Prova 1 - EDO - UTFPR PB

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Primeira prova de Equações Diferenciais Ordinárias
Turma Engenharia da Computação
UTFPR*PB (Pato Branco-PR)
Professor: Dr. João Biesdorf
Dia / hora: 07/04/2016 / 18:40-20:20
Responda as questões propostas sem qualquer tipo de consulta. Justifique suas resposta,
descrevendo de forma clara o seu raciocínio. Procure responder só o que cada questão pede.
Não está autorizado o uso de calculadora, de modo que o uso da mesma nesta prova poderá
ser enquadrado como fraude do processo de avaliação.
Boa prova
NOME do Aluno(a)/RA:
1) [1,5 pts] Para cada uma das equações abaixo escreva se é uma equação diferencial ou não.
Em caso afirmativo, diga a ordem da equação e especifique se é equação diferencial ordinária ou
equação diferencial parcial. Se tratando de uma equação diferencial ordinária, diga se é linear
ou não.
a) 2y′′ + y3 = 6:
b) y′ = 5ty:
c) yy′ = t2 + 2:
d) y2x− 2xy + x− c = 0:
e)
∂3y
∂x∂t2
= xt ln(|y|):
2) [2,5 pts] Dada a EDO
dy
dt
−3y = 12, calcule a família de soluções e represente graficamente
7 destas soluções no semiplano ty, t ≥ 0. Destas 7 soluções, 3 devem ser decrescentes e 3
crescentes e uma a solução constante.
3) [2,0 pts] Dada a EDO
dy
dt
+ p(t)y = g(t), assuma (isto você não precisa mostrar) que o
fator integrante µ(t) é dado por µ(t) = exp
(∫
p(t)dt
)
e mostre a família de soluções da EDO
é dada por y(t) =
∫
µ(t)g(t)dt+ c
µ(t)
4) [1,0 pts] Dada a EDO
dy
dx
=
x2 + xy + y2
x2
faça a substituição v(x) = y
x
e mostre que
tal substituição transforma a EDO original em uma EDO separável na variável dependente v e
independente x.
5) [1,5 pts] No instante t = 0, um tanque tem Q0 > 0 de gramas de açúcar disolvidos nos
100 litros de água contidos em seu interior. Suponha que está entrando água no tanque a uma
taxa de k > 0 litros por minuto cuja concentração fixa de açúcar é 5 gramas por litro de água.
Ao mesmo tempo, também à uma taxa de k litros por minuto, está saíndo do tanque a água
bem misturada com o açúcar contido no mesmo. Deduza o Problema de Valor Inicial em termos
de Q0 e k para a quantidade Q(t) de gramas de açúcar que se encontram no tanque no instante
t minutos.
6) [1,5 pts] Encontre uma família de soluções implícitas para a EDO
(3x2y + xy2) + (x3 + x2y)y′ = 0.
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