Apostila de Estatistica

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ESTATÍSTICA 
Prof. Jefferson A. Santos
	
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
	Seção 1
	Media Aritmética e
 
Média Ponderada
	O aluno tem que saber calcular, interpretar e compreender a utilização das medias de um conjunto de dados. Esperamos também que seja capaz de saber escolher, dependendo da situação, qual dessas medidas deve ser usada.
- Lista de Exercícios 
	Seção 2
	Moda e Mediana
	- Entender e interpretar e compreender o uso das medidas de tendências central.
- Avaliação (Média, Moda e Mediana).
	Seção 3
	Desvio da Média e
 Desvio Padrão
	- Calcular e saber identificar a diferença dos cálculos programáticos dos desvios.
- Lista de exercícios
	Seção 4
	Variância
	- Calcular a importância da variância.
- Avaliação (Desvio e Variancia).
	Seção 5
	Coeficiente de Variação
	- Identificar que é uma medida de dispersão que se presta para a comparação de distribuições diferentes, é a soma dos quadrados dos desvios em relação à média "(x)", 
- Lista de Exercícios
	Seção 6
	Erro Médio
	- Saber identificar o erro padrão das médias da população.
- Avaliação ( Coeficiente de Variação).
	Seção 7
	Probabilidade 
	- O aluno deve compreender a função de mostrar a chance de ocorrência de um evento. 
- Lista de Exercícios.
	Seção 8
	Probabilidade
	- Saber calcular as chances de acerto e erros dos jogos e outros.
- Avaliação (Probabilidade).
ESTATÍSTICA DESCRITIVA
1. INTRODUÇÃO
ESTATÍSTICA: 	ramo da matemática aplicada.
VARIÁVEL: 	É o conjunto de resultados possíveis de um fenômeno.
VARIÁVEL QUALITATIVA: Quando seus valores são expressos por atributos: sexo, cor da pele, etc.
VARIÁVEL QUANTITATIVA: 	Quando os dados são de caráter nitidamente quantitativo, e o conjunto dos resultados possui uma estrutura numérica, trata-se, portanto da estatística de variável e se dividem em:
VARIÁVEL DISCRETA OU DESCONTÍNUA:	Seus valores são expressos geralmente através de números inteiros não negativos. Resulta normalmente de contagens. Ex: Nº de alunos presentes às aulas de introdução à estatística no 1º semestre de 2012: mar = 18 , abr = 30 , mai = 35 , jun = 36.
VARIÁVEL CONTÍNUA: 	Resulta normalmente de uma mensuração, e a escala numérica de seus possíveis valores corresponde ao conjunto R dos números Reais, ou seja, podem assumir, teoricamente, qualquer valor entre dois limites. Ex.: Quando você vai medir a temperatura de seu corpo com um termômetro de mercúrio o que ocorre é o seguinte: O filete de mercúrio, ao dilatar-se, passará por todas as temperaturas intermediárias até chegar na temperatura atual do seu corpo.
Exemplos - 
. Cor dos olhos das alunas:					qualitativa
. Índice de liquidez nas indústrias capixabas:			quantitativa contínua
. Produção de café no Brasil: 					quantitativa contínua
. Número de defeitos em aparelhos de TV: 			quantitativa discreta
. Comprimento dos pregos produzidos por uma empresa: 	quantitativa contínua
. O ponto obtido em cada jogada de um dado: 			quantitativa discreta
AMPLITUDE DO INTERVALO DE CLASSE: 	 é obtida através da diferença entre o limite superior e inferior da classe e é simbolizada por hi = Li - li. Ex: na tabela anterior hi = 53 - 49 = 4. Obs: Na distribuição de freqüência c/ classe o hi será igual em todas as classes.
AMPLITUDE TOTAL DA DISTRIBUIÇÃO:	 é a diferença entre o limite superior da última classe e o limite inferior da primeira classe. AT = L(max) - l(min). Ex: na tabela anterior AT = 61 - 41= 20.
AMPLITUDE TOTAL DA AMOSTRA (ROL): 	é a diferença entre o valor máximo e o valor mínimo da amostra (ROL). Onde AA = Xmax - Xmin. Em nosso exemplo AA = 60 - 41 = 19. 
Obs: AT sempre será maior que AA.
PONTO MÉDIO DE CLASSE: 	é o ponto que divide o intervalo de classe em duas partes iguais. ...Ex: 
em 49 |------- 53 o ponto médio x3 = (53+49)/2 = 51, ou seja x3=( l3 + L3 )/2.
2. MEDIDAS DE POSIÇÃO
Introdução
(	São as estatísticas que representam uma série de dados orientando-nos quanto à posição da distribuição em relação ao eixo horizontal do gráfico da curva de freqüência.
MÉDIA ARITMÉTICA = 
(	É igual ao quociente entre a soma dos valores do conjunto e o número total dos valores.
. 
onde xi são os valores da variável e n o número de valores.
Dados não-agrupados: 	Quando desejamos conhecer a média dos dados não-agrupados em tabelas de freqüências, determinamos a média aritmética simples. 
Ex:	 Sabendo-se que a venda diária de arroz tipo A, durante uma semana, foi de 10, 14, 13, 15, 16, 18 e 12 quilos, temos, para venda média diária na semana de:
.= (10+14+13+15+16+18+12) / 7 = 14 quilos
Desvio em relação à média: é a diferença entre cada elemento de um conjunto de valores e a média aritmética, ou seja:.
. di = Xi - 
No exemplo anterior temos sete desvios:... d1 = 10 - 14 = - 4 , ...d2 = 14 - 14 = 0 , d3 = 13 - 14 = - 1 , ...d4 = 15 - 14 = 1 ,... d5 = 16 - 14 = 2 ,... d6 = 18 - 14 = 4 ...e. .. d7 = 12 - 14 = - 2.
Propriedades da média aritmética (
1ª propriedade: 	A soma algébrica dos desvios em relação à média é nula.
No exemplo anterior : d1+d2+d3+d4+d5+d6+d7 = 0
2ª propriedade: 	Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante (c) a todos os valores de uma variável, a média do conjunto fica aumentada ( ou diminuída) dessa constante.
Se no exemplo original somarmos a constante 2 a cada um dos valores da variável temos:
Y = 12+16+15+17+18+20+14 / 7 = 16 quilos ou 
Y = .+ 2 = 14 +2 = 16 quilos
3ª propriedade: 	Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (c), a média do conjunto fica multiplicada ( ou dividida) por essa constante.
Se no exemplo original multiplicarmos a constante 3 a cada um dos valores da variável temos:
Y = 30+42+39+45+48+54+36 / 7 = 42 kilos ou
Y = x 3 = 14 x 3 = 42 kilos
Dados agrupados:
Sem intervalos de classe (	Consideremos a distribuição relativa a 34 famílias de quatro filhos, tomando para variável o número de filhos do sexo masculino. Calcularemos a quantidade média de meninos por família:
	Nº de meninos
	freqüência = fi
	0
	2
	1
	6
	2
	10
	3
	12
	4
	4
	total
	34
Como as frequências são números indicadores da intensidade de cada valor da variável, elas funcionam como fatores de ponderação, o que nos leva a calcular a média aritmética ponderada, dada pela fórmula:
	..xi.
	..fi.
	..xi.fi .
	0
	2
	0
	1
	6
	6
	2
	10
	20
	3
	12
	36
	4
	4
	16
	total
	34
	78
onde 78 / 34 = 2,3 meninos por família
Com intervalos de classe (	Neste caso, convencionamos que todos os valores incluídos em um determinado intervalo de classe coincidem com o seu ponto médio, e determinamos a média aritmética ponderada por meio da fórmula:
..
onde Xi é o ponto médio da classe.
Ex: Calcular a estatura média de bebês conforme a tabela abaixo.
	Estaturas (cm) 
	freqüência = fi 
	ponto médio = xi 
	..xi.fi. 
	50 |------------ 54
	4
	52
	208
	54 |------------ 58
	9
	56
	504
	58 |------------ 62
	11
	60
	660
	62 |------------ 66
	8
	64
	512
	66 |------------ 70
	5
	68
	340
	70 |------------ 74
	3
	72
	216
	Total
	40
	
