 2.4.1. Determine o valor de um empre´stimo de R$ 10.000,00, depois de treˆs
meses, onde a taxa cobrada e´ de 5% ao meˆs, no regime de capitalizac¸a˜o simples.
soluc¸a˜o: Inicialmente, recorde que o juro e´ constante em cada per´ıodo e igual ao produto
do capital inicial pela taxa. Seja Mn o montante obtido durante os n primeiros meses,
n ∈ {1, 2, 3}. A expressa˜o do montante Mn, bem como seus respectivos valores, esta˜o no
quadro a seguir.
2.4 Juro Simples 16
meˆs expressa˜o do montante acumulado valor do resgate (em reais)
1o M1 = C+ i ·C = C · (1 + i) M1 = 10.000 · (1,05) = 10.500,00
2o M2 = C+ i ·C + i ·C = C · (1 + 2 · i) M2 = 10.000 · (1,10) = 11.000,00
3o M3 = C+ i ·C + i ·C + i ·C = C · (1 + 3 · i) M3 = 10.000 · (1,15) = 11.500,00
�
Observac¸a˜o 2.4.1. No regime de capitalizac¸a˜o simples, o montante M e´ dado pela expressa˜o
M = C · (1 + n · i), (2.4)
onde C e´ o capital inicial, n e´ o per´ıodo e i a taxa de juro.
Com efeito, basta ver que a sequeˆncia nume´rica Mn formada pelo montante
acumulado a` juro simples durante os n-primeiros per´ıodos (M0 = C), isto e´,


M1 = C+ J
M2 = C+ 2 · J
...
Mn = C+ n · J,
forma uma progressa˜o aritme´tica1.
Exemplo 2.4.2. No regime de capitalizac¸a˜o simples, calcule o valor de um empre´stimo
de R$ 10.000,00, depoisde treˆs meses, onde a taxa cobrada no primeiro meˆs e´ de 4,5%,
no segundo meˆs, 5%, e no terceiro, 5,5%.
soluc¸a˜o: Sejam Mn o valor da d´ıvida ate´ o per´ıodo n, i a taxa de juros ate´ o per´ıodo n e
in a taxa de juros do n-e´simo meˆs, n ∈ {1, 2, 3}. As expresso˜es do montante Mn e da taxa
de juros i esta˜o no quadro a seguir.
meˆs expressa˜o do montante acumulado taxa no per´ıodo
1o M1 = C+ i1 ·C = C · (1 + i1) i = i1
2o M2 = C+ i1 ·C + i2 ·C = C · (1 + i1+ i2) i = i1+ i2
3o M3 = C+ i1 ·C + i2 ·C + i3 ·C = C · (1 + i1+ i2+ i3) i = i1+ i2 + i3
ou seja, M3 = 10.000,00 · [1 + (0,045 + 0,05 + 0,055)] = 11.150,00.�
Observac¸a˜o 2.4.2. Suponha que ao aplicar um certo capital inicial por n per´ıodos a juros
simples, vigore a taxa i1 no primeiro per´ıodo, a taxa i2 no segundo per´ıodo e assim
1O n-e´simo termo an de uma p.a. de raza˜o r e primeiro termo a1 e´ da forma an = a1 + (n− 1) · r.
2.4 Juro Simples 17
sucessivamente. A taxa de juros acumulada ate´ o n-e´simo per´ıodo, denotada por i, e´
fornecida pela expressa˜o
i = i1+ i2+ i3+ · · ·+ in . (2.5)
2.4.1 Taxas Equivalentes
E´ imprescind´ıvel que per´ıodo e taxa de juros concordem em suas unidades de
tempo. Por exemplo, se o prazo estiver expresso em anos, a taxa de juros tambe´m deve
ser dada ao ano. Duas taxas sa˜o ditas equivalentes quando geram o mesmo montante ao
serem aplicadas a um mesmo capital pelo mesmo prazo.
Sejam i1 e i2 duas taxas equivalentes. Logo, ao se aplicar tais taxas ao capital
C durante os per´ıodos n1 e n2 (iguais, pore´m em unidades distintas) se obtem o mesmo
montante. Logo,
C · (1 + n1 · i1) = M = C · (1 + n2 · i2),
ou seja, para taxas equivalentes, tem-se a equac¸a˜o
n1 · i1 = n2 · i2 . (2.6)
Exemplo 2.4.3. Determine a taxa anual equivalente a 2% ao meˆs.
soluc¸a˜o: Seja i1 a taxa anual equivalente a i2 = 2% ao meˆs. Logo, n1 = 1 (ano) e n2 =
12 (meses). Aplicando a relac¸a˜o (2.6), obtem-se
1 · i1 = 12 · (0, 02),
ou seja, i1 = 24% a.a. �
Exemplo 2.4.4. Encontre a taxa mensal equivalente a 6% ao semestre.
soluc¸a˜o: Seja i1 a taxa mensal equivalente a i2 = 6% ao meˆs. Logo, n1 = 6 (meses) e
n2 = 1 (semestre). De (2.6), tem-se
6 · i1 = 1 · (0, 06),
isto e´, i1 = 1% a.m. �
2.4 Juro Simples 18
2.4.2 Taxa Nominal e Taxa Efetiva
No mercado financeiro, existem distintos pontos de vista sobre o conceito de
taxa nominal e taxa efetiva de uma operac¸a˜o. Neste texto se adota a visa˜o de SOBRINHO
(1981, pa´g. 79), na qual uma taxa e´ dita nominal quando o valor do capital inicial tomado
como base de ca´lculo na˜o representa o valor efetivamente recebido ou desembolsado, sendo,
na verdade, uma taxa contratual, isto e´, aparente e representativa.
Consequentemente, uma taxa e´ dita efetiva quando o valor do capital inicial
tomado como base de ca´lculo representa o valor efetivamente recebido ou desembolsado.
Exemplo 2.4.5. Um banco concede um empre´stimo de R$ 10.000,00 para ser pago ao
final de um ano em um u´nico pagamento de R$ 15.000,00. O banco exige que seja
mantido um saldo me´dio de 20% do valor emprestado. Calcule as taxas nominal e efetiva
do empre´stimo.
soluc¸a˜o: Como J = i · C, a taxa nominal i no per´ıodo considerado e´ dada por
i =
5.000,00
10.000,00
= 50% a.a.
Entretanto, o valor do capital inicial C na˜o corresponde ao valor efetivamente
colocado a` disposic¸a˜o do cliente, que e´ de R$ 8.000,00, pois e´ exigido R$ 2.000,00 como
saldo me´dio. Portanto, a taxa efetiva e´ fornecida por
ie =
5.000,00
8.000,00
= 62,5% a.a.�
Exemplo 2.4.6. Uma aplicac¸a˜o de R$ 1.000,00 em um fundo de investimento rendeu
R$ 200,00 de juros. Dado que o administrador do fundo cobra uma taxa de 5% sobre os
juros ganhos, calcule as taxas nominal e efetiva da aplicac¸a˜o.
soluc¸a˜o: Do mesmo modo que no exemplo anterior, para a taxa nominal se tem
i =
200,00
1.000,00
= 20% a.p.
Todavia, o valor dos juros auferidos na˜o corresponde ao juros efetivamente
ganho pelo cliente, que recebe R$ 190,00 de juros pois sa˜o cobrados 5% de taxa adminis-
2.4 Juro Simples 19
trativa. Assim, a taxa efetiva e´ fornecida pela igualdade
ie =
200,00− 10,00
1.000,00
= 19% a.p.�
Observac¸a˜o 2.4.3. Dado que M = C + J, para taxa nominal se pode escrever
i =
M
C
− 1. (2.7)
Ja´ para taxa efetiva se tem duas situac¸o˜es,
ie =
M
Ce
− 1,
onde Ce e´ o capital efetivamente emprestado; ou
ie =
Me
C
− 1,
onde Me e´ o montante efetivamente resgatado.
Observac¸a˜o 2.4.4. Os conceitos para taxa nominal e taxa efetiva desta sec¸a˜o sa˜o os mesmos
quando aplicados no regime de juros compostos.
2.4.3 Valor Nominal e Valor Presente
O valor nominal, denotado por VN, e´ o valor de um pagamento (ou recebi-
mento) no dia de seu vencimento. O valor presente, denotado por VP, e´ o valor que
quando aplicado a juros em uma data anterior ate´ a data de vencimento proporciona um
montante igual ao valor nominal.
Assim, no regime de juro simples, tem-se
VP =
VN
1 + n · i
. (2.8)
Observac¸a˜o 2.4.5. Compare esta relac¸a˜o com a fo´rmula de juro simples M = C · (1+n · i).
Exemplo 2.4.7. Considere uma prestac¸a˜o que vence em 15 meses, cujo valor nominal
e´ R$ 10.000,00. Suponha que o pagamento desta prestac¸a˜o possa ser antecipado a uma
taxa de 0,8% a.m. Qual o valor desta d´ıvida hoje?
2.5 Juros Compostos 20
soluc¸a˜o: De (2.8),
VP =
10.000,00
1 + 15 · (0,008)
.
Portanto, o valor da d´ıvida hoje e´ R$ 8.928,57. �
2.5 Juros Compostos
No regime de capitalizac¸a˜o composta, soma-se o juro gerado em cada per´ıodo
com o capital inicial, passando este novo montante a produzir juros. Veja o exemplo a
seguir.
