Módulo e Função Modular

Prévia do material em texto

Cap´ıtulo 3
Mo´dulo e Func¸a˜o Mo´dular
A func¸a˜o modular e´ uma func¸a˜o que apresenta o mo´dulo na sua lei de formac¸a˜o. No
entanto, antes de falarmos sobre func¸o˜es modulares devemos definir o conceito de mo´dulo,
tambe´m conhecido como valor absoluto.
3.1 Mo´dulo de um nu´mero real
Definic¸a˜o 3.1: Seja x um nu´mero real. O mo´dulo de x, denotado por |x|, e´ definido como:
|x| =
{
x se x ≥ 0
−x se x < 0 (3.1)
Exemplo 3.1: Velamos alguns exemplos:
1. |5| = 5
2. | − 5| = 5
3. |0| = 0
4. | − 0, 2| = 0, 2
5. |√8| = √8
6. | − pi| = pi
Interpretamos geometricamente o mo´dulo de um nu´mero real x, na reta, como sendo a
distaˆncia entre o ponto x e a origem. Em outras palavras, |x| corresponde a` distaˆncia do
ponto x ao ponto 0.
1. Se x ≥ 0 enta˜o:
|x| = x
0 x
2. Se x < 0 enta˜o:
|x| = −x
0x
18
Como as distaˆncias sa˜o sempre positivas ou 0, enta˜o e´ fa´cil ver que
|x| ≥ 0.
Esta interpretac¸a˜o como distaˆncia sera´ de grande ajuda para que possamos envergar
intuitivamente o significado de algumas propriedades envolvendo mo´dulo, como por exemplo,
as seguintes
1. |x| = 0⇔ x = 0
2. |x| = |−x|
3. |x| ≥ x
as quais decorrem imediatamente da Definic¸a˜o 3.1, para qualquer x ∈ IR.
Exemplo 3.2: Resolva as seguintes equac¸o˜es:
1. |2x+ 1| = 5
2. |9x+ 2| = −3
Soluc¸a˜o:
1. De |2x+ 1| = 5 temos, pela Definic¸a˜o 3.1, que:
|2x+ 1| = 2x+ 1 ou |2x+ 1| = −(2x+ 1)
ou seja
2x+ 1 = 5 ou − (2x+ 1) = 5
Portanto,
x = 2 ou x = −3
Logo o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ S = {−3, 2}.
2. Observe que na˜o existe x ∈ IR tal que |9x+ 2| = −3, pois, mo´dulo e´ sempre positivo e
na˜o podemos ter |9x+ 2| < 0. Portanto, o conjunto soluc¸a˜o da equac¸a˜o e´ S = ∅.
Proposic¸a˜o 3.1: Quaisquer que sejam os nu´meros reais a, b e x, tem-se:
1. |x|2 = |x2| = x2;
2. |ab| = |a| |b|;
3. |a+ b| ≤ |a|+ |b|( Desigualdade Triangular );
4. Se a > 0, |x| ≤ a ⇔ −a ≤ x ≤ a;
5. |x| = √x2;
19
6. |a| − |b| ≤ ||a| − |b|| ≤ |a− b|;
7. |a− b| ≤ |a− x|+ |x− b|.
Demonstrac¸a˜o:
1. Sendo x2 ≥ 0,∀x ∈ IR, temos que: ∣∣x2∣∣ = x2,
pela definic¸a˜o de mo´dulo. Resta mostrar que
|x|2 = x2.
Se x ≥ 0, temos
|x| = x
e, portanto,
|x|2 = x2.
Se x < 0,
|x| = −x
e, portanto,
|x|2 = (−x)2 = x2.
2. Do item 1 temos que:
|ab|2 = (ab)2 = a2b2 = |a|2 |b|2 ,
ou seja,
|ab| = |a| |b| .
3. Provaremos, agora, a chamada desigualdade triangular e na sua prova faremos uso
do fato
|x| ≥ x,∀x ∈ IR.
Temos
|a+ b|2 = (a+ b)2 = a2 + b2 + 2ab ≤ |a|2 + |b|2 + 2 |a| |b| = (|a|+ |b|)2.
Ou seja,
|a+ b|2 ≤ (|a|+ |b|)2,
donde obtemos
|a+ b| ≤ |a|+ |b| .
20
4. Suponhamos que |x| ≤ a. Se x ≥ 0, temos