	2.440
Aplicando a fórmula acima temos: 2.440 / 40.= 61. logo... = 61 cm
.MODA - Mo
(	É o valor que ocorre com maior freqüência em uma série de valores.
Desse modo, o salário modal dos empregados de uma fábrica é o salário mais comum, isto é, o salário recebido pelo maior número de empregados dessa fábrica.
MEDIANA - Md
(	A mediana de um conjunto de valores, dispostos segundo uma ordem ( crescente ou decrescente), é o valor situado de tal forma no conjunto que o separa em dois subconjuntos de mesmo número de elementos.
.A mediana em dados não-agrupados (
Dada uma série de valores como, por exemplo: { 5, 2, 6, 13, 9, 15, 10 }
De acordo com a definição de mediana, o primeiro passo a ser dado é o da ordenação (crescente ou decrescente) dos valores: { 2, 5, 6, 9, 10, 13, 15 }
O valor que divide a sérieacima em duas partes iguais é igual a 9, logo a Md = 9.
.Método prático para o cálculo da Mediana:
(	Se a série dada tiver número ímpar de termos: 	O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :
	.( n + 1 ) / 2 
Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 2, 5 }
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 2, 3, 4, 5 }
n = 9 logo (n + 1)/2 é dado por (9+1) / 2 = 5, ou seja, o 5º elemento da série ordenada será a mediana
A mediana será o 5º elemento = 2
.Se a série dada tiver número par de termos: 	O valor mediano será o termo de ordem dado pela fórmula :.... 
	.[( n/2 ) +( n/2+ 1 )] / 2 
Obs:	 n/2 e (n/2 + 1) serão termos de ordem e devem ser substituídos pelo valor correspondente.
Ex: Calcule a mediana da série { 1, 3, 0, 0, 2, 4, 1, 3, 5, 6 }
1º - ordenar a série { 0, 0, 1, 1, 2, 3, 3, 4, 5, 6 }
n = 10 logo a fórmula ficará: [( 10/2 ) + (10/2 + 1)] / 2 
[( 5 + 6)] / 2 será na realidade (5º termo+ 6º termo) / 2
5º termo = 2 
6º termo = 3
A mediana será = (2+3) / 2 ou seja, Md = 2,5 . A mediana no exemplo será a média aritmética do 5º e 6º termos da série.
Notas:
Quando o número de elementos da série estatística for ímpar, haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. 
Quando o número de elementos da série estatística for par, nunca haverá coincidência da mediana com um dos elementos da série. A mediana será sempre a média aritmética dos 2 elementos centrais da série. 
Em uma série a mediana, a média e a moda não têm, necessariamente, o mesmo valor. 
A mediana, depende da posição e não dos valores dos elementos na série ordenada. Essa é uma da diferenças marcantes entre mediana e média ( que se deixa influenciar, e muito, pelos valores extremos). Vejamos: 
Em { 5, 7, 10, 13, 15 } a média = 10 e a mediana = 10
Em { 5, 7, 10, 13, 65 } a média = 20 e a mediana = 10
isto é, a média do segundo conjunto de valores é maior do que a do primeiro, por influência dos valores extremos, ao passo que a mediana permanece a mesma.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) As alturas de 100 indivíduos do sexo masculino foram agrupadas segundo a tabela:
	Altura (cm)
	Frequência
	155 ı– 160
	5
	160 ı– 165
	12
	165 ı– 170
	19
	170 ı– 175
	25
	175 ı– 180
	20
	180 ı– 185
	10
	185 ı– 190
	7
	190 ı– 195
	2
a) Calcule a média aritmética e a moda
2) O número de atendimentos de um grupo de bombeiros, durante um ano, foi anotado na tabela:
	Número de atendimentos
diários
	Frequência
	0
	84
	1
	105
	2
	72
	3
	59
	4
	28
	5
	15
	6
	2
a) Qual é a media, moda e a mediana desse conjunto de dados?
b) Ao longo de uma semana, os bombeiros fizeram 12 atendimentos. Essa foi uma semana “média”?
3) O salário-hora de cinco funcionários de uma companhia, são: R$ 75,00; R$ 90,00; R$ 83,00; 
 R$ 142,00 e R$88,00
Determine:
a. a média dos salários-hora;  
b. o salário-hora mediano.
4) As notas de um candidato, em seis provas de um concurso, foram: 8,4; 9,1; 7,2; 6,8; 8,7 e 7,2.
    Determine:
    a) a nota média;     b) a nota mediana;      c) a nota modal.
5) Considerando a distribuição abaixo:
 
	xi
	3     4     5     6    7     8
	fi
	4     8    11   10    8     3
    
Calcule:
    a) a média;      b) a mediana;      c) a moda.  
 
6) Em uma classe de 50 alunos, as notas obtidas formaram a seguinte distribuição:
 
	NOTAS
	 2    3     4     5     6     7     8     9     10
	Nº DE ALUNOS
	 1    3     6    10    13    8     5     3      1
     Determine:
    a) a nota média;      b) nota mediana;      c) a nota modal.
 
 7) Determine a média aritmética de:
a. 
	VALORES
	50     60     80     90
	QUANTIDADES
	 8      5       4       3
 
b.  
	xi
	50     58     66
	fi
	20     50     30
8) Calcule a média aritmética das distribuições de frequência abaixo:
	a.  
NOTAS
fi
0 ι— 2
2 ι— 4
4 ι— 6
6 ι— 8
 8 ι— 10
5
8
14
10
7
 
∑ = 44
 
	b.  
ESTATURAS (cm)
fi
150 ι— 158
158 ι— 166
166 ι— 174
174 ι— 182
182 ι— 190
5
12
18
27
8
 
∑ = 70
 
	c.  
SALÁRIOS (R$)
fi
500 ι— 700
700 ι— 900
  900 ι— 1.100
1.100 ι— 1.300
1.300 ι— 1.500
1.500 ι— 1.700
1.700 ι— 1.900
18
31
15
3
1
1
1
 
∑ = 70
 
	d. 
PESOS (kg)
fi
145 ι— 151
151 ι— 157
157 ι— 163
163 ι— 169
169 ι— 175
175 ι— 181
181 ι— 187
10
9
8
6
3
3
1
 
∑ = 40
9) Calcule a mediana de cada uma das distribuições do exercício 8.
 