Exemplo 2.5.1. Determine o valor de uma d´ıvida de R$ 10.000,00 daqui a 3 meses, onde
sa˜o cobrados juros relativos a` taxa de 5% ao meˆs, no regime de juros compostos.
soluc¸a˜o: Seja Mn o montante obtido durante os n primeiros meses, n ∈ {1, 2, 3}. A
expressa˜o do montante Mn, bem como seus respectivos valores, esta˜o no quadro a seguir.
meˆs expressa˜o do montante acumulado valor do resgate (em reais)
1o M1 = C+ i ·C = C · (1 + i) M1 = 10.000 · (1, 05) = 10.500, 00
2o M2 = M1+ i · M1 = M1 ·(1 + i) = C · (1 + i)
2 M2 = 10.000 · (1, 05)
2 = 11.025, 00
3o M3 = M2+ i · M2 = M2 ·(1 + i) = C · (1 + i)
3 M3 = 10.000 · (1, 05)
3 = 11.576, 25
�
E´ fa´cil ver que, no regime de capitalizac¸a˜o composta, o montante M e´ dado
por
M = C · (1 + i)n, (2.9)
onde C e´ o capital aplicado, i e´ a taxa de juros e n o prazo. De fato, basta ver que a
sequeˆncia nume´rica Mn formada pelo montante acumulado a juros compostos durante os
n-primeiros per´ıodos (M0 = C), isto e´,


M1 = C · (1 + i)
M2 = C · (1 + i)
2
...
Mn = C · (1 + i)
n,
forma uma progressa˜o geome´trica2.
2O n-e´simo termo an de uma p.g. de raza˜o q e primeiro termo a1 e´ da forma an = a1 · q
n−1.
2.5 Juros Compostos 21
Exemplo 2.5.2. Suponha que um indiv´ıduo possua R$ 1.000,00 e deseja aplica´-lo por
um per´ıodo ate´ obter R$ 1.500,00. Sendo a taxa conseguida para essa aplicac¸a˜o de 2%
a.m., calcule o per´ıodo mı´nimo para se alcanc¸ar o valor pretendido.
soluc¸a˜o: De (2.9), segue que
1.500
1.000
= (1, 02)n.
Como (1, 02)n > 0, ∀n ∈ N, segue que
log(
1.500
1.000
) = log(1, 02)n,
isto e´, n = 20,47. Portanto, o per´ıodo mı´nimo para se alcanc¸ar o valor de R$ 1.500,00 e´
de 21 meses. �
2.5.1 Taxa de juros acumulada
Considere que, ao aplicar certo capital C por n per´ıodos, a juros compostos,
vigore a taxa i1 no primeiro per´ıodo, a taxa i2 no segundo per´ıodo, e assim sucessivamente.
Deste modo, o montante obtido e´ dado por
M = C · (1 + i1) · (1 + i2) · ... · (1 + in).
Defini-se taxa de juros acumulada no per´ıodo, que sera´ denotada por ia, a
taxa obtida atrave´sda fo´rmula 2.3, ou seja,
ia =
C · (1 + i1) · (1 + i2) · ... · (1 + in)
C
− 1.
Portanto,
ia = [(1 + i1) · (1 + i2) · ... · (1 + in)]− 1. (2.10)
Exemplo 2.5.3. Determine a taxa acumulada em um trimestre de uma aplicac¸a˜o que
rendeu 1,5 % no primeiro meˆs, 2 % no segundo meˆs e, por fim, 2,5 % no terceiro meˆs.
2.5 Juros Compostos 22
soluc¸a˜o: Por (2.10), tem-se
ia = [(1,015) · (1,02) · (1,025)]− 1
= 6,12%a.t.�
Observac¸a˜o 2.5.1. A taxa acumulada e´ amplamente utilizada no mercado financeiro para
ca´lculo do rendimento de investimentos que mudam sua remunerac¸a˜o a cada per´ıodo,
como, por exemplo, os fundos de investimento atrelados aos Depo´sitos Interfinanceiros
(CDI) de 1 dia.
2.5.2 Taxas Equivalentes
Assim como na capitalizac¸a˜o simples, no regime de juros compostos e´ im-
prescind´ıvel que per´ıodo e taxa de juros concordem em suas unidades de tempo. Para
converter a taxa dada, de um certo per´ıodo para outro, utiliza-se o conceito de taxas
equivalentes, que e´ o mesmo visto na sec¸a˜o 2.4.1.
Sejam i1 e i2 taxas equivalentes. Logo, ao aplicarmos tais taxas ao capital C
durante os per´ıodos n1 e n2 (iguais, pore´m em unidades distintas) se obtem o mesmo
montante, isto e´,
C · (1 + i1)
n1 = M = C · (1 + i2)
n2 ,
ou seja,
(1 + i1)
n1 = (1 + i2)
n2 . (2.11)
Exemplo 2.5.4. Determine a taxa anual equivalente (juros compostos) a` 2 % ao meˆs.
soluc¸a˜o: Seja i1 a taxa anual equivalente a i2 = 2% ao meˆs. Logo n1 = 1 (ano) e n2 = 12
(meses). Da igualdade (2.11), conclui-se que
(1 + i1)
1 = (1,02)12,
ou seja, i1 = 26,82% a.a. �
Observac¸a˜o 2.5.2. Recorde o exemplo dado em 2.4.1. Com os mesmos dados, obtem-se
uma taxa equivalente de 24%a.a. no regime de juros simples, inferior aos 26,82%a.a.
obtidos sob juros compostos.
Observac¸a˜o 2.5.3. Para ca´lculos financeiros sobre dias u´teis, utiliza-se um ano como tendo
252 dias u´teis. Va´rias instituic¸o˜es e organizac¸o˜es oferecem em sites calculadoras para
2.5 Juros Compostos 23
encontrar dias corridos e u´teis entre datas (POUPADORES, 2013, p. 1).
Exemplo 2.5.5. Calcule a rentabilidade de um fundo DI, o qual rende 95% do CDI
(Taxa DI-Cetip3), em um meˆs que tem 22 saques (dias u´teis), quando em 11 dias a taxa
dia´ria do CDI foi 14,10%a.a. e nos outros 11 dias foi 14,15%a.a.
soluc¸a˜o: Inicialmente, necessita-se encontrar as taxas dia´rias equivalentes dos CDIs, que
se denota por id, para, depois, calcular o percentual.
Para 14,10%a.a., de (2.11),
id = (1 + 0,1410)
1
252 − 1
= 0,052357%a.d.
Tomando ip como percentual da taxa dia´ria do CDI, tem-se
ip = 0,95 · 0,00052357
= 0,049739%a.d.
Repetindo o racioc´ınio anterior para 14,15%a.a.,
id = (1 + 0,1415)
1
252 − 1
= 0,052531%a.d.
ip = 0,95 · 0,00052531
= 0,049904%a.d.
Por fim, para encontrar a rentabilidade no meˆs, utiliza-se o conceito de taxa
acumulada. Assim, de (2.10),
ia = [(1 + 0,00049739)
11 · (1 + 0,00049904)11]− 1
= 1,13%a.m.�
2.5.3 Taxa Nominal e Taxa Efetiva
Como ja´ dito na sec¸a˜o 2.4.2, uma taxa e´ dita nominal quando o valor do
capital inicial tomado como base de ca´lculo na˜o representa o valor efetivamente recebido ou
desembolsado, sendo, na verdade, uma taxa contratual, isto e´, aparente e representativa.
3A Taxa DI-Cetip e´ obtida ao se calcular a me´dia ponderada das taxas das transac¸o˜es prefixadas,
extragrupo e com prazo de um dia efetuadas na Cetip entre instituic¸o˜es financeiras. Como a taxa para o
prazo de um dia e´ muito pequena, convencionou-se divulga´-la de forma anualizada. Essas transac¸o˜es sa˜o
fechadas por meio eletroˆnico e registradas na Cetip (CETIP, [20-?]d).
2.5 Juros Compostos 24
Da mesma maneira que em 2.4.2 e dos mesmos exemplos la´ apresentados, segue
que, para taxa nominal, tem-se
i =
M
C
− 1.
Ja´ para taxa efetiva se tem duas situac¸o˜es,
ie =
M
Ce
− 1,
onde Ce e´ o capital efetivamente emprestado; ou
ie =
Me
C
− 1,
onde Me e´ o montante efetivamente resgatado.
2.5.4 Valor Nominal e Valor Presente
Repete-se as definic¸o˜es e as notac¸o˜es da sec¸a˜o 2.4.3. Assim, VN denota o valor
nominal de um pagamento (ou recebimento) no dia de seu vencimento e VP, o valor de
VN uma data anterior a data de vencimento. Da mesma forma, i denota a taxa de juros
e n o prazo. Deste modo, tem-se
VP =
VN
(1 + i)n
. (2.12)
Observac¸a˜o 2.5.4. Atente para a relac¸a˜o da igualdade 2.12 com a fo´rmula de juros com-
postos dada em 2.9.
Exemplo 2.5.6. Considere uma prestac¸a˜o de R$ 10.000,00 que vence em 15 meses. Su-
ponha que o pagamento desta prestac¸a˜o possa ser antecipado a uma taxa de 0,8% a.m.
