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14 03 Teoria de conjuntos

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Teoria  de  Conjuntos	
GST1073 - FUNDAMENTOS DE MATEMÁTICA 
AULA 01 
Objetivos	
Todos os ramos da matemática utilizam a noção de 
conjuntos de diversas maneiras diferentes. Sendo 
assim, a noção de conjunto ganha um lugar de 
destaque no ensino da matemática. 
 
As três noções básicas da teoria dos conjuntos são: 
conjunto, elemento e pertinência, as quais 
denominamos noções intuitivas. 
 
•  Descrever e representar conjuntos. 
•  Estabelecer a relação de pertinência ou não entre 
um elemento e um conjunto. 
 
Conceitos  Primitivos  (não-­‐‑definidos)  -­‐‑  
Conjunto  e  Elemento	
A ideia de conjunto é a mesma de coleção. 
a)  Uma coleção de revistas é um conjunto; cada 
revista é um elemento desse conjunto. 
b)  Um time de futebol é um conjunto; cada jogador 
do time é um elemento desse conjunto. 
c)  Os alunos de sua sala de aula formam um 
conjunto; cada aluno é um elemento desse 
conjunto. 
Representação  de  um  
Conjunto  	
Podemos representar os conjuntos de diversas 
maneiras: 
 
•  Representação tabular 
•  Representação através de diagramas de Venn 
•  Representação através de uma propriedade 
característica 
Representação  tabular  	
Podemos representar um conjunto sob forma de 
tabela, escrevendo seus elementos entre chaves { } e 
separados por vírgula. 
 
É usual representarmos os conjuntos por letras 
maiúsculas  A, B, C, D, ... . 
 
Exemplos: 
•  A = {a, e, i, o, u}  
•  B = {1, 2, 3, 4} 
 
Representação  através  de  
diagramas  de  Venn	
Os elementos de um conjunto são representados por 
pontos interiores a uma região plana, limitada por 
uma linha fechada simples, isto é, uma linha que não 
se entrelaça. 
 
Exemplo: 
Representação  através  de  uma  
propriedade  	
Se uma propriedade p é comum a todos os elementos de um 
conjunto A, e somente esses elementos têm a propriedade p, 
então o conjunto A pode ser descrito por: 
 
A = {x | x tem a propriedade p}. 
 
Lê-se: "A é o conjunto formado por todos os elementos x tal que 
x tem a propriedade p". 
 
Exemplos: 
 
•  A = {x | x é país da Europa} - o conjunto A é formado por 
todos os países da Europa. 
 
•  B = {x | x é mamífero} - o conjunto B é formado por todos os 
mamíferos. 
Relação  de  Pertinência  	
Nos exemplos: 
 
•  A = {a, e, i, o, u}                                        
 
•  B = {1, 2, 3, 4} 
 
note que u é elemento do conjunto A e não é elemento do 
conjunto B.   
 
•  u ∈ A (lê-se "u pertence a A”) 
•  u ∉ B (lê-se "u não pertence a B") 
 
De modo geral, para relacionar elemento e conjunto, devemos 
utilizar os símbolos: 
 
∈ (pertence)    e    ∉ (não pertence) 
Tipos  de  Conjunto  	
•  Conjunto unitário 
•  Conjunto vazio 
•  Conjunto finito 
•  Conjunto infinito 
•  Conjuntos Iguais 
•  Conjunto Universo (U) 
Conjunto  unitário  	
Conjunto unitário é aquele formado por um único 
elemento. 
 
Exemplos: 
 
•  C = {5} 
•  B = { x | x é estrela do sistema solar} 
Conjunto  vazio  	
Conjunto vazio é o conjunto que não possui elemento 
algum.   
 
Representa-se o vazio por Ø ou { }. 
 
Exemplos: 
•  
D = {x | x é número e x . 0 = 5} = Ø 
•  
E = {x | x é computador sem memória} = { } 
Conjunto  finito  	
Conjunto finito é aquele que conseguimos chegar ao 
"fim" da contagem de seus elementos. 
 