10) Calcule a moda de cada uma das distribuições do exercício 8.
11) Pesquisa realizada recentemente revela que nos últimos anos o consumo de cigarros vem crescendo entre as mulheres. Parte desse estudo permitiu a montagem de uma tabela de frequências, que relaciona a quantidade de cigarros consumidos diariamente, entre 1000 mulheres fumantes. Calcular a média aritmética e analisar os possíveis valores da mediana e da moda.
	Cigarros consumidos
diariamente
	Frequência
Absoluta
	Frequência
relativa
	Cigarros consumidos
diariamente
	Frequência
Absoluta
	Frequência
relativa
	15 ı– 20
	150
	15%
	30 ı– 35
	200
	20%
	20 ı– 25
	300
	30%
	35 ı– 40
	100
	10%
	25 ı– 30
	250
	25%
	Total
	1000
	100%
12) Alê, Bia e Célia têm a mesma idade. A soma dessas idades com as de Andrea (13), Solange (18) e Fausto (20) é 96 anos. Qual é a moda e qual é a média aritmética dessas idades? 
13) Nas eleições em 1º turno em todo o país, no dia 3 de outubro de 1996, inaugurou-se o voto eletrônico. Numa determinada seções eleitorais, cinco eleitores demoraram a votar, respectivamente: 1 min 04s ; 1 min 32s ; 1min 12s ; 1min 52s e 1 min 40s.
A média aritmética do tempo de votação (em minutos e segundos) desses eleitores é de:
14) O quadro mostra a distribuição das alturas, em metros, de 25 alunos de uma classe. Determine a altura média dos alunos dessa classe e verifique a moda e a mediana.
	Classe
	[1,60 – 1,70]
	[1,70 – 1,80]
	[1,80 – 1,90]
	[1,90 – 2,00]
	[2,00 – 2,10]
	Alunos
	5
	6
	7
	5
	2
15) Qual é a media aritmética a moda e a mediana da tabela abaixo:
	Classe
	[1,50 – 1,56]
	[1,56 – 1,62]
	[1,62 – 1,68]
	[1,68 – 1,74]
	[1,74 – 1,80]
	Frequência
	6
	10
	12
	8
	4
16) Uma pessoa tem um gastos diário de segunda a sábado de 25, 23, 22, 20, 22 e 24 reais. Determine a média diária de gastos, moda e a mediana.
17) Os dados a seguir representam as massas, em quilogramas, dos atletas de uma equipe juvenil de natação: 46, 44, 49, 45, 44, 48, 50, 42. Determine a media, mediana e a moda.
18) Uma prova foi aplicada em duas turmas distintas. Na primeira, com 30 alunos, a média das notas foi 6,40. Na segunda, com 50 alunos, foi 5,20. A média das notas dos 80 alunos foi:
19) A classificação final para um determinado curso é a média ponderada das provas de capacidade geral, com peso 3, e das provas de capacidade específica, com peso 2. Nessas condições qual é a classificação de um aluno que obteve 162 pontos na prova de capacidade geral e 147 pontos na prova de capacidade especifica?
20) As alturas em metros dos membros de uma família são: 1,80; 1,65; 1,50; 1,73; 0,90 e 1,55. Determine a media e a mediana de suas respectivas alturas.
DESVIO PADRÃO - S
(	É a medida de dispersão mais geralmente empregada, pois leva em consideração a totalidade dos valores da variável em estudo. É um indicador de variabilidade bastante estável. O desvio padrão baseia-se nos desvios em torno da média aritmética e a sua fórmula básica pode ser traduzida como : a raiz quadrada da média aritmética dos quadrados dos desvios e é representada por  S .
A fórmula acima é empregada quando tratamos de uma população de dados não-agrupados.
Ex: Calcular o desvio padrão da população representada por  - 4 , -3 , -2 , 3 , 5
	  Xi   
	        
	     
	   
	- 4
	- 0,2
	- 3,8
	14,44
	- 3
	- 0,2
	- 2,8
	7,84
	- 2
	- 0,2
	- 1,8
	3,24
	3
	- 0,2
	3,2
	10,245
	- 0,2
	5,2
	27,04
	
	
	
	
	
	
	E =
	62,8
Sabemos que n = 5  e   62,8 / 5 = 12,56.
A raiz quadrada de 12,56 é o desvio padrão = 3,54
Obs: 	Quando nosso interesse não se restringe à descrição dos dados mas, partindo da amostra, visamos tirar inferências válidas para a respectiva população, convém efetuar uma modificação, que consiste em usar o divisor n - 1 em lugar de n. A fórmula ficará então:
Se os dados - 4 , -3 , -2 , 3 , 5 representassem uma amostra o desvio padrão amostral seria a raiz quadrada de 62,8 / (5 -1) = 3,96 
O desvio padrão goza de algumas propriedades, dentre as quais destacamos:
1ª = 	Somando-se (ou subtraindo-se) uma constante a todos os valores de uma variável, o desvio padrão não se altera.
2ª = 	Multiplicando-se (ou dividindo-se) todos os valores de uma variável por uma constante (diferente de zero), o desvio padrão fica multiplicado ( ou dividido) por essa constante.
 Quando os dados estão agrupados (temos a presença de freqüências) a fórmula do desvio padrão ficará :
  ou  quando se trata de uma amostra
Ex: 	Calcule o desvio padrão populacional da tabela abaixo:
	  Xi   
	  f i   
	Xi . f i 
	      
	   
	   
	   . f i 
	0
	2
	0
	2,1
	-2,1
	4,41
	8,82
	1
	6
	6
	2,1
	-1,1
	1,21
	7,26
	2
	12
	24
	2,1
	-0,1
	0,01
	0,12
	3
	7
	21
	2,1
	0,9
	0,81
	5,67
	4
	3
	12
	2,1
	1,9
	3,61
	10,83
	
	
	
	
	
	
	