Qual o valor desta d´ıvida hoje?
soluc¸a˜o: De (2.12), tem-se
VP =
10.000,00
(1,008)15
= 8.873, 44.
Portanto, R$ 8.873,44 e´ o valor da d´ıvida hoje. �
2.5 Juros Compostos 25
Observac¸a˜o 2.5.5. No exemplo 2.4.3, com os mesmos dados pore´m sob o regime de juros
simples, obtem-se para o valor presente R$ 8.928,57, superior ao valor obtido quando
trabalhamos com juros compostos.
2.5.5 Fluxos de caixa homogeˆneo e heterogeˆneo com pagamento
antecipado ou postecipado
Ate´ o presente momento fez-se uso de fluxos de caixa onde ha´ somente um
pagamento, ou recebimento, final. Observe agora os casos onde ha´ mais de um pagamento
(ou recebimento).
Classifica-se estes fluxos de caixa de acordo com o valor das prestac¸o˜es, o
tamanho dos per´ıodos e, caso exista alguma prestac¸a˜o na data inicial ou na˜o. E´ designado
fluxo de caixa homogeˆneo o fluxo de caixa cujas prestac¸o˜es, e os intervalos de tempo,
sa˜o iguais. Nomea-se fluxo de caixa heterogeˆneo o caso em que as prestac¸o˜es ou os
per´ıodos sa˜o distintos.
Quando ha´ alguma prestac¸a˜o no instante inicial, diz-se que o fluxo e´ com
pagamento antecipado. Caso contra´rio o fluxo e´ com pagamento postecipado.
P
0
n
...
PP
1 2
VP
Figura 2.3: Exemplo de fluxo de caixa homogeˆneo.
P
0
n
...
PP
n n
1 2
m
0
1 2
VF
Figura 2.4: Exemplo de fluxo de caixa heterogeˆneo.
Tem-se, nas figuras 2.3 e 2.4, exemplos de fluxos com mais de um pagamento.
2.5 Juros Compostos 26
2.5.6 Valor presente em fluxos de caixa homogeˆneos
Considere uma uma certa d´ıvida contra´ıda a uma taxa de juros i, a ser paga
em prestac¸o˜es iguais a P por n per´ıodos, cuja primeira parcela vence um per´ıodo apo´s a
contrac¸a˜o da d´ıvida (ver figura 2.5).
P
0
n
...
PP
1 2
VP
Figura 2.5: Valor presente de um fluxo de caixa homogeˆneo com pagamento postecipado.
Para esta operac¸a˜o financeira, o valor presente deste fluxo de caixa e´ a soma
do valor presente de cada um destes pagamentos. Assim, o valor presente de um fluxo
de caixa homogeˆneo com pagamento postecipado, e´ igual a
VP =
P
(1 + i)1
+
P
(1 + i)2
+ ...+
P
(1 + i)n
= P ·
[
1
(1 + i)1
+
1
(1 + i)2
+ ...+
1
(1 + i)n
]
.
O termo entre colchetes e´ a soma de uma p.g. de n elementos com o primeiro
termo e raza˜o iguais a 1
1+i
. Utilizando a fo´rmula4 da soma de uma p.g. tem-se
VP = P ·
1
1+i
· [( 1
1+i
)n − 1]
1
1+i
− 1
= P ·
1
1+i
· [( 1
1+i
)n − 1]
− i
1+i
= P ·
( 1
1+i
)n − 1
− i
= P ·
1
(1+i)n
− 1
− i
;
ou seja,
VP = P ·
(1 + i)n − 1
(1 + i)n · i
. (2.13)
4A fo´rmula da soma de uma p.g. de n termos, cujo primeiro termo e´ a1 e raza˜o q, e´ dada por
Spg = a1 ·
q
n
−1
q−1
.
2.5 Juros Compostos 27
Agora, suponha que a primeira prestac¸a˜o desta d´ıvida venc¸a na data em que
esta foi contra´ıda (ver a figura 2.6). Enta˜o o valor presente para fluxo homogeˆneo
antecipado e´ da forma
VP =
P
(1 + i)0
+
P
(1 + i)1
+
P
(1 + i)2
+ ...+
P
(1 + i)n
= P ·
[
1 +1
(1 + i)1
+ ...+
1
(1 + i)n
]
.
P
0 n
...
PP
1 2
P
VP
Figura 2.6: Valor presente de um fluxo de caixa homogeˆneo com pagamento antecipado.
Novamente, o termo entre colchetes e´ a soma de uma p.g., so´ que com n + 1
termos. Portanto,
VP = P ·
1 · [( 1
1+i
)n+1 − 1]
1
1+i
− 1
= P ·
1
(1+i)n+1
− 1
− i
1+i
.
Assim,
VP = P ·
(1 + i)n+1 − 1
(1 + i)n · i
(2.14)
Exemplo 2.5.7. Encontre a melhor opc¸a˜o para um comprador que tem caixa para pa-
gamento a` vista: pagar por um carro R$ 50.000,00 no ato da aquisic¸a˜o, ou financia´-lo
em 12 prestac¸o˜es mensais de R$ 4.875,00, com a primeira parcela vencendo 1 meˆs apo´s
a compra. Considere que, para aplicac¸o˜es de um ano, o comprador obtenha junto a seu
banco de investimentos um produto financeiro que paga 3 % a.m., com resgates mensais
e iguais, sendo o primeiro saque meˆs apo´s o depo´sito (ver figura 2.8).
soluc¸a˜o: Ha´ aqui duas operac¸o˜es com fluxos de caixa homogeˆneos com pagamento poste-
cipado. Para encontrar a melhor opc¸a˜o, calcula-se o valor P dos saques promovidos pela
2.5 Juros Compostos 28
aplicac¸a˜o para comparar com o valor da prestac¸a˜o do financiamento. Observe os fluxos
de caixa da prestac¸a˜o e da aplicac¸a˜o (figuras 2.7 e 2.8).
0
12
...
4.875
1 2
50.000
4.875 4.875
Figura 2.7: Fluxo da Prestac¸a˜o.
0
12
...
P
1 2
50.000
P P
Figura 2.8: Fluxo da aplicac¸a˜o do exemplo.
Para calcular o valor de P da aplicac¸a˜o se usa (2.13). Assim,
50.000,00 = P ·
[1 + (0,03)]12 − 1
[1 + (0,03)]12 · (0,03)
;
portanto, P = 5.023,10.
Fica claro que e´ melhor para o comprador aplicar o dinheiro e comprar a prazo,
pois, nas mesmas datas, ele recebera´ da aplicac¸a˜o R$ 5.023,10 e pagara´ a prestac¸a˜o de R$
4.875,00. �
Observac¸a˜o 2.5.6. No exemplo anterior, poder´ıa-se escolher a melhor opc¸a˜o comparando
as taxas das duas operac¸o˜es. Tem-se, por (2.13), que
50.000,00 = 4.875,00 ·
(1 + i)12 − 1
(1 + i)12 · i
.
E´ fa´cil perceber a dificuldade de se isolar a taxa i procurada na equac¸a˜o anterior
quando temos va´rios pagamentos, pois se tem polinoˆmios de alto grau e, assim, nem
sempre as ra´ızes podem ser encontradas algebricamente.
2.5 Juros Compostos 29
Nestes casos, para calcular a taxa i e´ necessa´rio o uso de uma tabela, cal-
culadora financeira, planilha eletroˆnica ou programa de computador. O mesmo ocorre
quando precisamos calcular o nu´mero de per´ıodos n. Utilizando uma calculadora finan-
ceira, encontra-se a taxa de 2,5 % a.m. no financiamento. Como a aplicac¸a˜o rende 3 %
a.m., fica comprovado ser melhor aplicar o dinheiro e pagar as prestac¸o˜es com os rendi-
mentos da aplicac¸a˜o.
2.5.7 Valor futuro em fluxos de caixa homogeˆneos
Considere a seguinte situac¸a˜o: um investidor aplica todo meˆs uma certa quan-
tia em um fundo que remunera 2,5 % a.m., durante doze meses. Ao te´rmino deste prazo,
resgata-se o capital aplicado acrescido do juro. Qual o valor a ser resgatado?
Para encontrar tal valor, deve-se mover cada um dos depo´sitos mensais a` data
de resgate e soma´-los. Ou seja, estende-se o conceito de montante para calcular o valor
futuro de um fluxo de caixa com va´rias entradas (ou sa´ıdas). Similarmente ao valor
presente, o valor futuro, denotado por VF, e´ a soma de todos os valores futuros de cada
pagamento na data final ou de resgate.
Para fluxo homogeˆneo com pagamento antecipado, ou seja, com o primeiro
pagamento P no in´ıcio da operac¸a˜o (ver figura 2.9), segue modelo de fluxo de caixa para
o valor futuro VF.
P
0
n
...
PP
1 2
P
n-1
VF
Figura 2.9: Valor futuro de um fluxo de caixa homogeˆneo com pagamento antecipado.
Assim, o valor futuro de um fluxo de caixa homogeˆneo com pagamento
antecipado e´
VF = P · (1 + i) + P · (1 + i)2 + ...+ P · (1 + i)n
= P · [(1 + i) + (1 + i)2 + ...+ (1 + i)n],
onde n e´ o nu´mero de per´ıodos e P e´ o valor das prestac¸o˜es iguais.
