Relatório Pêndulo de Torção

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UNIVERSIDADE FEDERAL DA BAHIA 
INSTITUTO DE FÍSICA – DEPARTAMENTO DE FÍSICA GERAL 
FÍSICA GERAL E EXPERIMENTAL II 
 
 
 
Deborah Santos, Letícia Rodrigues, Pedro Araújo e Érica Bispo 
 
 
 
 
 
 
RELATÓRIO – PÊNDULO DE TORÇÃO 
 
Trabalho realizado para a disciplina de Física 
Geral e Experimental II do departamento de física, 
sob a orientação do Professor Tiago Paes, e 
apresentado como forma de avaliação da 
undiade. 
 
 
 
 
 
Salvador 
2016 
2 
 
PÊNDULO DE TORÇÃO 
 
RESUMO 
O experimento realizado trata do estudo do comportamento do pêndulo de torção 
em diversas situações. Mais especificamente observou-se o período de oscilação 
do pêndulo quanto este sofria alterações, como variação do comprimento do fio, 
variação na massa e comprimento do corpo suspenso e variações do momento de 
inércia do mesmo. A partir dos dados coletados pôde-se entender como funciona o 
pêndulo de torção, bem como as suas características. 
O objetivo desse experimento é verificar a dependência entre o período de 
oscilação de um objeto preso à barra com o momento de inércia desse objeto e 
verificar a dependência entre o torque de restituição com a deformação da haste 
que sustenta a barra. 
 
INTRODUÇÃO 
O pêndulo de torção é um sistema físico formado por um corpo suspenso por 
um fio preso a uma plataforma na base superior. Provocando uma rotação do corpo 
em torno do seu eixo vertical, ocorre uma deformação no fio, provocando a ação de 
um torque que tende a restabelecer a condição de equilíbrio do sistema (o torque 
restaurador). Sob a ação desse torque, o sistema passa a descrever um movimento 
oscilatório, com uma freqüência que, como iremos constatar no decorrer do 
experimento, depende das dimensões e material do fio e do momento de inércia do 
corpo. 
O período do pêndulo é determinado pelo momento de inércia (grau de 
dificuldade de um corpo para girar) do sistema, que depende da distância entre as 
massas e o centro da rotação. O momento de inércia I é dado por: 
 
Portanto, para o pêndulo de torção, a frequência angular obedece a equação: 
3 
 
 
Onde I é o momento de inércia e K é dado pela relação: 
 
Onde K depende das características da haste, como o material que ela é feita 
e seu comprimento ‘’C’’. A relação entre a constante de torção e o comprimento da 
haste é que K é inversamente proporcional a C. 
 
PROCEDIMENTO EXPERIMENTAL 
Materiais: 
 Barras cilíndricas de metal 
 Barras retangulares de metal 
 Haste delgada de metal 
 Massas 
 Cronômetro 
 Régua 
 Base, garras e suporte. 
 
Procedimento: 
Foi utilizado o sistema pêndulo de torção ilustrado na figura abaixo composto de um 
suporte, base, duas hastes e duas garras. 
 
4 
 
 
Figura 1: Ilustração do pêndulo de torção montado no laboratório. 
Fonte: Guia de laboratório. 
 
 Pesamos as barras cilíndricas com o auxilio de uma balança e medimos seu 
comprimento L e seu raio R com o auxilio de uma régua. Depois prendemos 
a haste pelo seu centro de massa, de forma que ela se mantivesse na 
posição horizontal. Girando a barra levemente em um pequeno ângulo, 
fizemo-la a oscilar e a cada vinte oscilações medimos seu período. 
Registramos todos os dados na tabela e repetimos o procedimento para as 
outras barras cilíndricas. 
 Após, utilizamos a barra metálica retangular. Medimos seu comprimento e 
sua massa e prendemos a na haste pelo seu centro de massa de forma que 
ela se mantivesse na posição horizontal. Medimos também o comprimento 
da haste. 
Utilizamos também as massas M que foram penduradas na barra retangular. 
Mantendo-as a mesma distância d do centro. Fazendo a barra oscilar, 
medimos o período no tempo de dez oscilações. Todos os dados foram 
registrados na tabela. 
 Mudando as posições das massas na barra retangular e mantendo o 
comprimento c da haste foi medido o período no tempo de dez oscilações. O 
procedimento foi realizado para quatro posições diferentes das massas M. 
Depois mantivemos a posição das massas e variamos o comprimento da 
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haste. Medimos o período no tempo de dez oscilações para cinco 
comprimentos diferentes da haste, incluindo seu comprimento original. 
Todos os dados foram registrados na tabela. 
 