	Total
	30
	63
	
	
	E =
	32,70
- Sabemos que E fi = 30  e   32,7 / 30 = 1,09.
- A raiz quadrada de 1,09 é o desvio padrão = 1,044
- Se considerarmos os dados como sendo de uma amostra o desvio padrão seria :     a raiz quadrada de 32,7 / (30 -1) = 1,062
Obs: 	Nas tabelas de freqüências com intervalos de classe a fórmula a ser utilizada é a mesma do exemplo anterior.
 VARIÂNCIA - S2
(	É o desvio padrão elevado ao quadrado. A variância é uma medida que tem pouca utilidade como estatística descritiva, porém é extremamente importante na inferência estatística e em combinações de amostras.
LISTA DE EXERCÍCIOS DE DESVIO PADRÃO E VARIÂNCIA
1) Um grupo de 12 estudantes passou um dia de verão em um parque aquático. Seus gastos com alimentação são dados a seguir (valores em reais): 12,00 – 8,00 – 15,00 – 10,00 – 14,00 – 15,00 – 10,00 – 20,00 – 9,00 – 8,00 – 15,00 e 8,00. Obtenha:
a) a variância dos valores relacionados.
b) o desvio padrão dos valores relacionados.
2) Na tabela seguinte constam as notas que Pedro e Paulo tiraram nas cinco avaliações que fizeram em um curso de informática.
	Pedro
	7,0
	4,5
	5,5
	5,0
	3,0
	Paulo
	5,0
	5,5
	3,0
	4,0
	7,5
Calcule a variância das notas de cada aluno, indicando qual deles obteve desempenho mais homogêneo.
3) A quantidade de erros de digitação por página de uma pesquisa escolar com quarenta páginas é dada na tabela seguinte:
	Erro por página
	0
	1
	2
	Número de páginas
	28
	8
	4
Determine as medidas de centralidade (média e moda) correspondentes à quantidade de erros; as medidas de dispersão (variância e desvio padrão) correspondentes.
4) Os salários dos 20 funcionários que trabalham em um hotel estão apresentados na tabela: 
	Salários (em reais)
	350,00
	480,00
	600,00
	Número de funcionários
	10
	6
	4
Calcule a média (
) e o desvio padrão ( 
) dos salários.
5) As temperaturas máximas diárias registradas no mês de janeiro em uma cidade estão dadas na tabela:
	Temperatura máxima
	25ºC ı– 28ºC
	25ºC ı– 31ºC
	31ºC ı– 34ºC
	34ºC ı– 37ºC
	Total
	Número de dias
	9
	11
	7
	4
	31
Calcule a média e a classe modal das temperaturas e a variância e o desvio padrão das temperaturas.
6) Durante 60 dias, anotou-se o número de cartas entregues, diariamente, em um edifício residencial. Os resultados são mostrados na tabela:
	Cartas entregues por dia
	20 ı– 30
	30 ı– 40
	40 ı– 50
	50 ı– 60
	60 ı– 70
	Frequencia
	5
	9
	20
	18
	8
Determinar a media, variância e o desvio padrão correspondentes ao número de cartas diariamente entregues no edifício?
7) Determinada editora pesquisou o número de páginas das revistas mais vendidas em uma cidade.
	Revistas
	A
	B
	C
	D
	E
	F
	Número de páginas
	62
	90
	88
	92
	110
	86
Calcular: a) número médio de páginas b) a variância c) o desvio padrão 
8) Após um ano de funcionamento, uma maternidade registrou o nascimento de 720 crianças, em parto normal. Os dados referentes à altura dessas crianças permitiu a construção desta tabela:
	Altura (em cm)
	45 ı– 47
	47 ı– 49
	49 ı– 51
	51 ı– 53
	53 ı– 55
	Total
	Número de crianças
	80
	260
	200
	160
	20
	720
Calcular: a) a altura média b) a variância c) o desvio padrão
9) Uma pesquisa realizada pela Secretaria da Saúde de uma cidade, visando conhecer os hábitos de higiene bucal da população, identificou num de seus itens o tipo de creme dental mais consumido e tabelou os seguintes dados:
	Tipo de creme dental
	Flúor
	Bicarbonato de Sódio
	Menta e flúor
	Flúor e bicarbonato de sódio
	Número de pessoas
	80
	20
	60
	40
Calcule: a) média aritmética, a variância e o desvio padrão.
10) Em um supermercado, a reposição de pacotes de arroz, nesta segunda-feira, permitiu a construção da seguinte tabela de dados:
	Marca de arroz
	A
	B
	C
	D
	E
	Quantidade de pacotes
	120
	60
	280
	200
	140
Determine a nédia de pacotes repostos, a variância e o desvio padrão.
11) Um distribuidora pesquisou o consumo de refrigerantes entre diferentes faixas etárias, para melhor direcionar a sua campanha publicitária. Baseado nos dados, calcule a idade média dos consumidores, a variância e o desvio padrão.
	Idade dos consumidores
	10 ı– 14
	14 ı– 18
	18 ı– 22
	22 ı– 26
	26 ı– 30
	Total
	Número de consumidores
	60
	100
	130
	90
	20
	400
12) A tabela mostra o total de pontos obtidos por dois times de futebol no período de 2006 a 2010.
	
	2006
	2007
	2008
	2009
	2010
	Time A
	7
	12
	20
	16
	10
	Time B
	18
	16
	15
	9
	12
a) Qual o desvio padrão de cada um desses times?
b) Qual o time mais regular nesse período?
13) A tabela a seguir mostra o número de votos por classe de dois candidatos que estão concorrendo a uma vaga de representante no conselho da escola.
	Candidato\ Classe
	3º A
	3º B
	3º C
	3º D
	3º E
	3º F
	Victor
	12
	15
	12
	16
	14
	15
	Rafael
	12
	11
	18
	9
	19
	15
a) Calcule o desvio padrão de cada um desses candidatos.
b) Qual dos dois candidatos é o mais regular?
14) Dada a distribuição relativa a 100 lançamentos de 5 moedas simultaneamente, calcule o desvio padrão.  
	 Nº DE CARAS
	0     1     2     3     4     5
	FREQÜÊNCIAS
	4    14   34    29   16    3
15) A tabela a seguir mostra o número de acertos numa prova com 10 questões aplicadas numa turma com 50 alunos.
	     Nº da questão
	 1     2     3     4     5     6     7     8     9      10
	Quantidade de acertos
	15    20   12    25   48   40    35   10    30     40
      Obtenha:
     a) a média de acertos por questão;      b) o desvio padrão dessa distribuição.
 16) Considere as idades dos alunos de 3 grupos A, B e C:     
	Grupo A
Grupo B
Grupo C
	15 anos
18 anos
16 anos
	15 anos
14 anos
15 anos
	15 anos
13 anos
13 anos
	15 anos
13 anos
16 anos
	15 anos
17 anos
15 anos
     a) obtenha a média de idade de cada grupo; b) calcule a variância de cada grupo;
    c) calcule o desvio padrão de cada grupo.
 
17) Numa competição de salto triplo, três atletas disputavam apenas uma vaga para uma olimpíada entre faculdades de uma cidade. Cada atleta fez  4 tentativas obtendo os seguintes resultados:     
	Atleta I
Atleta II
Atleta III
	16,50 m
13,90 m
15,70 m
	15,81 m
17,01 m
16,02 m
	16,42 m
16,82 m
16,95 m
	16,12 m
15,10 m
17,00 ma) Qual deles obteve melhor média?
     b) Qual deles foi o mais regular nessas quatro tentativas?
18) Calcule a variância e o desvio padrão da população 
	Idade (anos)
xi
	17
	18
	19
	20
	21
	Número de alunos
fi
	3
	18
	17
	8
	4
19) Calcule a variância e o desvio padrão para a distribuição de amostra de 54 notas fiscais emitidas na mesma data, por uma loja de departamentos. Interprete os valores obtidos. 
	Consumo por nota (R$) 
	0 |-- 50 
	50 |-- 100 
	100 |-- 150 
	150 |-- 200 
	200 |-- 250 
	250 |-- 300 
	Nº de Notas 
	10
	28
	12
	2
	1
	1
20) Dois atiradores x e y obtiveram numa série de 20 tiros, num alvo da forma indicada na figura, os seguintes resultados:
      
