Lista de exercícios de Derivada

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Tópicos de Matemática Aplicada — 2016/02 — Turma B1
Lista de exercícios 3 (Setembro de 2016)
1. Seja f : [0,∞)→ R dada por f(x) = √x.
(a) Calcule a derivada de f no ponto x = 9, isto é, calcule f ′(9). Utilize a definição de
derivada.
(b) Calcule a derivada de f em um ponto x > 0 arbitrário, isto é, calcule f ′(x), para
x > 0. (Utilize a definição de derivada: o processo é essencialmente o mesmo do item
anterior.)
(c) Responda: a função f é derivável (tem derivada) em qualquer ponto x > 0?
(d) Tente calcular f ′(0) usando a definição de derivada. A função f é derivável no ponto
x = 0? (Sugestão: Não tente reaproveitar o trabalho feito anteriormente; faça este
item “do zero”.)
2. Calcule as derivadas das seguintes funções em um ponto x arbitrário, utilizando a definição
de derivada.
(a) f(x) = 3x2 + x− 5.
(b) g(x) = 1/x2, para x 6= 0.
(c) y(x) = 1
2x+ 1
, para x 6= −1/2.
3. Calcule a derivada de cada uma das seguintes funções. (Não é necessário usar a definição
de derivada; é permitido usar as regras de derivação.)
(a) −5x6 + 3x4 + 4x3 + x+ 5
(b) (2x− 1)(3x2 + 2x+ 1)
(c) (x5 + 3)2
(d) x3 − x+ 1
x
− 4
x3
(e) x+ 1
x− 1
(f) 2x
3 + 1
x+ 2
(g) 2x
3 + 1
7
Dica: Ponha 1
7
em evidência. Não é necessário usar a regra do quociente. . .
4. Encontre a equação da reta tangente à curva y = 6/(x+ 2) no ponto (1, 2).
5. Encontre os pontos sobre a curva y = 4x3+6x2−24x+10 em que a reta tangente à mesma
seja horizontal.
6. Encontre a equação da reta tangente à parábola y = x2
(a) no ponto (−2, 4);
(b) no ponto em que a inclinação é igual a 8.
1
7. O paracetamol (para-acetylaminophenol) é um analgésico e antipirético bastante usado no
mundo todo. O Tylenol, por exemplo, é uma das marcas comerciais de paracetamol. Este
fármaco também é conhecido, especialmente nos eua, como acetaminophen.
A figura a seguir exibe a concentração média de paracetamol no sangue de 24 indivíduos que
receberam 1000mg deste fármaco, em jejum, no instante t = 0. Duas curvas são dadas:
uma para a apresentação líquida do fármaco (curva com círculos vermelhos “cheios”) e
uma para a apresentação em cápsulas (curva com quadrados “vazios”). Em cada caso, a
concentração média é dada em função do tempo.
Observe que a concentração é medida em µg/ml (microgramas por mililitro de plasma
sanguíneo) e o tempo é medido em horas (h).
Seja f(t) a concentração média de paracetamol, no tempo t, no sangue de um indivíduo
que recebeu o medicamento em forma líquida. Em outras palavras, o gráfico de f(t) é a
curva com os “círculos cheios”.
(a) Considere os instantes t1 = 1 h e t2 = 4h. Marque, na figura acima, os pontos
(t1, f(t1)) = (1, f(1)) e (t2, f(t2)) = (4, f(4)) do gráfico de f .
(b) Qual é o valor de f(t2) − f(t1) = f(4) − f(1), aproximadamente? O que representa
esta grandeza, do ponto de vista farmacológico?
(c) Calcule o valor aproximado de
f(t2)− f(t1)
t2 − t1 =
f(4)− f(1)
4− 1 .
O que representa esta grandeza do ponto de vista geométrico, considerando o gráfico
de f? O que ela representa do ponto de vista farmacológico?
(d) Considere, agora, a grandeza
f ′(t1) = lim
t→t1
f(t)− f(t1)
t− t1 .
O que representa esta grandeza do ponto de vista geométrico? E do ponto de vista
farmacológico?
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Os exercícios indicados a seguir referem-se ao texto
L. D. Hoffmann e G. L. Bradley, Cálculo: um curso moderno e suas aplicações,
!! 9a Edição !! , ltc, 2007.
Seção 2.1: 1, 3, 5, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 27, 31.
Seção 2.2: Exercícios 1 a 43 (faça tantos quantos quiser/puder e faça pelo menos alguns exer-
cícios de cada “tipo”), 67. Exercícios opcionais: 73, 74.
Seção 2.3: Exercícios 1 a 35 (faça tantos quantos quiser/puder), 40, 41, 43, 45, 47, 52, 54.
Exercícios opcionais: 71, 72.
Respostas:
1. Este exercício serve para que você utilize as definições vistas em aula e reflita. Não há
valor didático algum em fornecer as respostas, neste caso.
2. (a) f ′(x) = 6x+1 (mas você deve chegar a este resultado usando a definição de derivada).
(b) g′(x) = −2/x3 (idem).
(c) y′(x) = −2/(2x+ 1)2 (idem).
3. (a) −30x5 + 12x3 + 12x2 + 1
(b) 18x2 + 2x
(c) 10x4(x5 + 3)
(d) 3x2 − 1− 1/x2 + 12/x4
(e) −2/(x− 1)2
(f) (4x3 + 12x2 − 1)/(x+ 2)2
(g) 6x2/7
4. A reta é dada por y = −2
3
x+ 8
3
. Você pode reescrever isto na forma 3y + 2x = 8, que é
mais bonita.
5. Os pontos são (1,−4) e (−2, 50).
6. (a) y = −4x− 4; (b) y = 8x− 16.
7. Este exercício serve para que você reflita sobre os conceitos pertinentes ao curso. Fique à
vontade para discutir com colegas e tirar dúvidas em sala de aula (ou com o monitor). Não
há valor didático em fornecer as respostas, simplesmente.
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