cap4 2

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Distorção Linear
Na Seção 2-6 foram encontradas as condições gerais para transmissão sem
distorção. Para filtros passa-faixa lineares (canais), um conjunto menos
restritivo de condições será apresentado como sendo satisfatório. Para
transmissão sem distorção de sinais passa-faixa, a função transferência do
canal, H(f) = |H(f)| ejq(f), necessita satisfazer os seguintes requisitos:
· A resposta de amplitude é constante. Isto é,
|H(f)| = A (4-27a)
onde A é uma constante real, positiva.
· A derivada da resposta de fase é uma constante. Isto é,
gTdf
)f(d
2
1
=
q
p
- (4-27b)
onde Tg é uma constante chamada de “retardo da envoltória complexa” ou,
mais resumidamente, “retardo de grupo” e
q(f) = ÐH(f)
Isto está ilustrado na figura 4-4. Note que (4-27a) é idêntico ao requisito
geral de (2-150a), mas (4-27b) é menos restritivos do que (2-150b). Isto é,
se (2-150) for satisfeita, (4-27b) será satisfeita, neste caso Td = Tg;
entretanto, se (4-27b) for satisfeita, (2-150b) não será necessariamente
satisfeita porque a integral de (4-27b) é:
q(f) = -2p f Tg + q0 (4-28)
onde q0 é um deslocamento de fase constante, como ilustrado na figura 4-4b.
Se acontecer de q0 ser não zero, (2-150b) não é satisfeita.
Agora será mostrado que (4-27a) e (4-27b) são requisitos suficientes para
transmissão sem distorção de sinais passa-faixa. De (4-27a) e (4-28) a
função de transferência do canal (ou filtro) é
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goog fT2jj)fT(-2 e)Ae(e A)f(H p-qq+p == (4-29)
através da largura de faixa do sinal. Se a entrada ao canal passa-faixa for
representada por:
v1(t) = x(t) cos wct – y(t) sen wc t
Figura 4-4 – Características de transferência de um canal passa-faixa sem distorção.
Então, usando (4-29) e percebendo que gfT2je p causa um atraso de Tg, a saída
do canal é
v2(t) = A x(t – Tg) cos[wc(t – Tg) + qo] – A y(t – Tg) sen [wc(t – Tg) + qo]
Usando (4-28), obtemos
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[ ] [ ])f(tsen)Tt(Ay)f(tcos)Tt(Ax)t(v ccgccg2 q+w--q+w-=
onde, pelo uso de (2-150b) tomado em f = fc,
q(fc) = - wc Tg + qo = -2p fc Td
Portanto, o sinal passa-faixa de saída pode ser descrito por
V2(t) = A x(t – Tg) cos[wc(t – Td)] – A y(t – Tg) sen[wc(t – Td)] (4-30)
onde a modulação na portadora (isto é, as componentes x e y) foram
atrasadas pelo retardo de tempo de grupo, Tg, e a portadora foi atrasada
pelo atraso de tempo de portadora, Td. Td é também chamado de
retardo de fase, porque q(fc) = -2p fc Td, onde q(fc) é o retardo de fase da
portadora. A equação (4-30) demonstra que o filtro passa-faixa retarda a
envoltória complexa de entrada (isto é, a informação de entrada) por Tg
segundos, enquanto a portadora é retardada por Td segundo. Isto é uma
transmissão sem distorção, que é obtida quando (4-27a) e (4-27b) são
satisfeitas. Note que Tg diferirá de Td, a menos que qo seja zero.
Em resumo, os requisitos gerais para transmissão sem distorção de sinais
banda-básica ou passa-faixa são dados por (2-150a) e (2-150b). Entretanto,
para o caso passa-faixa (2-150) é excessivamente restritivo e pode ser
substituído por (4-27b). Neste caso Td ¹ Tg a menos que qo = 0. Isto é,
para transmissão passa-faixa sem distorção, é somente necessário ter uma
função transferência com um módulo constante e uma derivada da fase
constante através da largura de faixa do sinal.
4.6. Teorema da Amostragem Passa-faixa
Simulação em computador é freqüentemente utilizada para a análise do
desempenho de complicados sistemas de telecomunicações, especialmente
quando são usados esquemas de codificação. Isto requer que o sinal de RF
e o ruído, para o sistema sob teste, sejam amostrados, tal que possam ser
obtidos dados para o processamento da simulação pelo computador. Se a
amostragem for obtida na taxa de Nyquist, ou superior (fs > 2B, onde B é a
maior frequência envolvida no espectro do sinal de RF), a taxa de
amostragem pode ser absurda. Por exemplo, considere um sistema de
comunicação via satélite com uma frequência de portadora de fc = 6 GHz.