	Atirador
	Resultado
	
	50
	30
	20
	10
	0
	x
y
	4
6
	6
3
	5
5
	4
3
	1
3
  a) Qual é a média de pontos por tiro de cada um dos atiradores?
   b) Compare os desvios padrão de cada uma das séries de tiros e decida qual é o atirador com desempenho mais regular.
 Coeficiente de Variação de Pearson - CVP
Na estatística descritiva o desvio padrão por si só tem grandes limitações. Assim, um desvio padrão de 2 unidades pode ser considerado pequeno para uma série de valores cujo valor médio é 200; no entanto, se a média for igual a 20, o mesmo não pode ser dito. 
Além disso, o fato de o desvio padrão ser expresso na mesma unidade dos dados limita o seu emprego quando desejamos comparar duas ou mais séries de valores, relativamente à sua dispersão ou variabilidade, quando expressas em unidades diferentes.
Para contornar essas dificuldades e limitações, podemos caracterizar a dispersão ou variabilidade dos dados em termos relativos a seu valor médio, medida essa denominada de CVP: Coeficiente de Variação de Pearson (é a razão entre o desvio padRão e a média referentes a dados de uma mesma série).
CVP = (S /  ) x 100
o resultado neste caso é expresso em percentual, entretanto pode ser expresso também através de um fator decimal, desprezando assim o valor 100 da fórmula.
Ex: Tomemos os resultados das estaturas e dos pesos de um mesmo grupo de indivíduos:
	Discriminação
	M É D I A
	DESVIO PADRÃO
	ESTATURAS
	175 cm
	5,0 cm
	PESOS
	68 kg
	2,0 kg
- Qual das medidas (Estatura ou Peso) possui maior homogeneidade ?
Resposta: Teremos que calcular o CVP da Estatura e o CVP do Peso. O resultado menor será o de maior homogeneidade ( menor dispersão ou variabilidade).
CVP estatura =	( 5 / 175 ) x 100 	= 2,85 %
CVP peso = 	( 2 / 68 ) x 100	= 2,94 %.
Logo, nesse grupo de indivíduos, as estaturas apresentam menor grau de dispersão que os pesos.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Um grupo de candidatos a um emprego foi submetido a um teste de QI. Os resultados estão agrupados abaixo:
	Q.I
	80 90
	90 100
	100 110
	110 120
	120 130
	(
	No de candidatos
	2
	10
	12
	5
	1
	30
Calcular:
a) média, moda e a mediana b) variância c) desvio padrão d) coeficiente de variação
2) A amostra abaixo representa uma distribuição salarial.
	Salários (em milhares de R$)
	1 3
	3 5
	5 7
	7 9
	9 11
	11 13
	13 15
	No funcionários
	4
	8
	10
	5
	11
	2
	1
Calcular:
A média salarial b) O salário mediano c) O salário modal d) O desvio padrão dos salários e) O coeficiente de variação dos salários.
3) Dadas as alturas em centímetros de 8 alunos de Estatística determine o erro padrão da média e o coeficiente de variação (CV): 
178 180 192 180 190 179 180 191
4) Em uma clínica endocrinológica foi observado o nível de colesterol em mililitros por decilitro de sangue, em 10 pacientes, conforme os dados apontados abaixo:
154 215 170 200 180 186 150 160 165 180
Determine o coeficiente de variação (CV) e o erro padrão da média.
5) Calcule a média, mediana, moda, variância, desvio padrão e o coeficiente de variação para a série abaixo:
	6,4
	5,2
	4,6
	5,2
	6,9
	6,0
	8,1
	5,5
	8,3
	8,2
	6,8
	5,7
	5,4
	