x = |x| ≤ a.
Sendo x ≥ 0, e´ claro que x ≥ −a, de modo que, neste caso,
−a ≤ x ≤ a.
Se x ≤ 0, enta˜o x ≤ a e
−x = |x| ≤ a.
Mas −x ≤ a e´ equivalente a x ≥ −a, de modo que
−a ≤ x ≤ a.
Portanto, provamos que
|x| ≤ a ⇒ −a ≤ x ≤ a.
Para provarmos a rec´ıproca, tambe´m distiguiremos os casos x ≥ 0 e x < 0. Suponhamos
que
−a ≤ x ≤ a.
Esta dupla desigualdade pode ser desdobrada em
x ≤ a e x ≥ −a.
Se x ≥ 0, |x| = x e a primeira desigualdade nos da´
|x| ≤ a.
Se x < 0, |x| = −x e, da segunda desigualdade, temos
|x| ≤ a.
Logo,
−a ≤ x ≤ a ⇒ |x| ≤ a.
Geometricamente,
x
−a 0 a
21
5. Antes de provarmos esta parte, faremos uma observac¸a˜o sobre o s´ıbolo
√
x, sendo x
um nu´mero real positivo. E´ comum usar
√
x para indicar uma das raizes de x, sem
especificar qual dela, ou seja, colocar
√
x2 = x.
Tal notac¸a˜o pode conduzir a uma contradic¸a˜o, vejamos:
Usando a fo´rmula
√
x2 = x, temos
√
32 = 3 e
√
(−3)2 = −3.
Mas √
32 =
√
(−3)2 =
√
9.
Logo,
3 = −3 (absurdo?!?!)
Para evitar este fato usaremos, sistematicamente, o s´ımbolo
√
x para indicar a raiz
quadrada positiva de x. A raiz quadrada negativa de x sera´ indicada por −√x. Assim
especificado, temos que:√
x2 e´ a raiz quadrada positiva de x2, isto e´, e´ o nu´mero positivo cujo quadrado
e´ x2 e o nu´mero |x| satisfaz tais condic¸o˜es, ou seja,
|x| ≥ 0 e |x|2 = x2.
Logo, √
x2 = |x| .
6. Em virtude da desigualdade triangular, temos
|a| = |(a− b) + b| ≤ |a− b|+ |b| ,
o que no´s da´
|a| − |b| ≤ |a− b| . (I)
Pelo mesmo motivo, temos
|b| − |a| ≤ |b− a| .
Ora, e´ evidente que
|a− b| = |b− a| .
Consequentemente
|b| − |a| ≤ |a− b| ou |a− b| ≥ −(|a| − |b|). (II)
22
De (I) e (II) e do item 4 conclu´ımos que
||a| − |b|| ≤ |a− b| .
A outra desigualdade, e´ o´bvia, e deixamos a cargo do leitor.
7. Esta u´ltima afirmac¸a˜o resulta, tambe´m da aplicc¸a˜o da desigualdade triangular a` soma
a− b = (a− x) + (x− b), pois,
|a− b| = |(a− x) + (x− b)| ≤ |a− x|+ |x− b| ,
ou melhor,
|a− b| ≤ |a− x|+ |x− b| .
Como queriamos demonstrar.
Corola´rio 3.2: Dado um nu´mero real positivo a, qualquer que seja o nu´mero real x, temos:
|x| ≥ a ⇔ x ≥ a ou x ≤ −a.
Geometricamente,
x x
−a 0 a
Demonstrac¸a˜o:
Seja |x| ≥ a. Suponhamos que exista um nu´mero real x que na˜o satisfaz a condic¸a˜o
x ≥ a ou x ≤ −a.
Mas x na˜o satisfaz esta u´ltima condic¸a˜o se, e somente se,
−a < x < a
o que, pelo item 4 da proposic¸a˜o 1.2, e´ equivalente a
|x| < a
contradizendo nossa hipo´tese.
Reciprocamente, se
x ≥ a ou x ≤ −a
enta˜o
|x| ≥ a.
23
De fato, x na˜o satisfaz a condic¸a˜o
|x| ≥ a
se, e somente se, x satisfaz a condic¸a˜o
|x| < a
novamente, pelo item 4 da proposic¸a˜o 1.2, |x| < a e´ equivalente a