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A taxa de amostragem requerida deve ser no mínimo de 12 GHz.
Felizmente, para sinais deste tipo, sinais passa-faixa, pode se mostrar que a
taxa de amostragem depende somente da largura de faixa do sinal, não das
frequências absolutas envolvidas. Isto é equivalente a se dizer que podemos
reproduzir o sinal a partir de amostras da envoltória complexa.
Teorema: Teorema de Amostragem Passa-Faixa:
Se uma forma de onda (real) passa-faixa tiver um espectro não-zero apenas
sobre o intervalo de frequência f1 < | f | < f2 onde a largura de faixa de
transmissão, BT, é tomada como sendo a largura de faixa absoluta BT = f2 –
f1, então a forma de onda pode ser reproduzida de valores de amostras se a
taxa de amostragem for
fs > 2 BT (4-31)
Este teorema pode ser demonstrado usando-se a representação passa-faixa
em quadratura.
v(t) = x(t) cos wc t – y(t) sen wc t (4-32)
Seja fc o centro da faixa de passagem, tal que fc = (f2 + f1)/2. Então, a partir
de (4-8) vê-se que x(t) e y(t) são sinais banda-básica e absolutamente
limitados em faixa à B = BT/2. A partir do teorema de amostragem banda-
básica, a taxa de amostragem requerida para representar estes sinais banda-
básica é fb > 2B = BT. A expressão (4-32) fica:
å
¥
-¥=
ú
ú
ú
ú
ú
û
ù
ê
ê
ê
ê
ê
ë
é
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-p
ïþ
ï
ý
ü
ïî
ï
í
ì
ú
û
ù
ê
ë
é
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-p
ú
û
ù
ê
ë
é
w÷÷
ø
ö
çç
è
æ
-w÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=
n
b
b
b
b
c
b
c
b
f
n
tf
f
n
tfsen
tsen
f
n
ytcos
f
n
x)t(v (4-33)
Para o caso mais geral, onde as amostras ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
÷÷
ø
ö
çç
è
æ
bb f
n
y e 
f
n
x são
independentes, duas amostras reais são obtidas para cada valor de n, tal que
a taxa de amostragem total para v(t) é fs = 2 fb > 2 BT. Esta é a condição
para a frequência de amostragem passa-faixa (4-31). Na maioria das
aplicações de engenharia, fc >> BT. Portanto as amostras de x e y podem
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ser obtidas amostrando-se v(t) em ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
»
bf
n
t , mas ajustando-se t levemente,
tal que cos wc t = 1 e sen wc t = 1 no tempo de amostragem exato para
x e y, respectivamente. Isto é, para ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
»
bbs f
n
x
f
n
v,
f
n
t quando cos wc t
= 1 (isto é, sen wc t = 0) e ÷÷
ø
ö
çç
è
æ
=÷÷
ø
ö
çç
è
æ
bb f
n
y
f
n
v quando sen wc t = 1 (isto é, cos wc
t = 0). Se fc não for grande o suficiente para as amostras x e y serem
obtidas diretamente a partir de v(t), então x(t) e y(t) pode primeiro ser
obtida pelo uso de dois detetores de produto em quadratura, como descrito
por (4-76). Os sinais x(t) e y(t), banda-básica, podem então ser amostrados
individualmente a uma taxa de fb, e é visto que a taxa de amostragem
equivalente total permanece fs = 2 fb > 2 BT.
Teorema: Teorema da Dimensionalidade Passa-Faixa
Suponha que uma forma de onda passa-faixa tenha um espectro não-zero
sobre um intervalo de frequência f1 < | f | < f2 onde a largura de faixa de
transmissão BT é tomada como sendo a largura de faixa absoluta dada por
BT = f2 – f1 e BT << f1. A forma de onda pode ser completamente
especificadasobre um intervalo de To segundos por:
N = 2 BT To (4-34)
fragmentos independentes de informação. N é dito ser o numero de
dimensões requeridas para especificar a forma de onda.
Simulação em computadores é freqüentemente usada para analisar sistemas
de comunicações. O teorema da dimensionalidade passa-faixa nos fala que
um sinal passa-faixa de largura BT hertz pode ser representado sobre um
intervalo de To segundos, cuidando-se para que no mínimo N = 2 BT To
amostras sejam usadas. Maiores detalhes sobre o teorema da amostragem
passa-faixa estão discutidos no problema de ajuda de estudo SA 4-5.
4.7. Sinal mais Ruído Recebido
Usando-se a representação de sinais passa-faixa e incluindo-se os efeitos de
filtragem de canal, um modelo para o sinal mais ruído recebido será agora
obtido. Referindo-se a figura 4-1, o sinal de saída do transmissor é:
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( )[ ]tj cetgRe)t(s w=
onde g(t) é a envoltória complexa para o tipo particular de modulação usada
(ver tabela 4-1).
Um bom modelo matemático para o sinal mais ruído recebido, r(t), pode ser
ou não ser fácil de obter-se, dependendo da complexidade do canal. Se o
canal for linear e invariante no tempo, então:
r(t) = s(t) * h(t) + n(t) (4-35)
Onde h(t) é a resposta impulsiva do canal e n(t) é o ruído na entrada do
receptor. Além disso, se o canal for sem distorção, sua função
transferência é dada por (4-29), e consequentemente, o sinal mais ruído na
entrada do receptor é:
( ) ( )( )[ ])t(neTtARe)t(r cc ftjgg +-= q+w (4-36)
onde A é o ganho do canal (um número positivo e usualmente menor do que
1), Tg o retardo de grupo do canal, e q(fc) é o deslocamento de fase da
portadora, causado pelo canal. Na prática, os valores para Tg e q(fc) são
freqüentemente não conhecidos, tal que se valores para Tg e q(fc) forem
necessários para o receptor detectar a informação que foi transmitida, os
circuitos receptores serão projetados para recuperarem (isto é, estimarem) a
fase da portadora recebida, q(fc), e o retardo de grupo (por exemplo, um
sincronizador de bits para o caso de sinalização digital). Uma análise
detalhada do desempenho do receptor quando há erros devidos a pobres
estimativas da fase da portadora e do retardo de grupo recebidos esta além
do objetivo deste texto. Consequentemente assumiremos que os circuitos
receptores sejam projetados para tornarem estes efeitos desprezíveis;
portanto podemos considerar o sinal mais ruído na entrada do receptor como
sendo:
[ ] )t(ne)t(gRe)t(r tcj += w (4-37)
Onde os efeitos da filtragem do canal, se existirem, são incluídos através de
algumas modificações da envoltória complexa, g(t), e da constante Ac que
estão implícitas dentro de g(t), que é ajustada para refletir o efeito da
atenuação do canal. Detalhes desta aproximação são trabalhados na seção
8-6.
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Dado que (4-37) modela a entrada ao receptor, a saída do receptor, )t(m~ ,
depende dos tipos de blocos funcionais usados dentro do receptor, tal como
filtros, limitadores, e detetores. Estes blocos estão descritos nas Seções 4-
8 até 4-14 e seus efeitos estão resumidos na tabela 4-5.
4.8. Classificação de Filtros e Amplificadores
Filtros
Filtros são dispositivos que tomam uma forma de onda de entrada e
modificam o espectro de frequência para produzir a forma de onda de saída.
Os filtros podem ser classificados de várias formas. Uma delas é pelo tipo
de construção usado, tais como elementos LC ou elementos de cristal de
quartzo. Outra é pelo tipo de função transferência que é efetuada, tal como
resposta Butterworth ou Chebyshev, que serão definidas mais adiante.
Estes dois tópicos, tipos de construção e características de função
transferência, serão discutidos nesta seção.
Filtros usam elementos que armazenam energia para obter discriminação de
frequência. Em qualquer filtro físico, os elementos de armazenagem de
energia são imperfeitos. Por exemplo, um indutor físico tem alguma
resistência em série com a indutância, e um capacitor físico tem alguma
resistência em paralelo (vazamento) com a capacitância. Uma questão
natural é: Qual é a qualidade, Q, de um elemento de circuito ou filtro ?
Infelizmente, duas medidas diferentes de qualidade de filtro são usadas na
literatura técnica. A primeira definição diz respeito à eficiência da
armazenagem de energia em um circuito, isto é:
ciclopor dissipada energia
ciclo) um durante armazenada máxima (energia 2
Q
p
= (4-38)
[Ramo, Whinnery, and vanDuzer, 1967, 1984]
Um maior valor de Q corresponde a um elemento de armazenagem mais
perfeito. Isto é, um elemento L ou C perfeito devem ter Q infinito.
A segunda definição diz respeito à seletividade de frequência de um
circuito, isto é:
B
f
Q o= (4-39)
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onde fo é a frequência de ressonância e B é a largura de faixa de 3 dB.
Aqui quanto maior o valor de Q, maior será a seletividade de frequência,
porque para um dado fo, a largura de faixa deve ser menor.