6)- Durante certo período de tempo as taxas de juros, em %, para dez ações foram as que a tabela abaixo registra:
	Ação
	01
	02
	03
	04
	05
	06
	07
	08
	09
	10
	Taxa 
	2,59
	2,64
	2,60
	2,62
	2,55
	2,61
	2,50
	2,63
	2,64
	2,69
 Calcule:
a taxa média; 
a taxa mediana;
a taxa modal;
o desvio padrão das taxas;
o coeficiente de variação das taxas.
7) Considere os dados referentes ao consumo de água, em m3, de 75 contas da CORSAN. 
	Consumo
	0|(10
	10|(20
	20|(30
	30|(40
	40|(50
	50|(60
	Total
	F
	2
	27
	19
	16
	7
	4
	75
calcule a média aritmética do consumo de água.
determine o intervalo que contém a mediana.
desvio padrão e coeficiente de variação.
8) A tabela seguinte apresenta a produção de café, em milhões de toneladas, na região DELTA.
	ANO
	1992
	1993
	1994
	1995
	1996
	1997
	1998
	1999
	2000
	2001
	Ton
	12
	15
	18
	22
	17
	14
	18
	23
	29
	32
a) calcula o desvio padrão e o coeficiente de variação.
9) Após um ano de funcionamento, uma maternidade registrou o nascimento de 720 crianças, em parto normal. Os dados referentes à altura dessas crianças permitiram a construção dessa tabela.
	Altura (cm)
	45ı– 47
	47ı– 49
	49ı– 51
	51ı– 53
	53ı– 55
	∑
	Nº de crianças
	80
	260
	200
	160
	20
	720
Calcule, a altura média, desvio padrão e o coeficiente de variação.
10) Realizou-se uma pesquisa com 20 pessoas sobre “peso”, conforme mostra a tabela:
	Peso (Kg)
	40 ı– 44
	44 ı– 48
	48 ı– 52
	52 ı– 56
	56 ı– 60
	total
	FA
	1
	3
	7
	6
	3
	20
Determine media, mediana e moda, variância, desvio padrão e coeficiente de variação.
11) Os tempos despendidos por 12 alunos (N = 12), em segundos, para percorrer certo trajeto, sem barreira, foram 16, 17, 16, 20, 18, 16, 17, 19, 21, 22, 16, 23. 
Calcule a moda, mediana e média; desvio padrão, a variância o coeficiente de variação.
12) Considere uma população de 40 profissionais liberais que foram, questionados sobre o número de revistas e/ou jornais que os mesmos são assinantes, obteve-se a seguinte tabela:
	Nº de Publicações
	0
	1
	2
	3
	4
	∑
	Nº de Profissionais
	6
	8
	12
	10
	4
	40
Pede-se:
a) O valor da moda, da mediana e da média aritmética simples.
b) O valor da variância, do desvio padrão e do coeficiente de variação.
13) Em certo dia foi realizado um levantamento a respeito das idades dos alunos de um curso noturno, obtendo-se a tabela abaixo:
	Idades (anos)
	16 |- 20
	20 |- 24
	24 |- 28
	28 |- 32
	∑
	Nº de Alunos
	8
	16
	12
	4
	40
Considerando esta turma como uma população, determine:
a) O valor da média aritmética simples e a moda.
b) O valor do desvio padrão e do coeficiente de variação.
14) Em um levantamento realizado, em maio de 1983 nos 200 funcionários da empresa XK, em relação a variável expressa em unidades monetárias (u.m.), obteve-se a seguinte tabela:
	Salário (u.m.)
	0 |- 2
	2 |- 4
	4 |- 6
	6 |- 8
	8 |- 10
	10 |- 12
	12 |- 14
	∑
	Nº de Funcionários
	26
	32
	34
	40
	28
	22
	18
	200
Considerando os 200 funcionários como de uma população, determine:
a) O valor da moda e da média dos salários.
b) O valor do desvio padrão, da variância e do coeficiente de variação
15) Um produto é condicionado em lotes contendo cada um deles 10 unidades. Considere os produtos que compõe um determinado lote com seus respectivos pesos (em kg): 
		3	4	3,5	5	3,5	4	5	5,5	4	5
Determine a variância e o coeficiente de variação:
16) Uma pesquisa sobre a idade (em anos), de uma classe de calouros do curso de Computação de certa faculdade, revelou os seguintes valores:
	17	17	17	18	18	18	18	18	18	18
	18	18	18	18	18	18	18	18	18	18
	18	19	19	19	19	19	19	19	19	19
	19	19	19	19	19	19	19	19	20	20
	20	20	20	20	20	20	21	21	2121
Determine o desvio padrão e o coeficiente de variação:
17) Uma pesquisa sobre a idade dos alunos da faculdade foi realizada com base numa amostra de 100 indivíduos: Faixa etária f 
	Idade dos alunos
	17|- 22
	22|- 27
	27|- 32
	32|- 37
	37|- 42
	Σ
	N° de alunos
	32
	41
	15
	7
	5
	100
a) Calcule a idade média aritmética 
b) Calcule o desvio padrão e o coeficiente de variação.
	PROBABILIDADE
O estudo da probabilidade vem da necessidade de em certas situações, prevermos a possibilidade de ocorrência de determinados fatos.
Ao começarmos o estudo da probabilidade, normalmente a primeira ideia que nos vem à mente é a da sua utilização em jogos, mas podemos utilizá-lo em muitas outras áreas. Um bom exemplo é na área comercial, onde um site de comércio eletrônico pode dela se utilizar, para prever a possibilidade de fraude por parte de um possível comprador.
Para iniciarmos o estudo da probabilidade, vamos a seguir definir alguns conceitos importantes sobre a matéria.
Experimento Aleatório
Se lançarmos uma moeda ao chão para observarmos a face que ficou para cima, o resultado é imprevisível, pois tanto pode dar cara, quanto pode dar coroa.
Se ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o resultado será mais imprevisível ainda, pois aumentamos o número de possibilidades de resultado.
Os experimentos como estes, ocorrendo nas mesmas condições ou em condições semelhantes, que podem apresentar resultados diferentes a cada ocorrência, damos o nome de experimentos aleatórios.
Espaço Amostral
Ao lançarmos uma moeda não sabemos qual será a face que ficará para cima, no entanto podemos afirmar com toda certeza que ou será cara, ou será coroa, pois uma moeda só possui estas duas faces. Neste exemplo, ao conjunto { cara, coroa } damos o nome de espaço amostral, pois ele é o conjunto de todos os resultados possíveis de ocorrer neste experimento.
Representamos um espaço amostral, ou espaço amostral universal como também é chamado, pela letra S. No caso da moeda representamos o seu espaço amostral por:
S = { cara, coroa }
Se novamente ao invés de uma moeda, o objeto a ser lançado for um dado, o espaço amostral será:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Evento
Quando lançamos um dado ou uma moeda, chamamos a ocorrência deste fato de evento. Qualquer subconjunto de um espaço amostral é um evento.
Em relação ao espaço amostral do lançamento de um dado, veja o conjunto a seguir:
A = { 2, 3, 5 }
Note que ( A está contido em S, A é um subconjunto de S ). O conjunto A é a representação do evento do lançamento de um dado, quando temos a face para cima igual a um número primo.
Classificação de Eventos
Podemos classificar os eventos por vários tipos. Vejamos alguns deles:
Evento Simples
Classificamos assim os eventos que são formados por um único elemento do espaço amostral.
A = { 5 } é a representação de um evento simples do lançamento de um dado cuja face para cima é divisível por 5. Nenhuma das outras possibilidades são divisíveis por 5.
Evento Certo
Ao lançarmos um dado é certo que a face que ficará para cima, terá um número divisor de 720. Este é um evento certo, pois 720 = 6! = 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1, obviamente qualquer um dos números da face de um dado é um divisor de 720, pois 720 é o produto de todos eles.
O conjunto A = { 2, 3, 5, 6, 4, 1 } representa um evento certo pois ele possui todos os elementos do espaço amostral S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }.
Evento Impossível
No lançamento conjunto de dois dados qual é a possibilidade de a soma dos números contidos nas duas faces para cima, ser igual a 15?
Este é um evento impossível, pois o valor máximo que podemos obter é igual a doze. Podemos representá-lo por , ou ainda por A = {}.
Evento União
Seja A = { 1, 3 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, ímpar e menor ou igual a 3 e B = { 3, 5 }, o evento de ocorrência da face superior, ímpar e maior ou igual a 3, então C = { 1, 3, 5 } representa o evento de ocorrência da face superior ímpar, que é a união dos conjuntos A e B, ou seja, .
Note que o evento C contém todos os elementos de A e B.
Evento Intersecção
Seja A = { 2, 4 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, par e menor ou igual a 4 e B = { 4, 6 }, o evento de ocorrência da face superior, par e maior ou igual a 4, então C = { 4 } representa o evento de ocorrência da face superior par, que é a intersecção dos conjuntos A e B, ou seja, .
Veja que o evento C contém apenas os elementos comuns a A e B.
Eventos Mutuamente exclusivos
Seja A = { 1, 2, 3, 6 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número divisor de 6 e B = { 5 }, o evento de ocorrência da face superior, um divisor de 5, os eventos A e B são mutuamente exclusivos, pois , isto é, os eventos não possuem elementos em comum.
Evento Complementar
Seja A = { 1, 3, 5 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número ímpar, o seu evento complementar é A = { 2, 4, 6 } o evento de ocorrência da face superior no lançamento de um dado, um número par. 