Exemplos: 
 
•  B = {1, 2, 3, 4} 
•  D = {x | x é brasileiro} 
•  H = {x | x é jogador da seleção brasileira de 
futebol} 
Conjunto  infinito  	
Conjunto infinito é aquele que, se contarmos seus 
elementos um a um, jamais chegaremos ao "fim" da 
contagem. 
 
Exemplos: 
 
•  N = { 0, 1, 2, 3, 4, ... } 
 
•  A = { x ∈ N | x é par} = { 0, 2, 4, 6, ... } 
Conjuntos  Iguais  	
Dois ou mais conjuntos são iguais quando possuem os 
mesmos elementos.   
Assim, se A é o conjunto das letras da palavra "arte": 
A = {a, r, t, e} 
B é o conjunto das letras da palavra "reta": 
B = {r, e, t, a} 
 
temos A = B 
 
Pois os conjuntos possuem os mesmos elementos, não 
importando a ordem em que os elementos foram escritos. 
 
Se A não é igual a B, escrevemos A ≠ B (lê-se "A é diferente 
de B"). 
Conjunto  Universo  (U)  	
Conjunto universo de um estudo é um conjunto ao qual 
pertencem todos os elementos desse estudo, ou seja, é o 
conjunto que possui todos os elementos com os quais se 
deseja trabalhar. 
 
Exemplo: Quais são os números menores que 5?   
A resposta irá depender do conjunto universo 
considerado. 
 
•  Se o conjunto universo for o conjunto dos números 
naturais, teremos como resposta o conjunto solução S = 
{0, 1, 2, 3, 4}. 
•  Se o conjunto universo for o conjunto dos números 
naturais pares, teremos como conjunto solução S = {0, 2, 
4}. 
Exercícios	
1.  Represente os seguintes conjuntos: 
a)  O conjunto das vogais. 
R: a, e, i, o, u 
a)  O conjunto dos números ímpares positivos. 
R: 1, 3, 5, 7, 9, 11, … 
a)  O conjunto dos naipes das cartas de um baralho. 
R: Paus, ouro, copas, espada 
a)  O conjunto dos nomes dos meses de 31 dias. 
R: Janeiro, março, maio, julho, agosto, outubro, 
dezembro 
Exercícios	
2.  Um certo número de alunos de uma escola de 
ensino médio foi consultado sobre a preferência 
em relação às revistas A ou B. O resultado obtido 
foi o seguinte: 180 alunos lêem a revista A, 160 
lêem a revista B, 60 lêem A e B e 40 não lêem 
nenhuma das duas. 
(a) Quantos alunos foram consultados? 
(b) Quantos alunos lêem apenas a revista A? 
(c) Quantos alunos não lêem apenas a revista A? 
(d) Quantos alunos lêem a revista A ou a revista B? 
 
Exercícios  -­‐‑  Solução	
•  A = 180 
•  B = 160 
•  A e B = 60 
•  Nenhum = 40 
Exercícios  -­‐‑  Solução	
•  Quantos alunos foram consultados? 
R: 120 + 60 + 100 + 40 = 320 
•  Quantos alunos lêem apenas a revista A? 
R: 180 - 60 = 120 
•  Quantos alunos não lêem apenas a revista A? 
R: 60 + 100 + 40 = 200 
•  Quantos alunos lêem a revista A ou a revista B? 
R: 120 + 60 + 100 = 280 
+	
•  Sugestão de Leitura: 
 
o  http://www.somatematica.com.br/emedio/conjuntos.php 
 
o  http://pessoal.sercomtel.com.br/matematica/medio/conjuntos/
conjunto.htm 
 
 
•  Sugestão de jogo: 
 
o  http://estudejogando.com.br/?
disciplina=matematica&materia=conjuntos

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