 
RESULTADOS E DISCUSSÕES 
 
 
PARTE I – Barras Metálicas de Diferentes Comprimentos e Espessuras 
 
Na Tabela 01 foram registrados os valores do comprimento da haste (C), o 
comprimento das barras metálicas (L), a massa das barras (m), o momento de 
Inércia das barras (I), a frequência (f) e o período (T) de oscilação para cada barra. 
Para reduzir os erros de medida, o período foi calculado a partir do tempo de 
quinze ou vinte oscilações e a amplitude angular (ϕ) de 25 graus para ser possível 
realizar aproximações dos valores de sen ϕ ≈ ϕ. 
Para calcular o momento de Inércia utilizou-se a equação: 
 
 
 
 
Para auxiliar na identificação de cada barra nas discussões do relatório, 
identificou-se com números, cada uma delas, na Tabela 01. 
Tabela 01 – Dados dasBarras Metálicas 
 
C
L (cm ) 20 20 20 30 40
m (g ) 73.5 114.7 276.4 108.2 143.7
I (kg.m² ) 0.0032 0.0057 0.0203 0.0092 0.0209
f (Hz ) 2.86 2.17 1.79 2.13 1.54
T (seg ) 0.35 0.46 0.56 0.47 0.65
Barra 1 2 3 4 5
45,5 cm
6 
 
O Gráfico 01 a seguir mostra a relação entre o quadrado do período (T²) de 
oscilação em função da grandeza m(L² + 3R²). A tabela 02 mostra os valores 
utilizados no gráfico 01. 
Tabela 02 – Dados para o gráfico 01 
 
Para determinação da melhor reta, utilizou-se o método dos mínimos 
quadrados, disponível em mais detalhes no Anexo 01 no final deste relatório. 
Utilizando o método dos mínimos quadrados para os valores de T² e m(L² + 
3R²), temos que a melhor reta terá equação: 
 ; 
representada no gráfico 01 pela linha pontilhada. 
 
Desta relação podemos observar que quanto maior a espessura e 
comprimentos da barra este corpo terá um maior momento de inércia, ou seja, terá 
0,0000
0,0500
0,1000
0,1500
0,2000
0,2500
0,3000
0,3500
0,4000
0,4500
0,0000 0,0500 0,1000 0,1500 0,2000 0,2500 0,3000
T
² 
 
s
e
g
² 
m(L²+3R²) 
kg.m² 
Gráfico 01 - T² em função de m(L²+3R²) 
Grandeza Unidade
m(L²+3R²) kg.m² 0.0385 0.0686 0.1106 0.2433 0.2504
T² seg² 0.1225 0.2116 0.2209 0.3136 0.4225
1 2 4 3 5
Valores
Barra
7 
 
maior resistência ao movimento o que leva essas barras a terem maiores períodos 
de oscilação. 
Nesta parte do experimento, para identificar a influência da haste em que 
foram penduradas as barras, vamos utilizar uma constante K, que é baseada no 
comprimento, espessura da haste. Para encontrá-la utilizaremos a equação: 
 √
 
 
 
Onde ω é a frequência angular, K a constante relacionada a haste e I o 
momento de inércia. 
O K será o mesmo para cada barra utilizada, já que é uma constante. Então 
utilizaremos os valores da barra 1 para calcular o valor de K da haste. 
Dados da barra 1: 
T = 0,35 s 
I = 0,0032 kg.m² 
 
 √
 
 
 
(
 
 
)
 
 (√
 
 
)
 
 
(
 
 
)
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Para a haste utilizada, seu K é 1,03 Nm. 
 