2.5 Juros Compostos 30
O termo entre colchetes e´ a soma de uma p.g. de n elementos, onde o primeiro
termo e a raza˜o sa˜o iguais a 1 + i. Enta˜o,
VF = P ·
(1 + i) · [(1 + i)n − 1]
(1 + i)− 1
;
desse modo,
VF = P ·
(1 + i) · [(1 + i)n − 1]
i
. (2.15)
Ja´ para fluxos postecipados, onde na˜o ha´ pagamento P no in´ıcio da operac¸a˜o,
mas um pagamento junto com o valor futuro VF, segue representado, na figura 2.10, esse
fluxo de caixa.
P
0 n
...
PP
1 2
P
3
VF
Figura 2.10: Valor futuro de um fluxo de caixa homogeˆneo com pagamento postecipado.
Nesse caso, quando na˜o ha´ pagamento P inicial, a soluc¸a˜o requer um racioc´ınio.
Observe no fluxo de caixa, na mesma data do valor futuro VF ocorre um pagamento P.
E a pg passa a ter n− 1 elementos. Assim,
VF−P = P ·
(1 + i) · [(1 + i)n−1 − 1]
(1 + i)− 1
.
Logo, o valor futuro de um fluxo de caixa homogeˆneo com pagamento
postecipado
VF = P · (
(1 + i)n − 1− i
i
+ 1),
enta˜o,
VF = P ·
(1 + i)n − 1
i
. (2.16)
Veja como responder a` pergunta feita no in´ıcio desta sec¸a˜o no seguinte exemplo.
Exemplo 2.5.8. Um investidor deposita todo meˆs uma quantia de R$ 3.535,96 em um
fundo que rende 2,5% a.m. Considerando que esta aplicac¸a˜o tenha 12 depo´sitos, calcule
o valor de resgate deste investimento apo´s um ano.
2.5 Juros Compostos 31
soluc¸a˜o: Segue o fluxo de caixa representado na figura 2.11. Utilizando o conceito de
pagamento antecipado, por (2.15),
3.535,96
0
12
...
1 11
VF
3.535,96 3.535,96
Figura 2.11: Fluxo da aplicac¸a˜o do exemplo.
VF = 3.535,96 ·
(1, 025) · [(1, 025)12 − 1]
0, 025
= 50.000,04.
Enta˜o, o valor de resgate da aplicac¸a˜o e´ R$ 50.000,04.�
Observac¸a˜o 2.5.7. Observe que, para se financiar ou tomar emprestado R$ 50.000,00 a`
taxa de 2,5% a.m., a prestac¸a˜o ou a parcela a ser paga meˆs a meˆs e´ de R$ 4.875,00.
Enquanto, poupando-se por 12 meses uma parcela bem menor de R$ 3.535,96, tambe´m
meˆs a meˆs, e a aplicando a` mesma taxa de 2,5% a.m., acumulamos R$ 50.000,04, ou seja,
o capital necessa´rio para a compra do automo´vel a` vista.
2.5.8 Valor presente em fluxos de caixa heterogeˆneos
De maneira geral, ou seja, as prestac¸o˜es Pm podendo ser diferentes e seus
intervalos nm tambe´m, temos para o valor presente com pagamento postecipado (ver
figura 2.12)
0
...
P
1
P
2
nm
P
m
n1 n2
VP
Figura 2.12: Valor presente de um fluxo de caixa heterogeˆneo com pagamento postecipado.
2.5 Juros Compostos 32
VP =
P1
(1 + i)n1
+
P2
(1 + i)n2
+ ...+
Pm
(1 + i)nm
, (2.17)
onde nm e´ o per´ıodo entre o valor presente VP e o pagamento Pm em questa˜o e m ∈
{1, 2, 3, ...} se refere a`s entradas ou sa´ıdas Pm.
Mantendo as definic¸o˜es para Pm, nm e m, tem-se para o valor presente com
pagamento antecipado (ver figura 2.13)
VP = P0+
P1
(1 + i)n1
+
P2
(1 + i)n2
+ ...+
Pm
(1 + i)nm
. (2.18)
0
...
nmn1 n2
P
1
P
2
P
m
P
0
VP
Figura 2.13: Valor presente de um fluxo de caixa heterogeˆneo com pagamento antecipado.
2.5.9 Valor futuro em fluxos de caixa heterogeˆneos
...
P
1
P
2
P
0 Pm-1
nm
n1 n2 nm-1n0
0
VF
Figura 2.14: Valor futuro de um fluxo de caixa heterogeˆneo com pagamento antecipado.
Para fluxos heterogeˆneos, o valor futuro com pagamento antecipado (ver
figura 2.14), e´ definido por
VF = P0 ·(1 + i)
n0 + P1 ·(1 + i)
n1 + P2 ·(1 + i)
n2 + ...+ Pm-1 ·(1 + i)
nm-1 , (2.19)
onde nm e´ o per´ıodo entre o valor futuro VF e o pagamento Pm em questa˜o, e m ∈
{0, 1, 2, ...} se refere a`s entradas (ou sa´ıdas) Pm .
2.5 Juros Compostos 33
Mantendo as definic¸o˜es para Pm, nm e m, agora, com m ∈ {1, 2, 3, ...}, tem-se
para o valor futuro com pagamentopostecipado (ver figura 2.15)
VF = P1 ·(1 + i)
n1 + P2 ·(1 + i)
n2 + ...+ Pm-1 ·(1 + i)
nm−1 + Pm . (2.20)
...
n n
1 2
n
m-1
n
m
P
2
P
m-1
P
1 Pm
0
VF
Figura 2.15: Valor futuro de um fluxo de caixa heterogeˆneo com pagamento postecipado.
2.5.10 Taxa interna de retorno
Quando se precisa obter a taxa i de fluxos com pagamentos perio´dicos trazidos
a valor presente, designa-se essa taxa como taxa interna de retorno, TIR, ou, em
ingleˆs, internal rate of return (IRR). Isto posto, tem-se para a equac¸a˜o do valor presente
com fluxo heterogeˆneo postecipado
VP =
P1
(1 + TIR)n1
+
P2
(1 + TIR)n2
+ ...+
Pm
(1 + TIR)nm
;
para a equac¸a˜o do valor presente com fluxo heterogeˆneo antecipado
VP = P0+
P1
(1 + TIR)n1
+
P2
(1 + TIR)n2
+ ...+
Pm
(1 + TIR)nm
;
para a equac¸a˜o para valor presente com fluxo homogeˆneo postecipado
VP = P ·
(1 + TIR)n − 1
(1 + TIR)n · TIR
;
e para a equac¸a˜o para valor presente com fluxo homogeˆneo antecipado
VP = P ·
(1 + TIR)n+1 − 1
(1 + TIR)n · TIR
.
2.5 Juros Compostos 34
Como anteriormente colocado, percebe-se a dificuldade de se isolar a taxa
TIR procurada na equac¸a˜o anterior quando se tem va´rios pagamentos, pois se tem um
polinoˆmio de alto grau e, desse modo, nem sempre as ra´ızes podem ser encontradas
algebricamente.
Nestes casos, para calcular a taxa TIR e´ necessa´rio o uso de uma tabela, de
uma calculadora financeira, de uma planilha eletroˆnica ou de um programa.
Exemplo 2.5.9. Calcule algebricamente a TIR de um financiamento de R$ 1.000,00 a ser
pago em duas parcelas mensais de R$ 550,00, com o primeiro pagamento um meˆs apo´s a
contratac¸a˜o do financiamento.
soluc¸a˜o: Segue o fluxo na figura 2.16.
550,00
0
2
550,00
1
1.000,00
Figura 2.16: Fluxo do exemplo.
De modo geral,
1.000 =
550
(1 + i)1
+
550
(1 + i)2
.
Tomando x = 1 + i, tem-se
1.000 · x2− 550 · x− 550 = 0,
e obtem-se 

x1 = 1,066
x2 = −0,516,
portanto, 

i1 = 0,066
i2 = −1,516.
Observe que somando as duas prestac¸o˜es (R$ 1.100,00) se encontra um valor
maior que o valor financiado (R$ 1.000,00). Enta˜o, fica sem sentido uma taxa negativa.
2.5 Juros Compostos 35
Assim, a taxa do financiamento e´ 6, 60%a.m.�
Observac¸a˜o 2.5.8. Em financiamentos e t´ıtulos de renda fixa, seus fluxos de caixa teˆm
dois modelos: uma entrada e uma sa´ıda de capital, ou vice-versa; e uma entrada e mais
de uma sa´ıda, ou vice-versa. Ou seja, sempre se tem somente uma entrada ou somente
uma sa´ıda de capital.
Observac¸a˜o 2.5.9. A TIR e´ sempre maior que −100% = −1, pois so´ se pode deflacionar
o valor de um pagamento ate´ bem pro´ximo de zero. No caso de uma aplicac¸a˜o, se fosse
poss´ıvel a TIR ser −100%, ter´ıa-se a perda total do valor, e menor que −100%, ale´m
de perder, pagar um valor a mais, situac¸o˜es, sena˜o imposs´ıveis, muito improva´veis de se
apresentar. Seria algo do tipo, por exemplo, comprar num mercado um quilo de tomate
por R$ 5,00 e, ao retornar daqui a um meˆs, o mercado dar de grac¸a o mesmo quilo de
tomate ou o mercado pagar algum valor ao se “comprar”o quilo de tomate. Ou, ainda, ao
se financiar um bem, em vez de se pagar prestac¸o˜es, na˜o pagar nada ou receber algum valor
do financiador. Como exemplo de t´ıtulos com taxas de juros negativas (TIR negativa)
temos os t´ıtulos do governo su´ıc¸o.