−a < x < a,
o que nos a uma contradic¸a˜o da hipo´tese
x ≥ a ou x ≤ −a.
Portanto, esta demonstrado o corola´rio.
Corola´rio 3.3: Dados a, b, x ∈ IR, tem-se
|x− a| ≤ b
se, e somente se,
a− b ≤ x ≤ a+ b.
Demonstrac¸a˜o:
Com efeito, pelo item 4 da proposic¸a˜o 1.2, |x− a| ≤ b e´ equivalente a
−b ≤ x− a ≤ b.
Somando a a ambos os membros dessa desigualdade obtemos o resultado desejado, ou seja,
a− b ≤ x ≤ a+ b.
Nota 3.1:
Todas as afirmac¸o˜es da proposic¸a˜o 1.2 e de seus corola´rios sa˜o ainda verdadeiras com <
em lugar de ≤ e > em lugar de ≥, como se verifica facilmente.
Exemplo 3.3: Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
1. |x| < 3
2. |x| > 4
3. |2x− 5| < 3
4. |6− 2x| ≥ 7
Soluc¸a˜o:
1. Pela Proposic¸a˜o 3.1, item 4, temos que: |x| < 3 ⇔ −3 ≤ x ≤ 3.
2. Pelo Corola´rio 3.2 temos que: |x| > 4 ⇔ x < −4 ou x > 4.
24
3. |2x− 5| < 3 ⇔ −3 < 2x− 5 < 3 ⇔ 2 < 2x < 8 ⇔ 1 < x < 4.
4. |6− 2x| ≥ 7 ⇔ 6− 2x ≥ 7 ou 6− 2x ≥ −7 ⇔ x ≤ −1
2
ou x ≥ 13
2
.
Exerc´ıcios 3.1: Resolva as seguintes equac¸o˜es e inequac¸o˜es:
1. |5x+ 4| ≥ 4
2. |2x+ 1| = 3
3. |x+ 2| < 3
4. |x− 1| ≤ 1
5. |3x+ 1| < 2
6.
1
|x+ 1| <
1
2
7. |x2 + 1| < 3
8. |(x+ 1)(x− 2)| ≥ 2
9. |x− 4| = |2x− 3|
10. |4− 3x| > 0
11. |x2 − 3x| ≤ 1
12. 2 + |3x− 6| = 8
13. 3|x|2 − |x| − 2 = 0
14. |1− x| = 1− x
Exerc´ıcios 3.2: Sejam x, y ∈ IR, com y 6= 0.
1. Mostre que ∣∣∣∣1y
∣∣∣∣ = 1|y|
2. Usando o item anterior e a Proposic¸a˜o 3.1, mostre que∣∣∣∣xy
∣∣∣∣ = |x||y|
Exerc´ıcios 3.3: Resolva as seguintes inequac¸o˜es:
1.
|x+ 1|
|2x− 1| ≤ 2
2.
|x+ 1|
|x− 1| <
1
2
25
3.2 Func¸a˜o modular
Dependendo dos valores de x uma func¸a˜o f(x) pode ser definida por duas ou mais sen-
tenc¸as. Vejamos um exemplo:
Seja a func¸a˜o g : IR+ → IR dada por g(x) = x2.
O domı´nio dessa func¸a˜o e´ formado pelos reais na˜o-negativos. Ao desenhar seu gra´fico,
tem-se apenas um pedac¸o da para´bola.
Agora considere a func¸a˜o h : IR∗− → IR dada por h(x) = −x− 2.
O domı´nio dessa func¸a˜o e´ formado pelos reais negativos. Ao desenhar seu gra´fico, tem-se
apenas um pedac¸o da reta.
26
As duas func¸o˜es g(x) e h(x) podem ser reunidas numa u´nica func¸a˜o da seguinte forma:
f(x) =
{
x2 se x ≥ 0
x− 2 se x < 0
Definic¸a˜o 3.2: Seja g(x) uma func¸a˜o real. Definimos uma func¸a˜o modular como sendo a
func¸a˜of : IR → IR
x 7→ |g(x)|
Em outras palavras, chamamos de func¸a˜o modular uma func¸a˜o que e´ colocada dentro de um
mo´dulo, ou seja, a func¸a˜o
f(x) = |g(x)|.
Observe que pela Definic¸a˜o 3.1 de mo´dulo, tal func¸a˜o pode ser substitu´ıda por uma func¸a˜o
definida por duas sentenc¸as, as quais sa˜o equivalentes a` func¸a˜o anterior:
f(x) =

