GEX103_logica_aula_6(1)

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Triângulo 
isósceles 
 
GEX103 - INTRODUÇÃO À LÓGICA 
Turma: 15B 14B 24A 
Aula 6 - 04/02/2013 
 
Capítulo 6: Equivalência lógica (continuação) 
 
5 Proposições associadas a uma condicional 
 
Definição: 
'DGD�D�FRQGLFLRQDO�S�ĺ�T��FKDPDP-se proposições associadas D�S�ĺ�T, as três seguintes proposições 
condicionais que contêm p e q: 
 
a) Proposições recíproca GH�S�ĺ�T��T�ĺ�S 
b) Proposições contrária GH�S�ĺ�T��aS�ĺ�aT 
c) Proposições contrapositiva GH�S�ĺ�T��aT�ĺ�aS 
 
As tabelas-verdade dessas proposições são: 
 
p q p → q q → p ~p → ~q ~q → ~p 
V V V V V V 
V F F V V F 
F V V F F V 
F F V V V V 
 
 
Estas tabelas-verdade demonstram duas importantes propriedades: 
(i) $�FRQGLFLRQDO�S�ĺ�T�H�D�VXD�FRQWUDSRVLWLYD�aT�ĺ�aS�VmR�HTXLYDOHQWHV�� 
Simbolicamente: 
 S�ĺT�� !�aT�ĺ�aS 
 
(ii) A recíprRFD�T�ĺ�S e a FRQWUiULD�aS�ĺ�aT�GD�FRQGLFLRQDO�S�ĺ�T�VmR�HTXLYDOHQWHV�� 
Simbolicamente: 
T�ĺ�S � !�aS�ĺ�aT 
 
As mesmas tabelas-YHUGDGH�WDPEpP�GHPRQVWUDP�TXH�D�FRQGLFLRQDO�S�ĺ�T�H�D�VXD�UHFtSURFD�T�ĺ�S��RX�D�
VXD�FRQWUiULD�aS�ĺ�aT��não são equivalentes. 
 
$�FRQWUiULD�GH�S�ĺ�T�WDPEpP�p�GHQRPLQDGD�D�LQYHUVD�GH�S�ĺ�T� 
$� FRQWUDSRVLWLYD� GH� S�ĺ� T� p� D� FRQWUiULD� GD� UHFtSURFD� GH� S�ĺ� T�� SRU� LVVR� WDPEpP� p� FKDPDGD� FRQWUD-
UHFtSURFD�GH�S�ĺ�T�� 
Também se diz TXH�S�ĺ�T�p�D�GLUHWD�HP�UHlação às associadas. 
 
Exemplos: 
1) Seja a condicional relativa ao triângulo T: 
SĺT��6H�7�p�HTXLOiWHUR�HQWmR�7�p�LVyVFHOHV� 
 
 
 
 
 A recíproca desta proposição é: 
Triângulo 
equilátero 
 
2 
 
 TĺS��6H�7�p�LVyVFHOHV�HQWmR�7�p�HTXLOiWHUR� 
 
1HVWH�H[HPSOR��D�FRQGLFLRQDO�SĺT�p�YHUGDGHLUD��9���PDV�VXD�UHFtSURFD�TĺS�p�IDOVD��)�� 
 
2) A contrapositiva da condicional: 
SĺT��6H�&DUORV�p�DJU{QRPR��HQWmR�HOH estudou na UFLA. 
aTĺ�aS��6H�&DUORV�QmR�HVWXGRX�QD�8)/$��HQWmR ele não é agrônomo. 
 
3) Seja a contrapositiva da condicional: 
³6H�[�p�PHQRU�TXH�]HUR��HQWmR�[�QmR�p�SRVLWLYR´� 
 
5HSUHVHQWDQGR�SRU�S�D�SURSRVLomR�³[�p�PHQRU�TXH�]HUR´�H�SRU�T�D�SURSRVLomR�³[�p�SRVLWLYR´� 
A condicional dada sob forma simbólica escreve-se: 
Sĺ�aT 
Por conseguinte, a sua contrapositiva é: 
aaTĺ�aS�� !�Tĺ�aS� 
Em linguagem corrente: 
³6H�x é positivo, então x QmR�p�PHQRU�TXH�]HUR�´ 
 
4) Seja a proposição condicional: 
SĺT��6H� é ímpar, então x é ímpar. 
A contrapositiva desta condicional é: 
aTĺaS��6H�p�SDU��HQWmR� é par. 
Dem.: 
Suponha que x é par. Então ( ). 
Como , segue-se que é par. 
Logo a contrapositiva é verdadeira, e, por conseguinte a proposição condicional dada SĺT�
também é verdadeira. 
 
5) Determinar: 
a) $�FRQWUDSRVLWLYD�GD�FRQWUDSRVLWLYD�GH�SĺT� 
b) $�FRQWUDSRVLWLYD�GD�UHFtSURFD�GH�SĺT� 
c) $�FRQWUDSRVLWLYD�GD�FRQWUiULD�GH�SĺT� 
 
Solução: 
a) $�FRQWUDSRVLWLYD�GH�SĺT�p�aTĺaS��(�D�FRQWUDSRVLWLYD�GH�aTĺaS�p� 
~ ~ Sĺ ~ ~ q<=> SĺT� 
 
b) $�UHFtSURFD�GH�SĺT�p�TĺS��(�D�FRQWUDSRVLWLYD�GH�TĺS�p� 
aSĺaT� 
c) $�FRQWUiULD�GH�SĺT�p�aSĺaT��(�D�FRQWUDSRVLWLYD�GH�aSĺaT�p� 
~ ~ q ĺ ~ a�S�� !�T�ĺ�T� 
Observações: Veja que: 
 A recíproca e a contrária são cada uma a contrapositiva da outra. 
 A condicional e a contrapositiva são cada uma a contrapositiva da outra. 
6) Determinar: 
3 
 
a) $�FRQWUDSRVLWLYD�GH�SĺaT� 
b) $�FRQWUDSRVLWLYD�GH�aSĺT� 
c) $�FRQWUDSRVLWLYD�GD�UHFtSURFD�GH�SĺaT� 
d) $�UHFtSURFD�GD�FRQWUDSRVLWLYD�GH�aSĺaT� 
 
Solução: 
 a) A contrapositiva de p ĺ ~ q é: 
~ ~ qĺ ~ p <=> q ĺ ~p. 
 
b) $�FRQWUDSRVLWLYD�GH�aSĺT�é: 
~ qĺ ~ ~p <=> aT�ĺ�S� 
 
c) $�UHFtSURFD�GH�SĺaT�p�aTĺ�S�� 
(�D�FRQWUDSRVLWLYD�GH�aT�ĺ�S�p� 
~ pĺ ~ ~q <=> aS�ĺ�T� 
 
d) A contrapositiva de aSĺaT é aaT�ĺ�aaS�� !�T�ĺ�S� 
E a recíproca de qĺ p é: 
S�ĺ�T� 
 
7) Determinar: 
a) A recíproca da contrapositiva de [ �ĺ�[���� 
b) $�FRQWUDSRVLWLYD�FRQWUiULD�GH�[���ĺ�[��� 
 
Solução: 
a) $�UHFtSURFD�GH�[ �ĺ�[����p�[���ĺ x=0. 
(�D�FRQWUDSRVLWLYD�GHVWD�UHFtSURFD�p�[�ĺ�[�QmR�PHQRU�TXH��� 
b) $�FRQWUiULD�GH�[���ĺ�[���p�[�QmR�p�PHQRU�TXH��ĺ�[�QmR�p�PHQRU�TXH��� 
(�D�FRQWUDSRVLWLYD�GHVWD�FRQWUiULD�GH�[���ĺ�[��� 
 
6 Negação conjunta de duas proposições: 
Definição: 
Chama-VH�QHJDomR�FRQMXQWD�GH�GXDV�SURSRVLo}HV�S�H�T��D�SURSRVLomR�³QmR�S�H�QmR�T´��LVWR�p� 
aS�ޔ�aT� 
A negação conjunta de duas proposições p e q, também é indicada pela notação: 
S�Ļ�T� 
Portanto: S�Ļ�T�� !�aS�ޔ�aT� 
 
&RPR�D� SURSRVLomR� ³aS�ޔ�aT´� p� YHUGDGHLUD� VRPHQWH� QR� FDVR� HP�TXH� S� H� T� VmR� DPEDV� IDOVDV, então, a 
tabela-YHUGDGH�GH�³S�Ļ�T´�p�D�VHJXLQWH� 
P q p ↓ q 
V V F 
V F F 
F V F 
F F V 
 
4 
 
7) Negação disjunta de duas proporções: 
Definição: 
Chama-VH�QHJDomR�GLVMXQWD�GH�GXDV�SURSRVLo}HV�S�H�T�D�SURSRVLomR�³QmR�S�RX�QmR�T´��LVWR�p��
simbolicamente: 
aS�ޕ�aT� 
A negação disjunta de duas proposições p e q, também é indicada pela notação: 
S��T� 
Portanto: 
S�Ĺ�T�� !�aS�ޕ�aT� 
 
&RPR�D� SURSRVLomR� ³aS�ޕ�aT´� p� IDOVD� VRPHQWH� QR� FDVR� HP�TXH� S� H� T� VmR� DPEDV� YHUGDGHLUDV�� HQWmR�� D�
tabela-YHUGDGH�GH�³S�Ĺ�T´�p�D�VHJXLQWH� 
P q p ↑ q 
V V F 
V F V 
F V V 
F F V 
 
2V�VtPERORV�³Ĺ´�H�³Ļ´�VmR�FKDPDGRV�GH�³FRQHFWLYRV�GH�6FKHIIHU´