Teorema 2.5.1. (Teorema do Valor Intermedia´rio) Seja f uma func¸a˜o cont´ınua
num intervalo I = [a, b], com f(a) 6= f(b). Enta˜o, dado qualquer nu´mero d compreendido
entre f(a) e f(b), existe c ∈ (a, b) tal que f(c) = d (A´VILA, 2001, p. 122).
Definic¸a˜o 2.5.1. Uma func¸a˜o f : R → R e´ dita crescente em um intervalo I se, dados
x1, x2 ∈ I tais que x1 < x2 enta˜of(x1) < f(x2) (FIGUEIREDO, 2013, p. 68).
Proposic¸a˜o 2.5.1. Seja f(x) = xn − a1 · x
n−1 − a2 · x
n−2 − ... − an−1 · x − an com n
natural, n ≥ 1, ai ≥ 0, i = 1, 2, ..., n− 1, an > 0. Enta˜o, f tem uma u´nica raiz positiva
(WANDERLEY, 2000, p. 27).
Proposic¸a˜o 2.5.2. Em financiamentos e t´ıtulos de renda fixa, a TIR e´ u´nica.
demonstrac¸a˜o: Como ja´ colocado, em financiamentos e t´ıtulos de renda fixa se tem so-
mente uma entrada ou somente uma sa´ıda. Sem perda de generalidade, tome o ponto de
vista do doador de recursos (somente uma sa´ıda). Enta˜o, de forma geral (ver figura 2.17),
2.6 Inflac¸a˜o 36
VP−P0 =
P1
(1 + TIR)
+
P2
(1 + TIR)2
+ ...+
Pn
(1 + TIR)n
,
onde n ∈ N∗, TIR > −1, Pn > 0 e Pi ≥ 0, i ∈ {0, 1, 2, ... , n− 1}.
0
...
n1 2
P
1
P
2
P
n
P
0
VP
Figura 2.17: Valor presente do fluxo de caixa de uma operac¸a˜o financeira.
Como VP−P0 > 0, pode-se escrever
1 =
P1
VP−P0
·
1
(1 + TIR)
+
P2
VP−P0
·
1
(1 + TIR)2
+ ...+
Pn
VP−P0
·
1
(1 + TIR)n
0 =
P1
VP−P0
·
1
(1 + TIR)
+
P2
VP−P0
·
1
(1 + TIR)2
+ ...+
Pn
VP−P0
·
1
(1 + TIR)n
− 1
0 = 1−
P1
VP−P0
·
1
(1 + TIR)
−
P2
VP−P0
·
1
(1 + TIR)2
− ...−
Pn
VP−P0
·
1
(1 + TIR)n
.
Sejam x = 1 + TIR, an =
Pn
VP−P0
e ai =
Pi
VP−P0
, i ∈ {1, 2, ..., n− 1}. Enta˜o,
1−
a1
x
−
a2
x2
− ...−
an−1
xn−1
−
an
xn
= 0.
Multiplicando a equac¸a˜o por xn, tem-se
xn − a1 · x
n−1 − a2 · x
n−2 − ...− an−1 · x− an = 0,
onde n ∈ N, n ≥ 1, an =
Pn
VP−P0
> 0 e ai =
Pi
VP−P0
≥ 0, i ∈ {1, 2, ..., n− 1}.
Fazendo f(x) = xn−a1 ·x
n−1−a2 ·x
n−2− ...−an−1 ·x−an, segue da proposic¸a˜o
2.5.1 que a TIR e´ u´nica, com TIR = x0 − 1, para um u´nico x0 > 0.�
2.6 Inflac¸a˜o
Inflac¸a˜o e´ uma alta persistente e generalizada dos prec¸os em uma determinada
economia. Em outras palavras, e´ a me´dia do crescimento dos prec¸os de um conjunto de
2.6 Inflac¸a˜o 37
bens e servic¸os em um determinado per´ıodo. E´ medida pela taxa de inflac¸a˜o, que e´ a
variac¸a˜o percentual entre os prec¸os de um conjunto de bens e servic¸os num determinado
per´ıodo (GLOBO, 2015) - quando for igual a zero ou positiva. No caso da variac¸a˜o ser
negativa, temos deflac¸a˜o, medida pela taxa de deflac¸a˜o.
Aumento da procura, reduc¸a˜o da oferta, aumento dos custos de produc¸a˜o
e desvalorizac¸a˜o da moeda sa˜o causas da inflac¸a˜o. E, como consequeˆncia, ha´ reduc¸a˜o
no poder de compra da moeda, isto e´, no poder aquisitivo. Quanto maior for a taxa
de inflac¸a˜o, maior sera´ esse decre´scimo. Na˜o obstante, a deflac¸a˜o, como uma queda
generalizada de prec¸os, em geral, esta´ associada a` restric¸a˜o da procura, ao encolhimento
da produc¸a˜o ou a` queda das taxas de emprego, na˜o sendo, usualmente, um sinal econoˆmico
positivo.
Para se conter o aumento da inflac¸a˜o, o principal instrumento utilizado pelo
Banco Central e´ o aumento da taxa ba´sica de juros, dada sua influeˆncia sobre todas as
outras taxas praticadas no mercado financeiro. Pois, com taxas mais altas, se conte´m o
cre´dito e ha´ um atrativo maior para as aplicac¸o˜es financeiras.
O ca´lculo da inflac¸a˜o depende da metodologia aplicada, ja´ que para cada bem
ou servic¸o e´ dado um peso na composic¸a˜o da me´dia, sem contar as a´reas de coleta e a
renda das populac¸o˜es pesquisadas. No Brasil, temos ı´ndices de prec¸os com grande grau
de credibilidade divulgados pelo Instituto Brasileiro de Geografia e Estat´ıstica (IBGE),
pela Fundac¸a˜o Getu´lio Vargas (FGV) e pela FIPE (Fundac¸a˜o Instituto de Pesquisas
Econoˆmicas). Ale´m de serem termoˆmetros da economia, os ı´ndices de prec¸os (como o
IPCA, o IGP-M, etc.) sa˜o utilizados como indexadores de certos t´ıtulos, aplicac¸o˜es,
contratos e d´ıvidas.
2.6.1 I´ndice de prec¸os e taxa de inflac¸a˜o
I´ndices de prec¸os sa˜o nu´meros que agregam e representam os prec¸os de deter-
minada cesta de produtos.Sua variac¸a˜o mede, portanto, a variac¸a˜o me´dia dos prec¸os dos
produtos dessa cesta (BRASIL, Banco Central do, [20-?]b, pa´g. 2).
Considere um produto que, no instante t = 0 (chamado data base), tenha
um prec¸o p0 e, num instante t > 0, tenha um prec¸o pt. Define-se o ı´ndice de prec¸os
2.6 Inflac¸a˜o 38
desse produto entre os instante 0 e t por
p0,t =
pt
p0
.
A variac¸a˜o percentual
j =
pt
p0
− 1 (2.21)
e´ chamada de taxa de inflac¸a˜o no instante t caso (2.21) seja na˜o negativa; caso contra´rio
j e´ uma taxa de deflac¸a˜o e, neste caso, a taxa de deflac¸a˜o e´ o mo´dulo do valor obtido
em (2.21).
Exemplo 2.6.1. Se hoje um bem custa R$ 20,00, e um ano atra´s custava R$ 15,00,
calcule a inflac¸a˜o deste bem no per´ıodo.
soluc¸a˜o: De (2.21),
j =
20
15
− 1
= 33,33%a.a.�
Exemplo 2.6.2. Agora, se o bem custa hoje R$ 15,00 e um ano atra´s ele custava R$ 20,00,
calcule a deflac¸a˜o deste bem.
soluc¸a˜o: De (2.21),
j =
∣∣∣∣1520 − 1
∣∣∣∣
= 25%a.a.�
2.6.2 Inflac¸a˜o acumulada e taxa real de juros
Calcula-se a taxa de inflac¸a˜o acumulada jAC, informalmente chamada so-
mente de inflac¸a˜o acumulada, em um per´ıodo de tempo a partir das taxas de inflac¸a˜o
que ocorreram em seus subper´ıodos.
Deste modo, suponha que nos instantes 1, 2, · · · , n, tenham vigorado as taxas
de inflac¸a˜o (ou deflac¸a˜o) j1, j2, · · · ,jn, respectivamente. Procedendo de maneira ana´loga
ao que se fez para obter a equac¸a˜o (2.10), obtem-se a seguinte expressa˜o para a inflac¸a˜o
acumulada
jAC = [(1 + j1) · (1 + j2) · ... · (1 + jn)]− 1, (2.22)
2.6 Inflac¸a˜o 39
Veja como subtrair o efeito inflaciona´rio de uma taxa de juros.
Considere um capital C aplicado por um certo per´ıodo a` uma taxa i no per´ıodo.