g(x) se g(x) ≥ 0
−g(x) se g(x) < 0
Exemplo 3.4: Segue alguns exemplos de func¸o˜es modulares.
1. f(x) = |x|
2. f(x) = |x2 − 3x|
3. f(x) =
1
|y|
4. f(x) = |x+ 3|
5. f(x) = | − x|
6. f(x) =
∣∣∣∣x+ 1x+ 2
∣∣∣∣
27
Exemplo 3.5: As func¸o˜es do Exemplo anterior podem ser escritas como uma func¸a˜o definida
por duas sentenc¸as.
1. f(x) =

x, se x ≥ 0
−x, se x < 0
2. f(x) =

x2 − 3x, se x2 − 3x ≥ 0
−(x2 − 3x), se x2 − 3x < 0
3. f(x) =

1
|y| , se y > 0
1
|y| , se y < 0
4. f(x) =

x+ 3, se x+ 3 ≥ 0
−(x+ 3), se x+ 3 < 0
5. f(x) =

−x, se x ≥ 0
x, se x < 0
6. f(x) =

x+ 1
x+ 2
, se
x+ 1
x+ 2
≥ 0
−
(
x+ 1
x+ 2
)
, se
x+ 1
x+ 2
< 0
Exemplo 3.6: Fazendo o estudo de sinais podemos reescrever as func¸o˜es apresentadas nos
itens 2, 4 e 6, do Exemplo 3.5, como:
1. f(x) =

x2 − 3x, se x ≤ 0 ou x ≥ 3
−(x2 − 3x), se 0 < x < 3
2. f(x) =

x+ 3, se x ≥ −3
−(x+ 3), se x < −3
3. f(x) =

x+ 1
x+ 2
, se x < −2 ou x ≥ −1
−
(
x+ 1
x+ 2
)
, se −2 < x < −1
Exerc´ıcios 3.4: Escreva as seguintes func¸o˜es modulares como uma func¸a˜o de duas sentenc¸as,
tal como apresentado no Exemplo 3.6.
1. f(x) = |x2 − 4|
2. f(x) = |x| − 1
3. f(x) = |x2 + 4x|
4. f(x) = |4− x2|
5. f(x) = |2x− 1|
6. |x2 + 4x+ 3| − 1
7. f(x) = |x− 1|
8. f(x) = |2x+ 3|
9. f(x) = |2x− 1| − 2
10. f(x) = |3x+ 4|+ 1
11. f(x) = |x| − 3
12. ||2x− 2| − 4|
28
3.2.1 Gra´fico da func¸a˜o modular
Com o objetivo de esclarecer melhor, vamos construir o gra´fico da func¸a˜o f(x) = | − x|.
Primeiramente, antes de construir o gra´fico da func¸a˜o pedida, vamos analisar o gra´fico
da func¸a˜o acima sem a utilizac¸a˜o do mo´dulo na sua lei de formac¸a˜o, ou seja, vamos fazer o
gra´fico de g(x) = −x.
O mo´dulo presente na lei da func¸a˜o faz com que a parte do gra´fico que se localiza abaixo
do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Mas por queˆ? Simples, a parte do
gra´fico abaixo do eixo x representa os valores negativos de f(x) e, como o mo´dulo de um
nu´mero e´ sempre um valor positivo, o gra´fico de f(x) = | − x| fica:
29
Exemplo 3.7: Construa o gra´fico da func¸a˜o f(x) = |x2 − 4|.
Soluc¸a˜o: Como no exemplo anterior, primeiro vamos construir o gra´fico da func¸a˜o g(x) =
x2 − 4. Para construir o gra´fico de uma func¸a˜o quadra´tica geral
f(x) = ax2 + bx+ c
o qual e´ chamado de para´bola, seguimos os seguintes passos:
1. Econtramos as ra´ızes (zeros) da func¸a˜o, ou seja, resolvemos usando a fo´rmula de Ba´skara
a equac¸a˜o ax2 + bx+ c = 0.
2. Determinamos o ve´rtice da func¸a˜o, o qual e´ dado por(
− b
2a
,−∆
4a
)
onde ∆ = b2 − 4ac.
3. Quando a > 0, a para´bola tem concavidade voltada para cima, e quando a < 0 a
para´bola tem concavidade voltada para baixo. Note que em qualquer um dos casos as
coordenadas de do ve´rtice sa˜o sempre as mesmas.
Sendo assim temos que:
1. x2 − 4 = 0 ⇒ x2 = 4, ou seja, as ra´ızes da equac¸a˜o sa˜o: x = 2 ou x = −2
2. o ve´rtice da para´bola e´: (0,−4)
3. como 1 > 0, temos que a para´bola tem concavidade voltada para cima.
Portanto, o gra´fico de g(x) = x2 − 4 e´ dado por:
30
O mo´dulo presente na lei da func¸a˜o faz com que a parte do gra´fico que se localiza abaixo
do eixo x “reflita” no momento em que toca o eixo x. Sendo assim temos que o gra´fico da
func¸a˜o f(x) = |x2 − 4| e´ dado por:
Exerc´ıcios 3.5: Fac¸a o gra´fico de todas as func¸o˜es modulares apresentadas no Exerc´ıcio 3.4.
31