Em geral, o valor de Q avaliado através de (4-38) e diferente do valor obtido
a partir de (4-39). Entretanto estas duas definições apresentam valores
idênticos para um circuito ressonante série RLC alimentado por uma fonte
de tensão ou para um circuito ressonante paralelo alimentado por uma fonte
de corrente [Nilsson, 1990]. Para aplicações de filtragem passa-faixa, a
seletividade de frequência é a característica desejada, tal que (4-39) é usada.
Também (4-39) é mais fácil de ser avaliados a partir de medidas de
laboratório. Se estivermos projetando um filtro passivo (não
necessariamente um circuito com uma única sintonia) de frequência central
fo e largura de faixa de 3 dB igual a B, os elementos de circuito individual
necessitarão ter cada um deles um Q muito maior do que fo/B. Portanto,
para um projeto de filtro prático, primeiro necessitamos responder a questão:
Quais são os Qs necessários para os elementos do filtro, e que tipo de
elementos darão estes valores de Q ? Esta questão está respondida na
tabela 4-2.
A tabela 4-2 apresenta uma lista de filtros classificados pelo tipo de
elementos de armazenagem de energia usados na sua construção e nos dá
valores típicos para o Q dos elementos. Filtros que usam elementos L e C
concentrados (elementos do tipo discreto, R, L ou C quando comparados
com elementos continuamente distribuídos, tais como os encontrados nas
linhas de transmissão) tornam-se impraticáveis de serem construídos acima
de 300 MHz porque as capacitâncias e indutâncias parasitas dos terminais
afetam significativamente a resposta em frequência em altas frequências.
Filtros ativos, que usam amplificadores operacionais com elementos de
circuito RC, são práticos somente abaixo de 500 kHz porque os AO’s
necessitam ter um grande ganho de malha aberta sobre toda a faixa de
operação. Para filtros em frequências muito baixas, VLF, os filtros ativos
são usualmente preferidos em relação aos filtros passivos, LC porque o
tamanho dos componentes LC torna-se grande e o Q dos indutores torna-se
pequeno nesta faixa de frequência. Os filtros ativos são difíceis de serem
implementados dentro dos circuitos integrados porque os resistores e
capacitores tomam uma parte significante da área dos chips. Esta
dificuldade é reduzida usando-se um capacitor chaveado projetado para
implementação em circuito integrado. Neste caso os resistores são
substituídos por um arranjo de chaves e capacitores eletrônicos que são
controlados por um sinal de relógio digital. [Schaumann e outros, 1990].
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Tabela 4-2 – Técnicas de Construção de Filtros.
Os filtros à cristal são fabricados a partir de elementos de cristal de quartzo.
Estes atuam como um circuito série ressonante em paralelo com uma
capacitância shunt causada pela armadura (prendedor). Portanto são
possíveis os modos de operação ressonante paralelo e ressonante série.
Acima de 100 MHz os elementos de quartzo se tornam fisicamente muito
pequenos de serem fabricados, e abaixo de 1 kHz o tamanho do elemento se
torna proibitivamente grande. Os filtros à cristal têm excelente desempenho
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uma série de discos espaçados ao longo de uma haste. Os transdutores são
montados em cada extremo da haste para converter os sinais elétricos em
vibrações mecânicas na entrada, e vice-versa na saída. Cada disco é o
equivalente mecânico de um circuito ressonante paralelo elétrico de alto Q.
Os filtros mecânicos têm, usualmente, uma alta perda de inserção resultante
da ineficiência dos transdutores de entrada e de saída.
Os filtros cerâmicos são construídos a partir de discos cerâmicos
piezoelétricos com conexões de eletrodos chapeados nos lados opostos do
disco. O comportamento do elemento cerâmico é similar ao do elemento do
filtro à cristal, como discutido anteriormente, exceto que o Q do elemento
cerâmico é muito menor. A vantagem do filtro cerâmico é que ele
freqüentemente apresenta um desempenho adequado a um custo que é baixo
quando comparado ao do filtro à cristal.
Filtros de onda acústica de superfície (SAW, surface acoustic wave)
utilizam ondas acústicas de superfície que são lançadas e viajam na
superfície de um substrato piezoelétrico (chapa). Contatos entrelaçados,
metálicos, são depositados no substrato. O sinal de tensão entre os
contatos é convertido para sinal acústico (e vice-versa) como resultado do
efeito piezoelétrico. A geometria dos contatos determina a resposta em
frequência do filtro, assim como fornecem acoplamento de entrada e saída
[Dorf, 1993, pag. 1073-1074]. A perda de inserção é um pouco maior do
que para os filtros à cristal ou cerâmicos. Todavia, a facilidade de
modelamento da função transferência e a ampla largura de faixa que pode
ser obtida com características de atenuação controlada, faz com que os
filtros SAW sejam muito atrativos. Esta tecnologia esta sendo usada para
prover excelentes características de amplificadores de FI em modernos
aparelhos de TV.