Tal capital rende o montante M = C · (1 + i). Considerando que a taxa de inflac¸a˜o no
mesmo per´ıodo e´ igual a j, o capital C corrigido pela inflac¸a˜o produz um montante Mj
dado por
Mj = C · (1 + j)
Comparando M e Mj:
• Se M = Mj, diz-se que a taxa de juros i apenas recompoˆs o poder aquisitivo do
capital;
• Se M > Mj, define-se que houve um ganho real em relac¸a˜o a` inflac¸a˜o; e
• Se M < Mj, define-se que houve uma perda real em relac¸a˜o a` inflac¸a˜o.
Caracteriza-se como taxa de juros real ir o ganho real expresso como por-
centagem do capital corrigido, ou seja,
ir =
M−Mj
Mj
=
M
Mj
− 1
=
C · (1 + i)
C · (1 + j)
− 1 .
Por conseguinte,
ir =
(1 + i)
(1 + j)
− 1. (2.23)
Exemplo 2.6.3. Em certo ano, um indexador registrou as taxas de inflac¸a˜o no quadro a
seguir. Calcule a inflac¸a˜o acumulada no per´ıodo e a taxa de juros real para uma aplicac¸a˜o
que renda efetivamente 8% no mesmo per´ıodo que a inflac¸a˜o acumulada.
soluc¸a˜o: De (2.22),
meˆs taxa de inflac¸a˜o meˆs taxa de inflac¸a˜o
Janeiro: 2,2% Abril: 0,5%
Fevereiro: 2,0% Maio: 0,3%
Marc¸o: 1,4% Junho: 0,01%
jAC = [(1 + 0,022) · (1 + 0,02) · (1 + 0,014) · (1 + 0,005) · (1 + 0,003) · (1 + 0,0001)]− 1.
2.6 Inflac¸a˜o 40
Enta˜o,
jAC = 6,56%a.p.
E, de (2.23),
ir =
1 + 0,08
1 + 0,0656
− 1
= 1,35%a.p.�
Observac¸a˜o 2.6.1. No caso de haver per´ıodo ou per´ıodos com deflac¸a˜o, diminu´ı-se de 1 a
taxa de deflac¸a˜o em sua parcela.
Exemplo 2.6.4. Suponha que, no exemplo anterior, em fevereiro houve uma taxa de
deflac¸a˜o igual a 1%. Calcule a inflac¸a˜o acumulada.
soluc¸a˜o: Na˜o esquecer que a taxa de deflac¸a˜o e´ um nu´mero positivo, enta˜o,
jAC = [(1 + 0,022) · (1− 0,01) · (1 + 0,014) · (1 + 0,005) · (1 + 0,003) · (1 + 0,0001)]− 1.
Assim,
jAC = 3,43%.�
41
3 Principais tipos de investimentos
financeiros, seus riscos e seus impostos
Ha´ uma enorme gama de possibilidades de investimento financeiro (investi-
mento nomercado de capitais), representada pela variedade de t´ıtulos e suas respectivas
rentabilidades. Ao se comparar tais operac¸o˜es financeiras, deve-se estar atento a seus ris-
cos, sem deixar de levar em conta os impostos envolvidos, afinal, a tributac¸a˜o no Brasil
exige atenc¸a˜o, dada sua complexidade e os tratamentos diferenciados.
Retorno, prazo e protec¸a˜o sa˜o treˆs aspectos ba´sicos em um investimento finan-
ceiro. Portanto, ao avaliar qualquer aplicac¸a˜o, o investidor deve estimar sua rentabilidade
ou lucro, sua liquidez e seu grau de risco.
Os investimentos financeiros sa˜o classificados em duas categorias prima´rias:
renda fixa e renda varia´vel. A seguir, deliberar-se-a´ sobre seus principais exemplos em
sec¸o˜es particulares.
3.1 Renda fixa
Um investimento e´ considerado renda fixa quando se conhece previamente a
sua taxa de rentabilidade e o seu prazo de resgate. Ao investir em um t´ıtulo de renda
fixa, emitido pelo governo ou por uma empresa privada, empresta-se a quantia investida
ao emissor do t´ıtulo para, depois de certo per´ıodo, receber o capital aplicado acrescido de
juros. As condic¸o˜es do investimento sa˜o acertadas com o emissor do t´ıtulo no momento
da aplicac¸a˜o, como, por exemplo, cla´usulas de recompra, prazos, formas de remunerac¸a˜o,
ı´ndices, etc. Tais investimentos podem ser classificados em dois tipos: renda fixa prefixada
e renda fixa posfixada.
Renda fixa prefixada e´ o investimento no qual se define a taxa de remu-
nerac¸a˜o no momento da aplicac¸a˜o, ou seja, ao investir o seu dinheiro o investidor ja´
sabera´ exatamente qual sera´ o percentual de rentabilidade que o emissor do t´ıtulo lhe
pagara´ na data combinada.
3.1 Renda fixa 42
Renda fixa posfixada e´ o investimento onde apenas a forma do ca´lculo de
sua taxa de remunerac¸a˜o e´ definida no momento da aplicac¸a˜o. Ao investir seu dinheiro,
o investidor ainda na˜o sabera´ exatamente qual sera´ o percentual de rentabilidade que o
emissor do t´ıtulo lhe pagara´ na data combinada, pois a taxa de remunerac¸a˜o depende do
ı´ndice (CDI, IGPM, IPCA, etc) utilizado como refereˆncia para a base de ca´lculo durante
o per´ıodo acordado entre as partes.
Os investimentos mais populares em renda fixa sa˜o a Caderneta de Poupanc¸a,
o Tesouro Direto e os Fundos DI. Mas ha´ tambe´m outras aplicac¸o˜es, tais como Fundo de
Renda Fixa, CDB e debeˆnture, etc.
3.1.1 Caderneta de Poupanc¸a
E´ o investimento brasileiro mais popular e tradicional. A histo´ria da caderneta
de poupanc¸a no Brasil se confunde com a pro´pria histo´ria da Caixa Econoˆmica Federal
(CEF). Desde a de´cada de 40 do se´culo 19, havia caixas econoˆmicas em algumas prov´ıncias
brasileiras. Em 12 de janeiro de 1861, um decreto do imperador Dom Pedro II instituiu
a Caixa Econoˆmica Federal e Monte de Socorro, com duas modalidades de nego´cios: a
caderneta de poupanc¸a e o penhor. A intenc¸a˜o ao criar a caderneta de poupanc¸a era de
dar uma opc¸a˜o de investimento para as classes menos abastadas. E, como esperado, foi o
tipo de aplicac¸a˜o utilizada pela populac¸a˜o de baixa renda, inclusive escravos que tinham
algum provento (chamados a` e´poca de escravos de ganho), cujas economias em poupanc¸a,
muitas vezes, serviam para comprar a pro´pria carta de alforria (BRASIL, Caˆmara dos
Deputados, 2012, p. 1).
Ela e´ garantida pelo Fundo Garantidor de Cre´ditos (FGC, 1995) ate´ R$ 250 mil
por instituic¸a˜o financeira.
Os rendimentos auferidos sa˜o isentos de tributac¸a˜o e, de acordo com a le-
gislac¸a˜o atual, a remunerac¸a˜o dos depo´sitos em poupanc¸a e´ composta de duas parcelas
(BRASIL, Banco Central do, [20-?]c, p. 1):
• uma remunerac¸a˜o ba´sica, dada pela Taxa Referencial (TR); e
• uma remunerac¸a˜o adicional, correspondente a 0,5% ao meˆs, quando a meta da taxa
Selic ao ano for superior a 8,5% ou 70% da meta da taxa Selic ao ano, mensalizada,
vigente na data de in´ıcio do per´ıodo de rendimento, caso a meta da taxa Selic ao
3.1 Renda fixa 43
ano seja igual ou inferiora 8,5% .
A remunerac¸a˜o dos depo´sitos de poupanc¸a e´ calculada sobre o menor saldo
de cada per´ıodo de rendimento. O per´ıodo de rendimento e´ o meˆs corrido, a partir da
data de aniversa´rio (dia do meˆs de sua abertura) da conta de depo´sito de poupanc¸a,
para os depo´sitos de pessoas f´ısicas e de entidades sem fins lucrativos. Para os demais
depo´sitos, o per´ıodo de rendimento e´ o trimestre corrido, tambe´m contado a partir da
data de aniversa´rio da conta. Considera-se a data de aniversa´rio das contas abertas nos
dias 29, 30 e 31 como o dia 1◦ do meˆs seguinte (BRASIL, Banco Central do, [20-?]c, p.
1).
A remunerac¸a˜o dos depo´sitos de poupanc¸a e´ creditada ao final de cada per´ıodo
de rendimento (BRASIL, Banco Central do, [20-?]c, p. 1), ou seja:
• Mensalmente, na data de aniversa´rio da conta, para os depo´sitos de pessoa f´ısica e
de entidades sem fins lucrativos; e
• Trimestralmente, na data de aniversa´rio no u´ltimo meˆs do trimestre, para os demais
depo´sitos.
Exemplo 3.1.1. Uma pessoa f´ısica abriu uma caderneta de poupanc¸a, com o depo´sito
inicial de R$ 500,00 no dia 15 de junho de 2015 e, a cada dia 15 posterior, fez depo´sitos
mensais de R$ 300,00 ate´ o meˆs de dezembro, inclusive. Calcule o saldo da poupanc¸a em
15 de janeiro de 2016, supondo que a meta da taxa SELIC esta´ acima dos 8,5% a.a., e as
taxas mensais de rentabilizac¸a˜o tenham sido iguais a 0,7% a.m.
soluc¸a˜o: O fluxo esta´ representado na figura (3.1). Embora este seja heterogeˆneo, separe-
o em duas partes homogeˆneas, sendo uma delas referente ao depo´sito inicial, que sera´
denotado por VF500, e a outra referente aos depo´sitos mensais, que sera´ denotado por
VF300.
500
15/01
...
300300
15/07 15/08
300
15/12
VF
(SALDO)
15/06
Figura 3.1: Fluxo da caderneta de poupanc¸a.
3.1 Renda fixa 44
Logo,
VF = VF500+VF300,
e, portanto,
VF = 500 · (1 + 0,007)7 + 300 ·
(1 + 0,007).[(1 + 0,007)6 − 1]
0,007
= 525,02 + 1.844,62.
= 2.369,64.�
Observac¸a˜o 3.1.1. Para facilitar as contas de uma conta de poupanc¸a, ha´ a se´rie histo´rica
para o ca´lculo dos valores atualizados destas. Essa se´rie e´ fornecida pelo Banco Central,
em “Se´ries mais pesquisadas” (BRASIL, Banco Central do, [20-?]f), e tambe´m por outras
instituic¸o˜es.
Exemplo 3.1.2. Uma pessoa f´ısica fez depo´sitos em uma conta poupanc¸a conforme a
seguinte tabela.
dia 04/04/2015 04/05/2015 04/06/2015 04/07/2015
valor R$ 100,00 R$ 150,00 R$ 120,00 R$ 130,00
Veja o saldo acumulado em 04/08/2015. Apo´s consultar o site do Banco Central (BRASIL,
Banco Central do, [20-?]h), constro´i-se a seguinte tabela a partir dos dados da se´rie
histo´rica.
per´ıodo rentabilidade rentabilidade acumulada da data
inicial ate´ 04/08/2015
De 04/04/2015 a 04/05/2015 0,5444% 2,6260%
De 04/05/2015 a 04/06/2015 0,7067% 2,0703%
De 04/06/2015 a 04/07/2015 0,6638% 1,3541%
De 04/07/2015 a 04/08/2015 0,6857% 0,6857%
Assim, com os resultados parciais dos produtos truncados na 2a casa decimal,
obtem-se
VF = 100,00 · (1 + 0,026260) + 150,00 · (1 + 0,020703) +
+ 120,00 · (1 + 0,013541) + 130,00 · (1 + 0,006857)
= 102,62 + 153,10 + 121,62 + 130,89
= 508,23.�
3.1 Renda fixa 45
3.1.2 T´ıtulos Pu´blicos e Tesouro Direto
Os t´ıtulos pu´blicos sa˜o ativos que tem por finalidade captar recursos para o
financiamento da d´ıvida pu´blica e financiar atividades do Governo Federal como educac¸a˜o,
sau´de e infraestrutura. Eles sa˜o considerados os ativos de menor risco da economia, pois
sa˜o 100% garantidos pelo Tesouro Nacional. Isso significa que o risco de o investidor na˜o
receber e´ extremamente pequeno (NACIONAL, [20-?]b, p. 1).
Eles podem ser prefixados, com o valor de resgate ja´ conhecido, ou posfixados,
onde os rendimentos dependem de algum ı´ndice mais um certo juro, como os t´ıtulos
remunerados por ı´ndices de prec¸os (IGP-M ou IPCA) ou pela taxa de juros ba´sica da
economia (SELIC). Os t´ıtulos podem ser ainda de curto, me´dio ou longo prazo, e realizar
ou na˜o pagamento de cupons semestrais de juros.
Os principais t´ıtulos pu´blicos em circulac¸a˜o no mercado dome´stico sa˜o emitidos
por meio de processo competitivo de formac¸a˜o de taxas (leila˜o), realizado regularmente
pelo Tesouro Nacional. Atualmente, os t´ıtulos ofertados pelo Tesouro Nacional em seus
leilo˜es sa˜o as LTN (Letras do Tesouro Nacional), as NTN-B (Notas do Tesouro Nacional
- Se´rie B), as NTN-F (Notas do Tesouro Nacional - Se´rie F) e as LFT (Letras Financeiras
do Tesouro). As NTN-C (Notas do Tesouro Nacional - Se´rie C), embora na˜o sejam mais
emitidas em leila˜o, ainda continuam em circulac¸a˜o.
Na maioria dos casos, as pessoas f´ısicas e jur´ıdicas, quando investem em t´ıtulos
pu´blicos, na˜o os levam a resgate. Mesmo sendo um investimento em renda fixa, na˜o quer
dizer que os prec¸os e taxas dos t´ıtulos pu´blicos negociados no mercado na˜o apresentem
oscilac¸a˜o ao longo do tempo. Entre a data de compra e a data de vencimento, o prec¸o do
t´ıtulo flutua em func¸a˜o das condic¸o˜es do mercado e das expectativas quanto ao compor-
tamento das taxas de juros futuras. O valor do t´ıtulo na carteira do investidor deve ser
atualizado considerando essas variac¸o˜es.
Para adquirir t´ıtulos pu´blicos, o investidor tem duas opc¸o˜es. Uma delas e´
atrave´s do Tesouro Direto, que e´ o programa de compra e venda de t´ıtulos pu´blicos para
pessoas f´ısicas pela internet, com um investimento mı´nimo de R$ 30,00. Desenvolvido
pelo Tesouro Nacional em parceria com a BMF&BOVESPA (NACIONAL, [20-?]b, p.
1), este programa populariza e democratiza esse tipo de investimento no Brasil. Outra
opc¸a˜o e´ “dar a ordem” (comprar ou vender) atrave´s da mesa de operac¸o˜es de uma insti-
tuic¸a˜o financeira habilitada a operar com t´ıtulos pu´blicos. Nessa u´ltima opc¸a˜o os valores
3.1 Renda fixa 46
envolvidos esta˜o na casa de milho˜es de reais ou mais.
Para se investir no Tesouro Direto, e´ necessa´rio Cadastro de Pessoa F´ısica
(CPF) e uma conta em alguma instituic¸a˜o financeira (Agentes de Custo´dia) habilitada a
operar no Tesouro Direto. Cabe colocar que todos os bancos de varejo sa˜o Agentes de
Custo´dia, assim como as Corretoras e as Distribuidoras de T´ıtulos e Valores Mobilia´rios.
De fa´cil manuseio, basta um computador e um pouco de boa vontade para fazer operac¸o˜es
no programa, tendo em vista que ele e´ auto instrutivo e os Agentes de Custo´dia esta˜o
sempre dispostos a tirar du´vidas de seus clientes.
O prec¸os de negociac¸a˜o, ou seja, os prec¸os de compra ou venda dos t´ıtulos, sa˜o
dados no fechamento do mercado no dia, divulgados no pro´prio site, e as ordens podem ser
efetuadas no programa entre as 18h e as 5h do dia seguinte. A transac¸a˜o e´ processada no
dia u´til posterior (D+1) a` ordem de compra ou venda, quando os recursos dessa operac¸a˜o
sera˜o repassados pelo Agente de Custo´dia para o Tesouro ou vice-versa. Ja´ o investidor
recebera´ ou repassara´ esses recursos dentro do prazo previsto no regulamento do Agente
de Custo´dia, geralmente, no pro´prio dia da liquidac¸a˜o ente o Agente e o Tesouro. Note
que, se a data de repasse do Agente de Custo´dia para o investidor na˜o for no pro´prio dia
de liquidac¸a˜o entre o Tesouro e o Agente de Custo´dia, o investidor ficara´ com o dinheiro
sem rentabilizar ate´ o dia real do repasse.
Os impostos incidentes sobre as operac¸o˜es realizadas com t´ıtulos pu´blicos sa˜o
os mesmos que incidem sobre as operac¸o˜es de renda fixa, isto e´, ha´ cobranc¸a de IR sobre
os rendimentos dos t´ıtulos e de IOF - este u´ltimo para investimentos com prazo inferior
a 30 dias.
Quanto aos limites de compra e venda no Tesouro Direto, nas compras tradi-
cionais, a parcela mı´nima de compra e´ de 10% do valor de um t´ıtulo (0,1 t´ıtulo),desde
que respeitado o limite financeiro mı´nimo de R$ 30,00. No caso do investimento progra-
mado, as compras devem obedecer a` parcela mı´nima de 1% do prec¸o unita´rio de cada
t´ıtulo, ou seja, 0,01 t´ıtulo, desde que respeitado o mesmo limite financeiro, R$ 30,00. O
limite financeiro ma´ximo de compras mensais e´ de R$ 1.000.000,00, tanto para as compras
tradicionais quanto para as programadas. Na˜o ha´ limite financeiro para vendas.
Quando algum pagamento de cupom ou principal ocorrer no sa´bado, domingo
ou feriado, ele sera´ liquidado no primeiro dia u´til seguinte. Assim, considera-se essa data
para o fluxo de caixa e para os ca´lculos.
3.1 Renda fixa 47
Todos os ca´lculos sa˜o feitos considerando o prec¸o unita´rio, denotado por PU,
do t´ıtulo em questa˜o, isto e´, para um t´ıtulo. E para saber qual a quantidade de t´ıtulos a
comprar, basta dividir o valor que o investidor deseja aplicar pelo PU, obtendo a quanti-
dade de t´ıtulos desejada.
Como observac¸a˜o final, em operac¸o˜es executadas no Tesouro Direto, os PUs
sa˜o truncados na 2a casa decimal, sem arredondamento. Enquanto nos leilo˜es prima´rios
e em negociac¸o˜es fora do Tesouro Direto, na 6a casa decimal.
3.1.2.1 Tesouro Prefixado ou LTN
A Letra do Tesouro Nacional (LTN) ou Tesouro Prefixado e´ um t´ıtulo prefi-
xado. E´ indicada para o investidor que acredita que a sua taxa prefixada sera´, no mı´nimo,
maior que a taxa de juros ba´sica da economia.
A LTN possui fluxo de pagamento simples, ou seja, o investidor faz a aplicac¸a˜o
e recebe o valor nominal VN (sempre igual a R$ 1.000,00 por t´ıtulo) na data de vencimento
do t´ıtulo, conforme o fluxo a seguir.
PU
Data de vencimento
da LTN
Data da compra
VN = 1.0000,00
Figura 3.2: Fluxo LTN ou Tesouro Prefixado.
Para calcular o PU se utiliza a fo´rmula
PU =
1.000,00
(1 + ia.a.)
nuteis
252
,
truncado na 6a casa decimal.
Veja o exemplo dado pelo Tesouro Nacional em seu site quando explica a
metodologia de ca´lculo da LTN (NACIONAL, [20-?]a, p. 1).
Exemplo 3.1.3. Calcule a taxa nominal anual ia.a., que um investidor obteve com-
prando um Tesouro Prefixado, com vencimento em 01/01/2009, em 19/12/2006 (data
de liquidac¸a˜o) pelo prec¸o unita´rio de R$ 788,11.
3.1 Renda fixa 48
soluc¸a˜o: Temos o fluxo na figura 3.3.
Como existem 511 dias u´teis entre a data da liquidac¸a˜o da compra (inclusive)
e a data de vencimento (exclusive), pode-se escrever
788,11 =
1.000,00
(1 + ia.a.)
511
252
.
788,11
01/01/2009
19/12/2006
1.0000,00
511 d. ú.
Figura 3.3: Fluxo do exemplo Tesouro Prefixado.
Portanto, a taxa anual deste Tesouro Prefixado e´ igual a 12, 46%.�
3.1.2.2 Tesouro Prefixado com juros semestrais ou NTN-F
Como na LTN, a Nota do Tesouro Nacional se´rie F (NTN-F), ou Tesouro Pre-
fixado com juros semestrais, e´ um t´ıtulo de renda fixa prefixado, isto e´, sua rentabilidade
e´ definida no momento da compra, desde que o investidor permanec¸a com o t´ıtulo ate´ o
seu vencimento.
E´ mais indicada para quem deseja utilizar seus rendimentos para complementar
sua renda a partir do momento da aplicac¸a˜o, pois esse t´ıtulo faz pagamento de juros a cada
seis meses. Isso significa que o rendimento e´ recebido pelo investidor ao longo do per´ıodo
da aplicac¸a˜o, diferentemente da LTN. Os pagamentos semestrais, nesse caso, representam
uma antecipac¸a˜o da rentabilidade contratada.
Tambe´m e´ um investimento aconselha´vel quando o investidor acredita que a
taxa prefixada sera´ maior que a taxa de juros ba´sica da economia, como a LTN.
Cabe destacar, adicionalmente, que no pagamento desses rendimentos semes-
trais ha´ incideˆncia de imposto de renda (IR), obedecendo a respectiva tabela regressiva.
A rentabilidade (prefixada) e´ dada pela taxa interna de retorno (TIR) do
3.1 Renda fixa 49
fluxo de pagamentos dos cupons de juros (P) e do desa´gio ou a´gio1 sobre o valor nominal
(VN) do t´ıtulo, que sempre e´ R$ 1.000,00. Os cupons de juros com pagamentos semestrais
retroagidos a partir da data de resgate sa˜o de 10%a.a. sobre o valor nominal e o pagamento
do u´ltimo cupom de juros coincide com o resgate do principal da NTN-F.
Na figura 3.4, segue o fluxo.
Data do
Resgate (n)
...
Sem.
1
P
VN=1.000
Data da Liquidação
da Compra
Sem.
2
Sem.
(n-1)
PPP
PU
Figura 3.4: Fluxo da NTN-F
Apesar dos cupons (P) serem iguais, o fluxo de caixa e´ heterogeˆneo, ja´ que
os per´ıodos sa˜o diferentes por serem dados em dias u´teis e o u´ltimo pagamento tambe´m
e´ diferente dos outros. Observe tambe´m que, pelo fato da semestralidade do pagamento
dos cupons ser contada de tra´s para frente a partir do resgate, o per´ıodo entre a data de
compra e o primeiro cupom e´ menor ou igual a um semestre.
Observac¸a˜o 3.1.2. Por convenc¸a˜o, para calcular o valor nominal do cupom (P), o qual e´
dado em taxa ao ano, na˜o utilizamos o ca´lculo de taxas equivalentes por dias u´teis, mas
por subper´ıodos, e, por convenc¸a˜o, o resultado da taxa percentual equivalente e´ truncado
na 6a casa decimal sem arredondamento (NACIONAL, [20-?]g, p. 12).
Exemplo 3.1.4. Calcule o valor nominal do cupom de uma NTN-F que paga semestral-
mente 10%a.a.
soluc¸a˜o: Inicialmente se calcula a taxa equivalente ao semestre. De (2.11),
i = (1 + 0,10)
6
12 − 1
= 4, 880885%a.s.
Como a taxa do cupom e´ aplicada sobre o valor nominal da NTN-F (VN=1.000),
1Para uma TIR positiva se tem um desa´gio e para uma TIR negativa, um a´gio.
3.1 Renda fixa 50
temos para o valor do cupom
P = 1.000 · 0,048808
= R$ 48,80885 ,
arredondado na 5a casa decimal.�
De (2.17), para valor presente (VP = PU), e do conceito de taxas equivalentes
no regime de juros compostos (2.11), tem-se
PU =
P
(1 + TIR)
d.u´.1
252
+
P
(1 + TIR)
d.u´.2
252
+ ...+
P+1. 000
(1 + TIR)
d.u´.n
252
=
1.000 ·
[
(1 + 0, 10)
6
12 − 1
]
(1 + TIR)
d.u´.1
252
+ ...+
1.000 ·
[
(1 + 0, 10)
6
12 − 1
]
+ 1.000
(1 + TIR)
d.u´.n
252
=
48,808
(1 + TIR)
d.u´.1
252
+
48,808
(1 + TIR)
d.u´.2
252
+ ...+
1.048,808
(1 + TIR)
d.u´.n
252
,
onde d.u´.1, d.u´.2, ..., d.u´.n sa˜o os dias u´teis entre a data da liquidac¸a˜o financeira (inclu-
sive) e as datas dos pagamentos (exclusive), PU e´ o prec¸o unita´rio (truncado na 6a casa
decimal sem arredondamento) na data de liquidac¸a˜o e TIR e´ a taxa interna de retorno
(rentabilidade) ao ano.
Tome o exemplo dado pelo Tesouro Nacional (NACIONAL, [20-?]d, p. 3).
Exemplo 3.1.5. Calcule o prec¸o (PU) de um t´ıtulo que o investidor desembolsou com-
prando uma NTN-F, com vencimento em 01/01/2008, em 09/01/2004 (data de liquidac¸a˜o),
pactuada com a rentabilidade de 16,52%a.a.
soluc¸a˜o: Tem-se o fluxo de caixa na figura 3.5.
02/01/2008
(997 d.ú.)
1/7
(119)
P
1.000,00
09/01/2004
3/1
(247)
2/7
(821)
PU
3/7
(622)
1/7
(371)
2/1
(498)
2/1
(747)
P = 48,80885
PPPPPPP
Figura 3.5: Fluxo do exemplo.
Assim,
3.1 Renda fixa 51
PU =
48,80885
(1,1652)
119
252
+
48,80885
(1,1652)
247
252
+
48,80885
(1,1652)
371
252
+
48,80885
(1,1652)
498
252
+
+
48,80885
(1,1652)
622
252
+
48,80885
(1,1652)
747
252
+
48,80885
(1,1652)
871
252
+
1.048,80885
(1,1652)
997
252
= 828,525582 ,
truncado na 6a casa decimal, sem arredondamento.�
3.1.2.3 Tesouro IPCA+ ou NTN-B Principal
A Nota do Tesouro Nacional, se´rie B, Principal (NTN-B Principal), ou Tesouro
IPCA+, e´ um t´ıtulo com rentabilidade vinculada a` variac¸a˜o do IPCA, acrescida dos juros
definidos no momento da compra. Esse t´ıtulo permite ao investidor obter rentabilidade
em termos reais em relac¸a˜o a` inflac¸a˜o medida pelo IPCA.