Os elementos de A são todos os elementos do espaço amostral S que não estão contidos em A, então temos que A = S - A e ainda que S = A + A.
Probabilidade de Ocorrência de um Evento
Os três irmãos Pedro, João e Luís foram brincar na rua. Supondo-se que as condições de retorno para casa são as mesmas para cada um deles, qual é a probabilidade de Luís voltar para casa primeiro?
Como 3 é o número total de irmãos, então Luís tem 1 chance em 3 de voltar para casa primeiro, por isto a probabilidade de Luís voltar para casa antes dos seus irmãos é igual a 1/3.
Definição
A probabilidade de um evento ocorrer (Luís voltar para casa primeiro) considerando-se um espaço amostral (Pedro, João e Luís) é igual a razão do número de elementos do evento (1, apenas Luís) para o número de elementos do espaço amostral (3, o número de irmãos que foram brincar na rua), desde que espaço o amostral seja um conjunto equiprovável, ou seja, todos os seus elementos tenham a mesma possibilidade de ocorrer (as condições de retorno para casa são as mesmas para os três irmãos).
Sendo E um evento, n(E) o seu número de elementos, S o espaço amostral não vazio e n(S) a quantidade de elementos do mesmo, temos que a probabilidade de E ocorrer é igual a:
, sendo n(S)≠0.
A probabilidade é um número entre zero e um, inclusive, o que significa que no mínimo não a nenhuma hipótese do evento acontecer e no máximo o evento sempre ocorrerá:
0 ≤ P(E) ≤ 1
Normalmente representamos probabilidades através de frações, mas também podemos representá-las por números decimais, ou até mesmo por porcentagens.
Exemplos
A) Um dado é lançado. Qual é a probabilidade de obtermos um número divisor de 6?
Como vimos acima, o espaço amostral do lançamento de um dado é:
S = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 }
Como estamos interessados apenas nos resultados divisores de 6, o evento E é representado por:
E = { 1, 2, 3, 6 }
Então n(E) = 4 e n(S) = 6, portanto:
Podemos também apresentar o resultado na forma de uma porcentagem:
A probabilidade de se obter um número divisor de 6 é 2/3 ou 66,67%.
B)Uma moeda é lançada 4 vezes. Qual é a probabilidade de obtermos ao menos uma coroa?
Recorrendo ao princípio fundamental da contagem podemos calcular o número de elementos do espaço amostral deste exemplo:
n(S) = 2 . 2 . 2 . 2 = 16
Agora precisamos saber o número de elementos do evento E, referente a quatro lançamentos de uma moeda, quando obtemos ao menos uma coroa.
Lembra-se do evento complementar explicado acima? Sabendo quantos são os resultados que não apresentam nenhuma coroa, ele nos permite descobrir o número dos que possuem ao menos uma.
E quantos são os eventos que não possuem nenhuma coroa? Apenas o evento E = { cara, cara, cara, cara }, ou seja, apenas 1. Como o número total de eventos é 16 e 1 deles não apresenta qualquer coroa,então os outros 15 apresentam ao menos uma. Então:
Na forma de porcentagem temos:
A probabilidade de obtermos ao menos uma coroa é 15/16, 0,9375 ou 93,75%.
LISTA DE EXERCÍCIOS
1) Uma bola será retirada de uma sacola contendo 5 bolas verdes e 7 bolas amarelas. Qual a probabilidade desta bola ser verde? 
Neste exercício o espaço amostral possui 12 elementos, que é o número total de bolas, portanto a probabilidade de ser retirada uma bola verde está na razão de 5 para 12.
Sendo S o espaço amostral e E o evento da retirada de uma bola verde, matematicamente podemos representar a resolução assim:
A probabilidade desta bola ser verde é 5/12
2) Três moedas são lançadas ao mesmo tempo. Qual é a probabilidade de as três moedas caírem com a mesma face para cima? 
Através do princípio fundamental da contagem podemos determinar o número total de agrupamentos ao lançarmos três moedas.
Como cada moeda pode produzir dois resultados distintos, três moedas irão produzir 2 . 2 . 2 resultados distintos, ou seja, poderão produzir 8 resultados distintos. Este é o nosso espaço amostral.
Dentre as 8 possibilidades do espaço amostral, o evento que representa todas as moedas com a mesma face para cima possui apenas 2 possibilidades, ou tudo cara ou tudo coroa, então a probabilidade será dada por:
A probabilidade das três moedas caírem com a mesma face para cima é igual a 1/4, ou 0,25, ou ainda 25%.
3) Um casal pretende ter filhos. Sabe-se que a cada mês a probabilidade da mulher engravidar é de 20%. Qual é a probabilidade dela vir a engravidar somente no quarto mês de tentativas? 
Sabemos que a probabilidade da mulher engravidar em um mês é de 20%, que na forma decimal é igual a 0,2. A probabilidade dela não conseguir engravidar é igual a 1 - 0,2, ou seja, é igual a 0,8.
Este exercício trata de eventos consecutivos e independentes (pelo menos enquanto ela não engravida), então a probabilidade de que todos eles ocorram, é dado pelo produto de todas as probabilidades individuais. Como a mulher só deve engravidar no quarto mês, então a probabilidade dos três meses anteriores deve ser igual à probabilidade dela não engravidar no mês, logo:
0,1024 multiplicado por 100% é igual a 10,24%.
Então:
A probabilidade de a mulher vir a engravidar somente no quarto mês é de 10,24%.
4) Um credor está à sua procura. A probabilidade de ele encontrá-lo em casa é 0,4. Se ele fizer 5 tentativas, qual a probabilidade do credor lhe encontrar uma vez em casa? 
Ou o credor vai a sua casa e o encontra, ou ele vai e não o encontra, como em cada tentativa estamos tratando de um sucesso ou de um fracasso e não há outra possibilidade, além do fato de a probabilidade ser a mesma em todas as tentativas, vamos resolver o problema utilizando o termo geral do Binômio de Newton:
n é o número de tentativas de encontrá-lo, portanto n = 5.
k é o número de tentativas nas quais ele o encontra, portanto k = 1.
p é a probabilidade de você ser encontrado, logo p = 0,4.
q é a probabilidade de você não ser encontrado, logo q = 1 - 0,4, ou seja, q = 0,6.
Substituindo tais valores na fórmula temos:
O número binomial é assim resolvido:
Então temos:
Assim:
A probabilidade de o credor o encontrar uma vez em casa é igual 0,2592.
5) Em uma caixa há 2 fichas amarelas, 5 fichas azuis e 7 fichas verdes. Se retirarmos uma única ficha, qual a probabilidade dela ser verde ou amarela? 
Na parte teórica vimos que a probabilidade da união de dois eventos pode ser calculada através da fórmula e no caso da intersecção dos eventos ser vazia, isto é, não haver elementos em comum aos dois eventos, podemos simplesmente utilizar .
Ao somarmos a quantidade de fichas obtemos a quantidade 14. Esta quantidade é o número total de elementos do espaço amostral.
Neste exercício os eventos obter ficha verde e obter ficha amarela são mutuamente exclusivos, pois a ocorrência de um impede a ocorrência do outro, não há elementos que fazem parte dos dois eventos. Não há bolas verdes que são também amarelas. Neste caso então podemos utilizar a fórmula:
Note que esta fórmula nada mais é que a soma da probabilidade de cada um dos eventos.
O evento de se obter ficha verde possui 7 elementos e o espaço amostral possui 14 elementos, que é o número total de fichas, então a probabilidade do evento obter ficha verde ocorrer é igual a 7/14:
Analogamente, a probabilidade do evento obter ficha amarela, que possui 2 elementos, é igual a 2/14:
Observe que poderíamos ter simplificado as probabilidades, quando então 7/14 passaria a 1/2 e 2/14 a 1/7, no entanto isto não foi feito, já que para somarmos as duas probabilidades precisamos que elas tenham um denominador comum:
Este exercício foi resolvido através da fórmula da probabilidade da união de dois eventos para que você tivesse um exemplo da utilização da mesma e pudesse aprender quando utilizá-la, mas se você prestar atenção ao enunciado, poderá ver que poderíamos tê-lo resolvido de uma outra forma, que em alguns casos pode tornar a resolução mais rápida. Vejamos:
Note que a probabilidade de se obter ficha azul é 5 em 14, ou seja, 5/14. Então a probabilidade de não se obter ficha azul é 9 em 14, pois:
O 1 que aparece na expressão acima se refere à probabilidade do espaço amostral.
Note que utilizamos o conceito de evento complementar, pois se não tivermos uma ficha azul, só poderemos ter uma ficha verde ou uma ficha amarela, pois não há outra opção.
A probabilidade de ela ser verde ou amarela é 9/14.
6) Alguns amigos estão em uma lanchonete. Sobre a mesa há duas travessas. Em uma delas há 3 pastéis e 5 coxinhas. Na outra há 2 coxinhas e 4 pastéis. Se ao acaso alguém escolher uma destas travessas e também ao acaso pegar um dos salgados, qual a probabilidade de se ter pegado um pastel? 
A probabilidade de escolhermos 1 dentre 2 travessas é igual 1/2.
A probabilidade de escolhermos um pastel na primeira travessa é 3 em 8, ou seja, é 3/8 e como a probabilidade de escolhermos a primeira travessa é 1/2, temos:
A probabilidade de escolhermos um pastel na segunda travessa é 4 em 6, isto é 4/6 e como a probabilidade de escolhermos a segunda travessa é igual a 1/2, temos:
Então a probabilidade de escolhermos um pastel é igual a:
A probabilidade de se ter pegado um pastel é 25/48.
7) O jogo de dominó é composto de peças retangulares formadas pela junção de dois quadrados. Em cada quadrado há a indicação de um número, representado por certa quantidade de bolinhas, que variam de nenhuma a seis. O número total de combinações possíveis é de 28 peças. Se pegarmos uma peça qualquer, qual a probabilidade dela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face? 
Chamemos de A o evento da ocorrência de um 3:
A = { (0, 3), (1, 3), (2, 3), (3, 3), (4, 3), (5, 3), (6, 3) }
Chamemos de B o evento da ocorrência de um 4:
B = { (4, 0), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6) }
Veja que o elemento (4, 3) integra os dois eventos, logo .
Calculando as probabilidades de A, B e da intersecção, temos:
Finalmente para o cálculo da probabilidade desejada vamos utilizar a fórmula da probabilidade da união de dois eventos:
Repare que 13 é o número total de peças que possuem 3 ou 4, desconsiderando-se a ocorrência que se repete (o (4 ,3) da intersecção dos dois eventos).
A probabilidade de ela possuir ao menos um 3 ou 4 na sua face é 13/28.
8) Em uma caixa há 4 bolas verdes, 4 azuis, 4 vermelhas e 4 brancas. Se tirarmos sem reposição 4 bolas desta caixa, uma a uma, qual a probabilidade de tirarmos nesta ordem bolas nas cores verde, azul, vermelha e branca? 
No evento E1 a probabilidade de tirarmos uma bola verde é de 4 em 16:
Como não há reposição, a cada retirada o número de elementos do espaço amostral diminui em uma unidade.
No evento E2 a probabilidade de tirarmos uma bola azul é de 4 em 15:
No evento E3 a probabilidade de tirarmos uma bola vermelha éde 4 em 14:
No evento E4 a probabilidade de tirarmos uma bola branca é de 4 em 13:
Finalmente a probabilidade de tirarmos as bolas conforme as restrições do enunciado é:
A probabilidade é 8/1365.
9) Em uma escola de idiomas com 2000 alunos, 500 alunos fazem o curso de inglês, 300 fazem o curso de espanhol e 200 cursam ambos os cursos. Selecionando-se um estudante do curso de inglês, qual a probabilidade dele também estar cursando o curso de espanhol? 
Chamemos de A o evento que representa o curso de espanhol e B o evento que representa o curso de inglês.
Podemos calcular a probabilidade de ocorrer A tendo ocorrido B através da fórmula:
Segundo o enunciado e , então:
Note que no caso da probabilidade condicional, ao invés de calcularmos a probabilidade em função do número de elementos do espaço amostral, a calculamos em função do número de elementos do evento que já ocorreu.
A probabilidade do aluno também estar cursando o curso de espanhol é 2/5.
10) De uma sacola contendo 15 bolas numeradas de 1 a 15 retira-se uma bola. Qual é a probabilidade desta bola ser divisível por 3 ou divisível por 4? 
11) Num saco existem 10 bolas numeradas de 1 a 10. Um indivíduo vai tirar uma bola à sorte. Calcule a probabilidade do número da bola ser:
(a) o número 7;
(b) um número par;
(c) um número maior que 10;
(d) um número menor que 4;
(e) um número natural menor que 11;
(f) não sair divisor de 10.
12) Cartas.
Estas cartas são baralhadas e voltadas para baixo. O Carlos fecha os olhos e tira uma carta à sorte.
Calcule a probabilidade de sair:
(a) um ás;
(b) valete ou rei;
(c) não sair dama;
(d) sair carta vermelha.
13) Um estojo contém esferográficas de três cores diferentes: azul, vermelho e verde.
Sabendo que:
P ("sair azul") = 0,6
P ("sair vermelho") = 0,3
P ("sair verde") = 0,1
e que no estojo há 40 esferográficas, determina quantas esferográficas há de cada cor.
14) Totoloto.
Dentro de uma tômbola estão 49 bolas numeradas de 1 a 49.
Para preencher uma aposta no seu boletim do totoloto o Eng. Barros começa por fazer girar a tômbola para misturar bem as bolas.
Em seguida, fez seis extrações sucessivas, sem repor nenhuma. Qual é a probabilidade:
(a) da primeira bola ter o número 32;
(b) da segunda bola ter o número 12, se a primeira bola tinha o número 40;
(c) da terceira bola ter o número 27, se a primeira bola tinha o número 44 e a segunda bola o número 27?
15) 
Cada um destes sacos contém bolas numeradas de 1 a 7. A experiência consiste em tirar simultaneamente e ao acaso uma bola de cada saco e anotar a soma dos números inscritos nas duas bolas.
Qual a probabilidade da soma ser:
a) 10;
b) menor que 5;
c) maior do que 14;
d) maior ou igual a 2;
e) um número par.
16) O Pancrácio lançou ao acaso e simultaneamente três moedas perfeitas. Calcula a probabilidade de ocorrerem os seguintes acontecimentos:
a) A: "saída de três caras";
b) B: "saída de duas caras e um escudo";
c) C: "saída de uma só cara";
d) D: "saída de pelo menos um escudo".
17) Num aquário estão 20 peixinhos, 5 dos quais são fêmeas. Tiramos um peixinho ao acaso. Qual a probabilidade de sair:
a) uma fêmea?
b) um macho?
c) uma fêmea ou um macho?
d) não ser fêmea nem macho?
18) A turma dos Gémeos. Há 28 alunos numa turma incluindo 2 pares de Gémeos. Qual é a probabilidade de um aluno escolhido ao acaso ser um dos gémeos?
19) Escolhe-se, ao acaso, uma das letras da palavra
O T O R R I N O L A R I N G O L O G I S T A
sendo igualmente provável que saia qualquer uma delas.
a) Qual é a probabilidade de sair uma letra T?
b) Qual a letra do alfabeto que tem maior probabilidade de sair? Qual é essa probabilidade?
c) Qual a probabilidade de sair uma vogal?
20) Existem três urnas que contém bolas iguais, azuis e verdes, segundo o esquema:
Escolhendo ao acaso uma urna é retirada dessa urna, ao acaso, uma bola.
Qual a probabilidade de sair azul?
21) Numa certa empresa, os funcionários desenvolvem uma jornada de trabalho, em termos de horas diárias trabalhadas, de acordo com o gráfico: Dia da semana 2ª, 3ª, 4ª, 5ª, 6ª. 
Em média, quantas horas eles trabalham por dia durante uma semana? 
22) O gráfico a seguir representa o número de pacientes atendidos mês a mês, em um ambulatório, durante o período de 6 meses de determinado ano. 
Calcule a média mensal de pacientes atendidos no período considerado. 
23) Observe o demonstrativo do consumo de energia elétrica: Para conhecimento, demonstramos a seguir a evolução do consumo de energia elétrica nos últimos meses. 
Considere que o consumo médio, de agosto/98 a dezembro/98, foi igual ao que ocorreu de janeiro/99 a abril/99. O consumo no mês de abril de 99, em kWh, foi igual a: 
24) Neste gráfico de barras está representada a evolução da população residente portuguesa ao longo dos anos, segundo os dados estatísticos obtidos nos recenseamentos.
a) Qual o valor aproximado da população residente em Portugal no ano de 1989?
b) Qual ou quais o(s) ano(s) em que a população residente em Portugal foi igual a 10 milhões?
c) A partir de que anos os portugueses residentes passam a ser mais de 10 milhões?
d) Qual parece ser a evolução nos próximos anos?
25) A Raquel fez um inquérito para a disciplina de Estudo Acompanhado sobre quantas horas os colegas estudavam por dia. Obteve o histograma seguinte: 
a) Quantas classes formou a Raquel?
b) Com que amplitude?
c) Em que intervalo se encontra a resposta mais frequente?
d) Qual a percentagem de alunos que estuda no máximo 6 horas?
e) Há alunos que estudam mais do que meio dia?
26) A Ana resolveu perguntar aos seus amigos e colegas qual era a estação do ano que eles preferiam. Após 180 questionários e a organização dos dados, obteve um gráfico circular. Os números correspondem à amplitude dos ângulos ao centro.
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a) Qual foi a percentagem de pessoas que responderam que gostavam mais da Primavera?
b) Quantos responderam que gostavam mais do Inverno?
c) Qual foi a moda? A quantas pessoas corresponde?
d) Qual foi a estação menos escolhida?
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27) Fez-se um inquérito a um grupo de jovens sobre as idas ao cinema no último mês e os resultados estão sintetizados no seguinte gráfico:
a) Qual a percentagem de jovens que foi, no máximo, duas vezes ao cinema?
b) Indique a moda.
c) mediana
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Gráfico 1
Gráfico2�
Bibliografia:
Curso de Matemática – Volume Único
 Autores: Bianchini&Paccola – Ed. Moderna
Matemática Fundamental - Volume Único
 Autores: Giovanni/Bonjorno&Givanni Jr. – Ed. FTD
Contexto&Aplicações – Volume Único
 Autor: Luiz Roberto Dante – Ed. Ática
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