Componentes SAW podem também possuir derivações (taps), tal que são
úteis para configurações de filtros transversais operando na faixa de RF. Em
baixas frequências, componentes de transferência de carga (CTD, charge
transfer filter) podem ser usados para a implementação de filtros
transversais [Gersho, 1975].
Filtros de linha de transmissão utilizam as propriedades de ressonância de
linhas de transmissão abertas ou em curto-circuito. Estes filtros são úteis em
frequências de microondas ou UHF onde os comprimentos de onda são
suficientemente pequenos tal que filtros com tamanhos razoáveis possam ser
construídos. Similarmente, o efeito ressonante de cavidades é útil na
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construção de filtros para frequências de microondas, onde o tamanho da
cavidade, torna-se suficientemente pequeno.
Os filtros também são caracterizados pelo tipo de função transferência que
apresentam. A função transferência de um filtro linear com elementos de
circuito concentrados, pode ser escrita como a relação de dois polinômios
( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( )kn221o
k
k
2
21o
jajajaa
jbjbjbb
)f(H
w++w+w+
w++w+w+
= L
L
(4-40)
onde as constantes ai e bi são funções dos valores dos elementos e w = 2pf.
O parâmetro n é dito ser a ordem do filtro. Ajustando-se as constantes a
valores certos, características desejáveis de função transferência podem ser
obtidas. A tabela 4-3 lista três diferentes características de filtros e o
critério de otimização que define cada um. O filtro Chebyshev é usado
quando uma característica de atenuação acentuada é requerida usando-se um
número mínimo de elementos de circuito. O filtro de Bessel é
freqüentemente usado em transmissão de dados quando o contorno do pulso
deve ser preservado mantendo-se uma resposta de fase linear na faixa de
passagem. O filtro Butterworth é freqüentemente usado como uma solução
de compromisso entre as características Chebyshev e Bessel.
O tópico “filtros” é imenso e todos os aspectos da filtragem não podem ser
cobertos aqui. Por exemplo, com o advento dos microprocessadores de
baixo custo, a “filtragem digital” e o “processamento de sinais digitais”
estão se tornando muito importantes. [Oppenheim e Shafer, 1975, 1989].
Aqui a forma de onda analógica é amostrada e os valores das amostras são
processados usando-se técnicas digitais. Equações diferença (em oposição
às equações diferenciais) descrevem estes tipo de operação de filtragem.
Mudando-se o software, podem ser obtidas diferentes características de
filtragem. Esta técnica de implementação de filtros por programação de
software ao invés de programação de hardware tem muitas vantagens.
Para uma leitura adicional com ênfase em aplicações nos sistemas de
comunicação, o leitor pode encontrar em Bowron e Stephenson, 1979.
Amplificadores
Para análise, os circuitos eletrônicos e, mais especificamente os
amplificadores, podem ser classificados em duas categorias principais:
· Circuitos não lineares
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· Circuitos lineares
Linearidade foi definida na Seção 2-6. Na prática todos os circuitos são
não-lineares em algum grau, mesmo para pequenos níveis de sinal (tensão
ou corrente), e tornam-se altamente não-lineares para níveis altos de sinais.
A análise de circuitos lineares é freqüentemente usada para o caso de níveis
baixos de sinais desde que a matemática é grandemente simplificada e nos
dá respostas precisas se o nível do sinal for suficientemente pequeno.
As principais categorias de análise linear e não-linear podem ser
classificadas dentro de sub-categorias de circuitos:
· com memória
· sem memória
Circuitos com memória contém efeitos indutivos e capacitivos, o que causa
que o presente valor de saída seja uma função dos valores de entrada
prévios, assim como o presente valor de entrada. Se um circuito não tem
memória, o valor de saída atual é uma função somente do seu valor presente
de entrada.
Nos cursos introdutórios de engenharia, primeiro assume-se que os circuitos
sejam lineares sem memória (circuitos resistivos) posteriormente, lineares
com memória (RLC). Segue que os amplificadores lineares com memória
podem ser descritos por uma função transferência que é a relação da
transformada de Fourier do sinal de saída dividido pela transformada de
Fourier do sinal de entrada. Como discutido na Seção 2-6, a função
transferência de um amplificador sem distorção é dada por K e-jw Td, onde K
é o ganho de tensão do amplificador e Td é o retardo entre as formas de
onda de saída e de entrada. Se a função transferência do amplificador
linear não for desta forma, o sinal de saída será uma versão linearmente
distorcida do sinal de entrada.