PARTE II – Barra retangular com massas penduradas 
8 
 
 
Na Tabela 03 foram registrados os valores do comprimento da haste (C), o 
comprimento da barra retangular (L), a massa da barra (m), as massas penduradas 
(M), as distâncias de onde estão penduradasas massas até o centro de massa da 
barra retangular (d), o momento de Inércia (I), a frequência (f) e o período (T) de 
oscilação para cada posição das massas. 
Para o cálculo do momento de Inércia (I) utilizou-se a fórmula: 
 
 
 ⁄ 
 
 
Tabela 03 – Dados da barra retangular com massas penduradas 
 
O Gráfico 02, a seguir, mostra a relação do quadrado do período de oscilações 
(T²) em função do quadrado da distância de onde estão penduradas as massas até 
o centro de massa da barra retangular (d²). A tabela 04 mostra os valores utilizados 
na construção do Gráfico 02. 
 
Tabela 04 – Dados do Gráfico 02 
Para determinação da melhor reta, utilizou-se o método dos mínimos 
quadrados, disponível em mais detalhes no Anexo 01 no final deste relatório. 
C L
m M
d (cm) 20 14 9 5 2
I (kg.m² ) 0.0265 0.0148 0.0082 0.0050 0.0038
f (Hz) 0.57 0.73 0.93 1.11 1.23
T (seg) 1.75 1.37 1.08 0.90 0.81
45,5 cm
172.1 g
50 cm
285.9 g
d² (m²) 0.0400 0.0196 0.0081 0.0025 0.0004
T² (s²) 3.06 1.88 1.17 0.81 0.66
9 
 
Utilizando o método dos mínimos quadrados para os valores de T² e d², temos 
que a melhor reta (representada pela linha pontilhada) terá equação: 
 ; 
Da relação expressa no Gráfico 02 podemos observar que quanto mais longe 
as massas estivessem do centro de massa da barra retangular, maiores serão os 
períodos de oscilação. E observando os dados da tabela 03, quanto mais distante 
do centro de massa, maior será também o seu momento de inércia. 
A partir da equação de melhor reta para o gráfico 02 relacionamos as 
grandezas T² e d² para os dados coletados experimentalmente. 
 ; 
Porém, na teoria temos a seguinte fórmula para relacionar o T² e d²: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Rearranjando a equação teórica para o formato T² = a+b(d²), temos: 
 
 
 
 (
 
 
) 
 
 
0,00
0,50
1,00
1,50
2,00
2,50
3,00
3,50
0,0000 0,0100 0,0200 0,0300 0,0400 0,0500
T
² 
 (
s
²)
 
d² (m²) 
Gráfico 02 - T² em função de d² 
a b 
10 
 
Vamos então encontrar valores teóricos para I e M de acordo com os valores 
de a e b, considerando K como o encontrado anteriormente na Parte I deste 
relatório (K=1,03). 
 
Comparando I teórico (It) e I para valores experimentais (Iexp) através do valor de a: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 ⁄ 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o erro relativo temos: 
 
| |
 
 
| |
 
 
 
Comparando M teórico (Mt) e M medido na balança (Mexp) através do valor de 
b: 
 
 (
 
 
 
) 
 
 
 
 
 
 
 
Calculando o erro relativo temos: 
 
| |
 
 
 
| |
 
 
 
 
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Os valores encontrados tiveram erros experimentais muito grandes, após as 
revisões dos cálculos constatamos que esses erros provavelmente foram 
ocasionados por falhas experimentais, como por exemplo, observar as oscilações a 
olho nu para calcular o período. 
 
PARTE III – Variação do tamanho do comprimento da haste com a barra retangular 
com massas penduradas 
 
Na Tabela 05 foram registrados os valores de cada comprimento da haste (C), 
o comprimento da barra retangular (L), a massa da barra (m), as massas 
penduradas (M), a distância de onde estão penduradas as massas até o centro de 
massa da barra retangular (d), o momento de Inércia (I), a frequência (f) e o período 
(T) de oscilação para seis posições diferentes da barra retangular na haste. 
Para o cálculo do momento de Inércia (I) utilizou-se a fórmula: 
 
 
 ⁄ 
 
 
Tabela 05 – Dados da barra retangular para diferentes tamanhos de haste 
 
O Gráfico 03 mostra a relação log-log entre a grandeza T²/I(4π²) e o 
comprimento da haste (C). A tabela 06 contém os valores utilizados para compor o 
gráfico 03. 
Tabela 06 – Dados do gráfico 03 
C (cm) 16.7 23.6 29.0 36.0 40.0 43.9
f (Hz) 0.92 0.80 0.72 0.64 0.64 0.57
T (seg) 1.09 1.25 1.39 1.56 1.57 1.75
L = 50 cm d = 20 cm
m = 172.1 g M = 285.9 g
I = 0.0265 kg.m²
Grandeza Unidade
C cm 16.7 23.6 29.0 36.0 40.0 43.9
T²/I(4π²) s²/kg.m² 1.044 1.197 1.331 1.494 1.503 1.675
Valores
12 
 
 
 
Calculando a equação da melhor reta para os valores da Tabela 06 chegamos 
na seguinte equação: 
 
 
 
Podemos perceber pelo Gráfico 03 que a medida que aumentamos o 
comprimento da haste, a grandeza vai aumentar. Como o momento de inércia na 
grandeza é constante, podemos concluir também que, à medida que aumentamos o 
comprimento da haste, o período de oscilação da barra vai aumentar. 
Como estamos lidando com a haste, vamos novamente calcular a constante K 
(que calculamos na Parte I deste relatório). Para esta parte do experimento, vamos 
encontrar a constante K através da seguinte relação: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Comparando essa relação com a equação da melhor reta calculada para o 
gráfico temos que: 
 
 
 
 
Para o comprimento total da haste C=43,9 temos que K será 0,605 Nm. 
O K na sessão I deste relatório foi 1,03 Nm. O erro experimental pode ser 
calculado como: 
 
| |
 
 
 
| |
 
 
 
Comparando os resultados das duas sessões, podemos observar que tivemos 
diferentes valores e um erro um pouco alto para o experimento, o que significa que 
não se pode observar a constante K. Esse erro pode ter sido ocasionado por falha 
na observação dos períodos de oscilação ou no próprio material, se a barra estava 
perpendicular com a haste, se esses materiais não estavam dobrados ou 
amassados. 
Outra relação possível nesse experimento é a relação do quadrado do período 
(T²) em função do comprimento da haste (C) e da distância de onde pendurou-se as 
massas até o centro de massa da barra metálica. 
Considerando essas duas equações: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
Temos que: 
14 
 
 
 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 
(
 
 
 ) 
 
 
 
 
 
Esta é a função para T² em função de C e d². 
Este experimento poderia ter sido realizado dentro de um trem em movimento 
retilíneo uniforme já que este experimento é realizado completamente independente 
de forças externas, apenas do torque restaurador, como esse torque restaurador 
não é afetado pelo movimento do trem já que o movimento é retilíneo e uniforme, 
este experimento poderia ser realizado num trem. 
O mesmo poderemos pensar para locais com gravidades diferentes como a 
Lua por exemplo, já que a gravidade não altera os resultados do pêndulo de torção, 
este depende apenas do torque restaurador das barras/cilindros. Ao contrário de um 
pêndulo simples, que o movimento depende totalmente do peso 
(consequentemente da gravidade), já que o peso é a força restauradora desse 
sistema, na Lua, o pêndulo simples não teria o mesmo resultado pois sofreria ação 
de uma força restauradora diferente, ou seja, um peso diferente devido a uma 
gravidade diferente. 
Pensando nesse experimento no espaço, também é de se esperar que não 
sofra alterações no resultado, pois o pêndulo de torção depende da força 
restauradora, que causa um torque restaurador com o objetivo de eliminar as 
deformações, e não depende da gravidade, sendo assim no espaço teríamos 
também osmesmos resultados para pêndulo de torção. 
Como o movimento deste pêndulo acontece com o objetivo de eliminar as 
deformações, podemos comparar este experimento ao sistema massa-mola já que 
é outro sistema que independe da gravidade pois também se movimenta através do 
torque restaurador para eliminar as deformações. Sendo assim se quiséssemos 
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comparar um sistema de pêndulo de torção a um sistema de molas paralelas, 
devemos colocar duas hastes paralelas e acoplar a barra nas duas hastes, isso 
aumentaria a força restauradora do sistema assim como num sistema massa-mola 
que colocaríamos duas molas de forma paralela. 
Uma aplicação do pêndulo de Torção foi o experimento de Cavendish, que 
tinha o objetivo de medir a densidade da Terra. Cavendish utilizou uma balança de 
torção, que é um pêndulo com massas associadas nas suas extremidades para 
observar a torção exercida por outro corpo quando aproximado dessas massas, 
através do ângulo de rotação do pêndulo de torção. Outro exemplo de aparelho que 
utiliza os conceitos de pêndulo de torção é o relógio de torção. 
 
CONCLUSÃO 
 
Como já definido por Halliday et al. (2006), o Pêndulo de Torção é um tipo de 
oscilador harmônico simples que leva em conta o ângulo o qual é submetido o fio 
suspenso que carrega algum peso na sua extremidade. Este experimento concluiu 
as atividades em laboratório da unidade, ainda referente ao MHS, voltando a 
enfatizar o uso do método de mínimo quadrado, ajustes de curvas, construção de 
gráficos no papel em escala normal e log-log e comparações. Bem como, neste, 
pudemos analisar que apesar de não termos observado a relação de K, 
observamos que quanto maior for seu valor, maior será o período de oscilação. 
No decorrer do experimento foi possível notar que, dentre todos, foi o mais 
difícil para observação, tendo em vista que, diferente dos outros, os pêndulos não 
oscilavam mais linearmente e sim angularmente, e muitas vezes, submetidos a um 
ângulo muito pequeno, o período era muito baixo para as quantidades de oscilações 
necessárias. Tal dificuldade influenciou de forma significativa os resultados obtidos. 
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Assim, foi possível esclarecer os questionamentos que ainda restavam da 
parte teórica sobre Pendulo de Torção, dando, de fato, a ideia do seu 
funcionamento na prática. E que no nosso dia a dia, quando prendermos alguma 
massa em um fio e ele torcer, ou quando observarmos um relógio com escape de 
pêndulo de disco de torção, já teremos embasamento para compreender aquele 
sistema. 
 
 
REFERÊNCIAS 
 
FÍSICA UNIVERSITÁRIA. Tema 02 - Lei da Gravitação Universal | Aula 04 - A 
experiência de Cavendish. Disponível em: <
 
https://www.youtube.com/watch?v=-
MCqugYv0_g>. Acesso em: 18 de ago. 2016. 
 
HALLIDAY, D.;RESNICK, R.; E WALKER; J. Fundamentos da Física – Vol. 2, 
Gravitação, ondas e termodinâmica. Rio de Janeiro: LTC, 2006. 
 
UFBA. Instituto de Física. Roteiro de Laboratórios para Física Geral e 
Experimental II – Pêndulo de Torção. Disponível em: 
<http://www.fis.ufba.br/laboratorio-2>. Acesso em: 17 de ago. 2016. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
17 
 
ANEXO I – Método dos Mínimos Quadrados 
Para cada utilização do método de mínimos quadrados foram feitos os 
seguintes cálculos com os respectivos valores de cada grandeza: 
Achar a soma dos valores de x: Σxi 
Achar a soma dos valores de y: Σyi 
Achar a soma dos valores de x.y: Σxiyi 
Achar a soma dos valores de x²: Σxi² 
Com esses valores, achar os valores dos coeficientes a e b da equação do 
tipo: 
y=a.x+b 
 Onde: